辽宁葫芦岛兴城高级中高三上学期第四次阶段测试数学(理)试卷含答案

理科数学答案
一、 选择题：CBDCAA AADAAA 二、 填空题：13. 49
；
14. )+∞； 15. 3
{}2
；
三、
解答题
17.解（1）连结1AB ，∵平面ABC ⊥平面11ABB A ，且AB BC ⊥，
∴BC
⊥平面11ABB A ，又∵11B C BC ⊥，∴11B C ⊥平面11ABB A ，
∵11ABB A Y 中，1AB AA =，所以11ABB A Y 为菱形，∴11A B AB ⊥，
又∵1AB 为1AC 在平面11ABB A 内的射影， ∴11A B AC ⊥。

（2）∵1
2AB AA ⋅=-u u u r u u u r ，且12AB AA ==，∴∠12
3
AA B π=， ∴∠13
ABB π
=。

延长11A B 到G 使得11B G =，连结BG 。

∵∠1GB B =∠13
ABB π
=
，且11B G =，
12BB =，
∴1BG A G ⊥且BG =
，∴BG AB ⊥，又∵平面ABC ⊥平面11ABB A ，∴BG ⊥平
面ABC ，∴BG AB ⊥，BG AC ⊥，又∵AB BC ⊥，∴可以建立空间直角坐标系
[;,2BA B BC u u u r u u u r
u u u r ，其中各点坐标为11(,1,0),2E F C ，
∴1
(,1,2
EF =-u u u r ，(0,BE =u u u r ，1(1,1BC =u u u u r 。

取平面1BEC 的法向量为
(,,)n a b c =r ，∴0n BE ⋅=u u u r r ，10n BC ⋅=u u u u r r ，
即200
b a b ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，不妨取(3,3,n =-r ，取
直
线
EF
与平面
1
BEC 的夹角为
θ
，则
A
B
C
A 1
B 1
C 1E
F
G
sin |cos ,|n EF θ=<>=
=u u u
r r ，
∴arcsin θ=
18.解（1
）依题意
22()2cos (1)2cos cos 1cos 22f x p x x p x x x p x x
=-+=--=--
12sin(2)6
p x π
=--+，
∵()f x 的最大值为3，∴123p -+=，∴2p =，∴()12sin(2)6
f x x π
=-+
，其中
,2
x k k Z π
π≠+
∈。

其周期为22
T π
π=
=。

已知322,2,622x m m m Z πππππ⎡⎤+∈++∈⎢⎥⎣⎦时
()f x 单 调递增，解得2,63x m m ππππ⎡
⎤∈++⎢⎥⎣⎦
， ∴()f x 的单调递增区间为2[,),(,],6223
m m m m m Z π
πππ
ππππ+
+++∈。

（2）∵()12sin(2)06
f A A π
=-+
=，且A 为锐角，∴526
6
A π
π
+
=
，∴3A π=，
∴
23
B C π+=
，又∵,B C 为锐角，∴
(,)62
C ππ
∈，
∴
21sin(
)sin sin 1322sin sin sin 2tan 2
C C C
b B
c C
C C C π-+====+
，其
中
tan (
)3C ∈+∞，∴1
(,2)2
b c ∈
19.解（1）依题意，小明需要在25分钟内到达学校。

若他选择步行到校，则不迟到的概率记为1(25)P X <，取1122,2μσ==，则
111124,226,μσμσ+=+=11(195.44%)(25)(26)197.72%2
P X P X -<<<=-=； 若骑车到校，则不迟到的概率记为2(25)P X <，取2216,4μσ==，则
22222220,224,328μσμσμσ+=+=+=，则
2(195.44%)(24)197.72%2P X -<=-=， 2(199.74%)
(28)199.87%2
P X -<=-=，
∴222(25)((24),(28))(97.72%,99.87%)P X P X P X <∈<<=； 若坐公交车到校，则不迟到的概率记为3(25)P X <，取3310,8μσ==， 则333318,226μσμσ+=+=，33(25)(26)97.72%P X P X <<<=。

综上，三种方案都无法满足3σ原则，不能保证上学不迟到。

相对而言，骑车到校不迟到的概率最高，是最优选择。

（2）取随机变量1ξ表示五天里骑车上学时间单程超过20分钟的天数。

依题意，每天骑车上学时间超过20分钟的概率为2(168.26%)
(20)15.87%2
P X ->=
=，
∴1~(5,15.87%)B ξ，∴1()515.87%0.7935E ξ=⨯=，
1()515.87%(115.87%)0.668D ξ=⨯⨯-≈。

又∵1112(5)5ξξξξ=+-=+，
∴1()5() 5.79E E ξξ=+≈（元），1()()0.668D D ξξ=≈（元²） 20.解（1）∵'()m
f x x
=，从原点O 做()y f x =图像的切线，设切点为00(,ln )x m x ， ∴
000
ln 00m x m
x x -=-，∴0x e =，∴切点P 为(,)e m ，
又∵OP =，且0m >，∴1m =。

（2）（i ）依题意21()ln ()2g x x x k =+
+，
其中0x >，∴211
'()(1)g x x k x kx x x
=++=++， 取2
()1h x x kx =++，若函数()g x 有两个极值点，则()h x 在(0,)+∞有两零点，
∴20,402
k
k -
>->，∴(,2)k ∈-∞- （ii ）若12,x x 为()g x 的极值点，则12,x x 为2
()10h x x kx =++=的两根，
∴12121,x x x x k =+=-，又∵12x x <， ∴1201x x <<<，∴
222222221()()ln ()2
g x x
x g x x x x k x ==++， 又∵2
2210x kx ++=，∴22
1
k x x =--
， ∴
22212
()1
ln 2g x x x x x =+，
取
1
()ln ,(x !)2p x x x x
=+
>，
∴2
1
'()1ln 02p x x x
=+-
>， ∴()p x 在(1,)+∞单调递增，∴()p x 的值域为1(,)2
+∞，即
21
()
g x x 的取值范围为1
(,)2
+∞。

21.解（1）依题意，取直线l 为x my a =+，代入24y x =得2
440y my a --=，其判别式为
2
=16160
m a ∆+>，∴
2
m a
>-。

取
22
12
12(,),(,)44
y y A y B y 为交点，
∴12124,4y y m y y a +==-，
∵焦点F 的坐标为(1,0)，∴211(1,)4y FA y =-u u u r ，22
2(1,)4
y FB y =-u u u r ， ∵90AFB ∠=︒
，
∴
2212
12
(1)(1)44
y y FA FB y y ⋅=--+u u u r u u u r 22
21212121211()11642
y y y y y y y y =-++++ 224610a m a =--+=，∴226140a a m -+=≥
，∴3a ≥+
3a ≤-
∵
222=16164244164(1)0
m a a a a a ∆+=-++=->成立，
∴(,3(3)a ∈-∞-++∞U 。

（2）若1a ≥
，则3a ≥+2234
34(,),(,)44y y M y N y 为直线EA 、直线EB 与抛物线
的交点。

取直线EA 为11x m y =-，代入2
4y x =得2
1440y m y -+=，
∴134y y =，∴31
4y y =
，同理可得424y y =，∴点M 和N 的坐标分别为
221122
4444
(
,),(,)M N y y y y ，
又
∵
(,0)Q b 在直线
MN
上，
∴221122
4444
(,),(,)QM b QN b y y y y =-=-u u u u r u u u r 共线，
∴2212124444(
)()b b y y y y -=-，∴221212212112
4416161616144()()44b y y y y y y ay ay a y y -=-=-=---，∵12y y ≠，∴1
b a
=， ∴1a b a a +=+
，取1()f a a a =+，∴21
'()10f a a
=->
在3a ≥+ ∴()f a
在[3)++∞单调递增，∴a b +
的取值范围为[(3)[6,)f ++∞=+∞。

22.解（1）∵2
2
2
2
2
2
2
21(2cos )222x y x x y ρθ=-=+-=+，
∴曲线C 的直角坐标方程为2
2
221x y +=。

∵点
P 的极径
为
=，又∵23PQ PO =u u u r u u u r
，∴点Q 的极径
为
13⨯=，∴点Q 的直角坐标
为，∴直线l 的参数方程
为
cos 1sin x t y t αα⎧=
+⎪⎨⎪=+⎩
，其中t 为参数。

（
2
）。

将
l
的参数方程代入
22221
x y +=，
得
2256
(1sin )(4sin )03
t t ααα+++
-=，
设交点,M N 所对应的参数分别为12,t t ，则122563(1sin )t t α-=+， ∴12256283(1
sin )3
QM QN t t α-⋅==≤-+u u u u r u u u r ，当2sin 1α=时取得。

23. 解（1）∵6y x =-，∴|3||2||182||36|x y x y x x ++-=-+-，
取24502()|182||36|12295249x x f x x x x x x x -<<⎧⎪=-+-=+≤≤⎨⎪->⎩
，若()26f x <
则2452602x x -<⎧⎨<<⎩或122629x x +<⎧⎨≤≤⎩或524269x x -<⎧⎨>⎩
，解得(0,10]x ∈ （2）∵6x y +=，
∴22222222226161()1()112266666636x y x y y y x x x y x y x x y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⎛⎫--=--=++ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝
⎭⎝⎭ ()
12211524536364y x x y ⎛⎫=
++≥+= ⎪⎝⎭， 当且仅当3x y ==时取等。