《仿射算法研究3900字》

仿射算法研究综述
目录
仿射算法研究综述 (1)
1 仿射算法 (1)
1.1 仿射算法基本概念 (1)
1.2 非仿射算法基本操作 (3)
1.3 误差的传播 (8)
2 区间矩阵的仿射运算 (9)
2.1 区间矩阵的基本运算 (9)
2.2 仿射形式逆矩阵 (10)
2.3 矩阵的指数运算 (13)
1 仿射算法
1.1 仿射算法基本概念
（1）区间的另一种表达式
区间也可以用“中点和半径”来表示。

假设存在一个区间[],x a b =，由式(2.2)到式(2.4)可以推出区间x -
记为：
11()[()()]22
1()()[1,1]2
()()[1,1]x m x x x m x x m x x r ωωω=+-=+-=+-， (1) 令01(),()x m x x r x ==，则区间x -
可以表示为： 01[1,1]x x x =+-
（2）仿射算法
由上一章可以得知，区间算法虽然可以求解不确定条件下的边界解，但由于其局限性，区间算法可能会提供一个太宽的边界，即求解出的最值点太保守，可能会包含一些真值永远达不到的区域。

为了克服上述过于保守的问题，对式(1)进行改进，对每一个量都分配一个
新的系数，并且当两个或者两个以上的量同时出现了不确定性，就会自动地分配同样的系数。

添加一个新的噪声系数1ε，且1[1,1]ε∈-，则新的区间数x 可以表示成：
011x x x ε=+ (2)
这种通过添加新的噪声系数的方式即为“仿射方式”，噪声系数1ε代表着对
于总体不确定量的独立组成。

继续以章节2.1.3的例子为基础，区间值x -可以用式(1)中的仿射形式表示出来：10x ε=+，由于y x =-，存在一定的关联，所以两个区间值具有相同的噪声符号1ε，则区间值y 的仿射形式可以表示为：10y ε=-，则11(0)(0)0x y εε+=++-=。

通过仿射算法改进，消除了区间算法存在的过度估计问题。

在噪声模拟等实际环境中，可能会同时存在大量的变化对原始参数产生影响。

包含各种不确定项的量的一般仿射形式可以表示为：
0112201n n
n i i
i x x x x x x x εεεε==+++⋅⋅⋅+=+∑
(3.3) 每一个i ε表示一个不确定的独立组成，i x 表示要素的量级。

所以我们能很容易地从式(3.3)中得到x 的上界为0i i x x +∑，下界为0i i x x -∑。

（3）仿射算法基本操作
假设输入的仿射形式为：
0112201122n n
n n x x x x x y y y y y εεεεεε=+++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+
x ，y 之间的操作主要可以分为仿射操作和非仿射操作。

仿射操作是对输入
的仿射形式进行直接操作，得到的结果不包含二次项的。

比如，x y ±，
x α和x δ±在R ∈δα，时的仿射操作分别可以表示为：
()()()()()()()00111011011n n n
n n
n n
x y x y x y x y x x x x x x x x εεαααεαεδδεε±=±+±+⋅⋅⋅+±=++⋅⋅⋅+±=±++⋅⋅⋅+ (3.4)
而非仿射操作就是接下来所要研究的内容。

1.2 非仿射算法基本操作 非仿射操作如乘法、除法、倒数、平方根等运算方式会在结果中产生二次项的，在计算过程中需要做的是将新方程转换成线性仿射形式，而转换方式是采取添加新的噪声系数来替换其计算结果中的二次项。

（1）乘法运算
假设存在两个区间的仿射形式为：01n i i i x x x ε==+∑和01n
i i i y y y ε==+∑，则x ，y
相乘可以得到：
()00110000111n n i i i i i i n n n i i i i i i i i i i z x y
x x y y x y x y y x x y εεεεε======⋅⎛⎫⎛⎫=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
∑∑∑∑∑ (3.5)
由结果可知，产生了新的二次项11n n i i i i i i x y εε==⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
∑∑，添加一个新的噪声符号ζ来取代新产生的二次项，可以表示为：
()
1111n n n
n i i i i i i i i i i x y x y R xy εεζζ====⎛⎫⎛⎫⎛⎫≈= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑ (3.6) 这种方法虽然也能求出所需的结果的边界，但也会引入新的误差：添加新的噪声符号跳过了它与其他符号的相关性，会出现同区间算法相同的过度估计的问题，同时计算出来的新系数()R x y 也会计算出最大量级的ζ，同样无法避免过度估计的现象。

令00000,i i i z x y z x y y x ==+，则式(3.5)中的～z 可以优化为：
()
01n i i i z z z R x y εζ==++∑～ (3.7)
在仿射模型中，由于任何区间结果的上界与下界都是关于中心值对称的，因此如果0z 十分趋近区间真实的上界，到上界的距离远远小于到下界的距离，从而
导致对前一个点过度估计，如图1所示。

图1 仿射形式乘法的过度估计
另一个问题是在计算过程中添加了一个新的噪声符号。

随着计算的复杂程度的增大，噪声符号的数目也会随之增加，反之，计算效率也就会降低。

假设存在两个受两个不确定性影响的区间，其仿射形式可以表示为：121021x εε=++和131021y εε=-+，则他们的乘积可以表示为：
1223231213(1021)(1021)
1001010(2)(2)z x y
εεεεεεεεεε=⋅=++-+=++++-+ (3.8)
结果中的二次项系数用新的噪声系数4ε替代，则23410010109z εεε=+++，相应的上下界区间是[][]10029,1002971,129z =-+=。

然而，更精确的分析表明，二次项系数的确切范围在[]1,9-，因此，z 的真值
区间应该为[]121
,71。

由此可见，仿射近似法的相对精度为： (12171)/(12971)0.86--=
这与图1中过高估计的情况相对应，得到的标称值更接近真实的上限，因此在这一侧引入了误差。

（2）除法运算
除法相对于乘法更为复杂，
它可以转换为一个区间乘以另一个区间的倒数的
形式：
1x z x x y y ω⎛⎫==⋅=⋅ ⎪⎝⎭
(3.9) 为了更好地反求一个实际上是非仿射操作的仿射形式，我们借鉴了“极值仿射逼近”的结论：
01111n n
y y y y εε=++⋅⋅⋅+ 定理1：设f 为区间[,]I a b =上定义的有界二次可微函数，并且其二阶导数f ''在区间I 内不变号。

令()a f x x αζδ=+±在区间I 内是其极值仿射逼近。

因此：
◆ 系数α表示(()())/()f b f a b a --，直线()f x 的斜率只与点(,())a f a 和
(,())b f b 有关
◆ 在端点,a b 范围内，当()f u α'=时，会出现最大绝对误差
◆ 独立项ς表示(()())/2u f u r u ας+=+，最大绝对误差为|()()|/2f u r u δ=-
由定理1可知，求近似函数的问题可以转换为求拟合系数,αδζ和的最优解：
0111()n n y y y y
εεζδα≈++⋅⋅⋅++± (10) 这就是所谓的“切比雪夫近似”算法。

另外一种方法是“最小范围近似法”，它在计算区间倒数的编码中与之相似，但更容易。

如图2所示：假设存在[,]y c d ∈，在最值(,1/)d d 处的切线和与之斜率相同的穿过另外一个最值点(,1/)c c ，组成y 和1/y y αζδ=+±(图2.4中的阴影部分)。

虚线代表1/y 在y 区间范围内的中点。

图2 最小范围近似法
注意该区间内不能包含0，对此进行分类讨论。

假设区间值全部为正数(0)c >，则直线的斜率是1/y 在y d =时的导数，即2/1-d =α。

经过端点,c d 的虚线可以表示为：
21111c c d d d
δζδζ-=-++=-+ 对上式进行求解得：
22
1212c d
c d c d c d ζδ+=++=+ (11) 将新的噪声符号1n ε+赋值给新的参数δ，结果函数表示为：
011111...n n n n y
ωωωεωεωε++≈=++++ (12) 式中00y ωα=表示新的标称值，i i y ωα=表示初始噪声符号的系数，用新的符号11n n ωε++和1n ωδ+=组成式(10)计算出的新符号系数。

则仿射除法可以表示为：
1x z x x y y
ω⎛⎫==⋅=⋅ ⎪⎝⎭
因此，除法是在乘法的基础上进行计算的，但是比乘法更复杂一些，需要先
求出区间y 的倒数形式，再将两者相乘，而这两个过程中都会产生新的噪声符号。

另一种情况假设区间内的值全部为负数(0)d <时，需要进行的操作是相同的，这里就不作重复叙述。

（3）指数运算
根据定理1中的“切比雪夫近似算法”来计算区间y 在[,]c d 内的指数算法。

即近似求解exp()y ：
011011exp()exp()
()n n n n y y y y y y y εεαεεζδ=++⋅⋅⋅+≈++⋅⋅⋅++± (13)
如图3.3所示：同时经过端点(,)c c e 和(,)d d e 的直线1，在区间[,]c d 中有且只有一点u 的切线斜率与直线1斜率相等。

图中阴影部分包含exp()y 的所有可能值，也就是最小近似范围。

阴影部分中间的虚线：y αζ+与直线1平行，由此，可以求得虚线的斜率为：
d c
e e d c
α-=-
图3.3 切比雪夫近似算法求指数形式
两端点之间的最大误差出现在图中所示u 点，出现了异号，这一点的值为：
()(1ln )2
c e c αααμ---= 同样，最大误差的大小被赋予一个新的噪声符号，包括“最坏情况”。

参数
ζ
表示：
()(1ln )2
c e c αααζ-+-= 最终，对所有线性近似值进行筛选，函数最终可以表示为：
01111exp()n n n n y v v v v v εεε++≈=++⋅⋅⋅++ (14)
00v y αζ=+表示新的标称值，i i v y α=表示初始噪声符号的系数，1n v δ+=表示最大误差。

（4）对数运算
用“最小范围近似法”求在[,]c d 上的区间y 的对数运算，比如，估算函ln()y y αζδ≈+±，近似参数为：
1
(ln())(ln())2
(ln())(ln())2d
d d c c d d c c αααδααδ=
---=-+-= (15) 大多数单调函数都可以用上述两种近似方法估算。

值得注意的是，仿射算法和近似法不适用于周期函数，如正弦函数。

综上，仿射操作可以直接产生仿射形式，不会生成新的二次项；而非仿射操作更为复杂，会产生新的二次项，所以需要先将它转变为仿射形式，将输入的线性组合近似任何非线性函数，仿射和非仿射操作在精度和效率上都比区间方法有很大的提高，结合其他数值技术（如区间分割技术）有望减少过度估计产生的误差。

1.3 误差的传播
上面已经说过，在非仿射算法中，每次单独的操作都会产生附加的噪声符号。

在需要做大量乘法的情况下，随机变量的数量会不断增长，这在计算时间上是非常低效的。

这里通过给现有的不确定量分配额外的二次项，可以表示为：
01111()n
i i n i i i z z z R x y z ε==⎡⎤≈++⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑∑ (16) 这种方法没有生成新的不确定量，并且限定了z 的真实范围，但是，由于没有完整的对其进行严谨的数学理论公式推导，所以缺乏一定的严谨性，并不能达到最佳结果分布。

2 区间矩阵的仿射运算
2.1 区间矩阵的基本运算
由式(2.6)和(2.7)可以得知，__X 也可以用“中点和半径”的方法表示为：
0111()(),()221()()[1,1]2
[1,1]
X m X X X m X X X X ωωω⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦
=+-=+- (17) 添加一个新的系数1ε给变量进行赋值，则区间矩阵的仿射形式可以表示为：
011X X X ε=+ (18)
假设存在两个区间矩阵X 和Y ，其仿射形式可以表示为：
011011n n
n n X X X X Y Y Y Y εεεε=++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+
由式(3.4)和(3.7)可以得知，区间矩阵的基本运算可以表示为：
0011100001111()()()()n n n
n n
n
i i i i
i n i i i X Y X Y X Y X Y X Y X Y X Y Y X X Y εεεε+===±=±+±+⋅⋅⋅+±⎛⎫⨯=+++ ⎪⎝⎭∑∑∑ (19) 遗憾的是，由于切比雪夫法和最小范围近似法只适用于标量的求倒和指数运算，不适用矩阵的相关运算。

2.2 仿射形式逆矩阵
区间矩阵X 的逆矩阵可以表示为：
11011()n n X X X X εε--=++⋅⋅⋅+ (20)
除了标称值0X 外所有的变量区间都包含了随机系数1ε，如果将 1......i n =全
部带入运算，计算难度之大，耗费时间精力之多，显然都是不现实的，因此我们必须采取更适合的计算方式来解决这个问题。

当计算两个区间矩阵和的逆矩阵，其中一个矩阵可逆时，可以表述为： 假设A 是一个n 阶可逆区间矩阵，u 和v 是n 维的任意向量，
则有下面关系式： 11
11
1()1T T T A uv A A uv A v A u -----+=-+ (21) 其中T uv 表示u 和v 的输出结果，且110T v A u -+≠。

不难发现1T v A u -就是1()T A uv -的倒数形式。

这个公式仅被应用在秩()1T uv =时。

为了快速地得到相应结论，这里假设区间矩阵只包含一个随机系数：011X X X ε=+，并且矩阵满足秩为1，则有下列关系式：
()111101*********
1()1X X X X X X g Y Y εεε----+=-+=+ (22)
100Y X -=是新的标称值，1110101/(1)()Y g X X X --=-+⋅是1ε的新系数，当且仅当
1-≠g 时，秩为101()g X X -=。

接下来，考虑在式(20)中1X -的标准表达形式，当m 阶区间矩阵X 随着任意符号的变化而变化，并且每一个系数矩阵都以阶次排序。

为了满足式(21)中对秩的要求，首先要把每个系数矩阵分解为秩的形式：
1
1
0111
011121121222212()()()()n n m m n n nm n X
X X X X X X X X X X X X X εεεεε---=++⋅⋅⋅+⎡⎤
⎢⎥
+++⋅⋅⋅+⎢
⎥⎢⎥=+++⋅⋅⋅+⎢⎥+⋅⋅⋅⎢⎥⎢⎥++++⎣⎦
(23) 假设存在：
101110111()X X Y Y εε-+=+ (24)
则由式(22)可以逐步推导出：
10111121101111211110111011111101110111011111101110121
()(())1
()(()())11
()(()())1X X X X X X X X X X X X X g
Y Y Y Y X Y Y g
Y Y εεεεεεεεεεεεε-----++=++=+-+++=+-+++≈+ (25) 其中12Y 可以由“误差的传播”方法中的式(16)得出：
121101101111111111Y Y Y X Y Y X Y g g ⎛⎫=-- ⎪++⎝⎭
如此反复，则式(23)矩阵中的第一行可以表示为：
10111112121
0111112121
011011212011011212
()(())1()(()())
1m m m m m X X X X X X X X Y Y Y Y X Y X g
Y Y Y εεεεεεεεεεεε---++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅++=+-+++≈++ (26) 两个系数1m Y 和21Y 都可以用式(16)的方法得出：
11121121021012111
2(1)
11
(12m m m
m m
Y Y Y X Y g Y Y X Y Y X Y g =-
+=-++
对上述方法作一般性归纳：假设存在元素jk X ，下标表示其位置是在矩阵的
第j 行，第k 列，111jk jk j Y X X εε=+⋅⋅⋅+为jk X 前这一行所有噪声符号的和，
因此： 11
11
(1)1()1j k jk jk jk jk Y Y Y X Y g
----+=-
+ (27) 最后，X 的求逆计算为：
1
1011011()n n n n
X
X X X Y Y Y εεεε--=++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+ (28)
j jm Y Y =可由式(27)得出。

在这种反复运算的过程中，虽然计算步骤繁多，计算效率不高，不适用于大规模矩阵计算，但其优点是矩阵的区间操作不会产生新的随机系数ε。

另外一种方法叫做泰勒扩张法，两个矩阵之和的逆矩阵可以表示为：
1111111()A B A A BA A BA BA -------+=-+-⋅⋅⋅ (29)
结合式(20)可得：
1
011111
001101110
110
110
11111001010011
()()()()()()n n n n n n n n n n n n X X X X X X X X X X X X X X X
X X X X X X X X εεεεεεεεεεε------------++++⋅⋅⋅+=-+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+≈+-+⋅⋅⋅+-+ (3.30)
将方程展开为只有三项的泰勒展开式，所有的高阶项都近似为一个新的噪声符号1n ε+。

111
10
00
11n n n i i i i X X X X X X ---+==⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑
通过反复求解法得出的式(27)和泰勒展开近似法得出的式(3.30)都得出了精确的数字结果，并且都成功地将区间矩阵X 转化为相应的矩阵形式。

反复求解的方法必须满足区间矩阵秩为1的条件，如果不能满足，就必须对矩阵进行分解。

前者在求解小规模矩阵的问题时能更精确也更高效，但如果矩阵较复杂，更适合用泰勒展开法，求解速度更快，效率更高。

2.3 矩阵的指数运算
区间矩阵的指数运算同样可以用泰勒展开近似求解，两个矩阵之和的指数运算的泰勒展开形式可以表示为：
2
311exp()()()()2!
i i A B In A B A B A B i ∞
=+≈++++++∑ (3.31)
其中In 为与A ，B 相同维度的单位矩阵。

由上式不难看出，矩阵的指数运算可以简化为矩阵求和的乘法运算。

假设存在区间矩阵
011n n X X X X εε=++⋅⋅⋅+
其指数运算可以表示为：
201101101111
()()26n n n n X X X X X X X X X εεεεε=++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅ (3.32)
根据式(16)可以求得：
011011()(1,2,...)i n n i i in n X X X X X X i εεεε++⋅⋅⋅+≈++⋅⋅⋅+=； (3.33) 可以近似的得到仿射形式exp()X ：
01122exp()n n X Y Y Y Y εεε=+++⋅⋅⋅+ (3.34)
其中，标称矩阵：
200003112!
i
i Y In X X X i ∞==+++∑
系数矩阵：
23
11
(1,2,...,)2!j ij j ij i Y X X X j n i ∞
==++=∑；
在进行矩阵的指数运算时，可以近似为：
111
exp()()()22
X In X In X -≈-
+ (3.35) 据此推出：011exp()exp()n n X X X X εε=++⋅⋅⋅+，
令11n n X X X εε∆=+⋅⋅⋅+，则：
00001
00100100100exp()
11()()22111()()222111()()222111()()()222X X X Y X X In X X In X X In X X In X X In X X In X e X In X X In X X e X e In e ----=+∆⎡⎤⎡⎤
≈-+∆++∆⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤
=-+∆++∆⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤
≈-+∆-+∆⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦
⎡⎤⎡⎤⎛⎫
=-+∆⋅-+∆+∆+ ⎪⎢⎥
⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦=()0
01
0011()
22X X In X X X e In Y Y
-⎡⎤
+-+∆∆+⎢⎥⎣⎦
=+∆ (3.36)
其中：
00exp()Y X =
Y ∆包括矩阵求逆运算，可以表示为：
01
0100010011220112211()()
221
()()21
()()()2
X n n n n
Y In X X X e In Y In X X Y In Y In X X X X Y In Y Y Y εεεεεε---⎡⎤
∆=-+∆∆+⎢⎥⎣⎦≈-∆+=-++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅+ 其中：
10001
()()(1,2,...,)2
j j Y Y In X X Y In j n -=-+=；
本文只介绍了泰勒展开法求指数运算，另外还有如双线性法和Pade 逼近法等都比泰勒级数展开法更加精确和高效，但应用性不高，因为它们只能在特定条件下使用，比如，矩阵的形式必须是小量级。