北师大版八年级上册 第二章 2.6 实数 教案

北师大版八年级上册第二章2.6 实数教案
2.6实数
教学目标
知识与技能：1.了解实数的概念和意义,并能按要求对实数进行分类.
2.了解实数与数轴上的点一一对应,知道实数的绝对值、相反数的意义,会求已知数的绝对值和相反数.
过程与方法：通过用类比的方法探索发现实数性质的过程,培养学生类比联想的能力,以及观察、分析、解决问题的能力.
情感态度与价值观：
通过介绍我国古代数学家祖冲之关于圆周率的研究成果,对学生进行爱国主义教育.
教学重难点
【重点】实数的意义及分类.
【难点】1.实数的分类.2.把无理数在数轴上表示出来.
教学准备
【教师准备】预设学生在实数分类的过程中会遇到的困难.
【学生准备】复习有理数和无理数的有关概念和性质.
教学过程
一、导入新课
知识整理:有理数和无理数统称为实数,即实数可分为有理数和无理数.
[设计意图] 通过将以上各数填入有理数集合和无理数集合,建立实数概念.学生动手填写,并进行小组交流讨论,对带根号的数是否是无理数有了进一步认识.
2.你能把上面各数填入下面相应的集合内吗?
无理数和有理数一样,也有正负之分. [过渡语] 总结一下,实数可以怎样分类呢?
1.从符号考虑,实数可以分为正实数,0,负实数,即:
实数{正实数
0负实数
2.另外从实数的概念也可以进行如下分类:
实数{
有理数{正有理数0
负有理数无理数{正无理数负无理数 [设计意图] 在实数概念形成的基础上对实数进行不同的分类.上面的数中有0,0不能放入上面的任何一个集合中,此处强调0是实数,但它既不是正数也不是负数,应单独作为一类.提醒学生分类可以
有不同的方法,但要按同一标准分类才能不重不漏.让学生讨论回答,达成共识.
（2）实数的相关概念
1.有理数a的相反数是什么?绝对值是什么?当a不为0时,它的倒数是什么?
3的倒数是什么?√3,0,-π的绝对值分
2.√2的相反数是什么?√5
别是什么?
总结:在实数范围内,相反数、倒数和绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数和绝对值的意义完全一样.
[设计意图]从复习入手,类比有理数中的相关概念,建立实数的相反数、倒数和绝对值等概念,它们的意义和有理数范围内的意义是一致的.学生类比有理数的相关概念,体会到了实数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义.
【想一想】(1)a是一个实数,它的相反数为,绝对值为;
(2)如果a≠0,那么它的倒数为.
【知识整理】
(1)相反数:a与-a互为相反数;0的相反数仍是0.
互为倒数(0没有倒数).
(2)倒数:当a≠0时,a与1
a
(3)绝对值:正数的绝对值是它本身,负数的绝对值是它的相反数,0的绝对值是0.
即|a |={a(a >0),
0(a =0),-a(a<0).
[设计意图] 加深学生对相关概念的理解.学生在讨论交流中进一步掌握了实数的相反数、倒数、绝对值等知识.
（3）实数的运算
[过渡语] 回忆有理数的运算法则和运算律,比较一下,在实数范围内,这些运算法则和运算律是否适用呢?
1.在有理数范围内,能进行哪些运算(如加、减、乘、除、乘方)?适用哪些运算律?
2.判断下列各式是否成立.
√2·√5=√5·√2;
√3·√5·
√5=√3·(√5·√5)=√3; 4√23+7√23=(4+7)√23=11√23.
总结:实数和有理数一样,可以进行加、减、乘、除、乘方运算,而且有理数的运算法则和运算律对实数仍然适用.
[设计意图] 从复习入手,类比有理数的运算法则及运算律,得到有理数的运算法则及运算律对实数仍然适用.
（4）实数与数轴上的点的一一对应关系
[过渡语]我们知道有理数能用数轴上的点表示,那么实数呢?
【议一议】(1)如图所示,OA=OB,数轴上点A对应的数是什么?它介于哪两个整数之间?
(2)你能在数轴上找到√5对应的点吗?与同伴进行交流.
【知识整理】
(1)每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示;反过来,数轴上的每一个点都表示一个实数,即实数与数轴上的点是一一对应的.
(2)在数轴上,右边的点表示的数总比左边的点表示的数大.
[知识拓展]1.无理数是指无限不循环小数,并不是带根号的数都是无理数.
2.数的范围从有理数扩充到实数后,要注意有理数与无理数的区别.
三、课堂总结
1.在实数范围内,相反数、倒数和绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数和绝对值的意义完全一样.
2.实数和有理数一样,可以进行加、减、乘、除、乘方运算,而且有理数的运算法则和运算律对实数仍然适用.
3.每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示;反过来,数轴上的每一个点都表示一个实数,即实数与数轴上的点是一一对应的.
4.在数轴上,右边的点表示的数总比左边的点表示的数大.
四、课堂练习
1.判断下列说法是否正确.
(1)无限小数都是无理数.(2)无理数都是无限小数.
解:(1)不正确. (2)正确.
2.求下列各数的相反数、倒数和绝对值.
(1)√-273; (2)√25; (3) √11; (4) 2-√2.
解:(1)√-273=-3,√-273的相反数是3,倒数是-13,绝对值是3. (2)√25=5,√25的相反数是-5,倒数是15
,绝对值是5. (3)√11的相反数是-√11,倒数是√11,绝对值是√11.
(4)2-√2的相反数是-(2-√2)=√2-2,倒数是
2−√2,绝对值是
2-√2.
五、板书设计
2.6 实 数
1.实数的概念.
2.实数的相关概念.
3.实数的运算.
4.实数与数轴上的点的一一对应关系.
六、布置作业
（1）、教材作业
【必做题】教材第39页随堂练习第1,3题,第40页习题2.8第1,2,3.【选做题】教材第40页习题2.8第4题.
（2）、课后作业
【基础巩固】1.下列说法不正确的是 ()
A.有理数和无理数统称为实数
B.无理数是无限不循环小数
C.无理数包括正无理数、零、负无理数
D.无理数都可以用数轴上的点来表示
2.-√2的倒数是()
A.-√2
B.-
√2C.√2D.√2
2
3.下列各组数中,互为相反数的是 ()
A.-2与-1
2 B.|-2|与2 C.-2与√(-2)2 D.-2与√-8
3
4.把下列各数分别填在相应的集合里.
-12,0 ,0.16 ,312 ,0.15,√3,-23√5,π3√16,√-0.1253
,3.1415 ,-0.789·2· ,-√3+√2 .
有理数集合{ …};
无理数集合{ …};
正实数集合{ …};
负实数集合{ …}.
【能力提升】5.如图所示,以数轴的单位长度为边长作一个正方形,以表示2的点为圆心,正方形对角线长为半径画弧,交数轴于点A ,则点A 表示的数是 ( )
A .-√2
B .2-√2
C .1-√2
D .-2
6.一个等腰直角三角形的三角板沿着数轴正方向向前滚动,起始位置如图所示,顶点C 和A 在数轴上的位置表示的实数分别为-1和1.那么当顶点C 下一次落在数轴上时,所在的位置表示的实数是 .
7.在数轴上作出√13和-√17对应的点.
【拓展探究】8.如图所示,已知A,B,C三点分别对应数轴上的数
a,b,c.
(1)化简|a-b|+|c-b|+|c-a|;
(2)若a=x+y
4
,b=-z2,c=-4mn,且满足x与y互为相反数,z是绝对值最小的负整数,m,n互为倒数,试求98a+99b+100c的值;
(3)在(2)的条件下,在数轴上找一点D,到点A,C的距离之和为10,且点D表示整数,并求出所有这些整数的和.
【答案与解析】
1.C
2.B
3.C
4.有理数集合
-1 2,0 ,0.16 ,31
2
,0.15 ,√-0.125
3 ,3.1415,-0.789
·
2
·
,…;无理数
集合√3 ,-2
3√5 ,π
3
√16 , -√3+√2 , …;正实数集合
0.16 ,31
2 ,0.15 ,√3,π
3
√16,3.1415 ,…;负实数集合
-1 2 ,-2
3
√5 ,√-0.125
3 , -0.789
·
2
·
,-√3+√2 ,….
5.B(解析: 由勾股定理得正方形的对角线长为√2,设点A表示的数为x,则2-x=√2,解得x=2-√2.故选B.)
6.3+2√2(解析: 在等腰直角三角形ABC中,AC=CB=2,根据勾股定理可以得到AB=2√2,则当顶点C下一次落在数轴上时,所在的位置表示的实
数是3+2√2.故填3+2√2.)
7.解:如图所示,点C是√13对应的点,点G是-√17对应的点.
8.解:(1)由数轴可知:a-b>0,c-b<0,c-a<0,所以原式
=(a-b)-(c-b)-(c-a)=a-b-c+b-c+a=2a-2c. (2)由题意可知
x+y=0,z=-1,mn=1,所以a=0,b=-(-1)2=-1,c=-4,∴
98a+99b+100c=-99-400=-499. (3)满足条件的点D表示的整数为-7或3,它们的和为-4.
教学反思
本节课作为有理数的扩张,关注前后知识之间的内在联系,关注运用类比的思想学习新的知识,这样学生比较容易接受.
八年级的学生的认知状况不同,这种借助类比思想学习实数的有关知识,对有些学生来说比较困难,因为这样的设计使课堂容量增大不少.
根据学生的认知状况,借助类比学习实数的有关知识,如果学生整体认知水平较高,教学过程可以更加开放,在讨论了实数的两个分类标准之后,引导学生尝试自主地进行实数的分类,再进行交流.
教材习题答案
随堂练习(教材第39页)
1.解:(1)不正确. (2)正确. (3)不正确.
2.解:(1)√7的相反数是-√7,倒数是√7,绝对值是√7. (2)√-83
的相反数是2,倒数是-12,绝对值是2. (3)√49的相反数是-7,倒数是17,绝对值是7.
3.解:如图所示.
习题2.8(教材第40页)
1.(1)7.5,4,23
,√-273,0.31,0.1·5· (2) √15, √917,-π (3)7.5, √15,4, √917,23,0.31,0.1·5· (4)√-273,-π
2.解:(1)-
3.8,519
,3.8. (2)√21,-√21,√21. (3)π,-1π,π. (4)-√3,√3,√3. (5)-310,103,310
. 3.解:如图所示,点A 就是-√10对应的点.
4.解:如图所示,ΔABC 为钝角三角形,且面积为3,AB =AC =√10,BC =6.(答案不唯一)
素材 -√2的绝对值是 ( )
A.√2
B.-√2
C.√2
2 D.-√2
2
〔解析〕|-√2|=√2.故选A.
如图所示,数轴上A,B两点表示的数分别为√2和5.1,则A,B两点之间表示整数的点共有()
A.6个
B.5个
C.4个
D.3个
〔解析〕因为1<√2<2,5<5.1<6,所以A,B两点之间表示整数的点所对应的数为2,3,4,5,共有4个.故选C.
[解题策略]根据数轴的特点把数和点对应起来,也就是把“数”和“形”结合起来,二者互相补充,相辅相成,在学习中要注意数形结合思想的应用.
如图所示,正方形ODBC中,OC=1,OA=OB,则数轴上点A表示
的数是.
〔解析〕因为OB=√12+12=√2,所以OA=OB=√2,因为点A在数轴上原点的左边,所以点A表示的数是-√2.故填-√2.。