第15章-梁的弯曲问题
材料力学——4梁的弯曲内力
21
例题1 图所示，悬臂梁受集中力F作用， 试作此梁的剪力图和弯矩图 解： 1.列剪力方程和弯矩方程
FQ ( x) F
(0＜x＜l ) (0≤x＜l)
M ( x) Fx
2.作剪力图和弯矩图 由剪力图和弯矩图可知：
FQ M
max max
F Fl
22
例题 2简支梁受均布荷载作用，如图示， 作此梁的剪力图和弯矩图。 解：1.求约束反力 由对称关系，可得： 1 FAy FBy ql 2 2.列剪力方程和弯矩方程
Q2 Q1– Q2=P
x
x
梁的内力计算的两个规律：
（1）梁横截面上的剪力FQ，在数值上等于该截 面一侧（左侧或右侧）所有外力在与截面平行方 向投影的代数和。即：
FQ
F
yi
若外力使选取研究对象绕所求截面产生顺时针 方向转动趋势时，等式右边取正号；反之，取 负号。此规律可简化记为“顺转剪力为正”， 或“左上，右下剪力为正”。相反为负。
12
二、例题
[例1]：求图（a）所示梁1--1、2--2截面处的内力。 q 2 解：截面法求内力。 qL 1 1--1截面处截取的分离体 1 a y qL A M1 x1 Q1 图（b） 2 b 如图（b）示。
x
图（a）
Y qL Q1 0 Q1 qL
mA( Fi ) qLx1 M1 0 M1 qLx1
作梁的剪力图 FQB右=4kN/m×2m=8kN，FQD=0
34
35
27
3. 弯矩图与剪力图的关系
(1)任一截面处弯矩图切线的斜率等于该截面 上的剪力。 (2) 当FQ图为斜直线时，对应梁段的M图为二 次抛物线。当FQ图为平行于x轴的直线时，M图 为斜直线。
梁的变形计算
例题
解： 4． 利用约束条件和连续条件 确定积分常数
EI1
3 8
FP x 2
C1
EI
＝－3
2
8
FP
x 2＋1 2
FP
x－ l 4
2
C2
EIw1
1 8
FP
x3
C1x
D1
EIw2＝－81
FP
x 3＋1 6
FP
dx 2
EI
弹性曲线的小挠度微分方程，式中的正负号与w坐标的取向有关。
小挠度微分方程
d2w 0,M 0 dx 2
d2w M dx 2 EI
本书采用向下的w坐标系，有
d2w 0,M 0
dx 2
d2w M dx2 EI
d2w M dx2 EI
小挠度微分方程
d2w M
叠加法应用于多个载荷作用的情形
当梁上受有几种不同的载荷作用时，都可以将其分解为各种载 荷单独作用的情形，由挠度表查得这些情形下的挠度和转角，再将 所得结果叠加后，便得到几种载荷同时作用的结果。
叠加法应用于多个载荷作用的情形 例题
已知：简支梁受力如图 示，q、l、EI均为已知。
求：C截面的挠度wC ； B截面的转角B
3
7
l 2 x
EI 8 6 4 128
据此，可以算得加力点B处的挠度和支承处A和C的转角分别为
wB
3 256
FPl 3 EI
A
7 128
工程力学第15章组合变形
32(1.0103)20.75(1.0103)2
M 20.010.21kNm 3 160106
max
2 2 r4M2W0.75T232M2d30.75T2
d3
32
M2 0.75T2
由内力图及强度公式可判断危险截面在E 处 ⑶ 确定AB 轴的直径 所以AB 轴的直径d = 44mm 。
例：图所示齿轮传动轴，用钢制成。在齿轮1 上作用有径
tmax
Mymax Wy
Mzmax Wz
F2l bh2 /
6
2F1l hb2 /6
90118605201109/618029082001019/6 cmax(MWymyaxMWzmzax)9.98MPa
例：图所示一矩形截面悬臂梁，截面宽度b = 90mm ，高度h = 180mm ， 两在两个不同的截面处分别承受水平力F1和铅垂力F2。已知F1 = 800N ， F2 = 1650N ，l = 1m ，求梁内的最大正应力并指出其作用位置。
FN
N
FN A
F S y F S z （对实心截面引起切应力很小，忽略）
M y Mz
M
My Iy
z
Mz Iz
y
T
T
IP
1
1(
2
242)
3
1(
2
242)
强度条件
弯扭组合受力的圆轴一般由塑性材料制成，采用第三或第四强度理论建立强 度条件。分析危险截面A A
3
T 410 A W
20MPa 20103 (10103)2(8103)2
6
W 20010 85104 100106
P
强度校核 由内力图及强度公式可判断危险截面距B 端2m 处， 计算危险点在横截面的应力值 所以AB 段强度满足要求。
建筑力学第二版课后习题答案
建筑力学第二版课后习题答案建筑力学是建筑工程领域中非常重要的一门学科，它研究的是建筑结构在受力作用下的力学性能和稳定性。
对于学习建筑力学的学生来说，课后习题是巩固知识和提高能力的重要途径。
本文将为大家提供《建筑力学第二版》课后习题的答案，希望能够帮助大家更好地理解和掌握建筑力学的知识。
第一章弹性力学基础1. 弹性力学是研究物体在外力作用下发生形变时产生的应力和应变关系的学科。
主要包括应力、应变、胡克定律、弹性模量等内容。
2. 线弹性材料是指在小应变范围内，应力和应变之间的关系是线性的材料。
常见的线弹性材料有钢材、混凝土等。
3. 弹性模量是描述材料抵抗形变能力的物理量，用E表示，单位为帕斯卡（Pa）。
4. 应力是单位面积上的力的作用，用σ表示，单位为帕斯卡（Pa）。
5. 应变是物体形变程度的度量，用ε表示，是无量纲的。
6. 一维拉伸问题是指材料在轴向受力下的变形和应力分布问题。
7. 胡克定律是描述线弹性材料应力和应变之间的关系，即应力与应变成正比。
数学表达式为σ = Eε，其中σ为应力，E为弹性模量，ε为应变。
第二章梁的基本性质1. 梁是一种常见的结构构件，在建筑工程中起到承载荷载的作用。
2. 梁的基本性质包括梁的截面形状、长度、材料和受力情况等。
3. 梁的受力分析可以通过应力分析和变形分析来进行，常用的方法有静力学方法和力学性能方法。
4. 静力学方法是通过平衡方程和几何关系来分析梁的受力情况，常用的方法有力平衡法、弯矩平衡法和剪力平衡法。
5. 力学性能方法是通过分析梁的强度和刚度来确定梁的受力情况，常用的方法有强度理论和刚度理论。
6. 梁的截面形状对其受力性能有很大影响，常见的梁截面形状有矩形截面、圆形截面和T形截面等。
7. 梁的变形是指梁在受力作用下发生的形变，常见的梁的变形有弯曲变形、剪切变形和挠曲变形等。
第三章梁的弯曲1. 梁的弯曲是指梁在受到弯矩作用下产生的变形和应力情况。
2. 弯矩是指作用在梁上的力对梁产生的弯曲效应。
《结构稳定理论》复习思考题——含答案-
《结构稳定理论》复习思考题第一章1、两种极限状态是指哪两种极限状态？承载力极限状态和正常使用极限状态2、承载力极限状态包括哪些内容？（1）结构构件或链接因材料强度被超过而破坏（2）结构转变为机动体系（3）整个结构或者其中一部分作为缸体失去平衡而倾覆（4）结构或者构件是趋稳定（5）结构出现过度塑性变形，不适于继续承载（6）在重复荷载作用下构件疲劳断裂3、什么是一阶分析？什么是二阶分析？一介分析：对绝大数结构，常以为变形的结构作为计算简图进行分析，所得的变形和作用的关系是线性的。
二阶分析：而某些结构，入账啦结构，必须用变形后的结构作为计算依据，作用与变形成非线性关系。
4、强度和稳定问题有什么区别？强度和稳定问题问题虽然均属于承载力极限状态问题，但是两者之间的概念不同。
强度问题是盈利问题，而稳定问题要找出作用与结构内部抵抗力之间的不稳定平衡状态。
5、稳定问题有哪些特点？进行稳定分析时，需要区分静定和超静定结构吗？特点：1.稳定问题采用二阶分析，2.不能用叠加原理3.稳定问题不用区分静定和超净定6、结构稳定问题有哪三类？分支点失稳、极值点失稳、跃越失稳7、什么是分支点稳定？什么是极值点稳定？什么是跃越稳定？理想轴心压杆和理想的中缅内受压的平板失稳均属于分支点失稳当没有出现有直线平衡状态向玩去平衡状态过渡的分支点，构件弯曲变形的性质始终不变，成为极值点失稳这种结构有一个平衡位行突然跳到另一个非临近的平衡位行的失稳现象。
8、什么是临界状态？结构有稳定平衡到不稳定平衡的界限状态成为临界状态。
9、通过一个简单的例题归纳总结静力法的基本原理和基本方法？P8-P1010、什么能量守恒原理？什么是势能驻值原理？基于势能驻值原理的方法有哪些？保守体系处在平衡状态时，储存于结构体系中的应变能等于外力所做的功——能量守恒原理受外力作用的结构，当位移有微小变化而总势能不变，即总势能有驻值时，结构处于平衡状态——势能驻值原理。
梁弯曲变形的计算
第7章 梁弯曲变形的计算§7-1 挠度与转角及梁的刚度条件梁变形前后形状的变化称为变形，一般用各段梁曲率的变化表示。
梁变形前后位置的变化称为位移，位移包括线位移和角位移，如图7-1所示。
在小变形和忽略剪力影响的条件下，线位移是截面形心沿垂直于梁轴线方向的位移，称为挠度，用v 表示；角位移是横截面变形前后的夹角，称为转角，用θ表示。
而dxx dv x )()(=θ，可见确定梁的位移，关键是确定挠曲线方程Y=f(x)。
梁的设计中，除了需要满足强度条件外，在很多情况下，还要将其弹性变形限制在一定范围内，即满足刚度条件][][max max θθ≤≤v v式中的和][v ][θ分别为梁的许用挠度和许用转角，可从有关设计手册中查得。
§7-2 挠度曲线的近似微分方程忽略剪力对变形的影响，梁平面弯曲的曲率公式为： 式（a）表明梁轴线上任一点的曲率)(1x ρ与该点处横截面上的弯矩成正比，而与该截面的抗弯刚度)(x M EI 成反比。
如图7-2所示。
而梁轴线上任一点的曲率与挠曲线方程v 之间存在下列关系：)(xEIx M x )()(1=ρ （a） 232221)(1⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛+±dx dv dx vd x ρ （b）将上式代入式（a），得到EIx M dx dv dx v d )(12322=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛+±（c） 小挠度条件下，1<<=θdxdv，式（c）可简化为： EI x M dxv d )(22=±（d）在图7-3所示的坐标系中，正弯矩对应着22dx vd 的正值（图7-3a），负弯矩对应着22dxvd 的负值（图7-3b），故式（d）左边的符号取正值EI x M dx v d )(22= （8-1）式（7-1）称为小挠度曲线微分方程，简称小挠度微分方程。
显然，小挠度微分方程仅适用于线弹性范围内的平面弯曲问题。
梁的弯曲应力和变形
正应力分布规律：
1. 中性轴上的点应力为零；
M
2. 上下边缘的点应力最大，其余各 点的应力大小与到中性轴的距离成
正比。
M
中性轴
F
二、计算公式 F
mn
1. 变形几何关系
解：（ 1 ）求支座反力
12.75
kN m
（ 2 ）作弯矩图
max
M
max
Iz
y1
M max W1
max
M
max
Iz
y2
M max W2
（8 - 8） （8 校核哪个截面？
例 2 铸铁梁受荷载情况如图示。已知截面对形心轴的惯性矩 Iz=40 3×10 － 7m4 ，铸铁抗拉强度［ σ ＋］ =5m0MPa ，抗压强度
的情况，公式仍然适用。
（ 2 ）公式是从矩形截面梁导出的，但对截面为其它对称形状（如工
字形、 T 字形、圆形等）的梁，也都适用。
M max WZ
梁弯曲时，其横截面上既有拉应力也有压应力。对于中性轴为对称 轴的横截面，例如矩形、圆形和工字形等截面，其上、下边缘点到 中性轴的距离相等，故最大拉应力和最大压应力在数值上相等，可 按左式求得。
一般情况下，梁的强度计算由正应力强度条件控制。
在选择梁的截面时，一般按正应力强度条件选择，选好 截面后，再按剪应力强度条件进行校核。
对于细长梁，按正应力强度条件选择截面或确定许用荷载 后，一般不再需要进行剪应力强度校核。
在下列几种特殊情况下，需要校核梁的剪应力：
（ 1 ）梁的跨度较短，或在支座附近有较大的荷载作用。 在此情况下，梁的弯矩较小，而剪力却很大。 （ 2 ）在组合工字形截面的钢梁中，当腹板的厚度较小 而工字形截面的高度较大时，腹板上的剪应力值将很大 ，而正应力值相对较小。 （ 3 ）木材在顺纹方向抗剪强度较差，木梁可能因剪应 力过大而使梁沿中性层发生剪切破坏。
梁的变形教程
第一节 工程中的弯曲变形问题
梁在外载荷作用下将产生变形， 梁在外载荷作用下将产生变形，梁不但要满足强 刚度条件， 度条件，还要满足刚度条件 即要求梁在工作时的变 度条件，还要满足刚度条件，即要求梁在工作时的变 不能超过一定范围 否则就会影响梁的正常工作。 一定范围， 形不能超过一定范围，否则就会影响梁的正常工作。 一、挠曲轴线 挠曲轴线：图所示悬臂梁在纵向对称面内的外力F 挠曲轴线：图所示悬臂梁在纵向对称面内的外力 的作用下， 的作用下，将产生平面弯 曲，变形后梁的轴线将变 为一条光滑的平面曲线， 为一条光滑的平面曲线， 称梁的挠曲轴线 挠曲轴线。 称梁的挠曲轴线。 挠曲轴线方程
M ( x) y = ∫∫ dx ⋅ dx + Cx + D EI
第八章 梁的变形 转角方程 转角方程
挠度方程 挠度方程
M ( x) θ = y′ = ∫ dx + C EI M ( x) y = ∫∫ dx ⋅ dx + Cx + D EI
式中积分常数 、 由边界条件 由边界条件（ 式中积分常数C、D由边界条件（梁中已知的截面 积分常数 位移）确定： 位移）确定： 简支梁： 简支梁： y A 悬臂梁： 悬臂梁： θ A
ql C= 24 EI 4 ql D=− 30 EI
3
4
5
梁的挠度方程
qx ql x ql + − y=− 120 EIl 24 EI 30 EI
5
3
4
令 x = 0，得B截面的挠度为 截面的挠度为
ql yB = − （↓ ） 30 EI
第八章 梁的变形
第三节 叠加法求梁的弯曲变形
挠曲轴线 近似微分方程
θ A = M (l 2 − 3b 2 )
弯曲
52
(3) 建立弯矩方程——作弯矩图
CA段有向下的均布载荷，弯矩图为二次 抛物线；在C处截面的剪力Fsc=0，故抛物线 在C截面处取极值，又因为Mc=0，故抛物线 在C处应与横坐标轴相切。 AD、DB两段为斜直线；在A截面处因有 集中力FRA，弯矩图有一折角；
中 性 层
中 性 轴 20
21
弯曲正应力分布规律
★ 与中性轴距离相等 的点，正应力相等； ★ 正应力大小与其到 中性轴距离成正比； ★ 弯矩为正时，正 应力以中性轴为界 下拉上压； ★ 弯矩为负时，正应力上拉下压； ★ 中性轴上，正应力等于零
22
M
M
2、剪力和弯矩正负号的规定
剪力正负号
正
Q Q
53
在D处有集中力偶，弯矩图有突变，突变值即
为该处集中力偶的力偶矩。计算出MA= - qa2／2= 10(kN· m)，MD左=Me+FRB· a=20-15×1=5(kN· m)，
MD右=FRB· a= - 15(kN· m)，MB=0，根据这些数值，
可作出弯矩图如图4 -14(c)。由图可见，在上)截面右 邻弯矩的绝对值最大，︱M ︱ =5(kN· m)。
使梁弯曲成凹形时的弯矩为正，弯曲成凸形时 的弯矩为负。
24
【例4—1】一简支梁
AB，如图4—9(a)所
示，在c点处作用一
集中力F=10kN，求 距左端0.8m处截面nn的剪力和弯矩。
25
解 (1) 求支反力——由平衡方程
26
(2) 求n-n截面上的剪力和弯矩将n-n截面截开，取
左段梁为研究对象，假设截面上剪力Fs和弯矩M
工程力学梁的变形教学PPT
Fbl 2 16 EI
0.0625
Fbl 2 EI
26
可见在集中荷载作用于右支座附近这种极端情况下，跨中
挠度与最大挠度也只相差不到3%。因此在工程计算中，只要 简支梁的挠曲线上没有拐点都可以跨中挠度代替最大挠度。
当集中荷载F作用于简支梁的跨中时(b=l/2)，最大转角
qmax和最大挠度wmax为
A
B 即选择A端固定B端自由的悬臂梁
L
FBy 作为基本静定梁。
MA
q
A
L
(2)解除A端阻止转动的支座反力
B
矩 M作A 为多余约束,即选择两端简
支的梁作为基本静定梁。
39
基本静定基选取可遵循的原则： (1) 基本静定基必须能维持静力平衡，且为几何不变 系统； (2) 基本静定基要便于计算，即要有利于建立变形协 调条件。一般来说，求解变形时，悬臂梁最为简单， 其次是简支梁，最后为外伸梁。
x3 6
C1x
C2
该梁的边界条件为：在 x=0 处 w 0，w =0
于是得
C1 0，C2 0
16
从而有 转角方程 q w Fxl Fx2
EI 2EI 挠曲线方程 w Fx2l Fx3
2EI 6EI
当x=L时：
qmax q
|xl
Fl 2 EI
Fl 2 2EI
Fl 2 2EI
静定梁(基本静定基) — 将超静定梁的多余约束解除，得到
相应的静定系统，该系统仅用静力平衡方程就可解出所有反力
以及内力。
多余约束 — 杆系在维持平衡的必要约束外所存在的多余约
束或多余杆件。
q
多余约束的数目=超静定次数
B 多余约束的数目=1
梁的挠度和转角问题分析
科学技术创新2018.06梁的挠度和转角问题分析王爽焦之森（齐齐哈尔大学建筑与土木工程学院，黑龙江齐齐哈尔161000）对简支梁、外伸梁的变形问题的解析计算方法有很多种，常见的有积分法[1-5]、能量法[1-5]、叠加法[1-5]、奇异函数法[1-5]和共轭梁法[1-5]等，在用积分法求解简支梁、外伸梁的变形问题时须求解多个积分常数，计算繁琐；奇异函数法仍属于积分法，求解过程也须解积分常数；如果仅计算某一截面的位移，能量法较为简单，不过仍须进行积分计算[6]。
本文通过间接叠加法，来介绍简支梁、外伸梁等结构在受载荷作用时挠度及转角问题的简单求解方法，即将简支梁、外伸梁等结构在受载荷作用时挠度及转角问题，转化为有初始转角的悬臂梁受载荷时的变形问题，使简支梁、外伸梁等结构在受载荷作用时挠度及转角问题的求解过程的思维难度得到很大程度的降低，从而问题变得更容易理解。
1原理介绍与例题分析悬臂梁具有一个固定端，当悬臂梁受已经与水平线外荷载作用时，靠近固定端的载面不发生转动，转角为零。
如果有一个悬臂梁，在未荷载时，形成一个小的角度θB ，如图1所示。
图1有初始转角的悬臂梁x 轴为水平方向，梁轴线与x 轴成角θB ，即θB 为初始转角，此梁称为有初始转角的悬臂梁。
在未受荷载时，相对于x 轴，自由端已经有一挠度为θB l 。
根据叠加法，当加一静荷载F 时，自由端的挠度ω=θB l+Fl 33EI 转角为θB +Fl22EI。
应用初始转角悬臂梁概念，只要知道悬臂梁在集中力偶、集中力和均布载荷作用下自由端的挠度和转角公式，就可以通过叠加法，求解简支梁、外伸梁、的变形问题。
跨长l ，刚度EI 的悬臂梁在集中力偶Me ，集中力F ，均布荷载q 作用下，自由端的挠度和转角公式列出如下Mel 22EI ，Mel EI ，Fl 33EI，Fl 23EI ，ql 48EI ，ql 36EI。
下面举几个例子。
例1.如图例2-1所示简支梁端受集中力偶Me 作用，求端截面转角。
简支梁的相关计算
由 ΣFy = 0
得 RA P1 Q 0
Q RA P1
由 ΣMC = 0
得 M RAx P1(x a) 0
M RAx p1(x a)
，C 为横截面的形心。 若取右段梁研究，根据作用力与反作用力定律，在 m-m 截面上也必然有剪力 Q 和弯矩 M ，并且它们分别与 Q
Ⅰ-Ⅰ
Q1 RA 250 N
M1 RA 200 250 0.2 50 N m
Ⅱ-Ⅱ
Q2 q 0.4 RB 4 0.4 2.75 1.5kN
M 2 RB 400 q 0.4 200 2750 400 103 4 103 0.4 0.2 780 N m
等、方向相反。
和弯矩的正负按梁的变形来确定。凡使所取梁段具有作顺时针转动趋势的剪力为正，反之为负。如图 10.1.7 所示。凡 上凹下凸弯曲变形的弯矩为正，反之为负。如图 10.1.8 所示。
图 10.1.7 剪 力 的 符
图 10.1.8 弯 矩 的
综上所述，可得求剪力、弯矩大小和方向的规则：
对于剪力：梁内任一横截面上的剪力等于该截面一侧梁上所有横向外力的代数和；正负号由“外力左上右下，产生的 确定。
利用剪力图和弯矩图，很容易确定梁的最大剪力和最大弯矩，以及梁的危险截面的位置。所以画剪力图和弯矩图往往 和刚度计算中的重要步骤。
剪力图和弯矩图的画法是首先求出梁的支座反力，然后以力和力偶的作用点为分界点，将梁分为几段，分段列出剪力 。取横坐标 x 表示截面的位置；纵坐标表示各截面的剪力和弯矩，按方程绘图。
FS (x)
FAy
Me l
(0 x l)
因 C 点处有集中力偶，故弯矩需分段考虑。
C段
工程力学第六章答案 梁的变形-工程力学梁的弯曲答案
第五章 梁的变形测试练习1. 判断改错题5—1—1 梁上弯矩最大的截面，挠度也最大，弯矩为零的截面,转角亦为零。
（ )5-1—2 两根几何尺寸、支承条件完全相同的静定梁，只要所受荷栽相同，则两梁所对应的截面的挠度及转角相同，而与梁的材料是否相同无关。
（ ） 5—1—3 悬臂梁受力如图所示，若A 点上作用的集中力P 在A B 段上作等效平移,则A 截面的转角及挠度都不变。
( ）5—1—4 图示均质等直杆（总重量为W )，放置在水平刚性平面上，若A 端有一集中力P 作用，使A C 部分被提起，C B 部分仍与刚性平面贴合，则在截面C 上剪力和弯矩均为零.( ）5-1—5 挠曲线近似微分方程不能用于求截面直梁的位移。
( ） 5-1—6 等截面直梁在弯曲变形时，挠度曲线的曲率最大值发生在转角等于零的截面处。
( ） 5—1—7两简支梁的抗刚度E I 及跨长2a 均相同，受力如图所示,则两梁跨中截面的挠度不等而转角是相等的. （ ） 5-1-8 简支梁在图示任意荷载作用下，截面C 产生挠度和转角，若在跨中截面C 又加上一个集中力偶M 0作用，则梁的截面C 的挠度要改变,而转角不变。
（ )5—1-9 一铸铁简支梁,在均布载荷作用下，当其横截面相同且分别按图示两种情况放置时，梁同一截面的应力及变形均相同。
（ ) 5—1—10 图示变截面梁，当用积分法求挠曲线方程时，因弯矩方程有三个,则通常有6个积分常量。
（ ）题5-1-3图题5-1-4图题5-1-8图题5-1-7图题5-1-9图2．填空题5—2—1 挠曲线近似微分方程EIx M x y )()("-= 的近似性表现在和。
5—2—2 已知图示二梁的抗弯度E I 相同，若使二者自由端的挠度相等，则=21P P 。
5—2—3 应用叠加原理求梁的变形时应满足的条件是：。
5—2—4 在梁的变形中挠度和转角之间的关系是。
5—2-5 用积分法求图示的外伸梁（B D 为拉杆)的挠曲线方程时,求解积分常量所用到的边界条件是，连续条件是.5—2—6 用积分法求图示外伸梁的挠曲线方程时,求解积分常量所用到边界条件是,连续条件是。
第15章 梁的弯曲刚度
教学要求 教学重点与难点 教学内容
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教学要求
了解梁的弯曲变形、用变形比较法解简单超静定梁； 熟悉挠曲线近似微分方程； 掌握用积分法、查表法、叠加法求梁的变形。
教学重点与难点
重点： 挠曲线近似微分方程，用积分法求梁的变形 难点： 用变形比较法解简单超静定梁
§15-1 梁弯曲变形概述 §15-2 挠曲线近似微分方程 §15-3 用积分法求梁的变形 §15-4 叠加法求梁的变形 §15-5 用变形比较法解简单静不定梁
二、求解静不定步骤 1.判断静不定度 2.选多余约束，相当系统 3.求解静不定问题
例题：在四爪卡盘和顶尖支承 下，被车削工件的长度为l，抗弯刚 度EI为常量，切削力p作用于l／2处，
求其约束反力。
2
2
A
C
B
B1
挠曲线近似微分方程
y M x
EI Z
ｙ
Μ＞0 ｙ″＞0
ｙ″＜0 Μ＜0
EIZ y M (x)
0 P
y″的正负与坐标系有关。
AE
D
Байду номын сангаас
B
ｘ C
(a)
判断挠曲线的大致形状： 弯矩M与y″符号相同，可
2
2
4
按M（x）符号确定挠曲线弯曲
(b)
的方向，再考虑梁的支承情况可
画出挠曲线的大致形状。
零点
零点
自由端：无位移边界条件
P
A
BC
D
连续条件：
yC左 0 yC右 0 C左 C右
E
P
F
yB左 yB右 yC左 yC右 C左 C右
叠加法求梁的变形
叠加法:对同时作用几种载荷的梁，先分别计算每一种载荷单独作用时 所引起的梁的挠度和转角，然后再把同一截面的转角和挠度代数相加，得 到几种载荷共同作用下的该截面的挠度和转角的方法。
工程力学——直梁的弯曲
第10章 直梁的弯曲
10.1 平面弯曲的概念 10.2 梁弯曲时横截面上的内力 10.3 剪力图和弯矩图 10.4 纯弯曲时横截面上的应力 10.5 梁弯曲时的强度计算 10.6 提高梁抗弯强度的措施 10.7 梁的弯曲变形概述
第10章 直梁的弯曲
10.1 平面弯曲的概念
图10.1
第10章 直梁的弯曲
取右段梁为研究对象时，对截面形心产生逆时针转动 效应的外力矩(包括力偶矩)取正；反之取负号。
正负规定，简要归纳如表10-1所示。
表10-1 表示各种力方向的正负规定
外力 左上右下(+) 左下右上(-)
剪力
FQ (+) FQ (-)
外力矩 左顺右逆(+) 左逆右顺(-)
弯矩
M(+) M(-)
直梁平面弯曲受力的特点是 外力作用于梁的纵向对称平面内； 其变形特点是梁的轴线在纵向对 称平面内弯成一条曲线。
图10.3
第10章 直梁的弯曲
10.1.2 梁的计算简化
1. 梁的简化 上面提到的桥式吊车和油道托管都是以弯曲变形为主的梁， 为了便于研究问题，简化问题，在实际运用中，不论梁的 外形尺寸如何，都以实际中梁的轴线来代替梁，如图 10.1(b)、10.2(b)所示。
图10.2
当轴线所在平面内直杆受力偶作用或受垂直于轴线的
外力(简称横向力)作用时，直杆的轴线将由原来的直线变
成曲线，这种变形称为弯曲变形。
第10章 直梁的弯曲
10.1.1 平面弯曲的概念
如果作用在梁上的所有横向力或力偶都在梁的纵向对称 平面内，那么梁变形后，它的轴线将在其纵向对称面内弯 成一条平面曲线，梁的这种变形称为平面弯曲。
材料力学-梁的弯曲问题-知识归纳整理
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弹性力学8-逆解法、半逆解法、梁的纯弯曲
3.3 位移分量的求出
3.4 简支梁受均布荷载
3.5 楔形体受重力和液体压力
本章重点： 用逆解法、半逆解法求解平面弹性力学问题。
第三章 平面问题直角坐标解答 本节内容 3.1 逆解法与半逆解法 多项式解答
内容要点： 1. 逆解法与半逆解法解题方法的介绍
2.
逆解法举例—应力函数的多项式解答
结论3：三次多项式对应于线性应力分布。
第三章 平面例——多项式解答
3）应力函数 ϕ为三次多项式
可解决的问题 ay 3 , ( fx fy 0) 由式（2-24）可得： 讨论：
x 6ay y 0 xy yx 0
1）应力函数 ϕ为一次多项式
（ 1） 其中： a、b、c 为待定系数。 4 4 4 4 检验φ(x,y) 是否满足双调和 4 2 2 2 4 0 （ 2） x x y y 方程： 显然φ(x,y) 满足双调和方程，可作为应力函数。 （3） 对应的应力分量： 2 2 2 xy 0 x 2 fx x fx x y 2 f y y f y y x xy y 假定体力：fx = fy =0，则有： x y xz 0 （1）一次多项式对应于无体力和无应力状态； 结论1： （2）在该函数φ(x,y)上加上或减去一个一次多项式， 对应力无影响。
( x, y ) 0 xy
0
2
y2
第三章 平面问题直角坐标解答 3.1 逆解法与半逆解法 多项式解答
2.逆解法举例——多项式解答
3）应力函数 ϕ为三次多项式
公式推导
（ 1）
ax3 bx 2 y cxy2 dy 3
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火车轴
厂房吊车梁
●对称（平面）弯曲 (Planar bending)
对称平面 F2
F1
(b)
F2
F1
(a)
A
B
(c)
平面弯曲：梁的轴线在变形后仍保持在同一平面( 荷载作用面)内，即梁的轴线成为一条平面曲线。
梁的荷载和支座反力
一、梁的荷载 1 集中力：作用在微小局部上的横向力； 2 集中力偶：作用在通过梁轴线的平面（或与该面 平行的平面）内的力偶。
F Me
3 分布荷载：沿梁长连续分布的横向力。
q(x) q(x)=C
荷载集度： 分布荷载的大小 均布荷载 非均布荷载
用q(x)表示
二、梁的支座及支座反力 ●支座形式 1 固定铰约束
2 可动铰约束
3 固定支座
FRx F Ry
FR
MR
FRx
F Ry
●计算简图 确定梁的“计算简图” 包含：
⑴ 以梁的轴线经代替实际的梁； ⑵ 以简化后的支座代替实际的支座；
2 梁的任一横截面上的弯矩在数值上等于该截面左 侧（或右侧）所有竖向力对该截面形心力矩的代数和 （包括外力偶、约束反力偶）；且截面左边顺时针（ 右边逆时针）的力矩使截面产生正号的弯矩。
例2 试利用上述结论写出图示梁1-1截面上的剪力和 弯矩的表达式。
e
c
l
q
1 F1 FQ
d b
M1
Me
f
α
FRB
F2
F
F
●按梁的横截面 ⑴等截面梁：横截面沿梁的长度没有变化； ⑵变截面梁：横截面沿梁的长度有变化。
汽车钢板弹簧
鱼腹梁
15.2 梁的内力及其求法
一、求梁的内力的方法——截面法 ●内力的形式及名称
1 F1
F2
A
1
FRA a
l
FRB
A
FRA
a
M
FQ
Fy 0 MO 0
FQ M
剪力 弯矩
N或kN N·m或kN·m
●内力的求法
A
FRA
a
M
FQ
Fy 0
F RA F Q0 F QF RA
MO 0
M F R A a 0 M F R A a
F1 FQ M
F2
B?
FRA
●内力的正负号
⑴剪力
FQ
FQ
左上右下为正
M
⑵弯矩
M
向上凹变形为正
FQ
FQ
左下右上为负
M
M
向上凸变形为负
例1 图示简支梁受两个集中力作用，已知F1=12kN，
Mmax =121/72qa2
例8 作梁的内力图
P=3kN
M1=2kNm
M2=6kNm
q=1kN/m
A
FRA=5kN
B
FRB=4kN
2m
2m
2m
2m
FQ (kN)
3
2+
2+
2 8
6
6
6
4
M(kNm)
q qa
q
qa a
qa F Q
aa 2qa
qa
qa M qa 2 / 2
qa 2 / 2
2qa 2
分段是以集中力、集中力偶的作用位置及分布荷 载的起点和终点为界 （ ? ）
解：(1)求支座反力
FRA 5ql
A(O)
F CD
Me
B
FRA
FRB 4ql
l/3 l
l/3 FRB
(2)分三段AC、CD、DB列出剪力方程和弯矩方程 AC段
FQxFRA5ql
M xF R Ax5qlx
CD段 DB段
FQ x FRAF4ql
B
l/3
l/3
l
dMx
dx
FQ
x
dFQ x qx
dx
5ql x
M x 3ql2 4qlx
4ql2 4qlx
5ql
FQ
x
4ql
4 q l
qx0
二、剪力图、弯矩图的规律
q
=0
>0
FQ
M
直线段
FQ > 0
=0
M
<0
>0
<0
<0 >0 <0
★结论（规律）：
(1)当梁的支承情况对称，荷载也对称时，则弯矩 图永为对称图形，剪力图永为反对称图形；
(2)求1-1截面的剪力FQ1、弯矩M1 根据1-1截面左侧的外力计算可得：
FQ1 F R AF1587kN
M1 F R A 2 F 2 1 .5 2 6 k N m
根据1-1截面右侧的外力计算可得
FQ1 q3FRB7kN
M1 q 3 2 .5 F R B 4 2 6 k N m
●剪力图和弯矩图一般是连续的 。在集中力作 用处剪力图发生突变，突变的数值等于集中力的大 小，方向与集中力的方向相同；在有集中力偶作用 的地方弯矩图发生突变，突变的数值等于集中力偶 的大小，方向为“顺下逆上”。
15.4 弯矩、剪力、荷载集度之间的关系
一、弯矩、剪力、荷载集度之间的关系
F
Me
A(O) C D
A FRA 1
2
B FRB
1m
1.5m
3m
F1
A
FRA
F2 M2
FQ2
Fy 0 F Q 2 F R A F 1 F 2 0 F Q 2 7 k N
FQ2FRAF1F2
FQ2 FRB
M O
0
M 2 F R A 2 F 1 1 . 5 F 2 0 . 5 0 M 2 7 k N m
M 2 F R A 2 F 1 1 .5 F 2 0 .5
FQ2FRAF1F2
FQ
F1
M 2 F R A 2 F 1 1 .5 F 2 0 .5
结论：
M FRA
F2 M2 FQ2
1 梁的任一横截面上的剪力在数值上等于该截面左 侧（或右侧）所有竖向力（包括斜向外力的竖向分力 、约束反力）的代数和；且截面左边向上（右边向下 ）的外力使截面产生正号的剪力。
实际支承→理想支承 ⑶ 以简化后的荷载代替实际的荷载。
三、梁的分类 ●按支座情况 ⑴简支梁：一端固定铰，一端可动铰
⑵外伸梁：一端或两端向外伸出的简支梁
⑶悬臂梁：一端固定支座，另一端自由
●按支座反力的求解方法
⑴静定梁：用平衡方程可求出未知反力的梁；
FAy
FAx A
B
FB
MA
A
FAx
FAz
⑵超静定梁：仅用平衡方程不能求出全部未知反 力的梁。
MxF R A x F x l3 3 q l2 4 q lx
FQ x FRAF4ql
Mx F R A x F x l3 M e 4 q l2 4 q l x
A(O)
F CD
Me
B
FRA
l/3 l
l/3 FRB
(3)画剪力图、弯矩图，标出特征值
FRA 5ql FRB 4ql
5ql
FQ
x
4
q
l
4 q l
5ql x
M x 3ql2 4qlx
4ql2 4qlx
F
Me
A(O)
C 12 D
B
12
FRA l/3 l
l/3 FRB
5 ql
FQ图
4ql
M图
5ql2 3
ql2 3
4 ql2 3
结论：
●当梁上荷载有变化时，剪力方程和弯矩方程 不可能用一个统一的函数式来表达，必须分段列出 其表达式。分段是以集中力、集中力偶的作用位置 及分布荷载的起点和终点为界。
Me
q
A
C
B
a FRA 3a
FRB
解：(1)求支座反力
11
MA 0 FRB 6 qa
Fy 0
FRA
7 6
qa
(2)作剪力图
FRA
7 6
qa
FRB
11 6
qa
(3)作弯矩图
x
7 6
qa
q
7
6
a
Me
q
A C
a FRA 3a
7/6qa
FQ图
x
M图
B FRB
11/6qa
M max
Me
1q 1 a 1a 1 q1a 1 1a 1 12 q21 a 6 6 6 1272
F =8kN 1
q=12kN/m 2
A
1
2 1.5m B
FRA 2m
1.5m
FRB
3m
15.3 内力图──剪力图和弯矩图
为了形象地看到内力的变化规律，通常将剪力、弯 矩沿梁长的变化情况用图形表示出来，这种表示剪力 和弯矩变化规律的图形分别称为剪力图和弯矩图。
具体作法是：
剪力方程： FQFQx 函数图形 弯矩方程： MMx
0.5m F1 1
F2 2
1m
A
FRA 1
2
B FRB
1m
1.5m
3m
0.5m F1 M1 A
FQ1 FRA 1m
Fy 0 F R AF 1F Q 10 F Q 13 kN
MO 0 M 1 F R A 1 F 1 0 .5 0 M 1 9 k N m
(3)求2-2截面上的内力
0.5m F1 1 F2 2 1m
F2=10kN，试计算指定截面1-1、2-2的内力。
0.5m F1 1
F2 2
1m
A
FRA 1
2
B FRB
1m