1.生活中的“斐波那契数列”之欧阳法创编

2014年温州市小学数学小课
题评比
学校：苍南县钱库小学
成员姓名：陈耀坤吴文强金旭杭
指导教师：陈瑞帐
生活中的“斐波那契数列”
——台阶中的数学
一、问题的提出
周末爸爸妈妈带我去龙港影城看3D电影，影城的大门口有16级水泥台阶，我发现老年人大多是一级一级地往上走的，年轻的小伙子喜欢两级两级地往上
走，小朋友则是一会儿走一级，一会儿又蹦两级……很快，一个念头闪入我的脑海：按照他们这样不同的走法，走完这16级台阶，一共会有多少种不同的走法呢？会不会有什么规律呢？于是，在爸爸妈妈的鼓励下，我决定开始台阶走法的研究。

二、研究过程
1.从最简单的做起
该怎样开展研究呢？我找了两个好朋友，做合作伙伴。

我们想起了老师曾经提到过的华罗庚说的话:“善于退，足够地退，退到最原始的而不失重要的地方是学好数学的一个诀窍。

”也就是说可以“从最简单的做起”于是我们通过画楼梯入手。

1个台阶（1种）
2个台阶（2种）
3个台阶（3种）
4个台阶（5种）
……
后来我觉得用这种表示方法实在太麻烦了，有没有更简捷的表达方法呢？于是在数学老师的启发下就想到了用最简单的数字来表达：
楼梯台阶数及方法楼梯上法表示
一个台阶（1种）（1）
二个台阶（2种）（1，1）（2）
三个台阶（3种）（1，1，1）（1，2）（2，1）
四个台阶（5种）（1，1，1 ，1）（1，1，2）（1，2，1）（2，1，1）（2，2）
五个台阶（8种）（1，1，1，1，1）（1，1，1，2）（1，1，2，1）（1，2，1，1）
（2，1，1，1）（2，1，2）（2，2，1）（1，2，2）
5个台阶有8种走法，那现在求16个台阶有几种走法，该怎么办呢？我们想用这个方法继续进行进去，我尝试着：
六个台阶（13种）（1，1，1，1，1，1）（1，2，1，1，1）（1，1，2，1，1）
（1，1，1，2，1）（1，1，1，1，2）（2，1，1，1，1）
（1，1，2，2）（2，1，1，2）（2，1，2，1）（2，2，1，1，）
（1，2，2，1）（1，2，1，2）（2，2，2）
七个台阶（21种）（1，1，1，1，1，1，1）（1，1，1，1，1，2）（1，1，1，1，2，1）
（1，1，1，2，1，1）（1，1，2，1，1，1）（1，2，1，1，1，1）
（2，1，1，1，1，1）（1，1，1，2，2）（1，1，2，2，1）
（1，2，2，1，1）（2，2，1，1，1）（1，2，1，1，2）
（1，2，1，2，1）（1，2，2，1，1,）（2，1，1，1，2）
（2，1，1，2，1）（2，1，2，1，1）（2，2，2，1）
（2，2，1，2）（2，1，2，2）（1，2，2，2）
……
2.整理数据，发现规律
这样写下去还是很麻烦，数字会越来越大，而且很容易出现遗漏或重复。

有没有规律呢？我们重新整
理了数据，发现台阶上法数据之间有关联：
7个台阶的走法=6个台阶的走法+5个台阶的走法，也就是13+8=21。

6个台阶的走法=5个台阶的走法+4个台阶的走法，也就是8+5=13……
那走台阶的上法是否有规律？是否是后一个数都是前两个数的和呢？照这样推理，8个台阶数的走法应该是34种呢？我决定用数字拆分来进行验证，发现答案完全符合。

于是，很快就算出了走16个台阶的上法共有1597种。

3.深入探究
这种规律是否巧合呢？
若规定每步可以迈一级台阶或二级台阶，最多可以迈三级台阶，从地面走到最上一级台阶，哪又有有
多少种不同的走法？
一个台阶（1种）（1）
二个台阶（2种）（1，1）（2）
三个台阶（4种）（1，1，1）（1，2）（2，1）（3）
四个台阶（7种）（1，1，1，1）（1，1，2）（1，2，1）（2，1，1）（2，2）
（1,3）（3,1）
五个台阶（13种）（1，1，1，1，1）（1，1，1，2）（1，1，2，1）（1，2，1，1）
（2，1，1，1）（2，1，2）（2，2，1）（1，2，2）（1，1，3）
（1，3，1）（3，1，1）（2，3）（3，2）
六个台阶（24种）（1，1，1，1，1，1）（1，2，1，1，1）（1，1，2，1，1）
（1，1，1，2，1）（1，1，1，1，2）（2，1，1，1，1）
（1，1，2，2）（2，1，1，2）（2，1，2，1）（2，2，1，1，）
（1，2，2，1）（1，2，1，2）（2，2，2）（1，1，1，3）
（1，1，3，1）（1，3，1，1）（3，1，1，1）（1，2，3）
（1，3，2）（2，1，3）（2，3，1）（3，1，2）（3，2，1）（3，3）
……
我们同样尝试整理这些数据，发现此时台阶上法数据之间也有关联：
6个台阶的走法=5个台阶的走法+4个台阶的走法+3个台阶的走法，也就是24=13+7+4。

5个台阶的走法=4个台阶的走法+3个台阶的走法+2个台阶的走法，也就是13=7+4+2。

每个数等于前三个数之和。

由此依次可以推出7个台阶的走法=6个台阶的走法+5个台阶的走法+4个台阶的走法=47。

8个台阶的走法=7个台阶的走法+6个台阶的走法+5个台阶的走法=84
……
4.寻找理论依据：
1）.斐波那契数列
莱昂纳多斐波那契（1175－1250）出生于意大利比
萨市，是一名闻名于欧洲的数学家，其主要的著作有
《算盘书》、《实用几何》和《四艺经》等。

在
1202年斐波那契提出了一个非常著名的数列，即：
假设一对兔子每隔一个月生一对一雌一雄的
小兔子，每对小兔子在两个月以后也开始生一对一雌
一雄的小兔子，每月一次，如此下去。

年初时兔房里
放一对大兔子，问一年以后，兔房内共有多少对兔
子？据载首先是由9世纪法国数学家吕卡将级数
1,1,2,3,5,8,13,21,34，……命名为斐波那契级数。

这就是非常著名的斐波那契数列问题。

通项公式为：
2）.杨辉三角： 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 ……
过第一行的“1”向左下方做45度斜线，之后做直线台阶数 …… 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 ……
台阶上法 …… 84 155 286 525 966 1777 3268 6011 11056 20335 37402
……
的平行线，将每条直线所过的数加起来，即得一数列1、1、2、3、5、8……5.斐波那契数在生活中的应用我们去图书馆查找，网上搜索，咨询老师，收集到有关斐波那契数在生活中的应用。

植物中的斐波那契数
（1）细察下列各种花，它们的花瓣的数目具有斐波那契数：延龄草、野玫瑰、南美血根草、大波斯菊、金凤花、耧斗菜、百合花、蝴蝶花。

（2）细察以下花的类似花瓣部分，它们也具有斐波那契数：紫宛、大波斯菊、雏菊。

斐波那契数经常与花瓣的数目相结合：3………………………百合和蝴蝶花5………………………蓝花耧斗菜、金凤花、飞燕草8………………………翠雀花13………………………金盏草21………………………紫宛34，55，89……………雏菊还可以在植物的叶、枝、茎等排列中发现。

例如，在树木的枝干上选一片叶子，记其为数0，然后依序点数叶子（假定没有折损），直到到达与那息叶子正对的位置，则其间的叶子数多半是斐波那契数。

叶子从一个位置到达下一个正对的位置称
为一个循回。

叶子在一个循回中旋转的圈数也是斐波那契数。

在一个循回中叶子数与叶子旋转圈数的比称为叶序（源自希腊词，意即叶子的排列）比。

多数的叶序比呈现为斐波那契数的比。

2）斐波那契数列与黄金比值相继的斐波那契数的比的数列：它们交错地或大于或小于黄金比的值。

该数列的极限为。

这种联系暗示了无论（尤其在自然现象中）在哪里出现黄金比、黄金矩形或等角螺线，那里也就会出现斐波那契数，反之亦然。

3）.【斐波那契数列的应用】
一位魔术师拿着一块边长为8英尺的正方形地毯，对他的地毯匠朋友说：“请您把这块地毯分成四小块，再把它们缝成一块长13英尺，宽5英尺的长方形地毯。

”这位匠师对魔术师算术之差深感惊异，因为商者之间面积相差达一平方英尺呢！可是魔术师竟让匠师用图2和图3的办法达到了他的目的！
这真是不可思议的事！亲爱的读者，你猜得到那神奇的一平方英尺究竟跑到哪儿去呢？
斐波那契数列在自然科学的其他分支，也有许多应用。

例如，树木的生长，由于新生的枝条，往往需
要一段“休息”时间，供自身生长，而后才能萌发新枝。

所以，一株树苗在一段间隔，例如一年，以后长出一条新枝；第二年新枝“休息”，老枝依旧萌发；此后，老枝与“休息”过一年的枝同时萌发，当年生的新枝则次年“休息”。

这样，一株树木各个年份的枝桠数，便构成斐波那契数列。

这个规律，就是生物学上著名的“鲁德维格定律”。

另外，观察延龄草,野玫瑰,南美血根草,大波斯菊,金凤花,耧斗菜,百合花,蝴蝶花的花瓣.可以发现它们花瓣数目具有斐波那契数:3,5,8,13,21……
斐波那契螺旋
具有13条顺时针旋转和21条逆时针旋转的螺旋的蓟的头部
具有13条逆时针旋转和21条逆时针旋转的螺旋的蓟的头部
这些植物懂得斐波那契数列吗？应该并非如此，它们只是按照自然的规律才进化成这样。

这似乎是植物排列种子的“优化方式”，它能使所有种子具有差不多的大小却又疏密得当，不至于在圆心处挤了太多的种子而在圆周处却又稀稀拉拉。

叶子的生长方
式也是如此，对于许多植物来说，每片叶子从中轴附近生长出来，为了在生长的过程中一直都能最佳地利用空间（要考虑到叶子是一片一片逐渐地生长出来，而不是一下子同时出现的），每片叶子和前一片叶子之间的角度应该是222.5度，这个角度称为“黄金角度”，因为它和整个圆周360度之比是黄金分割数0.618033989……的倒数，而这种生长方式就决定了斐波那契螺旋的产生。

向日葵的种子排列形成的斐波那契螺旋有时能达到89，甚至144条。

三、研究感悟
16级台阶走法居然这么多，走台阶也能用数学方法来解决。

原来数学如此美妙，并不像人们平时所说的那么抽象、那么枯燥。

其实，只要我们善于观察，多动脑筋，用心去感悟生活，用心去体验、去思考，就会发现：数学就在我们身边，生活中到处都有数学，只需你我去思考！。