数学_2012年湖南省岳阳市高考数学二模试卷(文科)(含答案)
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2012年湖南省岳阳市高考数学二模试卷(文科)
一、选择题(本大题共9个小题,每小题5分,共45分.在每小题列出的四个选项中,只有一项是符合要求的)
1. 设全集U =Z ,集合A ={−1, 1, 2},B ={−1, 1},则A ∩(C U B)=( ) A {1, 2} B {1} C {2} D {−1, 1}
2. 已知复数z =3+4i ,则复数z 的共轭复数z ¯
的模为( )
A 3
B 4
C 5
D 7
3. 曲线C:y =x 2+x 在x =1 处的切线与直线ax −y +1=0互相垂直,则实数a 的值为( )
A 3
B −3
C 1
3
D −1
3
4. 设p:log 2x <0,q :(1
2
)x−1>1,则p 是q 的( )
A 充分不必要条件
B 充要条件
C 必要不充分条件
D 既不充分也不必要条件 5. 已知直线l ⊥平面α,直线m ⊂平面β,则下列四个命题正确的是( ) ①α // β⇒l ⊥m ;②α⊥β⇒l // m ;③l // m ⇒α⊥β;④l ⊥m ⇒α // β. A ②④ B ①② C ③④ D ①③
6. 实数x ,y 满足不等式组{x −y +5≥0
x +y ≥0x ≤3,那么目标函数z =2x +4y 的最小值是( )
A −15
B −6
C −5
D −2
7. 已知AB →
=(−4, 2),C(2, a),D(b, 4)是平面上的两个点,O 为坐标原点,若OC →
// AB →
,且OD →
⊥AB →
,则CD →
=( )
A (−1, 2)
B (2, −1)
C (2, 4)
D (0, 5)
8. 若双曲线x 2
m −y 2
m−2=1的左焦点与抛物线y 2=−8x 的焦点重合,则m 的值为( ) A 3 B 4 C 5 D 6
9. 定义在R 上的偶函数f(x),满足f(x +2)=f(x),且f(x)在[−3, −2]上是减函数,又α,β是锐角三角形的两个内角,则( )
A f(sinα)<f(sinβ)
B f(cosα)<f(cosβ)
C f(sinα)>f(cosβ)
D f(sinα)<(cosβ)
二、填空题(本大题共7个小题,考生作答6个小题,每小题5分,共30分)(一)选做题(请考生在10,11两题中任选一题作答,如果全做,则按前一题记分)
10. 以直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线的极坐标方程为θ=π
4(ρ∈R),它与曲线{x =1+2cosαy =2+2sinα(α为参数)相交于
两点A 和B ,则|AB|=________.
11. 【选做】已知某试验范围为[10, 90],若用分数法进行4次优选试验,则第二次试点可
以是________.
12. 根据如图所示的框图,打印的所有数据的和是________.
13. 如图所示的三视图,其体积是________.
14. 等差数列{a n}中,若a l+a4+a7=39,a3+a6+a9=27,则前9项的和S9等于________.
15. 高三某学生高考成绩y(分)与高三期间有效复习时间x(天)正相关,且回归方程是
ŷ=3x+50,若期望他高考达到500分,那么他的有效复习时间应不低于________天.
16. 定义一个对应法则f:P/(m,n)→P(√m,√n),(m≥0,n≥0).现有点A′(1, 3)与点
B′(3, 1),点M′是线段A′B′上一动点,按定义的对应法则f:M′→M.当点M′在线段A′B′上
从点A′开始运动到点B′结束时,点M′的对应点M所经过的路线长度为________.
三、解答题
17. 设函数f(x)=2sin(ωx+π
3
)(ω>0, x∈R),且以π为最小正周期.
(1)求f(π
2
)的值;
(2)已知f(α
2+π
12
)=10
13
,α∈(−π
2
, 0),求sinα的值.
18. 为适应新课改,切实减轻学生负担,提高学生综合素质,某市某学校高三年级文科生300人在数学选修4−4、4−5、4−7选课方面进行改革,由学生自由选择2门(不可多选或少选),选课情况如下表:
(1)为了解学生情况,现采用分层抽样方法抽取了三科作业共50本,统计发现4−5有18本,试根据这一数据求出a,b的值.
(2)为方便开课,学校要求a≥110,b>110,计算a>b的概率.
19. 如图,在四棱锥S−ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AD // BC,SA⊥CD,AB⊥平面SAD,点M是SC的中点,且SA=AB=BC=1,AD=1
.
2
(1)求四棱锥S−ABCD的体积;
(2)求证:DM // 平面SAB;
(3)求直线SC和平面SAB所成的角的正弦值.
20. 设数列{a n}的前n项和为S n,且2a n=S n+2n+1(n∈N∗).
(1)求a1,a2,a3;
(2)求证:数列{a n+2}是等比数列;
(3)求数列{n⋅a n}的前n项和T n.
21. 为了加快经济的发展,某省选择A、B两城市作为龙头带动周边城市的发展,决定在A、B两城市的周边修建城际轻轨,假设10km为一个单位距离,A、B两城市相距8个单位距离,设城际轻轨所在的曲线为E,使轻轨E上的点到A、B两市的距离之和为10个单位距离.(1)建立直角坐标系,求城际轻轨所在曲线E的方程;
(2)若要在曲线E上建一个加油站M与一个收费站N,使M、N、B三点在一条直线上,并且AM+AN=12个单位距离,求M、N之间的距离有多少个单位距离?
(3)在A、B两城市之间有一条与AB所在直线成45∘的笔直公路l,直线l与曲线E交于P,
Q两点,求四边形PAQB的面积的最大值.
(m, n∈R)在x=1处取到极值2.
22. 已知函数f(x)=mx
x2+n
(1)求f(x)的解析式;
(2)设函数g(x)=lnx+a
,若对任意的x1∈[−1, 1],总存在x2∈[1, e],使得g(x2)≤
x
f(x1)+7
,求实数a的取值范围.
2
2012年湖南省岳阳市高考数学二模试卷(文科)答案
1. C
2. C
3. D
4. A
5. D
6. B
7. D
8. A
9. C
10. √14
11. 40或60(只写出其中一个也正确)
12. 25
13. 64π
14. 99
15. 150
16. π
3
17. 解:(1)∵ 函数f(x)=2sin(ωx+π
3
)(ω>0, x∈R),且以π为最小正周期,
∴ 2π
ω=π,求得ω=2,可得数f(x)=2sin(2x+π
3
),
∴ f(π
2)=2sin(π+π
3
)=−sinπ
3
=−√3
2
.
(2)∵ f(α
2+π
12
)=2sin(α+π
6
+π
3
)=2cosα=10
13
,
∴ cosα=5
13
,
又α∈(−π
2, 0),解得sinα=−12
13
.
18. 解:(1)由每生选2科知共有600人次选课,所以按分层抽样得:50
600=18
a+100
,
解得a=116,从而可得b=114,
(2)因为a+b=230
a≥110,b>110,所以(a, b)的取值有:
(110, 120)(111, 119)(112, 118)(113, 117)
(114, 116)(115, 115)(116, 114)(117, 113)
(118, 112)(119, 111)共10种;
其中的情况有(116, 114)(117, 113)(118, 112)(119, 111)共4种;
所以a>b的概率为:p=4
10=2
5
19. (1)解:∵ AB⊥底面SAD,SA⊂底面SAD,AD⊂底面SAD ∴ AB⊥SA,AB⊥AD
∵ SA⊥CD,AB、CD是平面ABCD内的两条相交直线
∴ 侧棱SA⊥底面ABCD
∴ 四棱锥S−ABCD的体积为1
3×1
2
×(1
2
+1)×1×1=1
4
;
(2)证明:取SB的中点N,则
∵ 点M是SC的中点,∴ MN // BC,MN=1
2
BC
∵ 底面是直角梯形,BC=1,
∴ AD // BC且AD=1
2
BC
∴ MN // AD且MN=AD
∴ 四边形MNAD是平行四边形
∴ DM // AN
∵ DM⊄平面SAB,AN⊂平面SAB
∴ DM // 平面SAB;
(3)解:∵ 侧棱SA⊥底面ABCD,BC⊂底面ABCD,∴ BC⊥SA ∵ AB⊥BC,AB、SA是平面SAB内的两条相交直线
∴ BC⊥平面SAB,垂足是点B
∴ SB是SC在平面SAB内的射影,BC⊥SB
∴ ∠BSC是直线SC和平面SAB所成的角
∵ 在Rt△SBC中,BC=1,SB=√2,∴ SC=√3
∴ sin∠BSC=BC
SC =√3
3
∴ 直线SC和平面SAB所成的角的正弦值是√3
3
.
20. (1)解:由题意,当n=1时,得2a1=a1+3,解得a1=3.
当n=2时,得2a2=(a1+a2)+5,解得a2=8.
当n=3时,得2a3=(a1+a2+a3)+7,解得a3=18.
所以a1=3,a2=8,a3=18为所求.…
(2)证明:因为2a n=S n+2n+1,所以有2a n+1=S n+1+2n+3成立.
两式相减得:2a n+1−2a n=a n+1+2.
所以a n+1=2a n+2(n∈N∗),即a n+1+2=2(a n+2).…
所以数列{a n+2}是以a1+2=5为首项,公比为2的等比数列.…
(3)解:由(2)得:a n+2=5×2n−1,即a n=5×2n−1−2(n∈N∗).
则na n=5n⋅2n−1−2n(n∈N∗).…
设数列{5n⋅2n−1}的前n项和为P n,
则P n=5×1×20+5×2×21+5×3×22+...+5×(n−1)⋅2n−2+5×n⋅2n−1,所以2P n=5×1×21+5×2×22+5×3×23+...+5(n−1)⋅2n−1+5n⋅2n,
所以−P n=5(1+21+22+...+2n−1)−5n⋅2n,
即P n=(5n−5)⋅2n+5(n∈N∗).…
所以数列{n⋅a n}的前n项和T n=(5n−5)⋅2n+5−2×n(n+1)
2
,
整理得,T n=(5n−5)⋅2n−n2−n+5(n∈N∗).…
21. 解:(1)以AB为x轴,以AB中点为原点O建立直角坐标系.
设曲线E上点P(x, y),
∵ |PA|+|PB|=10>|AB|=8
∴ 动点轨迹为椭圆,
且a=5,c=4,从而b=3.
∴ 曲线E的方程为x2
25+y2
9
=1.
(2)∵ |AM|+|AN|+|BM|+|BN|=20,
|AM|+|AN|=12,所以|MN|=8.
(3)将y=x+t代入x 2
25+y2
9
=1,
得34y2−18ty+9t2−25×9=0.设P(x1, y1)、Q(x2, y2),
则y1+y2=9t
17,y1y2=9t2−25×9
34
.
|y1−y2|=√(y1+y2)2−4y1y2=1
17
√50×9×17−9×25t2,
S=S△ABP+S△ABQ=1
2AB⋅|y1−y2|=8
34
√50×9×17−9×25t2,
所以当t=0时,面积最大是60
17
√34,此时直线为l:y=x.
22. 解:(1)f′(x)=m(x2+n)−2mx2
(x2+n)2=−mx2+mn
(x2+n)2
…
由f(x)在x=1处取到极值2,故f′(1)=0,f(1)=2即{mn−m
(1+n)2=0
m 1+n =2
,
解得m=4,n=1,经检验,此时f(x)在x=1处取得极值.故f(x)=4x
x2+1
…
(2)由(1)知f(x)的定义域为R,且f(−x)=−f(x).故f(x)为奇函数.f(0)=0,x>
0时,f(x)>0,f(x)=4
x+1
x
≤2.当且仅当x=1时取“=”.
故f(x)的值域为[−2, 2].从而f(x1)+7
2≥3
2
.依题意有g(x)
最小值
≤3
2
函数g(x)=lnx+a
x 的定义域为(0, +∞),g′(x)=x−a
x2
①当a≤1时,g′(x)>0函数g(x)在[1, e]上单调递增,其最小值为g(1)=a≤1<3
2
合题意;
②当1<a<e时,函数g(x)在[1, a)上有g′(x)<0, 单调递减, 在(a, e]上有g′(x)>0,单
调递增,所以函数g(x)最小值为f(a)=lna+1,由lna+1≤3
2
,得0<a≤√e.从而知1<a≤√e符合题意.
③当a≥e时,显然函数g(x)在[1, e]上单调递减,其最小值为g(e)=1+a
e ≥2>3
2
,不合
题意
综上所述,a的取值范围为a≤√e。