欣宜市实验学校二零二一学年度高三数学上学期第一次质量检测试题文试题 2

黔西北州欣宜市实验学校二零二一学年度2021-2021学年
高三级第一学期第一次质检试题
文科数学 2021-10
本套试卷一共4页，22小题，总分值是150分．考试用时120分钟．
一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分． 1．集合
{}{}21,20
A x x
B x x x =≥=--<，那么A
B =〔〕
． A.
{}1x x ≥ B.{}12x x ≤< C.{}11x x -<≤ D.{}1x x >-
2．设复数z 满足(3)3i z i +=-，那么||z =〔〕． A.
1
2
B.1 2 D.2
3．为弘华民族传统文化，某中学学生会对本校高一年级1000名学生课余时间是参加传统文化活动的情况，随机抽
取50名学生进展调查，将数据分组整理后，列表如下：
参加场数 0 1 2 3 4 5 6 7
参加人数占调查人数的百分比 8% 10% 20%
26%
18%
12% 4% 2%
估计该校高一学生参加传统文化活动情况正确的选项是〔〕．
4．双曲线C :22
2210,0)x y a b a b
-=>>（
，直线y b =与C 的两条渐近线的交点分别为,M N ，O 为坐标原点．假设OMN ∆为直角三角形，那么C 的离心率为〔〕．
2 3 C.2
55．数列{}n a 中，3=2a ，7=1a ．假设数列1n
a
⎧⎫⎨⎬⎩
⎭
为等差数列，那么9
a =〔〕
． A.
1
2
B.
54
C.
45
D.45
-
6．1sin()62πθ
-=，且02πθ∈（，）
，那么cos()3
π
θ-=〔〕． A.0
B.
1
2
C.1
3 7．如图，线段MN 是半径为2的圆O 的一条弦，且MN 的长为2.在圆O 内，将线段MN
绕N 点按逆时针方向转动，使点M 挪动到圆O 上的新位置，继续将线段MN 绕M 点按逆时针方向转动，使点N 挪动到圆O 上的新位置，依此继续转动……点M O 内随机取一点，那么此点取自阴影局部内的概率为〔〕．
A.4π-
1-
C.π
8．在边长为3的等边ABC ∆中，点M 满足2BM MA =，那么CM CA ⋅=〔〕．
A
．
2
B
．C ．6 D ．
152
9．函数
()314,02
5,0x x f x x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪--+>⎩
（），
，当[],1x m m ∈+时，不等式()()2f m x f x m -<+恒成立，那么实数m 的取值范围是()．
A.
(),4-∞- B.(),2-∞- C.()2,2- D.(),0-∞
10．设函数
()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数()f x 在2x =-处获得极小值，那么函数
()y x f x '=⋅的图象可能是〔〕
ABCD
11
．过抛物线2
y =焦点F 的直线与抛物线交于点A ，B ，3AF FB =，抛物线的准线l 与x 轴交于点C ，
AM l ⊥于点M ，那么四边形AMCF 的面积为()
A
．B ．12
C
．D
．12．假设关于x 的方程0x
e ax a +-=没有实数根，那么实数a 的取值范围是()
A ．
(2
,0e -⎤⎦
B ．)2
0,e
⎡⎣
C ．(],0e -
D ．[)0,e
二、填空题：本大题4小题，每一小题5分，一共20分．
13．假设实数,x y 满足约束条件20
0220x y x y x y +≥⎧⎪
-≤⎨⎪-+≥⎩
，那么3z x y =-的最小值等于______．
14．长方体1111ABCD A B C D -的外接球体积为32
3
π，且12AA BC ==，那么直线1A C 与平面11BB C C 所成的角为______．
15．将函数()sin cos f x a x b x
=+(),0∈≠R ,a b a 的图象向左平移π6
个单位长度，得到一个偶函数图象，那么
=b
a
______． 16．数列
{}n a 的前n 项和为n
S
，1
1a =，且1n n S a λ=-〔λ为常数〕．假设数列{}n b 满足
2920n n a b n n =-+-，且1n n b b +<，那么满足条件的n 的取值集合为______．
三、解答题：解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤． 17.(本小题总分值是12分)
在ABC ∆中，角A B C ，，的对边分别是a b c ，，.sin sin 03b C c B π⎛
⎫
--= ⎪⎝
⎭
. (Ⅰ)求角C 的值；
(Ⅱ)
假设4a c ==，ABC ∆的面积. 18.(本小题总分值是12分)
为了理解A 地区足球特色的开展状况，某调查机构得到如下统计数据：
(Ⅰ)根据上表数据，计算与x 的相关系数r ，并说明y x 与的线性相关性强弱(：0.751r ≤
≤，那么认为y x 与线性相关性很强；0.30.75r ≤<，那么认为y x 与线性相关性一般；0.25r ≤，那么认为y x 与线性相关性较弱)；
(Ⅱ)求y 关于x 的线性回归方程，并预测A 地区2021年足球特色的个数(准确到个).
参考公式：()()
n
i
i
x x y
y r --=
∑，
()
2
1
10n
i
i x x =-=∑，
()
2
1
1.3n
i
i y y =-=∑， 3.6056，
()()
()
1
2
1
ˆˆˆ.n
i
i i
n
i
i x
x y y b
a
y bx x
x ==--==--∑∑， 19.(本小题总分值是12分)
如图，三棱台ABC EFG -的底面是正三角形，平面ABC ⊥平面BCGF ，
2CB GF =，BF CF =.
(Ⅰ)求证：AB CG ⊥；
(Ⅱ)假设ABC ∆和梯形BCGF G ABE -的体积. 20.(本小题总分值是12分)
直线:10l x y -+=与焦点为F 的抛物线2:2C y px =(0p >)相切. (Ⅰ)求抛物线C 的方程；
(Ⅱ)过点F 的直线m 与抛物线C 交于A ，B 两点，求A ，B 两点到直线l 的间隔之和的最小值. 21.(本小题总分值是12分)
函数()22
3ln f x x ax a x =-+(a R ∈).
(Ⅰ)求()f x 的单调区间；
(Ⅱ)假设对于任意的2x e ≥(e 为自然对数的底数)，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围.
请考生在第22、23题中任选一题答题.注意：只能做所选定的题目，假设多做，那么按所做的第一个题目计分，答题时，请需要用2B 铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑.
22.(本小题总分值是10分)选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，直线l
的参数方程为122
x t y a t ⎧=-⎪⎪
⎨⎪=+⎪⎩〔t 为参数，a ∈R 〕.以坐标原点为极点，x 轴正半
轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，射线()03
θρπ
=
≥与曲线C 交于,O P 两点，直线l 与曲线C 相交于
,A B 两点.
〔Ⅰ〕求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； 〔Ⅱ〕当
AB OP =时，求a 的值.
23.(本小题总分值是10分)选修4-5：不等式选讲
()32f x x =+.
(Ⅰ)求()1f x ≤的解集；
(Ⅱ)假设()
2
f x a x ≥恒成立，务实数a 的最大值.
2021-2021学年高三级第一学期第一次质检
文科数学试题参考答案
1.【简解】()(){}{}|2+10|12B x x x x x =
-<=-<<，所以{}|1A
B x x =>-，应选D ．
2.【简解一】因为()()()()3i 3i 3i
i ==
3+i 3+i 3i 8610
z ----=
-，所以1z =，应选B ．
【简解二】因为(3+i)3i =-z ，所以(3+i)(3+i)=3i z z =-，所以1z =，应选B ．
3.【简解】估计该校高一学生参加活动次数不低于4场的学生约为：
1000+⨯（0.180.12+0.04+0.02)=360人，应选D.
4.【简解】依题意得：因为∆OMN 为直角三角形，所以双曲线C 的渐近线为=y x ±，即C 是等轴双曲线，所
以C
的离心率=e
A ．
5.【简解】依题意得：7
3
2,1a a ==，因为数列1{}n
a 为等差数列，
所以73111
11273738-
-=
==--a a d ，所以()971115
9784a a =+-⨯=，所以945
=a ，应选C ．
6.【简解一】由π1sin 62θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
得，π3θ=，代入πcos 3θ⎛⎫- ⎪⎝⎭得，πcos 3θ⎛
⎫- ⎪⎝⎭=cos01=，应选C ．
【简解二】由π1sin 62θ
⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
得，πcos 62θ⎛⎫-= ⎪⎝
⎭，
所以πππππππcos cos cos cos sin sin 13666666θ
θθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛
⎫-=--=-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，应选C ． 7.
【简解一】依题意得：阴影局部的面积216[2222S
=⨯π⨯-⨯⨯π-1（）6
24122P πππ
=
=-⋅，应选B ．
【简解二】依题意得：阴影局部的面积21262222
S
=π⨯-⨯⨯⨯⨯π-
1P =
=，应选B ．
8.【简解一】依题意得：
121211215)333333333232
CM CA CB CA CA CB CA CA CA ⋅=+⋅=⋅+⋅=⨯⨯⨯+⨯⨯=（，应选D ．
【简解二】依题意得：以
C 为原点，CA 所在的直线为x 轴建立平面直角直角坐标系，那么
50,03,02C A M （），（），（，
，所以515
3,022
CM CA ⋅==（（），应选D ． 【简解三】依题意得：过M 点作MD AC ⊥于D ，如下列图，那么
CM CA ⋅=CD CA ⋅=15
(31cos60)32
-⨯⨯=
，应选D ． 9.【简解】依题意得：函数
()314,025,0x x f x x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪--+>⎩
（）在x ∈R 上单调递减，
因为
()()2-<+f m x f x m ，所以2m x x m ->+，即2x m <，在[],1∈+x m m 上恒成立，所以
2(1)m m +<，即2m <-，应选B ．
10.【简解】【解析】∵函数()f x 在R 上可导，其导函数()f x '，且函数()f x 在2x =-处获得极小值，
∴当2x >-时，
()0f x '>；当2x =-时，()0f x '=；当2x <-时，()0f x '<．
∴当20x -<<时，()0xf x '<；当2x =-时，()0xf x '=；当2x <-或者0x >时，()0xf x '>.选：
C ．
11.【解答】解：解：过B 作BN l ⊥于N ，过B 作BK AM ⊥于K ，设||BF m =，||3AF m =，那么||4AB m =，2AK m =，13
60222
BAA CF p m ⇒∠=︒⇒==
=42m ∴=
342AM m ⇒==3
sin 60326MC AF m =︒== 那么四边形AMCF 的面积为11
()(2242)2612322S CF AM MC =+=⨯=A ．
12.【解答】解：方程0x e ax a +-=没有实数根，得方程(1)x
e a x =--没有实数根， 等价为函数x
y e =与(1)y a x =--没有交点，
当0a >时，直线(1)y a x =--与x
y e =恒有交点，不满足条件． 当0a =时，直线0y =与x
y e =没有交点，满足条件．
当0a <时，当过(1,0)点的直线x y e =相切时，设切点为(,)m m e ，那么()x f x e '=，那么()m
f m e '=， 那么切线方程为()m m m m y e e x m e x me -=-=-．即m m m
y e x me e =-+， 切线过(1,0)点，那么0m m m e me e -+=，得2m =，即切线斜率为2
e ， 要使x y e =与(1)y a x =--没有交点，那么满足20a e <-<，即2
0e a -<<， 综上2
0e a <，即实数a 的取值范围是2
(e -，0]，应选：A ． 二、填空题
13.【简解】依题意，可行域为如下列图的阴影局部的三角形区域，目的函数化为：
3y x z =-，那么z 的最小值即为动直线在y 轴上的截距的最大值．通过平移可知在A 点
处动直线在
y
轴上的截距最大．因为
20
:220x y A x y +=⎧⎨-+=⎩
解得
11,2A ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭，所以3z x y
=-的最小值
()min 17
3122
z =⋅--
=-． 14.【简解】设长方体1111ABCD A B C D -的外接球半径为
R ，因为长方体1111ABCD A B C D -的外接球体积为
3432
33
R ππ=，所以2R =,即1A C 2221=24AA BC AB R ++=，因为12AA BC ==，所以22AB =
因为11A B ⊥平面11BB C C ，所以1A C 与平面11BB C C 所成的角为11ACB ∠， 在11Rt ACB △中，因为12AA BC ==
，所以111B C A B ==，所以11=4
ACB π∠．
15.【简解】因为()sin cos f x a x b x
=+(),0∈≠R ,a b a 的图象向左平移π6
单位长度，得到偶函数图象，所以函
数()sin cos f x a x b x =+的对称轴为π
6
x =， 所以
()sin cos =(0)=333f a b f b πππ=+，因为0a ≠
，所以b
a
16.【简解】因为1
1a =，且1n n S a λ=-〔λ为常数〕，所以111a λ=-=，解得=2λ，
所以21n
n S a =-，所以()-1-1212n n S a n =-≥，所以12n n a a -=，所以12n n a -=，
因为2
920n n a b n n =-+-，所以2-1
9202n n n n b -+-=，
所以2+111+28(4)(7)22
n n n n
n n n n b b ----==0<，解得47n <<，又因为*
n ∈N ，所以=5n 或者=6n ．
所以，当=5n 或者=6n 时，1n n b b +<，即满足条件的n 的取值集合为{}5,6．
三、解答题：
17.(本小题总分值是12分) 解:(Ⅰ)∵sin sin 03b C c B π⎛
⎫
-
-= ⎪⎝
⎭
，∴1sin sin sin sin 02B C C C B ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭
，………………2分
∴
1sin 02C C =，∴sin 03C π⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭.……………………………………4分 ∵()0C π∈，，∴23
C π
=
.…………………………6分 (Ⅱ)∵2222cos c a b ab C =+-，∴24120b b +-=，………………………………8分 ∵0b >，∴2b =，………………………………10分
∴11sin 2422S ab C =
=⨯⨯=…………………………12分 18.(本小题总分值是12分)
解：(Ⅰ)20161x y ==，，…………………………2分
()()
3.6
0.753.6056
n
i
i
x x y
y r --=
=
>∑，……………………4分 ∴y x 与线性相关性很强.…………………………6分
(Ⅱ)()()
()
()()()()5
1
5
2
1
20.710.410.420.7
ˆ0.3641014
i
i
i i
i x x y
y b
x
x ==---⨯-+-⨯-+⨯+⨯==
=++++-∑∑，……………………8分
ˆˆ120160.36724.76a
y bx =-=-⨯=-，………………………………9分 ∴y 关于x 的线性回归方程是ˆ0.36724.76y
x =-.…………………………10分 当2019x =时，ˆ0.36724.76 2.08y
x =-=， 即A 地区2021年足球特色有208个.…………………………12分 19.(本小题总分值是12分)
(Ⅰ)证明：取BC 的中点为D ，连结DF .…………………………1分 由ABC EFG -是三棱台得，平面//ABC 平面EFG ，∴//BC FG .………2分
∵2CB GF =，∴//CD GF =
，……………………………………3分 ∴四边形CDFG 为平行四边形，∴//CG DF . ∵BF CF =，D 为BC 的中点，
∴DF BC ⊥，∴CG BC ⊥.……………………4分
∵平面ABC ⊥平面BCGF ，且交线为BC ，CG ⊂平面BCGF ，
∴CG ⊥平面ABC ，而AB ⊂平面ABC ，∴CG AB ⊥.……………………6分 (Ⅱ)∵三棱台ABC EFG -的底面是正三角形，且2CB GF =， ∴2AC EG =，∴2ACG AEG S S ∆∆=，………………………………8分 ∴11
22
G ABE B AEG B ACG G ABC V V V V ----==
=.…………………………9分 由(Ⅰ)知，CG ⊥平面ABC .
∵正ABC ∆的面积等于3，∴2BC =，1GF =.…………………………10分 ∵直角梯形BCGF 的面积等于3，∴
()1232
CG
+⋅=，∴2
33
CG =
， ∴1111
2233
G ABE G ABC ABC V V S CG --∆=
=⋅⋅⋅=.…………………………12分 20.(本小题总分值是12分)
解：(Ⅰ)∵直线:10l x y -+=与抛物线C 2
10
2x y y px
-+=⎧⎨
=⎩消去x 得，2220y py p -+=，……2分 从而2480p p ∆=-=，解得2p =.………………………………4分 ∴抛物线C 的方程为24y x =.…………………………5分
(Ⅱ)由于直线m 的斜率不为0，所以可设直线m 的方程为1ty x =-，A (11x y ，)，B (22x y ，).……6分 由2
1
4ty x y x
=-⎧⎨
=⎩消去x 得，2440y ty --=，………………………………7分 ∴124y y t +=，从而21242x x t +=+，……………………………………8分 ∴线段AB 的中点M 的坐标为(221 2t t +，).………………………………9分
设点A 到直线l 的间隔为A d ，点B 到直线l 的间隔为B d ，点M 到直线l 的间隔为d ，那么
2213
22124
A B d d d t t ⎫+===-+=-+⎪⎭，…………………………11分
∴当12t =
时，可使A 、B 两点到直线l
.………………12分 21.(本小题总分值是12分)
解：(Ⅰ)()f x 的定义域为(0 +∞，).…………………………1分
()()222223223a x x a a x ax a f x x a x x x
⎛
⎫-- ⎪-+⎝⎭'=-+==.…………………………2分
⑴当0a ≤时，()0f x '>恒成立，()f x 的单调递增区间为(0 +∞，)，无单调递减区间；…………3分 ⑵当0a >时，由()0f x '>解得0 2a x ⎛
⎫∈ ⎪
⎝⎭
，() a +∞，
，由()0f x '<解得2a x a ⎛
⎫
∈ ⎪⎝⎭
，.………………4分 ∴()f x 的单调递增区间为0 2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，和()a +∞，
，单调递减区间是2
a
a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，.……………………5分 (Ⅱ)①当0a ≤时，()0f x '>恒成立，()f x 在(0 +∞，)上单调递增，
∴()
2422
()320≥=-+≥f x f e e ae a 恒成立，符合题意.…………………………6分
②当0a >时，由(Ⅰ)知，()f x 在0 2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，和()a +∞，
上单调递增，在2a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，上单调递减. (ⅰ)假设2
02a e <≤
，即22≥a e 时，()f x 在2 2a e ⎡
⎫⎪⎢⎣
⎭，上单调递增，在2a a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，上单调递减，在()a +∞，
上单调递增.
∴对任意的实数2x e ≥，()0f x ≥恒成立，只需()
2
0f e ≥，且()0f a ≥.……………………………7分 而当22≥a e 时，()
222422
23(2)()0=-+=--≥f e a ae e a e a e 且()22223ln (ln 2)0=-+=-≥f a a a a a a a 成
立.
∴22a e ≥符合题意.………………………………8分 (ⅱ)假设
22
a
e a <≤时，()
f x 在)2e a ⎡⎣，上单调递减，在[)a +∞，上单调递增. ∴对任意的实数2x e ≥，()0f x ≥恒成立，只需()0≥f a 即可，
此时()2222
3ln (ln 2)0=-+=-≥f a a a a a a a 成立，∴222e a e ≤<符合题意.…………………………9分 (ⅲ)假设2e a >，()f x 在)
2
e ⎡+∞⎣，
上单调递增. ∴对任意的实数2x e ≥，()0f x ≥恒成立，只需()
2422
320f e e ae a =-+≥，……………………10分
即()()()242222
3220f e e ae a a e a e =-+=--≥，∴2
02
e a <≤
符合题意.……………………………11分 综上所述，实数a 的取值范围是)22
2e e ⎛⎤
⎡-∞+∞ ⎥⎣⎝
⎦，，
.…………………………12分
22.(本小题总分值是10分)
【解析】〔1〕将直线l
0y a +-=. ············· 2分
由4cos ρ
θ=，得24cos ρρθ=， ·························· 3分
从而2
24x
y x +=，即曲线C 的直角坐标方程为2240x x y -+=. ············ 5分
〔2〕解法一：由()4cos 03ρθ
θρ=⎧⎪
π
⎨=≥⎪⎩
，得2,3P π⎛⎫ ⎪⎝⎭.所以2OP =， ············· 6分 将直线l 的参数方程代入圆的方程2
240x x y -+=
，得()
2220t t a +++=
由0∆>
，得44a <<…………………………………………………………8分
设A 、B 两点对应的参数为12,t t ，那么
12AB 2t t =-=
==……9分
解得，0a
=或者a =所以，所求a
的值是0或者………………………………………………10分
解法二：将射线()03
θ
ρπ
=
≥()00y x -=≥， ··········· 6分 由〔1〕知，曲线C ：
()
2
224x y -+=的圆心()2,0C ，半径为2，
由点到直线间隔公式，得C
到该射线的最短间隔为：d =
=， 所以该射线与曲线C 相交所得的弦长为
2OP ==． ············ 7分
圆心C 到直线l
=， ··················· 8分
由2
2212+=
⎝
⎭
，得()
2
12a
=
，即a =± ········ 9分
解得，0a
=或者a =a
的值是0或者……………………………………10分
23.(本小题总分值是10分)
解：(Ⅰ)由()1f x ≤得，|32|1x +≤，所以，1321x -≤+≤，解得113
x -≤≤-， 所以，()1f x ≤的解集为113
⎡⎤--⎢⎥⎣
⎦
，.…………………………5分
(Ⅱ)()
2f x a x ≥恒成立，即2
32+≥x a x 恒成立.
当0x =时，a R ∈；
当0x ≠时，23223+≤=+x a x x x
.
因为23x x +≥当且仅当23x x =，即x =)，
所以a ≤a 的最大值是…………………………10分。