数学_2012年湖南省岳阳市高考数学二模试卷(文科)(含答案)

2012年湖南省岳阳市高考数学二模试卷（文科）
一、选择题（本大题共9个小题，每小题5分，共45分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合要求的）
1. 设全集U =Z ，集合A ={−1, 1, 2}，B ={−1, 1}，则A ∩(C U B)=( ) A {1, 2} B {1} C {2} D {−1, 1}
2. 已知复数z =3+4i ，则复数z 的共轭复数z ¯
的模为( )
A 3
B 4
C 5
D 7
3. 曲线C:y =x 2+x 在x =1 处的切线与直线ax −y +1=0互相垂直，则实数a 的值为( )
A 3
B −3
C 1
3
D −1
3
4. 设p:log 2x <0，q ：(1
2
)x−1>1，则p 是q 的( )
A 充分不必要条件
B 充要条件
C 必要不充分条件
D 既不充分也不必要条件 5. 已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，则下列四个命题正确的是（ ） ①α // β⇒l ⊥m ；②α⊥β⇒l // m ；③l // m ⇒α⊥β；④l ⊥m ⇒α // β． A ②④ B ①② C ③④ D ①③
6. 实数x ，y 满足不等式组{x −y +5≥0
x +y ≥0x ≤3，那么目标函数z =2x +4y 的最小值是（ ）
A −15
B −6
C −5
D −2
7. 已知AB →
=(−4, 2)，C(2, a)，D(b, 4)是平面上的两个点，O 为坐标原点，若OC →
 // AB →
，且OD →
⊥AB →
，则CD →
=( )
A (−1, 2)
B (2, −1)
C (2, 4)
D (0, 5)
8. 若双曲线x 2
m −y 2
m−2=1的左焦点与抛物线y 2=−8x 的焦点重合，则m 的值为（ ） A 3 B 4 C 5 D 6
9. 定义在R 上的偶函数f(x)，满足f(x +2)=f(x)，且f(x)在[−3, −2]上是减函数，又α，β是锐角三角形的两个内角，则（ ）
A f(sinα)<f(sinβ)
B f(cosα)<f(cosβ)
C f(sinα)>f(cosβ)
D f(sinα)<(cosβ)
二、填空题（本大题共7个小题，考生作答6个小题，每小题5分，共30分）（一）选做题（请考生在10，11两题中任选一题作答，如果全做，则按前一题记分）
10. 以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线的极坐标方程为θ=π
4(ρ∈R)，它与曲线{x =1+2cosαy =2+2sinα（α为参数）相交于
两点A 和B ，则|AB|=________．
11. 【选做】已知某试验范围为[10, 90]，若用分数法进行4次优选试验，则第二次试点可
以是________．
12. 根据如图所示的框图，打印的所有数据的和是________．
13. 如图所示的三视图，其体积是________．
14. 等差数列{a n}中，若a l+a4+a7=39，a3+a6+a9=27，则前9项的和S9等于________．
15. 高三某学生高考成绩y（分）与高三期间有效复习时间x（天）正相关，且回归方程是
ŷ=3x+50，若期望他高考达到500分，那么他的有效复习时间应不低于________天．
16. 定义一个对应法则f:P/(m,n)→P(√m,√n)，(m≥0,n≥0)．现有点A′(1, 3)与点
B′(3, 1)，点M′是线段A′B′上一动点，按定义的对应法则f:M′→M．当点M′在线段A′B′上
从点A′开始运动到点B′结束时，点M′的对应点M所经过的路线长度为________．
三、解答题
17. 设函数f(x)=2sin(ωx+π
3
)(ω>0, x∈R)，且以π为最小正周期．
（1）求f(π
2
)的值；
（2）已知f(α
2+π
12
)=10
13
，α∈(−π
2
, 0)，求sinα的值．
18. 为适应新课改，切实减轻学生负担，提高学生综合素质，某市某学校高三年级文科生300人在数学选修4−4、4−5、4−7选课方面进行改革，由学生自由选择2门（不可多选或少选），选课情况如下表：
（1）为了解学生情况，现采用分层抽样方法抽取了三科作业共50本，统计发现4−5有18本，试根据这一数据求出a，b的值．
（2）为方便开课，学校要求a≥110，b>110，计算a>b的概率．
19. 如图，在四棱锥S−ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD // BC，SA⊥CD，AB⊥平面SAD，点M是SC的中点，且SA=AB=BC=1，AD=1
．
2
（1）求四棱锥S−ABCD的体积；
（2）求证：DM // 平面SAB；
（3）求直线SC和平面SAB所成的角的正弦值．
20. 设数列{a n}的前n项和为S n，且2a n=S n+2n+1(n∈N∗)．
（1）求a1，a2，a3；
（2）求证：数列{a n+2}是等比数列；
（3）求数列{n⋅a n}的前n项和T n．
21. 为了加快经济的发展，某省选择A、B两城市作为龙头带动周边城市的发展，决定在A、B两城市的周边修建城际轻轨，假设10km为一个单位距离，A、B两城市相距8个单位距离，设城际轻轨所在的曲线为E，使轻轨E上的点到A、B两市的距离之和为10个单位距离．（1）建立直角坐标系，求城际轻轨所在曲线E的方程；
（2）若要在曲线E上建一个加油站M与一个收费站N，使M、N、B三点在一条直线上，并且AM+AN=12个单位距离，求M、N之间的距离有多少个单位距离？
（3）在A、B两城市之间有一条与AB所在直线成45∘的笔直公路l，直线l与曲线E交于P，
Q两点，求四边形PAQB的面积的最大值．
(m, n∈R)在x=1处取到极值2．
22. 已知函数f(x)=mx
x2+n
（1）求f(x)的解析式；
（2）设函数g(x)=lnx+a
，若对任意的x1∈[−1, 1]，总存在x2∈[1, e]，使得g(x2)≤
x
f(x1)+7
，求实数a的取值范围．
2
2012年湖南省岳阳市高考数学二模试卷（文科）答案
1. C
2. C
3. D
4. A
5. D
6. B
7. D
8. A
9. C
10. √14
11. 40或60（只写出其中一个也正确）
12. 25
13. 64π
14. 99
15. 150
16. π
3
17. 解：（1）∵ 函数f(x)=2sin(ωx+π
3
)(ω>0, x∈R)，且以π为最小正周期，
∴ 2π
ω=π，求得ω=2，可得数f(x)=2sin(2x+π
3
)，
∴ f(π
2)=2sin(π+π
3
)=−sinπ
3
=−√3
2
．
（2）∵ f(α
2+π
12
)=2sin(α+π
6
+π
3
)=2cosα=10
13
，
∴ cosα=5
13
，
又α∈(−π
2, 0)，解得sinα=−12
13
．
18. 解：（1）由每生选2科知共有600人次选课，所以按分层抽样得：50
600=18
a+100
，
解得a=116，从而可得b=114，
（2）因为a+b=230
a≥110，b>110，所以(a, b)的取值有：
(110, 120)(111, 119)(112, 118)(113, 117)
(114, 116)(115, 115)(116, 114)(117, 113)
(118, 112)(119, 111)共10种；
其中的情况有(116, 114)(117, 113)(118, 112)(119, 111)共4种；
所以a>b的概率为：p=4
10=2
5
19. （1）解：∵ AB⊥底面SAD，SA⊂底面SAD，AD⊂底面SAD ∴ AB⊥SA，AB⊥AD
∵ SA⊥CD，AB、CD是平面ABCD内的两条相交直线
∴ 侧棱SA⊥底面ABCD
∴ 四棱锥S−ABCD的体积为1
3×1
2
×(1
2
+1)×1×1=1
4
；
（2）证明：取SB的中点N，则
∵ 点M是SC的中点，∴ MN // BC，MN=1
2
BC
∵ 底面是直角梯形，BC=1，
∴ AD // BC且AD=1
2
BC
∴ MN // AD且MN=AD
∴ 四边形MNAD是平行四边形
∴ DM // AN
∵ DM⊄平面SAB，AN⊂平面SAB
∴ DM // 平面SAB；
（3）解：∵ 侧棱SA⊥底面ABCD，BC⊂底面ABCD，∴ BC⊥SA ∵ AB⊥BC，AB、SA是平面SAB内的两条相交直线
∴ BC⊥平面SAB，垂足是点B
∴ SB是SC在平面SAB内的射影，BC⊥SB
∴ ∠BSC是直线SC和平面SAB所成的角
∵ 在Rt△SBC中，BC=1，SB=√2，∴ SC=√3
∴ sin∠BSC=BC
SC =√3
3
∴ 直线SC和平面SAB所成的角的正弦值是√3
3
．
20. （1）解：由题意，当n=1时，得2a1=a1+3，解得a1=3．
当n=2时，得2a2=(a1+a2)+5，解得a2=8．
当n=3时，得2a3=(a1+a2+a3)+7，解得a3=18．
所以a1=3，a2=8，a3=18为所求．…
（2）证明：因为2a n=S n+2n+1，所以有2a n+1=S n+1+2n+3成立．
两式相减得：2a n+1−2a n=a n+1+2．
所以a n+1=2a n+2(n∈N∗)，即a n+1+2=2(a n+2)．…
所以数列{a n+2}是以a1+2=5为首项，公比为2的等比数列．…
（3）解：由（2）得：a n+2=5×2n−1，即a n=5×2n−1−2(n∈N∗)．
则na n=5n⋅2n−1−2n(n∈N∗)．…
设数列{5n⋅2n−1}的前n项和为P n，
则P n=5×1×20+5×2×21+5×3×22+...+5×(n−1)⋅2n−2+5×n⋅2n−1，所以2P n=5×1×21+5×2×22+5×3×23+...+5(n−1)⋅2n−1+5n⋅2n，
所以−P n=5(1+21+22+...+2n−1)−5n⋅2n，
即P n=(5n−5)⋅2n+5(n∈N∗)．…
所以数列{n⋅a n}的前n项和T n=(5n−5)⋅2n+5−2×n(n+1)
2
，
整理得，T n=(5n−5)⋅2n−n2−n+5(n∈N∗)．…
21. 解：（1）以AB为x轴，以AB中点为原点O建立直角坐标系．
设曲线E上点P(x, y)，
∵ |PA|+|PB|=10>|AB|=8
∴ 动点轨迹为椭圆，
且a=5，c=4，从而b=3．
∴ 曲线E的方程为x2
25+y2
9
=1．
（2）∵ |AM|+|AN|+|BM|+|BN|=20，
|AM|+|AN|=12，所以|MN|=8．
（3）将y=x+t代入x 2
25+y2
9
=1，
得34y2−18ty+9t2−25×9=0．设P(x1, y1)、Q(x2, y2)，
则y1+y2=9t
17，y1y2=9t2−25×9
34
．
|y1−y2|=√(y1+y2)2−4y1y2=1
17
√50×9×17−9×25t2，
S=S△ABP+S△ABQ=1
2AB⋅|y1−y2|=8
34
√50×9×17−9×25t2，
所以当t=0时，面积最大是60
17
√34，此时直线为l:y=x．
22. 解：（1）f′(x)=m(x2+n)−2mx2
(x2+n)2=−mx2+mn
(x2+n)2
…
由f(x)在x=1处取到极值2，故f′(1)=0，f(1)=2即{mn−m
(1+n)2=0
m 1+n =2
，
解得m=4，n=1，经检验，此时f(x)在x=1处取得极值．故f(x)=4x
x2+1
…
（2）由（1）知f(x)的定义域为R，且f(−x)=−f(x)．故f(x)为奇函数．f(0)=0，x>
0时，f(x)>0，f(x)=4
x+1
x
≤2．当且仅当x=1时取“=”．
故f(x)的值域为[−2, 2]．从而f(x1)+7
2≥3
2
．依题意有g(x)
最小值
≤3
2
函数g(x)=lnx+a
x 的定义域为(0, +∞)，g′(x)=x−a
x2
①当a≤1时，g′(x)>0函数g(x)在[1, e]上单调递增，其最小值为g(1)=a≤1<3
2
合题意；
②当1<a<e时，函数g(x)在[1, a)上有g′(x)<0, 单调递减, 在(a, e]上有g′(x)>0，单
调递增，所以函数g(x)最小值为f(a)=lna+1，由lna+1≤3
2
，得0<a≤√e．从而知1<a≤√e符合题意．
③当a≥e时，显然函数g(x)在[1, e]上单调递减，其最小值为g(e)=1+a
e ≥2>3
2
，不合
题意
综上所述，a的取值范围为a≤√e。