分类讨论，巧解压轴题

分类讨论，巧解压轴题
“分类讨论”是一种最基本的数学思想，这一思想在初中数学的综合性训练
题中会经常出现，是中考压轴题中常用的数学思想。

分类时需要结合相应的数学
知识，做到既不重复又不遗漏，把问题的所有可能性逐一有序地考虑清楚。

基于此，本文将介绍函数、圆与三角形综合性问题中所蕴含的分类讨论思想。

这一过
程可以有效培养学生严谨的逻辑思维能力。

1 函数动点问题中的分类讨论
例1（改编于2003•南京）如图1，直线与轴、轴分别交于点M、N。

（1）求M、N两点的坐标；
（2）如果点P在坐标轴上，以点P为圆心，为半径的圆与直线相切，求点P的坐标。

分析与解依题意代入可得出M（-5,0），N（0,12）。

现主要分析第二问的
动点问题，由题目可知，点P到直线的距离等于圆的半径，所以P点到直线的距
离为，那么就有四种情况：
图1 图
2 图3
（1）当P点在y轴上且在N点下方时，令圆与直线的切点为A点。

可得到
△NAP∽△NOM，所以，因此可以得到PN=12。

所以P点坐标是原点（0，0）；
（2）当P点在x轴上且在M点右侧时，同第一种情况可得P点坐标是原点（0，0）；
（3）当P点在x轴上且在M点左侧时，如图2，我们知道P点的运动轨迹是
一条直线且与直线平行，可得到△MOA∽△POB，所以，因此可
以得到OP=10。

所以P点坐标是（-10，0）；
（4）当P点在x轴上且在N点上方时，同第三种情况可得P点坐标是（0，24）。

综上所述，P点的坐标为（0,0）或（-10,0）或（0,24）。

评注在这一道例题中，我们是根据几何性质确定动点的位置，我们先确定
了动点的轨迹，再根据题目条件限制进行分类讨论，将可能满足题目要求的情况
分成了四种，最后结合相似三角形的性质确定了动点满足条件时的坐标。

例2（2020•无锡）如图2所示，二次函数的图像过点A
（6,0），且与y轴交于点B，点M在该抛物线的对称轴上，若△ABM是以AB为
直角边的直角三角形，则点M的坐标为？
分析与解由题意可得，，解得，所以这个二次函数的
解析式为，B点坐标为（0,3），抛物线的对称轴为。

可设点M
的坐标为（，）。

如图2所示，△ABM是以AB为直角边的直角三角形有两种情况。

（1）当∠ABM=90°时，∠1=90°-∠ABD，∠2=90°-∠ABD，所以∠1=∠2，
△BOA∽△BDM，可得DM=3，所以MN=ND+DM=3+3=6，由此可得，M的坐标为（，6）。

（2）当∠MAB=90°时，同理可得∠1=∠3，△BOA∽△ANM，可得NM=9，由此可得，M的坐标为（，-9）。

综上所述，M的坐标为（，6）或（，-9）。

评注例2中，我们将题目要求分为在直线上方或下方两种情况讨论。

这就要
求我们在读题的时候就敏锐的感觉到题目所要考察的是什么，这里就很明显，需
要我们进行分类讨论。

2图形中的动点问题的分类讨论
例3（2014•淮安）如图3所示，矩形OABC顶点B的坐标为（8,3），定点
D的坐标为（12,0），动点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿轴的正
方向匀速运动，动点Q从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿轴的负方向匀速运动，PQ两点同时运动，相遇时停止。

在运动过程中，以PQ为斜边在轴上方
作等腰直角三角形PQR。

设运动时间为t秒。

图
3
图4
（1）当t为多少秒时，△PQR的边QR经过点B；
（2）设△PQR和矩形OABC重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式。

分析与解第一问，△PQR的边QR经过点B时，△QAB为等腰直角三角形，
可得t=1。

重点看第二问，分三种情况讨论：
①当0≤t≤1时，如图4所示，
设PR交BC于点G，过点P作PH⊥BC与点H，则CH=OP=2t，GH=PH=3。

②当1＜t≤2时，如图5所示，
图
5
图6
设PR交BC于点G，RQ交BC、AB于点S、T, 过点P作PH⊥BC与点H，则CH=OP=2t，GH=PH=3。

QD=t，则AQ=AT=4-t，BT=BS=3-（4-t）=t-1，。

③当2＜t≤4时，如图6所示，
设RQ与AB交于点T，则AT=AQ=4-t，PQ=12-3t，。

综上所述，S关于t的函数关系式为：。

评注这一例题最后的结果是一个分段函数，这一题也是需要分类讨论的，我们要清楚地知道，在不同的时间段里面，图形是如何变化的，才能更好的分类。

对于上述的一些题目，分类讨论思想方法是极其有效的工具，若在解题过程中合理使用分类讨论，往往会将复杂的问题简化，使解答过程更加条理清晰，也可避免漏解、少解，有助于学生理清思路，从而达到事半功倍的效果[1]。

5 总结
在初中数学中，对学生而言，将分类讨论的思想运用到解数学问题中，是困难，但同时又是非常必要的，所以就需要在练习中使学生掌握这项技能。

学生要做的就是面对这些问题，在一次次的练习中学会运用分类讨论的方法，提高自己的分类思维能力，使自己的逻辑更加缜密[2]。

参考文献
[1]王张毅.分类讨论思想指导解中考二次函数压轴题[J].中学数学研究(华南师范大学版),2022(02):40-42.
[2]孟宁.初中数学解题中分类讨论思想的运用[J].教育现代
化,2017,4(29):299-300.DOI:10.16541/ki.2095-8420.2017.29.136.。