广东省珠海市红旗中学八级(上册)第一次段考数学试卷

广东省珠海市红旗中学八年级（上）第一次段考数学试卷
一、选择（共10小题，每题3分，共30分）
1．（3分）下列说法中，正确的是（）
A．关于某直线对称的两个三角形是全等三角形
B．全等三角形是关于某直线对称的
C．两个图形关于某直线对称，则这两个图形一定分别位于这条直线的两侧
D．有一条公共边的两个全等三角形关于公共边所在的直线对称
2．（3分）如图：若△ABE≌△ACF，且AB=5，AE=2，则EC的长为（）
A．2 B．3 C．5 D．2.5
3．（3分）下列条件不可以判定两个直角三角形全等的是（）
A．两条直角边对应相等
B．两个锐角对应相等
C．一条直角边和它所对的锐角对应相等
D．一个锐角和锐角所对的直角边对应相等
4．（3分）下列图形中，是轴对称图形的是（）
A．B．C．D．
5．（3分）如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（）
A．带①去B．带②去C．带③去D．带①和②去
6．（3分）在平面镜里看到其对面墙上电子钟示数如图所示：那么实际时间是（）
A．21：05 B．21：50 C．20：15 D．20：51
7．（3分）如图，EA∥DF，AE=DF，要使△AEC≌△DFB，只要（）
A．AB=CD B．EC=BF C．∠A=∠D D．AB=BC
8．（3分）已知三条木棒长为6，6，12，那么能构成下列哪种三角形？（）
A．等边三角形 B．直角三角形C．等腰三角形D．不成立
9．（3分）如图：直线a，b，c表示三条相互交叉而建的公路，现在要建立一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
10．（3分）如图：△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB=6cm，则△DEB的周长是（）
A．6cm B．4cm C．10cm D．以上都不对
二、填空题（共10小题，每题4分，共40分）
11．（4分）如图，AB=AC，BD=CD，若∠B=28°，则∠C= ．
12．（4分）点P（3，﹣4）关于y轴对称的点是．点P关于x轴对称的点是．
13．（4分）如图：将纸片△ABC沿DE折叠，点A落在点F处，已知∠1+∠2=100°，则∠A= 度．
14．（4分）等腰三角形有条对称轴，则其对称轴在．
15．（4分）全等三角形的和相等；两个三角形全等的判定方法有（填字母）：；另外两个直角三角形全等的判定方法还可以用：（填字母）．
16．（4分）如图，已知AB=DE，∠B=∠E，若要使△ABC≌△DEF，那么还要需要一个条件，这个条件可以是：，理由是：；这个条件也可以是：，理由是：．
17．（4分）如图，已知∠B=∠D=90°，若要使△ABC≌△ABD，那么还要需要一个条件，这个条件可以是：，理由是：；
这个条件也可以是：，理由是：；
这个条件还可以是，理由是：．
（4分）在△ABC中，BC上的中线AD垂直平分BC，若AB=5cm，则AC= ．18．
19．（4分）写出三个成轴对称的汉字．
20．（4分）在△ABC中，若AB=5，AC=3．则中线AD的长的取值范围是．
三、作图题（8分）
21．（8分）（1）请画出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′（其中A′，B′，C′分别是A，B，C的对应点，不写画法）；
（2）直接写出A'′，B′，C′三点的坐标：A′（），B′（），C′（）．
（3）求△ABC的面积是多少？
四、解答题
22．（7分）如图，AB=AD，CB=CD，求证：△ABC≌△ADC．
23．（7分）如图，已知线段AB、CD相交于点O，AD、CB的延长线交于点E，OA=OC，EA=EC，请说明∠A=∠C．
24．（6分）已知：如图，四边形ABCD中，BC＞AB，BD平分∠ABC，∠A+∠C=180°，
求证：AD=CD．
25．（6分）如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使得CE=CD，试判断△DBE是什么三角形？
26．（6分）如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数．
27．（6分）证明命题“等腰三角形底边上的中点到两腰的中点距离相等”．已知：在△ABC中，
求证：
证明：
28．（4分）如图，已知锐角三角形ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线相交于P，连接AP，若∠BPC=40°，求∠CAP的度数？
广东省珠海市红旗中学八年级（上）第一次段考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择（共10小题，每题3分，共30分）
1．（3分）（秋•东台市校级期中）下列说法中，正确的是（）
A．关于某直线对称的两个三角形是全等三角形
B．全等三角形是关于某直线对称的
C．两个图形关于某直线对称，则这两个图形一定分别位于这条直线的两侧
D．有一条公共边的两个全等三角形关于公共边所在的直线对称
【分析】根据轴对称的定义：两个图形沿一条直线对着，直线两旁的部分能完全重合，那么这两个图形成轴对称进行判断即可．
【解答】解：A、关于某直线对称的两个三角形是全等三角形，此选项正确；
B、全等三角形是关于某直线对称的错误，例如图一，
故此选项错误；
C、两个图形关于某直线对称，则这两个图形一定分别位于这条直线的两侧错误，例如图二：
，
故此选项错误；
D、有一条公共边的两个全等三角形关于公共边所在的直线对称，错误，例如图三：
故此选项错误；
，
故选：A．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是熟练把握轴对称的定义．2．（3分）（秋•东平县期末）如图：若△ABE≌△ACF，且AB=5，AE=2，则EC的长为（）
A．2 B．3 C．5 D．2.5
【分析】根据全等三角形性质求出AC，即可求出答案．
【解答】解：∵△ABE≌△ACF，AB=5，
∴AC=AB=5，
∵AE=2，
∴EC=AC﹣AE=5﹣2=3，
故选B．
【点评】本题考查了全等三角形的性质的应用，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
3．（3分）（秋•隆化县校级期中）下列条件不可以判定两个直角三角形全等的是（）
A．两条直角边对应相等
B．两个锐角对应相等
C．一条直角边和它所对的锐角对应相等
D．一个锐角和锐角所对的直角边对应相等
【分析】根据全等三角形的判定定理：AAS、SAS、ASA、SSS及直角三角形的判定定理HL对4个选项逐个分析，然后即可得出答案．
【解答】解：A、两条直角边对应相等，可利用全等三角形的判定定理SAS来判定两直角三角形全等，故本选项正确；
B、两个锐角对应相等，再由两个直角三角形的两个直角相等，AAA没有边的参与，所以不能判定两个直角三角形全等；故本选项错误；
C、一条直角边和它所对的锐角对应相等，可利用全等三角形的判定定理ASA来判定两个直角三角形全等；故本选项正确；
D、一个锐角和锐角所对的直角边对应相等，可以利用全等三角形的判定定理ASA或AAS来判定两个直角三角形全等；故本选项正确；
故选B．
【点评】本题考查了直角全等三角形的判定．注意，判定两个三角形全等时，必须有边的参与．
4．（3分）（•苏州）下列图形中，是轴对称图形的是（）
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故错误；
B、是轴对称图形，故正确；
C、不是轴对称图形，故错误；
D、不是轴对称图形，故错误．
故选B．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
5．（3分）（•广元）如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（）
A．带①去B．带②去C．带③去D．带①和②去
【分析】此题可以采用全等三角形的判定方法以及排除法进行分析，从而确定最后的答案．
【解答】解：A、带①去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不能得到与原来一样的三角形，故A选项错误；
B、带②去，仅保留了原三角形的一部分边，也是不能得到与原来一样的三角形，故B选项错误；
C、带③去，不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一个边，符合ASA判定，故C选项正确；
D、带①和②去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，同样不能得到与原来一样的三角形，故D选项错误．
故选：C．
【点评】主要考查学生对全等三角形的判定方法的灵活运用，要求对常用的几种方法熟练掌握．
6．（3分）（•内江）在平面镜里看到其对面墙上电子钟示数如图所示：那么实际时间是（）
A．21：05 B．21：50 C．20：15 D．20：51
【分析】根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称．
【解答】解：由镜面对称性可知，20：15在真实时间表示尚应该是21：05．故选A．
【点评】本题根据镜面对称解答即可，比较简单．
7．（3分）（秋•东平县期末）如图，EA∥DF，AE=DF，要使△AEC≌△DFB，只要（）
A．AB=CD B．EC=BF C．∠A=∠D D．AB=BC
【分析】四项分别一试即可，要判定△AEC≌△DFB，已知AE=DF、∠A=∠D，要加线段相等，只能是AC=DB，而AB=CD即可得．
【解答】解：∵AB=CD
∴AC=DB
又AE=DF、∠A=∠D
∴△AEC≌△DFB
故选A．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．8．（3分）（秋•金湾区校级月考）已知三条木棒长为6，6，12，那么能构成下列哪种三角形？（）
A．等边三角形 B．直角三角形C．等腰三角形D．不成立
【分析】根据三角形的三边关系进行解答即可．
【解答】解：∵6+6=12，
∴三条木棒不能构成三角形．
故选D．
【点评】本题考查的是三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边．
9．（3分）（秋•莘县期末）如图：直线a，b，c表示三条相互交叉而建的公路，现在要建立一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】由三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，可得三角形内角平分线的交点满足条件；然后利用角平分线的性质，可证得三角形两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，这样的点有3个，可得可供选择的地址有4个．
【解答】解：∵△ABC内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，∴△ABC内角平分线的交点满足条件；
如图：点P是△ABC两条外角平分线的交点，
过点P作PE⊥AB，PD⊥BC，PF⊥AC，
∴PE=PF，PF=PD，
∴PE=PF=PD，
∴点P到△ABC的三边的距离相等，
∴△ABC两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，满足这条件的点有3个；
综上，到三条公路的距离相等的点有4个，
∴可供选择的地址有4个．
故选D．
【点评】此题考查了角平分线的性质．注意掌握角平分线上的点到角两边的距离相等，注意数形结合思想的应用，小心别漏解．
10．（3分）（秋•东平县期末）如图：△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD 平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB=6cm，则△DEB的周长是（）
A．6cm B．4cm C．10cm D．以上都不对
【分析】由∠C=90°，根据垂直定义得到DC与AC垂直，又AD平分∠CAB 交BC于D，DE⊥AB，利用角平分线定理得到DC=DE，再利用HL证明三角形ACD与三角形AED全等，根据全等三角形的对应边相等可得AC=AE，又AC=BC，可得BC=AE，然后由三角形BED的三边之和表示出三角形的周长，将其中的DE换为DC，由CD+DB=BC进行变形，再将BC换为AE，由AE+EB=AB，可得出三角形BDE的周长等于AB的长，由AB的长可得出周长．
【解答】解：∵∠C=90°，∴DC⊥AC，
又AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB，
∴CD=ED，
在Rt△ACD和Rt△AED中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC=AE，又AC=BC，
∴AC=AE=BC，又AB=6cm，
∴△DEB的周长=DB+BE+ED=DB+CD+BE=BC+BE=AE+EB=AB=6cm．
故选A．
【点评】此题考查了角平分线定理，垂直的定义，直角三角形证明全等的方法﹣HL，利用了转化及等量代换的思想，熟练掌握角平分线定理是解本题的关键．
二、填空题（共10小题，每题4分，共40分）
11．（4分）（秋•中山区期末）如图，AB=AC，BD=CD，若∠B=28°，则∠C= 28°．
【分析】首先连接AD，就构成了两个三角形，根据边角边定理，证明△ABD≌△ACD．再根据三角形全等的性质得到∠B=∠C．至此问题得解．【解答】解：连接线段AD
在△ABD与△ACD中，⇒△ABD≌△ACD⇒∠B=∠C
又∵∠B=28°
∴∠C=28°
故答案为28°
【点评】本题考查全等三角形的性质及判定．解决本题的关键是通过连接线段AD，构造出两个三角形，根据已知条件证明全等．
12．（4分）（秋•金湾区校级月考）点P（3，﹣4）关于y轴对称的点是（﹣3，﹣4）．点P关于x轴对称的点是（3，4）．
【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案．
【解答】解：点P（3，﹣4）关于y轴对称的点是（﹣3，﹣4）．
点P关于x轴对称的点是（3，4），
故答案为：（﹣3，﹣4）；（3，4）．
【点评】此题主要考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．
13．（4分）（秋•岱岳区期末）如图：将纸片△ABC沿DE折叠，点A落在点F处，已知∠1+∠2=100°，则∠A= 50 度．
【分析】根据折叠的性质可知∠ADE=∠EDF，∠AED=∠DEF，利用平角是180°，求出∠ADE与∠AED的和，然后利用三角形内角和定理求出∠A的度数．
【解答】解：∵将纸片△ABC沿DE折叠，点A落在点F处，
∴∠ADE=∠EDF，∠AED=∠DEF，
∴∠1+2∠ADE+∠2+2∠AED=180°+180°，
∴∠1+∠2+2（∠ADE+∠AED）=360°，
又∵∠1+∠2=100°，
∴∠ADE+∠AED=130°，
∴∠A=180°﹣（∠ADE+∠AED）=50°．
故答案是：50
【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题）．解题时注意挖掘出隐含于题中的已知条件：三角形内角和是180°、平角的度数也是180°．14．（4分）（秋•金湾区校级月考）等腰三角形有一条或三条条对称轴，则其对称轴在底边的垂直平分线上．
【分析】等腰三角形是轴对称图形，注意分一般等腰三角形和特殊等腰三角形两种情况考虑．
【解答】解：一般等腰三角形有一条，即底边上的中线所在的直线；
若是特殊的等腰三角形即等边三角形，则有三条，即每条边上的中线所在的直线．
等腰三角形的对称轴在底边的垂直平分线上，
故答案为：一条或三条，底边的垂直平分线上．
【点评】本题考查了轴对称的性质及等腰三角形的性质，做题时很易出错，往往只想到一般的等腰三角形，要注意两种情况的考虑．
15．（4分）（秋•西区期中）全等三角形的对应边和对应角相等；两个三角形全等的判定方法有（填字母）：SAS，ASA，AAS，SSS ；另外两个直角三角形全等的判定方法还可以用：（填字母）SAS，ASA，AAS，SSS，HL ．
【分析】全等三角形的性质是全等三角形的对应角相等，对应边相等，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．
【解答】解：全等三角形的对应角相等，对应边相等，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，直角三角形全等的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL，
故答案为：对应边，对应角，SAS，ASA，AAS，SSS，SAS，ASA，AAS，SSS，HL．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理和性质的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．直角三角形全等还有定理HL．16．（4分）（秋•金湾区校级月考）如图，已知AB=DE，∠B=∠E，若要使△ABC≌△DEF，那么还要需要一个条件，这个条件可以是：∠A=∠D ，理由是：ASA ；这个条件也可以是：BC=EF ，理由是：SAS ．
【分析】添加条件∠A=∠D，根据ASA即可推出两三角形全等；添加条件BC=EF，根据SAS推出两三角形全等．
【解答】解：添加条件∠A=∠D，根据ASA推出△ABC≌△DEF；
添加条件BC=EF，根据SAS推出△ABC≌△DEF；
故答案为：∠A=∠D，ASA，BC=EF，SAS．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．
17．（4分）（秋•金湾区校级月考）如图，已知∠B=∠D=90°，若要使△ABC≌△ABD，那么还要需要一个条件，这个条件可以是：BC=DC ，理由是：HL ；
这个条件也可以是：∠BAC=∠DAC ，理由是：SAS ；
这个条件还可以是∠ACB=∠ACD ，理由是：AAS ．
【分析】本题要判定△ABC≌△ABD，已知∠B=∠D=90°，AC是公共边，具备了一组角和一组边对应相等，故添加BC=DC、∠BAC=∠DAC、∠ACB=∠ACD 后可分别根据HL、SAS、AAS能判定△ABC≌△ABD．
【解答】解：添加BC=DC，可根据HL判定△ABC≌△ABD；
添加∠BAC=∠DAC，可根据SAS判定△ABC≌△ABD；
添加∠ACB=∠ACD，可根据AAS判定△ABC≌△ABD．
故答案为：BC=DC、HL；∠BAC=∠DAC，SAS；∠ACB=∠ACD，AAS．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
18．（4分）（秋•金湾区校级月考）在△ABC中，BC上的中线AD垂直平分BC，若AB=5cm，则AC= 5cm ．
【分析】由AD垂直平分BC，根据线段垂直平分线的性质，可得AC=AB=5cm．【解答】解：∵AD垂直平分BC，
∴AC=AB=5cm．
故答案为：5cm．
【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
19．（4分）（秋•金湾区校级月考）写出三个成轴对称的汉字中，日，木．
【分析】根据轴对称图形的概念，分析汉字的结构特征求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形．这条直线叫做对称轴．
【解答】解：如中，日，木等．
故答案可以是：中，日，木．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
20．（4分）（秋•兰西县校级期末）在△ABC中，若AB=5，AC=3．则中线AD的长的取值范围是1＜AD＜4 ．
【分析】先作辅助线，延长AD至点E，使DE=AD，连接EC，先证明△ABD ≌△ECD，在△AEC中，由三角形的三边关系定理得出答案．
【解答】解：延长AD至点E，使DE=AD，连接EC，
∵BD=CD，DE=AD，∠ADB=∠EDC，
∴△ABD≌△ECD，
∴CE=AB，
∵AB=5，AC=3，CE=5，
设AD=x，则AE=2x，
∴2＜2x＜8，
∴1＜x＜4，
∴1＜AD＜4．
故答案为：1＜AD＜4．
【点评】本题考查了三角形的三边关系定理，难度一般，关键是掌握三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边．
三、作图题（8分）
21．（8分）（秋•如皋市校级期中）（1）请画出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′（其中A′，B′，C′分别是A，B，C的对应点，不写画法）；
（2）直接写出A'′，B′，C′三点的坐标：A′（3，2 ），B′（4，﹣3 ），C′（1，﹣1 ）．
（3）求△ABC的面积是多少？
【分析】（1）首先找出A、B、C三点关于y轴的对称点，再连接即可；
（2）根据图形写出坐标即可；
（3）利用矩形的面积减去周围多余的三角形的面积即可．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）（3，2）、（4，﹣3）、（1，﹣1）；
（3）△ABC的面积是：3×5﹣×1×5﹣×2×3﹣×2×3=6.5．
【点评】此题主要考查了作图﹣轴对称变换，以及求三角形的面积，写点的坐标，关键是正确找到A、B、C三点关于y轴的对称点．
四、解答题
22．（7分）（秋•长春期中）如图，AB=AD，CB=CD，求证：△ABC≌△ADC．
【分析】已知隐含条件AC=AC，根据SSS推出两三角形全等即可．
【解答】证明：∵在△ABC和△ADC中
，
∴△ABC≌△ADC（SSS）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．
23．（7分）（春•安溪县校级期中）如图，已知线段AB、CD相交于点O，AD、CB的延长线交于点E，OA=OC，EA=EC，请说明∠A=∠C．
【分析】连接OE，由OA=OC，EA=EC，OE为公共边，可证得△AOE≌△COE，即可得∠A=∠C．
【解答】证明：连接OE，
∵OA=OC，EA=EC，OE为公共边，
∴△AOE≌△COE（SSS），
∴∠A=∠C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质，正确作出辅助线是解题的关键，本题比较简单．
24．（6分）（秋•保靖县校级期中）已知：如图，四边形ABCD中，BC＞AB，BD平分∠ABC，∠A+∠C=180°，
求证：AD=CD．
【分析】在边BC上截取BE=BA，连接DE，根据SAS证△ABD≌△EBD，推出AD=ED，∠A=∠BED，求出∠DEC=∠C即可．
【解答】证明：在边BC上截取BE=BA，连接DE，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
在△ABD和△EBD中，，
∴△ABD≌△EBD （SAS），
∴AD=ED，∠A=∠BED，
∵∠A+∠C=180°，∠BED+∠CED=180°，
∴∠C=∠CED，
∴CD=ED，
∴AD=CD．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定，全等三角形的性质和判定等知识点的应用，解此题的关键是正确作辅助线，又是难点，解题的思路是把AD
和CD放到一个三角形中，根据等腰三角形的判定进行证明，题型较好，有一定的难度．
25．（6分）（秋•金湾区校级月考）如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使得CE=CD，试判断△DBE是什么三角形？
【分析】先根据等边三角形的性质求出∠DBC的度数及∠ACB的度数，再由等腰三角形的性质得出∠E=∠CDE，由三角形外角的性质得出∠E的度数，故可得出结论．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，BD是中线，
∴∠DBC=×60°=30°，∠ACB=60°，
∵CE=CD，
∴∠E=∠CDE，
∵∠ACB是△CDE的外角，
∴∠E+∠CDE=60°，
∴∴∠E=∠CDE=30°，
∴∠E=∠DBC=30°，
∴BD=DE，即△DBE是等腰三角形．
【点评】本题考查的是等边三角形的性质及等腰三角形的判定定理，熟知等边三角形“三线合一”的性质是解答此题的关键．
26．（6分）（秋•崆峒区期末）如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数．
【分析】设∠A=x，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求得各角的度数．
【解答】解：设∠A=x．
∵AD=BD，
∴∠ABD=∠A=x；
∵BD=BC，
∴∠BCD=∠BDC=∠ABD+∠A=2x；
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠BCD=2x，
∴∠DBC=x；
∵x+2x+2x=180°，
∴x=36°，
∴∠A=36°，∠ABC=∠ACB=72°．
【点评】本题考查等腰三角形的性质；利用了三角形的内角和定理得到相等关系，通过列方程求解是正确解答本题的关键．
27．（6分）（春•杭州期中）证明命题“等腰三角形底边上的中点到两腰的中点距离相等”．
已知：在△ABC中，AB=AC，点D，E，F分别为边BC，AB，AC的中点．求证：DE=DF
证明：
【分析】证明命题时，首先根据题意画出图形，再结合图形写出已知及求证的内容，然后利用已学知识进行证明．
【解答】已知：在△ABC中，AB=AC，点D，E，F分别为边BC，AB，AC
的中点．
求证：DE=DF．
证明：∵△ABC为等腰三角形，
∴∠B=∠C，AB=AC．
又∵点D，E，F分别为边BC，AB，AC的中点，
∴BE=CF，BD=CD，
∴△BDE≌△CDF．
∴DE=DF．
故命题得证．
【点评】本题主要考查命题的证明步骤，等腰三角形的性质及全等三角形的性质与判定．根据命题画出图形是解题的关键．
28．（4分）（秋•金湾区校级月考）如图，已知锐角三角形ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线相交于P，连接AP，若∠BPC=40°，求∠CAP的度数？
【分析】根据外角与内角性质得出∠BAC的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP=∠FAP，即可得出答案．【解答】解：延长BA，做PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，
设∠PCD=x°，
∵CP平分∠ACD，
∴∠ACP=∠PCD=x°，PM=PN，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP=∠PBC，PF=PN，
∴PF=PM，
∵∠BPC=40°，
∴∠ABP=∠PBC=（x﹣40）°，
∴∠BAC=∠ACD﹣∠ABC=2x°﹣（x°﹣40°）﹣（x°﹣40°）=80°，∴∠CAF=100°，
在Rt△PFA和Rt△PMA中，
，
∴Rt△PFA≌Rt△PMA（HL），
∴∠FAP=∠PAC=50°．
【点评】此题主要考查了角平分线的性质以及三角形外角的性质和直角三角全等的判定等知识，根据角平分线的性质得出PM=PN=PF是解决问题的关键．。