§9-1 RLC串联电路的零输入响应
RLC串联电路的零输入响应——临界阻尼情况
例8-3 图8-3所示电路，C=1F，L=1/4H，R=1；uC(0)= –1V， iL(0)= 0；t≥0时uoc(t)=0。试求iL(t)，t≥0。
( ) 解：电路固有频率为
s1, 2 = –
R 2L
R
2
–
1
2L
LC
=–2
电路属于临界阻尼状态。
iL(t) = K1e –2 t + K2te –2 t A，t≥0
O 0.5
t
图8-8 临界阻尼时的零输入响应iL(t)
电路分析基础——第二部分：第八章 目录
第八章 二 阶 电 路
1 LC电路中的正弦震荡
2 RLC电路的零输入响应 ——过阻尼情况
3 RLC电路的零输入响应 ——临界阻尼情况
4 RLC电路的零输入响应 ——欠阻尼情况
5 直流RLC串联电路的完全响应
6 GCL并联电路的分析
7 一般二阶电路
电路分析基础——第二部分：8-3
duC dt
=
– uC(0)2Cte – t + iL(0)(1–t)e – t A t≥0
（8-31）
电路分析基础——第二部分：8-3
2/3
从(8-30)和(8-31)两式可知：电路电路响应仍然是非震荡性的，但 如果电阻稍稍减小一点点，以致R2 < 4L/C，则响应将为震荡性。 因此，符合条件R2 = 4L/C时的响应处于临近震荡状态，称为临 界阻尼(critically damped)情况。
iL(0) = K1 = 0
i’L(0) = s1K1 + K2 = –2K1 + K2 di 又根据KVL，可得 uL(0)+uC(0)+uR(0)=L dt
电路实验报告
实验一 元件特性的示波测量法一、实验目的1、学习用示波器测量正弦信号的相位差。
2、学习用示波器测量电压、电流、磁链、电荷等电路的基本变量3、掌握元件特性的示波测量法，加深对元件特性的理解。
二、实验任务1、 用直接测量法和李萨如图形法测量RC 移相器的相移ϕ∆即uC u sϕϕ-实验原理图如图5-6示。
2、 图5-3接线，测量下列电阻元件的电流、电压波形及相应的伏安特性曲线（电源频率在100Hz~1000Hz 内）： （1）线性电阻元件（阻值自选）（2）给定非线性电阻元件（测量电压范围由指导教师给定）电路如图5-7 3、按图5-4接线，测量电容元件的库伏特性曲线。
4、测量线性电感线圈的韦安特性曲线，电路如图5-55、测量非线性电感线圈的韦安特性曲线，电源通过电源变压器供给，电路如图5-8所示。
图 5-7 图 5-8这里，电源变压器的副边没有保护接地，示波器的公共点可以选图示接地点，以减少误差。
三、思考题1、元件的特性曲线在示波器荧光屏上是如何形成的，试以线性电阻为例加以说明。
答：利用示波器的X-Y方式，此时锯齿波信号被切断，X轴输入电阻的电流信号，经放大后加至水平偏转板。
Y轴输入电阻两端的电压信号经放大后加至垂直偏转板，荧屏上呈现的是u x,u Y的合成的图形。
即电流电压的伏安特性曲线。
3、为什么用示波器测量电路中电流要加取样电阻r，说明对r的阻值有何要求？答：因为示波器不识别电流信号，只识别电压信号。
所以要把电流信号转化为电压信号，而电阻上的电流、电压信号是同相的，只相差r倍。
r的阻值尽可能小，减少对电路的影响。
一般取1-9Ω。
四、实验结果1．电阻元件输入输出波形及伏安特性2．二极管元件输入输出波形及伏安特性实验二 基尔霍夫定律、叠加定理的验证 和线性有源一端口网络等效参数的测定一、实验目的1、加深对基尔霍夫定律、叠加定理和戴维南定理的内容和使用范围的理解。
2、学习线性有源一端口网络等效电路参数的测量方法3、学习自拟实验方案，合理设计电路和正确选用元件、设备、提高分析问题和解决问题的能力 二、实验原理 1、基尔霍夫定律：基尔霍夫定律是电路普遍适用的基本定律。
二阶电路
0
p1e p1tm
p e p2tm 2
0
tm
ln( p2 / p1 ) p1 p2
电感电压在随时间变化的过程中有一个极小值，令 duL 0 dt
求出极小值出现的时刻
t
2
ln( p2 p1
/ p1 ) p2
2t m
在电路的整个工作过程中，电容始终是释放电场能量。 t tm 时电感吸收能量，建立磁场；t tm 时电感释放能量，磁 场逐渐减弱。电阻一直吸收能量，最终将电路中全部能量转变 成热能。
L
di dt
U 0et
(1 t)
在整个过渡过程中，uc ,i,uL是单调衰减的函数，电路的放
电过程仍然属于非振荡性质，但是，恰好介于振荡和非振荡之
间，所以称之为临界非振荡过程。响应随时间变化的波形与过
阻尼情况相似。
动画演示：三种阻尼情况
华中科技大学出版社
11
湖北工业大学
例9.1 在图9-5所示的电路中，换路前电路处于稳态。 求t≥0换路后电容的电压uc和i。已知：
dt
华中科技大学出版社
14
9.2 零状态响应
湖北工业大学
在图9-6所示的基本RLC串联电路中，动态元件电容和电感
的初始值为零， t=0时换路，电源uS作用于电路，求t≥0时的 uc ,i,uL 。由于电路的初始状态为零，所以此时的响应称为二阶 电路的零状态响应。
回路的KVL方程为 uc uL uR uS
iL (0 ) C
0
A1
p2
p2 p1
,
A2
p1 p1 p2
信号与系统讲义-2
f (t) u 3 10
p
u pf (t) 2p 10
u(t) (Ae5t B)U(t)
2 du(t) 10u(t) df (t)
dt
dt
u(t) 5Ae5t U(t) (A B)(t)
2(A B) 1 B0
u(t) 1 e5tU(t)V 2
H
(
p)
2p2 8p 3 ( p 1)( p 3)2
求系统的响应 y(t)。
解： D(p) (p 1)(p 3)2 0 p1 1 p2 p3 3
y0 (t) K1e t K 2e3t K 3te3t
y0 (0 ) K1 K2 =2 y0 (0 ) K1 3K 2 K3=1
3、共轭复根：(欠阻尼) 即 R 2 L C
uc Aet cos(dt ) Us
R 2L
,
d
02 2 , 0
1 LC
4
三、 RLC串联电路全响应
d 2uc dt 2
R L
duc dt
1 LC
uc
1 LC Us
(二阶常系数线性非齐次微分方程)
t<0 , K在2,有 uc (0 ) U0
C
uc Aep1t Be p2t Us
2、重根：(临界阻尼) 即
R2
L C
（自然频率、固有频率）
uc (A Bt)ept Us
3、共轭复根：(欠阻尼) 即 R 2 L C
uc Aet cos(dt ) Us
R 2L
d 02 2
电路分析基础自测题(含大纲)-推荐下载
《电路分析》考试大纲（专科，专升本，本科）一.课程性质和目的本课程是高等学校工科（特别是电子类专业）的重要基础课，它具有较强的理论性，而对指导后续课程的学习具有普遍性。
通过学习，使学生掌握电路的基本概念，基本定律，基本定理，分析方法等，提高解题的灵活性。
培养学生分析问题解决问题的能力，为以后课程的学习打好基础。
本课程前修课程为“大学物理”及“高等数学”。
二.主要教材：《电路分析》胡翔骏编高等教育出版社三.内容及考核重点按教材章节列出，有*号的内容对专科不要求。
上篇电阻电路分析第1章电路的基本概念和定律1-1. 电路和电路模型: 集总参数, 电路模型。
1-2.电路的基本物理量：电流，电压，电功率，电位，关联参考方向。
1-3. 基尔霍夫定律：KCL , KVL及其推广。
1-4. 电阻元件：定义，线性非时变电阻的欧姆定律（VCR），功率，开路，短路的概念。
电阻器的额定值。
1-5. 独立电压源及独立电流源：定义及其性质。
1-6. 两类约束及电路方程。
1-7. 支路电流法和支路电压法。
1-8. 分压电路和分流电路：熟记分压分流公式。
第2章线性电阻电路分析2-1.电阻单口网络：线性电阻串联、并联、混联的等效电阻。
独立电压源串联，独立电流源并联。
含独立源电阻单口网络的两种等效电路及等效互换。
*2-2.电阻星形联接与三角形联接：相互等效变换的公式。
2-3.网孔分析法：列写方程的方法和规律，含独立电流源电路网孔方程列写。
2-4.结点分析法：列写方程的方法和规律，含独立电压源电路结点方程列写。
*2-5.含受控源电路分析：四种受控源的描述方程及符号。
含受控源单口网络的等效。
含受控源电路的网孔方程列写及结点方程列写。
2-6.电路分析的基本方法：对本章的总结。
第4章网络定理4-1.叠加定理：线性电路及其性质。
叠加定理解题。
4-2.戴维宁定理：用戴维宁定理解题的步骤方法。
4-3.诺顿定理和含源单口网络的等效电路：用诺顿定理解题的步骤方法。
电工第9章暂态电路 (2)
Z ，
US
-jXC
UC
Z
R2
1
(C )2
,
arctan 1
RC
t =0
SR uS
i uC
C
R
XC
1
UC
jXC R jXC
US
jC
R 1
US
1
1
jRC
US
jC
1
U
U
, arctanRC
1 (RC)2
1 (RC)2
uC (t)
2U cos(t ) 1 (RC )2
全解：uC (t ) uC (t ) uC (t )
因为能量的存储和释放需要一个过程， 所以有电感或（和）电容的电路会存在 过渡过程。
思考：该电路存在暂态过程吗？
K t=0
+
U _
R UR
uS(t)
R
5V
+
_ uS(t)
uC
C
0
t (s)
研究暂态过程的意义
电路的暂态过程是一种自然现象，暂态过程的存在有 利有弊。
有利的方面：
在电子技术中常用它来产生各种特定波形的信号或 改善信号波形；比如产生锯齿波、三角波、尖脉冲等， 应用于电子电路。 不利的方面：
图中， 电路处于稳态，t=0 时开关S闭合，求iL(t)。
L
diL dt
iLR
US
L R
diL dt
iL
US R
iL
US R
Ae t
I Aet ，
t
0 时, iL(0 )
US R0
R
I0
L
R
t
时, iL()
实验四冲激响应与阶跃响应零输入与零状态响应概述.
W 1 01 T P10 1 5K
L 1 01 1 0m H
3
C1 02 0 . 01 uF
VCC
• 电路原理图中，其阶跃响应有三种状态：
• 当电阻
L R2 C
时，称过阻尼状态；
• 当电阻
• 当电阻
L 时，称临界阻尼状态； R2 C L 时，称欠阻尼状态。 R2 C
8
2、零输入和零状态响应
R + 则系统的响应为： + Vc(0-) + Vc(t)
实验四
阶跃响应与冲激响应/
零输入与零状态响应
一、实验目的 1、观察和测量RLC串联电路的阶跃响应与冲激响 应的波形和有关参数，并研究其电路元件参数变化 对响应状态的影响。
2、掌握有关信号时域的测量方法。
3、熟悉系统的零输入响应与零状态响应的工作原
理及特性的观察方法。
二、实验原理 1、RLC串联电路的阶跃响应与冲激响应
应输出点TP202的波形 ；
（2）零输入响应
调节电位器W202，观察一阶RC系统的零输入
响应输出点TP203的波形 ；
TP202 TP201
零状态响应
TP203
零输入响应
• 分别调节电位器 W201和 W202，观察系统不同 的输入信号表征出不同的响应波形，分析全响应
与零输入响应、零状态响应的关系。
e(t)
VC (t ) e
t RC
1 VC (0) e Rห้องสมุดไป่ตู้ 0
t
1 ( t ) RC
e( )d
第一项与输入激 励无关,称之为 零输入响应
第二项与起始储能无关， 只与输入激励有关，被称 为零状态响应。
典型rlc二阶电路公式大全
典型rlc二阶电路公式大全
RLC二阶电路的公式包括阻抗公式、复数阻抗公式、零输入响应公式、零状态响应公式等。
阻抗公式为Z=R+j(ωL−1/ωC)，其中R表示电阻，j表示虚数单位，ω表示角频率，L表示电感，C表示电容。
复数阻抗公式为Z=R+j(Xr+Xl)，其中R表示电阻，Xr表示串联谐振阻抗，Xl表示并联谐振阻抗。
零输入响应公式包括过阻尼情况、临界阻尼情况和欠阻尼情况。
过阻尼情况为Z1=R+j(ωL−1/ωC)，欠阻尼情况为Z2=R+j√(ω0^2−ω^2)，临界阻尼情况为Z3=R。
零状态响应公式包括全响应情况、非全响应情况和强迫响应情况。
全响应情况为fai(t)=e−αt[fai(0)+fai'(0)t]，非全响应情况为fai(t)=e −αt[fai(0)+fai'(0)t+βt^2]，强迫响应情况为fai(t)=e−
s1t[fai(0)+fai'(0)t+βt^2]+e−s2t[fai'(0)t+βt^2]，其中fai表示全响应，α表示自然衰减系数，β表示强迫衰减系数，s1和s2分别表示实部和虚部等于零的频率点。
RLC串联电路的零输入响应——临界阻尼情况
1/3
8-3 RLC串联电路的零输入响应——临界阻尼情况
( ) 图8-3电路中，若
R 2L
2
=
1 LC
，亦即R2
=
4
L C
时，固有
频率为相等的负实数，齐次方程的解可表示为
uC(t) = K1e – t + K2te – t V，s1 = s2 = –
iL(t) = K1e – t + K2te – t A，s1 = s2 = – 其中常数K1 和 K2 由初始条件确定。其确定方法为
电路分析基础——第二部分：第八章 目录
第八章 二 阶 电 路
1 LC电路中的正弦震荡
2 RLC电路的零输入响应 ——过阻尼情况
3 RLC电路的零输入响应 ——临界阻尼情况
4 RLC电路的零输入响应 ——欠阻尼情况
5 直流RLC串联电路的完全响应
6 GCL并联电路的分析
7 一般二阶电路
电路分析基础——第二部分：8-3
（b）
由(a)、(b)两式可得 K1 = 0， K2 = 4
因此
iL(t) = 4te –2 t A ,
t≥0
顶点计算：令diL/dt = 0，可得 4te –2 t(1-2t)=0，即t=0.5S，代入 原式可得 iL(0.5) = 4×0.5e –2 ×0.5 = 2/e = 0.7376
iL(A) 0.74
iL(0) = K1 = 0
i’L(0) = s1K1 + K2 = –2K1 + K2 di 又根据KVL，可得 uL(0)+uC(0)+uR(0)=L dt
0+uC(0)+Ri(0)=0
i’L(0) = – uC(0)/L = 4
RLC串联电路的零输入响应——临界阻尼情况
RLC串联电路的零输入响应——临界阻尼情况RLC串联电路是由电感、电阻和电容三个元件组成的电路。
在该电路中，当电源不加电时，电感和电容会有一定的电荷和电流分布，这种分布会导致零输入响应。
零输入响应是指在没有外部输入信号的情况下，电路中的元件之间会通过内部能量的转移来产生一种响应。
在RLC串联电路中的零输入响应，临界阻尼是其中一种情况。
当电路中的电阻大小等于阻尼电阻临界阻值时，电路呈现临界阻尼特性。
临界阻尼是指电路中的电荷和电流衰减的速度最快，衰减到零的时间最短。
在临界阻尼情况下，电路的阻尼电阻大小等于等效电阻R，即R=2√(L/C)，其中L表示电感的感值，C表示电容的容值。
在临界阻尼情况下，电路的特性如下：1.电路的过渡过程较快：在临界阻尼条件下，电路的过渡过程最快，电荷和电流的衰减速度较大，因此电路的过渡时间相对较短。
2.电路的振荡最小：临界阻尼条件下，电路没有振荡现象，电荷和电流没有来回变化的过程。
电路的响应呈现出衰减的趋势，最终衰减至零。
3.电路的振荡频率：在临界阻尼情况下，电路的振荡频率为共振频率，即f=1/(2π√(LC))。
在RLC串联电路临界阻尼情况下，可以通过解微分方程的方法求解零输入响应。
设电容电压为v(t)，电感电流为i(t)。
电路的微分方程为：L(di(t)/dt) + Ri(t) + (1/C)∫i(t)dt = 0对该微分方程进行求解，并考虑初始条件，可以得到电流i(t)的表达式：i(t) = I_0e^(-Rt/2L)[cos(ωt) + (R/2L)sin(ωt)] + I_1e^(-Rt/2L)[sin(ωt) - (R/2L)cos(ωt)]其中，I_0和I_1为常数，ω为角频率，ω=√(1/LC-(R/2L)^2)。
零输入响应主要体现在电感电流i(t)和电容电压v(t)的变化上。
通过解析上述表达式，可以得到i(t)和v(t)的变化规律。
在临界阻尼情况下，电路的过渡过程较快，电流和电压的大小随时间呈指数衰减的趋势，直至衰减到零。
rlc电路零输入响应的求解方法
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高二物理竞赛课件RLC串联电路的零输入响应
iC 2 (t )
C2
duC 2 (t ) dt
34
d dt
t
[e 25 (t)]
[12
(t
)
12
e
t
25
(t
)]A
25
iC
2
(t
)
[12
(t
)
12 25
e
t
25
(
t
)]A
电流ic2(t)中冲激部分的强度等于电容元件C2上电荷 的跳变量 :
q2 C2uC2(0 ) C2uC2(0 ) (3 4 0) C 12 C
根据节点电荷不变的原则可得
C1uC1(0 ) C2uC 2 (0 ) C1uC1(0 ) C2uC 2 (0 ) (C1 C2 )1 uC (0 )
uC 1 (0
)
uC 2 (0
)
uc
(0
)
C1uC1(0 ) C1
C2uC C2
2
(0
)
210 0 V 4 V 5
2）t = ∞ 时
0.1s
例. 在图示电路中，C1=2 F，C2=3 F，R=5 ， uc1(0)=10 V，uc2(0)=0，求开关S闭合后的uc1(t) 、 ic1(t)、 uc2(t)和ic2(t)。
解：1）换路前t = 0 时 uc1(0)=10 V，uc2(0)=0 t = 0+时两电容并联 ，必有
uC1(0 ) uC2(0 ) uC (0 )
5) 求uL2 (t)
uL2
(t)
L2
diL2 (t ) dt
2
d
t
[(3 e 0.15 ) (t ) ]
dt
20 电路的暂态分析 RL串联电路的零输入响应《电工技术》教学教案
20 电路的暂态分析RL串联电路的零输入响应《电工技术》教学教案第一章：教学目标1.1 理解RL串联电路的概念1.2 掌握RL串联电路的零输入响应的原理1.3 能够应用RL串联电路的零输入响应分析实际电路第二章：教学内容2.1 RL串联电路的基本概念2.1.1 RL串联电路的组成2.1.2 RL串联电路的特点2.2 RL串联电路的零输入响应2.2.1 零输入响应的定义2.2.2 零输入响应的计算方法2.2.3 零输入响应的性质第三章：教学方法3.1 讲授法3.2 案例分析法3.3 互动讨论法第四章：教学步骤4.1 引入RL串联电路的概念，引导学生了解RL串联电路的组成和特点4.2 讲解RL串联电路的零输入响应的定义和计算方法4.3 分析RL串联电路的零输入响应的性质4.4 进行案例分析，让学生应用所学的知识分析实际电路的零输入响应4.5 进行课堂互动，让学生提出问题并回答问题，巩固所学的知识第五章：教学评价5.1 课堂讲解的评价5.2 案例分析的评价5.3 课堂互动的评价第六章：教学目标6.1 掌握RL串联电路零输入响应的数学表达式。
6.2 学会运用复数法分析RL串联电路的零输入响应。
6.3 能够分析实际电路中RL串联电路的零输入响应。
第七章：教学内容7.1 RL串联电路的零输入响应数学表达式7.1.1 电流和电压的数学表达式7.1.2 时间常数的概念7.2 复数法分析RL串联电路的零输入响应7.2.1 复数法的概念7.2.2 RL串联电路的零输入响应的复数分析7.3 实际电路的零输入响应分析7.3.1 实际电路的模型7.3.2 实际电路的零输入响应分析步骤第八章：教学方法8.1 演示法8.2 数值计算法8.3 小组讨论法第九章：教学步骤9.1 讲解RL串联电路的零输入响应数学表达式，让学生理解并掌握其含义。
9.2 利用复数法分析RL串联电路的零输入响应，让学生学会运用复数法进行分析。
9.3 进行实际电路的零输入响应分析，让学生应用所学知识解决实际问题。
9-1RLC串联电路的零输入响应
2. 情况。 3.
时，
为两个相等的实根。临界阻尼
时，
为共轭复数根。欠阻尼情况。
二、过阻尼情况
当 时，电路的固有频率s1，s2为两个不相同的
实数，齐次微分方程的解答具有下面的形式
式中的两个常数K1，K2由初始条件iL(0)和uc(0) 确定。
对式(9－5)求导，再令t=0得到
求解以上两个方程，可以得到
u3 (t) =ε( t)*[(
5.00
)* exp ( -3.00
t)]cos(
4.00
t -53.13 )
电 容 电 压 的 零 输 入 响 应 波 形
i2 (t) =ε( t)*[(
1.00
)* exp ( -3.00
t)]cos(
4.00
t +73.74 )
电 感 电 流 的 零 输 入 响 应 波 形
流的零输入响应。
图9－1 RLC串联二阶电路
解：将R，L，C的量值代入式(9-4)计算出固有频率的数值
将两个相等的固有频率s1=s2=-2 代入式（9－8）得到
利用电容电压的初始值uC(0)=-1V和电感电流的初始值
iL(0)=0得到以下两个方程
求解以上两个方程得到常数K1=-1和K2=-2，得到电容 电压的零输入响应
其振幅随时间按指数规律衰减，衰减系数 越大，衰减越
快。衰减振荡的角频率d 越大，振荡周期越小，振荡越快。
图中按Ke-t画出的虚线称为包络线，它限定了振幅的 变化范围。
4.在无阻尼情况，s1和s2是共轭虚数，固有频率出现在s
平面上的虚轴上，衰减系数为零，振幅不再衰减，形成角
频率为0的等幅振荡。
数根，它们可以表示为
《电路基础》第17讲 二阶电路分析 (1)
uL
L
di dt
0
U 0e
t
sin(
t
)
uC零点： t = -，2- ... n- ， uC 极值点为i零点。
i 零点： t =0, ，2 ... n ， i 极值点为uL零点。
U0
uc uL零点： t = , +，2+ ... n+
uC i
0
U0e
t
+
0 -
2- 2
t
uL
0
U0e
t
14
能量转换关系
0 < t<
uC减小，i 增大
L吸，C释
+
R
C -
L
< t < -
uC减小，i 减小
L释，C释
+
R
C -
L
- < t <
|uC |增大，i 减小
L释，C吸
+
R
C -
L
U0 uc uC i
0 -
0
U0
e
t
+ 2- 2
0
U
0
e
t
衰减振荡
t
欠阻尼
15
特例 R = 0 0
s1,2 ±j 0
us (t) (t)
LC
d 2uC dt 2
RC
duC dt
uC
uS
(t)
d 2uC dt 2
R L
duC dt
1 LC
uC
1 LC
(t)
C + uL L -
18
d 2uC dt 2
RLC串联电路的零输入响应与阶跃响应
南京工程学院
电力工程学院
2011 / 2012学年第二学期
实验报告
课程名称电路实验（二）
实验名称二阶电路动态变化过程
的仿真分析
班级名称电气101
学生姓名彭磊
学号 1
同组学生姓名秦飞
实验时间
实验地点工程实践中心9-229
实验报告成绩：评阅教师签字：
年月日
电力工程学院二〇〇七年制
图3 RLC串联电路的零输入响应和阶跃响应
（开关从上拨到下）
图 4 零输入响应（开关从下拨到上）
（b）R=5kΩ时，零输入响应过阻尼电路，电路如图5所示。
开关从上拨到下是零输入响应，开关从下拨到上是阶跃响应。
V1 12 V
J1
Key = Space
R1
L1
1mH
C1
1nF
XSC1
A B
Ext Trig
+
+
_
_+_图 7 等幅电路
四、仿真结果
1、阶跃响应
图 8 Uc的阶跃响应波形
图 9 iL的阶跃响应波形2、RLC串联电路的零输入响应和阶跃响应
图 10 零输入响应临界阻尼波形
图 11 阶跃响应临界阻尼波形
图 12 零输入响应过阻尼波形
图 13 阶跃响应过阻尼波形
图 14 零输入响应欠阻尼波形
图 15 阶跃响应欠阻尼波形
图 16 零输入响应等幅波形。
RLC串联电路的零状态响应
燕山大学课程设计说明书题目： RLC串联电路的零状态响应学院（系）：理学院年级专业： 11级电子信息科学与技术学号：学生姓名：指导教师：教师职称：燕山大学课程设计（论文）任务书院（系）：基层教学单位：说明：此表一式四份，学生、指导教师、基层教学单位、系部各一份。
年月日燕山大学课程设计评审意见表RLC串联电路的零状态响应理学院11级电子信息二班摘要：一般的电路教材讲述了二阶电路冲击响应，但没有介绍二阶电路零状态响应，这对于理解二阶电路的特性，特别是在正弦交流电源作用下的二阶电路零状态响应特性是不利的。
本文推导正弦交流电源作用下的RLC串联电路的零状态响应，利用matlab进行模拟，将电容电压和电感电流的零状态响应曲线描绘出来；根据电路参数设置的不同，分过阻尼、欠阻尼、临界阻尼三种情况讨论。
关键字：RLC串联电路零状态响应正弦交流电源matlabThe zero state response of RLC series circuitClass two grade 11 Science College of electronic information Abstract:circuit materials generally tells the story of two order circuit impulse response, but not the zero state response of two order circuit, the understanding of characteristics of two order circuit, especially the zero state two order circuit in a sinusoidal AC power supply under the action of the response is negative. The zero state in this paper, a sinusoidal AC power supply under the action of the RLC series circuit response, was simulated with MATLAB, the zero state of capacitance voltage and inductance current response curve traced; according to the circuit parameter set is different, is divided over damping, less discussed, three kinds of critical damping damping.Keywords:RLC series circuit, the zero state response to sinusoidal AC power supply matlab1、引言电路原理是电子信息学科的主干课程，也是高等学校电子信息与电气信息类专业的基础课程，在电类专业学生知识结构中处于关键地位。
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图9－1 RLC串联二阶电路
解：将R，L，C的量值代入式(9-4)计算出固有频率的数值
R 1 R s1， 3 32 52 3 j4 2 2L 2 L LC
2
将两个不相等的固有频率 s1=-3+j4 和 s2=-3-j4 代入式 （9－11）得到
iL ( t ) ( 3e 2 t 4e 4 t )( t )A
电 感 电 流 的 零 输 入 响 应 波 形
DNAP程序可以画出响应的波形。
三、临界情况
当 R2
L 时，电路的固有频率s1, s2为两个相同的实 C
数s1=s2=s 。齐次微分方程的解答具有下面的形式
uC ( t ) K 1e st K 2 te st
( 9 4)
LCs2 RCs 1 0
R 1 R s1， 2 2 L 2 L LC
2
电路微分方程的特征根，称为电路的固有频率。当R， L，C的量值不同时，特征根可能出现以下三种情况
L 1. R 2 时， s , s 为不相等的实根。过阻尼情况。 1 2 C
越小，单位时间消耗能量越少，曲线衰减越慢。
当例9－3中电阻由R=6Ω减小到R=1Ω，衰减系数由3
变为0.5时，用计算机程序DNAP得到的电容电压和电感电
流的波形曲线，如图9－4(c)和(d)所示，由此可以看出曲线 衰减明显变慢。假如电阻等于零，使衰减系数为零时，电 容电压和电感电流将形成无衰减的等幅振荡。
电 容 电 压 的 零 输 入 响 应 波 形
i2 (t) =ε( t)*[(
.690
)* exp ( -.500
t)]cos(
4.97
t +66.08 )
iL ( t ) 0.69e 0.5 t cos(4.97 t 66.08 )( t )A
电 感 电 流 的 零 输 入 响 应 波 形
L 2. R 2 时， s1 , s2 为两个相等的实根。临界阻尼 C
情况。 3. R 2
L 时， s1 , s2 为共轭复数根。欠阻尼情况。 C
二、过阻尼情况
L 当 R 2 时，电路的固有频率s1，s2为两个不相同的 C
实数，齐次微分方程的解答具有下面的形式
uC (t ) K1e s1t K 2e s2t
电 容 电 压 的 零 输 入 响 应 波 形
iL ( t ) 4te 2 t ( t )A
电 感 电 流 的 零 输 入 响 应 波 形
四、欠阻尼情况
当 R 2 L 时，电路的固有频率s1，s2为为两个共轭复 数根，它们可以表示为
s1， 2 R 1 R j 02 2 j d 2 L 2 L LC
为了得到图9－1所示RLC 串联电路的微分方程，先列出 KVL方程
图9－1 RLC串联二阶电路
uR ( t ) uL (t ) uC ( t ) uS (t )
duc i ( t ) i L ( t ) iC ( t ) C dt duc d 2 uc di uR ( t ) Ri ( t ) RC uL ( t ) L LC 2 dt dt dt
第九章 二阶电路分析
由二阶微分方程描述的电路称为二阶电路。 分析二阶电路的方法仍然是建立二阶微分方程，
并利用初始条件求解得到电路的响应。本章主要
讨论含两个动态元件的线性二阶电路，重点是讨
论电路的零输入响应。最后介绍如何利用计算机
程序分析高阶动态电路。
§9－1 RLC串联电路的零输入响应
一、RLC串联电路的微分方程
(9 5)
式中的两个常数K1，K2由初始条件iL(0)和uc(0) 确定。
uC (0) K1 K 2
对式(9－5)求导，再令t=0得到
(9 6)
duC ( t ) dt
t 0
i L ( 0) K 1 s1 K 2 s2 C
(9 7)
求解以上两个方程，可以得到
1 K1 ＝ s2 s1 － 1 K2 ＝ s1 s2 － iL ( 0) s2 uC (0) C iL ( 0) s1 uC (0) C
令式(9-5)中的t=0得到
( 9 8)
式中的两个常数K1，K2由初始条件iL(0)和uC(0) 确定。
uC (0) K 1
( 9 9)
对式(9－5)求导，再令得到
duC ( t ) dt
t 0
i L ( 0) K1 s K 2 C
(9 10)
联立求解以上两个方程，可以得到
K 1 uC (0) K2 i L ( 0) s1uC (0) C
将 K1, K2的计算结果，代入式（9－8）得到电容电压
的零输入响应，再利用KCL方程和电容的VCR可以得到电 感电流的零输入响应。
例9-2 电路如图9-1所示。已知已知R=1 ，L=0.25 H， C=1 F，uC(0)=-1V，iL(0)=0，求电容电压和电感电
应
duC iL ( t ) iC ( t ) C ( 3e 2 t 4e 4 t )A dt
路各元件的能量交换过程。
( t 0)
从图示电容电压和电感电流的波形曲线，可以看出电
uC ( t ) (6e 2 t 4e 4 t )( t )V
电 容 电 压 的 零 输 入 响 应 波 形
uC ( t ) ( e
2 t
2te )V
2 t
( t 0)
得到电感电流的零输入响应
duC i L ( t ) iC ( t ) C dt ( 2e 2 t 2e 2 t 4te 2 t )A 4te 2 t A ( t 0)
uC ( t ) ( e
uC (0) K 1 K 2 2 duC ( t ) dt
t 0
i L ( 0) 2 K 1 4 K 2 4 C
K1=6
K2=-4
最后得到电容电压的零输入响应为
uC ( t ) (6e
2 t
4e )V
4 t
( t 0)
利用KCL和电容的VCR方程得到电感电流的零输入响
式中
(9 11)
K K K
2 1
2 2
K2 arctan K1
由初始条件iL(0)和uC(0)确定常数K1，K2后，得到电容
电压的零输入响应，再利用KCL和VCR方程得到电感电流 的零输入响应。
例9-3 电路如图9-1所示。已知R=6, L=1H, C=0.04F, uC(0)=3V，iL(0)=0.28A，求电容电压和电感电流的 零输入响应。
uC ( t ) e 3t [ K 1 cos 4t K 2 sin( 4t ) ]
iL(0)=0.28A得到以下两个方程
uC (0) K 1 duC ( t ) dt
t 0
( t 0)
利用电容电压的初始值uC(0)=3V和电感电流的初始值
3 K 1 4 K 2
i L ( 0) 7 C
根据前述方程得到以下微分方程
d 2 uC duC LC 2 RC uC uS ( t ) dt dt
零输入响应方程为
(9 1)
这是一个常系数非齐次线性二阶微分方程。
d 2 uC duC LC RC uC 0 2 dt dt
其特征方程为 其特征根为
( 9 2)
(9 3)
t)]cos(
4.00
t +73.74 )
iL ( t ) e 3t cos(4t 73.74 )( t )A
电 感 电 流 的 零 输 入 响 应 波 形
u3 (t) =ε(t)*[(
3.45
)* exp ( -.500
t)]cos(
4.97
t -29.66 )
uC ( t ) 3.45e 0.5 t cos(4.97 t 29.66 )( t )A
2
C
其中
R 2L
称为衰减系数 1 称为谐振角频率 称为衰减谐振角频率
0
LC
d 02 2
齐次微分方程的解答具有下面的形式
uC ( t ) e t [ K 1 cos( d t ) K 2 sin( d t )] Ke t cos( d t )
2 t
2te )V
2t
2 t
( t 0) ( t 0)
iL ( t ) iC ( t ) 4te A
曲线，如图9－3所示。
根据以上两个表达式用计算机程序DNAP画出的波形
(a) 电容电压的波形 (b) 电感电流的波形 图9－3 临界阻尼情况
uC ( t ) ( e 2 t 2te 2 t )( t )V
uc ( t ) K 1e 2 t K 2 te 2 t
( t 0)
利用电容电压的初始值uC(0)=-1V和电感电流的初始值
iL(0)=0得到以下两个方程
uC (0) K 1 1 duC ( t ) dt
t 0
i L ( 0) 2 K 1 K 2 0 C
求解以上两个方程得到常数K1=-1和K2=-2，得到电容 电压的零输入响应
u3 (t) =ε( t)*[(
5.00
)* exp ( -3.00
t)]cos(
4.00
t -53.13 )
uc ( t ) 5e 3t cos(4t 53.1 )( t )V
电 容 电 压 的 零 输 入 响 应 波 形
i2 (t) =ε( t)*[(