高中数学:第2章 数列 2-5-2
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以 n≥6. 答案:6
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同步导练/RJ·必修⑤ 数学
【解】 (1)由 an+1=n2+n1an,知na+n+11=12·ann,
∴{ann}是以21为首项、21为公比的等比数列.
(2)由(1)知{ann}是首项为12,公比为12的等比数列,
∴ann=(12)n,∴an=2nn,
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知识点 3 房贷中的数学
一般地,购买一套售价为 a 元的商品房,采用分期付款时要求在 m 个月内将款全部 付清,月利率为 p,分 n(n 是 m 的约数)次付款,那么每次付款的计算公式是
m
a(1+p)m[(1+p)
x=
(1+p)m-1
n
-1] .
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02 数列
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§2.5 等比数列的前n项和
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第二课时 等比数列的前n项和(二)
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∴{an}是从第二项开始以-2 为首项,-2 为公比的等比数列,故当 n≥2 时,an=(- 2)n-1,经验证,当 n=1 时,上式也适合,
∴an=(-2)n-1. 答案:(1)A (2)(-2)n-1
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【解析】 (1)依题意有 n≥2 时,an-an-1=2n,所以 an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1 =2n+2n-1+…+22+2=2(11--22n)=2n+1-2. 又当 n=1 时,an=21+1-2=2,当 n=1 时上式也适合, ∴an=2n+1-2. (2)当 n≥2 时,an=aan-n 1·aann--12·…·aa21·a1 =n-n 1·nn- -21·…·21×1=n1,
∵{an}是等差数列,∴1+p+q=2×1-1+p, 解得 q=0.
又 a2=3+p,a3=5+p,a5=9+p,
且 a2,a3,a5 成等比数列,
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∴a32=a2a5, 即(5+p)2=(3+p)(9+p),解得 p=-1. (2)由(1)得 an=2n-2.所以 an+log2n=2n-2+log2n=log222n-2+log2n=log2(n·22n-2) =log2bn. ∴bn=n·22n-2=n·4n-1. ∴Tn=b1+b2+…+bn =1×40+2×4+3×42+…+n·4n-1,① 4Tn=1×4+2×42+…+(n-1)·4n-1+n·4n,② ①-②,得-3Tn=1+4+42+…+4n-1-n·4n
知识点 4 对于{等差·等比}形式的数列求和,常用错位相减法.
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重点 1:学会由 Sn 求 an,或用两个恒等式求 an,学会用错位相减法求和. 重点 2:了解数列知识在贷款及储蓄中的应用.
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导悟 1 “已知 Sn,求 an”,需分段讨论,最后结果若不能合为一个式子,则写成分 段函数的形式.
∴Sn=211+222+…+2nn,①
则12Sn=212+223+…+2nn+1,②
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导拨 如果数列的项由等差与等比的两部分的积构成,可通过乘以(或除以)公比错 位相减,转化为等比数列的求和问题,简称“错位相减法”.
【例 4】 (2019 年合肥质检)在数列{an}中,a1=12,an+1=n+2n1an,n∈N*. (1)求证:数列{ann}为等比数列; (2)求数列{an}的前 n 项和 Sn.
导悟 2 运用“两个恒等式”解题.
【例 2】 (1)如果数列{an}满足 a1=2,当 n≥2 时,an=an-1+2n,那么 an=__________.
(2)如果数列{an}满足
a1=1,当
n≥2
时, an =n-1,那么 an-1 n
an=__________.
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导悟 3 运用等比数列解决实际问题.
【例 3】 某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入,若该公司 2015 年全年 投入研发资金 130 万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长 12%,则该公 司全年投入的研发资金开始超过 200 万元的年份是( )
-a1)+a1 求之.
当已知数列中相邻两项的商的递推关系式,即aan+n 1=f(n)(n∈N*)时,通常采用累乘法
求其通项,其方法是利用恒等式 an=aan-n 1×aann- -12×…×aa21×a1 求之.
累加、乘法最后都要验证 n=1 是否成立,最后结果若不能合为一个式子,则写成分 段函数的形式.
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强化训练 1 (1)数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=1,an+1=3Sn(n≥1),则 a6=( )
A.3×44
B.3×44+1
C.43
D.43+1
(2)若数列{an}的前 n 项和 Sn=32an+31,则{an}的通项公式是 an=________.
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强化训练 2 已知数列{an}中,a1=20,an+1=an+2n-1,n∈N*,则数列{an}的通 项公式 an=________.
解析:由题意,当 n≥2 时,
an-an-1=2(n-1)-1, 则 a2-a1=2-1,a3-a2=2·2-1,…, an-an-1=2(n-1)-1, 叠加消项得 an-a1=2·(n-21)n-(n-1) ⇒an=n2-2n+21. 当 n=1 时,同样成立.故 an=n2-2n+21. 答案:n2-2n+21
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【例 5】 已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn=n2+pn+q(p,q∈R),且 a2,a3,a5 成等比数列.
(1)求 p,q 的值;
(2)若数列{bn}满足 an+log2n=log2bn,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. 【解】 (1)依题意知,a1=S1=1+p+q, 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=n2+pn+q-[(n-1)2+ p(n-1)+q]=2n-1+p,
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经典品质/超越梦想 ①-②得:12Sn=12+212+213+…+21n-2nn+1 =1-n2+n+21 , ∴Sn=2-n+2n 2.
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强化训练 4 已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,公比 q>0,S2=2a2-2,S3= a4-2.
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1.知识与技能 会求等比数列的前 n 项和,并能运用公式解决简单问题. 2.过程与方法 发现变形转化后的等比关系,会用等比数列的前 n 项和公式求和;领会实际问题转 化为数学问题的方法. 3.情感、态度与价值观 让学生在变形转化中领会数学化归思想的奥秘与乐趣,提高学生学习数学的积极性, 形成良好的学习习惯与品质.
【例 1】 (1)数列{an}的前 n 项和 Sn=(-1)n+1n,求 an; (2)数列{an}的前 n 项和 Sn=3+2n,求 an.
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经典品质/超越梦想 【解】 (1)当 n≥2 时, an=Sn-Sn-1=(-1)n+1n-(-1)n(n-1) =(-1)n(1-2n), 当 n=1 时,a1=S1=(-1)2×1=1, 上式中 a1=(-1)1(1-2)=1, ∴an=(-1)n(1-2n). (2)当 n≥2 时, an=Sn-Sn-1=3+2n-(3+2n-1)=2n-1, 当 n=1 时,a1=S1=3+21=5, 上式中 a1=21-1=1,
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知识点 1 对任意数列{an},若它的前 n 项和为 Sn,则 an=SS1n-( Sn-n1=1()n,≥2). 知识点 2 两个重要的恒等式 (1)an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1; (2)an=aan-n 1·aann- -12·…·aa21·a1.
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∴an=52n-1(n(=n1≥)2,).
【评析】 对于已知 Sn,求 an,即已知数列的前 n 项和公式,求数列的通项公式, 其方法是利用 an=Sn-Sn-1(n≥2),这里常常因忽略了条件 n≥2 而出错,必须验证 n=1 时是否也成立,否则通项公式只能用分段函数 an=SS1n-(Sn-n1=1()n,≥2)来表示.
由于 a1=1,则 an=13, ·n4=n-21,,n≥2,于是 a6=3×44. (2)当 n=1 时,a1=S1=23a1+13, 解得 a1=1. 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=32an+31-(23an-1+31)=32an-32an-1,即 an=-2an-1,a2=S2
-S1=32a2+13-23a1-13,解得 a2=-2,
又 n=1 时满足上式,∴an=1n.
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【答案】
(1)2n+1-2
1 (2)n
【评析】 当已知数列中相邻两项的差的递推关系式,即 an+1-an=f(n)(n∈N*)时,
通常采用累加法求其通项,其方法是利用恒等式 an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2
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解析:(1)已知 an+1=3Sn,则当 n≥2 时,an=3Sn-1,两式作差,得 an+1-an=3(Sn- Sn-1),即 an+1=4an,也即数列从第 2 项起,是以 a2=3 为首项,4 为公比的等比数列, 从而 an=3·4n-2,n≥2.
【答案】 B
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强化训练 3 某住宅小区计划植树不少于 100 棵,若第一天植 2 棵,以后每天植树 的棵数是前一天的 2 倍,则需要的最少天数 n(n∈N*)等于________.
解析:设每天植树的棵数组成的数列为{an},由题意可知它是等比数列,且首项为 2, 公比为 2,所以由题意可得2(11--22n)≥100,即 2n≥51,而 25=32,26=64,n∈N*,所
(1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=ann,求{bn}的前 n 项和 Tn. 解:(1)S2=2a2-2,① S3=a4-2,② ②-①得 a3=a4-2a2,则 q2-q-2=0, 又∵q>0,∴q=2.
∵S2=2,∴a1+a2=2a2-2, ∴a1+a1q=2a1q-2, ∴a1=2.∴an=2n.
(参考数据:lg 1.12≈0.05,lg 1.3≈0.11,lg 2≈0.30)
A.2018 年
B.2019 年
C.2020 年
D.2021 年
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【解析】 设 x 年后该公司全年投入的研发资金超过 200 万元,由题可知,130(1+ 12%)x>200,解得 x>log1.12210300=lg2lg-1.l1g21.3≈3.80,因资金需超过 200 万,则 x 取 4,即从 2019 年该公司全年投入的研发资金超过 200 万,故选 B.
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经典品质/超越梦想 (2)由(1)知 bn=2nn, ∴Tn=21+222+233+…+n2-n-11 +2nn, 21Tn=212+223+234+…+n-2n 1+2nn+1. 错位相减得 21Tn=12+212+213+214+…+21n-2nn+1, 可得 Tn=2-n+2n2.
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