六自由度数学建模

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题目机械平台的自动控制问题

六自由度机械平台（图1）是由六根带伺服电动缸（或液压装置）的支杆、上下两个平台以及上下各六只万向节（或球面副）组成。下平台固定在基础设施上，通过六根支杆的伸缩运动，控制上平台在空间六个自由度运动。六个自由度分别是三维空间的XYZ轴方向的运动以及分别绕XYZ轴旋转的运动，其结构如图2所示。

图1 六自由度机械平台

图2 机械平台结构图

附件中的视频简单展示了通过驱动支杆伸缩运动，六自由度机械平台可以实现的上平台姿态变化，相关机械学名词及原理可查阅文献资料获得。该机械平台具有并联结构，即六个驱动器共同作用于一个平台。这种设计优化了系统刚度，承载能力强，且位置误差不累计，但相较串联设计，其驱动方式也更为复杂。请对该机械平台做出适当的简化和假设，建立数学模型，并回答以下问题。

1.请描述在高度不变的情况下，上平台从初始位置沿直线向任意方向平行移动到某一个位置时六根支杆的长度随位移变化的情况。

2.上平台在初始状态下与下平台平行（如图2），请描述在保持上平台初始中心位置不变的情况下，向任意方向倾斜某一角度，此时六根支杆的长度随倾角变化的情况。

3.请根据你所建立的模型，对某一数值实例进行计算，比如某一复合姿态（应包含坐标轴方向的运动以及绕坐标轴旋转的运动）及通过某一指定路径实现该姿态，并给出数值模拟结果。