高二数学单元测试题六试题

卜人入州八九几市潮王学校高二数学单元测
试题六
〔测试内容：第九章§－§〕
本套试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部．总分值是100分．考试时间是是100分钟．
第一卷
一、选择题：本大题一一共12小题；每一小题4分，一共48分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项
为哪一项哪一项符合题目要求的．请把符合题目要求的选项的字母填入答题卡中． 〔A 〕有一个侧面是矩形的棱柱是直棱柱〔B 〕有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱 〔C 〕有相邻两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱〔D 〕底面是正多边形的棱柱是直棱柱
2．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，与正方体的一个面上的一条对角线成60°角的异面的面对角线一共有 〔A 〕2条
〔B 〕4条
〔C 〕6条
〔D 〕8条
3．正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面边长为2cm ，高为4cm ，过BC 作一截面与底面ABC 成60°角，那么该截面的面积是
〔A 〕4 cm
2
〔B 〕 2
〔C 〕 2
〔D 〕
3
2
cm 2 4．正方形ABCD 边长为1，E 、F 分别为BC 、CD 中点，沿AE 、EF 、AF 折成一个三棱锥，那么这个三棱锥的体积是
〔A 〕
1
8
〔B 〕
124
〔C 〔D 5．在三棱锥P —ABC 中，假设PA ＝PC ，那么顶点P 在底面上的射影必在△ABC 的 〔A 〕AC 在垂直平分线上 〔B 〕∠B 的平分线上 〔C 〕AC 的高上
〔D 〕AC 的中线上
6
〔A 〕是30°
〔B 〕是60°
〔C 〕的正弦为
7 〔D 〕的余弦为7
7．四棱锥的底面是边长为1的正方形，它的一条长为1的侧棱与底面垂直，那么该棱锥中最长的棱长是
〔A 〔B 〔C 〕〔D 〕3
8．三棱锥P—ABC的三条侧棱两两垂直，且PA＝1，PB PC ABC的度数是〔A〕30°〔B〕45°〔C〕60°〔D〕120°
9．如图，在多面体ABCDEF中，面ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，EF＝3
2
，EF与面AC的间隔为2，那么
该多面体的体积为
〔A〕9
2
〔B〕5 〔C〕6 〔D〕
15
2
〔A〕球面上的四个不同点，一定不在同一平面内
〔B〕球面上两点的球面间隔，是连接这两点的线段的长
〔C〕球面上两点的球面间隔，是过这两点的大圆弧长
〔D〕用不过球心的平面截球，球心和截面圆心的连线垂直于截面
11．假设球的外表积扩大为原来的2倍，那么体积是原来的
〔A〕〔B〔C〕9倍〔D〕12倍12．正方体的全面积为a2，它的八个项点都在同一球面上，那么这个球的外表积是
〔A〕π
3
a2 〔B〕
π
4
a2 〔C〕
π
2
a2 〔D〕3πa2
第二卷
二、填空题：本大题一一共4小题；每一小题4分，一共16分．请将答案填写上在题中的横线上．
13222，那么该长方体的对角线的长为．
14．球的半径为8，经过球面上一点作一个平面，使它与经过这点的半径成45°角，那么这个平面截球的截面面积为．
15．正六棱锥的底面积为2，那么它的侧面积是．
16．地球〔半径为R〕上的A点在东经40°，北纬30°，B点在东经100°，北纬75°，那么A、B两点的球面间隔为．
三、解答题：本大题一一共4小题；每一小题9分，一共36分．解容许写出文字说明、证明过程或者演算步
骤．
17．底面是菱形的直棱柱，假设对角面的面积为2和2，而底边长为8cm，求对角线的长？
18．如图，正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1，点E 在棱D 1D 上，截面EAC ∥D 1B ，且面EAC 与底面ABCD 所成的角为45°，
AB ＝a ．
〔1〕求截面EAC 的面积；
〔2〕求异面直线A 1B 1与AC 之间的间隔．
A
B
C
D
O
E 1
A 1
B 1
C 1
D
19．正三棱锥底面边长为a，侧棱与底面成45°角．
〔1〕求此三棱锥的侧面积；
〔2〕假设过底面一边作平面，使之与底面成30°的二面角，求此截面面积．20．求半径为R的球的内接正三棱锥的最大体积，并求此时三棱锥的高．
参考答案
一、选择题：〔每一小题4分，一共48分〕
二、填空题：〔每一小题4分，一共16分〕
13cm
14．32π
15． 2
16．Rarc cos
16
+
三、解答题：
17．解：设直棱柱底面两条对角线的长分别为a 和b ，侧棱长为c ，那么
ac ＝bc ＝22a ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋2
2b ⎛⎫ ⎪⎝⎭
＝64， ∴a 2
＋b 2
＝256，a 2c 2
＋b 2c 2
＝1400＋5000＝256c 2
∴c ＝5 cm ，a ＝，b ＝，
＝9 cm 15cm ．
18．解：〔1〕在正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝a ．
AC ，DO ， ∵ED ⊥底面ABCD ，DO ⊥AC ，∴EO ⊥AC ， ∴∠EOD 为面EAC 与面ABCD 所成的角． 又∴面EAC 与底面ABCD 所成的角为45°，
∴在Rt △EDO 中，∠EOD ＝45°，DO ＝DE 2，∴EO ＝a
∴截面EAC 的面积为
12AC ×EO ＝12
×a 2
； 〔2〕∵AA 1⊥面ABCD ，∴AA 1⊥AC ，
又∵AA 1⊥A 1B 1，∴AA 1为异面直线A 1B 1与AC 之间的间隔， ∵截面EAC ∥D 1B ，截面EAC
面DD 1B ＝EO
∴EO ∥D 1B ，DO ＝BO ，∴DE ＝ED 1，DE ＝2
，∴DD 1，
∴AA 1DD 1，
∴异面直线A1B1与AC.
19．解：〔1〕如图，PO 为三棱锥P －ABC 的高，那么O 为△ABC 的中心．
连结AO 并延长交BC 于D ，那么∠PAO ＝45°，AD
AO ＝PO ＝
23AD ＝23
a ，OD ＝13AD ＝1
3
，
在Rt △AOP 中，AP
， ∴PD
a ， ∴此三棱锥的侧面积为3×
12BC ×PD ＝3×1
2
a
a
a 2；
〔2〕在Rt △DOP 中，sin ∠ADP ＝PO PD
1
2
，
∴过BC 作与底面成30°的二面角的截面与PA 相交于点E ， ∠EDA ＝30°，∠EAD ＝45°，AD
a ，由正弦定理，得 ED ＝
sin AD
AED
∠×sin ∠EAD
a ，
a 2
． 20．解：设球的内接正三棱锥为P —ABC ，那么P 、A 、B 、C 都在球面上，
由对称性可知棱锥的高PD 经过球心O ，
设正三棱锥的底面边长为a ，高PO ＝h .
那么23AD a a ==， 延长PD 交球于E ，那么∠PAE ＝90°，AD ⊥PE . 由AD 2
＝PD ·DE ，得
13
a 2
＝h 〔2R －h 〕 ∴a 2＝3h 〔2R －h 〕．
33
4(42)]()3R h h R h R ⋅-≤= 当且仅当h ＝4R －2h 即h ＝
4
3
R 时上式等号成立. 故当正三棱锥的高为
4
3
R
3R ． P A
B
C
D
O E。