湖南省高中数学 6.5合情推理与演绎推理提能训练 理 新

【全程复习方略】湖南省2013版高中数学 6.5合情推理与演绎推理提能训练
理 新人教A 版
(40分钟 80分)
一、选择题（每小题5分，共20分） 1.（2012·太原模拟）已知a n =(
13
)n
，把数列{a n }的各项排成如下的三角形： a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9
…
记A （s,t ）表示第s 行的第t 个数，则A （11，12）=( )
(A)67
1
3（） (B)68
13（） (C)
111
13（） (D)112
13
（） 2.(2012•株洲模拟)一机器狗每秒钟前进或后退一步，程序设计师让机器狗以前进3步然后再后退2步的规律移动，如果将此机器狗放在数轴的原点，面向正方向.以1步的距离为1个单位长，令P(n)表示第n 秒时机器狗所在位置的坐标，且P(0)＝0，那么下列结论中错误的是( ) (A)P(3)＝3 (B)P(5)＝1
(C)P(101)＝21 (D)P(103)<P(104) 3.三段论：“①所有的中国人都坚强不屈；②玉树人是中国人；③玉树人一定坚强不屈”中，其中“大前提”和“小前提”分别是( )
（A ）①② （B ）①③ （C ）②③ （D ）②①
4.对于平面上的点集Ω，如果连接Ω中任意两点的线段必定包含于Ω，则称Ω为平面上的凸集，给出平面上4个点集的图形如下（阴影区域及其边界）： 其中为凸集的是( )
(A)①② (B)②③ (C)③④ (D)①④ 二、填空题（每小题5分，共15分）
5.(2012•益阳模拟)已知正三角形内切圆的半径是高的1
3
，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是____________. 6.已知函数(x 1)(x a)
f (x)x
++=
为奇函数，则a=_______.
7.（预测题）如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n 行有n 个数且两端的数均为
1
n
（n ≥2），每个数是它下一行左右相邻两数的和，如111111111
1222363412
=+=+=+⋯，，，，
则第10行第4个数（从左往右数）为＿＿＿. 11 12 12 13 16 13 14 112 112 14 15 120 130 120 15
……
三、解答题（每小题15分，共30分）
8.（易错题）如图，一个树形图依据下列规律不断生长：1个空心圆点到下一行仅生长出1个实心圆点，1个实心圆点到下一行生长出1个实心圆点和1个空心圆点.
（1）求第n 行实心圆点个数与第n-1,n-2行实心圆点个数的关系. （2）求第11行的实心圆点的个数.
9.如图，在直角三角形ABC 中，AD 是斜边BC 上的高，有很多大家熟悉的性质，例如“AB ⊥AC ”，勾股定理“|AB|2
+|AC|2
=|BC|2
”和“
2
2
2
111AD
AB
AC
=
+
”等，由此联想，在三棱锥O —ABC 中，若三条侧棱OA ，
OB ，OC 两两垂直，可以推出哪些结论？至少写出两个结论.
【探究创新】
（15分）已知等差数列{a n }的公差为d=2，首项a 1=5.
（1）求数列{a n }的前n 项和S n ；
（2）设T n =n(2a n -5),求S 1,S 2,S 3,S 4,S 5,T 1,T 2,T 3,T 4,T 5，并归纳S n ,T n 的大小规律.
答案解析
1.【解析】选 D.由于该三角形数阵的每一行数据个数分别为1，3，5，7，9，…，可得前10行共有
101191002
+=（）
个数，A （11，12）表示第11行的第12个数，则A （11，12）是数列{a n }的第100+12=112个数，即可得112
1A 11123
=（，）（），
故应选D. 2. 【解析】选D.P(3)＝3,P(5)＝1显然是正确的，机器狗的规律是5秒前进一步，故P(100)＝20，那么P(101)＝21，即第101秒正好是前进一步，错误的只有D.
3.【解题指南】根据三段论的结构特征即可解决，务必要分清大前提、小前提及结论.
【解析】选A.解本题的关键是透彻理解三段论推理的形式和实质：大前提是一个“一般性的命题”（①所有的中国人都坚强不屈），小前提是“这个特殊事例是否满足一般性命题的条件(②玉树人是中国人)”，结论是“这个特殊事例是否具有一般性命题的结论(③玉树人一定坚强不屈)”.故选A. 4.【解题指南】根据凸集的定义，结合图形的形状特征即可判定. 【解析】选B.根据凸集的定义，结合图形任意连线可得②③为凸集. 5. 【解析】原问题的解法为等面积法， 设三角形面积为S ，高为h,内切圆半径为r. 即S ＝
12ah=3×12ar ⇒r=13
h. 类比问题的解法应为等体积法,
设正四面体体积为V ，底面三角形面积为S ′，正四面体的高为h ′,正四面体的内切球半径为r ′, 即111V S h 4S r r h 334
''=⨯''⇒'='＝
, 即正四面体的内切球的半径是高的
1
4
. 答案：正四面体的内切球的半径是高的1
4
6.【解析】因为函数(x 1)(x a)
f (x)x
++=
为奇函数，所以f(-x)=-f(x)对于定义域中的任意x 都成立，因
为1在定义域中，所以f(-1)=-f(1)，可求得a=-1. 答案:-1
7.【解析】由数阵可知，第n 行的第一个数为
1n
， 第二个数为
1
n(n 1)
-,
∴第9行的第二个数为
1,98
⨯
第10行的第二个数为
1.109
⨯ 由已知可知第10行的第三个数为
111,98109360
-=⨯⨯ 而第9行的第三个数为111
,8798252-=⨯⨯
∴第10行的第四个数为111
,252360840
-=
答案：1
840
8.【解题指南】设出第n 行实心圆点的个数a n ，空心圆点的个数b n ，则它与第n-1行的关系由题意不难得出，整理可得解.
【解析】（1）设第n 行实心圆点有a n 个，空心圆点有b n 个，由树形图的生长规律可得n n 1
n n 1n 1
b a ,a a b ---=⎧⎨=+⎩
∴a n =a n-1+b n-1=a n-1+a n-2，
即第n 行实心圆点个数等于第n-1行与第n-2行实心圆点个数之和.
（2）由（1）可得数列{a n }为0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，…，∴第11行实心圆点的个数就是该数列的第11项55.
【方法技巧】解决“生成”数列的方法
解决生成数列的关键在于抓住该数列的生成规律，一方面可以通过不完全归纳法来猜想结论，另一方面也可以通过第n 项与第n-1项的关系来分析与处理.此类问题是高考的热点.
【变式备选】将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的0-1三角数表.从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n 次全行的数都为1的是第几行？
第1行 1 1 第2行 1 0 1 第3行 1 1 1 1 第4行 1 0 0 0 1 第5行 1 1 0 0 1 1 … … … … … …
【解析】杨辉三角中某行全为奇数时转换后此行才都为1，由数阵可得，全行的数都为1分别是第1，3，
7，15，…行，由此可猜想第n 次全行的数都为1的是第2n
-1行. 9.【解析】有以下结论：
（1）三个侧面OAB 、OAC 、OBC 两两垂直 （2）
2222
1111OH OA OB OC
=++（H 为△ABC 的垂心） （3）S 2
△OAB +S 2
△OAC +S 2
△OBC =S 2
△ABC 以下给出具体的证明：
（1）∵OA ⊥OC,OB ⊥OC,OA ∩OB=O ， ∴OC ⊥平面OAB ，
∴平面OAC ⊥平面OAB ，平面OBC ⊥平面OAB ，同理可证平面OBC ⊥平面OA C. （2）如图连接AH ，并延长AH 交BC 于D ，连接OD ， ∵OA ⊥平面OBC ，∴OA ⊥OD ，
在Rt △AOD 中，∵OH ⊥AD ， ∴OH ·AD=OA ·OD ，
∴OH 2·AD 2=OA 2·OD 2
，
又∵AD 2=OA 2+OD 2
， ∴
222
111
OH OA OD
=+ ①， ∵AD ⊥BC ，由三垂线定理得：BC ⊥OD ，
∴在Rt △OBC 中，OD 2·BC 2=BO 2·CO 2
，
∴22
2
2
BO CO OD BC =g ，
又∵BC 2=BO 2+CO 2
， ∴
222
111
OD BO CO =+
② 由①②得：
2222
1111.OH OA OB OC
=++ （3）令OA=a,OB=b,OC=c ， ∵H 为垂心，∴AD ⊥BC ， 又∵OA 、OB 、OC 两两垂直，
∴S △OAB =
12ab,S △OBC =1
2bc, S △OAC =12ac,S △ABC =1
2
BC ·AD,
∴S △OAB 2 +S △OAC 2 + S △OBC 2 =14
（a 2b 2+a 2c 2+b 2c 2
）
=14a 2(b 2+c 2)+14
b 2
c 2
.① 又∵在Rt △BOC 中，OD ⊥BC ， ∴OB 2·OC 2=b 2c 2=OD 2·BC 2=OD 2·(b 2+c 2
).② ∴②代入①得：S △OAB 2
+S △OBC 2
+S △OAC 2
=
14（b 2+c 2）·AD 2=14
BC 2·AD 2=S △ABC 2
. 【方法技巧】解此类问题的技巧
（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想），在由平面图形的性质向空间物体的性质进行类比时，常用的思路.如表：
平面中 点 线 面 空间中
线
面
体
【探究创新】 【解析】（1）()n n(n 1)
S 5n 2n n 4;2
-=+
⨯=+ (2)T n =n(2a n -5)=n ［2(2n+3)-5］=4n 2
+n. ∴S 1=5,S 2=12,S 3=21,S 4=32,S 5=45,
T1=5,T2=18,T3=39,T4=68,T5=105.
由此可知S1=T1，当5≥n≥2（n∈N*）时，S n<T n, 猜想，当n≥2,n∈N*时，S n<T n.。