高考数学试卷理科0071

高考数学试卷（理科）
一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）
1．（5分）满足=i（i为虚数单位）的复数z=（）
A．+i B．﹣i C．﹣+i D．﹣﹣i
2．（5分）对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为P1，P2，P3，则（）
A．P1=P2＜P3 B．P2=P3＜P1 C．P1=P3＜P2 D．P1=P2=P3
3．（5分）已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）﹣g（x）=x3+x2+1，则f（1）+g（1）=（）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
4．（5分）（x﹣2y）5的展开式中x2y3的系数是（）
A．﹣20 B．﹣5 C．5 D．20
5．（5分）已知命题p：若x＞y，则﹣x＜﹣y；命题q：若x＞y，则x2＞y2，在命题①p∧q；②p∨q；③p∧（￢q）；④（￢p）∨q中，真命题是（）
A．①③B．①④C．②③D．②④
6．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的t∈[﹣2，2]，则输出的S属于（）
A．[﹣6，﹣2] B．[﹣5，﹣1] C．[﹣4，5] D．[﹣3，6]
7．（5分）一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于（）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（5分）某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为（）
A．B．C．pq D．﹣1
9．（5分）已知函数f（x）=sin（x﹣φ），且f（x）dx=0，则函数f（x）的图象的一条对称轴是（）
A．x=B．x=C．x=D．x=
10．（5分）若函数f（x）=x2+ex﹣（x＜0）与g（x）=x2+ln（x+a）图象上存在关于y 轴对称的点，则a的取值范围是（）
A．（﹣）B．（）C．（）D．（）
二、填空题（共3小题，每小题5分，满分10分）（一）选做题（请考生在第11,12,13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）
11．（5分）在平面直角坐标系中，倾斜角为的直线l与曲线C：，（α为参数）交于A，B两点，且|AB|=2，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l的极坐标方程是．
12．（5分）如图所示，已知AB，BC是⊙O的两条弦，AO⊥BC，AB=，BC=2，则⊙O的半径等于．
13．若关于x的不等式|ax﹣2|＜3的解集为{x|﹣＜x＜}，则a=．
（二）必做题（1416题）
14．（5分）若变量x，y满足约束条件，且z=2x+y的最小值为﹣6，则k=．
15．（5分）如图所示，正方形ABCD与正方形DEFG的边长分别为a，b（a＜b），原点O 为AD的中点，抛物线y2=2px（p＞0）经过C，F两点，则=．
16．（5分）在平面直角坐标系中，O为原点，A（﹣1，0），B（0，），C（3，0），动点D满足||=1，则|++|的最大值是．
三、解答题：本大题共6小题，共75分
17．（12分）某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和．现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B，设甲、乙两组的研发相互独立．（Ⅰ）求至少有一种新产品研发成功的概率；
（Ⅱ）若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元，求该企业可获利润的分布列和数学期望．
18．（12分）如图，在平面四边形ABCD中，AD=1，CD=2，AC=．
（Ⅰ）求cos∠CAD的值；
（Ⅱ）若cos∠BAD=﹣，sin∠CBA=，求BC的长．
19．（12分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的所有棱长都相等，AC∩BD=O，A1C1∩B1D1=O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形．
（Ⅰ）证明：O1O⊥底面ABCD；
（Ⅱ）若∠CBA=60°，求二面角C1﹣OB1﹣D的余弦值．
20．（13分）已知数列{an}满足a1=1，|an+1﹣an|=pn，n∈N*．
（Ⅰ）若{an}是递增数列，且a1，2a2，3a3成等差数列，求p的值；
（Ⅱ）若p=，且{a2n﹣1}是递增数列，{a2n}是递减数列，求数列{an}的通项公式．21．（13分）如图，O为坐标原点，椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e1；双曲线C2：﹣=1的左、右焦点分别为F3，F4，离心率为e2，已知e1e2=，且|F2F4|=﹣1．
（Ⅰ）求C1、C2的方程；
（Ⅱ）过F1作C1的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点，当直线OM与C2交于P，Q 两点时，求四边形APBQ面积的最小值．
22．（13分）已知常数a＞0，函数f（x）=ln（1+ax）﹣．
（Ⅰ）讨论f（x）在区间（0，+∞）上的单调性；
（Ⅱ）若f（x）存在两个极值点x1，x2，且f（x1）+f（x2）＞0，求a的取值范围．
高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）
1．（5分）满足=i（i为虚数单位）的复数z=（）
A．+i B．﹣i C．﹣+i D．﹣﹣i
【分析】根据复数的基本运算即可得到结论．
【解答】解：∵=i，
∴z+i=zi，
即z===﹣i，
故选：B．
【点评】本题主要考查复数的计算，比较基础．
2．（5分）对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为P1，P2，P3，则（）
A．P1=P2＜P3 B．P2=P3＜P1 C．P1=P3＜P2 D．P1=P2=P3
【分析】根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义即可得到结论．
【解答】解：根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义可知，无论哪种抽样，每个个体被抽中的概率都是相等的，
即P1=P2=P3．
故选：D．
【点评】本题主要考查简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的性质，比较基础．
3．（5分）已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）﹣g（x）=x3+x2+1，则f（1）+g（1）=（）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
【分析】将原代数式中的x替换成﹣x，再结合着f（x）和g（x）的奇偶性可得f（x）+g （x），再令x=1即可．
【解答】解：由f（x）﹣g（x）=x3+x2+1，将所有x替换成﹣x，得
f（﹣x）﹣g（﹣x）=﹣x3+x2+1，
根据f（x）=f（﹣x），g（﹣x）=﹣g（x），得
f（x）+g（x）=﹣x3+x2+1，再令x=1，计算得，
f（1）+g（1）=1．
故选：C．
【点评】本题属于容易题，是对函数奇偶性的考查，在高考中，函数奇偶性的考查一般相对比较基础，学生在掌握好基础知识的前提下，做题应该没有什么障碍．本题中也可以将原代数式中的x直接令其等于﹣1也可以得到计算结果．
4．（5分）（x﹣2y）5的展开式中x2y3的系数是（）
A．﹣20 B．﹣5 C．5 D．20
【分析】利用二项式定理的展开式的通项公式，求解所求项的系数即可．
【解答】解：由二项式定理可知：Tr+1=，
要求解（x﹣2y）5的展开式中x2y3的系数，
所以r=3，
所求系数为：=﹣20．
故选：A．
【点评】本题考查二项式定理的通项公式的应用，基本知识的考查．
5．（5分）已知命题p：若x＞y，则﹣x＜﹣y；命题q：若x＞y，则x2＞y2，在命题①p∧q；②p∨q；③p∧（￢q）；④（￢p）∨q中，真命题是（）
A．①③B．①④C．②③D．②④
【分析】根据不等式的性质分别判定命题p，q的真假，利用复合命题之间的关系即可得到结论．
【解答】解：根据不等式的性质可知，若若x＞y，则﹣x＜﹣y成立，即p为真命题，
当x=1，y=﹣1时，满足x＞y，但x2＞y2不成立，即命题q为假命题，
则①p∧q为假命题；②p∨q为真命题；③p∧（￢q）为真命题；④（￢p）∨q为假命题，
故选：C．
【点评】本题主要考查复合命题之间的关系，根据不等式的性质分别判定命题p，q的真假是解决本题的关键，比较基础．
6．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的t∈[﹣2，2]，则输出的S属于（）
A．[﹣6，﹣2] B．[﹣5，﹣1] C．[﹣4，5] D．[﹣3，6]
【分析】根据程序框图，结合条件，利用函数的性质即可得到结论．
【解答】解：若0≤t≤2，则不满足条件输出S=t﹣3∈[﹣3，﹣1]，
若﹣2≤t＜0，则满足条件，此时t=2t2+1∈（1，9]，此时不满足条件，输出S=t﹣3∈（﹣2，6]，
综上：S=t﹣3∈[﹣3，6]，
故选：D．
【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，利用函数的取值范围是解决本题的关键，比较基础．
7．（5分）一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由题意，该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r．
【解答】解：由题意，该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r，则
8﹣r+6﹣r=，
∴r=2．
故选：B．
【点评】本题考查三视图，考查几何体的内切圆，考查学生的计算能力，属于基础题．
8．（5分）某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为（）
A．B．C．pq D．﹣1
【分析】设该市这两年生产总值的年平均增长率为x，可得（1+p）（1+q）=（1+x）2，解出即可．
【解答】解：设该市这两年生产总值的年平均增长率为x，
则（1+p）（1+q）=（1+x）2，
解得x=﹣1，
故选：D．
【点评】本题考查了指数的运算性质、乘法公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
9．（5分）已知函数f（x）=sin（x﹣φ），且f（x）dx=0，则函数f（x）的图象的一条对称轴是（）
A．x=B．x=C．x=D．x=
【分析】由f（x）dx=0求得cos（φ+）=0，故有φ+=kπ+，k∈z．可取φ=，则f（x）=sin（x﹣）．
令x﹣=kπ+，求得x的值，可得函数f（x）的图象的一条对称轴方程．
【解答】解：∵函数f（x）=sin（x﹣φ），
f（x）dx=﹣cos（x﹣φ）=﹣cos（﹣φ）﹣[﹣cos（﹣φ）]=cosφ﹣sinφ=cos（φ+）=0，
∴φ+=kπ+，k∈z，即φ=kπ+，k∈z，故可取φ=，f（x）=sin（x﹣）．
令x﹣=kπ+，求得x=kπ+，k∈Z，
则函数f（x）的图象的一条对称轴为 x=，
故选：A．
【点评】本题主要考查定积分，函数y=Asin（ωx+φ）的图象的对称性，两角和差的三角公式的应用，属于中档题．
10．（5分）若函数f（x）=x2+ex﹣（x＜0）与g（x）=x2+ln（x+a）图象上存在关于y 轴对称的点，则a的取值范围是（）
A．（﹣）B．（）C．（）D．（）【分析】由题意可得ex0﹣﹣ln（﹣x0+a）=0有负根，函数h（x）=ex﹣﹣ln（﹣x+a）为增函数，由此能求出a的取值范围．
【解答】解：由题意可得：
存在x0∈（﹣∞，0），满足x02+ex0﹣=（﹣x0）2+ln（﹣x0+a），
即ex0﹣﹣ln（﹣x0+a）=0有负根，
∵当x趋近于负无穷大时，ex0﹣﹣ln（﹣x0+a）也趋近于负无穷大，
且函数h（x）=ex﹣﹣ln（﹣x+a）为增函数，
∴h（0）=e0﹣﹣lna＞0，
∴lna＜ln，
∴a＜，
∴a的取值范围是（﹣∞，），
故选：A．
【点评】本题考查的知识点是函数的图象和性质，函数的零点，函数单调性的性质，函数
的极限，是函数图象和性质较为综合的应用．
二、填空题（共3小题，每小题5分，满分10分）（一）选做题（请考生在第11,12,13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）
11．（5分）在平面直角坐标系中，倾斜角为的直线l与曲线C：，（α为参数）交于A，B两点，且|AB|=2，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l的极坐标方程是ρ（cosθ﹣sinθ）=1．
【分析】由题意可得直线l的方程为y=x+b，曲线方程化为直角坐标，表示一个圆，由于弦长正好等于直径，可得圆心（2，1）在直线l上，由此求得b的值，可得直线的方程．【解答】解：设倾斜角为的直线l的方程为y=x+b，
曲线C：（α为参数），即（x﹣2）2+（y﹣1）2=1，表示以（2，1）为圆心、半径等于1的圆．
由于弦长|AB|=2，正好等于直径，故圆心（2，1）在直线l上，故有1=2+b，解得b=﹣1，故直线l的方程为 y=x﹣1，即x﹣y﹣1=0．
再根据极坐标与直角坐标的互化公式可得ρcosθ﹣ρsinθ﹣1=0，即ρ（cosθ﹣sinθ）=1
故答案为：ρ（cosθ﹣sinθ）=1．
【点评】本题主要考查把参数方程化为直角坐标方程，直线和圆的位置关系，属于基础题．
12．（5分）如图所示，已知AB，BC是⊙O的两条弦，AO⊥BC，AB=，BC=2，则⊙O的半径等于 1.5．
【分析】设垂足为D，⊙O的半径等于R，先计算AD，再计算R即可．
【解答】解：设垂足为D，⊙O的半径等于R，则
∵AB，BC是⊙O的两条弦，AO⊥BC，AB=，BC=2，
∴AD=1，
∴R2=2+（R﹣1）2，
∴R=1.5．
故答案为：1.5
【点评】本题考查垂径定理的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．
13．若关于x的不等式|ax﹣2|＜3的解集为{x|﹣＜x＜}，则a=﹣3．
【分析】由题意可得﹣和是|ax﹣2|=3的两个根，故有，由此求得a
的值．
【解答】解：∵关于x的不等式|ax﹣2|＜3的解集为{x|﹣＜x＜}，
∴﹣和是|ax﹣2|=3的两个根，∴，∴a=﹣3，
故答案为：﹣3．
【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．（二）必做题（1416题）
14．（5分）若变量x，y满足约束条件，且z=2x+y的最小值为﹣6，则k=﹣
2．
【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即先确定z的最优解，然后确定k的值即可．
【解答】解：作出不等式对应的平面区域，（阴影部分）
由z=2x+y，得y=﹣2x+z，
平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最小，此时z最小．
目标函数为2x+y=﹣6，
由，解得，
即A（﹣2，﹣2），
∵点A也在直线y=k上，
∴k=﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．
15．（5分）如图所示，正方形ABCD与正方形DEFG的边长分别为a，b（a＜b），原点O 为AD的中点，抛物线y2=2px（p＞0）经过C，F两点，则=．
【分析】可先由图中的点与抛物线的位置关系，写出C，F两点的坐标，再将坐标代入抛物线方程中，消去参数p后，得到a，b的关系式，再寻求的值．
【解答】解：由题意可得，，
将C，F两点的坐标分别代入抛物线方程y2=2px中，得
∵a＞0，b＞0，p＞0，两式相比消去p得，化简整理得a2+2ab﹣b2=0，
此式可看作是关于a的一元二次方程，由求根公式得，取，
从而，
故答案为：．
【点评】本题关键是弄清两个正方形与抛物线的位置关系，这样才能顺利写出C，F的坐标，接下来是消参，得到了一个关于a，b的齐次式，应注意根的取舍与细心的计算．
16．（5分）在平面直角坐标系中，O为原点，A（﹣1，0），B（0，），C（3，0），动点D满足||=1，则|++|的最大值是+1．
【分析】由题意可得，点D在以C（3，0）为圆心的单位圆上，设点D的坐标为（3+cosθ，sinθ），求得|++|≤|++|+||，可得|++|的最大值．【解答】解：由题意可得，点D在以C（3，0）为圆心的单位圆上，设点D的坐标为（3+cosθ，sinθ），
则|++|≤|++|+||=+1．
∴|++|的最大值是+1，
故答案为：+1．
【点评】本题主要考查参数方程的应用，求向量的模，属于中档题．
三、解答题：本大题共6小题，共75分
17．（12分）某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和．现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B，设甲、乙两组的研发相互独立．（Ⅰ）求至少有一种新产品研发成功的概率；
（Ⅱ）若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元，求该企业可获利润的分布列和数学期望．
【分析】（Ⅰ）利用对立事件的概率公式，计算即可，
（Ⅱ）求出企业利润的分布列，再根据数学期望公式计算即可．
【解答】解：（Ⅰ）设至少有一种新产品研发成功的事件为事件A且事件B为事件A的对立事件，则事件B为一种新产品都没有成功，
因为甲乙研发新产品成功的概率分别为和．
则P（B）=，
再根据对立事件的概率之间的公式可得P（A）=1﹣P（B）=，
故至少有一种新产品研发成功的概率为．
（Ⅱ）由题可得设企业可获得利润为X，则X的取值有0，120，100，220，
由独立试验的概率计算公式可得，
，
，
，
，
所以X的分布列如下：
X 0 120 100 220
P（x）
则数学期望E（X）==140．
【点评】本题主要考查了对立事件的概率，分布列和数学期望，培养学生的计算能力，也是近几年高考题目的常考的题型．
18．（12分）如图，在平面四边形ABCD中，AD=1，CD=2，AC=．
（Ⅰ）求cos∠CAD的值；
（Ⅱ）若cos∠BAD=﹣，sin∠CBA=，求BC的长．
【分析】（Ⅰ）利用余弦定理，利用已知条件求得cos∠CAD的值．
（Ⅱ）根据cos∠CAD，cos∠BAD的值分别，求得sin∠BAD和sin∠CAD，进而利用两角和公式求得sin∠BAC的值，最后利用正弦定理求得BC．
【解答】解：（Ⅰ）cos∠CAD===．
（Ⅱ）∵cos∠BAD=﹣，
∴sin∠BAD==，
∵cos∠CAD=，
∴sin∠CAD==
∴sin∠BAC=sin（∠BAD﹣∠CAD）=sin∠BADcos∠CAD﹣cos∠BADsin∠CAD=×+×=，
∴由正弦定理知=，
∴BC=•sin∠BAC=×=3
【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的综合运用，三角函数恒等变换的应用．考查了学生对基础知识的综合运用．
19．（12分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的所有棱长都相等，AC∩BD=O，A1C1∩B1D1=O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形．
（Ⅰ）证明：O1O⊥底面ABCD；
（Ⅱ）若∠CBA=60°，求二面角C1﹣OB1﹣D的余弦值．
【分析】（Ⅰ）由已知中，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的所有棱长都相等，AC∩BD=O，A1C1∩B1D1=O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形．可得O1O∥CC1∥BB1且CC1⊥AC，BB1⊥BD，进而OO1⊥AC，OO1⊥BD，再由线面垂直的判定定理得到O1O⊥底面ABCD；
（Ⅱ）设四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的所有棱长均为2a，设AB为2，若∠CBA=60°，OA=OC=1，OB=OD=，以O为坐标原点，分别以OB，OC，OO1为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，求出平面BDD1B1和平面OB1C1的法向量，代入向量夹角公式，求出二面角的余弦值．
【解答】证明：（Ⅰ）∵四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的所有棱长都相等，
∴四边形ABCD为菱形，
又∵AC∩BD=O，
故O为BD的中点，
同理O1也是B1D1的中点，
又∵四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形，
∴O1O∥CC1∥BB1且CC1⊥AC，BB1⊥BD，
∴OO1⊥AC，OO1⊥BD，
又∵AC∩BD=O，AC，BD⊂平面ABCD，
∴O1O⊥底面ABCD；
解：（Ⅱ）设四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的所有棱长均相等，所以四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
又∵O1O⊥底面ABCD，
∴OB，OC，OO1两两垂直，
如图，以O为坐标原点，OB，OC，OO1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立直角坐标系O﹣xyz．
设AB=2，
∵∠CBA=60°，
∴OA=OC=1，OB=OD=，
则O（0，0，0），B1（），C1（0，1，2）
易知，=（0，1，0）是平面BDD1B1的一个法向量，
设=（x，y，z）是平面OB1C1的一个法向量，则，即
取z=﹣，则x=2，y=2，所以=（2，2，﹣）
设二面角C1﹣OB1﹣D的大小为θ，易知θ是锐角，于是：
cosθ=|cos＜，＞|=||==，
故二面角C1﹣OB1﹣D的余弦值为．
【点评】本题考查的知识点是空间二面角的平面角，建立空间坐标系，将二面角问题转化为向量夹角问题，是解答的关键．
20．（13分）已知数列{an}满足a1=1，|an+1﹣an|=pn，n∈N*．
（Ⅰ）若{an}是递增数列，且a1，2a2，3a3成等差数列，求p的值；
（Ⅱ）若p=，且{a2n﹣1}是递增数列，{a2n}是递减数列，求数列{an}的通项公式．
【分析】（Ⅰ）根据条件去掉式子的绝对值，分别令n=1，2代入求出a2和a3，再由等差中项的性质列出关于p的方程求解，利用“{an}是递增数列”对求出的p的值取舍；
（Ⅱ）根据数列的单调性和式子“|an+1﹣an|=pn”、不等式的可加性，求出和a2n+1﹣a2n=，再对数列{an}的项数分类讨论，利用累加法和等比数列前n项和公式，求出数列{an}的奇数项、偶数项对应的通项公式，再用分段函数的形式表示出来．
【解答】解：（Ⅰ）∵数列{an}是递增数列，∴an+1﹣an＞0，
则|an+1﹣an|=pn化为：an+1﹣an=pn，
分别令n=1，2可得，a2﹣a1=p，，
即a2=1+p，，
∵a1，2a2，3a3成等差数列，∴4a2=a1+3a3，
即4（1+p）=1+3（p2+p+1），
化简得3p2﹣p=0，解得或0，
当p=0时，数列an为常数数列，不符合数列{an}是递增数列，
∴；
（2）由题意可得，|an+1﹣an|=，
则|a2n﹣a2n﹣1|=，|a2n+2﹣a2n+1|=，
∵数列{a2n﹣1}是递增数列，且{a2n}是递减数列，
∴a2n+1﹣a2n﹣1＞0，且a2n+2﹣a2n＜0，
则﹣（a2n+2﹣a2n）＞0，两不等式相加得
a2n+1﹣a2n﹣1﹣（a2n+2﹣a2n）＞0，即a2n+1﹣a2n+2＞a2n﹣1﹣a2n，
又∵|a2n﹣a2n﹣1|=＞|a2n+2﹣a2n+1|=，
∴a2n﹣a2n﹣1＞0，即，
同理可得：a2n+3﹣a2n+2＞a2n+1﹣a2n，即|a2n+3﹣a2n+2|＜|a2n+1﹣a2n|，
则a2n+1﹣a2n=
当数列{an}的项数为偶数时，令n=2m（m∈N*），
，，，…，，
这2m﹣1个等式相加可得，
==，
则；
当数列{an}的项数为奇数时，令n=2m+1（m∈N*）
，，，…，，
这2m个等式相加可得，…﹣…+
=﹣=，
则，且当m=0时a1=1符合，
故，
综上得，．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式，等比数列前n项和公式、数列的单调性，累加法求数列的通项公式，不等式的性质等，同时考查数列的基础知识和化归、分类整合等数学思想，以及推理论证、分析与解决问题的能力．本题设计巧妙，题型新颖，立意深刻，是一道不可多得的好题，难度很大．
21．（13分）如图，O为坐标原点，椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e1；双曲线C2：﹣=1的左、右焦点分别为F3，F4，离心率为e2，已知e1e2=，且|F2F4|=﹣1．
（Ⅰ）求C1、C2的方程；
（Ⅱ）过F1作C1的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点，当直线OM与C2交于P，Q
两点时，求四边形APBQ面积的最小值．
【分析】（Ⅰ）由斜率公式写出e1，e2，把双曲线的焦点用含有a，b的代数式表示，结合已知条件列关于a，b的方程组求解a，b的值，则圆锥曲线方程可求；
（Ⅱ）设出AB所在直线方程，和椭圆方程联立后得到关于y的一元二次方程，由根与系数的关系得到AB中点M的坐标，并由椭圆的焦点弦公式求出AB的长度，写出PQ的方程，和双曲线联立后解出P，Q的坐标，由点到直线的距离公式分别求出P，Q到AB的距离，然后代入代入三角形面积公式得四边形APBQ的面积，再由关于n的函数的单调性求得最值．
【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，，且．
∵e1e2=，且|F2F4|=﹣1．
∴，且．
解得：．
∴椭圆C1的方程为，双曲线C2的方程为；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得F1（﹣1，0）．
∵直线AB不垂直于y轴，
∴设AB的方程为x=ny﹣1，
联立，得（n2+2）y2﹣2ny﹣1=0．
设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），
则，．
则
==．
∵M在直线AB上，
∴．
直线PQ的方程为，
联立，得．
解得，代入得．
由2﹣n2＞0，得﹣＜n＜．
∴P，Q的坐标分别为，
则P，Q到AB的距离分别为：，
．
∵P，Q在直线A，B的两端，
∴．
则四边形APBQ的面积S=|AB|．
∴当n2=0，即n=0时，四边形APBQ面积取得最小值2．
【点评】本题考查圆锥曲线方程的求法，是直线与圆锥曲线、圆锥曲线与圆锥曲线间的关系的综合题，考查了椭圆与双曲线的基本性质，关键是学生要有较强的运算能力，是压轴题．
22．（13分）已知常数a＞0，函数f（x）=ln（1+ax）﹣．
（Ⅰ）讨论f（x）在区间（0，+∞）上的单调性；
（Ⅱ）若f（x）存在两个极值点x1，x2，且f（x1）+f（x2）＞0，求a的取值范围．
【分析】（Ⅰ）利用导数判断函数的单调性，注意对a分类讨论；
（Ⅱ）利用导数判断函数的极值，注意a的讨论及利用换元法转化为求函数最值问题解决．
【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=ln（1+ax）﹣．
∴f′（x）==，
∵（1+ax）（x+2）2＞0，∴当1﹣a≤0时，即a≥1时，f′（x）≥0恒成立，则函数f（x）在（0，+∞）单调递增，
当0＜a≤1时，由f′（x）=0得x=±，则函数f（x）在（0，）单调递减，在（，+∞）单调递增．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a≥1时，f′（x）≥0，此时f（x）不存在极值点．
因此要使f（x）存在两个极值点x1，x2，则必有0＜a＜1，又f（x）的极值点值可能是x1=，x2=﹣，
且由f（x）的定义域可知x＞﹣且x≠﹣2，
∴﹣＞﹣且﹣≠﹣2，解得a≠，则x1，x2分别为函数f（x）的极小值点和极大值点，
∴f（x1）+f（x2）=ln[1+ax1]﹣+ln（1+ax2）﹣=ln[1+a（x1+x2）+a2x1x2]﹣
=ln（2a﹣1）2﹣=ln（2a﹣1）2+﹣2．
令2a﹣1=x，由0＜a＜1且a≠得，
当0＜a＜时，﹣1＜x＜0；当＜a＜1时，0＜x＜1．
令g（x）=lnx2+﹣2．
（i）当﹣1＜x＜0时，g（x）=2ln（﹣x）+﹣2，∴g′（x）=﹣=＜0，
故g（x）在（﹣1，0）上单调递减，g（x）＜g（﹣1）=﹣4＜0，
∴当0＜a＜时，f（x1）+f（x2）＜0；
（ii）当0＜x＜1．g（x）=2lnx+﹣2，g′（x）=﹣=＜0，
故g（x）在（0，1）上单调递减，g（x）＞g（1）=0，
∴当＜a＜1时，f（x1）+f（x2）＞0；
综上所述，a的取值范围是（，1）．
【点评】本题主要考查学生对含有参数的函数的单调性及极值的判断，考查利用导数判断函数的单调性及求极值的能力，考查分类讨论思想及转化划归思想的运用和运算能力，逻辑性综合性强，属难题．
高考数学试卷解析
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
1．已知集合
{124}
A =，，，
{246}
B =，，，则
A B =
▲．
【答案】{}1,2,4,6。

【主要错误】{2,4}，{1,6}。

2．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3:3:4,现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取▲名学生． 【答案】15。

【主要错误】24,25,20等。

3．设a b ∈R ，，117i
i 12i
a b -+=-（i 为虚数单位），则
a b +的值为▲．
【答案】8。

【主要错误】4，2，4，5+3i ，40/3，6，等。

【分析】由117i
i 12i
a b -+=
-得
()()()()117i 12i 117i 1115i 14
i ===53i 12i 12i 12i 14
a b -+-+++=
+--++，所以=5=3a b ，，=8a b +。

4．下图是一个算法流程图，则输出的k 的值是▲．
【答案】5。

【主要错误】4，10，1，3，等。

【分析】根据流程图所示的顺序，程序的运行过程中变量值变化如下表：
是否继续循环 k 2k 5k 4-+
循环前
0 0 第一圈 是 1 0 第二圈 是 2 －2 第三圈 是 3 －2 第四圈 是 4 0 第五圈 是 5 4
第六圈
否
输出5
∴最终输出结果k=5。

5．函数
x x f 6log 21)(-=的定义域为▲．
【答案】
(0。

【主要错误】（0，6），(]{}6
,
0，
{}
6/≤x x ，
{}
6,0/≠>x x x 等。

【解析】根据二次根式和对数函数有意义的条件，得
1266000112log 0log 620<x >x >x >x x x x ≤-≥≤≤⎧⎧⎧⎪⎪
⇒⇒⎨⎨⎨
⎩⎪⎪⎩⎩
6．现有10个数，它们能构成一个以1为首项，3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是▲．
【答案】
3
5。

【主要错误】
52，43，54，21，107。

【解析】∵以1为首项，3为公比的等比数列的10个数为1，－3，9，27，···其中有5个负数，1个正数1计6个数小于8，
∴从这10个数中随机抽取一个数，它小于8的概率是
63
=105。

7．如图，在长方体
1111
ABCD A B C D -中，
3cm
AB AD ==，
12cm
AA =，则四棱锥
11A BB D D -的体积为▲cm3．
【答案】6。

【主要错误】
26，3，72，30。

【解析】∵长方体底面ABCD 是正方形，∴△ABD 中=32BD cm ，BD 边上的高是
3
22
cm （它也是11A BB D D -中11BB D D 上的高）。

∴四棱锥11A BB D D -的体积为13
3222=632
⨯⨯⨯。

8．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线
22
214
x y m m -=+的离心率为5，
则m 的值为▲．
【答案】2。

【主要错误】2，5，3，1。

【解析】由22
214x y m m -=+得22==4=4a m b m c m m +++，，。

∴24
==
=5c m m e a m
++，即244=0m m -+，解得=2m 。

9．如图，在矩形ABCD 中，22AB BC ==，，点E 为BC 的中
点，点F 在边CD 上，若
2AB AF =，则AE BF 的值是▲．
【答案】
2。

【主要错误】
22-，22，3，2,32
，2，1，
2等20余种。

【解析】由2AB AF =，得cos 2AB AF FAB ∠=，由矩形的性质，得
cos =AF FAB DF ∠。

∵AB
=2DF =，∴1
DF =。

∴1CF =。

记AE BF 和之间的夹角为,AEB FBC θαβ∠=∠=，，则θαβ=+。

又∵2BC =，点E 为BC 的中点，∴1BE =。

∴()()=cos =cos =cos cos sin sin AE BF AE
BF AE
BF AE BF
θαβαβαβ
+-
(
)
=cos cos sin sin =122
1AE BF AE BF BE BC AB CF αβαβ--=⨯-
本题也可建立以, AB AD 为坐标轴的直角坐标系，求出各点坐标后求解。

10．设
()
f x 是定义在
R
上且周期为2的函数，在区间
[11]-，上，
0111()2
01
x x ax f x bx x <+-⎧⎪
=+⎨⎪+⎩≤≤≤，
，，，其中
a b ∈R
，．
若
1322f f ⎛⎫⎛⎫
= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，则3a b +的值为▲． 【答案】10。

【主要错误】2，3，4，10，5等十余种。

【解析】∵()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，∴()()11f f -=，
即2
1=
2
b a +-+① 又∵311=1222f f a ⎛⎫⎛⎫
=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
1322f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， ∴1
4
1=
23
b a +-+② 联立①②，解得，=2. =4a b -。

∴3=10a b +-。

11．设
α
为锐角，若
4cos 65απ⎛
⎫+=
⎪⎝
⎭，则
)
12
2sin(π
+
a 的值为▲．
【答案】
，
50
578。

【主要错误】
2524，25
2
17，
50
231，
53，50
587
，等30余种。

【解析】∵α为锐角，即02
<<
π
α，∴
2=
66
2
6
3
<<
π
π
π
π
πα+
+。

∵4cos 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴3sin 65απ⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭。

∴3424sin 22sin cos =2
=3665525αααπππ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫+=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭。

∴7cos 2325απ⎛
⎫+= ⎪⎝⎭。

∴sin(2)=sin(2)=sin 2cos cos 2sin 12
343434a a a a π
π
πππππ⎛⎫⎛
⎫+
+
-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
2427217
=
=225225250
-。

12．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为
228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共
点，则K 的最大值是▲．
【答案】
4
3。

【主要错误】1，2，43，2
1
，
5等。

【解析】∵圆C 的方程可化为：()2
241x y -+=，∴圆C 的圆心为(4,0)，半径为1。

∵由题意，直线2y kx =-上至少存在一点00(,2)A x kx -，以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点；
∴存在0x R ∈，使得11AC ≤+成立，即min 2AC ≤。

∵min AC 即为点C 到直线2y kx =-的距离
2
421
k k -+，∴
2
4221
k k -≤+，解得
403
k ≤≤。

∴k 的最大值是
43。

13．已知函数
2()()f x x ax b a b =++∈R ，的值域为[0)+∞，，若
关于x 的不等式()f x c <的解集为(6)m m +，
，则实数c 的值为▲． 【答案】9。

【主要错误】1，2，3，4，7，6，等。

【解析】由值域为[0)+∞，，当2
=0x ax b ++时有2
40a b =-=，即2
4
a b =
， ∴2
222
()42a a f x x ax b x ax x ⎛⎫=++=++
=+ ⎪⎝⎭。

∴2
()2a f x x c ⎛
⎫=+< ⎪⎝
⎭解得2a c x c -<+<，22a a c x c --<<-。

∵不等式()f x c <的解集为(6)m m +，， ∴()()2622
a a c c c ----==，解得9c =。

14
．
已
知
正
数
a b c
，，满足：
4ln 53ln b c a a c c c a c b -+-≤≤≥，，
则
b
a 的取值范围是▲．
【答案】
[] 7e ，。

【主要错误】（0,1），[1,+∞)，(1, 2)，[0,7]，[1/e ，e],(1，e) ，1，2。

【解析】条件4ln 53ln b c a a c c c a c b -+-≤≤≥，可化为：354a c a b c c a b
c c
b e c
⎧⋅+≥⎪⎪⎪+≤⎨⎪⎪⎪≥⎩。

设
==a b
x y c c
，，则题目转化为： 已知x y ，满足35
4
00x
x y x y y e
x >y >+≥⎧⎪+≤⎪
⎨≥⎪⎪⎩
，，求y x 的取值范围。

作出（x y ，）所在平面区域（如图）。

求出=x y e 的切线的斜率e ，设过切点()00P x y ，的
切线为()=0y ex m m +≥，则
00000
==y ex m m
e x x x ++
，要使它最小，须=0m 。

∴
y
x
的最小值在()00P x y ，处，为e 。

此时，点()00P x y ，在=x y e 上,A B 之间。

当（x y ，）对应点C 时，=45=205=7=7=534=2012y x y x y
y x y x y x
x --⎧⎧⇒⇒⇒⎨
⎨--⎩⎩， ∴y
x
的最大值在C 处，为7。

∴
y x 的取值范围为[] 7e ，
，即b
a
的取值范围是[] 7e ，。

【注】最小值e 的主要求法：
法一，c c a b c ln ln +≥⇒c
b
c c c b c a ln ln ln =-≤⇒c b c a ln ≤ ⇒c
b
c b
c a c b a b ln ≥=。

令x c b =，x x c
b c b ln ln
=，导数法e x x ≥ln 。

法二，c b c a ln ≤，令x c a =，则c b e x ≤，b ce x ≤， x
e e a c a b x
x =≥，令x e y x
=
，则0)
1(2
'
=-=x
x e y x ， 驻点x=1，x>1⇒
0'>y ; x<1⇒0'<y
故
e x
e y x ≥=。

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文
字说明、证明过程或演算步骤．
15．在
ABC ∆中，已知3AB AC BA BC =．
（1）求证：
tan 3tan B A
=；
（2
）若
cos 5C =，求A 的值．
【答案】解：（1）∵3AB AC BA BC =，∴cos =3cos AB AC A BA BC B ，即
cos =3cos AC A BC B 。

……2分
由正弦定理，得
=
sin sin AC BC
B A
，∴sin cos =3sin cos B A A B 。

……2分 又∵0<A B<π+，∴cos 0 cos 0A>B>，。

∴
sin sin =3cos cos B A
B A
即tan 3tan B A =。

……2分
（2）∵cos 0C <C <π=
，∴sin C = ∴tan 2C =。

……2分
∴()tan 2A B π⎡-+⎤=⎣⎦，即()tan 2A B +=-。

……2分
∴
tan tan 21tan tan A B
A B
+=--。

由（1），得
24tan 213tan A A =--，解得1
tan =1 tan =3
A A -
，。

∵cos 0A>，∴tan =1A 。

∴=
4
A π。

……4分
【典型错误】（1）①由结论tan 3tan B A =分析，而又不按分析法书写。

②∵3AB AC BA BC =，∴cos =3cos AB AC A BA BC B ，即cos =3cos AC A BC B 。

∵AC=sinB ，BC=sinA ，∴sin cos =3sin cos B A A B ，∴tan 3tan B A =。

③误用余弦定理。

(2)典型解法近10种，除用正切公式的两种方法外，其余(如,正余弦加法公式、余弦定理等)方法得不偿失。

解法的优化是关键。

16．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1111A B AC =，D E ，分别是棱1BC CC ，上的点（点D 不同于点C ），且AD DE F ⊥，为
11B C 的中点．
求证：（1）平面ADE ⊥平面11BCC B ； （2）直线1//A F 平面ADE ．
证明：（1）∵111ABC A B C -是直三棱柱，∴1CC ⊥平面ABC 。

又∵AD ⊂平面ABC ，∴1CC AD ⊥。

……3分
又∵1AD DE CC DE ⊥⊂，
，平面111BCC B CC DE E =，，
∴AD ⊥平面11BCC B 。

……3分
又∵AD ⊂平面ADE ，∴平面ADE ⊥平面11BCC B 。

……2分 （2）∵1111A B AC =，F 为11B C 的中点，∴111A F B C ⊥。

……2分 又∵1CC ⊥平面111A B C ，且1A F ⊂平面111A B C ，∴11CC A F ⊥。

又∵111 CC B C ⊂，
平面11BCC B ，1111CC B C C =，∴1A F ⊥平面111A B C 。

由（1）知，AD ⊥平面11BCC B ，∴1A F ∥AD 。

……2分
又∵AD ⊂平面1, ADE A F ∉平面ADE ， ∴直线1//A F 平面ADE 。

……2分 【典型错误】A.概念含混不清
由直三棱柱111ABC A B C -得到∆ABC 是直角三角形。

B.思维定势致错
由AD BC ⊥和1A F BC ⊥直接得出1//A F AD ，忽视了该命题在立体几何中并不一定成立。

C ．想当然使用条件
在第(1)小题证明线面垂直时，不少考生直接根据图形的特点将D 点当作是BD 的中点，从而得到AD BC ⊥，再由条件得出AD ⊥平面11BCC B 。

（一般仅能得7分）
17．如图，建立平面直角坐标系xoy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程
221
(1)(0)20
y kx k x k =-+>表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的
射程是指炮弹落地点的横坐标． （1）求炮的最大射程；
（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐
标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．
解：（1）在
22
1(1)(0)20
y kx k x k =-+>中，
令0y =，得221
(1)=020
kx k x -
+。

……2分
由实际意义和题设条件知00x>k >，，
2120k
k x +=， ……2分
∴2
202020===10112k x k k k
≤++，当且仅当=1k 时取等号。

∴炮的最大射程是10千米。

……2分
（2）∵0a >，∴炮弹可以击中目标等价于存在0k >，使
22
1(1)=3.2
20ka k a -+
成立，……2分
即关于k 的方程2222064=0a k ak a -++有正根。

……2分 由()()
2
22=204640a a a ∆--+≥得6a ≤。

……2分
此时，
0k （不考虑另一根）。

∴当a 不超过6千米时，炮弹可以击中目标。

……2分 【考点】函数、方程和基本不等式的应用。

【典型错误】（1）①说对称轴是2
120k
k
x +=，得0分。

②由2
120k k
x +=
直接得10≤x ，扣2分。

（2）2.3)1(20
1
22≥+-x k kx ，06420)1(22≤+-+kx x k ，
所以
)
1(22561442022
k k k x +-+≤，…
（耗费大量时间，仅能得2分）。