数学人教B必修2自我小测：2-4空间直角坐标系 含解析

自我小测
1．点P(2,3,4)到x 轴的距离是( )
B ．
C ．5 2．在空间直角坐标系中，P(2,3,4)，Q(－2,3，－4)两点的位置关系是( ) A.关于x 轴对称 B ．关于yOz 平面对称 C ．关于坐标原点对称
D ．关于y 轴对称
3．空间一点P 在xOy 面上的射影为M(1,2,0)，在xOz 面上的射影为N(1,0,3)，则P 在yOz 面上的射影Q 的坐标为( )
A.(1,2,3) B ．(0,0,3) C ．(0,2,3) D ．(0,1,3)
4．已知A(1－t,1－t ，t)，B(2，t ，t)，则A ，B 两点间距离的最小值是( )
D. 115
5．如图所示，在正方体ABCD-A ′B ′C ′D ′中，棱长为1，点P 在对角线BD ′上，且BP ＝
1
3
BD ′，则点P 的坐标为( )
A. 111,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭
B.222,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭
C.121,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭
D.221,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭
6．如图所示，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，P 为对角线BD 1的三等分点，P 到各顶点的距离的不同取值有( )
A.3个 B ．4个 C ．5个 D ．6个
7．有一个棱长为1的正方体，对称中心在原点且每一个面都平行于坐标平面，给出以下各点：A(1,0,1)，B(－1,0,1)，C 111,,335⎛⎫ ⎪⎝⎭，D 111,,522⎛⎫ ⎪⎝⎭，E 21,,05
2
⎛⎫- ⎪⎝⎭，F 111,,23⎛⎫-
⎪⎝⎭
，
则位于正方体之外的点是__________．
8．已知点P在x轴上，它到点P1(03)的距离是到点P2(0,1，－1)的距离的2倍，则点P的坐标是__________．
9．若点P(x，y，z)到A(1,0,1)，B(2,1,0)两点的距离相等，则x，y，z满足的关系式是__________，猜想它表示的图形是__________．
10．如图所示，已知正四面体ABCD的棱长为1，E，F分别为棱AB，CD的中点．
(1)建立适当的空间直角坐标系，写出顶点A，B，C，D的坐标；
(2)求EF的长．
11．在空间直角坐标系中，已知A(3,0,1)和B(1,0，－3)，试问：
(1)在y轴上是否存在点M，满足|MA|＝|MB|?
(2)在y轴上是否存在点M，使△MAB为等边三角形？若存在，试求出点M的坐标．
12．已知正方形ABCD，ABEF的边长都是1，而且平面ABCD与平面ABEF互相垂直，
点M在AC上移动，点N在BF上移动，若|CM|＝|BN|＝a(0＜a．
求：(1)MN的长；
(2)a为何值时，MN的长最小．
参考答案
1．答案：C
2．解析：因为P ，Q 两点的y 坐标相同，x 坐标，z 坐标分别互为相反数，它们的中点在y 轴上，并且PQ 与y 轴垂直，故P ，Q 关于y 轴对称．
答案：D
3．解析：由点P 在xOy 面上的射影，知点P 的x 坐标为1，点P 的y 坐标为2，又点P 在xOz 面上的射影为N(1,0,3)，所以点P 的z 坐标为3.
故点P(1,2,3)在yOz 面上的射影为Q(0,2,3)． 答案：C
4．解析：因为d(A ，B)
5，
所以A ，B . 答案：C
5．解析：点P 在坐标面xDy 上的射影落在BD 上． 因为BP ＝
13BD ′，所以点P 的x 坐标和y 坐标都为23
，点P 的z 坐标为1
3.故点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫
23，23，13.
答案：D
6．解析：设正方体的棱长为a.建立空间直角坐标系，如图所示．
则D(0,0,0)，D 1(0,0，a)，C 1(0，a ，a)，C(0，a,0)，B(a ，a,0)，B 1(a ，a ，a)，A(a,0,0)，A 1(a,0，a)，P 221,,,333a a a ⎛⎫
⎪⎝
⎭
则|PB|，
|PD|a，
|PD1|＝
3
a，
|PC1|＝|PA1|a，
|PC|＝|PA|
3
，
|PB1|＝
3
，
故共有4个不同取值，故选B.
答案：B
7．解析：由题意知，位于正方体内或面上的点的三个坐标的绝对值均小于或等于1 2 .
答案：A，B，F
8．解析：因为点P在x轴上，设P(x,0,0)，
则|PP1|
|PP2|.
因为|PP1|＝2|PP2|，
解得x＝±1.
所以所求点的坐标为(1,0,0)或(－1,0,0)．
答案：(1,0,0)或(－1,0,0)
9．解析：由两点间距离公式得(x－1)2＋y2＋(z－1)2＝(x－2)2＋(y－1)2＋z2，化简得2x ＋2y－2z－3＝0，由几何图形的性质知这个方程表示线段AB的中垂面．答案：2x＋2y－2z－3＝0线段AB的中垂面
10．分析：正四面体的顶点和底面正三角形中心的连线是正四面体的高，以底面正三角形的中心为坐标原点，高为z轴，建立空间直角坐标系．
解：(1)设底面正三角形BCD的中心为点O，连接AO，DO，延长DO交BC于点M，
则AO ⊥平面BCD ，M 是BC 的中点，且DM ⊥BC ，过点O 作ON ∥BC ，交CD 于点N ，则ON ⊥DM ，
故以O 为坐标原点，OM ，ON ，OA 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，因为正四面体ABCD 的棱长为1，O 为底面△BCD 的中心，
所以|OD|＝
23·|DM|＝23
|OM|＝
13|DM|＝.
|OA|＝
所以A ⎛ ⎝⎭， B 1,02⎫-⎪⎪⎝⎭， C 1,02⎫⎪⎪⎝⎭， D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
.
(2)点E 是AB 的中点，点F 是CD 的中点，由(1)及中点坐标公式，得E 14⎝⎭
，
F 1,04⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
，
所以|EF|2. 11．解：(1)假设在y 轴上存在点M 满足|MA|＝|MB|，
设M(0，y,0)，
由于此式对任意y ∈R 恒成立， 即y 轴上所有点均满足条件|MA|＝|MB|.
(2)假设在y 轴上存在点M ，使△MAB 为等边三角形． 由(1)可知，y 轴上任一点都满足|MA|＝|MB|，
所以只要|MA|＝|AB|就可以使得△MAB 是等边三角形．
因为|MA|
|AB|
解得y y
故y 轴上存在点M 使△MAB 为等边三角形，点M 的坐标为(00)或(0，0)．
12．解：(1)因为平面ABCD ⊥平面ABEF ， 又平面ABCD ∩平面ABEF ＝AB ，所以AB ⊥BE. 所以BE ⊥平面ABCD. 所以AB ，BC ，BE 两两垂直．
所以以B 为原点，以BA ，BE ，BC 所在直线为x 轴，y 轴和z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则M ,0,1⎫⎪⎪⎝⎭，N ,0⎫⎪⎪⎝⎭
.
所以|MN|
(2)因为|MN|
所以当a 时，|MN|min .
即a ＝2
时，MN 的长最小．。