2019-2020学年邢台市高考数学考试试题

2019-2020学年高考数学模拟试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若31n
x x ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭的展开式中二项式系数和为256，则二项式展开式中有理项系数之和为（ ） A ．85
B ．84
C ．57
D ．56
2．已知数列{}n
a 对任意的*n N ∈有11
1(1)n n a a n n +=-++成立，若11a =，则10a 等于（ ）
A ．
101
10
B ．
9110
C ．111
11
D ．
122
11
3．若直线不平行于平面，且，则（ ）
A ．内所有直线与异面
B ．内只存在有限条直线与共面
C ．内存在唯一的直线与平行
D ．内存在无数条直线与相交
4．某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体中最长的棱长为（ ）．
A 2
B 3
C ．1
D 6
5．设函数1,2()21,2,1a x f x log x x a =⎧=⎨-+≠>⎩，若函数2()()()g x f x bf x c =++有三个零点123,,x x x ，则
122313x x x x x x ++=（ ）
A ．12
B ．11
C ．6
D ．3
6．盒中装有形状、大小完全相同的5张“刮刮卡”，其中只有2张“刮刮卡”有奖，现甲从盒中随机取出2张，则至少有一张有奖的概率为( ) A ．
12
B ．
35
C ．
710
D ．
45
7．M 是抛物线24y x =上一点，N 是圆()()2
2
121x y -+-=关于直线10x y --=的对称圆上的一点，
则MN 最小值是（ ）
A ．
1112
- B ．31- C ．221-
D ．
32
8．已知0a >，若对任意()0,m ∈+∞，关于x 的不等式()()1e ln 11e
x
ax
x m m --<-+-（e 为自然对数的底数）至少有2个正整数解，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．3e e,2e ⎛⎤+ ⎥⎝
⎦
B ．3e ,2e ⎡⎫
++∞⎪⎢⎣⎭ C ．3e 0,2e ⎛⎤
+ ⎥⎝⎦
D ．3e ,2e ⎛⎫
++∞ ⎪⎝⎭
9．已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的焦距为2c ，过左焦点1F 作斜率为1的直线交双曲线C 的右支
于点P ，若线段1PF 的中点在圆2
2
2
:O x y c +=上，则该双曲线的离心率为（ ） A ．2
B ．22
C ．21+
D ．221+
10．已知双曲线22
22:10,0()x y C a b a b
-=>>的左、右顶点分别为12A A 、，点P 是双曲线C 上与12A A 、不
重合的动点，若123PA PA k k =， 则双曲线的离心率为( ) A ．2
B ．3
C ．4
D ．2
11．中国的国旗和国徽上都有五角星，正五角星与黄金分割有着密切的联系，在如图所示的正五角星中，以A 、B 、C 、D 、E 为顶点的多边形为正五边形，且51PT AP -=
，则51
2
AT ES --=（ ）
A ．
51
2
QR B ．
51
2
RQ C ．
51
2
RD D ．
51
2
RC 12．设ln 2m =，lg 2n =，则（ ） A ．m n mn m n ->>+ B ．m n m n mn ->+> C ．m n mn m n +>>-
D ．m n m n mn +>->
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知x ，y 为正实数，且2441xy x y ++=，则x y +的最小值为________________. 14．已知α，3,4πβπ⎛⎫∈
⎪⎝⎭，()4cos 5αβ+=，5cos 413πβ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则sin 4πα⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭______.
15．在
()()64
11 x y ++的展开式中，23x y 的系数为________．
16．若双曲线()22
2
2:10,0x y C a b a b
-=>>的离心率为10，则双曲线C 的渐近线方程为______． 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．设点()1,0F c -，()2,0F c 分别是椭圆()222:11x
C y a a
+=>的左、右焦点，P 为椭圆C 上任意一点，
且12
•PF PF 的最小值为1．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）如图，动直线:l y kx m =+与椭圆C 有且仅有一个公共点，点M ，N 是直线l 上的两点，且1F M l ⊥，
2F N l ⊥，求四边形12F MNF 面积S 的最大值．
18．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且5
cos 5
A =. （1）若5a =，25c =，求b 的值； （2）若4
B π
=
，求tan 2C 的值.
19．（6分）已知数列{}n a 是各项均为正数的等比数列(*)n N ∈，12a =，且12a ，3a ，23a 成等差数列． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设2log n n b a =，n S 为数列{}n b 的前n 项和，记1231111
n n
T S S S S =
+++⋯⋯+，证明：12n T <． 20．（6分）图1是由矩形ADEB ，Rt △ABC 和菱形BFGC 组成的一个平面图形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°，将其沿AB ，BC 折起使得BE 与BF 重合，连结DG ，如图2.
（1）证明：图2中的A ，C ，G ，D 四点共面，且平面ABC ⊥平面BCGE ； （2）求图2中的二面角B−CG−A 的大小.
21．（6分）底面ABCD 为菱形的直四棱柱，被一平面截取后得到如图所示的几何体.若
4DA DH DB ===，3AE CG ==.
（1）求证：EG DF ⊥；
（2）求二面角A HF C --的正弦值.
22．（8分）设2()x f x xe ax =-，2
ln ()1(0)e
g x x x a a
x =+-+-
> （1）求()g x 的单调区间；
（2）设()()()0h x f x ag x =-≥恒成立，求实数a 的取值范围.
23．（8分）已知函数23()x
f x x e =
（1）若0x <，求证：1
();9
f x <
（2）若0x >，恒有()(3)2ln 1f x k x x ≥+++，求实数k 的取值范围.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．A 【解析】 【分析】
先求n ，再确定展开式中的有理项，最后求系数之和. 【详解】
解：31n
x x ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭的展开式中二项式系数和为256 故2256n =，8n =
8843
3
18
8
r r r r
r r T C x
x
C x
---+==
要求展开式中的有理项，则258r =，，
则二项式展开式中有理项系数之和为：2
5
8
888++=85C C C 故选：A 【点睛】
考查二项式的二项式系数及展开式中有理项系数的确定，基础题. 2．B 【解析】 【分析】
观察已知条件，对11
1(1)
n n a a n n +=-++进行化简，运用累加法和裂项法求出结果.
【详解】 已知11
1(1)
n n a a n n +=-
++，则1111111()11()(1)11n n a a n n n n n n +--
+=--+=--+++=，所以有2111
1()12a a ---=，
3211
1()23a a ---=，
4311
1()34a a ---=，
109111()910a a ---=，两边同时相加得10119(1)10a a ---=，又因为11a =，所以10191
9(11)1010a --==+.
故选：B 【点睛】
本题考查了求数列某一项的值，运用了累加法和裂项法，遇到形如1
n(n 1)
+时就可以采用裂项法进行求和，
需要掌握数列中的方法，并能熟练运用对应方法求解. 3．D 【解析】 【分析】
通过条件判断直线与平面相交，于是可以判断ABCD 的正误. 【详解】
根据直线不平行于平面，且可知直线与平面相交，于是ABC错误，故选D. 【点睛】
本题主要考查直线与平面的位置关系，直线与直线的位置关系，难度不大.
4．B
【解析】
【分析】
首先由三视图还原几何体，进一步求出几何体的棱长．
【详解】
解：根据三视图还原几何体如图所示，
所以，该四棱锥体的最长的棱长为222
1113
l=++
故选：B．
【点睛】
本题主要考查由三视图还原几何体，考查运算能力和推理能力，属于基础题．
5．B
【解析】
【分析】
画出函数()
f x的图象，利用函数的图象判断函数的零点个数，然后转化求解，即可得出结果．【详解】
作出函数
1,2
()
21,2,1
a
x
f x
log x x a
=
⎧
=⎨
-+≠>
⎩
的图象如图所示，
令()f x t =，
由图可得关于x 的方程()f x t =的解有两个或三个（1t =时有三个，1t ≠时有两个），
所以关于t 的方程20t bt c ++=只能有一个根1t =（若有两个根，则关于x 的方程2()()0f x bf x c ++=有四个或五个根），
由()1f x =，可得123,,x x x 的值分别为1,2,3， 则12231312231311x x x x x x ++=⨯+⨯+⨯=
故选B ． 【点睛】
本题考查数形结合以及函数与方程的应用，考查转化思想以及计算能力，属于常考题型. 6．C 【解析】 【分析】
先计算出总的基本事件的个数，再计算出两张都没获奖的个数，根据古典概型的概率，求出两张都没有奖的概率，由对立事件的概率关系，即可求解. 【详解】
从5张“刮刮卡”中随机取出2张，共有2
510C =种情况，
2张均没有奖的情况有2
33C =（种），故所求概率为37
11010
-
=. 故选:C. 【点睛】
本题考查古典概型的概率、对立事件的概率关系，意在考查数学建模、数学计算能力，属于基础题. 7．C 【解析】 【分析】
求出点()1
,2关于直线10x y --=的对称点C 的坐标，进而可得出圆()()2
2
121x y -+-=关于直线
10x y --=的对称圆C 的方程，利用二次函数的基本性质求出MC 的最小值，由此可得出
min min 1MN MC =-，即可得解.
【详解】 如下图所示：
设点()1,2关于直线10x y --=的对称点为点(),C a b ，
则12
1022
211
a b b a ++⎧--=⎪⎪⎨-⎪=-⎪-⎩，整理得3030a b a b --=⎧⎨+-=⎩，解得30a b =⎧⎨=⎩，即点()3,0C ，
所以，圆()()2
2
121x y -+-=关于直线10x y --=的对称圆C 的方程为()2
231x y -+=，
设点2,4y M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()
2
24222213948416216y y y MC y y ⎛⎫=-+=-+=-+ ⎪⎝⎭
当2y =±时，MC 取最小值2min min 1221MN MC =-=. 故选：C. 【点睛】
本题考查抛物线上一点到圆上一点最值的计算，同时也考查了两圆关于直线对称性的应用，考查计算能力，属于中等题. 8．B 【解析】 【分析】
构造函数()()ln 11f m m m =-+-（0m >），求导可得()f m 在0,
上单调递增,则
()()01f m f >=-,问题转化为()1e 1e x ax x --<-,即()1e 1e
x ax
x -≤-至少有2个正整数解,构造函数()()1e x g x x =-,()1e
ax
h x =
-,通过导数研究单调性,由()0(0)g h =可知，要使得()()g x h x ≤至少有2个正整数解,只需()()22g h ≤即可,代入可求得结果. 【详解】
构造函数()()ln 11f m m m =-+-（0m >），则()1111
m
f m m m '=-
=++（0m >），所以()f m 在0,
上单调递增，所以()()01f m f >=-，故问题转化为至少存在两个正整数x ，使得
()1e 1e x ax x -≤
-成立，设()()1e x g x x =-，()1e
ax h x =-，则()e x g x x '=，当0x >时0g x ，
()g x 单调递增；当0x >时，()h x 单调递增.()()22g h ≤，整理得3e e
2
a +≥.
故选:B. 【点睛】
本题考查导数在判断函数单调性中的应用,考查不等式成立问题中求解参数问题,考查学生分析问题的能力和逻辑推理能力,难度较难. 9．C 【解析】 【分析】
设线段1PF 的中点为A ，判断出A 点的位置，结合双曲线的定义，求得双曲线的离心率. 【详解】
设线段1PF 的中点为A ，由于直线1F P 的斜率是1，而圆2
2
2
:O x y c +=，所以()0,A c .由于O 是线段12
F F
的中点，所以222PF OA c ==，而1122PF AF ===，根据双曲线的定义可知
122PF PF a -=，即22c a -=，即
1c a ==. 故选：C
【点睛】
本小题主要考查双曲线的定义和离心率的求法，考查直线和圆的位置关系，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题. 10．D 【解析】 【分析】
设()00,P x y ，()1,0A a -，()2,0A a ，根据12
3PA PA k k =可得2
22
33y x a =-①，再根据又22
00221x y a b
-=②，由①②可得(
)()
22
2222033b a x
a b a -=-，化简可得2c a =，即可求出离心率．
【详解】
解：设()00,P x y ，()1,0A a -，()2,0A a ， ∵123PA PA k k =，
∴
00
00·3y y x a x a
=+-，即22
20033y x a =-，① 又2200
221x y a b
-=，②， 由①②可得(
)()
22
2
2220
33b a x
a b a -=-，
∵0x a ≠±， ∴2230b a -=，
∴22223b a c a ==-，
∴2c a =，
即2e =，
故选：D ．
【点睛】 本题考查双曲线的方程和性质，考查了斜率的计算，离心率的求法，属于基础题和易错题．
11．A
【解析】
【分析】
利用平面向量的概念、平面向量的加法、减法、数乘运算的几何意义，便可解决问题．
【详解】
解：5151AT ES SD SR RD QR -+-
=-==. 故选：A
【点睛】
本题以正五角星为载体，考查平面向量的概念及运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于基础题．
12．D
【解析】
【分析】
由不等式的性质及换底公式即可得解.
【详解】
解：因为ln 2m =，lg 2n =，则m n >，且(),0,1m n ∈， 所以m n mn +>，m n m n +>-，
又2222111110log 10log log log 21lg 2ln 2e n m e
-=-=-=>=, 即
1m n mn
->,则m n mn ->， 即m n m n mn +>->，
故选：D.
【点睛】
本题考查了不等式的性质及换底公式，属基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．8
【解析】
【分析】
由x ，y 为正实数，且2441xy x y ++=，可知4x ≠-，于是2414
x y x -+=+，可得 ()241494644x x y x x x x -++=+
=++-++，再利用基本不等式即可得出结果. 【详解】 解：x ，y 为正实数，且2441xy x y ++=，可知4x ≠-，
∴2414
x y x -+=+，
∴()24149466844x x y x x x x -++=+=++-≥=++. 当且仅当3x =时取等号.
∴x y +的最小值为8.
故答案为：8.
【点睛】
本题考查了基本不等式的性质应用，恰当变形是解题的关键，属于中档题.
14．3365
- 【解析】
【分析】
由已知利用同角三角函数的基本关系式可求得()sin αβ+，sin 4πβ⎛
⎫- ⎪⎝⎭
的值，由两角差的正弦公式即可计算得sin 4πα⎛⎫+ ⎪⎝
⎭的值. 【详解】
α，3,
4πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()4cos 5αβ+=，5cos 413πβ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭
， 3,22παβπ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭
，3,424πππβ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，
()3sin 5
αβ∴+==-，
12sin 413πβ⎛⎫-== ⎪⎝⎭， ()sin sin 44ππααββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴+=+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦()()3541233sin cos cos sin 4451351365ππαββαββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--+-=-⨯--⨯=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭⎝⎭⎝⎭. 故答案为：3365-
【点睛】
本题主要考查了同角三角函数的基本关系、两角差的正弦公式，需熟记公式，属于基础题.
15．60
【解析】
【分析】
根据二项展开式定理，求出6
(1)x +含2x 的系数和4(1)y +含3y 的系数，相乘即可. 【详解】
()()
6411 x y ++的展开式中， 所求项为：2233232364654602
C x C y x y x y ⨯=⨯=， 23x y 的系数为60.
故答案为:60.
【点睛】
本题考查二项展开式定理的应用，属于基础题.
16．3y x =± 【解析】
【分析】
利用22110c b a a ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
,得到,a b 的关系式,然后代入双曲线C 的渐近线方程b y x a =±即可求解. 【详解】
因为双曲线C 的离心率为222c e c a b a
===+, 所以222210c a a b ==+,即3b a =,
因为双曲线C 的渐近线方程为b y x a
=±,
所以双曲线C 的渐近线方程为3y x =±.
故答案为:3y x =±
【点睛】
本题考查双曲线的几何性质;考查运算求解能力;熟练掌握双曲线的几何性质是求解本题的关键;属于基础题.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（1）2
212
x y +=；（2）2. 【解析】
【分析】
（1）利用12•PF PF 的最小值为1，可得2222
221221•1a PF PF x y c x c a -=+-=+-，[],x a a ∈-，即可求椭圆C 的方程；
（2）将直线l 的方程y kx m =+代入椭圆C 的方程中，得到关于x 的一元二次方程，由直线l 与椭圆C 仅有一个公共点知，0∆=即可得到m ，k 的关系式，利用点到直线的距离公式即可得到11d F M =，22d F M =．当0k ≠时，设直线l 的倾斜角为θ，则12tan d d MN θ-=⨯，即可得到四边形12F MNF 面积S 的表达式，利用基本不等式的性质，结合当0k =时，四边形12F MNF 是矩形，即可得出S 的最大值．
【详解】
（1）设(),P x y ，则()1,F P x c y =+，()2,F P x c y =-，
2222
221221•1a PF PF x y c x c a -∴=+-=+-，[],x a a ∈-， 由题意得，221012c c a -=⇒=⇒=，
∴椭圆C 的方程为22x y 12
+=； （2）将直线l 的方程y kx m =+代入椭圆C 的方程2222x y +=中，
得()222214220k x kmx m +++-=．
由直线l 与椭圆C 仅有一个公共点知，()()
222216421220k m k m ∆=-+-=，
化简得：2221m k =+．
设1121k m
d F M k -+==+，2221k m
d F M k +==+，
当0k ≠时，设直线l 的倾斜角为θ， 则12tan d d MN θ-=⨯，
121=MN d d k
∴⋅-， ()12122211=21
m S d d d d k k ∴⨯⋅-⋅+=+， 2221m k =+，22244
=111m
m
S k m m m
∴==+++
∴当0k ≠时，1m >，12m m
+>， 2S <∴．
当0k =时，四边形12F MNF 是矩形，2S =．
所以四边形12F MNF 面积S 的最大值为2．
【点睛】
本题主要考查椭圆的方程与性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系、向量知识、二次函数的单调性、基本不等式的性质等基础知识，考查运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力，考查数形结合、化归与转化思想．
18．（1）5b =；（2）3tan 24C =-
. 【解析】
【分析】
（1）利用余弦定理得出关于b 的二次方程，结合0b >，可求出b 的值；
（2）利用两角和的余弦公式以及诱导公式可求出()cos cos C A B =-+的值，利用同角三角函数的基本
关系求出tan C 的值，然后利用二倍角的正切公式可求出tan 2C 的值.
【详解】
（1）在ABC ∆中，由余弦定理2222cos b c bc A a +-=得，
220225b +-⨯=，即2450b b --=， 解得5b =或1b =-（舍），所以5b =；
（2
）由cos 5
A =及0A π<<
得，sin A ==，
所以cos cos(())cos()sin )4C A B A A A π=π-+=-+=-= 又因为0C π<<
，所以sin C ===
从而sin tan 3cos C C C ===，所以222tan 233tan 21tan 134C C C ⨯===---. 【点睛】
本题考查利用余弦定理解三角形，同时也考查了两角和的余弦公式、同角三角函数的基本关系以及二倍角公式求值，考查计算能力，属于中等题.
19．（Ⅰ）2n n a =，*n N ∈；（Ⅱ）见解析
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由12a =，且1322,,3a a a 成等差数列，可求得q ，从而可得本题答案；
（Ⅱ）化简求得n b ，然后求得
1n S ，再用裂项相消法求n T ，即可得到本题答案. 【详解】
（Ⅰ）因为数列{}n a 是各项均为正数的等比数列()*n N
∈，12a =，可设公比为q ，0q >， 又1322,,3a a a 成等差数列，
所以312223a a a =+，即222432q q ⨯=+⨯，
解得2q 或12
q =-（舍去），则112n n n a a q -==，*n N ∈； （Ⅱ）证明：22log log 2n n n b a n ===，
1(1)2n S n n =+，12112(1)1n
S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，
则1231
1111111112(1)2(1)22311
n n T S S S S n n n =+++⋯⋯+=-+-+⋯+-=-++， 因为11012n <≤+，所以112121n ⎛⎫≤-< ⎪+⎝⎭
即12n T ≤<.
【点睛】
本题主要考查等差等比数列的综合应用，以及用裂项相消法求和并证明不等式，考查学生的运算求解能力和推理证明能力.
20． (1)见详解；(2) 30.
【解析】
【分析】
(1)因为折纸和粘合不改变矩形ABED ，Rt ABC 和菱形BFGC 内部的夹角，所以//AD BE ，//BF CG 依然成立，又因E 和F 粘在一起，所以得证.因为AB 是平面BCGE 垂线，所以易证.(2)在图中找到B CG A --对应的平面角，再求此平面角即可.于是考虑B 关于GC 的垂线，发现此垂足与A 的连线也垂直于CG .按照此思路即证.
【详解】
(1)证：//AD BE ，//BF CG ，又因为E 和F 粘在一起.
∴//AD CG ，A ，C ，G ，D 四点共面.
又,AB BE AB BC ⊥⊥.
AB ∴⊥平面BCGE ，AB ⊂平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面BCGE ，得证.
(2)过B 作BH GC ⊥延长线于H ，连结AH ，因为AB ⊥平面BCGE ，所以AB GC ⊥
而又BH GC ⊥，故GC ⊥平面HAB ，所以AH GC ⊥.又因为BH GC ⊥所以BHA ∠是二面角B CG A --的平面角，而在BHC △中90BHC ∠=，又因为60FBC ∠=故60BCH ∠=，所以sin 603BH BC ==.
而在ABH 中90ABH ∠=,3tan 3
AB BHA BH ∠===，即二面角B CG A --的度数为30.
【点睛】
很新颖的立体几何考题．首先是多面体粘合问题，考查考生在粘合过程中哪些量是不变的．再者粘合后的
多面体不是直棱柱，建系的向量解法在本题中略显麻烦，突出考查几何方法．最后将求二面角转化为求二面角的平面角问题考查考生的空间想象能力．
21．（1）见解析；（2）sin θ=
【解析】
【分析】
（1）先由线面垂直的判定定理证明EG ⊥平面BDHF ，再证明线线垂直即可；
（2）建立空间直角坐标系，求平面AFH 的一个法向量与平面CFH 的一个法向量，再利用向量数量积运算即可.
【详解】
（1）证明：连接AC ，由,AE CG 平行且相等，可知四边形AEGC 为平行四边形，所以//EG AC . 由题意易知AC BD ⊥，AC BF ⊥，所以EG BD ⊥，EG BF ⊥，
因为BD BF B =，所以EG ⊥平面BDHF ，
又DF ⊂平面BDHF ，所以EG DF ⊥.
（2）设AC BD O =，EG HF P =，由已知可得：平面//ADHE 平面BCGF ，
所以//EH FG ，同理可得：//EF HG ，所以四边形EFGH 为平行四边形，
所以P 为EG 的中点，O 为AC 的中点，所以,OP AE 平行且相等，从而OP ⊥平面ABCD ，
又OA OB ⊥，所以OA ，OB ，OP 两两垂直，如图，建立空间直角坐标系O xyz -，
3OP =，4DH =，由平面几何知识，得2BF =.
则()A ，()
C -，()0,2,2F ，()0,2,4H -，
所以()AF =-，()22,2CF =，()0,4,2HF =-.
设平面AFH 的法向量为(),,n x y z =，由00
AF n HF n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，可得220420y z y z ⎧-++=⎪⎨-=⎪⎩，
令1y =，则2z =，x =()3,1,2n =.同理，平面CFH 的一个法向量为()3,1,2m =-. 设平面AFH 与平面CFH 所成角为θ，
则1cos 48m n
m n θ⋅===，所以sin θ=.
【点睛】
本题考查了线面垂直的判定定理及二面角的平面角的求法，重点考查了空间向量的应用，属中档题. 22．（1）单调递增区间为()0,1，单调递减区间为(1,)+∞；（2）0a e <≤
【解析】
【分析】
（1）'(21)(1)()x x g x x -+-=
，令()'0g x >，()'0g x <解不等式即可； （2）'(1)()(1)(1)()x x a x a h x x e x e x x +=+-=+-，令()0h x '=得0x ，即00
x a e x =，且()h x 的最小值为()00000ln x h x x e a x ax a e =---+，令()00h x ≥，结合00
x a e x =即可解决. 【详解】
（1）'1(21)(1)()12x x g x x x x
-+-=+-=，(0,)x ∈+∞ 当()0,1x ∈时，()'0g x >，()g x 递增，
当(1,)x ∈+∞时，()'
0g x <，()g x 递减. 故()g x 的单调递增区间为()0,1，单调递减区间为(1,)+∞.
（2）()()()ln x
h x f x ag x xe a x ax a e =-=---+， '(1)()(1)(1)()x x a x a h x x e x e x x
+=+-=+-， 0a >，设()0h x '=的根为0x ，即有00
x a e x =可得， 00ln ln x a x =-，当()00,x x ∈时，()'0h x <，()h x 递减，
当0(,)x x ∈+∞时，()'
0h x >，()h x 递增. ()0min 0000()ln x h x h x x e a x ax a e ∴==---+
()0000
ln a x a x a ax a e x =+---+
ln 0e a a =-≥，
所以ln a a e ≤，
①当(0,1],ln 0a a a e ≤≤<；
②当1a >时，设()ln a a a ϕ=，()1ln 0a a ϕ'=+>
()ln a a a ϕ=递增，ln a a e ≤，所以1a e <≤.
综上，0a e <≤.
【点睛】
本题考查了利用导数研究函数单调性以及函数恒成立问题，这里要强调一点，处理恒成立问题时，通常是构造函数，将问题转化为函数的极值或最值来处理.
23．（1）见解析；（2）（﹣∞，0]
【解析】
【分析】
（1）利用导数求x ＜0时，f （x ）的极大值为22439f e ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即证1();9f x <（2）等价于k≤233211x x e x nx x ---，x ＞0，令g （x ）＝233211x x e x nx x
---，x ＞0，再求函数g(x)的最小值得解. 【详解】
（1）∵函数f （x ）＝x 2e 3x ，∴f′（x ）＝2xe 3x +3x 2e 3x ＝x （3x+2）e 3x ．
由f′（x ）＞0，得x ＜﹣
23或x ＞0；由f′（x ）＜0，得203
x -<<， ∴f （x ）在（﹣∞，﹣23）内递增，在（﹣23，0）内递减，在（0，+∞）内递增， ∴f （x ）的极大值为22439f e
⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ∴当x ＜0时，f （x ）≤2244139949f e ⎛⎫-
=<= ⎪⨯⎝⎭ （2）∵x 2e 3x
≥（k+3）x+2lnx+1，∴k≤233211x x e x nx x ---，x ＞0， 令g （x ）＝233211x x e x nx x ---，x ＞0，则g′（x ）232(13)211x x x e nx x
++-=， 令h （x ）＝x 2（1+3x ）e 3x +2lnx ﹣1，则h （x ）在（0，+∞）上单调递增，
且x→0+时，h （x ）→﹣∞，h （1）＝4e 3﹣1＞0，
∴存在x 0∈（0，1），使得h （x 0）＝0，
∴当x ∈（0，x 0）时，g′（x ）＜0，g （x ）单调递减，
当x ∈（x 0，+∞）时，g′（x ）＞0，g （x ）单调递增，
∴g （x ）在（0，+∞）上的最小值是g （x 0）＝0320000
32ln 1
x x e x x x ---，
∵h （x 0）＝()032
0013x x x e ++2lnx 0﹣1=0，所以0
320
00
12ln 13x x x e
x -=
+，
令0
20030=130x x x e
∴+=，2lnx ，
令
000
12ln =13013x x x -∴+=+，2lnx 所以0
320
00
12ln 13x x x e
x -=
+=1，00=3x -2lnx ,
∴g （x 0）0320000000
32111331
0x x e x nx x x x x ----+-=
== ∴实数k 的取值范围是（﹣∞，0]． 【点睛】
本题主要考查利用证明不等式，考查利用导数求最值和解答不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
2019-2020学年高考数学模拟试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数()1ln 11x
f x
x x
+=++-且()()12f a f a ++>，则实数a 的取值范围是( ) A ．11,2⎛⎫--
⎪⎝⎭
B ．1,02⎛⎫
-
⎪⎝⎭
C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭
2．已知1F ，2F 是椭圆22
221(0)x y C a b a b +=>>：的左、右焦点，过2F 的直线交椭圆于,P Q 两点.若
2211||,||,||,||QF PF PF QF 依次构成等差数列，且1||PQ PF =，则椭圆C 的离心率为
A ．
2
3
B ．
34
C ．
15 D ．
105
3．已知函数1222,0,()log ,0,
x x f x x x +⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩若关于x 的方程[]2
()2()30f x af x a -+=有六个不相等的实数根，
则实数a 的取值范围为（ ） A ．163,
5⎛⎫
⎪⎝⎭
B ．163,
5⎛⎤
⎥⎝⎦
C ．(3,4)
D ．(]3,4
4．在ABC 中，1
2
BD DC =
，则AD =（ ） A ．
13
44+AB AC B ．21
+33AB AC
C ．12
+33
AB AC
D ．1233
AB AC -
5．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G ，H 分别为棱1AA 、1CC 、11B C 、11A B 的中点，则下列各直线中，不与平面1ACD 平行的是（ ）
A ．直线EF
B ．直线GH
C ．直线EH
D ．直线1A B
6．已知13ω>
，函数()sin 23f x x πω⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭在区间(,2)ππ内没有最值，给出下列四个结论：
①()f x 在(,2)ππ上单调递增； ②511,1224ω⎡⎤
∈⎢
⎥⎣
⎦
③()f x 在[0,]π上没有零点； ④()f x 在[0,]π上只有一个零点. 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．②④
B ．①③
C ．②③
D ．①②④
7．方程()()f x f x '=的实数根0x 叫作函数()f x 的“新驻点”，如果函数()ln g x x =的“新驻点”为a ，那么
a 满足（ ）
A ．1a =
B ．01a <<
C ．23a <<
D ．12a <<
8．已知ABC ∆是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得2DE EF =，则AF BC ⋅的值为（ ） A ．
118
B ．
54
C ．
14
D ．
18
9．复数z 满足()11i z i +=-，则z =（ ）
A ．1i -
B ．1i +
C ．
2222
i - D ．
22
22
i + 10．执行如图所示的程序框图后，输出的值为5，则P 的取值范围是（ ）.
A ．37,48⎛⎤
⎥⎝⎦
B ．59,
610⎛⎤
⎥⎝⎦
C ．715,
816⎛⎤
⎥⎝⎦
D ．1531,1632⎛⎤
⎥⎝⎦
11．随着人民生活水平的提高，对城市空气质量的关注度也逐步增大，下图是某城市1月至8月的空气质量检测情况，图中一、二、三、四级是空气质量等级，一级空气质量最好，一级和二级都是质量合格天气，
下面叙述不正确的是（ ）
A ．1月至8月空气合格天数超过20天的月份有5个
B ．第二季度与第一季度相比，空气达标天数的比重下降了
C ．8月是空气质量最好的一个月
D ．6月份的空气质量最差.
12．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（ ）
A ．
78
B ．
158
C ．
3116
D ．
1516
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．若
i
21i
a -=+，i 为虚数单位，则正实数a 的值为______. 14．已知函数()()2
21ln f x x f x '=+，则曲线()y f x =在1x =处的切线斜率为________.
15．若3
21()(2)573
f x kx k x k =
+--+在()0,2上单调递减，则k 的取值范围是_______ 16．()
5
2321--x x 的展开式中，2x 的系数是__________. (用数字填写答案) 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为：2
2t t t t
e e x e e y --⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩
（其中t 为参数），直线l
的参数方程为2x y ⎧
=+⎪⎪
⎨
⎪=⎪⎩
（其中m 为参数） （1）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C 的极坐标方程； （2）若曲线C 与直线l 交于,A B 两点，点P 的坐标为()2,0，求PA PB ⋅的值.
18．下表是某公司2018年5~12月份研发费用（百万元）和产品销量（万台）的具体数据：
（Ⅰ）根据数据可知y 与x 之间存在线性相关关系，求出y 与x 的线性回归方程（系数精确到0.01）； （Ⅱ）该公司制定了如下奖励制度：以Z （单位：万台）表示日销售，当[)0,0.13Z ∈时，不设奖；当
[)0.13,0.15Z ∈时，每位员工每日奖励200元；当[)0.15,0.16Z ∈时，每位员工每日奖励300元；当[)0.16,Z ∈+∞时，每位员工每日奖励400元.现已知该公司某月份日销售Z （万台）服从正态分布(),0.0001N μ（其中μ是2018年5-12月产品销售平均数的二十分之一），请你估计每位员工该月（按
30天计算）获得奖励金额总数大约多少元. 参考数据：
1
347n
i i
i x y
==∑，2
1
1308n i i x ==∑，21
93n
i i y ==∑84.50≈，
参考公式：相关系数n
i i x y nx y
r -=
∑y bx a =+中的1
2
21
n
i i
i n
i
i x y nx y
b x
nx
==-=
-∑∑，
若随机变量x 服从正态分布(
)2
,N μσ
，则()0.6826P x μσμσ-<≤+=，
()220.9544P x μσμσ-<≤+=.
19．（6分）已知函数()|1||21|f x x x =++- （1）解不等式()2f x x ≤+；
（2）若函数()|2019||2021|g x x x a =+++-，若对于任意的1x R ∈，都存在2x R ∈，使得
()()12f x g x =成立，求实数a 的取值范围.
20．（6分）如图，正方形ABCD 所在平面外一点满足PE PF =，其中E F 、分别是AB 与AD 的中点.
（1）求证：EF PC ⊥； （2）若4,
26AB PE PF ===，且二面角P EF C --的平面角的余弦值为
311
，求BC 与平面PEF 所成角的正弦值.
21．（6分）在开展学习强国的活动中，某校高三数学教师成立了党员和非党员两个学习组，其中党员学习组有4名男教师、1名女教师，非党员学习组有2名男教师、2名女教师，高三数学组计划从两个学习组中随机各选2名教师参加学校的挑战答题比赛.
（1）求选出的4名选手中恰好有一名女教师的选派方法数；
（2）记X 为选出的4名选手中女教师的人数，求X 的概率分布和数学期望.
22．（8分）已知抛物线2:4C x y =与直线:220l x y --=.
（1）求抛物线C 上的点到直线l 距离的最小值；
（2）设点()00,P x y 是直线l 上的动点，()1,1Q 是定点，过点P 作抛物线C 的两条切线，切点为A ，B ，求证A ，Q ，B 共线；并在3AQ QB =时求点P 坐标.
23．（8分）为了解网络外卖的发展情况，某调查机构从全国各城市中抽取了100个相同等级地城市，分别调查了甲乙两家网络外卖平台（以下简称外卖甲、外卖乙）在今年3月的订单情况，得到外卖甲该月订单的频率分布直方图，外卖乙该月订单的频数分布表，如下图表所示.
订单：（单位：万件）
[)3,5 [)5,7 [)7,9 [)9,11
（1）现规定，月订单不低于13万件的城市为“业绩突出城市”，填写下面的列联表，并根据列联表判断是否有90%的把握认为“是否为业绩突出城市”与“选择网络外卖平台”有关.
（2）由频率分布直方图可以认为，外卖甲今年3月在全国各城市的订单数Z （单位：万件）近似地服从
正态分布2
(,)N μσ，其中μ近似为样本平均数x （同一组数据用该区间的中点值作代表），σ的值已求出，
约为3.64，现把频率视为概率，解决下列问题：
①从全国各城市中随机抽取6个城市，记X 为外卖甲在今年3月订单数位于区间(4.88,15.8)的城市个数，求X 的数学期望；
②外卖甲决定在今年3月订单数低于7万件的城市开展“订外卖，抢红包”的营销活动来提升业绩，据统计，开展此活动后城市每月外卖订单数将提高到平均每月9万件的水平，现从全国各月订单数不超过7万件的城市中采用分层抽样的方法选出100个城市不开展营销活动，若每按一件外卖订单平均可获纯利润5元，但每件外卖平均需送出红包2元，则外卖甲在这100个城市中开展营销活动将比不开展营销活动每月多盈利多少万元？
附：①参考公式：22
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.
参考数据：
②若2(,)Z N μσ-，则()0.6826P Z μσμσ-<≤+=，(22)0.9544P Z μσμσ-<≤+=.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5
分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．B 【解析】 【分析】
构造函数()()1F x f x =-，判断出()F x 的单调性和奇偶性，由此求得不等式()()12f a f a ++>的解集. 【详解】
构造函数()()11ln
1x F x f x x x +=-=+-，由101x
x
+>-解得11x -<<，所以()F x 的定义域为()1,1-，且()()111ln
ln ln 111x x x F x x x x F x x x x +--⎛⎫
-=-=--=-+=- ⎪-++⎝⎭
，所以()F x 为奇函数，而()12ln
ln 111x F x x x x x +⎛
⎫=+=-++ ⎪--⎝⎭
，所以()F x 在定义域上为增函数，且()0ln100F =+=.由()()12f a f a ++>得()()1110f a f a -++->，即()()10F a F a ++>，所以10
11102111
a a a a a ++>⎧⎪
-<<⇒-<<⎨
⎪-<+<⎩
. 故选：B 【点睛】
本小题主要考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式，属于中档题. 2．D 【解析】 【分析】 【详解】
如图所示，设2211||,||,||,||QF PF PF QF 依次构成等差数列{}n a ，其公差为d .
根据椭圆定义得12344a a a a a +++=，又123a a
a +=，则1111111()(2)(3)4()2a a d a d a d a
a a d a d
++++++=⎧⎨
++=+⎩，解得
25d a =，12342468,,,5555a a a a a a a a ====.所以18||5QF a =，16||5PF a =，24||5PF a =，6||5
PQ a =.
在12PF F △和1
PFQ 中，由余弦定理得2222221246668
()()(2)()()()55555cos 4666225555a a c a a a F PF a a a a +-+-∠==⋅⋅⋅⋅，整理解得105
c e a ==
.故选D ． 3．B 【解析】 【分析】
令()f x t =，则2230t at a -+=，由图象分析可知2230t at a -+=在(2,4]上有两个不同的根，再利用一元二次方程根的分布即可解决. 【详解】
令()f x t =，则2230t at a -+=，如图
y t =与()y f x =顶多只有3个不同交点，要使关于x 的方程[]2()2()30f x af x a -+=有
六个不相等的实数根，则2230t at a -+=有两个不同的根12,(2,4]t t ∈， 设2
()23g t t at a =-+由根的分布可知，
24120(2,4)(2)0(4)0a a a g g ⎧∆=->⎪
∈⎪⎨
>⎪⎪≥⎩
，解得16
35a <≤. 故选：B. 【点睛】
本题考查复合方程根的个数问题，涉及到一元二次方程根的分布，考查学生转化与化归和数形结合的思想，是一道中档题. 4．B
【分析】
在,AB AC 上分别取点E F 、,使得1
2,2
AE EB AF FC ==, 可知AEDF 为平行四边形，从而可得到21
33
AD AE AF AB AC =+=+，即可得到答案．
【详解】
如下图，12BD DC =
，在,AB AC 上分别取点E F 、,使得1
2,2
AE EB AF FC ==, 则AEDF 为平行四边形，故21
33
AD AE AF AB AC =+=+,故答案为B.
【点睛】
本题考查了平面向量的线性运算，考查了学生逻辑推理能力，属于基础题． 5．C 【解析】 【分析】
充分利用正方体的几何特征，利用线面平行的判定定理，根据//EF AC 判断A 的正误.根据
1111//,//GH A C A C AC ，判断B 的正误.根据11//,EH C D C D 与 1D C 相交，判断C 的正误.根据
11//A B D C ，判断D 的正误.
【详解】
在正方体中，因为//EF AC ，所以//EF 平面1ACD ，故A 正确.
因为1111//,//GH A C A C AC ，所以//GH AC ，所以//GH 平面1ACD 故B 正确. 因为11//A B D C ，所以1//A B 平面1ACD ，故D 正确.
因为11//,EH C D C D 与 1D C 相交，所以 EH 与平面1ACD 相交，故C 错误. 故选：C 【点睛】
本题主要考查正方体的几何特征，线面平行的判定定理，还考查了推理论证的能力，属中档题. 6．A 【解析】
先根据函数()sin 23f x x πω⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
在区间(,2)ππ内没有最值求出15
12224
k k ω-
+或51112224k k ω+
+.再根据已知求出11
32
ω<，判断函数的单调性和零点情况得解. 【详解】
因为函数()sin 23f x x πω⎛
⎫
=- ⎪⎝
⎭
在区间(,2)ππ内没有最值. 所以22422
332
k k π
π
π
π
πωπωππ-
-
<-
+
，或32242,2
3
3
2
k k k π
π
π
π
πωπωππ+
-
<-
+
∈Z 解得1512224k k ω-+或511
12224k k ω++. 又212,23T ππωω=>，所以11
32
ω<. 令0k =.可得511,1224ω⎡⎤
∈⎢
⎥⎣⎦
.且()f x 在(,2)ππ上单调递减. 当[0,]x π∈时，2,2333x π
π
πωπω⎡⎤-
∈--⎢⎥⎣⎦，且72,3212ππππω⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦
， 所以()f x 在[0,]π上只有一个零点. 所以正确结论的编号②④ 故选：A. 【点睛】
本题主要考查三角函数的图象和性质，考查函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 7．D 【解析】 【分析】
由题设中所给的定义，方程()()f x f x '
=的实数根0x 叫做函数()f x 的“新驻点”，根据零点存在定理即可
求出a 的大致范围 【详解】
解：由题意方程()()f x f x '
=的实数根0x 叫做函数()f x 的“新驻点”，
对于函数()g x lnx =，由于1()g x x
'=， 1lnx x
∴=
， 设1
()h x lnx x
=-
，该函数在(0,)+∞为增函数，。