寻找几何解题钥匙

寻找几何解题钥匙
北师大版九年级第四章《图形的相似》中遇到一道几何题，笔者通过这一道题，让学生去探究多种方法，梳理总结出几何中的四种常见方法，为孩子们能进
入几何之门提供了四把解题钥匙。

这四把钥匙也是九年级数学中最有效的四种解
题通法，策略，学生拿到难题就不会束手无策。

题目如下：如图1，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC=3，点D在边AC上，且CD=1，过点C作CH⊥BD于点H，O是AB的中点，连接OH，求OH的长度.
图1
读题后，学生通过对这道题的条件的梳理，产生了共同的认识，条件能给我
们两组基本图形：
1.
等腰Rt△ACB有了底边上的中点O通常会连结底边上的中线，产生三线合一
的线段，将等腰△ACB分成两个全等的等腰直角三角形。

2.
Rt△ACB作斜边上的高的基本图形（射影图）六条线段可以知二推四，OH的
长度一部分学生首选放进△BOH中，直观感觉△BOH∽△BDA，条件分析△BOA三
边都能求，在△BOH中，BO，BH能求，显然边的条件较多，两个三角形又是“A”型图，有一对公共角，去尝试算夹公共角的两边是否成比例，计算后确实成比例，
相似得证，OH当然也能求。

这道题边的条件特别多，从边入手不为上策，相似三
角形的寻找就成为了解决几何题的第一把钥匙。

这时一些学生又说可以再找一对角来证相似，他们连结CO后，
∠COB=∠CHB=90°，于是C，B，O，H四点共圆，轻松证到∠BHO=∠BCO=45°，
也就得到∠BHO=∠A，用角来证四点共圆，再证角，对有些学生来说认为更容易，依然是相似，用到当时补充知识点四点共圆，也证到了相似，这也是第一把钥匙
寻找相似（还有些学生借用一前面同学们的策略证得∠OHB=45°，后发现把OH
放进△OHB，此时△OHB就已知三个条件OB=，BH= ,
∠BHO=45°，过点B作BE⊥HO交HO的延长线于点E，产生了两个直角三角
形的算法，因此，要求的线段放进一个三角形，想办法找齐三个条件求其它边，
角元素，是我们的第二把钥匙。

从复杂的图形中拿出这个定三角形会更清晰，如
图2，向这种方法在学习九年级收下的《解直角三角形》这一章后会使用更加广泛。

其实这也回到了相似的本质，本来一二两方法就有相通地方。

图2
还有同学说可以用建系，如图3，建立以O为坐标原点，AB所在的直线为x 轴，AB、CO产生平“A”的基本图形，去求出点H坐标从而求出OH，建系就是我
们第三把钥匙，横纵、垂直、平行条件比较多时用的时候多，不足之处是计算量
大一些，但对平面几何的要求就会降低。

初中阶段好多平面几何题采用建系这个
方法，会给我们带来意外的惊喜
图3
又有同学说七八年级的时候，老师说过等腰直角三角形作为条件或者结论，我们都可以去朝着全等的方向去思考，连结CO，有条件中的的第三个基本图形能得到∠1=∠2，所以∠3=∠4，结合结论OH放进△OCH有两个对应条件OC=OB，
∠3=∠4，可在BH上裁取BG=CH，连接OG，可证△OCH≌△OBH，进而得到出
△OGH是等腰直角三角形，求出GH的长度，即可求OH的长度，辅助线也可以，过点O作OG⊥OH交BH于点G，产生“手拉手”的直角三角形，进而证明全等后也能得到出△OGH是等腰直角三角形，也就是产生旋转的相似的基本模型。

第四把钥匙全等，全等也是相似的特殊情况。

图4
在探究这个题的过程中，学生获取了解决几何问题的四把钥匙，同时他们还关注到每种都离不开对基本图形的掌握，识别和运用，结合条件结论联系思考，几何也变得没有那么难了。