ARMA模型的自相关函数和偏自相关函数图谱
第3章 平稳线性ARMA模型(3)--MA模型和ARMA模型
16 25 25 16
t2 t2
7
MA模型的自相关系数截尾
•
（1） x t t 2 t 1
（ 2） x t t 0 .5 t 1
•
8
MA模型的自相关系数截尾
（ 3） x t t 4
•
5
t 1
16
25
t2
（ 4） x t t
( 1) n 1k , k 3 n 或 3 n 1 • 逆函数 I , n 0 ,1, k 0, k 3n 2
• 逆转形式
t
( 1) 0 . 8
n
3n
xt 3n
n0
( 1) 0 . 8
n
3 n 1
x t 3 n 1
19
t 1 t 1
16 25 25 16
t2 t2
17
(1)—(2)
• x • • 逆函数
t
x t t 2 t 1 2 1 不可逆
t
0 . 5 t 1 0 . 5 1 可逆
1 Ik k 0 .5 , k 1
• 常数均值
Ex t E （ t 1 t 1 2 t 2 q t q）
• 常数方差
Var ( x t ) Var ( t 1 t 1 2 t 2 q t q ) (1 1 q )
13
•
x t t
可逆MA(1)模型
t 1
Hale Waihona Puke • 12
第三章ARMA模型的特性
(1) G j是前j个时间单位以前进入系统的扰动at j对系统现在行 为(响应)影响的权数。
(2)
G
客观地刻画了系统动态响应衰减的快慢程度。
j
(3)
G
是系统动态的真实描述。系统的动态性就是蕴含在时间
j
序列中的数据依存关系。
(4) 格林函数所描述的动态性完全取决于系统参数.
17
三、根据格林函数形成系统响应(时间序列)
说明：常系数非齐次线性差分方程的特解的求法与微分方程类 似。
10
x(t 2) x(t 1) 2x(t) 12
例3-3 求下列线性差分方程的通解和特解 。
（1） x(t) 5x(t 1) 4x(t 2) 0
（2） x(t 2) x(t 1) 2x(t) 12，x(0) 0, x(1) 1
解：（1）特征方程：2 5 4 0，特征根： 1 4，2 1，
齐次方程的通解：
x(t) C1 (4)t C2 (1)t
11
x(t 2) x(t 1) 2x(t) 12
（2） x(t 2) x(t 1) 2x(t) 12，x(0) 0, x(1) 1
x(t) 2t 4 C2t
x(t) C1 C2t C3 cos( 2 t) C4 sin( 2 t)
13
二、AR(1)系统的格林函数
格林函数就是描述系统记忆扰动程度的函数。AR(1)模型为
X t 1 X t1 at
由于在动态条件下，
（3.4）
X t1 1 X t2 at1 X t 1 (1 X t2 at1 ) at 12 X t2 1at1 at X t2 1 X t3 at2
第3章 平稳线性ARMA模型(1)--随机过程的基本概念
标准正态白噪声序列时序图
白噪声序列的性质
• 纯随机性
(k) 0，k 0
• 各序列值之间没有任何相关关系，即为 “没有记忆 ”的序列
• 方差齐性
DX t (0) 2
• 接受原假设
12 (m)分位点，或该统计 • 当检验统计量小于
量的P值大于 时，则认为在 1 的置信水 平下无法拒绝原假设，即不能显著拒绝序列 为纯随机序列的假定
例3.4：
标准正态白噪声序列纯随机性检验
样本自相关图
检验结果
延迟
QLB 统计量检验
QLB
统计量值
2.36 5.35
• 检验1949年——1998年北京市每年最高气温序列的平 稳性
例3.1时序图
例3.1自相关图
例3.2时序图
例3.2 自相关图
例3.3时序图
例3.3自相关图
• 纯随机序列的定义 • 纯随机性的性质 • 纯随机性检验
3.2 纯随机性检验
纯随机序列的定义
• 纯随机序列也称为白噪声序列，它满足如 下两条性质 (1) EX t , t T
该性质用自相关系数来描述就是随着延迟期数的增加平稳序列的自相关系数会很快地衰减向零例题检验1962年1月1975年12月平均每头奶牛月产奶量序列的平稳性例31时序图例31自相关图例32时序图例32自相关图例33时序图例33自相关图32纯随机性检验纯随机性检验纯随机序列的定义纯随机序列也称为白噪声序列它满足如下两条性质标准正态白噪声序列时序图白噪声序列的性质各序列值之间没有任何相关关系即为没有记忆的序列根据马尔可夫定理只有方差齐性假定成立时用最小二乘法得到的未知参数估计值才是准确的有效的dx纯随机性检验判别原则barlett定理如果一个时间序列是纯随机的得到一个观察期数为的观察序列那么该序列的延迟非零期的样本自相关系数将近似服从均值为零方差为序列观察期数倒数的正态分布原假设
计量学-ARMA模型的自相关函数(1)
（1）AR(p)模型的自相关函数是拖尾的，即会按
指数衰减，或正弦振荡衰减，偏自相关函数是
截尾的，截尾处为自回归阶数p； （2）MA(q)模型的自相关函数是截尾的，截尾处
对应移动平均阶数q。偏自相关函数则是拖尾
的；
11
（3）ARMA(p,q)模型的自相关函数和偏自
相关函数都是拖尾的，自相关函数是 q p 步拖尾，偏自相关函数是 p q 步拖尾。
12
2、样本自相关函数和样本偏自相关函数
假设有一组观测样本 Y1,,Yn ，一般认为 近似自相关函数最好的样本自相关函数
为：
ˆk
ˆk ˆ0
其中
n
(Yt Y )2
n
(Yt Y )(Ytk Y )
ˆ0 t1 n
, ˆk t 1
n
13
计算样本偏自相关函数（SPACF）的方法： 直接把样本自相关值代入尤勒——沃克方 程进行计算，或者用公式
若q p 0 ，就会有 q p 1 个初始值 0, 1,, q p 不遵从一般的衰减变化形式。
ARMA(p,q)的自相关函数是 q p 步拖尾
的。这一事实在识别ARMA模型时也非常 有用。
2
ARMA(1,1)过程 Yt 1Yt1 t 1t1
1
(1 11)(1 1) 1 12 211
程的联立方程组。
17
如果可以从这个方程组解出 ˆ1,ˆq和 ，
就是ˆ2我们要求的参数估计值。 也可以先解出真实参数与自协方差、自
相关的关系，再代入样本估计值。 因为 k是时间序列过程的二阶矩，上述
估计量是通过q+1个样本矩方程求出的， 所以是矩估计量，具有一致估计的性质。
18
q=1时的参数估计
第三讲 ARMA模型
累计脉冲响应函数：
y t +j t
+
y t +j t +1
+
y t +j t +2
+
+
y t +j t +j
= j + j -1 + j -2 +
+ +1
以此衡量随机扰动因素如果出现永久性变化后，即 t，t +1， ，t +j 都变化一个单位，对yt 造成的影响和冲击。 练习：建立年度（1951~1983）数据文件，导入book1 中数据x。利用Eviews创建一个程序，尝试生成不同的yt序 列，还可尝试绘制出脉冲响应函数图： smpl @first @first series x=0 smpl @first+1 @last series x=0.7*x(-1)+0.8*nrnd（正态分布） 该程序是用一阶差分方程生成一个x序列，初始值设定 为0，扰动项设定为服从均值为0，标准差为0.8的正态分布。
可以想象，如果按一定规则的数据 生成过程生成足够多的观测序列（比如 1万次或10万次），然后再求样本均值， 应该可以得到较高精度的结果，从而尽 量捕捉真实过程的特性。
该思想与计量经济学的另一重要概 念不谋而合，即蒙特卡洛模拟。
27
（2）AR (p) 序列的自相关和偏自相关：
●φk截尾性：AR(p)为p阶截尾。
例4：季度数据文件：1979:1~1999:2，调入book8中1个数据y。 同样，输入序列名y，滞后期取20。可得自相关图：
可见：自相关程度缓慢减弱。而偏自相关相邻两项相关程度很高。
14
例5：建月度文件：1972:01~1982:12，调入book18 的y（汗衫背心零售 量），滞后期36。自相关图为： 从自相关函数看： 12、24、36很大，即相 同月份有很强季节性，无明 显趋势。 从偏自相关函数看， k=1时一样，k=2时“自”和 “偏”自相关差距很大。
ARMA模型
ARMA 模型（一）模型的引进AR ：011t t k t k t Y Y Y βββε--=++++ （注意：如果假设t Y 的均值为零，0β可以不写）如果序列在其均值附近波动：t 可用： 12...TT Y Y Y F Y T+++==来预测1T F +，1211 (1)T T Y Y Y F T +++++=+来预测2T F +，等等。
事实上，新的信息更能反映未来，远离现在的数据对未来的影响应该变小。
所以，按照这样一种想法，改用移动平均）。
121212111111 (11)()()TT T T T T T T T Y Y Y F Y T Y Y F Y T F Y Y F Y F T T+++++++++++==++===+-≈+- 那么，1T Y +是实际值，1T F +是上一期的预测值，所以11()T T Y F ++-是误差，即1T e +。
可见，下一期的预测值是用前一期的预测值的基础上，加上修正误差。
实际上它是跟踪数据的变化，这就是移动平均提供的一个非常好的思想！当然，也有问题，就是滞后，前后两期的误差是否一样是需要考虑的。
以此类推，继续将1T F +写成T 时刻的预测值和T 时刻的误差修正之和，如此递推下去，就可将t Y 用不同滞后期的误差项表示：即MA ：11t t t k t k Y e e e μαα--=++++ （一定平稳！）。
而ARMA 模型为：01111t t p t p t t q t q Y Y Y e e e βββαα----=+++++++对时间序列的分析的一种重要工具——自相关。
注意：移动平均可平滑数据，消除周期变动和不规则变动的影响，使长期趋势显示出来。
（二）方法性工具自相关系数只是序列逐项之间的一种简单相关，它和x 和y 之间的简单相关系数实际上是一样的。
1.自相关函数：k γ当序列t Y 完全随机时，它的自相关系数理论上为零，没有任何自相关，但是我们不可能穷尽这个总体，所以，我们只能用它的样本数据来算，当使用样本数据来算的时候可能不是零，比如说0.008、0.007或者负的0.008、0.007。
平稳时间序列分析-ARMA模型
1 0 1 2
所以，平稳AR(2)模型的协方差函数递推公式为
0
1 2 (1 2 )(1 1 2 )(1 1
2
)
2
1
1 0 1 2
k
1 k1 2 k2，k
2
4、自相关系数
（1）自相关系数的定义：
k
k 0
特别
0 1
（2）平稳AR(P)模型的自相关系数递推公式：
k 1k 1 2 k 2 p k p
例3.5:— (3)xt xt1 0.5xt2 t
自相关系数呈现出“伪周期”性
例3.5:— (4)xt xt1 0.5xt2 t
自相关系数不规则衰减
6、偏自相关函数
自相关函数ACF(k)给出了Xt与Xt-k的总体 相关性，但总体相关性可能掩盖了变量间完全 不同的相关关系。
例如，在AR(1) 中，Xt与Xt-2间有相关性可 能主要是由于它们各自与Xt-1间的相关性带来 的:
对于非中心化序列
xt 0 1xt1 2 xt2
p xt p t
作变换
1 1
0
p
yt xt
则原序列即化为中心化序列
yt 1 yt1 2 yt2 p yt p t
所以，以后我们重点讨论中心化时间序列。
AR模型的算子表示
令 (B) 11B 2B2 p B p
则 AR( p) 模型可表示为
平稳AR(1)模型的传递形式为
xt
t 1 1B
i0
(1B)i t
1i ti
i0
Green函数为 Gj 1 j , j 0,1,
平稳AR(1)模型的方差为
Var(xt )
G2jVar(t )
j0
ARMA模型的定阶与参数估计的一种方法
ARMA模型的定阶与参数估计的一种方法ARMA（AutoRegressive Moving Average）模型是一种经典的时间序列分析方法，常用于对随时间变化的数据进行建模和预测。
ARMA模型的定阶和参数估计是在建立模型时非常关键的步骤。
下面将介绍一种常用的方法，自相关函数（ACF）和偏自相关函数（PACF）分析法，来确定ARMA模型的阶数，并通过最大似然估计法来估计模型的参数。
首先，我们需要观察原始时间序列数据的自相关系数函数（ACF）和偏自相关系数函数（PACF）的图形，以找到最适合的AR和MA的阶数。
自相关函数（ACF）是观察时间序列与其滞后版本之间的线性相关性，而偏自相关函数（PACF）是在控制了其他滞后版本的影响后，独立测量时间序列与其滞后版本之间的相关性。
这些函数的图形能够提供一些信息，帮助我们确定ARMA模型的阶数。
首先，我们可以绘制时间序列的自相关函数（ACF）图。
在这个图上，我们将研究滞后版本的自相关系数是否显著不为零。
如果滞后版本的自相关系数在几个滞后版本中都显著不为零，那么这可以指示AR部分的阶数。
接下来，我们可以绘制时间序列的偏自相关函数（PACF）图。
在这个图上，我们将研究滞后版本的偏自相关系数是否显著不为零。
如果滞后版本的偏自相关系数在几个滞后版本中都显著不为零，那么这可以指示MA部分的阶数。
通过观察ACF和PACF图，我们可以通过比较自相关系数和偏自相关系数的大小以及其显著性，找出最适合的AR和MA的阶数。
例如，如果自相关函数（ACF）在滞后版本1处有显著不为零的值，而其余滞后版本的自相关系数均接近于0，那么我们可以选择AR（1）模型。
如果偏自相关函数（PACF）在滞后版本1处有显著不为零的值，而其余滞后版本的偏自相关系数均接近于0，那么我们可以选择MA（1）模型。
一旦我们确定了AR和MA的阶数，我们可以使用参数估计方法估计ARMA模型的参数。
一个常用的参数估计方法是最大似然估计法（MLE）。
自相关函数与偏自相关函数
自相关函数与偏自相关函数上一节介绍了随机过程的几种模型。
实际中单凭对时间序列的观察很难确定其属于哪一种模型，而自相关函数和偏自相关函数是分析随机过程和识别模型的有力工具。
1、自相关函数定义在给出自相关函数定义之前先介绍自协方差函数概念。
由第一节知随机过程{t x }中的每一个元素t x ，t = 1, 2, … 都是随机变量。
对于平稳的随机过程，其期望为常数，用μ表示，即()t E x μ=，1,2,t=随机过程的取值将以 μ 为中心上下变动。
平稳随机过程的方差也是一个常量2()t xVar x σ=，1,2,t=2x σ用来度量随机过程取值对其均值μ的离散程度。
相隔k 期的两个随机变量t x 与t k x -的协方差即滞后k 期的自协方差，定义为：(,)[()()]k t t k t t k Cov x x E x x γμμ--==--自协方差序列：k γ，0,1,2,k=称为随机过程{t x }的自协方差函数。
当k = 0 时，20()t x Var x γσ==。
自相关系数定义：k ρ=因为对于一个平稳过程有：2()()t t k x Var x Var x σ-==所以220(,)t t k k kk x x Cov x x γγρσσγ-===，当 k = 0 时，有01ρ=。
以滞后期k 为变量的自相关系数列k ρ（0,1,2,k =）称为自相关函数。
因为k k ρρ-=，即(,)t k t Cov x x -= (,)t t k Cov x x +，自相关函数是零对称的，所以实际研究中只给出自相关函数的正半部分即可。
2、自回归过程的自相关函数 （1）平稳AR(1)过程的自相关函数 AR(1) 过程：11t t t x x u φ-=+，|φ1| < 1。
已知()0t E x =（why?）。
用t k x -同乘上式两侧t x t k x -11t t k t t k x x u x φ---=+上式两侧同取期望：k γ11k φγ-=其中()0t t k E u x -=（why?）（由于x t = u t + φ1 u t -1 + φ12u t -2 +… ，所以x t-k = u t-k + φ1u t-k-1 + φ12 u t-k-2 +…，而u t 是白噪音与其t - k 期及以前各项都不相关）。
ARIMA
此时差分后的时间序列平稳许多。 绘制相应的 ACF 与 PACF 图，如下：
可以发现，该序列的 ACF 与 PACF 图并没有相对清晰的特点，金融数据一般都 具有这样的特性。笔者进行了多种阶数与步数的差分，效果均不佳，因此，为了 防止过差分，1 阶 12 步差分是一种相对较好的选取方式。以下，我们拟选取 ARIMA(1,1,1)(0,1,0) 12 、ARIMA(1,1,0)(0,1,0) 12 与 ARIMA(0,1,1)(0,1,0) 12 三种模型
N k
m
m
et et1
N rk (e)]2 N rk2 (e) N ( t1
k 1
k 1
et2
)2
LM 检验： LM nR2
AR
^
模型预测：W
(L)
^
1 Wk
(L)
2
^
Wk
(L
2)
p
1
^
Wk
(L
p
1)
p
^
W
k
(L
p)
置信区间：
UPPER : LOWER
^
^
Yk (UL) Wk (L) TV (L)Se
t 1
r1, k 1
k 1
偏自相关系数： kk
rk
k 1, j rk j
j 1
k 1
,k
2,3,
1
k 1, j rj
j 1
p 阶差分： p xt p1xt p1xt1
k 步差分（季节差分）： k xt xt xtk
自回归模型：(B)Yt et ，自相关函数拖尾，偏自相关函数截尾
移动平均模型： Yt (B)et ，自相关函数截尾，偏自相关函数拖尾 AR 模型与 MA 模型具有对偶性：相互表示；自相关与偏自相关；平稳与可逆 ARMA 模型：(B)Yt (B)et ，自相关函数与偏自相关函数均拖尾
ARMA模型ppt课件
k
k 1, j k j
j 1
k 1
1 k 1, j j
j 1
k 1 k 2,3,
k 其中 k 是滞后 期的自相关系数，
kj k1, j kkk1,k j , j 1, 2, , k 1
9
1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介
【1】式称为 p 阶自回归模型，记为AR（ p ）
注1：实参数 1,2 , , p 称为自回归系数，是待估参数.
随机项 ut 是相互独立的白噪声序列，且服从均值为0、
方差为 2 的正态分布.随机项与滞后变量不相关。
注2：一般假定
Xt
均值为0，否则令
X
t
Xt
3
1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介
【6】
注4：ARMA过程的平稳条件是滞后多项式 (B) 的根均在单位圆外
可逆条件是滞后多项式 (B) 的根都在单位圆外 7
1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介
二、随机时间序列的特性分析
1、时序特性的研究工具 （1）自相关 构成时间序列的每个序列值 Xt , Xt1, Xt2, , Xtk 之间的简单
的根均在单位圆外，即 (B) 0 的根大于1
4
1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介 2、移动平均【MA】模型
移动平均序列 Xt：
如果时间序列 X t 是它的当期和前期的随机误差
项的线性函数，即可表示为
X t ut 1ut1 2ut2 qutq 【3】
式【3】称为 q阶移动平均模型，记为MA（ q ）
ARMA模型
截尾性、拖尾性图示
判断ARMA(p,q)的阶
• 通过试验确定ARMA模型的阶数(p,q)：试取一组 (p,q)进行拟合估计(一般取(偏)自相关数明显非零 的延时期数k做p、q)，计算出残差序列，检验残 差是否为白噪声，若非白噪声仍有自相关性,则换 一组(p,q)继续试验。 • 另一种确定ARMA模型的阶数(p,q)的方法是：若 序列非AR(p)、MA(q)情况,则用AR(1)拟合序列{yt }, 再考察其残差序列的样本自相关函数是否截尾， 若q1步截尾,则模型为ARMA(1,q1),否则,再用AR(2) 拟合序列{yt},考察其残差序列的样本自相关函数 是否截尾,若q2步截尾,则模型为ARMA(2,q2);否则, 再继续增大p,重复上述的做法,直至残差序列的样 本自相关函数截尾为止。
ˆ t (k ) , k 1 y ˆ t (k ) 式中：y yt k , k 0
预测的置信区间
• 对于ARMA(p,q)模型，我们可以得到yt+l预测 的95%的置信区间: yt(l)1.96*se(l), 式中se(l)是误差标准差 .
R程序—预测
• • • • • • • • ufore = predict(usol, n.ahead =6) #预测未来6期 U = ufore$pred+1.96*ufore$se #算出95%置信上限 L = ufore$pred-1.96*ufore$se #算出95%置信下限 #下面作时序图,含原序列、拟合值预测值序列、95%置信区间 uuf=ts(c(u-usol$residuals,ufore$pred)) # 合并拟合值与预测值 ts.plot(u,uuf,col=1:2) # 画原序列、拟合值预测值序列时序图 lines(U, col="blue", lty="dashed") #在图中补充95%置信上限 lines(L, col="blue", lty="dashed") #在图中补充95%置信下限
时间序列分析第四章ARMA模型的特性 王振龙第二版
j 0
C11j C22j Cnnj at j
j 0
从上式可看出： I.若对所有i(i=1,2…n)都有| λ i |<1(即特征根全在单位圆内), 则系统是渐进稳定的,从而是平稳的； II.若至少有一个i(i=1,2…n)使得| λ i |>1(即特征根全在单位圆 外),则系统是不稳定的,从而是非平稳的； III.若| λ i |≤1 (i=1,2…n)且至少有一个取等号,则系统是临界 稳定的,从而可能平稳也可能不平稳。
= 1.1
X
= -1.1
24 20 20 16 15 12 8 4 0 -4 25 50 75 10 5 0 -5 -10 100 125 150-15 175 200 225 250 X -20 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 X
=1
= -1 AR(1)模型的平稳性条件？
X t 1 X t 1 2 X t 2 at 1at 1
2
采用后移算子 ，上式等价为：
或 令
(1 1 B 2 B ) (1 1B) G j B
2 1
(1 1 B 2 B ) X t (1 1B)at 2 1 X t (1 1 B 2 B ) (1 1B)at
ARMA(n,m)模型的后移算子表达式为：
其中：
(B) 1 1B 2 B n B
2
( B) X t ( B)at
n
(B) 1 1B 2 B2 m Bm
设(B)所对应的特征方程的特征根分别为： λ i ，i=1,2,…,n， 于是 从而
arma模型的自相关函数
arma模型的自相关函数ARMA模型是一种常用的时间序列模型，用于描述随时间推移的随机变量序列。
ARMA模型由自回归部分和移动平均部分构成，包含AR(p)模型和MA(q)模型。
在ARMA模型的建模和分析中，自相关函数(ACF)和偏自相关函数(PACF)是非常重要的工具。
自相关函数是指某个时间序列在时间上不同点上的观测值之间的相关性度量。
在ARMA 模型中，自相关函数用来判断时间序列是否具有自回归性，并用于确定AR(p)模型中的p 值。
ACF函数的定义如下：$ACF_k = \frac{\sum_{t=k+1}^n (Y_t - \bar{Y})(Y_{t-k}-\bar{Y})}{\sum_{t=1}^n (Y_t-\bar{Y})^2}$其中，$k$表示时间序列上的滞后，$Y_t$表示时间序列在时刻$t$的观测值，$n$表示样本容量，$\bar{Y}$为样本均值。
ACF函数的值在$[-1,1]$之间，表示时间序列在滞后为$k$时的相关性水平，如果$ACF_k$的值越接近1，则表示时间序列在滞后为$k$时具有较强的正自相关性；如果$ACF_k$的值越接近-1，则表示时间序列在滞后为$k$时具有较强的负自相关性；如果$ACF_k$的值接近于0，则说明时间序列在滞后为$k$时不存在明显的自相关性。
在ARMA模型的建模中，通常通过绘制ACF函数的图像来判断时间序列的自回归阶数$p$。
如果ACF函数在滞后为$p$时截尾，则说明AR(p)模型是合适的；如果ACF函数在滞后为$q$时截尾，则说明MA(q)模型是合适的；如果ACF函数在滞后为$p$和$q$时都截尾，则说明ARMA(p,q)模型是合适的。
ARMA模型的偏自相关函数(PACF)是另一个很重要的工具。
定义如下：PACF函数用于计算$k$期滞后时，剔除滞后为$1,2,...k-1$后，$k$期滞后对当前观测值$Y_t$的影响程度。
在ARMA模型中，PACF函数用于判断自回归系数的大小，如果PACF函数在滞后为$p$时截尾，则说明时间序列在滞后$p$时自相关系数是显著的；如果PACF函数在滞后为$q$时截尾，则说明时间序列在滞后$q$时移动平均系数是显著的。
ARMA模型以及ARIMA模型建模(高教知识)
估计精度差
通常矩估计方法被用作极大似然估计和最小二 乘估计迭代计算的初始值
全面分析
10
极大似然估计
原理
在极大似然准则下，认为样本来自使该样本 出现概率最大的总体。因此未知参数的极大 似然估计就是使得似然函数（即联合密度函 数）达到最大的参数值
42
例3.9:全球气表平均温度改变值预测
全面分析
43
模型优化
问题提出
当一个拟合模型通过了检验，说明在一定的 置信水平下，该模型能有效地拟合观察值序 列的波动，但这种有效模型并不是唯一的。
优化的目的
选择相对最优模型
全面分析
44
例3.13:拟合某一化学序列
全面分析
45
序列自相关图
全面分析
,n
Quenouille
ˆkk
~
N (0, 1) n
,n
全面分析
6
模型定阶经验方法
95％的置信区间
Pr
2 n
ˆk
2 n
0.95
Pr
2 n
ˆkk
2 n
0.95
模型定阶的经验方法
如果样本(偏)自相关系数在最初的d阶明显大于两倍 标准差范围，而后几乎95％的自相关系数都落在2
倍标准差的范围以内，而且通常由非零自相关系数
偏自相关图显示除了延迟1阶的偏自相关系数显著 大于2倍标准差之外，其它的偏自相关系数都在2 倍标准差范围内作小值随机波动，而且由非零相 关系数衰减为小值波动的过程非常突然，所以该 偏自相关系数可视为一阶截尾
所以可以考虑拟合模型为AR(1)
全面分析
25
例2.5续
第四章线性ARMA模型_2
l 1 l 1 2 l 2 p l p
l 1 2,3, ,
练习题
1. 2. 3. 3. 4. P59 4.6, P59 4.8 , P60 4.15, P60 4.18, P60 4.22
(1 1 B 2 B 2 ) l 0
其中，B是向后推移（延迟，滞后）算子，即 B l l 1 有时用L表示延迟算子，如
Lrt rt 1
滞后算子
滞后算子(Lag operators)或延迟算子 （Backshift） 滞后算子，用L表示。有的书上称为延迟 算子，用B表示 LYt=Yt-1
（4.3-1）
2 0 var(rt ) 1 12 因方差非负，要求 12 1
（4.3-1）定义的AR（1）模型是平稳的充分必要条件是
注意到 t 与 rt 1 独立，
0 E (rt ) 1 1
（4.3-2）
| 1 | 1
rt l
AR(1)模型的自相关函数 两步乘以rt l 导致：
注意到滞后算子的等式
(1 L ... p Lp )(1 L) 1 p1 L
如果用“1”表示恒等算子，有
lim (1 L ... p Lp )(1 L) lim (1 p 1L) 1,
p p
其中 | | 1. 记： (1 L) 1 lim (1 L ... p Lp )
p
因此得到了逆算子的表达式，这类似于以滞后变量 为变量的函数表达式。在形式上逆算子可以表达为
(1 L) 1 j L j
j 1
与前面的差分方程对应的是二次(特征)多项式
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（1 > 0，1 > 0，2 >0） ARMA（2，2） k=1, 2 有两个峰值然后按指数或正弦
0.6 0.4 0.2 0.0 -0. 2 -0. 4 -0. 6 2 4 6 8 10 12 14
（1 > 0，1 > 0，2 > 0） k=1, 2 有两个峰值然后按指数或正弦 衰减
0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 -0. 2 -0. 4 -0. 6 -0. 8 2 4 6 8 10 12 14
0. 8 0. 6 0. 4 0. 2 0. 0 -0. 2 -0. 4 -0. 6 -0. 8 2 4 6 8 10 12 14
（1 > 0，2 < 0，1 > 0） ARMA（1，2） xt = 1 xt-1+ ut + 1 ut-1+ 2 ut-2 k=1, 2 有两个峰值然后按指数衰减
若1 < 0，k=1 时有负峰值然后截尾 若1 < 0，负的平滑式指数衰减
0. 8
0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 -0. 2 -0. 4 -0. 6 -0. 8 2 4 6 8 10 12 14
0. 6 0. 4 0. 2 0. 0 -0. 2 -0. 4 -0. 6 -0. 8 2 4 6 8 10 12 14
若1 < 0，正负交替地指数衰减
0. 8 0. 6 0. 4 0. 2 0. 0 -0. 2 -0. 4 -0. 6 -0. 8 2 4 6 8 10 12 14
若11 < 0，k=1 时有负峰值然后截尾
0. 8 0. 6 0. 4 0. 2 0. 0 -0. 2 -0. 4 -0. 6 -0. 8 2 4 6 8 10 12 14
0. 8 0. 4
0. 0
-0. 4
-0. 8 2 4 6 8 10 12 14
（1 > 0，2 < 0，1 > 0，2 > 0）
（1 > 0，2 < 0，1 > 0，2 > 0）
下表给出了不同 ARMA 模型的自相关函数和偏自相关函数。当然一个过程的自相关函 数和偏自相关函数通常是未知的。 用样本得到的只是估计的自相关函数和偏自相关函数， 即 相关图和偏相关图。 建立 ARMA 模型， 时间序列的相关图与偏相关图可为识别模型参数 p, q 提供信息。相关图和偏相关图（估计的自相关系数和偏自相关系数）通常比真实的自相关系 数和偏自相关系数的方差要大，并表现为更高的自相关。实际中相关图，偏相关图的特征不 会像自相关函数与偏自相关函数那样“规范”，所以应该善于从相关图，偏相关图中识别出模 型的真实参数 p, q。另外，估计的模型形式不是唯一的，所以在模型识别阶段应多选择几种 模型形式，以供进一步选择。
（1 > 0，1 > 0，2 < 0）
1. 0 0. 8 0. 6 0. 4 0. 2 0. 0 -0. 2 -0. 4 -0. 6 -0. 8 2 4 6 8 10 12 14
（1 > 0，1 > 0，2 < 0）
1. 0 0. 8 0. 6 0. 4 0. 2 0. 0 -0. 2 -0. 4 -0. 6 -0. 8 2 4 6 8 10 12 14
（1 > 0，1 < 0） ARMA（2，1） xt = 1 xt-1+ 2 xt-2+ ut + 1 ut-1 k=1 有峰值然后按指数或正弦衰减
0. 8 0. 6 0. 4 0. 2 0. 0 -0. 2 -0. 4 -0. 6 -0. 8 2 4 6 8 10 12 14
（1 > 0，1 < 0） k=1, 2 有两个峰值然后按指数衰减
（1 > 0，2 < 0）
0. 8 0. 6 0. 4 0. 2 0. 0 -0. 2 -0. 4 -0. 6 -0. 8 2 4 6 8 10 12 14
（1 > 0，2 < 0）
0. 8 0. 6 0. 4 0. 2 0. 0 -0. 2 -0. 4 -0. 6 -0. 8 2 4 6 8 10 12 14
AR（1） xt = 1 xt-1 + ut
若1 > 0，平滑地指数衰减
0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 -0. 2 -0. 4 -0. 6 -0. 8 2 4 6 8 10 12 14
若11 > 0，k=1 时有正峰值然后截尾
0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 -0. 2 -0. 4 -0. 6 -0. 8 2 4 6 8 10 12 14
（1 > 0，2 > 0） ARMA（1，1） xt = 1 xt-1 + ut + 1 ut-1 k=1 有峰值然后按指数衰减
1. 0
（1 > 0，2 > 0） k=1 有峰值然后按指数衰减
1. 0
0. 5
0. 5
0. 0
0. 0
-0. 5
-0. 5
2
4
6
8
10
12
14
2
4
6
8
10
12
表 模 ARIMA(1,1,1) 型 ARIMA 过程与其自相关函数偏自相关函数特征 自相关函数特征 缓慢地线性衰减
1. 0
偏自相关函数特征
xt = 1 xt-1 + ut + 1ut-1
1. 0
0. 5
0. 5
0. 0
0. 0
-0. 5
-0. 5
-1. 0 2 4 6 8 10 12 14
MA（1） xt = ut + 1 ut-1
若1 > 0，k=1 时有正峰值然后截尾
0. 8 0. 6 0. 4 0. 2 0. 0 -0. 2 -0. 4 -0. 6 -0. 8 2 4 6 8 10 12 14
若1 > 0，交替式指数衰减
0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 -0. 2 -0. 4 -0. 6 -0. 8 2 4 6 8 10 12 14
（两个特征根为实根）
0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 -0. 2 -0. 4 -0. 6 -0. 8 2 4 6 8 10 12 14 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 -0. 2 -0. 4 -0. 6 -0. 8
（1 > 0，2 > 0）
2
4
6
8
10
12
14
（两个特征根为共轭复根） MA（2） xt = ut + 1 ut-1+ 2 ut-2 k=1, 2 有两个峰值然后截尾
14
（1 > 0，1 > 0）
（1 > 0，1 > 0）
0. 8 0. 6 0. 4 0. 2 0. 0 -0. 2 -0. 4 -0. 6 -0. 8 2 4 6 8 10 12 14
0. 8 0. 6 0. 4 0. 2 0. 0 -0. 2 -0. 4 -0. 6 -0. 8 2 4 6 8 10 12 14
0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 -0. 2 -0. 4 -0. 6 -0. 8 2 4 6 8 10 12 14
（1 > 0，2 < 0，1 > 0） k=1 有峰值然后按指数或正弦衰减
0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 -0. 2 -0. 4 -0. 6 -0. 8 2 4 6 8 10 12 14
xt=1xt-1+2xt-2+ ut +1ut-1+2ut-2 衰减
（1 > 0，2 < 0，1 > 0，2 < 0）
0. 8 0. 6 0. 4 0. 2 0. 0 -0. 2 -0. 4 -0. 6 -0. 8 2 4 6 8 10 12 14
（1 > 0，2 < 0，1 > 0，2 < 0）
0. 8 0. 6 0. 4 0. 2 0. 0 -0. 2 -0. 4 -0. 6 -0. 8 2 4 6 8 10 12 14
（1 > 0，2 < 0） 指数或正弦衰减
0. 8 0. 6 0. 4 0. 2 0. 0 -0. 2 -0. 4 -0. 6 -0. 8 2 4 6 8 10 12 14
AR（2） xt = 1 xt-1 + 2 xt-2 + ut
指数或正弦衰减
0. 8 0. 6 0. 4 0. 2 0. 0 -0. 2 -0. 4 -0. 6 -0. 8 2 4 6 8 10 12 14
k=1, 2 时有两个峰值然后截尾
0. 8 0. 6 0. 4 0. 2 0. 0 -0. 2 -0. 4 -0. 6 -0. 8 2 4 6 8 10 12 14