第15章-梁的弯曲问题
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F
F
●按梁的横截面 ⑴等截面梁：横截面沿梁的长度没有变化； ⑵变截面梁：横截面沿梁的长度有变化。
汽车钢板弹簧
鱼腹梁
15.2 梁的内力及其求法
一、求梁的内力的方法——截面法 ●内力的形式及名称
1 F1
F2
A
1
FR源自文库 a
l
FRB
A
FRA
a
M
FQ
Fy 0 MO 0
FQ M
剪力 弯矩
N或kN N·m或kN·m
分段是以集中力、集中力偶的作用位置及分布荷 载的起点和终点为界 （ ? ）
解：(1)求支座反力
FRA 5ql
A(O)
F CD
Me
B
FRA
FRB 4ql
l/3 l
l/3 FRB
(2)分三段AC、CD、DB列出剪力方程和弯矩方程 AC段
FQxFRA5ql
M xF R Ax5qlx
CD段 DB段
FQ x FRAF4ql
F2=10kN，试计算指定截面1-1、2-2的内力。
0.5m F1 1
F2 2
1m
A
FRA 1
2
B FRB
1m
1.5m
3m
解：(1) 求支座反力
MB 0 F 1 2 .5 F 2 1 .5 F R A 3 0FRA 15kN
Fy 0 F R AF R BF 1F 20
FRB 7kN
(2)求1-1截面上的内力
●内力的求法
A
FRA
a
M
FQ
Fy 0
F RA F Q0 F QF RA
MO 0
M F R A a 0 M F R A a
F1 FQ M
F2
B?
FRA
●内力的正负号
⑴剪力
FQ
FQ
左上右下为正
M
⑵弯矩
M
向上凹变形为正
FQ
FQ
左下右上为负
M
M
向上凸变形为负
例1 图示简支梁受两个集中力作用，已知F1=12kN，
F =8kN 1
q=12kN/m 2
A
1
2 1.5m B
FRA 2m
1.5m
FRB
3m
15.3 内力图──剪力图和弯矩图
为了形象地看到内力的变化规律，通常将剪力、弯 矩沿梁长的变化情况用图形表示出来，这种表示剪力 和弯矩变化规律的图形分别称为剪力图和弯矩图。
具体作法是：
剪力方程： FQFQx 函数图形 弯矩方程： MMx
F Q F1 ql F2sin FRB
M
F1
e
qle c
l 2
Me
F 2sin f b FRB f
例3 求图示简支梁1-1与2-2截面的剪力和弯矩。
F =8kN 1
A 1
q=12kN/m 2
2 1.5m B
FRA 2m
FRB
3m
1.5m
解：(1)求支座反力
MB 0 F R A 6 8 4 .5 1 2 3 1 .5 FRA 15kN MA 0 F R B 6 8 1 .5 1 2 3 4 .5 FRB 29kN
例4 求作图示受均布荷载作用的简支梁的剪力图和
弯矩图。
q
解：(1)求支座反力
A
B
FRA
FRA
FRB
ql 2
x
FRB
l
(2)列出剪力方程和弯矩方程
取距左端为x处的任一截面，此截面的剪力和弯矩
表达式分别为:
FQ
x
FRA
qx
q
l 2
x
Mx FRAxqx2xq 2xlx
(3)画剪力图、弯矩图，标出特征值
2 梁的任一横截面上的弯矩在数值上等于该截面左 侧（或右侧）所有竖向力对该截面形心力矩的代数和 （包括外力偶、约束反力偶）；且截面左边顺时针（ 右边逆时针）的力矩使截面产生正号的弯矩。
例2 试利用上述结论写出图示梁1-1截面上的剪力和 弯矩的表达式。
e
c
l
q
1 F1 FQ
d b
M1
Me
f
α
FRB
F2
花落，“惆
火车轴
厂房吊车梁
●对称（平面）弯曲 (Planar bending)
对称平面 F2
F1
(b)
F2
F1
(a)
A
B
(c)
平面弯曲：梁的轴线在变形后仍保持在同一平面( 荷载作用面)内，即梁的轴线成为一条平面曲线。
梁的荷载和支座反力
一、梁的荷载 1 集中力：作用在微小局部上的横向力； 2 集中力偶：作用在通过梁轴线的平面（或与该面 平行的平面）内的力偶。
MxF R A x F x l3 3 q l2 4 q lx
FQ x FRAF4ql
Mx F R A x F x l3 M e 4 q l2 4 q l x
A(O)
F CD
Me
B
FRA
l/3 l
l/3 FRB
(3)画剪力图、弯矩图，标出特征值
FRA 5ql FRB 4ql
Mmax =121/72qa2
例8 作梁的内力图
P=3kN
M1=2kNm
M2=6kNm
q=1kN/m
A
FRA=5kN
B
FRB=4kN
2m
2m
2m
2m
FQ (kN)
3
2+
2+
2 8
6
6
6
4
M(kNm)
q qa
q
qa a
qa F Q
aa 2qa
qa
qa M qa 2 / 2
qa 2 / 2
2qa 2
Me
q
A
C
B
a FRA 3a
FRB
解：(1)求支座反力
11
MA 0 FRB 6 qa
Fy 0
FRA
7 6
qa
(2)作剪力图
FRA
7 6
qa
FRB
11 6
qa
(3)作弯矩图
x
7 6
qa
q
7
6
a
Me
q
A C
a FRA 3a
7/6qa
FQ图
x
M图
B FRB
11/6qa
M max
Me
1q 1 a 1a 1 q1a 1 1a 1 12 q21 a 6 6 6 1272
第十五章 梁的弯曲问题
15.1 工程实际中的弯曲问题
一、平面弯曲的基本概念
梁在垂直于其轴线的荷载作用下要变弯，其轴 线由原来的直线变成曲线，这种变形叫做弯曲变 形。产生弯曲变形的构件称为受弯构件。
F2 M
F1
A
B
●工程实例
建筑工程中的各类梁、火车轴、水压作用下的水
槽壁等。
梨 花 有 一 种静 美，白 色的花 瓣晶莹 剔透， 宛若少 女的皮 肤，轻 轻一弹 ，便要 弹 出 水 来 。 它们从 不花团 锦簇地 凑热闹 ，而是 小桥流 水般宁 静地开 着。下 面是美 文 阅 读 网 小 编给大 家带来 的当代 描写梨 花的精 美散文 ，供大 家欣赏 。 当 代 描 写 梨 花 的 精 美散文 ：梨花 春 天 ， 多 的是浅 紫轻红 ，多的 是温香 细软;多的是鹅 黄 新 绿 ， 多 的是静 幽流韵 。 在 这 些 红 红粉 粉，花 花草草 中，梨 花实在 算不上 是 出 众 。 艳 ， 不 及夭 夭皎皎 的桃;娇 ，不及 嫣嫣然 然的海 棠;柔 ，不及 娇娇滴 滴 的 芍 药 ; 幽 ， 不 及清 清雅雅 的兰。 但是， 梨花， 却别有 风韵， “粉淡香清自 一 家 ” 。 “ 梨 花 风起 正清明 ”，清 明前后 ，此时 已是阳 春，东 风和煦 ，万物 复 苏 ， 梨 花 像圣洁 的仙子 ，素衣 清颜， 带着唐 风宋韵 的沉香 ，破春 而来。 玉骨清 肌 ， 千 朵 万 朵，在 枝 头 摇 曳 绽放， 像天上 密密的 繁星， 似乎还 在调皮 的眨着 眼 睛 ;像 隆 冬 拂过天 空的白 雪，晶 莹剔透 ，轻盈 而玲珑 。“芳 春照流 雪，深夕映繁 星 ” ， 就 是 最好的 写照。 梨 花 比 作 雪，雪 也被比 作梨花 。“忽 如一夜 春风来 ， 千 树 万 树 梨花开 ”。雪 比梨花 ，梨花 比雪， 梨花输 雪三分 白，雪 却输梨 花几缕 香 ， 想 来 还 是梨花 略胜一 筹，倒 与梅雪 之评异 曲同工 。 东 坡 却 已 从花 开看到
A FRA 1
2
B FRB
1m
1.5m
3m
F1
A
FRA
F2 M2
FQ2
Fy 0 F Q 2 F R A F 1 F 2 0 F Q 2 7 k N
FQ2FRAF1F2
FQ2 FRB
M O
0
M 2 F R A 2 F 1 1 . 5 F 2 0 . 5 0 M 2 7 k N m
F Me
3 分布荷载：沿梁长连续分布的横向力。
q(x) q(x)=C
荷载集度： 分布荷载的大小 均布荷载 非均布荷载
用q(x)表示
二、梁的支座及支座反力 ●支座形式 1 固定铰约束
2 可动铰约束
3 固定支座
FRx F Ry
FR
MR
FRx
F Ry
●计算简图 确定梁的“计算简图” 包含：
⑴ 以梁的轴线经代替实际的梁； ⑵ 以简化后的支座代替实际的支座；
(2)当梁的支承情况对称，荷载反对称时，则弯矩
图永为反对称图形，剪力图永为对称图形。
q/2
q/2
A
BA
EI B
C EI l
C l q/2
FQ图
M图
三、画剪力图、弯矩图的简便方法
例7 图示左端外伸梁，外伸端A作用一集中力偶
Me=qa2，BA段所受荷载的分布集度为q，试利用微分 关系作梁的剪力图、弯矩图。
B
l/3
l/3
l
dMx
dx
FQ
x
dFQ x qx
dx
5ql x
M x 3ql2 4qlx
4ql2 4qlx
5ql
FQ
x
4ql
4 q l
qx0
二、剪力图、弯矩图的规律
q
=0
>0
FQ
M
直线段
FQ > 0
=0
M
<0
>0
<0
<0 >0 <0
★结论（规律）：
(1)当梁的支承情况对称，荷载也对称时，则弯矩 图永为对称图形，剪力图永为反对称图形；
实际支承→理想支承 ⑶ 以简化后的荷载代替实际的荷载。
三、梁的分类 ●按支座情况 ⑴简支梁：一端固定铰，一端可动铰
⑵外伸梁：一端或两端向外伸出的简支梁
⑶悬臂梁：一端固定支座，另一端自由
●按支座反力的求解方法
⑴静定梁：用平衡方程可求出未知反力的梁；
FAy
FAx A
B
FB
MA
A
FAx
FAz
⑵超静定梁：仅用平衡方程不能求出全部未知反 力的梁。
C
A
a
qa
FQ
q
2qa
B
D
2a
a
5qa
2qa
qa
M 2qa 2
3qa
2qa 2
15.5 叠加法作剪力图和弯矩图
F
q
A
C
D Me B
a b
l
结论：q、F、Me共同作用时产生的内力等于q、F、 Me分别单独作用时产生的内力之和。
因此，当梁上有几种（或几个）荷载作用时，可以
5ql
FQ
x
4
q
l
4 q l
5ql x
M x 3ql2 4qlx
4ql2 4qlx
F
Me
A(O)
C 12 D
B
12
FRA l/3 l
l/3 FRB
5 ql
FQ图
4ql
M图
5ql2 3
ql2 3
4 ql2 3
结论：
●当梁上荷载有变化时，剪力方程和弯矩方程 不可能用一个统一的函数式来表达，必须分段列出 其表达式。分段是以集中力、集中力偶的作用位置 及分布荷载的起点和终点为界。
q
A
B
FRA
FQ
x
q
l 2
x
x
FRB
l
Mx qxl x
ql/2
2
FQ图
ql/2
M图
ql2/8
例5 简支梁受一集中力F=9ql和一集中力偶Me=ql2作 用，试作出其剪力图和弯矩图。
A(O)
F C
12
D
3
Me
4
B
12 34
l/3
l/3
l
分析： 1-1、2-2截 面上的剪力
结论：当梁中间受力较复杂时，剪力方程和弯 矩方程不可能用一个统一的函数式来表达，必须分 段 (分段点如何确定？) 列出其表达式。
0.5m F1 1
F2 2
1m
A
FRA 1
2
B FRB
1m
1.5m
3m
0.5m F1 M1 A
FQ1 FRA 1m
Fy 0 F R AF 1F Q 10 F Q 13 kN
MO 0 M 1 F R A 1 F 1 0 .5 0 M 1 9 k N m
(3)求2-2截面上的内力
0.5m F1 1 F2 2 1m
●剪力图和弯矩图一般是连续的 。在集中力作 用处剪力图发生突变，突变的数值等于集中力的大 小，方向与集中力的方向相同；在有集中力偶作用 的地方弯矩图发生突变，突变的数值等于集中力偶 的大小，方向为“顺下逆上”。
15.4 弯矩、剪力、荷载集度之间的关系
一、弯矩、剪力、荷载集度之间的关系
F
Me
A(O) C D
M 2 F R A 2 F 1 1 .5 F 2 0 .5
FQ2FRAF1F2
FQ
F1
M 2 F R A 2 F 1 1 .5 F 2 0 .5
结论：
M FRA
F2 M2 FQ2
1 梁的任一横截面上的剪力在数值上等于该截面左 侧（或右侧）所有竖向力（包括斜向外力的竖向分力 、约束反力）的代数和；且截面左边向上（右边向下 ）的外力使截面产生正号的剪力。
可见计算结果完全相同。 F=8kN 1
q=12kN/m 2
A
1
2 1.5m B
FRA 2m
1.5m
3m
FRB
(3) 求2-2截面的剪力FQ2、弯矩M2 根据2-2截面右侧的外力计算可得：
FQ2 q1.5F R B11kN
M2 q 1 .5 0 .7 5 F R B 1 .5 3 0 k N m
(2)求1-1截面的剪力FQ1、弯矩M1 根据1-1截面左侧的外力计算可得：
FQ1 F R AF1587kN
M1 F R A 2 F 2 1 .5 2 6 k N m
根据1-1截面右侧的外力计算可得
FQ1 q3FRB7kN
M1 q 3 2 .5 F R B 4 2 6 k N m
F
●按梁的横截面 ⑴等截面梁：横截面沿梁的长度没有变化； ⑵变截面梁：横截面沿梁的长度有变化。
汽车钢板弹簧
鱼腹梁
15.2 梁的内力及其求法
一、求梁的内力的方法——截面法 ●内力的形式及名称
1 F1
F2
A
1
FR源自文库 a
l
FRB
A
FRA
a
M
FQ
Fy 0 MO 0
FQ M
剪力 弯矩
N或kN N·m或kN·m
分段是以集中力、集中力偶的作用位置及分布荷 载的起点和终点为界 （ ? ）
解：(1)求支座反力
FRA 5ql
A(O)
F CD
Me
B
FRA
FRB 4ql
l/3 l
l/3 FRB
(2)分三段AC、CD、DB列出剪力方程和弯矩方程 AC段
FQxFRA5ql
M xF R Ax5qlx
CD段 DB段
FQ x FRAF4ql
F2=10kN，试计算指定截面1-1、2-2的内力。
0.5m F1 1
F2 2
1m
A
FRA 1
2
B FRB
1m
1.5m
3m
解：(1) 求支座反力
MB 0 F 1 2 .5 F 2 1 .5 F R A 3 0FRA 15kN
Fy 0 F R AF R BF 1F 20
FRB 7kN
(2)求1-1截面上的内力
●内力的求法
A
FRA
a
M
FQ
Fy 0
F RA F Q0 F QF RA
MO 0
M F R A a 0 M F R A a
F1 FQ M
F2
B?
FRA
●内力的正负号
⑴剪力
FQ
FQ
左上右下为正
M
⑵弯矩
M
向上凹变形为正
FQ
FQ
左下右上为负
M
M
向上凸变形为负
例1 图示简支梁受两个集中力作用，已知F1=12kN，
F =8kN 1
q=12kN/m 2
A
1
2 1.5m B
FRA 2m
1.5m
FRB
3m
15.3 内力图──剪力图和弯矩图
为了形象地看到内力的变化规律，通常将剪力、弯 矩沿梁长的变化情况用图形表示出来，这种表示剪力 和弯矩变化规律的图形分别称为剪力图和弯矩图。
具体作法是：
剪力方程： FQFQx 函数图形 弯矩方程： MMx
F Q F1 ql F2sin FRB
M
F1
e
qle c
l 2
Me
F 2sin f b FRB f
例3 求图示简支梁1-1与2-2截面的剪力和弯矩。
F =8kN 1
A 1
q=12kN/m 2
2 1.5m B
FRA 2m
FRB
3m
1.5m
解：(1)求支座反力
MB 0 F R A 6 8 4 .5 1 2 3 1 .5 FRA 15kN MA 0 F R B 6 8 1 .5 1 2 3 4 .5 FRB 29kN
例4 求作图示受均布荷载作用的简支梁的剪力图和
弯矩图。
q
解：(1)求支座反力
A
B
FRA
FRA
FRB
ql 2
x
FRB
l
(2)列出剪力方程和弯矩方程
取距左端为x处的任一截面，此截面的剪力和弯矩
表达式分别为:
FQ
x
FRA
qx
q
l 2
x
Mx FRAxqx2xq 2xlx
(3)画剪力图、弯矩图，标出特征值
2 梁的任一横截面上的弯矩在数值上等于该截面左 侧（或右侧）所有竖向力对该截面形心力矩的代数和 （包括外力偶、约束反力偶）；且截面左边顺时针（ 右边逆时针）的力矩使截面产生正号的弯矩。
例2 试利用上述结论写出图示梁1-1截面上的剪力和 弯矩的表达式。
e
c
l
q
1 F1 FQ
d b
M1
Me
f
α
FRB
F2
花落，“惆
火车轴
厂房吊车梁
●对称（平面）弯曲 (Planar bending)
对称平面 F2
F1
(b)
F2
F1
(a)
A
B
(c)
平面弯曲：梁的轴线在变形后仍保持在同一平面( 荷载作用面)内，即梁的轴线成为一条平面曲线。
梁的荷载和支座反力
一、梁的荷载 1 集中力：作用在微小局部上的横向力； 2 集中力偶：作用在通过梁轴线的平面（或与该面 平行的平面）内的力偶。
MxF R A x F x l3 3 q l2 4 q lx
FQ x FRAF4ql
Mx F R A x F x l3 M e 4 q l2 4 q l x
A(O)
F CD
Me
B
FRA
l/3 l
l/3 FRB
(3)画剪力图、弯矩图，标出特征值
FRA 5ql FRB 4ql
Mmax =121/72qa2
例8 作梁的内力图
P=3kN
M1=2kNm
M2=6kNm
q=1kN/m
A
FRA=5kN
B
FRB=4kN
2m
2m
2m
2m
FQ (kN)
3
2+
2+
2 8
6
6
6
4
M(kNm)
q qa
q
qa a
qa F Q
aa 2qa
qa
qa M qa 2 / 2
qa 2 / 2
2qa 2
Me
q
A
C
B
a FRA 3a
FRB
解：(1)求支座反力
11
MA 0 FRB 6 qa
Fy 0
FRA
7 6
qa
(2)作剪力图
FRA
7 6
qa
FRB
11 6
qa
(3)作弯矩图
x
7 6
qa
q
7
6
a
Me
q
A C
a FRA 3a
7/6qa
FQ图
x
M图
B FRB
11/6qa
M max
Me
1q 1 a 1a 1 q1a 1 1a 1 12 q21 a 6 6 6 1272
第十五章 梁的弯曲问题
15.1 工程实际中的弯曲问题
一、平面弯曲的基本概念
梁在垂直于其轴线的荷载作用下要变弯，其轴 线由原来的直线变成曲线，这种变形叫做弯曲变 形。产生弯曲变形的构件称为受弯构件。
F2 M
F1
A
B
●工程实例
建筑工程中的各类梁、火车轴、水压作用下的水
槽壁等。
梨 花 有 一 种静 美，白 色的花 瓣晶莹 剔透， 宛若少 女的皮 肤，轻 轻一弹 ，便要 弹 出 水 来 。 它们从 不花团 锦簇地 凑热闹 ，而是 小桥流 水般宁 静地开 着。下 面是美 文 阅 读 网 小 编给大 家带来 的当代 描写梨 花的精 美散文 ，供大 家欣赏 。 当 代 描 写 梨 花 的 精 美散文 ：梨花 春 天 ， 多 的是浅 紫轻红 ，多的 是温香 细软;多的是鹅 黄 新 绿 ， 多 的是静 幽流韵 。 在 这 些 红 红粉 粉，花 花草草 中，梨 花实在 算不上 是 出 众 。 艳 ， 不 及夭 夭皎皎 的桃;娇 ，不及 嫣嫣然 然的海 棠;柔 ，不及 娇娇滴 滴 的 芍 药 ; 幽 ， 不 及清 清雅雅 的兰。 但是， 梨花， 却别有 风韵， “粉淡香清自 一 家 ” 。 “ 梨 花 风起 正清明 ”，清 明前后 ，此时 已是阳 春，东 风和煦 ，万物 复 苏 ， 梨 花 像圣洁 的仙子 ，素衣 清颜， 带着唐 风宋韵 的沉香 ，破春 而来。 玉骨清 肌 ， 千 朵 万 朵，在 枝 头 摇 曳 绽放， 像天上 密密的 繁星， 似乎还 在调皮 的眨着 眼 睛 ;像 隆 冬 拂过天 空的白 雪，晶 莹剔透 ，轻盈 而玲珑 。“芳 春照流 雪，深夕映繁 星 ” ， 就 是 最好的 写照。 梨 花 比 作 雪，雪 也被比 作梨花 。“忽 如一夜 春风来 ， 千 树 万 树 梨花开 ”。雪 比梨花 ，梨花 比雪， 梨花输 雪三分 白，雪 却输梨 花几缕 香 ， 想 来 还 是梨花 略胜一 筹，倒 与梅雪 之评异 曲同工 。 东 坡 却 已 从花 开看到
A FRA 1
2
B FRB
1m
1.5m
3m
F1
A
FRA
F2 M2
FQ2
Fy 0 F Q 2 F R A F 1 F 2 0 F Q 2 7 k N
FQ2FRAF1F2
FQ2 FRB
M O
0
M 2 F R A 2 F 1 1 . 5 F 2 0 . 5 0 M 2 7 k N m
F Me
3 分布荷载：沿梁长连续分布的横向力。
q(x) q(x)=C
荷载集度： 分布荷载的大小 均布荷载 非均布荷载
用q(x)表示
二、梁的支座及支座反力 ●支座形式 1 固定铰约束
2 可动铰约束
3 固定支座
FRx F Ry
FR
MR
FRx
F Ry
●计算简图 确定梁的“计算简图” 包含：
⑴ 以梁的轴线经代替实际的梁； ⑵ 以简化后的支座代替实际的支座；
(2)当梁的支承情况对称，荷载反对称时，则弯矩
图永为反对称图形，剪力图永为对称图形。
q/2
q/2
A
BA
EI B
C EI l
C l q/2
FQ图
M图
三、画剪力图、弯矩图的简便方法
例7 图示左端外伸梁，外伸端A作用一集中力偶
Me=qa2，BA段所受荷载的分布集度为q，试利用微分 关系作梁的剪力图、弯矩图。
B
l/3
l/3
l
dMx
dx
FQ
x
dFQ x qx
dx
5ql x
M x 3ql2 4qlx
4ql2 4qlx
5ql
FQ
x
4ql
4 q l
qx0
二、剪力图、弯矩图的规律
q
=0
>0
FQ
M
直线段
FQ > 0
=0
M
<0
>0
<0
<0 >0 <0
★结论（规律）：
(1)当梁的支承情况对称，荷载也对称时，则弯矩 图永为对称图形，剪力图永为反对称图形；
实际支承→理想支承 ⑶ 以简化后的荷载代替实际的荷载。
三、梁的分类 ●按支座情况 ⑴简支梁：一端固定铰，一端可动铰
⑵外伸梁：一端或两端向外伸出的简支梁
⑶悬臂梁：一端固定支座，另一端自由
●按支座反力的求解方法
⑴静定梁：用平衡方程可求出未知反力的梁；
FAy
FAx A
B
FB
MA
A
FAx
FAz
⑵超静定梁：仅用平衡方程不能求出全部未知反 力的梁。
C
A
a
qa
FQ
q
2qa
B
D
2a
a
5qa
2qa
qa
M 2qa 2
3qa
2qa 2
15.5 叠加法作剪力图和弯矩图
F
q
A
C
D Me B
a b
l
结论：q、F、Me共同作用时产生的内力等于q、F、 Me分别单独作用时产生的内力之和。
因此，当梁上有几种（或几个）荷载作用时，可以
5ql
FQ
x
4
q
l
4 q l
5ql x
M x 3ql2 4qlx
4ql2 4qlx
F
Me
A(O)
C 12 D
B
12
FRA l/3 l
l/3 FRB
5 ql
FQ图
4ql
M图
5ql2 3
ql2 3
4 ql2 3
结论：
●当梁上荷载有变化时，剪力方程和弯矩方程 不可能用一个统一的函数式来表达，必须分段列出 其表达式。分段是以集中力、集中力偶的作用位置 及分布荷载的起点和终点为界。
q
A
B
FRA
FQ
x
q
l 2
x
x
FRB
l
Mx qxl x
ql/2
2
FQ图
ql/2
M图
ql2/8
例5 简支梁受一集中力F=9ql和一集中力偶Me=ql2作 用，试作出其剪力图和弯矩图。
A(O)
F C
12
D
3
Me
4
B
12 34
l/3
l/3
l
分析： 1-1、2-2截 面上的剪力
结论：当梁中间受力较复杂时，剪力方程和弯 矩方程不可能用一个统一的函数式来表达，必须分 段 (分段点如何确定？) 列出其表达式。
0.5m F1 1
F2 2
1m
A
FRA 1
2
B FRB
1m
1.5m
3m
0.5m F1 M1 A
FQ1 FRA 1m
Fy 0 F R AF 1F Q 10 F Q 13 kN
MO 0 M 1 F R A 1 F 1 0 .5 0 M 1 9 k N m
(3)求2-2截面上的内力
0.5m F1 1 F2 2 1m
●剪力图和弯矩图一般是连续的 。在集中力作 用处剪力图发生突变，突变的数值等于集中力的大 小，方向与集中力的方向相同；在有集中力偶作用 的地方弯矩图发生突变，突变的数值等于集中力偶 的大小，方向为“顺下逆上”。
15.4 弯矩、剪力、荷载集度之间的关系
一、弯矩、剪力、荷载集度之间的关系
F
Me
A(O) C D
M 2 F R A 2 F 1 1 .5 F 2 0 .5
FQ2FRAF1F2
FQ
F1
M 2 F R A 2 F 1 1 .5 F 2 0 .5
结论：
M FRA
F2 M2 FQ2
1 梁的任一横截面上的剪力在数值上等于该截面左 侧（或右侧）所有竖向力（包括斜向外力的竖向分力 、约束反力）的代数和；且截面左边向上（右边向下 ）的外力使截面产生正号的剪力。
可见计算结果完全相同。 F=8kN 1
q=12kN/m 2
A
1
2 1.5m B
FRA 2m
1.5m
3m
FRB
(3) 求2-2截面的剪力FQ2、弯矩M2 根据2-2截面右侧的外力计算可得：
FQ2 q1.5F R B11kN
M2 q 1 .5 0 .7 5 F R B 1 .5 3 0 k N m
(2)求1-1截面的剪力FQ1、弯矩M1 根据1-1截面左侧的外力计算可得：
FQ1 F R AF1587kN
M1 F R A 2 F 2 1 .5 2 6 k N m
根据1-1截面右侧的外力计算可得
FQ1 q3FRB7kN
M1 q 3 2 .5 F R B 4 2 6 k N m