第三章 杆单元

~ d Tdi i
向量的坐标变换矩阵为：
m ~ l T m l
显然是正交阵，即： T 1 T T 单元节点位移向量的变换式如下：
~
~
或
d Td
~ T 0 T ~ 0 T
单元节点力的变换为：
f Tf
刚度矩阵的坐标变换
局部坐标系下杆单元的刚度方程为：
F1 k1u1 k1u2 F2 k1u1 (k1 k 2 )u2 k 2u3 F3 k 2u2 k 2u3
单元特性
KD F
系统平衡方程
2）单元方程扩大相加法 单元特性
F1 f11
相加
F2 f f
1 2
2 1
系统节点 平衡条件
F3 f 22
KD F
扩充到4自由度形式：
1 0 EA L 1 0
0 1 0 ui f xi 0 0 0 vi f yi 0 1 0 u j f xj 0 0 0 v j f yj
与前面直接法得到的公式相同！
（三）关于杆单元的讨论 1）在单元坐标系下，每个节点一个未知位移分量—— 一 个自由度，单元共有2个自由度。 2）单元刚度矩阵元素的物理意义： 刚度方程中令： ui 1 u j 0
单元刚度方程
f 则： i k11 f j k21
T
1 0 1 0
0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0
1 1 1 1 EA 1 1 1 1 2 L 1 1 1 1 1 1 1 1
单元2应力：
u3 u2 E 2 PL P 2 E 2 E E 0 L L L 3EA 3A
提示：
1）本例中单元应力的计算采用了材料力学中的方法,与采 用有限元单元应力公式 E EBd 的结果相同。
2）对锥形杆，单元截面积用平均值。 3）求应力之前需要求出节点位移——有限元位移法。
k ui u k j
f kd
2、弹簧系统的集成 1）列节点平衡方程法
F1 f11 F2 f 21 f12 F3 f 22
系统节点 平衡条件
f i F k (u j ui ) kui ku j f j F k (u j ui ) kui ku j
D
F
讨论：（1） K 有那些特点和性质？ （2）上述方程能求解吗？
方法2：
将单元刚度方程扩大到整体规模：
将上面的矩阵方程叠加，得到：
代入前面节点平衡条件，得系统节点平衡方程：
3）给定载荷和约束条件下的求解
设边界条件为：
u1 0 F2 F3 P
则节点平衡方程为：
该方程展开后分为2个部分：
未知量为2个节点位移： u2 ,u3
一个支反力： F1 解上面方程得：
3、举例：弹簧系统
已知条件：
求：（a） 系统总刚度矩阵
（b） 节点2，3的位移 （c） 节点1、4的反力 （d） 弹簧2中的力
解：
（a） 各单元的刚度矩阵为：
应用前面的叠加方法，直接得到弹簧系统的总刚度矩阵：
或
总刚度矩阵特征：对称，奇异、带状、稀疏
u1 v1 u2
v2
单元2
135，l
T
2 2 ，m 2 2
k 2 T2 k T2 2
1 1 0 0 EA 2 2 1 1 0 0 L 2 2 0 0 1 1 0 0 1 1
单元应力：
即：
（二）例题 平面桁架由2根相同的 杆组成（E，A，L）。 求： 1）节点2位移 2）每根杆应力 解： 求出每个单元在总体坐标 下的刚度矩阵：
单元1
45，l m
T
2 2
k1 T1 k T1 1
1 EA 2 2 1 L 2 2 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0
（四）举例
例1 求图示２段杆中的应力。
解：分２个杆单元，单元之间在节点２铰接。 刚度矩阵分别为：
参考前面弹簧系统的方法，装配２杆系统的有限元方 程（平衡方程）如下：
2 2 0 u1 F1 EA u F 2 3 1 2 2 L 0 1 1 u3 F3
单元应力：

N j ( ) 1 / L 1 / L

E EBd
下面应用弹性体虚位移原理导出单元刚度方程。 虚位移原理（虚功原理） 弹性体受力平衡时，若发生虚位移，则外力虚功等于 弹性体内的虚应变能。
对于杆单元，定义虚位移如下：
ui 节点虚位移： d u j
f j F k (u j ui ) kui ku j
写成矩阵形式：
fi k f j k
矩阵符号形式：
k ui u k j
f kd
——弹簧单元刚度方程
上式中：
k 弹簧单元的刚度矩阵 d 单元节点位移向量 f 单元节点力向量
刚度方程讨论： 1）
k 2） k
有什么特点？ 中元素代表什么含义？
3）上面方程可以求解吗？为什么？
2、弹簧系统
各单元的特性分别为：
单元1：
单元2：
按两种方法装配系统特性： 方法1： 分别考虑节点1，2，3的力平衡条件（节点力与节点外 载荷的平衡）：
F1 f11 F2 f f
1 2 2 1
由前面的做法，可得到弹簧系统的节点平衡方程：
（b）：先施加位移边界条件 将
u1 u4 0 带入平衡方程后，第2，3方程为：
求解得：
（c)：由第1，4个方程求得支反力
(d)：弹簧2内力
200 3 2 200( N )
F k2 k2 (u3 u2 )
2 2
2杆单元 2.1引例——弹簧单元
弹簧是宏观上最简单的弹性元件。 1、一个弹簧单元的分析
2个节点：
i, j
ui , u j
fi , f j
已知弹簧力——位移关系：
节点位移：
节点力： 弹簧刚度：
F k
F 弹簧力，拉伸为正
u j ui — 弹簧伸长
k
考虑弹簧的特性和平衡关系有：
f i F k (u j ui ) kui ku j
则单元近似位移函数（线性位移模式）：
矩阵形式： u Ni
ui N j Nd u j

du d N d B d 单元应变： dx dx
B
——单元应变矩阵
u Ni

ui N j Nd u j

d B N i ( ) dx
f i k11 f j k 21
k12 ui u k 22 j
所以，单元刚度矩阵的第i（i=1,2)列元素表示当维持单元 的第i个自由度位移为１，其它自由度位移为０时，施加 在单元上的节点力分量。（也可以用此方法直接导出杆单 元的刚度矩阵元素，试练习） ３）单元刚度矩阵对称、奇异、主对角元素恒正。
F3 f 22
把单元特性代入，得到：
F1 k1u1 k1u2 F2 k1u1 (k1 k 2 )u2 k 2u3 F3 k 2u2 k 2u3
上面方程写成矩阵形式：
或
KD F
（弹簧系统的平衡方程）
K
—— 弹簧系统的结构总刚度矩阵 —— 系统节点位移列阵 —— 系统节点载荷列阵
（拉力）
4、练习题
对图示弹簧系统，求其总刚度矩阵
解
要点回顾
1、弹簧单元刚度方程的建立 弹簧变形平衡
f i F k (u j ui ) kui ku j f j F k (u j ui ) kui ku j
fi k f j k
（一）直接法导出单元特性 杆单元伸长量：
u j ui
应变：
应力：
L E E L
EA EA k 杆内力： F A L L
则杆的轴向刚度： k
EA L
轴向拉压变形模式下，该杆单元的行为与弹簧单元相同， 因此杆单元的刚度矩阵为：
例2：
已知：
求：杆两端的支反力 解
• 二、二维空间中的杆单元 （平面桁架单元）
（一）2-D空间中杆单元 1-D空间杆单元 坐 标 变 换 2- D空间杆单元
原来1-D空间中的杆坐标系作为局部坐标系
局部
总体
X ,Y
x(, y )
ui vi） （， 每节点一个dof
向量的坐标变换：
u i , vi 每节点2个dof
单元虚位移分布：
u Nd
d 则单元虚应变： (u ) Bd dx
节点力（外力）虚功： 单元虚应变能：
d f
T
T dV V d B EBddV d V B EBdV d V
T T T T
对杆单元应用虚位移原理，得：
2 2 0 0 F1 EA 2 3 1 u 2 P L 0 1 1 0 F3
单元1应力：
1 u 2 u1 E PL P 1 E 1 E E 0 L L L 3EA 3A
引入边界位移约束和载荷：
方程化为：
2 2 0 0 F1 EA u P 2 3 1 2 L 0 1 1 0 F3
上述方程组中删除第１，３个方程，得到：
解得：
u1 0 PL 位移解： u 2 1 u 3EA 0 3
写成矩阵符号形式：
k d f
d Td
f Tf
利用前面的向量坐标变换式，得：
k Td Tf
考虑到变换矩阵的正交性，得：
k Td Tf
T
T kTd f
T
kd f
则，总体坐标系中的单元刚度矩阵为：
k T k T
用单元刚度矩阵装配结构（系统）刚度矩阵的方法 与1-D情况相同。
T d f d B EBdV d V
T T
考虑到 d 的任意性，立刻得到：
T f B EBdV d k d V 来自k B T EBdV
V
——杆单元刚度矩阵
这就是刚度矩阵的一般形式，可推广到其他类型的单元。
对于上面的杆单元：
EA k L
比照弹簧元的刚度方程，写出杆单元的刚度方程为：
f i k k ui EA 1 1 ui u L 1 1 u j f j k k j
（二）公式法导出杆单元特性 假设单元上近似位移函数——位移模式 一个单元上的位移假设为简单多项式函数。有限元中用插 值法通过节点位移（待定参数）定义单元位移函数。 对杆单元，引入局部坐标： 定义2个节点的插值函数（形函数）：
系统平衡方程
2.2 杆单元
• 一、一维等截面杆单元及其刚度矩阵
考虑一个2节点一维等截面杆单元：
L— 杆长 A— 截面积 E— 弹性模量
u u ( x)
——杆单元位移
——杆单元应变 ——杆单元应力

du dx
( x) ( x)
应变—位移关系： 应力—应变关系：
E