蚌埠市八年级数学下册第二单元《勾股定理》检测卷(有答案解析)

一、选择题
1．下列条件不能判定一个三角形为直角三角形的是（ ）
A ．三个内角之比为1︰2︰3
B ．一边上的中线等于该边的一半
C ．三边为111,,12135
D ．三边长为()222220m n m n mn m n +->>、、
2．已知直角三角形纸片的两条直角边长分别为m 和3（m <3），过锐角顶点把该纸片剪成两个三角形，若这两个三角形都为等腰三角形，则（ ）
A ．m 2+6m +9＝0
B ．m 2﹣6m +9＝0
C ．m 2+6m ﹣9＝0
D ．m 2﹣6m ﹣9＝0 3．如图所示，有一块直角三角形纸片，90C ∠=︒，12AC cm =，9BC cm =，将斜边AB 翻折使点B 落在直角边AC 的延长线上的点
E 处，折痕为AD ，则CD 的长为（ ）
A ．4cm
B ．5cm
C ．17cm
D ．94
cm 4．如图，在等腰ABC ∆中，,AB AC =点E 为AC 的中点，且CD CE =．若
60,4A EF cm ∠=︒=，则DF 的长为（ ）
A ．12cm
B ．10cm
C ．8cm
D ．6cm
5．如图，已知ABC 中，45ABC ∠=︒，F 是高AD 和BE 的交点，5AC =2BD =，则线段DF 的长度为（ ）
A ．22
B ．2
C ．3
D ．1
6．有一圆柱高为12cm ，底面半径为
5π
cm ，在圆柱下底面点A 处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A 相对的点B 处的食物，则沿侧面爬行的最短路程是（ ）
A ．12cm
B ．13cm
C ．10cm
D ．16cm
7．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地 送行二步与人齐，五尺人高曾记． 仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几．”此问题可理解为：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离AB 长度为1尺．将它往前水平推送10尺时，即A C '＝10尺，则此时秋千的踏板离地距离A D '就和身高5尺的人一样高．若运动过程中秋千的绳索始终拉得很直，则绳索OA 长为（ ）
A ．13.5尺
B ．14尺
C ．14.5尺
D ．15尺
8．如图，90ABC ︒∠=，//AD BC ，以B 为圆心，BC 长为半径画弧，与射线AD 相交于点E ，连接BE ，过点C 作CF BE ⊥，垂足为F ．若6AB =，10BC =，则EF 的长为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
9．已知ABC 中，a 、b 、c 分别是A ∠、B 、C ∠的对边，下列条件中不能判断ABC 是直角三角形的是（ ）
A ．::3:4:5A
B
C ∠∠∠=
B ．
C A B ∠=∠-∠ C ．222+=a b c
D ．::6:8:10a b c =
10．在ABC 中，A ∠、B 、C ∠的对应边分别是a 、b 、c ，下列条件中不能说明ABC 是直角三角形的是（ ）
A ．222b a c =-
B ．
C A B ∠=∠+∠ C ．::3:4:5A B C ∠∠∠=
D ．::5:12:13a b c =
11．2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较长直角边为a ，较短直角边为b ，则2()a b +的值为（ ）
A ．25
B ．19
C ．13
D ．169
12．如图，设每个小方格的边长都为1，则图中以小方格顶点为端点且长度为13的线段有（ ）
A ．1条
B ．2条
C ．3条
D ．4条
二、填空题
13．如图，已知在Rt ABC △中，90ACB ∠=，3AB =，分别以AC ，BC 为直径作半圆，面积分别记为1S ，2S ，则12S S +的值等于________．
14．在直角坐标系中，点A (2，－2)与点B （－2，1)之间的距离AB =__________． 15．如图，已知圆柱的底面周长为10cm ，高AB 为12cm ，BC 是底面的直径，一只蚂蚁沿着圆柱侧面爬行觅食从点C 爬到点A ，则蚂蚁爬行的最短路线为________cm ．
16．如图1是一张可折叠的钢丝床的示意图，这是展开后支撑起来放在地面上的情况，如果折叠起来，床头部分被折到了床面之下（这里的A 、B 、C 、D 各点都是活动的），活动床头是根据三角形的稳定性和四边形的不稳定性设计而成的，其折叠过程可由图2的变换反映出来．如果已知四边形ABCD 中6AB =，15CD =，那么BC =_____，
AD =_______才能实现上述的折叠变化．
17．如图，在ABC 中，AB AC =，120A ∠=︒，AB 的垂直平分线分别交AB ，BC 于D ，E ，3BE =，则EC 的长为_____．
18．如图，在一棵树的10米高B 处有两只猴子，其中一只爬下树走向离树20米的池塘C ，而另一只爬到树顶D 后直扑池塘C ，结果两只猴子经过的距离相等，这棵树有的高是______________ ．
19．如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形ABCD ，中间阴影的部分是一个小正方形EFGH ，这样就组成了一个“赵爽弦图”．若AB ＝13，AE ＝12，则正方形EFGH 的面积为___________．
20．如图AD=4，CD=3，∠ADC=90°，AB=13，BC=12，则图形ABCD 的面积
=______________．
三、解答题
21．在ABC 中，AB c =，BC a =，AC b =．如图1，若90C ∠=︒时，根据勾股定理有222+=a b c ．
（1）如图2，当ABC 为锐角三角形时，类比勾股定理，判断22a b +与2c 的大小关系，并证明；
（2）如图3，当ABC 为钝角三角形时，类比勾股定理，判断22a b +与2c 的大小关系，并证明；
（3）如图4，一块四边形的试验田ABCD ，已知90B ∠=︒，80AB =米，60BC =米，90CD =米，110AD =米，求这块试验田的面积．
22．在ABC 中，,90︒=∠=AB AC BAC ．
（1）如图1，点,P Q 在线段BC 上，,15AP AQ BAP ︒=∠=，求AQB ∠的度数；
（2）点,P Q 在线段BC 上（不与点,B C 重合），AP AQ =，点Q 关于直线AC 的对称点为M ，连接,AM PM ．
①依题意将图2补全；
②用等式表示线段,,BP AP PC 之间的数量关系，并证明．
23．观察下边图形，每个小正方形的边长为1．
（1）则图中阴影部分的面积是_______，边长是_______，并在数轴上准确．．
地作出表示阴影正方形边长的点．
（2）已知x 为阴影正方形边长的小数部分．．．．，y 为15的整数部分．．．．
． 求：①,x y 的值；
②2()x y +的算术平方根．
24．某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形：
（1）如下图，已知：在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，直线m 经过点A ，BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，垂足分别为点D 、E 、试猜想DE 、BD 、CE 有怎样的数量关系，请直接写出_________
（2）组员小颖想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如下图，将（1）中的条件改为：在ABC 中，AB AC =，D 、A 、E 三点都在直线m 上，并且有
BDA AEC BAC α∠=∠=∠=（其中α为任意锐角或钝角）﹒如果成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：
如下图，F 是BAC ∠角平分线上的一点，且ABF 和ACF 均为等边三角形，D 、E 分别是直线m 上A 点左右两侧的动点（D 、E 、A 互不重合），在运动过程中线段DE 的长度为n ，连接BD 、CE ，若BDA AEC BAC ∠=∠=∠．
①试判断DEF 的形状，并说明理由．
②直接写出DEF 的面积．
25．如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A 、B 、C 在小正方形的顶点上．
（1）在图中画出与△ABC 关于直线l 成轴对称的△A ′B′C′；
（2）在直线l 上找一点P ，使PB +PC 的和最小，并算出这个最小值．
26．已知：在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 为BC 边上一动点（与点B 不重合），连接AD ，以AD 始边作()0180DAE αα∠=︒<<︒．
（1）如图一，当90α=︒且AE AD =时，试说明CE 和BD 的位置关系和数量关系； （2）如图二，当45α=︒且点E 在边BC 上时，求证：222BD CE DE +=．
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一、选择题
1．C
解析：C
【分析】
根据直角三角形的判定条件分别判断即可；
【详解】
三个内角之比为1︰2︰3，三角形有一个内角为90︒，故A 不符合题意；
直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，故B 不符合题意；
22211112135⎛⎫⎛⎫⎛⎫=≠ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，故C 符合题意； 三边长的关系为()()()()222222220m
n m n mn m n +=-+>>，故D 不符合题意；
故选：C ．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理逆定理和三角形内角和定理，准确分析判断是解题的关键． 2．C
解析：C
【分析】
如图，根据等腰三角形的性质和勾股定理可得m 2+m 2＝（3﹣m ）2，整理即可解答．
【详解】
解：如图，
m 2+m 2＝（3﹣m ）2，
2m 2＝32﹣6m +m 2，
m 2+6m ﹣9＝0．
故选：C ．
【点睛】
考查了等腰直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理，关键是熟练掌握等腰三角形的性
质，根据勾股定理得到等量关系．
3．A
解析：A
【分析】
根据勾股定理可将斜边AB 的长求出，根据折叠的性质知，AE=AB ，已知AC 的长，可将CE 的长求出，再根据勾股定理列方程求解，即可得到CD 的长．
【详解】
解：在Rt △ABC 中，12AC cm =，9BC cm =，
，
根据折叠的性质可知：AE=AB=15cm ，
∵AC=12cm ，
∴CE=AE-AC=3cm ，
设CD=xcm ，则BD=9-x=DE ，
在Rt △CDE 中，根据勾股定理得
CD 2+CE 2=DE 2，即x 2+32=（9-x ）2，
解得x=4，
即CD 长为4cm ．
故选：A ．
【点睛】
本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠前后的对应相等关系．解题时，我们常常设要求的线段长为x ，然后根据折叠和轴对称的性质用含x 的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．
4．A
解析：A
【分析】
由已知可得DF ⊥AB ，∠D=∠AEF=30°,所以根据含30°角的直角三角形性质可以算得DF 的值．
【详解】
解：∵AB=AC,∠A=60°，
∴ΔABC 为等边三角形，
∴∠ACB=60°,
∵CD=CE ，
∴∠CED=∠D=
12
∠ACB=30°， ∴∠AEF=30°， ∴∠AFE=180°-∠A-∠AEF=90°，
∵EF=4cm ，
∴设AF=x ，则AE=2x ，
∴由勾股定理得：22244x x +=，
∴
∴
AF AE == ∴2
BF AB AF AE AF =-=-=
∵∠D=30°， ∴2
BD BF ==， ∴22223DF BD BF BF =-=，
∴DF=16412
BF ==-=， 故选A ．
【点睛】
本题考查等边三角形与直角三角形的综合运用，熟练掌握等边三角形与直角三角形的判定与性质、勾股定理的应用是解题关键． 5．D
解析：D
【分析】
先证明△BDF ≌△ADC ，得到
【详解】
解：∵AD 和BE 是△ABC 的高线，
∴∠ADB=∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠DBF+∠C=90°，∠CAD+∠C=90°，
∴∠DBF=∠CAD ，
∵45ABC ∠=︒，
∴∠BAD=45°，
∴BD=AD ，
∴△BDF ≌△ADC ，
∴
在Rt △BDF 中，1=
=．
故选：D
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，证明△BDF ≌△ADC 是解题关键． 6．B
解析：B
【分析】
要想求得最短路程，首先要把A 和B 展开到一个平面内．根据两点之间，线段最短求出蚂蚁爬行的最短路程．
【详解】
解：展开圆柱的半个侧面是矩形， 矩形的长是圆柱的底面周长的一半，即52π
π=5cm ，矩形的宽是圆柱的高12cm ． 根据两点之间线段最短，
知最短路程是矩形的对角线AB 的长，即13==cm 故选：B ．
【点睛】
此题考查最短路径问题，求两个不在同一平面内的两个点之间的最短距离时，一定要展开到一个平面内．根据两点之间，线段最短．确定要求的长，再运用勾股定理进行计算． 7．C
解析：C
【分析】
设绳索有x 尺长，此时绳索长，向前推出的10尺，和秋千的上端为端点，垂直地面的线可构成直角三角形，根据勾股定理可求解．
【详解】
解：设绳索有x 尺长，则
102+（x+1-5）2=x 2，
解得：x=14.5．
故绳索长14.5尺．
故选：C ．
【点睛】
本题考查勾股定理的应用，理解题意能力，关键是能构造出直角三角形，用勾股定理来解．
8．B
解析：B
【分析】
根据题意结合勾股定理可求出AE 长，再根据//AD BC ，可证明AEB CBF ∠=∠，即可证明()ABE FCB AAS ≅，得出结论BF=AE ，即可求出EF ．
【详解】
根据题意可知BC=BE=10，90BAE BFC ∠=∠=︒．
在Rt ABE △中，22221068AE
BE AB ．
∵//AD BC ，
∴AEB CBF ∠=∠，
∴()ABE FCB AAS ≅，
∴BF=AE=8，
∴EF=BE-BF=10-8=2．
故选：B ．
【点睛】
本题考查三角形全等的判定和性质，平行线的性质以及勾股定理．利用“角角边”证明ABE FCB ≅是解答本题的关键．
9．A
解析：A
【分析】
利用直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐项判断即可．
【详解】
解：A 、∠A ：∠B ：∠C=3：4：5，且∠A+∠B+∠C=180°，所以∠C=75°≠90°，故△ABC 不是直角三角形；
B 、因为∠C=∠A-∠B ，且∠A+∠B+∠C=180°，所以∠A=90°，故△AB
C 是直角三角形； C 、因为a 2+b 2=c 2，故△ABC 是直角三角形；
D 、因为a ：b ：c=6：8：10，设a=6x ，b=8x ，c=10x ，（6x ）2+（8x ）2=（10x ）2，故△ABC 是直角三角形．
故选：A ．
【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形就是直角三角形．也考查了三角形内角和定理．
10．C
解析：C
【分析】
根据直角三角形的定义和勾股定理逆定理逐项判断即可．
【详解】
A ．222b a c =-，即222b c a +=，根据勾股定理逆定理可知ABC 是直角三角形，故A 不符合题意．
B ．根据三角形内角和180A B
C ∠+∠+∠=︒与C A B ∠=∠+∠，得出2180C ∠=︒，即90C ∠=︒，所以ABC 是直角三角形，故B 不符合题意．
C ．设3A x ∠=，则4B x ∠=，5C x ∠=，根据三角形内角和180A B C ∠+∠+∠=︒，即345180x x x ++=︒，解得15x =︒，即45A ∠=︒、60B ∠=︒、75C ∠=︒．所以ABC 不是直角三角形，故C 符合题意．
D ．设5a x =，则12b x =，13c x =，由222(5)(12)(13)x x x +=可知222+=a b c ，根据勾股定理逆定理可知ABC 是直角三角形，故D 不符合题意．
故选：C ．
【点睛】
本题考查直角三角形的判定，利用勾股定理逆定理判断是否为直角三角形是解题的关键．11．A
解析：A
【分析】
根据正方形的面积及直角边的关系，列出方程组，然后求解．
【详解】
解：由条件可得：
2213 1131 24
a
b
ab
a b
⎧+=
⎪
-
⎪
=
⎨
⎪
>>
⎪⎩
，
解之得：
3
2
a
b
=
⎧
⎨
=
⎩
．
所以2
()25
a b
+=，
故选A
【点睛】
本题考查了正方形、直角三角形的性质及分析问题的推理能力和运算能力．
12．D
解析：D
【分析】
13是直角边长为2，3的直角三角形的斜边，据此画两条以格点为端点且长度为13的线段．
【详解】
解：∵2
23
2+=13，
∴13是直角边长为2，3的直角三角形的斜边，
如图所示，AB，CD，BE，DF的长都等于13；
故选：D．
【点睛】
本题考查的知识点是勾股定理，找到无理数是直角边长为哪两个有理数的直角三角形的斜边长是解决本题的关键．
二、填空题
13．【分析】根据图形得到根据勾股定理推出【详解】解：由题意得所以故答
案为：【点睛】此题考查勾股定理的应用观察图形理解各部分图形的面积的关系利用勾股定理解决问题是解题的关键 解析：98
π．
【分析】 根据图形得到22111228AC S AC ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，22211228
BC S BC ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，根据勾股定理推出()
22121188S S AC BC π+=
+=298AB ππ=. 【详解】 解：由题意，得22111228AC S AC ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，22211228
BC S BC ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 所以()
22121188S S AC BC π+=+=298AB ππ=， 故答案为：98
π.
【点睛】
此题考查勾股定理的应用，观察图形理解各部分图形的面积的关系，利用勾股定理解决问题是解题的关键. 14．【分析】直接运用两点间的距离公式求解即可【详解】解：∵(2－2)（－
21)∴AB=故答案为5【点睛】本题主要考查了两点间的距离公式牢记两点间的距离公式是解答本题的关键
解析：【分析】
直接运用两点间的距离公式求解即可．
【详解】
解：∵A (2，－2)、B （－2，1)
∴5==． 故答案为5．
【点睛】
本题主要考查了两点间的距离公式，牢记两点间的距离公式是解答本题的关键． 15．13【分析】把圆柱沿母线AB 剪开后展开点C 展开后的对应点为C′利用两点之间线段最短可判断蚂蚁爬行的最短路径为AC′然后利用勾股定理计算出AC′即可【详解】把圆柱沿母线AB 剪开后展开点C 展开后的对应点
解析：13
【分析】
把圆柱沿母线AB 剪开后展开，点C 展开后的对应点为C′，利用两点之间线段最短可判断蚂蚁爬行的最短路径为AC′，然后利用勾股定理计算出AC′即可．
【详解】
把圆柱沿母线AB 剪开后展开，点C 展开后的对应点为C′，则蚂蚁爬行的最短路径为AC′，如图，
∵AB ＝12， BC′＝5，
在Rt △ABC′，AC′2251213+=
∴蚂蚁爬行的最短路程为13cm ．
故答案是：13
【点睛】
本题考查了平面展开−最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．
16．39【分析】根据已知得出图形得出AC2+CD2=AD2以及AB+AD=CD+BC 进而组成方程组求出即可【详解】解：由图2的第一个图形得：AC2+CD2=AD2即（6+BC ）2+152=AD2①又由图
解析：39
【分析】
根据已知得出图形得出AC 2+CD 2=AD 2，以及AB+AD=CD+BC ，进而组成方程组求出即可．
【详解】
解：由图2的第一个图形得：AC 2+CD 2=AD 2，
即（6+BC ）2+152=AD 2①，
又由图2的第三和第四个图形得：AB+AD=CD+BC ，
即6+AD=15+BC②，
联立①②组成方程组得：
()222
615615BC AD AD BC
⎧++=⎪⎨+=+⎪⎩， 解得：3039BC AD =⎧⎨=⎩
， 故BC ，AD 分别取30和39时，才能实现上述变化，
故答案为：30，39．
【点睛】
此题主要考查了翻折变换的性质以及勾股定理和二元二次方程组的解法，得出正确的等量关系是解题关键．
17．6【分析】根据等腰三角形的性质可求出两底角的度数连接AE 可得出AE=BE ∠EAD=推出∠EAC=利用勾股定理解直角三角形即可得出答案【详解】解：连接AE ∵AB=AC ∠A=∴∠B=∠C=∵ED 垂直平分
解析：6
【分析】
根据等腰三角形的性质可求出两底角的度数，连接AE ，可得出AE=BE ， ∠EAD=30︒，推出 ∠EAC=90︒，利用勾股定理解直角三角形即可得出答案．
【详解】
解：连接AE ，
∵ AB=AC ，∠A=120︒ ，
∴ ∠B=∠C=
()1180120302
︒-︒=︒， ∵ED 垂直平分AB ， ∴AE=BE ，∠EAD=30︒ ，
∵BE=3，
∴DE=1322
BE = ∴22332BD BE DE =
-=， ∴AB=AC=2BD=33，
∵ ∠A=120︒ ，
∴ ∠EAC=90︒ ， ∴22366CE AC AE =+==，
故答案为：6．
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质、勾股定理、直角三角形30︒角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记性质并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．
18．15米【分析】根据题意确定已知线段的长再根据勾股定理列方程进行计算
【详解】设BD=米则AD=（）米CD=（）米∵∴解得即树的高度是10+5=15米故答案为：15米【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用
解析：15米
【分析】
根据题意确定已知线段的长，再根据勾股定理列方程进行计算．
【详解】
设BD=x 米，则AD=（10x +）米，CD=（30x -）米，
∵222CD AD AC -＝，
∴()()22
2301020x x --+＝， 解得5x =．
即树的高度是10+5=15米．
故答案为：15米．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理的应用，把实际问题转化为数学模型，构造直角三角形，然后利用勾股定理解决．
19．49【分析】根据正方形EFGH 的面积＝大正方形面积﹣4个直角三角形面积即可求得正方形EFGH 的面积【详解】直角三角形直角边的较短边为=5正方形EFGH 的面积＝13×13﹣4×＝169﹣120＝49故
解析：49
【分析】
根据正方形EFGH 的面积＝大正方形面积﹣4个直角三角形面积即可求得正方形EFGH 的面积．
【详解】
，
正方形EFGH 的面积＝13×13﹣4×
5122
⨯＝169﹣120＝49． 故答案为：49．
【点睛】
此题考查勾股定理的运用，掌握勾股定理的推导过程是解决问题的关键． 20．24【分析】连接AC 在中根据勾股定理求得AC 的长度利用勾股定理逆定理可得为直角三角形根据即可求解【详解】解：连接AC 在中∴∵∴∴为直角三角形∴故答案为：24【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理掌握勾股 解析：24
【分析】
连接AC ，在Rt ACD △中根据勾股定理求得AC 的长度，利用勾股定理逆定理可得ABC 为直角三角形，根据ABCD ABC ACD S S
S =-即可求解．
【详解】
解：连接AC ，
，
在Rt ACD △中，90ADC ∠=︒，4=AD ，3CD =， ∴225AC AD CD =+=，
∵13AB =，12BC =，
∴222AC BC AB +=，
∴ABC 为直角三角形，90ACB ∠=︒， ∴112422
ABCD ABC ACD S S S AC BC AD CD =-=⋅-⋅=， 故答案为：24．
【点睛】
本题考查勾股定理及其逆定理，掌握勾股定理的内容是解题的关键．
三、解答题
21．（1）猜想：222a b c +> ，证明见解析；（2）猜想：222+b a c <，证明见解析；（3）四边形ABCD 的面积是(240030002+米2．
【分析】
（1）先作高线如图2，过点A 作AD BC ⊥于点D ，构造两个直角三角形，设CD x =，
则BD a x =-，由勾股定理和AD 构造等式2222()b x c a x -=-- ，利用放缩法可得 222b a c +>
（2）先作高线如图3，过点A 作AD BC ⊥，交BC 的延长线于点D ，构造两个直角三角
形设CD y =，则BD a y =+，利用勾股定得2222()b y c a y -=-+，整理得，
2222b a c ay +=-利用放缩法222b a c +<
（3）如图4，连接AC ．过点D 作DE AC ⊥于点E ，由勾股定理求出100AC = 设AE x =，则EC=100-x ，由勾股定理构造方程222211090(100)x x -=--，解方程的70x =，再求出DE ，利用分割法求面即可
【详解】
解：（1）猜想：222a b c +> ，
证明：如图2，过点A 作AD BC ⊥于点D ，设CD x =，则BD a x =-，
在Rt ACD △中，有222b x AD -=,
在Rt ABD △中，有222()c a x AD --= ，
∴2222()b x c a x -=-- ，
解之：2222b a c ax +=+，
∵a b c x ，，，均为正数，∴222b a c +> ；
（2）猜想：222b a c +<
证明：如图3，过点A 作AD BC ⊥，交BC 的延长线于点D ，设CD y =，则BD a y =+，
在Rt ACD △中，有222
b y AD -=，
在Rt ABD △中，有222()c a y AD -+= ， ∴2222()b y c a y -=-+，
解之：222
2b a c ay +=-，
∵a b c y ，，，均为正数，∴222b a c +< ；
（3）如图4，连接AC ．
在Rt ABC 中，有222AC AB BC =+，
∴222806010000AC =+=，
∵0AC >，∴100AC = ，
过点D 作DE AC ⊥于点E ，
设AE x =，则EC=100-x ，
在Rt ADE 中，有222AD AE DE -=，即222110x DE -=，
在Rt CDE △中，有222CD CE DE -=，即22290(100)x DE --= ，
∴222211090(100)x x -=--，
解之：70x =，
在Rt ADE 中，有2222211070DE AD AE =-=-，
∴DE=
±
∴DE=
， ∴1122ABC ADC ABCD S S
S AB BC AC DE =+=⨯⨯+⨯⨯四边形，
=11608010022
=⨯⨯+⨯⨯
=2400+2），
∴四边形ABCD 的面积是(2400+米2．
【点睛】
本题考查作高线，勾股定理，利用勾股定理推出锐角三角形，钝角三角形结论，用分割法求四边形面积，掌握高线最烦，利用勾股定理构造方程，判读锐角三角形与钝角三角形，利用分割法四边形求面是解题关键．
22．（1）60︒；（2）①见解析；②2222PC BP AP +=，证明见解析
【分析】
（1）根据三角形的外角性质和等腰三角形的性质可以得解；
（2）①根据轴对称的意义和性质可以作出图形；
②连结MC ，然后根据轴对称的性质和直角等腰三角形的性质以及三角形全等的判定和性质可以得到解答．
【详解】
解：（1）∵在ABC 中，,90AB AC BAC ︒=∠=，
45B C ︒∴∠=∠=.
APQ ∠是ABP △的一个外角，
APQ B BAP ∴∠=∠+∠.
15BAP ︒∠=，
60APQ ︒∴∠=.
AP AQ =，
60AQB APQ ︒∴∠=∠=．
（2）①如图，由题意可得补全图如下：
②2222PC BP AP +=，理由如下：
如上图，连接MC .
,90AB AC BAC ︒=∠=，
45B ACB ︒∴∠=∠=.
AP AQ =，
APQ AQP ∴∠=∠.
BAP CAQ ∴∠=∠.
ABP ACQ ∴△≌△.
BP CQ ∴=.
∵点Q 关于直线AC 的对称点为M ，
,,,45AQ AM CQ CM CAM CAQ ACM ACQ ︒∴==∠=∠∠=∠=.
,45,AP AM B ACM BAP CAM ︒∴=∠=∠=∠=∠，
∴△ABP ≌△ACM ，
∴BP=CM ，
90BAC PAM ︒∴∠=∠=.
在Rt APM △中，,90AP AM PAM =∠=︒，
2PM AP ∴=.
45ACQ ACM ︒∠=∠=，
90PCM ︒∴∠=.
在Rt PCM 中，90PCM ︒∠=，
222PC CM PM ∴+=，
2222PC BP AP ∴+=
【点睛】
本题考查直角三角形的综合应用，熟练掌握直角等腰三角形和三角形的性质、轴对称的意义和性质、三角形全等的判定和性质以及勾股定理的应用是解题关键．
23．（1）13132）①133,3x y ==，13
【分析】
（1）根据阴影部分的面积等于正方形的面积减去四周四个小直角三角形的面积列式计算，
再利用勾股定理和算术平方根的定义求出边长，最后利用勾股定理作出边长表示的无理数即可；
（2）①利用无理数估算的方法即可求得x 和y ；②将①中的x 和y 代入计算，并求算术平方根．
【详解】
解：（1）阴影部分面积155432132
=⨯-⨯⨯⨯=，
边长=222313+=，
在图中数轴上作出表示阴影正方形边长的点如图所示：
故答案为：1313
（2）①∵91316<<，91516<<， ∴3134<<，3154<<，
∵x 为阴影正方形边长的小数部分，y 15 ∴133,3x y ==，
②由①得，133,3x y ==，
∴22()1333)13x y +=+=13
【点睛】
本题考查实数与数轴，用勾股定理表示无理数．掌握等面积法是解决（1）的关键，(2)中需注意小数部分=原数-整数部分．
24．（1）DE BD CE =+；（2）结论DE BD CE =+成立，证明见解析；（3）①DFE △为等边三角形，证明见解析．②
234n ． 【分析】
（1）由题意可知90ADB CEA ∠=∠=︒，又可推出ABD CAE ∠=∠，即可证明(AAS)ADB CEA ≌，得出BD AE =，AD CE =．即推出
DE AD AE BD CE =+=+．
（2）由题意易证ABD CAE ∠=∠，即证明(AAS)ADB CEA ≌，同理即
DE AD AE BD CE =+=+．
（3）①由（2）知(AAS)ADB CEA ≌，得出BD AE =，由ABD CAE ∠=∠，易证FBD FAE ∠=∠，又由题意可知FB=FA ，即证明出(SAS)FBD FAE ≌，得出结论FD FE =，BFD AFE ∠=∠，即可求出60DFE ∠=︒，即证明DEF 为等边三角形． ②由DE n =，DEF 为等边三角形，即可求出DEF 的面积．
【详解】
（1）DE BD CE =+，理由：
∵90BAC ∠=︒，
∴90BAD CAE ∠+∠=︒，
∵BD m ⊥，
∴90ADB CEA ∠=∠=︒，
∴90BAD ABD ∠+∠=︒，
∴ABD CAE ∠=∠，
在ADB △和CEA 中，90ADB CEA ABD CAE AB AC ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴
(AAS)ADB CEA ≌， ∴BD AE =，AD CE =，
∴DE AD AE BD CE =+=+．
故答案为：DE BD CE =+．
（2）结论DE BD CE =+成立；
理由如下：∵180BAD CAE BAC ∠+∠=︒-∠，
180BAD ABD ADB ∠+∠=︒-∠，BDA BAC ∠=∠，
∴ABD CAE ∠=∠，
在BAD 和ACE △中，ABD CAE ADB CEA AB AC α∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩
，
∴
(AAS)BAD ACE ≌， ∴BD AE =，AD CE =，
∴DE DA AE BD CE =+=+．
（3）①DEF 为等边三角形，
理由：由（2）得，BAD ACE ≌△△，
∴BD AE =，
∵ABD CAE ∠=∠，
∴ABD FBA CAE FEC ∠+∠=∠+，即FBD FAE ∠=∠，
在FBD 和FAE ∠中，FB FA FBD FAE BD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴(SAS)FBD FAE ≌，
∴FD FE =，BFD AFE ∠=∠，
∴60DFE DFA AFE DFA BFD ∠=∠+∠=∠+∠=︒，
∴DEF 为等边三角形．
②∵DEF 为等边三角形．
∴DEF 的高为32DE ． ∴21332DFE S DE DE n ==． 【点睛】
本题考查三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质以及勾股定理．熟练掌握判定三角形全等的方法是解答本题的关键．
25．（1）图见解析；（2）图见解析，25
【分析】
（1）直接利用轴对称图形的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）直接利用轴对称求最短路线求法得出P 点位置，然后根据勾股定理求解．
【详解】
解：（1）如图所示：△A′B′C′，即为所求；
（2）如图所示：点P 即为所求．
PB+PC=''B P PC B C +==222425+=．
【点睛】
此题主要考查了轴对称变换，最短路径求法，以及勾股定理等知识，正确得出对应点位置是解题关键．
26．（1）CE BD ⊥，CE BD =，理由见解析；（2）见解析
【分析】
（1）利用等腰直角三角形的性质证明：ABD △≌ACE △，利用全等三角形的性质可得答案；
（2）将AD 绕点A 逆时针旋转90︒，得到AG ．连接EG ，CG ，
同（1）理证明：90GCB ∠=︒，CG BD =，再证明：ADE ≌
AGE ，可得：ED GE =，由勾股定理可得：222CG CE EG +=，等量代换后可得结论．
【详解】
解：（1）∵90BAC DAE ∠=∠=︒，
∴BAD CAE ∠=∠．
又BA CA =，AD AE =，
∴ABD △≌ACE △（SAS ），
∴CE BD =，45ACE B ∠=∠=︒．
90BAC ∠=︒，AB AC =，
∴ 45ACB B ∠=∠=︒，
∴454590ECB ∠=︒+︒=︒，
∴CE BD ⊥．
∴CE 与BD 位置关系是CE BD ⊥，数量关系是CE BD =．
（2）将AD 绕点A 逆时针旋转90︒，得到AG ．连接EG ，CG ，
如图二，
同（1）理：可得90GCB ∠=︒，CG BD =．
∵90DAG =︒∠，45DAE ∠=︒，
∴45GAE DAE ∠=∠=︒，
∵
AD AG =，AE AE =，
∴ADE ≌AGE （SAS ）．
∴ED GE =，
又∵90GCB ∠=︒， ∴222CG CE EG +=，
∴222BD EC DE +=．
【点睛】
本题考查的是等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．。