(常考题)北师大版高中数学选修1-2第三章《推理与证明》检测题(包含答案解析)(3)

一、选择题
1．德国数学家科拉茨1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数t ，如果t 是偶数，就将它减半（即
2
t
）；如果t 是奇数，则将它乘3加1（即31t +），不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1.猜想的数列形式为：0a 为正整数，当*n N ∈时，当
1n a -为偶数时1
2
n n a a -=
，当1n a -为奇数时131n n a a -=+，则数列{}n a 中必存在值为1的项.若51a =，则0a 的所有不同值的个数为（ ） A ．2
B ．3
C ．5
D ．8
2．杨辉三角，又称帕斯卡三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在我国南宋数学家杨辉所著的《评解九章算法》（1261年）一书中用如图所示的三角形解释二项式乘方展开式的系数规律，现把杨辉三角中的数从上到下，从左到右依次排列，得数列：1，1，
1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1……．记作数列{}n a ，若数列{}n a 的前
n 项和为n S ，则57S ＝（ ）
A ．265
B ．521
C ．1034
D ．2059
3．杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列.在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形，帕斯卡（1623-1662）是在1654年发现这一规律的.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，这是我国数学史上的一个伟大成就.如图所示，在“杨辉三角”中，去除所有为1的项，依次构成数列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5，则
此数列前135项的和为( )
A ．18253-
B ．18252-
C ．17253-
D ．17252- 4．观察下列各式：2749=，37343=，472401=，…，则10097的末两位数字为（ ） A ．49
B ．43
C ．07
D ．01
5．我国南宋数学家杨辉在所著的《详解九章算法》一书中用如图所示的三角形解释二项展开式的系数规律，去掉所有为1的项，依次构成2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，6…，则此数列的前50项和为（）
A．2025 B．3052 C．3053 D．3049
6．一位老师有两个推理能力很强的学生甲和乙,他告诉学生他手里拿着与以下扑克牌中的一张相同的牌:
黑桃:3,5,Q,K 红心:7,8,Q 梅花:3,8,J,Q 方块:2,7,9
老师只给甲同学说这张牌的数字（或字母）,只给乙同学说这张牌的花色,接着老师让这两个同学猜这是张什么牌:
甲同学说:我不知道这是张什么牌,乙同学说:我知道这是张什么牌.
甲同学说:现在我们知道了.
则这张牌是（）
A．梅花3 B．方块7 C．红心7 D．黑桃Q
7．运用祖暅原理计算球的体积时，构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱，与半球（如图一）放置在同一平面上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥（如图二），用任何一个平行与底面的平面去截它们时，可证得所截得
的两个截面面积相等，由此证明该几何体与半球体积相等.现将椭圆
22
1
49
x y
+=绕y轴旋
转一周后得一橄榄状的几何体（如图三），类比上述方法，运用祖暅原理可求得其体积等于（）
A．4πB．8πC．16πD．32π
8．“四边形是矩形，四边形的对角线相等”补充以上推理的大前提是（ ） A ．正方形都是对角线相等的四边形 B ．矩形都是对角线相等的四边形 C ．等腰梯形都是对角线相等的四边形
D ．矩形都是对边平行且相等的四边形
9．在某次诗词大会决赛前，甲、乙、丙丁四位选手有机会问鼎冠军，,,A B C 三名诗词爱好者依据选手在之前比赛中的表现，结合自己的判断，对本场比赛的冠军进行了如下猜测：A 猜测冠军是乙或丁；B 猜测冠军一定不是丙和丁；C 猜测冠军是甲或乙。

比赛结束后发现，,,A B C 三个人中只有一个人的猜测是正确的，则冠军是（ ） A ．甲 B ．乙
C ．丙
D ．丁
10．观察下列各式：553125=，6515625=，7578125=，…，则20195的末四位数字为
（ ） A ．3125
B ．5625
C ．0625
D ．8125
11．现有A B C D 、、、四位同学被问到是否去过甲，乙，丙三个教师办公室时，A 说：我去过的教师办公室比B 多，但没去过乙办公室；B 说：我没去过丙办公室；C 说：我和
A B 、去过同一个教师办公室；D 说：我去过丙办公室，我还和B 去过同一个办公室.由此可判断B 去过的教师办公室为（ ） A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．不能确定
12．数列中，则
，则
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题
13．若ABC 的三边之长分别为a 、b 、c ，内切圆半径为r ，则ABC 的面积为
()
2
r a b c ++.根据类比思想可得：若四面体A BCD -的三个侧面与底面的面积分别为
1S 、2S 、3S 、4S ，内切球的半径为r ，则四面体的体积为__________.
14．对于大于1的自然数n 的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：3235=+，
337911=++，3413151719=+++，…，仿此，若3n 的“分裂数”中有一个是49，则n
的值为________.
15．我国南北朝时期数学家祖瞘，提出了著名的祖暅原理：“幂势既同， 则积不容异”，其中“幂”是截面积，“势” 是几何体的高，该原理的意思是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被任一平行于这两个平行平面的平面所截，若所截的两个截面的面积恒相等，则这两个几何体的体积相等.如图，在空间直角坐标系中的xoy 平面内，若函数
1,[1,0]()1,(0,1]
x x f x x x +∈-=-∈⎪⎩的图象与轴x 围城一个封闭的区域A ，将区域A 沿z 轴的正方
向平移2个单位长度，得到几何体（图一），现有一个与之等高的圆柱（图二），其底面积与区域A 的面积相等，则此圆柱的体积为 _______.
图一 图二 16．已知111()123f n n
=+
+++.经计算(4)2f >，5
(8)2f >，(16)3f >，
7
(32)2
f >
，则根据以上式子得到第n 个式子为______. 17．我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周盒体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程
.比如在表达式
11111+
++
中“…”既代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程11x x
+
=求得15
x +=
33++=__________．
18．观察下列式子：2222221311511171,1,1,,222332344
+<++<+++<根据以上式子可
以猜想：2
22
11
1
123
2019
+
+++
<__________． 19．某学校举办科技节活动，有甲、乙、丙、丁四个团队参加“智能机器人”项目比赛，该项目只设置一个一等奖，在评奖揭晓前，小张、小王、小李、小赵四位同学对这四个参赛团队获奖结果预测如下： 小张说：“甲团队获得一等奖”； 小王说：“甲或乙团队获得一等奖”； 小李说：“丁团队获得一等奖”；
小赵说：“乙、丙两个团队均未获得一等奖”．
若这四位同学中只有两位预测结果是对的，则获得一等奖的团队是___．
20．对于大于1的自然数m ，其三次幂可用奇数按一下方式进行“分裂”：3235,=+
3337911,413151719,.=++=+++⋅⋅⋅对此，若3m 的“分裂数”中有一个是2017，则
m=_____.
三、解答题
21．（1）设a ，b ，()0,1c ∈，用反证法求证：下列三个关于x 的方程
210ax x b ++-=，210bx x c ++-=，210cx x a ++-=中至少有一个有实数根.
（2）已知0b a >>，且01ab <≤，用分析法求证：
3311113⎛⎫-≥- ⎪⎝⎭
a b a b .
22．（1< （2）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，123a =-
，满足()122n
n n
S a n S ++=≥，计算，1234,,,S S S S ，并猜想n S 的表达式．
23．用综合法或分析法证明： （1）如果 ,0a b >，则 lg lg lg
22
a b a b
++≥；
（22>．
24．（1）已知45A B +=︒，求证：()()1tan 1tan 2A B ++=；
（2）已知非零实数a b c x y 、、、、满足2
,,c xy a x c b y c ==+=+，求证：
1x y
a b
+=. 25．已知2
()(1)1
x
x f x a a x -=+
>+，用反证法证明方程()0f x =没有负数根. 26．用反证法证明：如果1
2
x >
，那么2210x x +-≠．
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一、选择题 1．B 解析：B 【分析】
利用51a =出发，按照规则，逆向逐项即可求解0a 的所有可能的取值. 【详解】
如果按照规则施行变换后51a =， 则变换中的4=2a ，
若变换中的4=2a ，则变换中的3=4a ， 若变换中的3=4a ，则变换中的2a 是1或8， 若变换中的2=8a ，则1=16a ，0=32a 或者0=5a ； 若变换中的2=1a ，则1=2a ，则04a =， 则0a 的所有可能的取值为4，5，32共3个， 故选：B. 【点睛】
本题主要考查了归纳推理的应用，其中解答中正确理解题意，利用变换规则，进行逆向逐
项推理、验证是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，试题有一定的难度，属于中档试题.
2．C
解析：C 【分析】
由归纳推理及等比数列前n 项和可得：即57a 在第11组中且为第11组中的第2个数，则
01901
571010222()1034S C C =++⋯+++=，得解．
【详解】
解：将1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1，⋯． 分组为（1），(1,1)，(1，2，1)，(1，3，3，1)，(1，4，6，4，1)⋯ 则第n 组n 个数且第n 组n 个数之和为12n -， 设57a 在第n 组中， 则
(1)(1)
5722
n n n n -+， 解得：11n =，
即57a 在第11组中且为第11组中的第2个数，即为1
10C ，
则01901
5710
10222()1034S C C =++⋯+++=， 故选：C ． 【点睛】
本题考查了归纳推理及等比数列前n 项和，属于中档题．
3．A
解析：A 【解析】 【分析】
利用n 次二项式系数对应杨辉三角形的第n+1行，然后令x ＝1得到对应项的系数和，结合等比数列和等差数列的公式进行转化求解即可． 【详解】
n 次二项式系数对应杨辉三角形的第n+1行，
例如（x+1）2＝x 2+2x+1，系数分别为1，2，1，对应杨辉三角形的第3行，令x ＝1，就可以求出该行的系数之和，
第1行为20，第2行为21，第3行为22，以此类推 即每一行数字和为首项为1，公比为2的等比数列，
则杨辉三角形的前n 项和为S n n
1212
-==-2n ﹣1，
若去除所有的为1的项，则剩下的每一行的个数为1，2，3，4，……，可以看成一个首项为1，公差为1的等差数列， 则T n ()n n 12
+=
，
可得当n ＝15，在加上第16行的前15项时，所有项的个数和为135， 由于最右侧为2，3，4，5，……，为首项是2公差为1的等差数列， 则第16行的第16项为17，
则杨辉三角形的前18项的和为S 18＝218﹣1， 则此数列前135项的和为S 18﹣35﹣17＝218﹣53， 故选：A ． 【点睛】
本题主要考查归纳推理的应用，结合杨辉三角形的系数与二项式系数的关系以及等比数列等差数列的求和公式是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．
4．C
解析：C 【分析】
先观察前5个式子的末两位数的特点，寻找规律，结合周期性进行判断即可. 【详解】
观察2749=，37343=，472401=，572401716807=⨯=，
67168077117649=⨯=，…，可知末两位每4个式子一个循环，2749=到10097一共有
1008个式子，且10084252÷=，则10097的末两位数字与57的末两位数字相同，为07. 故选：C. 【点睛】
本题主要考查归纳推理的应用，根据条件寻找周期性是解决本题的关键.
5．D
解析：D 【分析】
去除所有为1的项后,根据图可知前n 行共有(1)
2
n n +个数,从而得到前10行共55个数,然后用前10行的和减去后五项,即可得到此数列的前50项和. 【详解】
解:去除所有为1的项后,由图可知前n 行共有(1)
2
n n +个数, 当n =10时,
10(101)
552
⨯+=,即前10行共有55个数. 因为第n -1行的和为1
2
122n n n n n C C C -++
+=-, 所以前10行的和为2
3
1112(22)(22)(22)2244072-+-+
+-=-=.
因为第10行最后5个数为10
11C ,9
11C ,8
11C ,7
11C ,6
11C ,
所以此数列的前50项的和为4072-11-55-165-330-462=3049. 故选:D . 【点睛】
本题考查了归纳推理和等比数列前n 项和的求法,考查了推理能力,属难题.
6．B
解析：B 【分析】
根据老师告诉甲牌的点数，告诉乙的是花色，结合甲乙对话进行推理判断即可． 【详解】
解：甲不知道，说明通过数字不能判断出来，因此排除有单一数字的牌：黑桃5,K,梅花J ，方块2,9．而乙知道牌的颜色,如果是方片的话,即可断定是方片7, 故选:B 【点睛】
本题主要考查合情推理的应用，结合甲乙了解的情况进行推理是解决本题的关键．考查学生的推理分析能力．
7．C
解析：C 【分析】
根据椭圆方程,构造一个底面半径为2,高为3的圆柱,通过计算可知高相等时截面面积相等,因而由祖暅原理可得橄榄球几何体的体积的一半等于圆柱的体积减去圆锥的体积. 【详解】
由椭圆方程22
149
x y +=,构造一个底面半径为2,高为3的圆柱
在圆柱中挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点、上底面为底面的圆锥 当截面与底面距离为()03h h ≤≤时，截圆锥得到的截面小圆半径为r 则
132h r =，即23
h r = 所以截面面积为22
4449
h r ππππ-=-
把y h =代入椭圆方程22149x y +=，可求得x = 所以橄榄球形状几何体的截面面积为22
449
h x π
ππ=-
由祖暅原理可得橄榄球几何体的体积为()
12=24343=163
V V V πππ⎛⎫=-⨯-⨯⨯ ⎪⎝
⎭
圆柱圆锥 故选:C 【点睛】
本题考查了类比推理的综合应用,空间几何体体积的求法,属于中档题.
8．B
解析：B 【分析】
根据题意，用三段论的形式分析即可得答案．
【详解】
根据题意，用演绎推理即三段论形式推导一个结论成立，大前提应该是结论成立的依据，∵由四边形是矩形，得到四边形的对角线相等的结论，
∴大前提一定是矩形都是对角线相等的四边形，故选B．
【点睛】
本题考查演绎推理的定义，关键是掌握演绎推理的形式，属于基础题.
9．D
解析：D
【分析】
分别假设甲、乙、丙和丁是冠军，推出矛盾和正确的结果，即可求解，得到答案．
【详解】
由题意，选项A中，若甲是冠军，则B和C猜测正确，A猜测错误，不满足题意；
选项B中，若乙是冠军，则A、B、C猜测都正确，不满足题意；
选项C中，若丙是冠军，则A、B、C猜测都不正确，不满足题意；
选项D中，若丁是冠军，则A猜测正确，B和C猜测错误，满足题意，
故选D．
【点睛】
本题主要考查了合情推理与演绎推理的应用，其中解答中分别假设甲、乙、丙和丁是冠军，推出矛盾和正确的结果是解答的关键，着重考查了推理能力，属于基础题．
10．D
解析：D
【解析】
【分析】
5,5，寻找周期性规律，结合周期可求.
先求89
【详解】
89
5390625,51953125,
==可以看出后四位呈周期出现，且周期为4，
=⨯+，所以2019
201950443
5的末四位数字为8125，故选D.
【点睛】
本题主要考查归纳推理，一般是利用所给项的特点推测目标项的特点,注意规律的总结. 11．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据已知信息：首先判断B去过一个办公室，再确定B去的哪一个办公室，得到答案.
【详解】
、去过同一个教师办公室⇒ B至少去过一个办公室
C说：我和A B
A说：我去过的教师办公室比B多，但没去过乙办公室⇒A去过2个办公室，B去过1个办公室.
B说：我没去过丙办公室，C说：我和A B
、去过同一个教师办公室，A没有去过乙办公室
所以B去的是甲办公室.
答案选A
【点睛】
本题考查了逻辑推理，意在考查学生的逻辑推理能力.
12．C
解析：C
【解析】
【分析】
分别计算、、归纳出的表达式，然后令可得出的值。

【详解】
，，，
，
猜想，对任意的，，因此，，故选：C。

【点睛】
本题考查归纳推理，解归纳推理的问题的思路就由特殊到一般，寻找出规律，根据规律进行归纳，考查逻辑推理能力，属于中等题。

二、填空题
13．【分析】由合情推理中的类比推理由平面图形类比空间图形由二维到三维由面积到体积由圆到球即可得出结论【详解】三角形的面积类比为四面体的体积三角形的边长类比为四面体四个面的面积内切圆半径类比为内切球的半径
解析：
() 1234
3
r S S S S
+++
【分析】
由合情推理中的类比推理，由平面图形类比空间图形，由二维到三维，由面积到体积，由圆到球，即可得出结论.
【详解】
三角形的面积类比为四面体的体积，三角形的边长类比为四面体四个面的面积，内切圆半
径类比为内切球的半径．二维图形中1
2
类比为三维图形中的
1
3
，
得V四面体ABCD＝1
3
(S1＋S2＋S3＋S4)r.
故答案为：
() 1234
3
r S S S S
+++
【点睛】
本题主要考查了合情推理中的类比推理，考查了推理，归纳能力，属于容易题． 14．7【分析】n 每增加1则分裂的个数也增加1个易得是从3开始的第24个奇数利用等差数列求和公式即可得到【详解】从到共用去奇数个数为而是从3开始的第24个奇数当时从到共用去奇数个数为个当时从到共用去奇数个 解析：7
【分析】
n 每增加1，则分裂的个数也增加1个，易得49是从3开始的第24个奇数，利用等差数列求和公式即可得到.
【详解】
从32到3n 共用去奇数个数为(1)(2)232
n n n -+++
+=，而49是从3开始的第24个奇
数，当6n =时，从32到36共用去奇数个数为20个，当7n =时，从32到37共用去奇数个
数为27个，所以7n =.
故答案为：7
【点睛】
本题考查新定义问题，归纳推理，等差数列的求和公式，考查学生的归纳推理能力，是一道中档题. 15．【分析】先利用定积分计算底面面积再用体积公式得到答案【详解】的图象与轴围城一个封闭的区域故答案为【点睛】本题考查了体积的计算意在考查学生解决问题的能力
解析：73
【分析】
先利用定积分计算底面面积，再用体积公式得到答案.
【详解】
[1,0]()1,(0,1]
x f x x x ∈-
=-∈⎪⎩的图象与轴x 围城一个封闭的区域A 1
3221001217(1)(1)(1)10326A S x dx x x -=+-=+--=-⎰ 77263
A V S h ==⨯= 故答案为
73
【点睛】
本题考查了体积的计算，意在考查学生解决问题的能力.
16．【分析】我们分析等式左边数的变化规律及等式两边数的关系归纳推断后即可得到答案【详解】观察已知中等式：…则故答案为【点睛】归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相
解析：()()1*322
n n f n N ++>∈ 【分析】
我们分析等式左边数的变化规律及等式两边数的关系，归纳推断后，即可得到答案.
【详解】
观察已知中等式：()()2134222
f f +=>=， ()()35238222
f f +=>=， ()()43316232f f +=>=
， ()()574332222f f +=>
=，…， 则()()1*322
n n f n N ++>∈， 故答案为()()1*
32
2n n f n N ++>∈. 【点睛】 归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想），属于中档题.
17．【分析】先换元令平方可得方程解方程即可得到结果【详解】令则两边平方得得即解得：或（舍去）本题正确结果：【点睛】本题考查新定义运算的问题关键是读懂已知条件所给的方程的形式从而可利用换元法来进行求解
【分析】
()0m m =>，平方可得方程23m m +=，解方程即可得到结果.
【详解】
()0m m =>，则两边平方得，得23m +=
即23m m +=，解得：m =
m =
【点睛】
本题考查新定义运算的问题，关键是读懂已知条件所给的方程的形式，从而可利用换元法来进行求解.
18．【分析】确定的不等式的左边各式分子是1分母值自然数的平方和右边分母与最后一项的分母相同分子是以3为首项2为公差的等差数列即可求解【详解】由已知中的不等式可知不等式的左边各式分子是1分母值自然数的平方 解析：40372019
【分析】
确定的不等式的左边各式分子是1，分母值自然数的平方和，右边分母与最后一项的分母相同，分子是以3为首项，2为公差的等差数列，即可求解．
【详解】 由已知中的不等式2222221311511171,1,1,,222332344+<++<+++<
可知不等式的左边各式分子是1，分母值自然数的平方和，右边分母与最后一项的分母相同，分子是以3为首项，2为公差的等差数列，
所以不等式右边的第2018项为3(20181)2403720192019
+-⨯= 所以2221114037123
20192019
++++<． 【点睛】 本题考查了合情推理，对于合情推理主要包括归纳推理和类比推理．数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向．合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定正确．而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下)．
19．丁【解析】【分析】先阅读理解题意再逐一进行检验进行简单的合情推理即可【详解】若获得一等奖的团队是甲团队则小张小王小赵预测结果是对的与题设矛盾即假设错误若获得一等奖的团队是乙团队则小王预测结果是对的与 解析：丁
【解析】
【分析】
先阅读理解题意，再逐一进行检验进行简单的合情推理即可．
【详解】
①若获得一等奖的团队是甲团队，则小张、小王、小赵预测结果是对的，与题设矛盾，即假设错误，
②若获得一等奖的团队是乙团队，则小王预测结果是对的，与题设矛盾，即假设错误， ③若获得一等奖的团队是丙团队，则四人预测结果都是错的，与题设矛盾，即假设错误， ④若获得一等奖的团队是丁团队，则小李、小赵预测结果是对的，与题设相符，即假设正
确，
即获得一等奖的团队是：丁
故答案为丁
【点睛】
本题考查了阅读理解能力及进行简单的合情推理，属简单题．
20．45【解析】【分析】归纳可知的三次方就是个连续奇数相加且从2开始这些三次方的分解正好是从奇数3开始连续出现由此规律即可找出的分裂数中有一个是2017时的值【详解】由归纳可得从到正好用去从3开始的连续 解析：45
【解析】
【分析】
归纳可知，n 的三次方就是n 个连续奇数相加，且从2开始，这些三次方的分解正好是从奇数3开始连续出现，由此规律即可找出3m 的“分裂数”中有一个是2017时n 的值.
【详解】
由333
235,37911,413151719,.=+=++=+++⋅⋅⋅，
归纳可得，从32到3m ，正好用去从3开始的连续奇数共 ()()21234 (2)
m m m +-++++=个， 2017是从3开始的第1008个奇数，
当44m =时，32到344，用去从3开始的连续奇数共
()()4424498192
+-=个， 当45m =时，32到345，用去从3开始的连续奇数共
()()45245110092
+-=个， 所以3m 的“分裂数”中有一个是2017，则45m =，故答为45.
【点睛】
本题通过观察几组等式，归纳出一般规律来考查归纳推理，属于中档题.归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.
三、解答题
21．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】
（1）假设这三个方程都没有实根，由三个判别式均小于0推导出矛盾的结论． （2）利用不等式的性质，根据所要证的不等式寻找使它成立的充分条件．
【详解】
证明：（1）假设这三个方程都没有实根，
则()()()123141014101410a b b c c a ⎧∆=--<⎪∆=--<⎨⎪∆=--<⎩，即()()()114114114a b b c c a ⎧->⎪⎪⎪->⎨⎪⎪->⎪⎩
， 三式相乘并整理，得()()()111164a a b b c c --->
⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦，① 因为01a <<，所以()211110,244a a a ⎛⎫⎛⎤-=--+∈ ⎪ ⎥⎝
⎭⎝⎦. 同理()110,4b b ⎛⎤-∈ ⎥⎝⎦，()110,4c c ⎛⎤-∈ ⎥⎝⎦
， 所以()()()111164
a a
b b
c c ---≤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦，② 显然②与①矛盾，所以假设不成立，从而原结论成立.
（2）因为0b a >>，所以
110->a b ， 要证3311113⎛⎫-≥- ⎪⎝⎭
a b a b ，只需证2211111113⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++≥- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭a b a ab b a b ， 只需证221113++≥a ab b
， 因为01ab <≤，所以
221112133++≥+=≥a ab b ab ab ab ，即上式成立， 则可得证
3311113⎛⎫-≥- ⎪⎝⎭
a b a b . 【点睛】 关键点点睛：本题考查反证法和分析法．它们都是一种间接证明方法，在一个命题不容易证明，可以从它的反面入手，假设它的反面成立，并把假设作为条件进行推理，可能推导出与已知条件、已知定义、定理、公理矛盾的结论，也可能推导出相互矛盾的结论，从而说明假设是错误的，，肯定原命题成立，这就是反证法．分析法是从结论出发寻找结论成立的充分条件，称为执果索因．最后找到一个明显正确的条件，从而说明命题是正确的． 22．(1)见证明；(2) 123S =-，234S =-；345S =-；456S =-；猜想12n n S n +=-+，n ∈+N ．
【分析】
（1）不等式两边先平方，然后逐步化简，直到不等式明显成立为止；
（2）分别令n=1,2,3,4，求出1234,,,S S S S ，然后找规律猜想表达式。

【详解】
（1
<
1020+<，
5，即证2125<，显然成立．
故原式成立．
（2）由题设得2210n n n n S S a S ++-=，当*)2(n n N ≥∈时，1n n n a S S -=-，
代入上式，得1210n n n S S S -++=．（*）
1123S a ==-，∵12(2,)n n n
S a n n N S +=-≥∈， 令2n =可得，22212122S a S a S +
=-=--， ∴21223S =-，∴234
S =-． 同理可求得345S =-，456S =-． 猜想12n n S n +=-
+，n ∈+N ． 【点睛】
本题（1）小题主要考查用分析法证明不等式，把证明不等式转化为寻找使不等式成立的充分条件，直到使不等式成立的充分条件显然已经具备为止。

23．(1)见证明；(2)见证明
【分析】
（1）利用基本不等式，结合y=lgx 在（0，+∞）上增函数即可证明；
（2）用分析法证明不等式成立，就是寻找使不等式成立的充分条件，直到使不等式成立的充分条件显然成立为止．
【详解】
证明：（1）当a ，b ＞0时，有
2a b +
＞0， ∴lg
2a b +
∴lg
2a b +≥12lg （ab ）=2lga lgb +． ∴lg 2a b +≥2
lga lgb +； （2
+
，
+）2＞（
）2，
即
，显然成立的，
所以，原不等式成立．
【点睛】
本题考查综合法或分析法，考查对数函数的单调性和定义域，基本不等式的应用，掌握这两种方法证明不等式是关键，属于中档题．
24．（1）见解析，（2）见解析.
【解析】
试题分析：（1）只需把tan tan tan()11tan tan A B A B A B
++==-展开，可证。

（2）将c x a =-和c y b =-相乘，得2c ab ay bx xy =--+，代入2c xy =，可证。

试题
（1）证明：要证()()1tan 1tan 2A B ++=，只需证tan tan tan tan 1A B A B ++=即可，而()tan tan tan tan4511tan tan A B A B A B
++==︒=-，即tan tan tan tan 1A B A B ++= 所以()()1tan 1tan 2A B ++=
（2）证明：将两式c x a =-和c y b =-相乘，得2c ab ay bx xy =--+，代入
2c xy =，
消去c 得，ab ay bx xy xy --+=，所以，bx ay ab +=，即
1x y a b +=. 25．见解析
【解析】
试题分析：假设命题的结论不成立，即反面成立，即f(x)=0，有负实数根，再推出方程两边不可能相等，矛盾．所以假设不成立，原命题成立．
试题
证明：设存在000(1)x x <≠-，满足f(0x )＝0， 则0x 00x 2a x 1
-=-+． 又0<0
x a <1，所以0<0021x x --+<1，0 解之得：01x 22
<<， 与x0<0(x0≠－1)假设矛盾．
故f(x)＝0没有负实数根．
26．证明见解析
【分析】
试题分析：假设2210x x +-=，则
1x =-
容易看出112--<
，下面证明 112-<
要证明：112-+<
成立，
32<
成立， 只需证：924
<成立，
上式显然成立，故有112-+<
成立.
综上，112x =-<，与已知条件12
x >矛盾. 因此，2210x x +-≠.
考点：本题主要考查反证法，不等式的性质．
点评：中档题，首先假设某命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），然后推理出明显矛盾的结果，从而下结论说原假设不成立，原命题得证．一定要用到“反设”，否则不是反证法．。