中考复习北师大版数学——图形的相似(经典题-超全)

图形的相似知识点1 比例的性质
一、单项选择题
1. 53 x2 =，
那么的值是
A .
B .
C .
D .
2. 3x=4y(xy≠0)，那么以下比例式成立的是()
3. 不为0的四个实数a、b ，c、d满足，改写成比例式错误的选项是〔〕
A .
B .
C .
D .
4. 如果，那么的值是〔〕.
A .
B .
C .
D .
5. 假设
y3
x2
=，那么以下各式不成立的是〔〕
6. 假设=，那么
2x y
x y
-
+的值为〔〕
A .
B .
C . 1
D .
7. 2x=3y〔xy≠0〕，那么以下各式中错误的选项是〔〕
8. =，
a-b
a+b
那么的值是〔〕
A . -
B . -
C . -
D . -
9. 假设
a3
5
b
=，那么
a+b
b
的值为〔〕
A .
B .
C .
D .
10. x ：y=3：2，那么以下各式中不正确的选项是〔 〕
二、解答题
11. a ：b ：c=2：3：4，且2a+3b ﹣2c=10，求a ﹣2b+3c 的值． 12.
== ， 且x+y ﹣z=6，求x 、y 、z 的值．
13.
=≠0，求代数式
5a-2b
a 2b
+的值．
14.
= ， 且x ﹣y=2，求22
x y
y -+ 的值．
15. a+b+c=60，且
a 345
b c
==， 求a 、b 、c 的值． 16.
3
2
a b =， 求以下算式的值．
17.
023a b =≠，求代数式
522a b
a b
-+的值． 18.
234
x y z ==， 〔1〕求2x y z
-的值；
〔2〕如果
y z =-， 求x 的值．
19. a+b+c=60，且
345
a b c
==， 求a 、b 、c 的值． 20. ： = =
，x ﹣y+z=6，求：代数式3x ﹣2y+z 的值．
三、填空题 21. 假设
12
x y =， 那么
x y
y += .
22. a:b=3:2，那么(a-b):a= ． 23. 如果x ：y=4：3，那么
x y
y
-= ． 24. 34a b =
，那么 2a
a b
+的值为 ． 25. 如果x ：y=1：2，那么+x y
y
= 26.
24
x y
= ，那么
32x y x y -=- ． 27. 如果
=
，那么
a b
b
- 1 〔填“=〞“＞〞“＜〞〕 28. 假设 = =
，那么
4a b
c
+= 。

29. 假设a 、b 、c 、d 满足
=
=
，那么
a c
b d
++ = ．
30.
34a b =，那么
2a
a b
+的值为 ． 知识点2 比例线段 一、单项选择题
1. 在同一时刻的阳光下，小明的影子比小强的影子长，那么在同一路灯下 〔 〕 A . 小明的影子比小强的影子长 B . 小明的影子比小强的影子短 C . 小明的影子和小强的一样长 D . 谁的影子长不确定
2. 以下各组数中，能成比例的是〔 〕
A . 3，4，5，6
B . -1，-2， 2，4
C . -3，1，3，0
D . -1，2，-3，4 3. 在比例尺：1﹕500000的平面地图上，A 、B 两地的距离是6cm ，那么A 、B 两地的实际距离是〔 〕
A . 60km
B . 1.2km
C . 30km
D . 20km 4. 以以下长度〔同一单位〕为长的四条线段中，不成比例的是〔 〕 A . 2，5，10，25 B . 4，7，4，7 C . 2， ，
， 4 D .
，
， 2
， 5
5. 以下四条线段中，不能成比例的是〔 〕 A . a=3，b=6，c=2，d=4 B . a=1，b=
， c=
， d=
C . a=4，b=6，c=5，d=10
D . a=2，b=，c=，d=2
6. 以下各组线段能成比例的是〔〕
A . 0.2cm，0.1m，0.4cm，0.2cm
B . 1cm，2cm，3cm，4cm
C . 4cm，6cm，8cm，3cm
D . cm，cm，cm，cm
7. 线段a、b、c，其中c是a、b的比例中项，假设a=9cm，b=4cm，那么线段c长
〔〕
A . 18cm
B . 5cm
C . 6cm
D . ±6cm
8. 两地的实际距离是2000m，在地图上量得这两地的距离为2cm，这幅地图的比例尺是〔〕
A . 1：1000000
B . 1：100000
C . 1：2000
D . 1：1000
9. 以下各组线段中，能成比例的是〔〕
A . 3，6，7，9
B . 2，5，6，8
C . 3，6，9，18
D . 1，2，3，4
10. 如果线段a=16cm，b=4cm，那么a和b的比例中项是〔〕
A . 8cm
B . 10cm
C . 12cm
D . 32cm
二、填空题
11. 有一块三角形的草地，它的一条边长为25m．在图纸上，这条边的长为5cm，其他两条边的长都为4cm，那么其他两边的实际长度都是m．
12. 线段a=2cm，b=8cm，那么线段a和b的比例中项为cm．
13. 上海与杭州的实际距离约200千米，在比例尺为1：5000000的地图上，上海与杭州的图上距离约厘米．
14. 如果在比例1：1000000的地图上，A、B两地的图上距离为2.4厘米，那么A、B两地的实际距离为千米．
15. 如图，D为△ABC的边AB上一点，如果∠ACD=∠ABC时，那么图中是AD和AB 的比例中项．
16. 线段a=9，c=4，如果线段b是a、c的比例中项，那么b=．
17. 在一张比例尺为1：5000的地图中，小明家到学校的距离为0.2米，那么小明家到学校的实际距离是米．
18. 如果线段c是a、b的比例中项，且a=2，b=8，那么c= ．
19. 在比例尺为1：5000的地图上，某校到果园的图距为8cm，那么实际距离为m．
20. 线段a是线段b、c的比例中项，b=3cm，c=12cm，那么a=cm．
三、解答题
21. 假设点P在线段AB上，点Q在线段AB的延长线上，AB=10，
3
2
AP AQ
BP BQ
==．求线段
PQ的长．
22. a、b、c是△ABC的三边长，且==≠0，求：
〔1〕2
3
a b
c
+
的值．
〔2〕假设△ABC的周长为90，求各边的长．
23. 〔1〕a=4，c=9，假设b是a，c的比例中项，求b的值．
〔2〕线段MN是AB，CD的比例中项，AB=4cm，CD=5cm，求MN的长．并思考两题有何区别．
24. 小丽家住在花园小区离站前小学的直线距离是5km．
①请你先量一量花园小区到站前小学的图上距离〔四舍五入，保存整厘米〕，再求出这幅图的比例尺；
②将求出的比例尺用线段比例尺表示出来．
25. 线段a、b、c满足a：b：c=3：2：6，且a+2b+c=26．
〔1〕求a、b、c的值；
〔2〕假设线段x是线段a、b的比例中项，求x的值．
26. a：b：c=3：5：6，且2a+b﹣c=10，求abc的值．
27. 假设点P在线段AB上，点Q在线段AB的延长线上，AB=10，
3
2
AP AQ
BP BQ
==．求线段
PQ的长．
28. 在比例尺为1：10000的地图上，有甲、乙两个相似三角形区域，其周长分别为10cm 和15cm．
〔1〕求它们的面积比；
〔2〕假设在地图上量得甲的面积为16cm2，那么乙所表示的实际区域的面积是多少平方米？
29.
5
2
a
b
=，那么
a b
b
-
=？
30. 我们知道：假设a c
b d
=，且b+d≠0，那么=
a c a c
b d b d
+
=
+
．
假设b+d=0，那么a、c满足什么关系？
知识点3 平行线分线段成比例
一、单项选择题
1. 如图，在△ABC中，点D ，E ，F分别是边AB ，AC ，BC上的点，DE∥BC ，EF∥AB ，且AD：DB=4：7，那么CF：CB等于〔〕
A . 7：11
B . 4：8
C . 4：7
D . 3：7
2. 如图，BD、CE相交于点A，以下条件中，能推得DE∥BC的条件是〔〕
A . AE：EC=AD：D
B B . AD：AB=DE：B
C C . AD：DE=AB：BC
D . BD：AB=AC：EC
3. 如图，四条平行直线l1，l2，l3，l4被直线l5，l6所截，AB：BC：CD=1：2：3，假设FG=3，那么线段EF和线段GH的长度之和是〔〕
A . 5
B . 6
C . 7
D . 8
4. 如图，在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC上的点，DE=BF，EF=BD，且AD：DB=3：5，那么CF：CB等于〔〕
A . 3：5
B . 3：8
C . 5：8
D . 2：5
5. 如图，AB∥CD∥EF，直线AF与直线BE相交于点O，以下结论错误的选项是〔〕
6. 如图，假设BC∥DE，那么下面比例式不能成立的是〔〕
7. 如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且DE∥BC，如果AD=2cm，DB=1cm，AE=1.8cm，那么EC=〔〕
A . 0.9cm
B . 1cm
C . 3.6cm
D . 0.2cm
8. 如图：△ABC中，DE∥BC，AD=5，BD=10，AE=3．那么AC的值为〔〕
A . 9
B . 6
C . 3
D . 4
9. 如图，直线l∥m∥n，直线a分别与l，m，n交于点A，B，C，过点B作直线b交直线l，n于点D，E，假设AB=2，BC=1，BD=3，那么BE的长为〔〕
A . 4
B . 2
C .
D .
10. 如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF分别交
l1，l2，l3于点D，E，F．AC与DF相交于点H，且AH=2，HB=1，BC=5，那么DE EF
的
值为〔〕
A .
B . 2
C .
D .
二、填空题
11. 如图，D ，E分别是△ABC的边BC和AC上的点，AE=2，CE=3，要使DE∥AB ，那么BC：CD应等于．
12. 如图，身高为1.6m的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B到A走去，当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC=3.2m，CA=0.8m，那么树的高度为m．
13. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在边AB上，线段DC绕点D逆时针旋转，端点C
恰巧落在边AC上的点E处．如果AD
m
DB
=，
AE
n
EC
=．那么m与n满足的关系式是：
m=〔用含n的代数式表示m〕．
14. 如图，在△ABC中，假设DE∥BC，
1
2
AD
DB
=，DE=4cm，那么BC的长为．
15. 如图，假设l1∥l2∥l3，如果DE=6，EF=2，BC=1.5，那么AC=．
16. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，与BC边的交点为D，且DC=BC，DE∥AC，与AB 边的交点为E，假设DE=4，那么BE的长为．
17. 如图，△ABC的两条中线AD和BE相交于点G，过点E作EF∥BC交AD于点F，那么
FG
AG
=．
18. 如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1、l2、l3于点A、B、C；过点B的直线DE分别交l1、l3于点D、E．假设AB=2，BC=4，BD=1.5，那么线段BE的长为．
19. 如图，直线AD∥BE∥CF，BC=AC，DE=4，那么EF的值是．
20. 如图，直线a∥b∥c，点B是线段AC的中点，假设DE=2，那么EF= ．
三、解答题
21. 如图，在△ABC中，EF∥CD ，DE∥BC ．求证：AF：FD=AD：DB ．
22. 如图，AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F，
2
5
DE
EF
，
AC=14；
〔1〕求AB、BC的长；
〔2〕如果AD=7，CF=14，求BE的长．
23. 如图，△ABC中，AD⊥BC，∠B=2∠C，E，F分别是BC，AC的中点，假设DE=3，求线段AB的长．
24. 〔1〕计算：|﹣2|﹣+〔﹣〕﹣1；
〔2〕如图，直线AD∥BE∥CF，
2
3
AB
AC
=，DE=6，求EF的长．
25. 如图，在▱ABCD中，EF∥AB，FG∥ED，DE：DA=2：5，EF=4，求线段CG的长．
26. 对于平行线，我们有这样的结论：如图1，AB∥CD，AD，BC交于点O，那么
AO BO
DO CO
=．
请利用该结论解答下面的问题：
如图2，在△ABC中，点D在线段BC上，∠BAD=75°，∠CAD=30°，AD=2，BD=2DC，求AC
的长．
27. 如图，在▱ABCD中，EF∥AB，FG∥ED，DE：DA=2：5，EF=4，求线段CG的长．
28. 深圳市民中心广场上有旗杆如图①所示,某学校数学兴趣小组测量了该旗杆的高度.如图②,某一时刻,旗杆AB的影子一局部落在平台上，另一局部落在斜坡上,测得落在平台上的影长BC为16米,落在斜坡上的影长CD为8米,AB⊥BC;同一时刻,太阳光线与水平面的夹角为45°,1米的标杆EF竖立在斜坡上的影长FG为2米,求旗杆的高度.
四、综合题
29. 如图，在△ABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，点P从A出发，沿AB以4cm/s的速度向点B运动；同时点Q从C点出发，沿CA以3cm/s的速度向A点运动．设运动时间为x 〔s〕．
〔1〕当x为何值时，PQ∥BC；
〔2〕当△APQ与△CQB相似时，AP的长为．；
〔3〕当S△BCQ：S△ABC=1：3，求S△APQ：S△ABQ的值．
30. 如图，AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F．
〔1〕如果AB=6，BC=8，DF=21，求DE的长；
〔2〕如果DE：DF=2：5，AD=9，CF=14，求BE的长．
知识点四相似图形
一、单项选择题
1. 如图，BC∥DE，那么以下说法中不正确的选项是〔〕
A . 两个三角形是位似图形
B . 点A是两个三角形的位似中心
C . AE︰AD是位似比
D . 点B与点E、点C与点D是对应位似点
2. 以下关于相似的说法：①所有的等腰直角三角形一定相似；②所有的菱形一定相似；
③所有的全等三角形一定相似；④所有的有一个角为60°的等腰梯形一定相似．其中说法正确的有()
A . 1个
B . 4个
C . 3个
D . 2个
3. 我们已经学习了相似三角形，也知道，如果两个几何图形形状相同而大小不一定相同，我们就把它们叫做相似图形．比方两个正方形，它们的边长、对角线等所有元素都对应成比例，就可以称它们为相似图形．现给出以下4对几何图形：①两个圆；②两个菱形；
③两个长方形；④两个正六边形，是相似图形的有〔〕
A . ①③
B . ①②
C . ①④
D . ②③
4. 以下图形一定相似的是〔〕
A . 两个矩形
B . 两个等腰梯形
C . 对应边成比例的两个四边形
D . 有一个内角相等的菱形
5. 以下两个图形一定相似的是〔〕
A . 两个菱形
B . 两个矩形
C . 两个正方形
D . 两个等腰梯形
6. 以下各选项中的两个图形不一定相似的是〔〕
A . 两个正方形
B . 两个等边三角形
C . 各有100°角的两个等腰三角形
D . 各有45°角的两个等腰三角形
7. 在一张由复印机放大复印出来的纸上，一个多边形的一条边由原来的1cm变成了4cm，那么这次复印的面积变为原来的〔〕
A . 不变
B . 2倍
C . 3倍
D . 16倍
8. 以下图形一定是相似图形的是〔〕
A . 任意两个菱形
B . 任意两个正三角形
C . 两个等腰三角形
D . 两个矩形
9. 以下说法正确的选项是〔〕
A . 所有的矩形都是相似形
B . 有一个角等于100°的两个等腰三角形相似
C . 对应角相等的两个多边形相似
D . 对应边成比例的两个多边形相似
10. 以下各组图形不一定相似的是〔〕
A . 两个等边三角形
B . 各有一个角是100°的两个等腰三角形
C . 两个正方形
D . 各有一个角是45°的两个等腰三角形
二、填空题
11. 如下图，一般书本的纸张是原纸张屡次对开得到的，矩形ABCD沿EF对开后，再把矩
形EFCD沿MN对开，依次类推，假设各种开本的矩形都相似，那么AB
AD
.
12. 在一张比例尺为1︰50000的地图中,小明家到动车站的距离有0．2米,那么小明家到动车站的实际距离是米．
13. 在一张由复印机通过放大复印出来的纸上，一个面积为2cm2图案的一条边由原来的
1cm变成3cm，那么这次复印出来的图案的面积是cm2．
14. 〔1〕同一张底片印出来的不同尺寸的照片是图形；
〔2〕正对且平行平面镜的一幅画在平面镜里的像与原画之间的关系是；用放大镜看这幅画，看到的放大后的像与原画之间的关系是；
〔3〕以下各组图形中，肯定是相似图形的是〔只填序号〕．
①半径不等的两个圆；②边长不等的两个正方形；③周长不等的两个正六边形；④面积不等的两个矩形；③边长不等的两个菱形．
15. 同一底片印出来的不同尺寸的照片也是．
16. 如图，E、P、F分别是AB、AC、AD的中点，那么四边形AEPF与四边形ABCD 〔填“是〞或“不是〞〕位似图形．
17. 〔2021•安徽〕如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=10，点E在CD上，将△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处；点G在AF上，将△ABG沿BG折叠，点A恰落在
线段BF上的点H处，有以下结论：
①∠EBG=45°；②△DEF∽△ABG；③S△ABG= S△FGH；④AG+DF=FG．
其中正确的选项是．〔把所有正确结论的序号都选上〕
18. 将直角三角形的三条边都同时扩大m倍〔m为正整数〕，得到的新三角形为三角形．
19. 如图中图形，其中的相似图形有和；和;和；
和；和
20. 〔1〕同一张底片印出来的不同尺寸的照片是图形；
〔2〕正对且平行平面镜的一幅画在平面镜里的像与原画之间的关系是用放大镜看这幅画，看到的放大后的像与原画之间的关系是
〔3〕以下各组图形中，肯定是相似图形的是〔只填序号〕．
①半径不等的两个圆；②边长不等的两个正方形；③周长不等的两个正六边形；④面积不等的两个矩形；③边长不等的两个菱形．
三、解答题
21. 阅读理解：如图1，在四边形ABCD的边AB上任取一点E〔点E不与A、B重合〕，分别连接ED、EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“相似点〞：如果这三个三角形都相似，我们就把E 叫做四边形ABCD的边AB上的“强相似点〞．解决问题：
〔1〕如图1，∠A=∠B=∠DEC=45°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并
说明理由；
〔2〕如图2，在矩形ABCD中，A、B、C、D四点均在正方形网格〔网格中每个小正方形
的边长为1〕的格点〔即每个小正方形的顶点〕上，试在图②中画出矩形ABCD的边AB上的强相似点；
〔3〕如图3，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处，假设点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究AB与BC的数量关系．
22. 将三角形各边向外平移1个单位并适当延长，得到如图(1)所示的图形，变化前后的两个三角形相似吗？如果把三角形改为正方形、长方形呢？(如图(2)(3))
23. 如下图，将以下图形分别分成四小块，使它们的形状、大小完全相同，并且与原图形相似，应怎样分？〔画出大致图形即可〕
24. 用木条制成如图的形式，A、B、C三点钉上钉子，在D和D′处加上粉笔，当用D′画图时，在D处的笔同时也画出一个图形．请问：这样画出的两个图形是相似图形吗？
25. 生活中存在大量的形状相同的图形，试举出几例．
26. 请任意画出两个相似的图形．
27. 如图是两个相似圆柱，它们的相似比为2：3，求它们的体积之比．
28. 如图是一个由12个相似〔形状相同，大小不同〕的直角三角形所组成的图案，它是否有点像一个商标图案？你能否也用相似图形设计出几个美丽的图案？最好再给你设计的图案取一个名字．
29. 将三角形各边向外平移1个单位并适当延长，得到如图〔1〕所示的图形，变化前后的两个三角形相似吗？如果把三角形改为正方形、长方形呢？
30. 下面的图形是否是相似图形？
知识点5 相似多边形的性质
一、单项选择题
1. 如果一个矩形对折后和原矩形相似，那么对折后矩形长边与短边的比为〔〕
A . 4:1
B . 2:1
C . 1.5:1
D . :1
2. 两个相似多边形的一组对应边分别为6cm和8cm，如果较小多边形的周长为24cm，那么较大多边形的周长为〔〕
A . 32cm
B . 30cm
C . 40cm
D . 56cm
3. 两个边数相同的多边形相似应具备的条件是〔〕
A . 各角对应相等
B . 各边对应成比例
C . 各角对相等，各边对应相等
D . 各角对应相等，各边对应成比例
4. 图中，有三个矩形，其中相似的是〔〕
A . 甲和乙
B . 甲和丙
C . 乙和丙
D . 没有相似的矩形
5. 给形状相同且对应边的比是1：2的两块标牌的外表涂漆，如果小标牌用漆半听，那么大标牌的用漆量是〔〕
A . 1听
B . 2听
C . 3听
D . 4听
6. 如图，一个小圆沿着一个五边形的边滚动，如果五边形的各边长都和小圆的周长相等如图，一个小圆沿着一个五边形的边滚动，如果五边形的各边长都和小圆的周长相等，那么当小圆滚动到原来位置时，小圆自身滚动的圈数是〔〕
A . 4
B . 5
C . 6
D . 10
7. 两个相似多边形的面积之比是1：4，那么这两个相似多边形的周长之比是〔〕
A . 1：2
B . 1：4
C . 1：8
D . 1：16
8. 如图，一张矩形纸片ABCD的长AB=a，宽BC=b．将纸片对折，折痕为EF，所得矩形AFED与矩形ABCD相似，那么a：b=〔〕
A . 2：1
B . ：1
C . 3：
D . 3：2
9. 两个五边形相似，其中一个五边形的最长边为20，最短边为4，另一个五边形的最短边为3，那么它的最长边为〔〕
A . 15
B . 12
C . 9
D . 6
10. 彼此相似的矩形A1B1C1D1，A2B2C2D2，A3B3C3D3，…，按如下图的方式放置．点A1，A2，A3，…，和点C1，C2，C3，…，分别在直线y=kx+b〔k＞0〕和x轴上，点B1、B2的坐标分别为〔1，2〕，〔3，4〕，那么Bn的坐标是〔〕
A . 〔2n﹣1，2n〕
B . 〔2n﹣，2n〕
C . 〔2n﹣1﹣，2n﹣1〕
D . 〔2n﹣1﹣1，2n﹣1〕
二、填空题
11. 两个相似多边形的周长比为1：2，它们的面积和为25，那么这两个多边形的面积分别是。

12. 假设如下图的两个四边形相似，那么∠α的度数是.
13. 〔2021•葫芦岛〕如图，在矩形ABCD中，AD=2，CD=1，连接AC，以对角线AC为边，按逆时针方向作矩形ABCD的相似矩形AB1C1C，再连接AC1，以对角线AC1为边作矩形AB1C1C的相似矩形AB2C2C1，…，按此规律继续下去，那么矩形AB n C n C n﹣1的面积
为.
14. 两个相似多边形相似比为1：2，且它们的周长和为90，那么这两个相似多边形的周长分别是
15. 一个矩形的长为a，宽为b〔a＞b〕，如果把这个矩形截去一个正方形后所余下的矩形与原矩形相似，那么=
16. 将一个矩形沿着一条对称轴翻折，如果所得到的矩形与这个矩形相似，那么我们就将这样的矩形定义为“白银矩形〞．事实上，“白银矩形〞在日常生活中随处可见．如，我们常见的A4纸就是一个“白银矩形〞．请根据上述信息求A4纸的较长边与较短边的比值．这个比值是
17. 把一个正多边形放大到原来的2.5倍，那么原图与新图的相似比为
18. 如图，矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点．假设四边形EFDC与矩形ABCD相似，那么AD=
19. 把一个正多边形放大到原来的2.5倍，那么原图与新图的相似比为．
20. 如图是两个形状相同的红绿灯图案，那么根据图中给出的局部数值，得到x的值是
三、解答题
21. 如图，四边形ABCD和四边形EFGH相似，求∠α、∠β 的大小和EH的长度．
22. 两个相似五边形，一组对应边的长分别为3cm和4.5cm，如果它们的面积之和是
78cm2，那么这两个五边形面积各是多少cm2？
23. 如下图，现有边长为1，a〔a＞1〕的一张矩形纸片ABCD，把这个矩形按要求分割，画出分割线，并在相应的位置上写出a的值．
〔1〕把这个矩形分成两个全等的小矩形，且分成的两个矩形与原矩形相似．
〔2〕把这个和矩形分成三个矩形，且每一个矩形都与原矩形相似，给出两种不同的分割．
24. 如图，矩形ABCD∽矩形ECDF，且AB=BE，求BC与AB的比值．
25. 如图，四边形A1B1C1D1∽四边形A2B2C2D2，问△A1B1C1与△A2B2C2相似吗？为什么？
26. 两个相似五边形，一组对应边的长分别为3cm和4.5cm，如果它们的面积之和是
78cm2，那么这两个五边形面积各是多少cm2？
27. 一个矩形的长和宽分别为4cm和8cm，与它相似的矩形的一条边长12cm，求这个矩形的面积．
28. 如下图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，求未知边x的长度和α的大小．
29. 矩形ABCD中，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F 点，且四边形EFDC与矩形ABCD相似．
〔1〕求证：四边形ABEF是正方形；
〔2〕求证：F点是AD的黄金分割点．
30. 如图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，求边x、y的长度和角α的大
小．
知识点6 相似三角形的性质
一、单项选择题
1. Rt△ABC的两条直角边分别为3 cm、4 cm，与它相似的Rt△A'B'C'的斜边为20 cm，那么Rt△A'B'C'的周长为〔〕
A . 48cm
B . 28cm
C . 12cm
D . 10cm
2. △ABC∽△DEF ，且△ABC的三边长分别为4，5，6，△DEF的一边长为2，那么△DEF的周
长为〔〕
A . 7.5
B . 6
C . 5或6
D . 5或6或7.5
3. 两个相似三角形的面积比为1：4，那么它们的相似比为〔〕
A . 1：4
B . 1：2
C . 1：16
D . 无法确定
4. 假设△ABC∽△DEF，相似比为1：3，那么△ABC与△DEF的面积比为〔〕
A . 1：9
B . 1：3
C . 1：2
D . 1：
5. 两个相似三角形的对应边长分别为9cm和11cm，它们的周长相差20cm，那么这两个三角形的周长分别为〔〕
A . 45cm，65cm
B . 90cm，110cm
C . 45cm，55cm
D . 70cm，90cm
6. △ABC∽△DEF，点A、B、C对应点分别是D、E、F，AB：DE=9：4，那么S△ABC：S△DEF等于
〔〕
A . 3：2
B . 9：4
C . 16：81
D . 81：16
7. 假设△ABC∽△DEF，相似比为1：2，且△ABC的面积为2，那么△DEF的面积为〔〕
A . 16
B . 8
C . 4
D . 2
8. 如果两个相似三角形对应边的比是3：4，那么它们的对应高的比是〔〕
A . 9：16
B . ：2
C . 3：4
D . 3：7
9. △ABC∽△DEF，且相似比为2：1，△ABC的面积为8，那么△DEF的面积为〔〕
A . 2
B . 4
C . 8
D . 16
10. 假设△ABC∽△A′B′C′，∠A=20°，∠C=120°，那么∠B′的度数为〔〕
A . 20°
B . 30°
C . 40°
D . 120°
二、填空题
11. 两个三角形相似，其中一个三角形的两个内角是40°、60°．那么另一个三角形的最大角是度，最小角是度．
12. 两个相似比为1：4的相似三角形的一组对应边上的中线比为
13. 在Rt△ABC中，∠C=90°，点P、Q分别在边AB、AC上，AC=4，BC=AQ=3，如果△APQ
与△ABC相似，那么AP的长等于
14. 〔2021•辽阳〕高6m的旗杆在水平地面上的影子长4m，同一时刻附近有一建筑物的影子长20米，那么该建筑物的高为
15. 假设△ABC∽△ACD，AB=1，AD=4，那么AC=
16. 如图，平面直角坐标系中，点A〔8，0〕和点B〔0，6〕，点C是AB的中点，点P在折线AOB上，直线CP截△AOB，所得的三角形与△AOB相似，那么点P的坐标是．
17. 假设两个三角形的相似比为3：4，那么这两个三角形的面积比为．
18. 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y= x+3与坐标轴交于A、B两点，坐标平面内有一点P〔m，3〕，假设以P、B、O三点为顶点的三角形与△AOB相似，那么
m= ．
19. 如图，在△ABC中，AB=6，AC=8，点D是AB的中点，E是AC边上的一点，假设以A、
D、E为顶点的三角形与△ABC相似，那么AE的长为．
20. 两个相似三角形的面积比为1：9，那么它们的对应中线的比为．
三、综合题
21. ：如图，△ABC∽△ADE ，AE：EC=5：3，BC=6cm，∠A=40°，∠C=45°．
〔1〕求∠ADE的大小；
〔2〕求DE的长．
22. 如图，在矩形ABCD中，P为AD上一点，连接BP，CP，过C作CE⊥BP于点E，连接ED交PC于点F．
〔1〕求证：△ABP∽△ECB；
〔2〕假设点E恰好为BP的中点，且AB=3，AP=k〔0＜k＜3〕．
①求PF
的值〔用含k的代数式表示〕；
PC
②假设M、N分别为PC，EC上的任意两点，连接NF，NM，当k= 时，求NF+NM的最
小值．
23. 〔2021•资阳〕如图，直线l1∥l2，线段AB在直线l1上，BC垂直于l1交l2于点C，且
AB=BC，P是线段BC上异于两端点的一点，过点P的直线分别交l2、l1于点D、E〔点A、E 位于点B的两侧〕，满足BP=BE，连接AP、CE．
〔1〕求证：△ABP≌△CBE；
〔2〕连结AD、BD，BD与AP相交于点F．如图2．
①当BC
BP
=2时，求证：AP⊥BD；
②当BC
BP =n〔n＞1〕时，设△PAD的面积为S1，△PCE的面积为S2，求1
2
S
S
的值．
24. 〔2021•南京〕对于两个相似三角形，如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相同，那么称这两个三角形互为顺相似；如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相反，那么称这两个三角形互为逆相似．例如，如图①，△ABC∽△A′B′C′，且沿周界ABCA与A′B′C′A′环绕的方向相
同，因此△ACB和△A′B′C′互为顺相似；如图②，△ABC∽△A′B′C′，且沿周界ABCA与A′B′C′A′环绕的方向相反，因此△ACB和△A′B′C′互为逆相似．
〔1〕根据图Ⅰ，图Ⅱ和图Ⅲ满足的条件．可得以下三对相似三角形：①△ADE与△ABC；
②△GHO与△KFO；③△NQP与△NMQ；其中，互为顺相似的是；互为逆相似的是．〔填写所有符合要求的序号〕．
〔2〕如图③，在锐角△ABC中，∠A＜∠B＜∠C，点P在△ABC的边上〔不与点A，B，C重
合〕．过点P画直线截△ABC，使截得的一个三角形与△ABC互为逆相似．请根据点P的不同位置，探索过点P的截线的情形，画出图形并说明截线满足的条件，不必说明理由．25. ：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，点P从点B出发，沿BC向点C 匀速运动，速度为1cm/s；过点P作PD∥AB，交AC于点D，同时，点Q从点A出发，沿
AB向点B匀速运动，速度为2cm/s；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动，连接PQ．设运动时间为t〔s〕〔0＜t＜2.5〕，解答以下问题：
〔1〕当t为何值时，四边形ADPQ为平行四边形？
〔2〕设四边形ADPQ的面积为y〔cm2〕，试确定y与t的函数关系式；
〔3〕在运动过程中，是否存在某一时刻t，使S四边形ADPQ：S△PQB=13：2？假设存在，请说明理由，假设存在，求出t的值，并求出此时PQ的距离．
26. 如图1，过等边三角形ABC边AB上一点D作DE∥BC交边AC于点E，分别取BC，DE 的中点M，N，连接MN．
〔1〕发现：在图1中，MN
BD
=；
〔2〕应用：如图2，将△ADE绕点A旋转，请求出MN
BD
的值；
〔3〕拓展：如图3，△ABC和△ADE是等腰三角形，且∠BAC=∠DAE，M，N分别是底边
BC，DE的中点，假设BD⊥CE，请直接写出MN
BD
的值．
27. 如图1，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，点O为对角线BD的中点，点P从点A出发，沿折线AD﹣DO以每秒1个单位长度的速度向终点O运动，当点P与点A不重合时，过点P作PQ⊥AB于点Q，以PQ为边向右作正方形PQMN，设正方形PQMN与△ABD重叠局部图形的面积为S〔平方单位〕，点P运动的时间为t〔秒〕．
〔1〕如图2，当点N落在BD上时，求t的值；
〔2〕当正方形PQMN的边经过点O时〔包括正方形PQMN的顶点〕，求此时t的值；〔3〕当点P在边AD上运动时，求S与t之间的函数关系式；
〔4〕写出在点P运动过程中，直线DN恰好平分△BCD面积时t的所有可能值．
28. 一次函数y=﹣x+6的图象与坐标轴交于A、B点〔如图〕，AE平分∠BAO，交x轴于点E．
〔1〕求点B的坐标；
〔2〕求直线AE的表达式；
〔3〕过点B作BF⊥AE，垂足为F，连接OF，试判断△OFB的形状，并求△OFB的面积．29. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点P从点A出发沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，同时点Q从点C出发沿边CB向点B以每秒a个单位长度的速度运动，过点P作PD⊥BC，交AB于点D，连接PQ．当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒〔t≥0〕．
〔1〕当a=2时，解答以下问题：
①QB= ，PD= ．〔用含t的代数式分别表示〕
〔2〕当a为某个数值时，四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求a的值及四边形PDBQ为菱形时t的值．
〔3〕当t=2时，在整个运动过程中，恰好存在线段PQ的中点M到△ABC三边距离相等，直接写出此刻a的值．
30. 如图①，OP为一墙面，它与地面OQ垂直，有一根木棒AB如图放置，点C是它的中点，现在将木棒的A点在OP上由A点向下滑动，点B由O点向OQ方向滑动，直到AB横放在地面为止．
〔1〕在AB滑动过程中，点C经过的路径可以用以下哪个图象来描述〔〕
〔2〕假设木棒长度为2m，如图②射线OM与地面夹角∠MOQ=60°，当AB滑动过程中，与OM并于点D，分别求出当AD= 、AD=1、AD= 时，OD的值．
〔3〕如图③，是一个城市下水道，下水道入口宽40cm，下水道水平段高度为40cm，现在要想把整根木棒AB通入下水道水平段进行工作，那么这根木棒最长可以是〔cm〕〔直接写出结果，结果四舍五入取整数〕．
知识点6 相似三角形的判定
一、单项选择题
1. 如图，△ABC中，三边互不相等，点P是AB上一点，有过点P的直线将△ABC切出一个小三角形与△ABC相似，这样的直线一共有〔〕
A . 5条
B . 4条
C . 3条
D . 2条
2. 以下四个命题：〔1〕全等的两个三角形相似；〔2〕有一个角相等的两个等腰三角形相似；〔3〕所有的等边三角形都相似；〔4〕所有的直角三角形都相似．其中真命题的个数有()
A . 1个；
B . 2个；
C . 3个；
D . 4个．
3. 如图，在△ABC中，D是边AC上一点，连BD，给出以下条件：①∠ABD=∠ACB；
②AB2=AD•AC；③AD•BC=AB•BD；④AB•BC=AC•BD．其中单独能够判定△ABC∽△ADB的个
数是〔〕
A . ①②
B . ①②③
C . ①②④
D . ①②③④
4. 如图，在钝角三角形ABC中，AB=6cm，AC=12cm，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止．点D运动的速度为1cm/秒，点E运动的速度为2cm/秒．如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是
〔〕
A . 4或4.8
B . 3或4.8
C . 2或4
D . 1或6
5. 如图，无法保证△ADE与△ABC相似的条件是〔〕
A . ∠1=∠C
B . ∠A=∠
C C . ∠2=∠B
D . AD AE
AC AB
6. 图〔1〕、〔2〕中各有两个三角形，其边长和角的度数已在图上标注，图〔2〕中AB、CD 交于O点，对于各图中的两个三角形而言，以下说法正确的选项是〔〕
A . 只有〔1〕相似
B . 只有〔2〕相似
C . 都相似
D . 都不相似。