1.2-定义与命题知识点+练习(第1课时)

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定义与命题第一课时

图2-1
图2-2
结论
例如： “两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形” 是“平行四边形”的定义. “一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫作梯形”是“梯形”的定义.
“连接两点的线段的长度，叫作这两点间的距离” 是“两点间的距离”的定义. “如果一个方程通过整理可以使右边为0，而左边是只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫作一元二次方程”，这是“一元二次方程” 的定义．
（二）经典例题
例3：下面四个定义中不正确的是（ B ）
A 数轴上表示一个数的点离开原点的距离叫这个数的绝对值 B有一组邻边相等的四边形叫菱形 C 有一个角是直角且有一组邻边相等的平行四边形叫正方形 D两腰相等的梯形叫等腰梯形
（三）合作交流
内容： 1. 预习中遇到的疑问； 2.讲学稿“合作探究”部分的问题。时间：6分钟
（四）巩固练习
1、下列语句哪些是定义,哪些不是定义? 不是（1）正数大于零，零大于一切负数; 不是（2）两点确定一条直线; （3）形为y=ax+b形式的函数是其中a、b为常数，且a≠0叫一次函数 ; 不是（4）相等的角是全等三角形的对应角; （5）有理数和无理数统称为实数是
（四）巩固练习
高效展示
展示内容
探究1、探究2、探究3、探究4、探究5
展示小组点评小组
9组 5组
6组 1组 7组
4组 3组 8组
2组 3组
要求： ⑴口头展示，声音洪亮、清楚；书面展示要注意表达格式，书写要认真、规范。
（三）合作探究
探究1： 1、类型一根据语言描述，填写适当的概念：（1）连结三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线 . （2）一个平面图形沿着平面内一条直线折叠，如果直线两旁部分能互相重合，那么这个图形叫作轴对称图形，这条直线叫作它的对称轴. （3）两个能够完全重合的三角形叫作全等三角形 .

1.2_定义与命题知识点+练习(第1课时)

1 三、应用新知
1．下列语句是命题的是（）
A.过点A 作直线MN 的垂线
B.正数都大于负数吗？
C.你必须完成作业
D.两点之间，线段最短。

2.下列描述属于定义的是( )
A.对顶角相等 B ．三角形的内角和等于1800
C ．平行四边形的对角相等
D ．链接三角形两边中点的线段叫三角形的中位线
3．下列语句不是命题的是（）
A ．鲸鱼是哺乳动物乳
B ．植物都需要水
C ．你必须完成作业
D ．实数不包括零
4.下列语句哪些是命题，哪些不是命题。

（1）在线段AB 上任取一点C （2）两点确定一条直线
（3）作线段AB 的中垂线（4）两个锐角的和大于直角吗？
（5）同角的余角相等（6）8不是偶数
(7）若,b a <则.0<-b a （8）三角形的三条高交于一点。

（9）两点之间线段最短（10）1+2≠3。

（11）如果b a =，那么a=b.
5．写出下列命题的条件和结论.
（1）对顶角相等. （2）如果a 2=b 2，那么a=b ．
（3）同角或等角的补角相等．（4）过两点有且只有一条直线．
（5）等底等高的两个三角形面积相等。

（6）对顶角相等。

（7）同位角相等，两直线平行。

(8)矩形的对角线相等
6.把下列命题改写成“如果……那么……..”的形式。

（1）直角三角形的两个锐角互余（2）角平分线上的点到角两边的距离相等。

（3）在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行．（4）绝对值相等的两个数一定相等．。

定义与命题 (第1课时)八年级数学课件

这个黑客是个小偷吧？
可能是个喜欢穿黑衣服的贼.
可见，在交流时对名称和术语要有共同的认识才行.
探究新知
由此可知：人与人之间的交流必须对某些名词或术语有共同的认识才能正常进行.
为此人们对各个名词或术语的含义，都给予了尽量详细的描述，做出了明确的规定，也就是给出了它们的定义.
探究新知
一般地，能清楚地规规定定某一名称或术语意的义意义的句子叫做该名称或术语定的义定义．例如: 1.“具有中华人民共和国国籍的人,叫做中华人民共和国公民” 是“中华人民共和国公民 ” 的定义;
（3）平行用符号“∥”表示.
一般情况下，疑问句不是命题，图形的作法不是命题，祈使句也不是命题！
探究新知
注意： 1.只要对一件事情作出了判断,不管正确与否,都是命题. 如：相等的角是对顶角. 2.如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断,那么它就不是命题.
如：画线段AB=CD.
探究新知素养考点命题的识别
知的事项，结论是由已知事项推断出的事项. “如果” 引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论.
探究新知
有些命题没有写成“如果……那么……”的形式，条件和结论不明显，对于这样的命题，要经过分析才能找出条件和结论，也可以先将它们改写成“如果……那么……”的形式.
注意：命题的条件部分，有时也可用“已知……” 或者“若……”等形式表述，命题的结论部分，有时也可用“求证……”或“则……”等形式表述.
定义与命题第1 课时
导入新知
有一位田径教练向领导汇报训练成绩；
好！继续努力,
小明的百米成绩
争取超过10秒.
有进步，已达到
9秒9.
相传,阎锡山在观看士兵篮

1.2定义与命题

（来自《典中点》）
知4－练
3
下列命题不是基本事实的是( A．两点确定一条直线
)
B．过一点有且只有一条直线垂直于已知直线 C．两条平行线被第三条直线所截，内错角相等
D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直
线平行
（来自《典中点》）
1.看一句话是不是命题，关键是看它是不是作出了明
确的判断，是不是一个完整的句子，在改写命题时, 不是机械地在原命题中添上“如果……”和“那么 ……”，而要使改写后命题的实质不变，条件和结论明朗化，主要要求：(1)改写后的命题与改写前的命
知3－练
1
列举两个命题，要求其中一个是真命题，另一个是假命题.你是用什么方法来判断它们的真假的？
（来自《教材》）
2
下列命题中，为真命题的是(
A．对顶角相等 C．若a2＝b2，则a＝b
)
B．同位角相等 D．若 a 2 ＝m，则a＝m
（来自《典中点》）
知3－练
3 下列选项中，可以用来证明命题“若a2>1，则a>1” 是假命题的反例是( A．a＝－2 ) B．a＝－1
1.基本事实是不需要推理论证的真命题．真命题，定理可以作为判断其他命题真 2.定理都是 _________ 假的依据．
（来自《点拨》）
知4－练
1
“两点之间，线段最短”这一语句是( A．定理 B．基本事实 C．定义
) D．只是命题
（来自《典中点》）
2
下列叙述错误的是(
)
A．所有的命题都有条件和结论 B．所有的命题都是定理 C．所有的基本事实都是命题 D．所有的基本事实都是真命题
知3－讲
总结
1．真、假命题的判定推理的方式， (1)要判定一个命题是真命题，常常通过 _____ 已知事实来推断未知事实；也有一些命即根据____________ 公认为正确的命题．题是人们经过长期实践后， ____________ 举出一个反例即可． (2)判定一个命题是假命题，只要 _____________ 2．不正确的命题(假命题)也是命题．

1.2(2)定义和命题

(1)什么是定义? 一般地,能清楚地规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或术语的定义.
(2)什么是命题?
命题由哪两部分组成?
一般地,对某一件事情作出正确或不正确的判断的句子叫做命题. 命题由可看做由题设(或条件)和结论两部分组成.
判断下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？
（1）同角的余角相等。是
定义、基本事实、定理以及推论都可以作为判断其他命题真假的依据.都是在今后证明过程中可以直接引用的。
基本事实、定理、真命题、命题之间的关系:
基本事实（公认为正确）
真命题命题定理（需要推理）其它的真命题(需要推理) 假命题（举反例）
不是（2）在直线AB上任取一点C。
（3）相等的角是对顶角。是
（4）全等的两个三角形的面积相等。是
（5）不相交的两条直线叫做平行线。是（6）所有的质数都是奇数。是
下列命题的条件是什么？结论是什么？
1.三角形三个内角的和等于1800
2.两点确定一条直线
3.对于任何实数x，x2＜0
上述命题中,哪些正确?哪些不正确?
判断假命题的方法：
举反例
使之具有命题的条件，而不具有命题的结论
如：a a(a为实数)
2
例2 判别下列命题的真假,并说明理:
1.三角形一条边的两个顶点到这条边上的中线所在的直线的距离相等。 2.一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形。
3.
a a(a为实数)
2
判定一个命题是真命题的方法:
(1)通过推理的方式,即根据已知的事实来推断未知事实; 用推理的方法判断为正确的命题叫做定理. (2)人们经过长期实践后而公认为正确的命题叫做基本事实. 数学中通常挑选一部分人类经过长期实践后公认为正确的基本事实，作为判断其他命题的依据.

《1.2 定义与命题》课时同步练习 2021-2022学年浙教版八年级数学上册

《1.2 定义与命题》课时同步练习2020-2021年数学浙教新版八（上）一．选择题（共6小题）1．下列命题是假命题的是（）A．如果m∥n，n∥l，那么m∥l（m、n、l为三条不重合的直线）B．立方根等于本身的数是﹣1，0、1C．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行D．两条直线被第三条直线所截，同位角相等2．下列命题中正确的是（）A．同位角相等B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行C．如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等D．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行3．下列命题：①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③同旁内角互补；④垂直于同一条直线的两条直线垂直．其中的假命题有（）A．4个B．3个C．2个D．1个4．下列选项中a，b的取值，可以说明“若a＞b，则|a|＞|b|”是假命题的反例为（）A．a＝﹣5 b＝﹣6B．a＝6 b＝5C．a＝﹣6 b＝5D．a＝6 b＝﹣5 5．下列命题中是真命题的是（）A．相等的角是对顶角B．数轴上的点与实数一一对应C．同旁内角互补D．无理数就是开方开不尽的数6．下列命题的逆命题是真命题的是（）A．若a＝b，则|a|＝|b|B．同位角相等，两直线平行C．对顶角相等D．若a＞0，b＞0，则a+b＞0二．填空题（共9小题）7．举例说明命题“如果ac＞bc，那么a＞b”是假命题，a＝，b＝，c＝．8．命题：“如果a＝b，那么a2＝b2”的逆命题是命题（填“真”或“假”）．9．下列四个命题中：①对顶角相等；②如果两条直线被第三条直线所截，那么同位角相等；③如果两个实数的平方相等，那么这两个实数也相等；④当m≠0时，点P（m2，﹣m）在第四象限内．其中真命题有（填序号）．10．把命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式：．11．命题：“平行于同一条直线的两条直线平行”的题设是，结论是．12．命题“对顶角相等”的题设是，结论是这两个角相等．13．已知“若a＞b，则ac＞bc”是假命题，请写出一个满足条件的c的值是．14．下列5个命题中：①对顶角相等；②同位角相等；③平行于同一条直线的两直线平行；④互补的角是邻补角；⑤经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；真命题共有个．15．下列语句：①钝角大于90°；②两点之间，线段最短；③明天可能下雨；④作AD⊥BC；⑤同旁内角不互补，两直线不平行．其中是命题的是．三．解答题（共9小题）16．阅读下面内容，并解答问题．在学习了平行线的性质后，老师请学们证明命题：两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直．小颖根据命题画出图形并写出如下的已知条件．已知：如图1，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F．∠BEF的平分线与∠DFE 的平分线交于点G．求证：．（1）请补充要求证的结论，并写出证明过程；（2）请从下列A、B两题中任选一题作答，我选择题．A．在图1的基础上，分别作∠BEG的平分线与∠DFG的平分线交于点M，得到图2，则∠EMF的度数为．B．如图3，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F．点O在直线AB，CD之间，且在直线EF右侧，∠BEO的平分线与∠DFO的平分线交于点P，则∠EOF与∠EPF满足的数量关系为．17．如图，∠ACD是∠ACB的邻补角，请你从下面的三个条件中，选出两个作为已知条件，另一个作为结论，得出一个真命题．①CE∥AB；②∠A＝∠B；③CE平分∠ACD．（1）由上述条件可得哪几个真命题？请按“⊗⊗⇒⊗”的形式一一书写出来；（2）请根据（1）中的真命题，选择一个进行证明．18．如图，有以下四个条件：①AC∥DE，②DC∥EF，③CD平分∠BCA，④EF平分∠BED．（1）若CD平分∠BCA，AC∥DE，DC∥EF，求证：EF平分∠BED．（2）除（1）外，请再选择四个条件中的三个作为题设，余下的一个作为结论，写出一个真命题，再给予证明．19．如图，①AB∥CD，②BE平分∠ABD，③∠1+∠2＝90°，④DE平分∠BDC．（1）请以其中三个为条件，第四个为结论，写出一个命题；（2）判断这个命题是否为真命题，并说明理由．20．阅读下面材料：判断一个命题是假命题，只要举出一个例子（反例），它符合命题的题设，但不满足结论就可以了．例如要判断命题“相等的角是对顶角”是假命题，可以举出如下反例：如图，OC是∠AOB的平分线，∠1＝∠2，但它们不是对顶角．请你举出一个反例说明命题“如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等”是假命题．（要求：画出相应的图形，并用文字语言或符号语言表述所举反例）21．（1）已知：如图，直线AB、CD、EF被直线BF所截，∠B+∠1＝180°，∠2＝∠3．求证：∠B+∠F＝180°．（2）你在（1）的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题．22．如图，在△ABC和△DEF中，B、E、C、F在同一直线上，下面有四个条件：①AB＝DE；②AC＝DF；③AB∥DE；④BE＝CF．请你从中选三个作为题设，余下的一个作为结论，写出一个真命题，并加以证明．解：我写的真命题是：已知：；求证：．（注：不能只填序号）证明如下：23．如图，分别将“∠1＝∠2“记为a，“∠B＝∠D“记为b，“CB＝CD”记为c．（1）填空：“如图，如果CB＝CD，∠B＝∠D，那么∠1＝∠2“是命题；（填“真”或“假“）（2）以a、b、c中的两个为条件，第三个为结论，写出一个真命题，并加以证明．24．概念学习．已知△ABC，点P为其内部一点，连接P A、PB、PC，在△P AB、△PBC、△P AC中，如果存在一个三角形，其内角与△ABC的三个内角分别相等，那么就称点P 为△ABC的等角点．理解应用（1）判断以下两个命题是否为真命题，若为真命题，则在相应横线内写“真命题”；反之，则写“假命题”．①内角分别为30°、60°、90°的三角形存在等角点；；②任意的三角形都存在等角点；；（2）如图①，点P是锐角△ABC的等角点，若∠BAC＝∠PBC，探究图①中，∠BPC、∠ABC、∠ACP之间的数量关系，并说明理由．解决问题如图②，在△ABC中，∠BAC＜∠ABC＜∠ACB，若△ABC的三个内角的角平分线的交点P是该三角形的等角点，求△ABC三角形三个内角的度数．参考答案一．选择题（共6小题）1．解：A、如果m∥n，n∥l，那么m∥l（m、n、l为三条不重合的直线），是真命题，不符合题意；B、立方根等于本身的数是﹣1，0、1，是真命题，不符合题意；C、过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，是真命题，不符合题意；D、两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，故本选项说法是假命题，符合题意；故选：D．2．解：A、同位角相等，是假命题，本选项不符合题意．B、过一点有且只有一条直线与已知直线平行，是假命题，这个点，不能在直线上．本选项不符合题意．C、如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等，假命题，也可能互补，本选项不符合题意．D、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，是真命题，本选项符合题意．故选：D．3．解：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故原命题错误，是假命题；②过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故原命题错误，是假命题；③两直线平行，同旁内角互补，故原命题错误，是假命题；④平面内垂直于同一条直线的两条直线平行，故原命题错误，是假命题．假命题有4个，故选：A．4．解：当a＝﹣5，b＝﹣6时，a＞b，但|a|＜|b|，∴“若a＞b，则|a|＞|b|”是假命题，故选：A．5．解：A、相等的角不一定是对顶角，故此命题是假命题；B、数轴上的点与实数一一对应，故此命题是真命题；C、两直线平行，同旁内角互补，故此命题是假命题；D、无理数有三个来源：（1）开方开不尽的数；（2）与π有关的一些运算；（3）有规律的无限不循环小数，故此命题是假命题；故选：B．6．解：A、若a＝b，则|a|＝|b|的逆命题是若|a|＝|b|，则a＝b，逆命题是假命题，不符合题意；B、同位角相等，两直线平行的逆命题是两直线平行，同位角相等，逆命题是真命题，符合题意；C、对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，逆命题是假命题，不符合题意；D、若a＞0，b＞0，则a+b＞0的逆命题是若a+b＞0，则a＞0，b＞0，逆命题是假命题，不符合题意；故选：B．二．填空题（共9小题）7．解：a＝1，b＝2，c＝﹣2，则ac＞bc，a＜b，故答案为：1，2，﹣2．8．解：命题：“如果a＝b，那么a2＝b2”的逆命题是如果a2＝b2，那么a＝b，是假命题；故答案为：假．9．解：①对顶角相等，本小题说法是真命题；②如果两条平行线被第三条直线所截，那么同位角相等，本小题说法是假命题；③如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等或互为相反数，本小题说法是假命题；④当m≠0时，点P（m2，﹣m）在第四象限内或第一象限内，本小题说法是假命题；故答案为：①．10．解：题设为：两个角是对顶角，结论为：这两个角相等，故写成“如果…那么…”的形式是：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等，故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．11．解：命题：“平行于同一条直线的两条直线平行”的题设是两条直线平行于同一条直线，结论是这两条直线平行．12．解：命题“对顶角相等”可写成：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．故命题“对顶角相等”的题设是“两个角是对顶角”．故答案为：两个角是对顶角．13．解：如果a＞b，c＜0时，则ac＜bc．所以c可取﹣1，故答案为：﹣1（答案不唯一）．14．解：对顶角相等，所以①为真命题；两直线平行，同位角相等，所以②为假命题；平行于同一条直线的两直线平行，所以③为真命题；有一条公共边且互补的角是邻补角，所以④为假命题；经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，所以⑤为真命题．故答案为3．15．解：①钝角大于90°，是命题；②两点之间，线段最短，是命题；③明天可能下雨，没有对一件事情作出判断，不是命题；④作AD⊥BC，没有对一件事情作出判断，不是命题；⑤同旁内角不互补，两直线不平行，是命题；故答案为：①②⑤．三．解答题（共9小题）16．解：（1）结论：EG⊥FG；理由：如图1中，∵AB∥CD，∴∠BEF+∠DFE＝180°，∵EG平分∠BEF，FG平分∠DFE，∴，，∴．在△EFG中，∠GEF+∠GFE+∠G＝180°，∴∠G＝180°﹣（∠GEF+∠GFE）＝180°﹣90°＝90°，∴EG⊥FG．故答案为EG⊥GF．（2）A．如图2中，由题意，∠BEG+∠DFG＝90°，∵EM平分∠BEG，MF平分∠DFG，∴∠BEM+∠MFD＝（∠BEG+∠DFG）＝45°，∴∠M＝∠BEM+∠MFD＝45°，B．如图3中，由题意，∠EOF＝∠BEO+∠DFO，∠EPF＝∠BEP+∠DFP，∵PE平分∠BEO，PF平分∠DFO，∴∠BEO＝2∠BEP，∠DFO＝2∠DFP，∴∠EOF＝2∠EPF，故答案为A或B，45°，∠EOF＝2∠EPF．17．解：（1）上述问题有三种正确命题，分别是：命题1：①②⇒③；命题2：①③⇒②；命题3：②③⇒①．（2）解：选择命题2：①③⇒②．证明：∵CE∥AB，∴∠ACE＝∠A，∠DCE＝∠B．∵CE平分∠ACD，∴∠ACE＝∠DCE．∴∠A＝∠B．18．（1）证明：∵CD平分∠BCA，∴∠BCD＝∠ACD，∵DC∥EF，∴∠BCD＝∠BEF，∠DEF＝∠CDE，∵AC∥DE，∴∠ACD＝∠CDE，∴∠BEF＝∠DEF，即EF平分∠BED．（2）解：如果EF平分∠BED，AC∥DE，DC∥EF，那么CD平分∠BCA．证明：∵EF平分∠BED，∴∠BEF＝∠DEF，∵DC∥EF，∴∠BCD＝∠BEF，∠DEF＝∠CDE，∵AC∥DE，∴∠ACD＝∠CDE，∴∠BCD＝∠ACD，即CD平分∠BCA．19．解：（1）如果BE平分∠ABD，∠1+∠2＝90°，DE平分∠BDC，那么AB∥CD；（2）这个命题是真命题，理由如下：∵BE平分∠ABD，∴∠1＝∠ABD，∵DE平分∠BDC，∴∠2＝∠BDC，∵∠1+∠2＝90°，∴∠ABD+∠BDC＝180°，∴AB∥CD．20．解：如图，∠1+∠2＝180°；如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．21．（1）证明：∵∠B+∠1＝180°，∴AB∥CD，∵∠2＝∠3，∴CD∥EF，∴AB∥EF，∴∠B+∠F＝180°；（2）解：在（1）的证明过程中应用的两个互逆的真命题为：同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补．22．解：我写的真命题是：已知：①②④；求证：③证明如下：∵BE＝FC，∴BE+EC＝CF+EC，即BC＝FE，在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（SSS），∴∠B＝∠DEF，∴AB∥DE．故答案为①②④；③．23．解：（1）如果CB＝CD，∠B＝∠D，那么∠1＝∠2，是假命题；故答案为：假；（2）如果∠1＝∠2，∠B＝∠D，那么BC＝CD，∵∠1＝∠2，∴∠ACB＝∠ACD，在△ABC和△ADC中，∴△ABC≌△ADC（AAS），∴BC＝DC．24．解：理解应用（1）①内角分别为30°、60°、90°的三角形存在等角点是真命题；②任意的三角形都存在等角点是假命题，如等边三角形不存在等角点；故答案为：真命题，假命题；（2）如图①，∵在△ABC中，∠BPC＝∠ABP+∠BAC+∠ACP，∠BAC＝∠PBC，∴∠BPC＝∠ABP+∠PBC+∠ACP＝∠ABC+∠ACP；解决问题如图②，连接PB，PC∵P为△ABC的角平分线的交点，∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，∵P为△ABC的等角点，∴∠PBC＝∠BAC，∠BCP＝∠ABC＝2∠PBC＝2∠BAC，∠ACB＝∠BPC＝4∠BAC，又∵∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠BAC+2∠BAC+4∠BAC＝180°，∴∠BAC＝，∴该三角形三个内角的度数分别为，，．。

【浙教版】2017年八上：1.2《定义与命题(1)》ppt课件(11页,含答案)

【例 3】观察下列给出的方程，找出它们的共同特征，试给出名称，并作出定义． x3＋x2－3x＋4＝0，x3＋x－1＝0， x3－2x2＋3＝x，方程，均只含有一个未知数，未知数的最高次数均为 3 次．名称：一元三次方程．定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为 3 的整式方程是一元三次方程．
重要提示
1．命题是判断某一件事情正确或不正确的语句，命题的结构是条件 ( 已知事项 ) 与结论 ( 由已知事项得到的事项 )．
2．把命题改写成“如果……那么……”的形式时，要明确条件和结论，语言应重新组合，可添上命题中被省略的词句． 3．凡描述性语句、设问句、反问句等语句都不是命题．
命题必须是一个完整的句子． 4．命题中的判断可正确，可不正确，不要以为不正确的
判断就不是命题．
解题指导
【例 1】下列语句中，不是命题的是 A．同位角相等，两直线平行 B．画直线 AB 平行于 CD C．若 a2＝b2，则 a＝b D．同角的余角相等 ( )
【解析】命题．
A．根据同位角相等，判断出两直线平行，是
B．不是判断一件事情的语句，不是命题． C．根据 a2＝b2，判断 a＝b，是命题． D．根据两个角是同一个角的余角，判断这两个余角相等，是命题．
学习指要
知识要点
1．一般地，能清楚地规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或术语的定义． 2．一般地，判断某一件事情的句子叫做命题．
3．我们在数学上学习的命题一般由条件和结论两部分组成．条件是已知事项，结论是由已知事项得到的事项．这样的命题可以写成“如果……那么……”的形式，其中以“如果”开始的部分是条件， “那么”后面的部分是结论．
【解析】 ①是命题，改写为：如果两个数同号，那么这两个数的和一定不是负数，条件是：两个数同号，结论是这两个数的和一定不是负数．

1-2定义与命题复习讲义 2021-2022学年浙教版数学八年级上册

1.2 定义与命题知识点梳理1、命题与定理1、判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．3、定理是真命题，但真命题不一定是定理．4、命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．5、命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．2、角平分线的性质角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE3、三角形的外角性质（1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．（2）三角形的外角性质：①三角形的外角和为360°．②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．（3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．（4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角．题型梳理题型一真假命题的辨析1．对于命题“若a2＞b2，则a＞b”，下面四组关于a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是（）A．a＝3，b＝2B．a＝﹣3，b＝2C．a＝3，b＝﹣1D．a＝﹣1，b＝3 2．如图，从①∠1＝∠2；②∠C＝∠D；③∠A＝∠F，三个条件中选出两个作为已知条件，另一个作为结论所组成的命题中，正确命题的个数为（）A．0B．1C．2D．33．下列命题中，真命题的个数是（）①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③图形平移的方向一定是水平的；④内错角相等；⑤相等的角是对顶角；⑥垂线段最短A．3B．2C．1D．04．有下列四个命题：①相等的角是对顶角；②同位角相等；③若一个角的两边与另一个角的两边互相平行，则这两个角一定相等；④从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离．其中是真命题的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个5．下列命题中正确的是（）A．有一组邻边相等的四边形是菱形B．有一个角是直角的平行四边形是矩形C．对角线垂直的平行四边形是正方形D．一组对边平行的四边形是平行四边形6．下列命题中是假命题的是（）A．两直线平行，同位角互补B．对顶角相等C．直角三角形两锐角互余D．平行于同一直线的两条直线平行7．下列命题正确的是（）A．有一个角是直角的平行四边形是矩形B．四条边相等的四边形是矩形C．有一组邻边相等的平行四边形是矩形D．对角线相等的四边形是矩形8．下列哪一个是假命题（）A．五边形外角和为360°B．切线垂直于经过切点的半径C．（3，﹣2）关于y轴的对称点为（﹣3，2）D．抛物线y＝x2﹣4x+2017对称轴为直线x＝29．下列命题中，是真命题的是（）A．同位角相等B．邻补角一定互补C．相等的角是对顶角D．有且只有一条直线与已知直线垂直10．对于命题“如果∠1+∠2＝90°，那么∠1≠∠2”，能说明它是假命题的反例是（）A．∠1＝50°，∠2＝40°B．∠1＝50°，∠2＝50°C．∠1＝∠2＝45°D．∠1＝40°，∠2＝40°11．判断命题“如果n＜1，那么n2﹣1＜0”是假命题，只需举出一个反例．反例中的n可以为（）A．﹣2B．−12C．0D．1212．下列命题中，是假命题的是（）A．两点之间，线段最短B．同旁内角互补C．直角的补角仍然是直角D．垂线段最短13．△ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列命题为真命题的（）A．如果∠A＝2∠B＝3∠C，则△ABC是直角三角形B．如果∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则△ABC是直角三角形C．如果a：b：c＝1：2：2，则△ABC是直角三角形D．如果a：b；c＝3：4：√7，则△ABC是直角三角形14．下列命题中，不正确的是（）A．对角线相等的矩形是正方形B．对角线垂直平分的四边形是菱形C．矩形的对角线平分且相等D．顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形题型二寻找“条件”与“结论”1．把命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式：．2．把命题“等角的补角相等”改写成“如果…那么…”的形式是．3．命题“对顶角相等”的逆命题是．4．命题“对顶角相等”的逆命题是命题（填“真”或“假”）．5．把命题“平行于同一直线的两直线平行”改写成“如果…，那么…”的形式：．6．把命题“平行于同一条直线的两条直线互相平行”改写成“如果…，那么…”的形式为．题型三角平分线性质的应用1．如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积等于（）A．10B．7C．5D．42．如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD ＝8，则点P到BC的距离是（）A．8B．6C．4D．23．如图，△ABC的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（）A．1：1：1B．1：2：3C．2：3：4D．3：4：54．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE＝1，则BC＝（）A．√3B．2C．3D．√3+25．如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线P A、PB交于点P，下列结论：①PC平分∠ACF；②∠ABC+∠APC＝180°；③若点M、N分别为点P在BE、BF上的正投影，则AM+CN＝AC；④∠BAC＝2∠BPC．其中正确的是（）A．只有①②③B．只有①③④C．只有②③④D．只有①③6．如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD ＝4，则四边形ABCD的面积是（）A．24B．30C．36D．427．如图，四边形ABDC中，对角线AD平分∠BAC，∠ACD＝136°，∠BCD＝44°，则∠ADB的度数为（）A．54°B．50°C．48°D．46°8．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC长是．9．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD＝3，BC＝10，则△BDC的面积是．10．已知如图，∠B＝∠C＝90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，∠CED＝35°，则∠EAB是度．11．如图，已知：BD是∠ABC的平分线，DE⊥BC于E，S△ABC＝36cm2；，AB＝12cm，BC ＝18cm，则DE的长为cm．题型四“燕尾模型”与三角形的外角性质1．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠A+∠P＝（）A．70°B．80°C．90°D．100°2．如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，CE是外角∠ACM的平分线，BE与CE相交于点E，若∠A＝60°，则∠BEC是（）A．15°B．30°C．45°D．60°3．如图在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE为外角∠ACD的平分线，BO的延长线交CE于点E，记∠BAC＝∠1，∠BEC＝∠2，则以下结论①∠1＝2∠2，②∠BOC＝3∠2，③∠BOC＝90°+∠1，④∠BOC＝90°+∠2正确的是（）A．①②③B．①③④C．①④D．①②④4．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠P＝°．5．将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是．6．如图，∠BCD＝150°，则∠A+∠B+∠D的度数为．7．如图，在△ABC中，∠A、∠B的平分线相交于点I，若∠C＝70°，则∠AIB＝度，若∠AIB＝155°，则∠C＝度．8．已知：如图，在△ABC中，∠A＝55°，H是高BD、CE的交点，则∠BHC＝度．9．如图，CE平分∠ACD，交AB于点E，∠A＝40°，∠B＝30°，∠D＝104°，则∠BEC 的度数为．10．如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．（1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度数；（2）如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，试探索∠Q、∠A之间的数量关系．（3）如图③，延长线段BP、QC交于点E，△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求∠A的度数．11．认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题．探究1：如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现∠BOC＝90°+12∠A，理由如下：∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线∴∠1=12∠ABC，∠2=12∠ACB∴∠1+∠2=12(∠ABC+∠ACB)又∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A∴∠1+∠2=12(180°−∠A)=90°−12∠A∴∠BOC＝180°﹣（∠1+∠2）＝180°﹣（90°−12∠A）=90°+12∠A探究2：如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC 与∠A有怎样的关系？请说明理由．探究3：如图3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC 与∠A有怎样的关系？（只写结论，不需证明）结论：．12．（1）探究：如图1，求证：∠BOC＝∠A+∠B+∠C．（2）应用：如图2，∠ABC＝100°，∠DEF＝130°，求∠A+∠C+∠D+∠F的度数．13．如图，已知D为△ABC边BC延长线上一点，DF⊥AB于F交AC于E，∠A＝35°，∠D＝42°，求∠ACD的度数．题型五“拐点模型”与三角形的外角性质1．如图，直线AB∥CD，∠A＝70°，∠C＝40°，则∠E等于（）A．30°B．40°C．60°D．70°2．如图，点D在△ABC边AB的延长线上，DE∥BC．若∠A＝35°，∠C＝24°，则∠D 的度数是（）A．24°B．59°C．60°D．69°3．如图，直线AB∥CD，∠B＝50°，∠D＝20°，则∠E的度数是（）A．20°B．30°C．50°D．70°4．如图，AB∥CD，∠B＝68°，∠E＝20°，则∠D的度数为度．答案和解析题型一真假命题的辨析1．对于命题“若a2＞b2，则a＞b”，下面四组关于a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是（）A．a＝3，b＝2B．a＝﹣3，b＝2C．a＝3，b＝﹣1D．a＝﹣1，b＝3【分析】说明命题为假命题，即a、b的值满足a2＞b2，但a＞b不成立，把四个选项中的a、b的值分别代入验证即可．【解答】解：在A中，a2＝9，b2＝4，且3＞2，满足“若a2＞b2，则a＞b”，故A选项中a、b的值不能说明命题为假命题；在B中，a2＝9，b2＝4，且﹣3＜2，此时虽然满足a2＞b2，但a＞b不成立，故B选项中a、b的值可以说明命题为假命题；在C中，a2＝9，b2＝1，且3＞﹣1，满足“若a2＞b2，则a＞b”，故C选项中a、b的值不能说明命题为假命题；在D中，a2＝1，b2＝9，且﹣1＜3，此时满足a2＜b2，得出a＜b，即意味着命题“若a2＞b2，则a＞b”成立，故D选项中a、b的值不能说明命题为假命题；故选：B．2．如图，从①∠1＝∠2；②∠C＝∠D；③∠A＝∠F，三个条件中选出两个作为已知条件，另一个作为结论所组成的命题中，正确命题的个数为（）A．0B．1C．2D．3【分析】直接利用平行线的判定与性质分别判断得出各结论的正确性．【解答】解：如图所示：当①∠1＝∠2，则∠3＝∠2，故DB∥EC，当②∠C ＝∠D ，故∠4＝∠C ，则DF ∥AC ，可得：∠A ＝∠F ，即①②}⇒③；当①∠1＝∠2，则∠3＝∠2，故DB ∥EC ，则∠D ＝∠4，当③∠A ＝∠F ，故DF ∥AC ，则∠4＝∠C ，故可得：∠C ＝∠D ，即①③}⇒②；当③∠A ＝∠F ，故DF ∥AC ，则∠4＝∠C ，则∠4＝∠D ，故DB ∥EC ，则∠2＝∠3，可得：∠1＝∠2，即②③}⇒①，故正确的有3个．故选：D ．3．下列命题中，真命题的个数是（）①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③图形平移的方向一定是水平的；④内错角相等；⑤相等的角是对顶角；⑥垂线段最短A ．3B ．2C ．1D ．0【分析】根据平行公理、图形的平移、平行线的性质定理判断即可．【解答】解：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，①是假命题；在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，②是假命题；图形平移的方向不一定是水平的，③是假命题；两直线平行，内错角相等，④是假命题；相等的角不一定是对顶角，⑤是假命题；垂线段最短，⑥是真命题，故选：C．4．有下列四个命题：①相等的角是对顶角；②同位角相等；③若一个角的两边与另一个角的两边互相平行，则这两个角一定相等；④从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离．其中是真命题的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【分析】①根据对顶角的定义进行判断；②根据同位角的知识判断；③一个角的两边与另一个角的两边分别互相平行，这两个角相等或互补；根据点到直线的距离的定义对④进行判断．【解答】解：①对顶角相等，相等的角不一定是对顶角，①假命题；②两直线平行，同位角相等；②假命题；③一个角的两边与另一个角的两边分别互相平行，这两个角相等或互补；③假命题；④从直线外一点到这条直线的垂线段的长叫做点到直线的距离，所以④假命题；真命题的个数为0，故选：A．5．下列命题中正确的是（）A．有一组邻边相等的四边形是菱形B．有一个角是直角的平行四边形是矩形C．对角线垂直的平行四边形是正方形D．一组对边平行的四边形是平行四边形【分析】利用特殊四边形的判定定理对个选项逐一判断后即可得到正确的选项．【解答】解：A、一组邻边相等的平行四边形是菱形，故选项错误；B、正确；C、对角线垂直的平行四边形是菱形，故选项错误；D、两组对边平行的四边形才是平行四边形，故选项错误．故选：B．6．下列命题中是假命题的是（）A．两直线平行，同位角互补B．对顶角相等C．直角三角形两锐角互余D．平行于同一直线的两条直线平行【分析】根据平行线的判定和性质、对顶角的性质、直角三角形的性质判断即可．【解答】解：A、两直线平行，同位角相等，故本选项说法是假命题；B、对顶角相等，本选项说法是真命题；C、直角三角形两锐角互余，本选项说法是真命题；D、平行于同一直线的两条直线平行，本选项说法是真命题；故选：A．7．下列命题正确的是（）A．有一个角是直角的平行四边形是矩形B．四条边相等的四边形是矩形C．有一组邻边相等的平行四边形是矩形D．对角线相等的四边形是矩形【分析】根据矩形的判定方法判断即可．【解答】解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，是真命题；B、四条边相等的四边形是菱形，是假命题；C、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，是假命题；D、对角线相等的平行四边形是矩形，是假命题；故选：A．8．下列哪一个是假命题（）A．五边形外角和为360°B．切线垂直于经过切点的半径C．（3，﹣2）关于y轴的对称点为（﹣3，2）D．抛物线y＝x2﹣4x+2017对称轴为直线x＝2【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．【解答】解：A、五边形外角和为360°是真命题，故A不符合题意；B、切线垂直于经过切点的半径是真命题，故B不符合题意；C、（3，﹣2）关于y轴的对称点为（﹣3，2）是假命题，故C符合题意；D、抛物线y＝x2﹣4x+2017对称轴为直线x＝2是真命题，故D不符合题意；故选：C．9．下列命题中，是真命题的是（）A．同位角相等B．邻补角一定互补C．相等的角是对顶角D．有且只有一条直线与已知直线垂直【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．【解答】解：A、两直线平行，同位角相等，故此选项错误；B、根据邻补角的定义，故此选项正确；C、相等的角不一定是对顶角，故此选项错误；D、过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直，故此选项错误．故选：B．10．对于命题“如果∠1+∠2＝90°，那么∠1≠∠2”，能说明它是假命题的反例是（）A．∠1＝50°，∠2＝40°B．∠1＝50°，∠2＝50°C．∠1＝∠2＝45°D．∠1＝40°，∠2＝40°【分析】能说明是假命题的反例就是能满足已知条件，但不满足结论的例子．【解答】解：A、满足条件∠1+∠2＝90°，也满足结论∠1≠∠2，故A选项错误；B、不满足条件，故B选项错误；C、满足条件，不满足结论，故C选项正确；D、不满足条件，也不满足结论，故D选项错误．故选：C．11．判断命题“如果n＜1，那么n2﹣1＜0”是假命题，只需举出一个反例．反例中的n可以为（）A．﹣2B．−12C．0D．12【分析】反例中的n满足n＜1，使n2﹣1≥0，从而对各选项进行判断．【解答】解：当n＝﹣2时，满足n＜1，但n2﹣1＝3＞0，所以判断命题“如果n＜1，那么n2﹣1＜0”是假命题，举出n＝﹣2．故选：A．12．下列命题中，是假命题的是（）A．两点之间，线段最短B．同旁内角互补C．直角的补角仍然是直角D．垂线段最短【分析】根据线段、垂线段的公理、平行线的性质以及直角的概念判断即可．【解答】解：A、两点之间，线段最短，是真命题；B、两直线平行，同旁内角互补，原命题是假命题；C、直角的补角仍然是直角，是真命题；D、垂线段最短，是真命题；故选：B．13．△ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列命题为真命题的（）A．如果∠A＝2∠B＝3∠C，则△ABC是直角三角形B．如果∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则△ABC是直角三角形C．如果a：b：c＝1：2：2，则△ABC是直角三角形D．如果a：b；c＝3：4：√7，则△ABC是直角三角形【分析】根据勾股定理的逆定理和直角三角形的判定解答即可．【解答】解：A、∵∠A＝2∠B＝3∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A≈98°，错误不符合题意；B、如果∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A＝75°，错误不符合题意；C、如果a：b：c＝1：2：2，12+22≠22，不是直角三角形，错误不符合题意；D、如果a：b；c＝3：4：√7，32+(√7)2=42，则△ABC是直角三角形，正确；故选：D．14．下列命题中，不正确的是（）A．对角线相等的矩形是正方形B．对角线垂直平分的四边形是菱形C．矩形的对角线平分且相等D．顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形【分析】根据矩形的性质和正方形的判定方法对A进行判断；根据菱形的判定方法对B 进行判断；根据矩形的性质对C进行判断；根据三角形中位线的性质和矩形的判定方法对D进行判断．【解答】解：A、对角线垂直的矩形是正方形，所以A选项为假命题；B、对角线垂直平分的四边形是菱形，所以B选项为真命题；C、矩形的对角线平分且相等，所以C选项为真命题；D、顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形，所以D选项为真命题．故选：A．题型二寻找“条件”与“结论”1．把命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．【分析】命题中的条件是两个角是对顶角，放在“如果”的后面，结论是这两个角相等，应放在“那么”的后面．【解答】解：题设为：两个角是对顶角，结论为：这两个角相等，故写成“如果…那么…”的形式是：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等，故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．2．把命题“等角的补角相等”改写成“如果…那么…”的形式是如果两个角是等角的补角，那么这两个角相等．【分析】命题中的条件是两个角相等，放在“如果”的后面，结论是这两个角的补角相等，应放在“那么”的后面．【解答】解：题设为：两个角是等角的补角，结论为：它们相等，故写成“如果…那么…”的形式是：如果两个角是等角的补角，那么这两个角相等．故答案为：如果两个角是等角的补角，那么这两个角相等．3．命题“对顶角相等”的逆命题是相等的角为对顶角．【分析】交换原命题的题设与结论即可得到其逆命题．【解答】解：命题“对顶角相等”的逆命题是“相等的角为对顶角”．故答案为：相等的角为对顶角．4．命题“对顶角相等”的逆命题是假命题（填“真”或“假”）．【分析】先交换原命题的题设与结论得到逆命题，然后根据对顶角的定义进行判断．【解答】解：命题“对顶角相等”的逆命题是相等的角为对顶角，此逆命题为假命题．故答案为假．5．把命题“平行于同一直线的两直线平行”改写成“如果…，那么…”的形式：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行．【分析】命题由题设和结论两部分组成，通常写成“如果…那么…”的形式．“如果”后面接题设，“那么”后面接结论．【解答】解：命题可以改写为：“如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行”．故答案为：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行．6．把命题“平行于同一条直线的两条直线互相平行”改写成“如果…，那么…”的形式为如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线相互平行．【分析】命题由题设和结论两部分组成，通常写成“如果…那么…”的形式．“如果”后面接题设，“那么”后面接结论．【解答】解：命题可以改写为：“如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线相互平行”．题型三角平分线性质的应用1．如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积等于（）A．10B．7C．5D．4【分析】作EF⊥BC于F，根据角平分线的性质求得EF＝DE＝2，然后根据三角形面积公式求得即可．【解答】解：作EF⊥BC于F，∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，EF⊥BC，∴EF＝DE＝2，∴S△BCE=12BC•EF=12×5×2＝5，故选：C．2．如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD ＝8，则点P到BC的距离是（）A．8B．6C．4D．2【分析】过点P作PE⊥BC于E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得P A＝PE，PD＝PE，那么PE＝P A＝PD，又AD＝8，进而求出PE＝4．【解答】解：过点P作PE⊥BC于E，∵AB∥CD，P A⊥AB，∴PD⊥CD，∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，∴P A＝PE，PD＝PE，∴PE＝P A＝PD，∵P A+PD＝AD＝8，∴P A＝PD＝4，∴PE＝4．故选：C．3．如图，△ABC的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（）A．1：1：1B．1：2：3C．2：3：4D．3：4：5【分析】利用角平分线上的一点到角两边的距离相等的性质，可知三个三角形高相等，底分别是20，30，40，所以面积之比就是2：3：4．【解答】解：过点O作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，∵点O是内心，∴OE＝OF＝OD，∴S△ABO：S△BCO：S△CAO=12•AB•OE：12•BC•OF：12•AC•OD＝AB：BC：AC＝2：3：4，故选：C．4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE＝1，则BC＝（）A．√3B．2C．3D．√3+2【分析】根据角平分线的性质即可求得CD的长，然后在直角△BDE中，根据30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得BD长，则BC即可求得．【解答】解：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∠C＝90°，∴CD＝DE＝1，又∵直角△BDE中，∠B＝30°，∴BD＝2DE＝2，∴BC＝CD+BD＝1+2＝3．故选：C．5．如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线P A、PB交于点P，下列结论：①PC平分∠ACF；②∠ABC+∠APC＝180°；③若点M、N分别为点P在BE、BF上的正投影，则AM+CN＝AC；④∠BAC＝2∠BPC．其中正确的是（）A．只有①②③B．只有①③④C．只有②③④D．只有①③【分析】过点P分别作AB、BC、AC的垂线段，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可以证明点P到AC、BC的垂线段相等，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上即可证明①正确；根据四边形的内角和等于360°可以证明②错误；根据①的结论先证明三角形全等，再根据全等三角形对应边相等即可证明③正确；利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和利用△ABC与△PBC写出关系式整理即可得到④正确．【解答】解：如图，过点P作PM⊥AB，PN⊥BC，PD⊥AC，垂足分别为M、N、D，①∵PB平分∠ABC，P A平分∠EAC，∴PM＝PN，PM＝PD，∴PM＝PN＝PD，∴点P在∠ACF的角平分线上（到角的两边距离相等的点在角的平分线上），故本小题正确；②∵PM⊥AB，PN⊥BC，∴∠ABC+90°+∠MPN+90°＝360°，∴∠ABC+∠MPN＝180°，很明显∠MPN≠∠APC，∴∠ABC +∠APC ＝180°错误，故本小题错误；③在Rt △APM 与Rt △APD 中，{AP =AP PM =PD， ∴Rt △APM ≌Rt △APD （HL ），∴AD ＝AM ，同理可得Rt △CPD ≌Rt △CPN ，∴CD ＝CN ，∴AM +CN ＝AD +CD ＝AC ，故本小题正确；④∵PB 平分∠ABC ，PC 平分∠ACF ，∴∠ACF ＝∠ABC +∠BAC ，∠PCN =12∠ACF ＝∠BPC +12∠ABC ，∴∠BAC ＝2∠BPC ，故本小题正确．综上所述，①③④正确．故选：B ．6．如图，已知在四边形ABCD 中，∠BCD ＝90°，BD 平分∠ABC ，AB ＝6，BC ＝9，CD ＝4，则四边形ABCD 的面积是（）A．24B．30C．36D．42【分析】过D作DH⊥AB交BA的延长线于H，根据角平分线的性质得到DH＝CD＝4，根据三角形的面积公式即可得到结论．【解答】解：过D作DH⊥AB交BA的延长线于H，∵BD平分∠ABC，∠BCD＝90°，∴DH＝CD＝4，∴四边形ABCD的面积＝S△ABD+S△BCD=12AB•DH+12BC•CD=12×6×4+12×9×4＝30，故选：B．7．如图，四边形ABDC中，对角线AD平分∠BAC，∠ACD＝136°，∠BCD＝44°，则∠ADB的度数为（）A．54°B．50°C．48°D．46°【分析】过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DG⊥BC于G，依据角平分线的性质，即可得到DE＝DG，再根据三角形外角性质，以及角平分线的定义，即可得到∠ADB＝∠DBE﹣∠BAD=12（∠CBE﹣∠BAC）=12∠ACB．【解答】解：如图所示，过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DG⊥BC于G，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴DF＝DE，又∵∠ACD＝136°，∠BCD＝44°，∴∠ACB＝92°，∠DCF＝44°，∴CD平分∠BCF，又∵DF⊥AC于F，DG⊥BC于G，∴DF＝DG，∴DE＝DG，∴BD平分∠CBE，∴∠DBE=12∠CBE，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=12∠BAC，∴∠ADB＝∠DBE﹣∠BAD=12（∠CBE﹣∠BAC）=12∠ACB=12×92°＝46°，故选：D．8．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC长是3．【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝DF，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解．【解答】解：∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，∴S△ABC=12×4×2+12AC•2＝7，解得AC＝3．故答案为：3．9．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD＝3，BC＝10，则△BDC的面积是15．【分析】过D作DE⊥BC于E，根据角平分线性质求出DE＝3，根据三角形的面积求出即可．【解答】解：过D作DE⊥BC于E，∵∠A＝90°，∴DA⊥AB，∵BD 平分∠ABC ，∴AD ＝DE ＝3，∴△BDC 的面积是12×DE ×BC =12×10×3＝15，故答案为：15．10．已知如图，∠B ＝∠C ＝90°，E 是BC 的中点，DE 平分∠ADC ，∠CED ＝35°，则∠EAB 是 35 度．【分析】过点E 作EF ⊥AD ，证明△ABE ≌△AFE ，再求得∠CDE ＝90°﹣35°＝55°，进而得到∠CDA 和∠DAB 的度数，即可求得∠EAB 的度数．【解答】解：过点E 作EF ⊥AD ，∵DE 平分∠ADC ，且E 是BC 的中点，∴CE ＝EB ＝EF ，又∵∠B ＝90°，且AE ＝AE ，∴△ABE ≌△AFE ，∴∠EAB ＝∠EAF ．又∵∠CED ＝35°，∠C ＝90°，∴∠CDE＝90°﹣35°＝55°，∴∠CDA＝110°，∵∠B＝∠C＝90°，∴DC∥AB，∴∠CDA+∠DAB＝180°，∴∠DAB＝70°，∴∠EAB＝35°．故答案为：35．11．如图，已知：BD是∠ABC的平分线，DE⊥BC于E，S△ABC＝36cm2；，AB＝12cm，BC ＝18cm，则DE的长为 2.4cm．【分析】过点D作DF⊥AB于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝DF，再根据S△ABC＝S△ABD+S△BCD列出方程求解即可．【解答】解：如图，过点D作DF⊥AB于F，∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥BC，∴DE＝DF，S△ABC＝S△ABD+S△BCD，=12AB•DF+12BC•DE，=12×12•DE+12×18•DE，＝15DE，∵△ABC＝36cm2，∴15DE＝36，解得DE＝2.4cm．故答案为：2.4．题型四“燕尾模型”与三角形的外角性质1．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠A+∠P＝（）A．70°B．80°C．90°D．100°【分析】根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出∠A的度数，根据补角的定义求出∠ACB的度数，根据三角形的内角和即可求出∠P的度数，即可求出结果．【解答】解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，∵∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，∴∠ABC＝2∠ABP＝40°，∠ACM＝2∠ACP＝100°，∴∠A＝∠ACM﹣∠ABC＝60°，∠ACB＝180°﹣∠ACM＝80°，∴∠BCP＝∠ACB+∠ACP＝130°，∵∠PBC＝20°，∴∠P＝180°﹣∠PBC﹣∠BCP＝30°，∴∠A+∠P＝90°，故选：C．2．如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，CE是外角∠ACM的平分线，BE与CE相交于点E，若∠A＝60°，则∠BEC是（）A．15°B．30°C．45°D．60°【分析】根据角平分线的定义得到∠EBM=12∠ABC、∠ECM=12∠ACM，根据三角形的外角性质计算即可．【解答】解：∵BE是∠ABC的平分线，∴∠EBM=12∠ABC，∵CE是外角∠ACM的平分线，∴∠ECM=12∠ACM，则∠BEC＝∠ECM﹣∠EBM=12×（∠ACM﹣∠ABC）=12∠A＝30°，故选：B．3．如图在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE为外角∠ACD的平分线，BO的延长线交CE于点E，记∠BAC＝∠1，∠BEC＝∠2，则以下结论①∠1＝2∠2，②∠BOC＝3∠2，③∠BOC＝90°+∠1，④∠BOC＝90°+∠2正确的是（）A．①②③B．①③④C．①④D．①②④【分析】依据角平分线的性质以及三角形外角性质，即可得到∠1＝2∠2，∠BOC＝90°+12∠1，∠BOC＝90°+∠2．【解答】解：∵CE为外角∠ACD的平分线，BE平分∠ABC，∴∠DCE=12∠ACD，∠DBE=12∠ABC，又∵∠DCE是△BCE的外角，∴∠2＝∠DCE﹣∠DBE，=12（∠ACD﹣∠ABC）=12∠1，故①正确；∵BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，∴∠OBC=12ABC，∠OCB=12∠ACB，∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°−12（∠ABC+∠ACB）＝180°−12（180°﹣∠1）＝90°+12∠1，故②、③错误；∵OC平分∠ACB，CE平分∠ACD，∴∠ACO=12∠ACB，∠ACE=12ACD，∴∠OCE=12（∠ACB+∠ACD）=12×180°＝90°，∵∠BOC是△COE的外角，∴∠BOC＝∠OCE+∠2＝90°+∠2，故④正确；故选：C．4．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠P＝30°．【分析】根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出∠P的度数．【解答】解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，∴∠ABP＝∠CBP＝20°，∠ACP＝∠MCP＝50°，∵∠PCM是△BCP的外角，∴∠P＝∠PCM﹣∠CBP＝50°﹣20°＝30°，故答案为：30°．5．将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是75°．【分析】先根据直角三角形两锐角互余求出∠1，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．【解答】解：如图，∠1＝90°﹣60°＝30°，∴∠α＝30°+45°＝75°．故答案为：75°．6．如图，∠BCD＝150°，则∠A+∠B+∠D的度数为150°．【分析】延长DC交AB于E，先根据三角形的外角性质求出∠CEB＝∠A+∠D，再根据三角形的外角性质计算，得到答案．【解答】解：延长DC交AB于E，。

1.2定义和命题

1.2定义和命题1.新课导读问题链接老师说你：你就是一个聪明而又勤奋学习的同学！问题探究从数学逻辑的角度来看，老师对你的资质与学习态度下了个定义，给出了一个命题。

这些就是我们这节课要研究的内容。

2.教材解读知识点1 定义(掌握)（知识详解）日常生活中，人们为了交流思想，常常用到一些名称和术语，只有对这些名称和术语有了共识才可以正常的交流．类似的，数学中要进行说理，必须对涉及的数学术语或名词有共识，也就是需要对概念下定义．对名称或术语的含义进行描述，做出规定，就是给出它们的定义．【知识拓展】定义是对于一个概念的特征性质的描述．（1）定义必须是严密的，要避免使用含糊不清的术语，比如：“一些”，“大概”，“差不多”等不能在定义中出现．（2）定义是几何推理的依据。

（3）定义既可当性质用，也可当判定用，是我们思考问题的出发点和目标．【教材栏目答疑】“问题：(课本P10)【答疑】（1）无限不循环小数叫无理数，（2）有一个角是90度的三角形叫直角三角形，（3）从角的顶点出发，把一个角分成相等两部分的一条射线叫角平发线，（4）人们从总体中抽取一部分个体进行调查，这种调查方式称为抽样调查。

【例1】下列描述不属于定义的是（）A．两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形;B．正三角形是特殊的等腰三角形;C．在同一平面内三条线段首尾顺次连接得到的图形叫做三角形;D．含有未知数的等式叫做方程【分析】从定义的特征看。

A、C、D 都清楚地规定名称或术语的意义，而B只是对正三角形与等腰三角形的关系作了说明。

【解】B【解题策略】定义的特征是判别一句话是否是定义的惟一依据。

知识点2命题（(重点、难点）（知识详解）1.判断一个事情的句子叫做命题．命题的定义中体现了以下两层含义：（1）命题必须是完整的句子．（2）这个句子必须对某一事物做出明确的肯定或否定的判断．命题中，不存在“大约”、“大概”、“差不多”、“左右”等含糊不清的词语．2.命题的结构形式：每个命题都是由条件和结论两部分组成，条件是已知事项，结论是由已知事项推断出的事项．3.命题的表达形式：命题一般都可以写成“如果……，那么……”的形式，“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论，但有些命题的条件、结论不太分明，可先写成“如果……，那么……”的形式，再找条件和结论．4．命题的范围：命题是一个判断句子，不仅数学有命题，其他学科也有命题。

2019秋浙教版八年级上册数学同步测试题：1.2 定义与命题【含答案】

1.2 定义与命题第1课时定义与命题知识点1.定义1．已知下列语句：①天是蓝的；②两点之间线段的长度，叫做这两点间的距离；③2是无理数；④对顶角相等．其中是定义的有(A)A．1个B．2个C．3个D．4个2．下列命题中，属于定义的是(D)A．两点确定一条直线B．同角或等角的余角相等C．两直线平行，内错角相等D．点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度知识点2.命题3．下列语句表示命题的是(D)A．作∠A的平分线B．直角都相等吗C．画一条直线D．内错角不相等4．“等角的补角相等”改为“如果…那么…”的形式是(D)A．如果是等角，那么补角相等B．如果是等角的补角，那么相等C．如果两个角相同，那么这两个角相等D．如果两个角相等，那么这两个角的补角也相等5．(1)命题“两锐角之和一定是钝角”的题设：__两个角是锐角__，结论：__两个角的和为钝角__；(2)命题“内错角相等，两直线平行”的题设：__内错角相等__，结论：__两直线平行__．6．写出下列命题的条件和结论：(1)两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；(2)如果三角形中有一个角是直角，那么这个三角形一定是直角三角形．解：(1)条件：两条直线被第三条直线所截，结论：同旁内角互补；(2)条件：三角形中有一个角是直角，结论：这个三角形是直角三角形．7．把下列命题改写成“如果…那么…”的形式．(1)两直线平行，同位角相等；(2)在同一个三角形中，等角对等边；(3)同角的补角相等；(4)两个无理数的积仍是无理数．解：(1)如果两条直线互相平行，那么同位角相等；(2)在同一个三角形中，如果两个角相等，那么它们所对的边相等；(3)如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等；(4)如果两个数是无理数，那么这两个数的积仍是无理数．8．把下列命题改为“如果…那么…”的形式．(1)垂直于同一直线的两直线互相平行；(2)末位数是偶数的整数能被2整除．解：(1)在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行；(2)如果一个整数的末位数是偶数，那么这个数能被2整除．【易错点】对条件和结论不明显的命题改写为“如果…那么…”容易出现错误．9．将下列命题改写成“如果…那么…”的形式．(1)末尾数字是5的整数都能被5整除；(2)直角三角形的两个锐角互余．解：(1)如果一个整数的末尾数是5，那么这个数就能被5整除；(2)如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余．第2课时真命题与假命题知识点1.真命题与假命题1．[2017秋·即墨区期末]下列命题是真命题的是(A)A．如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角B．两个互补的角一定不是对顶角C．如果a2＝b2，那么a＝bD．如果两个角是同位角，那么这两个角一定相等2．下列命题是假命题的是(D)A．同角的余角相等B．同角的补角相等C．同位角相等，两直线平行D．邻补角相等3．对于△ABC，下列命题中是假命题的为(B)A．若∠A＋∠B＝∠C，则△ABC是直角三角形B．若∠A＋∠B＞∠C，则△ABC是锐角三角形C．若∠A＋∠B＜∠C，则△ABC是钝角三角形D．若∠A＝∠B＝∠C，则△ABC是正三角形4．下列命题中，假命题的个数为(C)①若x2＝4，则x＝2；②若|y|＝3，则y＝±3；③若a＞b，则a2＞b2；④内错角的平分线互相平行．A．1个B．2个C．3个D．4个5．[2018秋·香坊区期末]在下列命题中：①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②平方根与立方根相等的数有1和0；③在同一平面内，如果a⊥b，b⊥c，则a⊥c；④直线c外一点A与直线c上各点连结而成的所有线段中，最短线段的长是5 cm，则点A到直线c的距离是5 cm；⑤无理数包括正无理数、零和负无理数．其中真命题的个数是(A)A．1个B．2个C．3个D．4个6．判断下列命题是真命题还是假命题，并说明理由．(1)如果a＝－b，那么a3＝b3；(2)内错角相等．解：(1)如果a＝－b，那么a3＝b3，是假命题，当a＝－b时，a3＝－b3；(2)内错角相等，是假命题，只有当两直线平行时，内错角才相等．7．判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，举出一个反例．(1)等角的余角相等；(2)平行线的同旁内角的平分线互相垂直；(3)和为180°的两个角叫做邻补角．解：(1)等角的余角相等，正确，是真命题；(2)平行线的同旁内角的平分线互相垂直，正确，是真命题；(3)和为180°的两个角叫做邻补角，错误，是假命题，如不同顶点的两个和为180°的角．知识点2.定理8．[2018秋·松桃校级期中]“两点确定一条直线”这句话是(B)A．定理B．基本事实C．结论D．定义【易错点】不会通过举反例证明一个命题是“假命题”．9．对错误的命题“任何一个角的补角都不小于这个角”举一个反例并画出图形，说明其错误．解：如答图，α为钝角，其补角β小于α.第9题答图。

2019年秋浙教版八年级上册数学课件：1.2 第1课时

CE
的
平
分
线
的
交
点
，
则
∠BPC
＝
1 2
∠A
．
以
上
命
题
中
，
正
确
的
命
题
是
__②__④___.(将正确的命题序号全部写上)
11
• 8．对于同一平面内的三条直线a、b、c，给出下列5个判断：①a∥b； ②b∥c；③a⊥b；④a∥c；⑤a⊥c.请以其中两个判断为条件，一个判断为结论，组成一个你认为正确的命题．(至少写两个命题)
数为( )
D
• A．0 • C．2
B．1 D．3
10
7．已知下面的命题：①中国国家男子足球队和巴西国家男子足球队比赛，中国
国家男子足球队赢得比赛这一事件是不可能事件；②到三角形三个顶点距离相等的
点是这个三角形三边的中垂线的交点；③如果以三个正数 a、b、c 为长的三条线段满
足 a＋b＞c，则一定可以围成一个三角形；④若点 P 是△ABC 中∠ABC 的平分线和
角相等． • (2)如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应边相等． • (3)如果三条线段是三角形的三边，那么任意两边之差都小于第三边． • (4)如果b>0，那么a＋b>a.
9
能力提升
• 6．如图，从①∠1＝∠2；②∠C＝∠D；③∠A＝∠F三个条件中选出
两个作为已知条件，另一个作为结论所组成的命题中，正确命题的个
4
• 解答：(1)条件：两个三角形的两条边及其夹角对应相等； • 结论：这两个三角形全等． • 改写成：如果两个三角形有两条边及其夹角对应相等，那么这两个三
角形全等． • (2)条件：三个角是一个三角形不同顶点上的三个外角； • 结论：这三个外角的和等于360°. • 改写成：如果三个角是一个三角形不同顶点上的三个外角，那么这三

浙教八上数学1.2 定义与命题(第1课时)

1.2 定义与命题（第1课时）课堂笔记1．定义：能清楚地规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或术语的．2．命题：判断某一件事情的句子叫做．3．命题组成：命题一般由和两部分组成．是已知事项，是由已知事项得到的事项．这样的命题可以写成“如果……那么……”的形式，其中以“如果”开始的部分是，“那么”后面的部分是．分层训练A 组基础训练1．下列语句，属于定义的是（）A ．两点之间线段最短B ．在同一平面内三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形C ．同位角相等，两直线平行D ．三人行则必有我师焉2．下列句子中，不是命题的是（）A ．三角形的内角和等于180度B ．对顶角相等C ．过一点作已知直线的平行线D ．两点确定一条直线3．命题“同一平面内垂直于同一直线的两直线平行”的条件是（）A ．垂直B ．两条直线C ．同一直线D ．同一平面内两条直线垂直于同一条直线4．把命题“同角的余角相等”改写成“如果……那么……”的形式，正确的是（）A ．如果同角，那么相等B ．如果同角，那么余角相等C ．如果同角的余角，那么相等D ．如果有两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等5．定义一种运算☆，其规则为a ☆b ＝a 1＋b 1，根据这个规则，计算2☆3的值是（） A. 65 B. 51 C ．5 D ．6 6．下列句子：①直角三角形中的两个锐角互余；②正数都小于0；③在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线；④太阳不是行星；⑤对顶角相等吗？⑥作一个角等于已知角．其中是定义的是，是命题的是，既不是定义也不是命题的是．（填写序号）7．命题“若a>b ，a>c ，则b ＝c ”的条件是．8．（上海中考）当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为．9．请给下列式子或图形命名，并给出各名称的定义．（1）3x－1＝2（x-3）（2）10.指出下列命题的条件和结论：（1）若ab＝1，则a与b互为倒数；（2）长方形的四个角都是直角；（3）两个正数之差为负数．并把它们改写成“如果……那么……”的形式．11．把下列命题写成“如果……那么……”的形式．（1）同角的补角相等；（2）同底等高的两个三角形面积相等；（3）三角形的内角和等于180°；（4）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．B组自主提高12.定义两种新变换：①f（a，b）＝（a，－b），如f（1，2）＝（1，－2）；②g（a，b）＝（b，a），如g（1，2）＝（2，1）．据此求g（f（5，－6））的值．13．观察下列代数式，根据它们的不同特征把它们进行分类，给出名称，并给出定义．11 x ，3x 2，x y 7，4a ＋1，－3x ＋71.14.用语言叙述这个命题：如图，直线AB ，CD 被EF 所截，∠1＋∠2＝180°，EM ，FN 分别平分∠BEF 和∠CFE ，则EM ∥FN.C 组综合运用1５．如图，定义：直线l 1与l 2交于点O ，对于平面内任意一点M ，点M 到直线l 1，l 2的距离分别为p ，q ，则称有序实数对（p ，q ）是点M 的“距离坐标”．根据上述定义，求“距离坐标”是（1，2）的点的个数．答案1.2 定义与命题（第1课时）【课堂笔记】1. 定义2. 命题3. 条件结论条件结论条件结论【分层训练】1—5. BCDDA6. ③ ①②③④ ⑤⑥7. a>b ，a>c8. 30°9.（1）一元一次方程：方程两边是整式，含有一个未知数，且未知数的次数为一次的方程，叫做一元一次方程．（2）等边三角形：三条边都相等的三角形叫做等边三角形．10.（1）条件：ab ＝1，结论：a 与b 互为倒数；如果ab ＝1，那么a 与b 互为倒数；（2）条件：一个图形是长方形，结论：它的四个角都是直角；如果一个图形是长方形，那么它的四个角都是直角；（3）条件：两个数都是正数，结论：它们的差为负数；如果两个数都是正数，那么它们的差为负数．11.（1）如果两个角是同角的补角，那么这两个角相等；（2）如果两个三角形同底等高，那么这两个三角形面积相等；（3）如果三个角是三角形的三个内角，那么它们的和为180°；（4）过直线外一点作已知直线的平行线，那么这样的直线有且只有一条．12.∵f （5，－6）＝（5，6）， ∴g （f （5，－6））＝g （5，6）＝（6，5）． 13. 11 x ，x y 7分为一类，叫分式，分母中含有字母的代数式叫做分式；4a ＋1，－3x ＋71，3x 2分为一类，叫整式，单项式和多项式统称为整式．（分法不唯一）14.如果两条直线平行，那么内错角的角平分线互相平行．15.“距离坐标”是（1，2）的点表示的含义是该点到直线l 1，l 2的距离分别为1，2.由于到直线l 1的距离是1的点在与直线l 1平行且与l 1的距离是1的两条平行线a 1或a 2上，到直线l 2的距离是2的点在与直线l 2平行且与l 2的距离是2的两条平行线b 1或b 2上，它们有4个交点，即为如解图所示的点M 1，M 2，M 3，M 4.故满足条件的点的个数为4.。

湘教版八年级数学上册定义与命题同步练习题

2.2 命题与证明第1课时定义与命题1.下列句子中,不是命题的是( )A.三角形的内角和等于180度;B.对顶角相等;C.过一点作已知直线的平行线;D.两点确定一条直线.2.下列句子中,是命题的是( )A.今天的天气好吗B.作线段AB∥CD;C.连接A、B两点D.正数大于负数3.下列命题是真命题的是( )A.如果两个角不相等,那么这两个角不是对顶角;B.两互补的角一定是邻补角C.如果a2=b2,那么a=b;D.如果两角是同位角,那么这两角一定相等4.下列命题是假命题的是( )A.如果a∥b,b∥c,那么a∥c;B.锐角三角形中最大的角一定大于或等于60°C.两条直线被第三条直线所截,内错角相等;D.矩形的对角线相等且互相平分5.下列叙述错误的是( )A.所有的命题都有条件和结论;B.所有的命题都是定理;C.所有的定理都是命题;D.所有的公理都是真命题.6.下列命题中,真命题有( )①如果△A1B1C1∽△A2B2C2,△A2B2C2∽△A3B3C3,那么△A1B1C1∽△A3B3C3 ;②直线外一点到这条直线的垂线段,叫做这个点到这条直线的距离;③如果242xx--=0,那么x=±2; ④如果a=•b,那么a3=b3A.1个B.2个C.3个D.4个1.写出下列命题的条件和结论:(1)两条直线被第三条直线所截,同旁内角互补;(2)如果两个三角形全等,那么它们对应边上的高也相等.2.判断下列命题的真假:(1)一个三角形如果有两个角互余,那么这个三角形是直角三角形;(2)如果│a│=│b│,那么a3=b3.3.举出反例说明“如果AB=BC,那么点C是AB的中点”是个假命题.考点综合专题：一元二次方程与其他知识的综合◆类型一一元二次方程与三角形、四边形的综合1．(雅安中考)已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2－4x＋3＝0的根，则该三角形的周长可以是（）A．5 B．7 C．5或7 D．102．(广安中考)一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2－7x＋10＝0的根，则该等腰三角形的周长是（）A．12 B．9C．13 D．12或93．(罗田县期中)菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x2－7x ＋12＝0的一个根，则菱形ABCD的周长为（）A．16 B．12 C．16或12 D．244．(烟台中考)等腰三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2－6x＋n－1＝0的两根，则n的值为（）A．9 B．10C．9或10 D．8或105．(齐齐哈尔中考)△ABC的两边长分别为2和3，第三边的长是方程x2－8x ＋15＝0的根，则△ABC的周长是．6．(西宁中考)若矩形的长和宽是方程2x2－16x＋m＝0(0＜m≤32)的两根，则矩形的周长为．【方法8】7．已知一直角三角形的两条直角边是关于x的一元二次方程x2＋(2k－1)x＋k2＋3＝0的两个不相等的实数根，如果此直角三角形的斜边是5，求它的两条直角边分别是多少．【易错4】◆类型二一元二次方程与函数的综合8．(泸州中考)若关于x的一元二次方程x2－2x＋kb＋1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx＋b的大致图象可能是（）9．(安顺中考)若一元二次方程x2－2x－m＝0无实数根，则一次函数y＝(m ＋1)x＋m－1的图象不经过（）A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限10．(葫芦岛中考)已知k、b是一元二次方程(2x＋1)(3x－1)＝0的两个根，且k＞b，则函数y＝kx＋b的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限11．(广元中考)从3，0，－1，－2，－3这五个数中抽取一个数，作为函数y ＝(5－m 2)x 和关于x 的一元二次方程(m ＋1)x 2＋mx ＋1＝0中m 的值．若恰好使函数的图象经过第一、三象限，且使方程有实数根，则满足条件的m 的值是．12．(甘孜州中考)若函数y ＝－kx ＋2k ＋2与y ＝k x(k ≠0)的图象有两个不同的交点，则k 的取值范围是． .◆类型三一元二次方程与二次根式的综合13．(达州中考)方程(m －2)x 2－3－mx ＋14＝0有两个实数根，则m 的取值范围为（）A ．m ＞52B ．m ≤52且m ≠2 C ．m ≥3 D ．m ≤3且m ≠214．(包头中考)已知关于x 的一元二次方程x 2＋k －1x －1＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是．考点综合专题：一元二次方程与其他知识的综合1．B 2.A 3.A 4.B 5.86．16 解析：设矩形的长和宽分别为x 、y ，根据题意得x ＋y ＝8，所以矩形的周长为2(x ＋y)＝16.7．解：∵一元二次方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2＋3＝0有两个不相等的实数根，∴Δ>0，∴(2k －1)2－4(k 2＋3)>0，即－4k －11>0，∴k<－114，令其两根分别为x 1，x 2，则有x 1＋x 2＝1－2k ，x 1·x 2＝k 2＋3，∵此方程的两个根分别是一直角三角形的两条直角边，且此直角三角形的斜边长为5，∴x21＋x22＝52，∴(x1＋x2)2－2x1·x2＝25，∴(1－2k)2－2(k2＋3)＝25，∴k2－2k－15＝0，∴k1＝5，k2＝－3，∵k<－11 4，∴k＝－3, ∴把k＝－3代入原方程得到x2－7x＋12＝0，解得x1＝3，x2＝4，∴直角三角形的两直角边分别为3和4.8．B9．D 解析：∵一元二次方程x2－2x－m＝0无实数根，∴Δ＜0，∴Δ＝4－4×1×(－m)＝4＋4m＜0，∴m＜－1，∴m＋1＜1－1，即m＋1＜0，m－1＜－1－1，即m－1＜－2，∴一次函数y＝(m＋1)x＋m－1的图象不经过第一象限．故选D.10．B 11.－2 12.k>－12且k≠013．B 14.k≥1。

定义与命题第1课时PPT课件(北师大版)

11．写出下列命题的条件与结论． (1)两条直线平行，同位角相等； (2)同角或等角的补角相等； (3)两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．解：(1)条件：两条直线平行，结论：同位角相等 (2)条件：同角或等角的补角，结论：相等 (3)条件：两条直线被第三条直线所截，内错角相等，结论：两条直线平行
9．要说明命题“如果x>y，那么a2x>a2y”是一个假命题，可以举的反例是 ____a_＝__0_时__，__a_2_x_＝__a_2_y_____． 10．如图所示，O是直线l上一点，∠AOB＝100°，则∠1＋∠2＝80°，根据上述条件用“如果……那么……”的情势写出一个真命题 ___点__O_是__直__线__l_上__一__点__，__如__果__∠__A_O__B_＝__1_0_0_°__，__那__么__∠__1_＋__∠__2_＝__8_0_°____．
方法技能： 1．命题是我们学过的定理或公理． 2．条件成立时，经过推理，能够得出结论的是真命题．易错＝2，b＝2，c＝3 B．a＝2，b＝2，c＝2 C．a＝3，b＝3，c＝4 D．a＝3，b＝4，c＝5
7．(2015·南海模拟)命题“直角三角形两个锐角互余”的条件是 _一_个__直__角__三__角__形__中___的__两__个__锐__角__一__个__直__角__三__角__形__中__的__两__个__锐__角_____． 8．将命题“等腰三角形的两个底角相等”改写为“如果……那么……”的情势：如果____________一__个__三__角__形__是__等__腰__三__角__形___，那么 __它__的__两__个__底__角__相___等______．
知识点2：命题 3．下列语句是命题的是( D ) A．连接P，Q两点 B．画一条线段等于已知线段 C．过点M作直线PQ的垂线 D．两条直线相交，有且只有一个交点 4．命题：①邻补角互补；②对顶角相等；③同旁内角互补；④两点之间线段最短．其中真命题的个数有( C ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

八年级上册数学 1.2 定义与命题(第1课时)

如果两个三角形有两条边和它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等。
⑵直角三角形两个锐角互余。
如果两个角是一个直角三角形的两个锐角，那么这两个角互余。
本节课你学到什么？
爱数学爱数学周报
再见
下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？
⑴对顶角相等；是 ⑵画一个角等于已知角；不是 ⑶两直线平行，同位角相等；是 ⑷a、b两条直线平行吗？不是 ⑸温柔的李明明。不是
⑹玫瑰花是动物。是
不是 ⑺若a2＝4，求a的值。
⑻若a2＝ b2，则a＝b。是
下图表示某地的一个灌溉系统.
E、F 如果C地水流被污染，那么_________ 的水流也被污染。
知识小贴士
在日本《新黑客词典》中，对黑客的定义是“喜欢探索软件程序奥秘，并从中增长了其个人才干的人。他们不象绝大多数电脑使用者那样，只规规矩矩地了解别人指定了解的狭小部分知识。”
你认为线段a与线段b哪个比较长？
线段a比线段b长。线段b比线段a长。线段a与线段b一样长。
a
b
一般地，对某一件事情作出正确或不正确的判断的句子叫做命题。
条件是：两个角是对顶角结论是：这两个角相等改写成：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等。
例指出下列命题的条件和结论，并改写成 “如果……那么……”的形式： (4)同位角相等，两直线平行；
条件是：结论是：改写成：
指出下列命题的条件和结论，并改写 “如果……那么……”的形式： ⑴两条边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等；
小华与小刚正在津津有味地阅读《我们爱科学》. 哈!这个黑客终于被逮住了. 是的,现在因特网广泛运用于我们的生活中,给我们带来了方便,但…….

八年级数学上册 1.2 定义与命题(第1课时)课件 (新版)浙教版

1直0 线；…；平面内有n
个点，一共可以画__
__条直线；
【综合运用】
(2)迁移：某足球比赛中有n个球队(n≥2)进行单循环比赛
(每两队之间必须比赛一场)，一共要进行多少场比赛？
有2个球队时，要进行
＝1场比赛；有3个球队时，
要进行
＝3场比赛；有4个球队时，要进行 6 场比赛
坚持做好每个学习步骤
武亦文的高考高分来自于她日常严谨的学习态度，坚持认真做好每天的预习、复习。 “高中三年，从来没有熬夜，上课跟着老师走，保证课堂效率。”武亦文介绍，“班主任王老师对我的成长起了很大引导作用，王老师办事很认真，凡事都会投入自己所有精力，看重做事的过程而不重结果。每当学生没有取得好结果，王老师也会淡然一笑，鼓励学生注重学习的过程。”
【综合运用】
15．(12分)阅读下列材料并填空： (1)探究：平面内有n个点(n≥3)且任意3个点不在同一条直线上，经过每两点画一条直线，一共能画多少条直线？
我们知道，两点确定一条直线．平面内有2个点时，可以画
＝1条直线；平面内有3个点时，一共可以画
＝3
条直线；平面内有4个点时，一共可以画
＝6条直线；
曹杨二中高三(14)班学生
班级职务：学习委员
高考志愿：北京大学中文系
高考成绩：语文121分数学146分
英语146分历史134分
综合28分总分
575分
(另有附加分10
分)
上海高考文科状元--常方舟
“我对竞赛题一样发怵”
总结自己的成功经验，常方舟认为学习的高效率是最重要因素，“高中三年，我每天晚上都是10:30休息，这个生活习惯雷打不动。早晨总是6:15起床，以保证八小时左右的睡眠。平时功课再多再忙，我也不会‘开夜车’。身体健康，体力充沛才能保证有效学习。”高三阶段，有的同学每天学习到凌晨两三点，这种习惯在常方舟看来反而会影响次日的学习状态。每天课后，常方舟也不会花太多时间做功课，常常是做完老师布置的作业就算完。

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1.2定义与命题（第1课时）
一、定义概念：
1、定义：一般地，能清楚地规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或术语的定义。

比如说，上一节课，什么叫做三角形，由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形。

三角形ABC 记作：△ABC 。

定义一般揭示了某一类事物的本质、概括和总结了最具有一般性的本质属性。

说出下列数学名词的定义：
（1）无理数（2）直角三角形
（3）角平分线（4）抽样调查
注意：定义必须是严密的，一般避免使用含糊不清的语言，例如“一些”、“大概”、“差不多”等不能在定义中出现
2、命题：一般地，判断某一件事情的句子叫做命题。

比较下列句子在表述形式上，哪些对事情作了判断，哪些没有对事情做出判断。

（1）对顶角相等。

（2）画一个角等于已知角。

（3）两直线平行，同位角相等。

（4）,a b 两条直线平行吗？
（5）鸟是动物。

（6）已知2
4a =，求a 的值。

（7）若22a b =，则a b =。

（8）2008年奥运会在北京举行。

上述句子（1）（3）（5）（7）(8)都对事件作出判断（不论正确与否），他们都是命题。

句子（2）（4）（6）没有对事情作出判断，他们不是命题。

3、命题的结构：命题一般由条件和结论两部分组成。

每个命题都有条件和结论两部分组成。

条件是已知的事项，结论是由已知事项推断出的事项。

一般地，命题都可以写出“如果+条件，那么+结论”的形式。

有的命题表面上看不具有“如果------，
那么-------”的形式，但可以写成这种形式。

如：“对顶角相等”，改写成“如果两个角是对顶角，那
么这两个角相等”。

例题教学
例1、指出下列命题的条件和结论，并改写成“如果……那么……”的形式。

（1）等底等高的两个三角形面积相等。

（2）对顶角相等。

（3）同位角相等，两直线平行。

三、应用新知
1．下列语句是命题的是（）
A.过点A作直线MN的垂线
B.正数都大于负数吗？
C.你必须完成作业
D.两点之间，线段最短。

2.下列描述属于定义的是( )
A.对顶角相等B．三角形的内角和等于1800
C ．平行四边形的对角相等
D ．链接三角形两边中点的线段叫三角形的中位线
3．下列语句不是命题的是（）
A ．鲸鱼是哺乳动物乳
B ．植物都需要水
C ．你必须完成作业
D ．实数不包括零
4.下列语句哪些是命题，哪些不是命题。