厄米_高斯模和拉盖尔_高斯模及它们之间的转换

(13)
1 1 1 i 1 HG02 + HG20 , HG02 + HG11 − HG20 , LG11 = 2 2 2 2 2 1 1 1 1 i 1 HG11 + HG20 , LG20 = HG02 − HG11 − HG20 , HG02 (d ) = HG02 + 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 HG11 (d ) = HG02 − HG20 , HG20 (d ) = HG02 − HG11 + HG20 . 2 2 2 2 2 其中 HGmn (d ) 表示对角的模式。 LG02 =
n+m
2 2 −m ⎧( −1)m m !( x + iy )n − m Ln m (x + y ) ⎪ ×⎨ n m−n m−n 2 2 ⎪ ⎩( −1) n !( x − iy ) Lm ( x + y )
( n ≥ m) ( m ≥ n)
, (8)
其中
Pk
( n −k ,m−k )
( 0)
( −1) =
× exp ⎡ ⎣ −i ( n + m + 1)ψ ( z ) ⎤ ⎦ Hn x 2 w Hm y 2 w .
LG u LG pl ( ρ , φ , z ) = C pl (1 w ) ρ 2 w 2
(
) (
)
(2)
(
) L ( 2ρ
l l p
2
w2 ) exp ( − ρ 2 w2 ) e − ilφ
× exp ( −i k ρ 2 R ) exp ⎡ ⎣ −i ( 2 p + l + 1)ψ ( z ) ⎤ ⎦.
在这里为了方便把拉盖尔－高斯模写为[4]
收稿日期：2011-05-13 * 基金项目：国家自然科学基金项目(11005003，11005002，11047108) † 通讯作者：yusuzh@
在 E. Abramochkin 和 V. Volostnikov 文章[6]的附录 A3 中，给出了拉盖尔－高斯多项式用厄米－高斯多项 式展开的推导过程,得到拉盖尔－高斯多项式用厄米－高斯多项式展开为
n+m k =0
∑ ( 2i ) P
k
( n−k ,m−k )
k
( 0 ) H n+ m−k ( x ) H k ( y ) = 2
12
可以得到与上式相似的表述：
可见他们有相同的系数 b(n, m, k ) ，只是(13)式展开式相邻项的相位相同。 图 2 是以二阶模为例给出两种模式（拉盖尔－高斯模和对角厄米－高斯模）分别用厄米－高斯模展开的关 系图。图 2 中的六个图的数学对应关系分别为
⎞ N HG ⎛ x + y x − y HG u nm , , z ⎟ = ∑ b(n, m, k )u N . ⎜ − k , k ( x, y , z ) 2 ⎝ 2 ⎠ k =0
其中
(4)
做模的阶数，(n, m ) 叫做模式指数， R ( z ) 是波阵面的曲率半径，w( z ) 是光斑尺寸， z = 0 处的光斑尺寸 w(0) 是光束腰，ψ ( z ) 是相移。由模式函数满足 dxdydz u = 1 得
1 2 2 R(z ) = z R + z 2 z , kw 2 (z ) = z R + z 2 z R ,ψ (z ) = arctan( z z R ). (5) 2 H n ( x ) 是 n 阶厄米多项式， Llp ( x ) 是拉盖尔多项式， k 是波数, z R 是模的瑞利长度，令 N = m + n ，这里叫
(
)
(
)
∫
2
C
HG nm
⎛ 2 ⎞ −N 2 , =⎜ ⎟ 2 ⎝ πn!m! ⎠
12
12
(6) (7)
高斯模具有 u ( ρ , ϕ , z ) = u0 ( ρ , z ) exp ( ilϕ ) 形式，所以具有确定的轨道角动量。拉盖尔－高斯模的另一个重
这里(4)式的拉盖尔－高斯模表示与(3)式中表示法的对应关系是： p = min (n, m ) ，l = n − m 。由于拉盖尔－
* +
(a) 图3 (a)是侧面的坐标示意图，虚线表示在
y
x
(b)
(x , z ) 平面内，实线表示在 ( y , z ) 平面内；(b)是截面的坐标示意图。
在这两个平面上光的特征可以由 z 和光束腰处的瑞利长度来反映，此时的 Gouy 相位可以写为
(n + 1 2)ψ x (z ) + (m + 1 2)ψ y (z ),
这就为模式转换提供了可能。 3.2 用模式转换器实现模式转换 根据前面的分析，实现模式转换需要使对角的厄米－高斯模展开式的相邻项之间产生 π 2 的相位差，由 于像散光的 Gouy 相位是 z 的函数，这样，可以利用这个性质，让像散光沿 z 传播一段距离，各项之间就会 出现相位差，如果控制传播的距离使各相邻项产生 π 2 的相位差，那么就实现了两模式之间的转换。这要求 在空间的一定区域内是像散光。 当一束对角的厄米－高斯光入射到这个像散区域，就会给那些沿轴传播的厄米－高斯模分量引入一个明 确的相位变化。假设一种情况：一束像散光，它两个面上的光束腰位置重合，瑞利长度分别为 z Rx 和 z Ry ，如 图 4(a)，在两个面上的横向光斑尺寸相等的地方放一个圆柱型透镜，使出射的光不再是像散的，如图 4(b)。 当同样的圆柱型透镜放在另一边对称的位置上，那么就使光束只在两透镜中间的空间里是像散的，如图 4(c)。 由 z = d 处两光斑尺寸相等可得
⎤ ψ y = arctan ⎡ ⎣( z − z0 y ) z Ry ⎦ .
(15) (16) (17)
其中
ψ x = arctan[(z − z 0 x ) z Rx ],
z 0 x 和 z 0 y 是光束腰所在的位置， z Rx 和 z Ry 是 ( x , z ) 平面和 ( y , z ) 平面内光束的瑞利长度。可以看到对于相同 ，圆柱型对称的厄米－高斯光束有相同的 Gouy 相位， 但是对于像散的厄米－高斯光束， 的阶数（ n + m 相同） ψ x 和ψ y 是关于 z 的不同的函数，所以对于有相同的阶数，但 n 和 m 取不同值时，Gouy 相位是 z 的函数，
3.1 像散 Gouy 相位 由上面的分析可知，如果能使对角的厄米－高斯模相邻项改变 π 2 相位差，那么就实现了模式之间的转 换。怎么来实现相邻项之间 π 2 的相位差，需要了解一下像散的概念。 像散现象：透镜对于物体上的平面与透镜 平行时，而所造成的像为曲面的现象。 对于圆柱型对称的高斯光束的 Gouy 相位在方程(2)和方程(3)中出现的形式是 (n + m + 1)ψ (z ), (14) 当光束腰在 z = 0 处时,ψ ( z ) 的表达式为ψ ( z ) = arctan ( z z R ) 。 而对于像散厄米－高斯光束， Gouy 相位有不同的形式。 像散厄米－高斯光束可以通过让厄米－高斯光束 对准圆柱型棱镜来产生。像散模的振幅在横截面上可以从两个平面来考虑， ( x, z ) 平面和 ( y , z ) 平面，坐标示 意图如图 3 所示
2
厄米－高斯模及拉盖尔－高斯模
在近轴近似条件下，真空中电磁场的波动方程为
i
方程（1）在直角坐标系
(x, y, z ) 下的解是厄米－高斯(Hermitian-Gaussian)模；在柱坐标系 (ρ ,φ , z ) 下的解是
∂u ∂2 ⎞ 1 ⎛ ∂2 = − ⎜ 2 + 2 ⎟ u. ∂z 2k ⎝ ∂x ∂y ⎠
(3)
19
厄米－高斯模和拉盖尔－高斯模及它们之间的转换
LG LG un , m ( ρ , φ , z ) = Cnm (1 w ) ρ 2 w 2
(
)
n−m
Lmin( n ,m ) ( 2 ρ 2 w2 ) exp ( − ρ 2 w2 ) e
n−m
− i ( n − m )φ
× exp ( −i k ρ 2 R ) exp ⎡ ⎣ −i ( n + m + 1)ψ ( z ) ⎤ ⎦.
dk ⎡ n m 1 − t ) (1 + t ) ⎤ . k k ⎣( ⎦ t =0 2 k ! dt
D
k
(9)
同样在文献[6]的附录里，有关于厄米－高斯模（坐标示意图如图 3(b)所示）沿光轴旋转 45 （把这种模 叫做对角厄米－高斯模）后的多项式用原来的厄米－高斯多项式展开的表达式
n+ m k =0
volostnikov文章6的附录a3中给出了拉盖尔高斯多项式用厄米高斯多项式展开的推导过程得到拉盖尔高斯多项式用厄米高斯多项式展开为???????其中kknkmkkkpkt同样在文献6的附录里有关于厄米高斯模坐标示意图如图3b所示沿光轴旋转叫做对角厄米高斯模后的多项式用原来的厄米高斯多项式展开的表达式yhxhpkkmnkkxhymn?x222201
(1)
拉盖尔－高斯模，二者都属于正交归一的完备系，可以作为希尔伯特空间的基矢。 归一化的厄米－高斯模和拉盖尔－高斯模的模式函数可以分别表示为
HG HG 2 2 2 2 2 ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ un , m ( x, y , z ) = Cnm (1 w ) exp ⎣ − ( x + y ) w ⎦ exp ⎣ −i k ( x + y ) 2 R ⎦
⎛ 2 ⎞ LG C nm =⎜ ⎟ ⎝ πn!m! ⎠
min (n, m )!.
要特征是螺旋相位波前[5]，绕光束传播方向( z 轴)一周,相位改变 2lπ ,光束横截面上中心处的光强为零,在 z 轴 上存在相位奇异。它的光强截面和相位截面如图 1 所示。
图1
上图是幅角相位 exp
( ilθ ) 引起的螺旋波前；下图是横截面上的光强分布,中心处光强为零。
1
引言
拉盖尔－高斯（Laguerre-Gaussian）模具有方位角相位 exp ( ilϕ ) ，所以有确定的轨道角动量，因此有广
泛的应用，例如在光镊技术里引入拉盖尔－高斯光束就会产生一项新应用——光学扳手，这是由于拉盖尔－ 高斯光束与介质相互作用时将其轨道角动量传递给了介质，引起介质微粒的旋转。然而高阶的拉盖尔－高斯 模在实际的激光光束中很少见，虽然也能由激光器产生[1, 2]，但是通常同时会有 exp ( ±ilφ ) 成分存在，这些成 分随时间会有涨落，所以轨道角动量的平均值为零。激光器里发射出的光主要是高斯基模，这样产生高阶拉 盖尔－高斯模的方法就被提出了。通常有三种方法产生拉盖尔－高斯模[3]，其中采用螺旋相位片和计算机全 息光栅法都是通过在高斯基模光束中引入一个位相因子，以便在光轴上产生一个螺旋型位相错位，由于相消 干涉导致远场环状光强分布的产生。另一种是由两个柱透镜构成的 π 2 模式转换器[4]，可以使厄米－高斯模 和拉盖尔－高斯模相互转换。这种几何光学模式转换器可以得到一个纯的拉盖尔－高斯模式，而采用螺旋相 位片和计算机全息难以得到纯的拉盖尔－高斯模式。本文主要介绍一下模式转换器方法得到拉盖尔－高斯 模。
由(8)－(10)多项式之间的关系可得模式之间的关系为
LG HG unm ( x, y, z ) = ∑ i k b ( n, m, k ) uN − k , k ( x, y , z ) , k =0
(11)
实系数
⎛ ( N − k ) !k ! ⎞ 1 d k ⎡ 1 − t )n (1 + t )m ⎤ . b ( n, m, k ) = ⎜ N (12) ⎟ k ⎣( ⎦ t =0 n m k t 2 ! ! ! d ⎝ ⎠ k 方程(11)式中的因子 i 表示相邻两项相差 π 2 的相位差。 如果将对角厄米－高斯模用厄米－高斯模展开，
02
=
1 2
+
i 2
+
−
1 2
11
=
1 2 1 2 1 2 1 2
1 2
1 2 − 1 2 1 2
20
=
−
i 2 1 2
−
02
=
+
+
11
=
1 2
+ 1 2
20
图2
=
−
1 2
二阶对角厄米－高斯模和拉盖尔－高斯模的展开图示
21
厄米－高斯模和拉盖尔－高斯模及它们之间的转换
3
厄米－高斯模转化为拉盖尔－高斯模的过程
∑ (− 2) P (
k k
n −k ,m−k )
(0)H n+ m−k (x )H k ( y ) = (
20
2
)
n+m
⎛x− y⎞ ⎛x+ y⎞ × Hn⎜ ⎟H m ⎜ ⎟. ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
(10)
第 32 卷
第2期
广西物理
GUANGXI PHYSICS
N
Vol.32 No.2 2011
第 32 卷
第2期
广西物理
GUANGXI PHYSICS
Vol.32 No.2 2011
厄米－高斯模和拉盖尔－高斯模及 * 它们之间的转换
袁素真 ，田俊龙，杨 癸
†
（安阳师范学院，河南 安阳 455000）
摘 要：介绍了厄米-高斯模和拉盖尔-高斯模的特点，基于厄米多项式与拉盖尔多项式之间的关系，给出了拉 盖尔-高斯模用对角的厄米-高斯模的展开式表示，进而讨论了利用模式转换器使厄米-高斯光束转化为拉盖尔高斯光束的方法。 关键词：角动量；拉盖尔-高斯光束；螺旋相位 中图分类号：O431 文献标识码：A 文章编号：1003-7551(2011)02-0019-06