高中数学解不等式方法+练习题
不等式练习题及讲解高中答案
不等式练习题及讲解高中答案### 不等式练习题及讲解#### 一、基础不等式练习题1. 题目一:若 \( a, b, c \) 均为正数,证明不等式 \( a + b\geq 2\sqrt{ab} \) 成立。
2. 题目二:已知 \( x \) 和 \( y \) 均为实数,且 \( x^2 + y^2 = 1 \),求证 \( x + y \leq \sqrt{2} \)。
3. 题目三:若 \( a, b \) 均为正整数,证明 \( a^2 + b^2 \geq 2ab \)。
4. 题目四:对于任意实数 \( x \),证明 \( \frac{x^2}{2} +\frac{1}{2x^2} \geq 1 \)。
5. 题目五:若 \( x, y, z \) 均为正数,证明 \( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \geq \frac{9}{xy + yz + zx} \)。
#### 二、不等式练习题讲解题目一讲解:利用算术平均数-几何平均数不等式(AM-GM不等式):\[ a + b \geq 2\sqrt{ab} \]这是因为对于任意非负实数 \( a \) 和 \( b \),它们的算术平均数总是大于或等于它们的几何平均数。
题目二讲解:由于 \( x^2 + y^2 = 1 \),我们有 \( (x + y)^2 \leq 2(x^2 +y^2) = 2 \),从而 \( x + y \leq \sqrt{2} \)。
题目三讲解:同样使用AM-GM不等式:\[ a^2 + b^2 \geq 2\sqrt{a^2b^2} = 2ab \]当且仅当 \( a = b \) 时,等号成立。
题目四讲解:利用AM-GM不等式:\[ \frac{x^2}{2} + \frac{1}{2x^2} \geq 2\sqrt{\frac{x^2}{2}\cdot \frac{1}{2x^2}} = 1 \]等号成立条件是 \( x^2 = 1 \),即 \( x = \pm 1 \)。
高中数学《一元二次不等式的解法》习题(含解析)
解得 x 2 或 x 2 ,即不等式的解集为{x | x 2 或 x 2};
(2)设 t x 0 ,则不等式 2x x 1 ,可化为 2t 2 t 1 0 ,
解得 t 1或 t 1 (舍去),即 2
x 1 ,解得 x 1 ,即不等式的解集为 { x | x 1} .
所以
是
的真子集,
所以
或 ,解得
或
所以 的取值范围是 17.解下列不等式:
或.
(1) x4 x2 2 0 ;
(2) 2x x 1 . 【答案】(1){x | x 2 或 x 2};(2) { x | x 1} .
【解析】
(1)由题意,可得不等式 x4 x2 2 (x2 2)(x2 1) 0 ,解得 x2 2 ,
【解析】
3x2 x 2 0 , 即 (x 1)(3x 2) 0 ,
即 1 x 2 , 3
故 x 取值范围是 (1, 2) . 3
11.不等式
2x 1 x 1
3
的解集为_____________
【答案】 (4, 1)
【解析】
由题意,不等式
2x 1 x 1
3 ,即
2x 1 x 1
3
2x
1 3x x 1
x x
5 2
0},则
A
B
(
)
A.{x |1 x 2} B.{x |1 x 2} C.{x | 2 x 4} D.{x|2<x≤4}
【答案】D 【解析】
依题意 A 1, 4, B 2,5 ,故 A B 2, 4.
6.若不等式 ax2 x a 0 对一切实数 x 都成立,则实数 a 的取值范围为( )
当 m 1 0 时,即 m 1时,此时不等式 1 0 恒成立,满足题意; 当 m 1 0 时,即 m 1 时,则 [3(m 1)]2 4(m 1)(m) 0 ,即 (m 1)(13m 9) 0 , 解得 9 m 1;
高中数学《不等式的解法》习题(含解析)
8.设实数
满足
,则( )
A.
B.
C.
D.
【答案】C 【解析】 【分析】 根据不等式,举出符合要求的值,代入检验即可判断是否成立.或根据指数函数与对数函 数的图像和性质,判断是否成立. 【详解】
实数
满足
对于 A,当 以 A错误; 对于 B,当
时, 时,
,此时
,所
,此时
,所以 B错误;
对于 C,当
时,
,由幂函数
【答案】(1)证明见解析,
;(2)
. 【详解】
(1)由题意,数列 满足
,
可得
,
,即
,
,
所以 所以 又由
是以 2为公比,以
,
,
当
,
成立,
所以数列 的通项公式为
(2)由(1)可得
所以
为首项的等比数列,
. .
, .
试卷第 1页,总 3页
令 则 两式相减得
解得
,
, , ,
又由
,故
.
10.用清水漂洗衣服上残留的洗衣液,对用一定量的清水漂洗一次的效果作如下假定: 用 1个单位量的水可洗掉衣服上残留洗衣液质量的一般,用水越多漂洗效果越好,但总 还有洗衣液残留在衣服上.设用 单位量的清水漂洗一次后,衣服上残留的洗衣液质量
与本次漂洗前残留的洗衣液质量之比为函数
,其中 .
(1)试规定
的值,并解释其实际意义;
(2)根据假定写出函数
应该满足的条件和具有的性质,并写出满足假定的一个
指数函数;
(3)设函数
.现有 (
)单位量的清水,可供漂洗一次,也可以把
水平均分成 2份后先后漂洗两次,试确定哪种方式漂洗效果更好?并说明理由.
高一数学不等式练习题
高一数学不等式练习题在高中数学的学习中,不等式是基础而重要的概念之一,它在解决实际问题中有着广泛的应用。
以下是一些高一数学不等式的练习题,供同学们练习和巩固知识。
练习题一:解绝对值不等式1. 解不等式 |x - 3| < 2。
2. 解不等式|x + 4| ≥ 5。
练习题二:解一元一次不等式3. 解不等式 3x - 5 > 10。
4. 解不等式 -2x + 1 ≤ -4。
练习题三:解一元二次不等式5. 解不等式 x^2 - 4x + 3 > 0。
6. 解不等式 2x^2 + 5x - 3 ≤ 0。
练习题四:解含有分式的不等式7. 解不等式 \(\frac{x - 1}{x + 2} > 0\)。
8. 解不等式 \(\frac{2x - 3}{x^2 - 1} < 0\)。
练习题五:解含有根式的不等式9. 解不等式 \(\sqrt{x} - 2 < 0\)。
10. 解不等式 \(\sqrt{2x + 3} ≥ x\)。
练习题六:解含有指数和对数的不等式11. 解不等式 \(2^x > 8\)。
12. 解不等式 \(\log_2(x - 1) < 1\)。
练习题七:解不等式组13. 解不等式组:\[\begin{cases}x + 2 > 0 \\3 - 2x ≥ 4\end{cases}\]14. 解不等式组:\[\begin{cases}3x - 1 < 5x + 2 \\x^2 - 4x + 4 ≤ 0\end{cases}\]练习题八:应用题15. 某工厂需要生产一批零件,每件零件的成本为 \(c\) 元,售价为\(s\) 元。
若工厂希望每件零件的利润不低于 5 元,求 \(c\) 和\(s\) 之间的关系。
16. 某公司计划购买一批电脑,每台电脑的价格不超过 3000 元。
如果公司希望每台电脑的利润率不低于 20%,求电脑的最低进价。
高中数学必修5一元二次不等式及其解法精选题目(附答案)
高中数学必修5一元二次不等式及其解法精选题目(附答案)1.一元二次不等式我们把只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式,即形如ax2+bx+c>0(≥0)或ax2+bx+c<0(≤0)(其中a≠0)的不等式叫做一元二次不等式.2.一元二次不等式的解与解集使一元二次不等式成立的x的值,叫做这个一元二次不等式的解,其解的集合,称为这个一元二次不等式的解集.3.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系表题型一:一元二次不等式解法1.解下列不等式:(1)2x2+5x-3<0;(2)-3x2+6x≤2;(3)4x2+4x+1>0;(4)-x2+6x-10>0.题型二:三个“二次”关系的应用2.若不等式ax 2+bx +2>0的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪-12<x <13,则a +b 的值为( )A .14B .-10C .10D .-143.已知一元二次不等式x 2+px +q <0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪-12<x <13,求不等式qx 2+px +1>0的解集.题型三:解含参数的一元二次不等式4.解关于x 的不等式x 2+(1-a )x -a <0.巩固练习:1.不等式6x 2+x -2≤0的解集为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪-23≤x ≤12B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤-23或x ≥12 C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≥12D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤-23 2.设a <-1,则关于x 的不等式a (x -a )⎝ ⎛⎭⎪⎫x -1a <0的解集为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <a 或x >1a B .{x |x >a } C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >a 或x <1aD.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <1a 3.在R 上定义运算⊙:a ⊙b =ab +2a +b ,则满足x ⊙(x -2)<0的实数x 的取值范围为( )A .(0,2)B .(-2,1)C .(-∞,-2)∪(1,+∞)D .(-1,2)4.不等式mx 2-ax -1>0(m >0)的解集可能是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <-1或x >14 B .R C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪-13<x <32 D .∅5.函数y =17-6x -x 2的定义域为( )A .[-7,1]B .(-7,1)C .(-∞,-7]∪[1,+∞)D .(-∞,-7)∪(1,+∞)6.已知全集U =R ,A ={x |x 2-1≥0},则∁U A =________.7.若二次函数y =ax 2+bx +c (a <0)的图象与x 轴的两个交点为(-1,0)和(3,0),则不等式ax 2+bx +c <0的解集是________.8.已知函数f (x )=⎩⎨⎧x 2+2x ,x ≥0,-x 2+2x ,x <0.若f (a )≤3,则a 的取值范围是________.9.解关于x 的不等式x 2-3ax -18a 2>0. 10.若函数f (x )=2 018ax 2+2ax +2的定义域是R ,求实数a 的取值范围.参考答案:1.[解] (1)Δ=49>0,方程2x 2+5x -3=0的两根为x 1=-3,x 2=12, 作出函数y =2x 2+5x -3的图象,如图①所示.由图可得原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪-3<x <12.(2)原不等式等价于3x 2-6x +2≥0.Δ=12>0,解方程3x 2-6x +2=0,得x 1=3-33,x 2=3+33,作出函数y =3x 2-6x +2的图象,如图②所示,由图可得原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≤3-33或x ≥3+33. (3)∵Δ=0,∴方程4x 2+4x +1=0有两个相等的实根x 1=x 2=-12.作出函数y =4x 2+4x +1的图象如图所示.由图可得原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠-12,x ∈R.(4)原不等式可化为x 2-6x +10<0,∵Δ=-4<0, ∴方程x 2-6x +10=0无实根,∴原不等式的解集为∅. 2.解:由已知得,ax 2+bx +2=0的解为-12,13,且a <0. ∴⎩⎪⎨⎪⎧-b a =-12+13,2a =⎝ ⎛⎭⎪⎫-12×13,解得⎩⎨⎧a =-12,b =-2,∴a +b =-14.3.解:因为x 2+px +q <0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪-12<x <13,所以x 1=-12与x 2=13是方程x 2+px +q =0的两个实数根,由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧13-12=-p ,13×⎝ ⎛⎭⎪⎫-12=q ,解得⎩⎪⎨⎪⎧p =16,q =-16 .所以不等式qx 2+px +1>0即为-16x 2+16x +1>0,整理得x 2-x -6<0,解得-2<x <3.即不等式qx 2+px +1>0的解集为{x |-2<x <3}.4.[解] 方程x 2+(1-a )x -a =0的解为x 1=-1,x 2=a ,函数y =x 2+(1-a )x -a 的图象开口向上,则当a <-1时,原不等式解集为{x |a <x <-1};当a =-1时,原不等式解集为∅;当a >-1时,原不等式解集为{x |-1<x <a }. 5.设a ∈R ,解关于x 的不等式ax 2+(1-2a )x -2>0.5.解:(1)当a =0时, 不等式可化为x -2>0,解得x >2,即原不等式的解集为{x |x >2}.(2)当a ≠0时,方程ax 2+(1-2a )x -2=0的两根分别为2和-1a .①当a <-12时,解不等式得-1a <x <2,即原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪-1a <x <2;②当a =-12时,不等式无解,即原不等式的解集为∅;③当-12<a <0时,解不等式得2<x <-1a ,即原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2<x <-1a ; ④当a >0时,解不等式得x <-1a 或x >2,即原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <-1a 或x >2. 练习:1.解析:选A 因为6x 2+x -2≤0⇔(2x -1)·(3x +2)≤0,所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪-23≤x ≤12. 2.解析:选A ∵a <-1,∴a (x -a )·⎝ ⎛⎭⎪⎫x -1a <0⇔(x -a )·⎝ ⎛⎭⎪⎫x -1a >0.又a <-1,∴1a >a ,∴x >1a 或x <a .3.解析:选B 由a ⊙b =ab +2a +b ,得x ⊙(x -2)=x (x -2)+2x +x -2=x 2+x -2<0,所以-2<x <1.4.解析:选A 因为Δ=a 2+4m >0,所以函数y =mx 2-ax -1的图象与x 轴有两个交点,又m >0,所以原不等式的解集不可能是B 、C 、D ,故选A.5.解析:选B 由7-6x -x 2>0,得x 2+6x -7<0,即(x +7)(x -1)<0,所以-7<x <1,故选B.6.解析:∁U A ={x |x 2-1<0}={x |-1<x <1}. 答案:{x |-1<x <1}7.解析:根据二次函数的图象知所求不等式的解集为(-∞,-1)∪(3,+∞). 答案:(-∞,-1)∪(3,+∞)8.解析:当a ≥0时,a 2+2a ≤3,∴0≤a ≤1;当a <0时,-a 2+2a ≤3,∴a <0.综上所述,a 的取值范围是(-∞,1].9.解:将x 2-3ax -18a 2>0变形得(x -6a )(x +3a )>0, 方程(x -6a )(x +3a )=0的两根为6a ,-3a .所以当a >0时,6a >-3a ,原不等式的解集为{x |x <-3a 或x >6a };当a =0时,6a =-3a =0,原不等式的解集为{x |x ≠0}; 当a <0时,6a <-3a ,原不等式的解集为{x |x <6a 或x >-3a }. 10.解:因为f (x )的定义域为R ,所以不等式ax 2+2ax +2>0恒成立. (1)当a =0时,不等式为2>0,显然恒成立;(2)当a ≠0时,有⎩⎨⎧ a >0,Δ=4a 2-8a <0,即⎩⎨⎧a >0,0<a <2,所以0<a <2.综上可知,实数a 的取值范围是[0,2).。
高中不等式证明练习题及参考答案
高中不等式证明练习题及参考答案高中不等式证明练习题及参考答案不等式证明是可以作文练习题经常出现的,这类的练习题是的呢?下面就是店铺给大家整理的不等式证明练习题内容,希望大家喜欢。
不等式证明练习题解答(1/a+2/b+4/c)*1=(1/a+2/b+4/c)*(a+b+c)展开,得=1+2a/b+4a/c+b/a+2+4b/c+c/a+2c/b+4=7+2a/b+4a/c+b/a+4b/c+c/a+2c/b基本不等式,得>=19>=18用柯西不等式:(a+b+c)(1/a + 2/b + 4/c)≥(1+√2+2)^2=(3+√2)^2=11+6√2≥18楼上的,用基本不等式要考虑等号时候成立,而且如果你的式子里7+2a/b+4a/c+b/a+4b/c+c/a+2c/b直接用基本不等式得出的并不是≥18设ab=x,bc=y,ca=z则原不等式等价于:x^2+y^2+z^2>=xy+yz+zx<=>2(x^2+y^2+z^2)>=2(xy+yz+zx)<=>(x^2-2xy+y^2)+(y^2-2yz+z^2)+(z^2-2zx+x^2)>=0<=>(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2>=0含有绝对值的不等式练习。
1.实数x的不等式|x-|7|x+1|成立的前提条件是:x7x+7, -1-7x-7, x>-2,因此有:-20的解,∵a<0,不等式变形为x2+x-<0,它与不等式x2+x+<0比较系数得:a=-4,b=-9.函数y=arcsinx的定义域是 [-1, 1] ,值域是,函数y=arccosx的定义域是 [-1, 1] ,值域是[0, π] ,函数y=arctgx的定义域是 R ,值域是 .,函数y=arcctgx的定义域是 R ,值域是(0, π) .直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,来确定函数的值域。
高中数学不等式解法15种典型例题
c
= =
− + = − 1
1 = (− 1 )(−
− 1
1
),
,
a
∴ x2 + b x + a 0 ,即 x2 + (− 1 − 1 )x + (− 1 )(− 1 ) 0 , 即 (x − 1 )(x − 1 ) 0 . 又 0 ,∴ 1 1 ,
画数轴,找因式根,分区间,定符号. (x − 1)(x − 5) 符号 (x + 2)(x − 6)
解之,得原不等式的解集为{x −1 x 2或x 3}.
说明:此题易出现去分母得 x2 + 2x − 2 x(3 + 2x − x2 ) 的错误解法.避免误解的方法是移项使一边为0再解. 另外,在解题过程中,对出现的二项式要注意其是否有实根,以便分析不等式是否有解,从而使求解过程科学合理.
不等式解法 15 种典型例题
例 1 解不等式:(1) 2x3 − x2 −15x 0 ;(2) (x + 4)(x + 5)2 (2 − x)3 0 .
分析:如果多项式 f (x) 可分解为 n 个一次式的积,则一元高次不等式 f (x) 0(或 f (x) 0 )可用“穿根法”求解,
但要注意处理好有重根的情况. 解:(1)原不等式可化为
当 a 2 时,不等式组(1)无解,(2)的解是 x a . 2
) 综上可知,当 0 a 2 时,原不等式的解集是 a + 1 −
2a ,+
;当 a
2
时,原不等式的解集是
a 2
,+
.
说明:本题分类讨论标准“ 0 a 2 , a 2 ”是依据“已知 a 0 及(1)中‘ x a , x 1 ’,(2)中‘ x a , x 1 ’”
高三复习基本不等式练习题
高三复习基本不等式练习题不等式作为高中数学中的一个重要内容,占据了复习的重要一部分。
本文将提供一些基本不等式的练习题,供高三学生复习使用。
练习题1:解不等式组:{x+2>0, x-3<0}练习题2:求解不等式:(x+1)(x-3)<0练习题3:解不等式组:{x^2 - 4>0, x-1<0}练习题4:求解不等式:x^2 - 5x + 6>0练习题5:解不等式组:{x^2-4x+3>0, x^2+6x+8>0}练习题6:求解不等式:(x-2)(x+3)(x-7)<0练习题7:解不等式组:{x^3-9x^2+20x-12>0, x^2-4x+4>0}练习题8:求解不等式:(x-2)^2(x+4)>0练习题9:解不等式组:{x^3-x^2+4x-4>0, x^2 + 3x + 2>0}练习题10:求解不等式:(x-1)^3+8>0以上是关于高三复习基本不等式的一些练习题。
希望同学们能够认真思考,按照正确的解题步骤解答。
复习不等式时,应重点掌握不等式的基本性质和解不等式的方法,如辨别二次不等式的判别式、区间法等。
在解题过程中,也要注意进行化简和因式分解,以便于对不等式进行分类讨论。
基本不等式是高中数学中一个重要的内容,对于加深对不等式的理解和掌握不等式的解法有着重要的意义。
因此,同学们要多进行基本不等式的练习,理解和掌握不等式的性质和方法,为高考做好充分准备。
希望以上的练习题能够帮助到高三的同学们,祝大家能够在高三阶段取得优异的成绩!。
高中数学-绝对值不等式的解法练习
高中数学-绝对值不等式的解法练习一、选择题1.如果1x <2和|x |>13同时成立,那么实数x 的取值范围是( )A .⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫-13<x <12B .⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x >12或x <-13C .⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x >12D .⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x <-13,或x >13解析:解不等式1x <2,得x <0或x >12.解不等式|x |>13,得x >13或x <-13.∴实数x 的取值范围为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x >12或x <-13.答案:B2.不等式2<|2x +3|≤4的解集为( )A .⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫-72<x <-52或-12<x ≤12B .⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫-72<x <-52或-12<x <12C .⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫-72≤x <-52或-12<x ≤12D .⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫-72≤x ≤-52或-12<x ≤12解析:由2<|2x +3|≤4,可得2<2x +3≤4或 -4≤2x +3<-2.解得-12<x ≤12或-72≤x <-52.答案:C3.关于x 的不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪ax -1x >a 的解集为集合M ,且2∉M ,则实数a 的取值范围为( ) A .⎝ ⎛⎭⎪⎫14,+∞ B .⎣⎢⎡⎭⎪⎫14,+∞ C .⎝ ⎛⎭⎪⎫0,12 D .⎝ ⎛⎦⎥⎤0,12 解析:因为2∉M ,所以2∈∁R M .所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪2a -12≤a ,即-a ≤2a -12≤a .解得a ≥14.答案:B4.不等式|3-x |+|x +4|>8的解集是( )A .⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <-92 B .⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >72 C .⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <-92或x >72 D .R解析:|3-x |+|x +4|>8⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≤-4,3-x -x -4>8或⎩⎪⎨⎪⎧-4<x <3,3-x +x +4>8或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥3,x -3+x +4>8⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≤-4,-1-2x >8或⎩⎪⎨⎪⎧-4<x <3,7>8或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥3,2x >7.∴x <-92或x >72.∴原不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x <-92或x >72.答案:C 二、填空题5.若关于x 的不等式|ax -2|<3的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪-53<x <13,则a =________. 解析:由原不等式的解集,可知-53,13为原不等式对应的方程|ax -2|=3的根,即⎩⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪-53a -2=3,⎪⎪⎪⎪⎪⎪13a -2=3.解得a =-3. 答案:-36.已知函数f (x )=|2x -1|+x +3,若f (x )≤5,则实数x 的取值范围是________. 解析:由已知,有|2x -1|+x +3≤5,即|2x -1|≤2-x .所以x -2≤2x -1≤2-x ,即⎩⎪⎨⎪⎧2x -1≤2-x ,2x -1≥x -2,即⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1,x ≥-1.所以-1≤x ≤1.答案:[-1,1]三、解答题7.已知一次函数f (x )=ax -2. (1)当a =3时,解不等式|f (x )|<4; (2)解关于x 的不等式|f (x )|<4;(3)若关于x 的不等式|f (x )|≤3对任意x ∈[0,1]恒成立,求实数a 的取值范围. 解:(1)当a =3时,f (x )=3x -2,所以|f (x )|<4⇔|3x -2|<4⇔-4<3x -2<4⇔ -2<3x <6⇔-23<x <2.所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪-23<x <2. (2)|f (x )|<4⇔|ax -2|<4⇔-4<ax -2<4⇔-2<ax <6.当a >0时,原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ -2a <x <6a ; 当a <0时,原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪6a <x <-2a . (3)|f (x )|≤3⇔|ax -2|≤3⇔-3≤ax -2≤3⇔-1≤ax ≤5⇔⎩⎪⎨⎪⎧ax ≤5,ax ≥-1.因为x ∈[0,1], 所以-1≤a ≤5.所以实数a 的取值范围为[-1,5].8.已知对区间⎝ ⎛⎦⎥⎤0,54内的一切实数a ,满足关于x 的不等式|x -a |<b 的x 也满足不等式|x -a 2|<12,试求实数b 的取值范围.解:设A ={x ||x -a |<b },B =⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪|x -a 2|<12, 则A ={x |a -b <x <a +b ,b >0},B =⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪a 2-12<x <a 2+12. 由题意,知当0<a ≤54时,A ⊆B .所以⎩⎪⎨⎪⎧a -b ≥a 2-12,a +b ≤a 2+12,0<a ≤54.所以b ≤-a 2+a +12且b ≤a 2-a +12.因为0<a ≤54,所以-a 2+a +12=-a -122+34∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤316,34,a 2-a +12=⎝ ⎛⎭⎪⎫a -122+14∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14,1316.所以b ≤316且b ≤14.从而b ≤316.故实数b 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤0,316.一、选择题1.设集合A ={x ||x -a |<1,x ∈R },B ={x ||x -b |>2,x ∈R },若A ⊆B ,则实数a ,b 必满足( )A .|a +b |≤3B .|a +b |≥3C .|a -b |≤3D .|a -b |≥3解析:由|x -a |<1,得a -1<x <a +1. 由|x -b |>2,得x <b -2或x >b +2. ∵A ⊆B ,∴a -1≥b +2或a +1≤b -2. ∴a -b ≥3或a -b ≤-3.∴|a -b |≥3. 答案:D2.若关于x 的不等式|2x +1|-|x -4|≥m 恒成立,则实数m 的取值范围为( ) A .(-∞,-1] B .⎝ ⎛⎦⎥⎤-∞,-52C .⎝⎛⎦⎥⎤-∞,-92 D .(-∞,-5] 解析:设F (x )=|2x +1|-|x -4|=⎩⎪⎨⎪⎧-x -5,x <-12,3x -3,-12≤x ≤4,x +5,x >4.如图所示,F (x )min =-32-3=-92.故m ≤F (x )min =-92.答案:C二、填空题3.已知a ∈R ,若关于x 的方程x 2+x +⎪⎪⎪⎪⎪⎪a -14+|a |=0有实根,则实数a 的取值范围是________.解析:∵关于x 的方程x 2+x +⎪⎪⎪⎪⎪⎪a -14+|a |=0有实根,∴Δ=12-4⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪a -14+|a |≥0,即⎪⎪⎪⎪⎪⎪a -14+|a |≤14.根据绝对值的几何意义,知0≤a ≤14.答案:⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,14 4.若函数f (x )是R 上的减函数,且函数f (x )的图像经过点A (0,3)和B (3,-1),则不等式|f (x +1)-1|<2的解集是________.解析:∵|f (x +1)-1|<2,∴-2<f (x +1)-1<2,即-1<f (x +1)<3.∴f (3)<f (x +1)<f (0).∵函数f (x )在R 上是减函数, ∴0<x +1<3.解得-1<x <2. 答案:{x |-1<x <2} 三、解答题5.如图所示,点O 为数轴的原点,A ,B ,M 为数轴上三点,C 为线段OM 上的动点.设x 表示点C 与原点的距离,y 表示点C 到点A 的距离的4倍与点C 到点B 的距离的6倍之和.(1)将y 表示为x 的函数;(2)要使y 的值不超过70,实数x 应该在什么范围内取值? 解:(1)依题意,得y =4|x -10|+6|x -20|,0≤x ≤30. (2)由题意,得x 满足⎩⎪⎨⎪⎧4|x -10|+6|x -20|≤70,0≤x ≤30.(*)当0≤x ≤10时,不等式组(*)化为 4(10-x )+6(20-x )≤70,解得9≤x ≤10. 当10<x <20时,不等式组(*)化为 4(x -10)+6(20-x )≤70,解得10<x <20. 当20≤x ≤30时,不等式组(*)化为 4(x -10)+6(x -20)≤70,解得20≤x ≤23. 综上,实数x 的取值范围是[9,23]. 6.已知函数f (x )=|x -a |.(1)若关于x 的不等式f (x )≤3的解集为{x |-1≤x ≤5},求实数a 的值;(2)在(1)的条件下,若关于x 的不等式f (x )+f (x +5)≥m 对一切实数x 恒成立,求实数m 的取值范围.解:法一 (1)由f (x )≤3,得|x -a |≤3. 解得a -3≤x ≤a +3.又关于x 的不等式f (x )≤3的解集为{x |-1≤x ≤5},所以⎩⎪⎨⎪⎧a -3=-1,a +3=5.解得a =2.(2)由(1),得a =2,f (x )=|x -2|. 设g (x )=f (x )+f (x +5),于是g (x )=|x -2|+|x +3|=⎩⎪⎨⎪⎧-2x -1,x <-3,5,-3≤x ≤2,2x +1,x >2.所以当x <-3时,g (x )>5; 当-3≤x ≤2时,g (x )=5;当x>2时,g(x)>5.综上,函数g(x)的最小值为5.从而若关于x的不等式f(x)+f(x+5)≥m,即g(x)≥m对一切实数x恒成立,则实数m的取值范围为(-∞,5].法二(1)同法一.(2)由(1),得a=2,f(x)=|x-2|.设g(x)=f(x)+f(x+5).由|x-2|+|x+3|≥|(x-2)-(x+3)|=5(当且仅当-3≤x≤2时等号成立),得函数g(x)的最小值为5.从而若关于x的不等式f(x)+f(x+5)≥m,即g(x)≥m对一切实数x恒成立,则实数m的取值范围为(-∞,5].。
高中不等式练习题及答案
高中不等式练习题及答案高中不等式练习题及答案在高中数学学习中,不等式是一个重要的概念和工具。
不等式是数学中描述数值大小关系的一种方式,它可以帮助我们解决各种实际问题。
在学习不等式的过程中,练习题是必不可少的,下面我将为大家提供一些高中不等式练习题及其答案。
1. 练习题一:解不等式:2x - 5 < 3x + 2解答:将不等式中的变量移到一边,常数移到另一边,得到:2x - 3x < 2 + 5化简得:-x < 7由于系数为负数,所以不等号方向需要翻转,得到:x > -72. 练习题二:解不等式:3(x - 2) > 2(x + 3)解答:先进行分配律的运算,得到:3x - 6 > 2x + 6将变量移到一边,常数移到另一边,得到:3x - 2x > 6 + 6化简得:x > 123. 练习题三:解不等式:4x + 5 > 3 - 2x解答:将变量移到一边,常数移到另一边,得到:4x + 2x > 3 - 5化简得:6x > -2由于系数为正数,所以不等号方向不需要翻转,得到:x > -1/34. 练习题四:解不等式:2x - 3 > 5x + 1解答:将不等式中的变量移到一边,常数移到另一边,得到:2x - 5x > 1 + 3化简得:-3x > 4由于系数为负数,所以不等号方向需要翻转,得到:x < -4/35. 练习题五:解不等式:2x + 1 < 3(x - 2)解答:先进行分配律的运算,得到:2x + 1 < 3x - 6将变量移到一边,常数移到另一边,得到:2x - 3x < -6 - 1化简得:-x < -7由于系数为负数,所以不等号方向需要翻转,得到:x > 7通过以上的练习题,我们可以看到解不等式的基本步骤。
首先,将不等式中的变量移到一边,常数移到另一边;然后,化简不等式;最后,根据系数的正负确定不等号的方向。
高中不等式组练习题及讲解
高中不等式组练习题及讲解### 高中不等式组练习题及讲解不等式组是高中数学中的重要概念,它涉及到多个不等式之间的关系及其解集的确定。
以下是一些典型的不等式组练习题,以及相应的解题思路和方法。
#### 练习题一题目:解不等式组:\[ \begin{cases}x + 2 > 0 \\3 - x \geq 0\end{cases} \]解题步骤:1. 解第一个不等式 \( x + 2 > 0 \),得到 \( x > -2 \)。
2. 解第二个不等式 \( 3 - x \geq 0 \),得到 \( x \leq 3 \)。
3. 根据数轴上的表示,找出满足两个不等式的公共部分,即 \( -2 < x \leq 3 \)。
#### 练习题二题目:解不等式组:\[ \begin{cases}2x - 1 \geq 1 \\3x + 1 < x + 6\end{cases} \]解题步骤:1. 解第一个不等式 \( 2x - 1 \geq 1 \),得到 \( x \geq 1 \)。
2. 解第二个不等式 \( 3x + 1 < x + 6 \),简化后得到 \( 2x < 5 \),即 \( x < 2.5 \)。
3. 结合两个不等式,解集为 \( 1 \leq x < 2.5 \)。
#### 练习题三题目:解不等式组:\[ \begin{cases}x^2 - 4x + 3 \leq 0 \\x^2 + 6x + 8 \geq 0\end{cases} \]解题步骤:1. 对第一个不等式 \( x^2 - 4x + 3 \leq 0 \) 进行因式分解,得到 \( (x - 1)(x - 3) \leq 0 \),解得 \( 1 \leq x \leq 3 \)。
2. 对第二个不等式 \( x^2 + 6x + 8 \geq 0 \) 观察可得,由于\( x^2 + 6x + 8 = (x + 2)(x + 4) \),且 \( (x + 2)(x + 4) \) 总是大于等于0,所以这个不等式对于所有实数 \( x \) 都成立。
高中一年级数学不等式解法经典例题
∴ 或
故原不等式的解集为 .
解法二:原不等式等价于
即 ∴ .
典型例题四
例4解不等式 .
分析:这是一个分式不等式,其左边是两个关于 二次式的商,由商的符号法则,它等价于下列两个不等式组:
或
所以,原不等式的解集是上面两个不等式级的解集的并集.也可用数轴标根法求解.
解法一:原不等式等价下面两个不等式级的并集:
而 , .
对方程 两边同除以 得
.
令 ,该方程即为
,它的两根为 , ,
∴ , .∴ , ,
∴方程 的两根为 , .
∵ห้องสมุดไป่ตู้,∴ .
∴不等式 的解集是 .
说明:(1)万变不离其宗,解不等式的核心即是确定首项系数的正负,求出相应的方程的根;(2)结合使用韦达定理,本题中只有 , 是已知量,故所求不等式解集也用 , 表示,不等式系数 , , 的关系也用 , 表示出来;(3)注意解法2中用“变换”的方法求方程的根.
典型例题五
例5解不等式 .
分析:不等式左右两边都是含有 的代数式,必须先把它们移到一边,使另一边为0再解.
解:移项整理,将原不等式化为 .
由 恒成立,知原不等式等价于 .
解之,得原不等式的解集为 .
说明:此题易出现去分母得 的错误解法.避免误解的方法是移项使一边为0再解.
另外,在解题过程中,对出现的二项式要注意其是否有实根,以便分析不等式是否有解,从而使求解过程科学合理.
;
(3)当 (即 或1)时,不等式的解集为:
.
说明:对参数进行的讨论,是根据解题的需要而自然引出的,并非一开始就对参数加以分类、讨论.比如本题,为求不等式的解,需先求出方程的根 , ,因此不等式的解就是 小于小根或 大于大根.但 与 两根的大小不能确定,因此需要讨论 , , 三种情况.
高中数学 第三章 一元二次不等式解法典型例题素材 北师大版必修5
一元二次不等式解法·典型例题例若<<,则不等式--<的解是1 0a 1(x a)(x )01a[ ]A a xB x a .<<.<<11aa C x aD x x a .>或<.<或>x aa11例有意义,则的取值范围是.2 x x 2--x 6例3 若ax 2+bx -1<0的解集为{x|-1<x <2},则a =________,b =________. 例4 解下列不等式 (1)(x -1)(3-x)<5-2x (2)x(x +11)≥3(x+1)2(3)(2x +1)(x -3)>3(x 2+2)(4)3x 2-+--+-31325113122x x x x x x >>()()例不等式+>的解集为5 1x 11-x [ ]A .{x|x >0}B .{x|x≥1}C .{x|x >1}D .{x|x >1或x =0}例与不等式≥同解的不等式是6 0x x --32[ ]A .(x -3)(2-x)≥0 B.0<x -2≤1C .≥230--x x D .(x -3)(2-x)≤0例不等式<的解为<或>,则的值为7 1{x|x 1x 2}a axx -1[ ]A aB aC aD a .<.>.=.=-12121212例解不等式≥.8 237232x x x -+-例9 已知集合A ={x|x 2-5x +4≤0}与B ={x|x 2-2ax +a +2≤,若,求的范围.0}B A a ⊆例10 解关于x 的不等式(x -2)(ax -2)>0.例11 若不等式ax 2+bx +c >0的解集为{x|α<x <β}(0<α<β),求cx 2+bx +a <0的解集.例解关于的不等式:<-∈.12 x 1a(a R)xx -1例13 不等式|x 2-3x|>4的解集是________.例14 设全集U =R ,A ={x|x2-5x -6>0},B ={x||x -5|<a}(a 是常数),且11∈B,则[ ]A .(UA)∩B=RB .A∪(UB)=RC .(UA)∪(UB)=RD .A∪B=R参考答案例1:分析比较与的大小后写出答案.a 1a解∵<<,∴<,解应当在“两根之间”,得<<.选. 0a 1a a x A 11a a例2分析 求算术根,被开方数必须是非负数.解 据题意有,x 2-x -6≥0,即(x -3)(x +2)≥0,解在“两根之外”,所以x≥3或x≤-2. 例3:分析 根据一元二次不等式的解公式可知,-1和2是方程ax 2+bx -1=0的两个根,考虑韦达定理.解 根据题意,-1,2应为方程ax2+bx -1=0的两根,则由韦达定理知-=-+=-=-=-⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪baa ()()1211122×得ab ==-1212,.例4:分析 将不等式适当化简变为ax2+bx +c >0(<0)形式,然后根据“解公式”给出答案(过程请同学们自己完成). 答:(1){x|x <2或x >4}(2){x|1x }≤≤32 (3)∅(4)R (5)R说明:不能使用解公式的时候要先变形成标准形式. 例5:分析 直接去分母需要考虑分母的符号,所以通常是采用移项后通分.解不等式化为+->,通分得>,即>,1x 000111122----xx x x x∵x2>0,∴x-1>0,即x >1.选C .说明:本题也可以通过对分母的符号进行讨论求解. 例6:解法一原不等式的同解不等式组为≥,≠. ()()x x x ---⎧⎨⎩32020故排除A 、C 、D ,选B .解法二≥化为=或-->即<≤x 320x 3(x 3)(2x)02x 3--x两边同减去2得0<x -2≤1.选B . 说明:注意“零”. 例7:分析可以先将不等式整理为<,转化为0()a x x -+-111[(a -1)x +1](x -1)<0,根据其解集为{x|x <1或x >2}可知-<,即<,且-=,∴=.a 10a 12a 1112a -答 选C .说明:注意本题中化“商”为“积”的技巧. 例8:解 先将原不等式转化为3723202x x x -+--≥即≥,所以≤.由于++=++>,---+-+++-2123212314782222x x x x x x x x 002x x 12(x )022∴不等式进一步转化为同解不等式x2+2x -3<0,即(x +3)(x -1)<0,解之得-3<x <1.解集为{x|-3<x <1}. 说明:解不等式就是逐步转化,将陌生问题化归为熟悉问题.例9:分析 先确定A 集合,然后根据一元二次不等式和二次函数图像关系,结合,利用数形结合,建立关于的不等式.B A a ⊆解 易得A ={x|1≤x≤4} 设y =x 2-2ax +a +2(*)(1)B B A 0若=,则显然,由Δ<得∅⊆4a 2-4(a +2)<0,解得-1<a <2.(2)B (*)116若≠,则抛物线的图像必须具有图-特征:∅ 应有≤≤≤≤从而{x|x x x }{x|1x 4}12⊆12a 12042a 4a 201412a 22-·++≥-·++≥≤≤解得≤≤a a--⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪22187 综上所述得的范围为-<≤.a 1a 187说明:二次函数问题可以借助它的图像求解. 例10:分析 不等式的解及其结构与a 相关,所以必须分类讨论. 解 1° 当a =0时,原不等式化为 x -2<0其解集为{x|x <2};2 a 02(x 2)(x )0°当<时,由于>,原不等式化为--<,其解集为22a a{x|2a x 2}<<;3 0a 12(x 2)(x )0°当<<时,因<,原不等式化为-->,其解集为22a a{x|x 2x }<或>;2a4° 当a =1时,原不等式化为(x -2)2>0,其解集是{x|x≠2};5 a 12(x 2)(x )0°当>时,由于>,原不等式化为-->,其解集是22a a{x|x x 2}<或>.2a从而可以写出不等式的解集为: a =0时,{x|x <2};a 0{x|2a x 2<时,<<};0a 1{x|x 2x }<<时,<或>;2aa =1时,{x|x≠2};a 1{x|x x 2}>时,<或>.2a说明:讨论时分类要合理,不添不漏. 例11:分析 由一元二次函数、方程、不等式之间关系,一元二次不等式的解集实质上是用根来构造的,这就使“解集”通过“根”实现了与“系数”之间的联系.考虑使用韦达定理:解法一 由解集的特点可知a <0,根据韦达定理知:-=α+β,=α·β.ba c a ⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ 即=-α+β<,=α·β>.ba c a ()00⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪∵a<0,∴b>0,c <0.又×,b a a c b c =∴=-α+β①由=α·β,∴=α·β②b c c a a c (1)111对++<化为++>,cx bx a 0x x 022b c ac由①②得α,β是++=两个根且α>β>,1111x x 002b c a c∴++>即++<的解集为>α或<β.x x 0cx bx a 0{x|x x }22b c a c 11解法二 ∵cx2+bx +a =0是ax2+bx +a =0的倒数方程. 且ax2+bx +c >0解为α<x <β,∴++<的解集为>α或<β.cx bx a 0{x|x x } 211说明:要在一题多解中锻炼自己的发散思维。
分式方程与分式不等式练习题及解答
分式方程与分式不等式练习题及解答高中数学中,分式方程与分式不等式是其中的一种重要的方程形式。
本文将给出一些分式方程与分式不等式的练习题及解答,帮助读者进一步理解和掌握这一概念。
练习题1:求解下列分式方程(1) $\frac{2}{x} + \frac{3}{x-1} = \frac{4}{x+2}$(2) $\frac{1}{x} + \frac{1}{x+1} + \frac{1}{x+2} = \frac{3}{x+3}$解答:(1)将方程中的分母通分,得到:$2(x+2) + 3(x)(x+2) = 4(x)(x-1)$化简得到:$2x + 4 + 3x^2 + 6x = 4x^2 - 4x$合并同类项并移项得到:$x^2 - 2x - 4 = 0$利用求根公式,解得:$x_1 = -1, x_2 = 4$(2)将方程中的分母通分,得到:$(x+1)(x+2) + x(x+2) + x(x+1) = 3x(x+3)$化简得到:$x^2 + 3x + 2 + x^2 + 2x + x^2 + x = 3x^2 + 9x$合并同类项并移项得到:$x^2 -2x - 8 = 0$利用求根公式,解得:$x_1 = -2, x_2 = 4$练习题2:求解下列分式不等式(1) $\frac{x-1}{x+2} \leq \frac{2x-3}{x+1}$(2) $\frac{x+2}{x-1} > \frac{3x+1}{x+3}$解答:(1)首先将不等式转化为等式,得到:$\frac{x-1}{x+2} = \frac{2x-3}{x+1}$然后将分母通分,得到:$(x-1)(x+1) = (2x-3)(x+2)$化简得到:$x^2 - 1 = 2x^2 + x - 9$合并同类项并移项得到:$x^2 -3x -8 = 0$解这个二次方程,得到:$x_1 = -1, x_2 = 8$然后将原不等式分母展开形式代入,得到:$\frac{7}{10} \leq 0$由于不等式右边小于零,所以满足条件的解为:$x \in (-\infty, -1] \cup (8, +\infty)$(2)首先将不等式转化为等式,得到:$\frac{x+2}{x-1} = \frac{3x+1}{x+3}$然后将分母通分,得到:$(x+2)(x+3) = (3x+1)(x-1)$化简得到:$x^2 + 5x + 6 = 3x^2 -2x -1$合并同类项并移项得到:$2x^2 -7x -5 = 0$解这个二次方程,得到:$x_1 = -\frac{1}{2}, x_2 = \frac{5}{2}$然后将原不等式分母展开形式代入,得到:$\frac{5}{4} > 0$由于不等式右边大于零,所以满足条件的解为:$x \in (-\frac{1}{2},\frac{5}{2})$通过这些练习题,我们可以看到分式方程与分式不等式的解法与普通方程和不等式类似,主要是通过通分、合并同类项、移项等步骤来将问题简化,并最终得到解的范围。
高中数学 第三章 不等式 3.3 一元二次不等式及其解法练习(含解析)新人教B版必修5-新人教B版高
3.3 一元二次不等式及其解法课时过关·能力提升1下列不等式中,解集是R的是()A.x2+2x+1>0B.√x2>0C.(13)x+1>0D.1x -2<1xx2+2x+1=(x+1)2≥0,所以选项A不正确;因为√x2=|x|≥0,所以选项B不正确;选项D中x≠0;因为(13)x>0,所以(13)x+1>1>0,x∈R,故选C.2已知2a+1<0,则关于x的不等式x2-4ax-5a2>0的解集是()A.{x|x>5a或x<-a}B.{x|x<5a或x>-a}C.{x|-a<x<5a}D.{x|5a<x<-a}2-4ax-5a2>0⇒(x-5a)(x+a)>0.∵a<-12,∴5a<-a.∴x>-a或x<5a.故选B.3已知不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-13<x<2},则不等式cx2+bx+a<0的解集为()A.{x|-3<x<12} B.{x|x<-3或x>12}C.{x|-2<x<13} D.{x|x<-2或x>13}:ax2+bx+c>0的解集为{x|-13<x<2}⇔3x2-5x-2<0⇔-3x2+5x+2>0.设a=-3k,b=5k,c=2k(k>0),则cx2+bx+a<0⇔2kx2+5kx-3k<0⇔2x2+5x-3<0⇔-3<x<12,故选A.方法二:由题意知a<0,且-x x =(-13)+2,x x =(-13)×2,即x x =-53,x x =-23,而cx 2+bx+a<0⇔x x x 2+x x x+1>0⇔-23x 2-53x+1>0⇔2x 2+5x-3<0⇔-3<x<12,故选A .4设f (x )={2e x -1,x <2,log 3(x 2-1),x ≥2,则不等式f (x )>2的解集为()A.(1,2)∪(3,+∞)B.(√10,+∞)C.(1,2)∪(√10,+∞)D.(1,2)x<2时,令2e x-1>2,解得1<x<2.当x ≥2时,令log 3(x 2-1)>2,解得x ∈(√10,+∞).故x ∈(1,2)∪(√10,+∞).★5关于x 的方程x 2+(a 2-1)x+a-2=0的一根比1小,且另一根比1大的充要条件是()A.-1<a<1 B .a<-1或a>1 C.-2<a<1D.a<-2或a>1f (x )=x 2+(a 2-1)x+a-2,则它是开口向上的二次函数,方程的根即是函数与x 轴的交点的横坐标,因此只需f (1)<0,即1+a 2-1+a-2<0,故-2<a<1.6已知函数f (x )=√xx 2-6xx +(x +8)的定义域为R ,则实数k 的取值X 围为.2-6kx+(k+8)≥0恒成立,当k=0时,满足. 当k ≠0时,{x >0,x =(-6x )2-4x (x +8)≤0⇒0<k ≤1. ∴0≤k ≤1.7已知三个不等式①x 2-4x+3<0,②x 2-6x+8<0,③2x 2-9x+m<0,要使同时满足①和②的所有x 都满足③,则实数m 的取值X 围是.:由{x 2-4x +3<0,x 2-6x +8<0,解得2<x<3.③对于2<x<3恒成立,即m<-2x 2+9x 对x ∈(2,3)恒成立,所以m 只需满足小于函数-2x 2+9x 在区间(2,3)上的最小值,即当x=3时,最小值为9,但取不到最小值.所以m ≤9.方法二:{x 2-4x +3<0x 2-6x +8<0⇒{1<x <32<x <4⇒2<x<3.设f (x )=2x 2-9x+m.当x ∈(2,3)时,f (x )<0恒成立. 由二次函数的图象与性质,得{x (2)≤0,x (3)≤0,即{8-18+x ≤0,18-27+x ≤0,解得m ≤9.-∞,9]8已知f (x )是定义在R 上的奇函数,当x>0时,f (x )=x 2-4x ,则不等式f (x )>x 的解集用区间表示为.f (x )为奇函数,且当x>0时,f (x )=x 2-4x ,所以f (x )={x 2-4x ,x >0,0,x =0,-x 2-4x ,x <0,所以原不等式等价于{x >0,x 2-4x >x 或{x <0,-x 2-4x >x .由此可解得x>5或-5<x<0. 用区间表示为(-5,0)∪(5,+∞).-5,0)∪(5,+∞) ★9定义在(-3,3)内的奇函数f (x ),已知f (x )在其定义域内单调递减,且f (2-a )+f (1-a-a 2)>0,则实数a 的取值X 围是.f (x )为奇函数,∴f (2-a )>-f (1-a-a 2)=f (a 2+a-1). 又f (x )在(-3,3)上单调递减,∴{-3<2-x <3,-3<1-x -x 2<3,2-x <x 2+x -1,即{-1<x <5,-1-√172<x <-1+√172,x >1或x <-3.解得1<a<√17-12, 故实数a 的取值X 围为1<a<√17-12.1,√17-12) 10解关于x 的不等式ax 2-(a+1)x+1<0.当a=0时,原不等式化为-x+1<0,所以不等式的解集是{x|x>1}.(2)当a ≠0时,原不等式可化为a (x-1)(x -1x )<0. 若a<0,则(x-1)(x -1x )>0. 因为1x <1,所以原不等式的解集为{x |x <1x 或x >1};若a>0,原不等式化为(x-1)(x -1x )<0.①当1x <1,即a>1时,不等式的解集为{x |1x<x <1}.②当1x =1,即a=1时,不等式即为(x-1)2<0,显然不等式的解集为⌀. ③当1x>1,即0<a<1时,不等式的解集为{x |1<x <1x}.综上,原不等式的解集如下:当a<0时,解集为{x |x <1x 或x >1}; 当a=0时,解集为{x|x>1};当0<a<1时,解集为{x|1<x<1x};当a=1时,解集为⌀;当a>1时,解集为{x|1x<x<1}.11设0<α<β,已知不等式ax2+bx+c>0的解集为(α,β),求不等式(a+c-b)x2+(b-2a)x+a>0的解集.,得a<0,α+β=-xx >0,αβ=xx>0.∴a<0,c<0,b>0,从而a+c-b<0.设(a+c-b)x2+(b-2a)x+a=0的两根为α',β',则有α'+β'=2x-xx+x-x =2x+x(x+x)x+xxx+x(x+x)=(x+1)+(x+1) (x+1)(x+1)=1x+1+1x+1,α'β'=xx+x-x =xx+xxx+x(x+x)=1x+1·1x+1.∴(a+c-b)x2+(b-2a)x+a=0的两根为1x+1,1 x+1.∵0<α<β,∴1x+1>1x+1>0.∴不等式(a+c-b)x2+(b-2a)x+a>0的解集为(1x+1,1x+1).★12若关于x的不等式4x+xx2-2x+3<2对任意实数x恒成立,某某数m的取值X围.:因为x2-2x+3=(x-1)2+2>0,所以不等式4x+xx2-2x+3<2同解于4x+m<2x2-4x+6,即2x2-8x+6-m>0.要使原不等式对任意实数x恒成立,只要2x2-8x+6-m>0对任意实数x恒成立.所以需要Δ<0,即64-8(6-m)<0.整理并解得m<-2.所以实数m的取值X围是(-∞,-2).方法二:由方法一,知要使4x+xx2-2x+3<2对任意实数x恒成立,只要2x2-8x+6-m>0恒成立即可.变形为m<2x2-8x+6.设h(x)=2x2-8x+6,要使m<2x2-8x+6恒成立,只要m<h(x)min.而h(x)=2x2-8x+6=2(x-2)2-2≥-2, 所以h(x)min=-2.所以m<-2.所以实数m的取值X围是(-∞,-2).。
解指数不等式的练习题
解指数不等式的练习题在高中数学学习中,我们经常会遇到解不等式的问题。
在这篇文章中,我们将重点讨论解指数不等式的练习题。
通过这些练习题,我们可以加深对指数不等式的理解,并提高解题的能力。
一、简单的指数不等式1. 解不等式 $2^x > 8$。
我们可以观察到 $8$ 可以表示为 $2^3$,所以不等式可以转化为$2^x > 2^3$。
进一步化简得到 $x > 3$。
因此,解集为 $x \in (3,+\infty)$。
2. 解不等式 $3^{2x-1} < 27$。
我们可以观察到 $27$ 可以表示为 $3^3$,所以不等式可以转化为$3^{2x-1} < 3^3$。
进一步化简得到 $2x-1 < 3$。
解这个一元一次不等式可以得到 $x < 2$。
因此,解集为 $x \in (-\infty, 2)$。
二、复杂的指数不等式1. 解不等式 $2^{x+1} < 4^x$。
我们可以将 $4^x$ 转化为 $2^{2x}$,得到不等式 $2^{x+1} <2^{2x}$。
接下来,我们使用指数函数的性质,将底数相同则指数相等,得到 $x + 1 < 2x$。
解这个一元一次不等式可以得到 $x > 1$。
因此,解集为 $x \in (1, +\infty)$。
2. 解不等式 $3^{x-2} > 9^{x-3}$。
我们可以将 $9^{x-3}$ 转化为 $3^{2(x-3)}$,得到不等式 $3^{x-2} > 3^{2(x-3)}$。
接下来,我们使用指数函数的性质,将底数相同则指数相等,得到 $x - 2 > 2(x - 3)$。
解这个一元一次不等式可以得到 $x < 4$。
因此,解集为 $x \in (-\infty, 4)$。
三、含有绝对值的指数不等式1. 解不等式 $|2^x - 8| < 4$。
我们可以分别考虑 $2^x - 8$ 和 $-(2^x - 8)$ 的情况,并且取交集来得到最终的解集。
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不等式要求层次 重难点一元二次不等式C解一元二次不等式(一) 知识容1.含有一个未知数,且未知数的最高次数为2的整式不等式,叫做一元二次不等式.一元二次不等式的解集,一元二次方程的根及二次函数图象之间的关系如下表(以0a >为例):有关含有参数的一元二次不等式问题,若能把不等式转化成二次函数或二次方程,通过根的判别式或数形结合思想,可使问题得到顺利解决.其方法大致有:①用一元二次方程根的判别式,②参数大于最大值或小于最小值,③变更主元利用函数与方程的思想求解.判别式24b ac ∆=-0∆> 0∆= 0∆<二次函数2y ax bx c =++(0)a >的图象一元二次方程20ax bx c ++= (0)a ≠的根有两相异实根12,x x =242b b aca-±-12()x x <有两相等实根122bx x a==-没有实根一元二次不等式的解集20ax bx c ++>(0)a > {1x x x <或}2x x >{R x x ∈,且2b x a ⎫≠-⎬⎭实数集R20ax bx c ++<(0)a >{}12x xx x <<∅ ∅例题精讲高考要求板块一:解一元二次不等式解不等式(二)主要方法1.解一元二次不等式通常先将不等式化为20ax bx c ++>或20 (0)ax bx c a ++<>的形式,然后求出对应方程的根(若有根的话),再写出不等式的解:大于0时两根之外,小于0时两根之间; 2.分式不等式主要是转化为等价的一元一次、一元二次或者高次不等式来处理; 3.高次不等式主要利用“序轴标根法”解.(三)典例分析:1.二次不等式与分式不等式求解【例1】 不等式112x x ->+的解集是 .【变式】 不等式2230x x --+≤的解集为( )A .{|31}x x x -或≥≤B .{|13}x x -≤≤C .{|31}x x -≤≤D .{|31}x x x -或≤≥【变式】 不等式252(1)x x +-≥的解集是( ) A .132⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,B .132⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,C .(]11132⎡⎫⎪⎢⎣⎭,,D .(]11132⎡⎫-⎪⎢⎣⎭,,2.含绝对值的不等式问题【例2】 已知n *∈N ,则不等式220.011nn -<+的解集为( ) A .{}|199n n n *∈N ≥, B .{}|200n n n *∈N ≥, C .{}|201n n n *∈N ≥,D .{}|202n n n *∈N ≥,【例3】 不等式111x x +<-的解集为( ) A .{}{}|01|1x x x x <<>B .{}|01x x <<C .{}|10x x -<<D .{}|0x x <【变式】 关于x 的不等式2121x x a a -+-++≤的解集为空集,则实数a 的取值围是 _.【例4】 若不等式121x a x+-+≥对一切非零实数x 均成立,则实数a 的最大值是_________.【例5】 若不等式34x b -<的解集中的整数有且仅有123,,,则b 的取值围为 .3.含参数不等式问题【例6】 若关于x 的不等式22840x x a --->在14x <<有解,则实数a 的取值围是( )A .4a <-B .4a >-C .12a >-D .12a <- 【变式】 ⑴已知0a <,则不等式22230x ax a -->的解集为 .⑵若不等式897x +<和不等式220ax bx +->的解集相同,则a b -=______.【例7】 若不等式220ax x ++>的解集为R ,则a 的围是( )A .0a >B .18a >-C .18a > D .0a <【例8】 若关于x 的不等式0ax b ->的解集是(1)-∞,,则关于x 的不等式02ax bx +>-的解集为( )A .()()12-∞-+∞,,B .(12)-,C .(12),D .()()12-∞+∞,,【例9】 01b a <<+,若关于x 的不等式22()()x b ax ->的解集中的整数恰有3个,则( )A .10a -<<B .01a <<C .13a <<D .36a <<【例10】 ⑴要使满足关于x 的不等式2290x x a -+<(解集非空)的每一个x 至少满足不等式2430x x -+<和2680x x -+<中的一个,则实数a 的取值围是 ;⑵已知不等式20ax bx c ++>的解集是{}|x x αβ<<,其中1βα>>,则不等式()()220a ax bx c cx bx a ++++<的解集是 .4.解不等式与分类讨论【例11】 设m ∈R ,解关于x 的不等式22230m x mx +-<.【变式】 解关于x 的不等式()()3110()m x x m +-+>∈⎡⎤⎣⎦R .【点评】 解含参数的不等式,进行讨论时要注意对所含字母的分类要做到不重不漏.【例12】 求不等式22(1)40ax a x -++>的解集.【例13】 解关于x 的不等式(1)1(1)2a x a x ->≠-【变式】 解关于x 的不等式223()0x a a x a -++>.【例14】 解不等式()21410m x x +-+≤.【点评】 对于二次项系数也含有参数的一元二次不等式,首先应判定二次项系数是否为零,分别加以讨论,然后在二次项系数不为零的条件下,求出判别式0∆=的零点,分类进行讨论.5.与二次方程或可化为二次方程的解的问题结合,【例15】 关于x 的方程2210ax x +-=至少有一个正的实根,则a 的取值围是( )A .a ≥0B .10a -≤≤C .0a >或10a -<<D .1a -≥【例16】 已知关于x 的方程2(3)4210m x mx m +-+-=的两根异号,且负根的绝对值比正根大,那么实数m 的取值围是( )A .30m -<<B .03m <<C .3m <-或0m >D .0m <或3m >【例17】 有如下几个命题:①如果1x ,2x 是方程20ax bx c ++=的两个实根且12x x <,那么不等式20ax bx c ++<的解集为12{|}x x x x <<;②当240b ac ∆=-<时,二次不等式20ax bx c ++>的解集为∅;③0x a x b --≤与不等式()()0x a x b --≤的解集相同; ④2231x x x -<-与223(1)x x x -<-的解集相同.其中正确命题的个数是( )A .3B .2C .1D .0【例18】 若关于x 的方程9(4)340x x a +++=有解,数a 的取值围.【例19】 已知a ∈R ,若关于x 的方程2104x x a a ++-+=有实根,则a 的取值围是 .6.恒成立问题【例20】 若不等式2(2)2(2)40a x a x -+--<对x ∈R 恒成立,则a 的取值围是______.【变式】 2()1f x ax ax =+-在R 上恒满足()0f x <,则a 的取值围是( )A .0a ≤B .4a <-C .40a -<<D .40a -<≤【变式】 若对于x ∈R ,不等式2230mx mx ++>恒成立,数m 的取值围.【点评】 对于有关二次不等式20ax bx c ++>(或0<)的问题,可设函数2()f x ax bx c =++,由a 的符号确定其抛物线的开口方向,再根据图象与x 轴的交点,由判别式进行解决.【例21】 ⑴不等式210x ax ++≥对一切102x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦,成立,则a 的最小值为( )A .0B .2-C .52- D .3-⑵不等式2|3||1|3x x a a +---≤对任意实数x 恒成立,则实数a 的取值围为( ) A .(][)14-∞-+∞,,B .(][)25-∞-+∞,,C .[12],D .(][)12-∞∞,,【变式】 对任意[11]a ∈-,,函数2()(4)42f x x a x a =+-+-的值恒大于零,则x 的取值围为_________.【例22】 若不等式lg 21lg()axa x <+在[1,2]x ∈时恒成立,试求a 的取值围.【点评】 将参数a 从不等式lg 21lg()axa x <+中分离出来是解决问题的关键.【例23】 若(]1x ∈-∞-,,()21390x x a a ++->恒成立,数a 的取值围.【例24】 设()222f x x ax =-+,当[)1x ∈-+∞,时,都有()f x a ≥恒成立,求a 的取值围.【例25】 设对所有实数x ,不等式()()2222224112log 2log log 014a a ax x aa a ++++>+恒成立,求a 的取值围.【例26】 已知不等式22412ax x x a +---≥对任意实数恒成立,数a 的取值围.【例27】 已知关于x 的不等式20x x t ++>对x ∈R 恒成立,则t 的取值围是 .【例28】 如果|1||9|x x a +++>对任意实数x 恒成立,则a 的取值围是( )A .{|8}a a <B .{|8}a a >C .{|8}a a ≥D .{|8}a a ≤【例29】 在R 上定义运算⊗:)1(y x y x -=⊗.若不等式1)()(<+⊗-a x a x 对任意实数x 成立,则( )A .11<<-aB .20<<aC .2321<<-a D .2123<<-a【例30】 设不等式2220x ax a -++≤的解集为M ,如果[1,4]M ⊆,数a 的取值围.【点评】 若将本题改为:[1,4]M ⊆,求a 的取值围,则本题等价于:当[1,4]x ∈时,2220x ax a -++≤恒成立,求a 的取值围.可以通过讨论对应二次函数的对称轴,或者在不等式中将a 解出,通过求出对应的代数式的取值围解决此问题.仅用第二种方法略解如下:2222(12)20x ax a x a x -++=-++≤,故2(21)2x a x -+≥,∵[1,4]x ∈,∴2110x ->≥,从而要满足题意,只需2221x a x +-≥,对[1,4]x ∈恒成立即可.故要求2221x x +-在[1,4]x ∈时的最大值,令21[1,7]t x =-∈,则2221(1)22291194()21424t x t t t x t t t+++++===++-, 由对勾函数的单调性知:上式在1t =或7t =时取到最大值. 比较知:当1t =时,上式有最大值3,故当3a ≥时,有2220x ax a -++≤对[1,4]x ∈恒成立. 即a 的取值围为[3,)+∞.(一)典例分析:1.利用函数单调性解不等式【例31】 解不等式:21log (6)2x x x --->.【变式】 解关于x 的不等式:23log (34)0x x x ---<.2.解不等式与函数综合问题【例32】 已知函数32()()f x x ax b a b =-++∈R ,⑴若函数()f x 图象上任意一点处的切线的斜率小于1,求证:33a <⑵若[]01x ∈,,函数()y f x =图象上任意一点处的切线的斜率为k ,试讨论1k ≤的充要条件.【备注】 为了缩小讨论围,本题可以一开始将1x =代入2321x ax -+≤中,解得12a ≤≤,再进行讨论.本题讨论过程中的充要条件的得出结合二次函数的图象会比较容易理解,配图略.【例33】 ⑴ 求函数22()123lg(1521)f x x x x x =--+-的定义域.⑵ (省上杭二中08-09学年单元质量检查必修5数学试题)如果关于x 的不等式23208kx kx +-<对一切实数x 都成立,则k 的取值围是 .⑶ (省上杭二中08-09学年单元质量检查必修5数学试题)设()321f x ax a =-+,若存在0(1,1)x ∈-,使0()0f x =,则实数a 的取值围是( )A .115a -<<B .1a <-或15a >C .1a <-D .15a >【例34】 已知函数2()1(1)f x x g x x =++,若不等式(3)(392)0x x x f m f ⋅+--<对任意x ∈R 恒成立,数m 的取值围.板块二:解不等式综合问题【例35】 已知不等式()11112log 1122123a a n n n +++>-+++对于一切大于1的自然数n 都成立,试数a 的取值围.【例36】 已知二次函数2()f x ax x =+,如果[0,1]x ∈时|()|1f x ≤,数a 的取值围.【点评】 在闭区间[0,1]上使|()|1f x ≤分离出a ,然后讨论关于1x的二次函数在[1,)+∞上的单调性.【例37】 设二次函数()()20f x ax bx c a b c a =++∈≠R ,,,满足条件: ⑴ 当x ∈R 时,()()42f x f x -=-,且()f x x ≥;⑵ 当()02x ∈,时,()212x f x +⎛⎫⎪⎝⎭≤⑶ ()f x 在R 上的最小值为0.求最大的()1m m >,使得存在t ∈R ,只要[]1x m ∈,,就有()f x t x +≤.【点评】 本题所用方法为先根据已知条件求出m 小于某个数,再验证m 是否可取到此值,若能取到,则此值为m 的最大值.【例38】 设a 为实数,函数()()22f x x x a x a =+--.⑴若()01f ≥,求a 的取值围; ⑵求()f x 的最小值.【变式】 设函数()()()h x f x x a =∈+∞,,,直接写出....(不需给出演算步骤)不等式()1h x ≥的解集.【备注】 本题是卷的文理科必做题的最后一题,文理不分卷,但根据学生的不同有些学生另有选做题,包括选考容与排列组合、空间向量等.本题⑶问相当有难度,思路分析如下:22()32()h x x ax a x a =-+>,22()13210h x x ax a ⇔-+-≥≥.对应的一元二次方程223210x ax a -+-=的判别式24(32)a ∆=-,①当0∆≤,即62a ⎛⎡⎫∈-∞+∞ ⎪⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭,,时,不等式的解集为()a +∞,; ②当0∆>,即a ⎛∈ ⎝⎭时,记小根1x =,大根2x =, 当2a x ≥,即a()a +∞,; 当12x a x <≤,即a <时,不等式的解集为2[)x +∞,; 当1a x <,即2a <时,不等式的解集为12(][)a x x +∞,,. 综上可得答案.【例39】 已知集合(){}121212|00D x x x x x x k =>>+=,,,(其中k 为正常数).⑴ 设12u x x =,求u 的取值围;⑵ 求证:当1k ≥时不等式212121122k x x x x k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭≤对任意()12x x D ∈,恒成立;⑶ 求使不等式212121122k x x x x k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭≥对任意()12x x D ∈,恒成立的2k 的围.【例40】 如果()f x 在某个区间I 满足:对任意的12x x I ∈,,都有12121[()()]22x x f x f x f +⎛⎫+ ⎪⎝⎭≥,则称()f x 在I 上为下凸函数;已知函数1()ln f x a x x=-. ⑴证明:当0a >时,()f x 在(0)+∞,上为下凸函数; ⑵若()f x '为()f x 的导函数,且122x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,时,|()|1f x '<,数a 的取值围.【例41】 在R 上定义运算()()1:43p q p c q b bc ⊗⊗=---+(b 、c 为实常数).记()212f x x c =-,()22f x x b =-,x ∈R .令()()()12f x f x f x =⊗.⑴如果函数()f x 在1x =处有极值43-,试确定b 、c 的值;⑴求曲线()y f x =上斜率为c 的切线与该曲线的公共点;⑵令()()g x f x '=,记函数()g x 在区间[]11-,上的最大值为M .若1b >,证明对任意的c ,都有2M >.【例42】 设()()20f x ax bx c a =++≠,若(0)1f ≤,(1)f ≤1,(1)1f -≤,试证明:对于任意11x -≤≤,有()54f x ≤.。