递归调用——数学观点看递归

递归调⽤——数学观点看递归
想起上⼤学那会⼉递归调⽤曾是那么令⼈头痛，现在⼯作也近两年时间了，对递归倒是有了较明晰的了解.
递归，数学⾥⾯叫recursion，其实就是递推关系. 中学数学有⼀部分其实就是递归的⾮常典型的做法，不过⽼师们都没怎么扩展，新课标必修五第⼆章数列应该算是我们第⼀次接触递推的概念了.
其实说到递归，⼤伙都知道就是⾃⼰调⾃⼰，这样其实⼤家都明⽩，但是说来怎么调？如何控制？⼜如何看得到结果是想要的呢？相信还是很晕，下⾯从中学数学⾥⾯来看看吧.
第⼀部分、两个典型的例⼦，等差数列与等⽐数列
其实这实际上是⼀个例⼦，什么是等差数列？就是后⼀项总⽐前⼀项多⼀个数，这个数不变...，也有的说：“就是后⼀项减去前⼀项为⼀定常数...”
所以我们经常⽤表达式表⽰为
a(n)=a(n-1)+d\]
那⼜有问题了，这⾥确定了⼀个数列没有呢？当然没有，我说后⼀项⽐前⼀项多2，这是什么数列？
是1,3,5,7,9, ...还是2,4,6,8,10, ...
当然弄不清楚，为什么呢？因为我们谈到的数列需要有⼀个⾸项，即第⼀项的值，所以⼀旦谈到解递推数列，就应该有两个内容，⼀个是连续项间的关系，另⼀个就是⾸项关系.
那么就可以利⽤叠加的⽅法来计算了：
假设这⾥⾸项为1，也就是a(1)=1，⽽这个常数就为2
那么
a(n)=a(n-1)+2
a(n-1)=a(n-2)+2
a(n-2)=a(n-3)+2
a(n-3)=a(n-4)+2
...
a(3)=a(2)+2
a(2)=a(1)+2
将等号左边的依次相加，右边的也依次相加
这样很容易发现，左边有⼀部分从a(2)⼀直加到a(n-1)，右边也有⼀部分从a(2)⼀直加到a(n-1)，那么消去，就左边剩下a(n)，右边就剩下a(1)和n-1个2相加了，数学公式就成了
a(n)=a(1)+2(n-1)
即
a(n)=1+2(n-1)
就是等差数列的通向公式啦，那么这个递推关系中可以看到a(n)=a(n-1)+x即为连续项间的关系，⽽a(1)=1就是⾸项啦. 那这个和递归间的关系就很明显啦
a(n)=a(n-1)+x表⽰，调⽤a(n)即执⾏a(n-1)+x，那么同时调⽤a(n-1),...这样⼀直下去，最后当a(1)时不在调⽤函数，直接返回1，再⼀路加回去，结束递归.
下⾯看看⽤代码来实现，还是假定⾸项为1，公差为2
#include <stdio.h>
int main()
{
int AddFun(int);
int num;
printf("Please input num:");
scanf("%d",&num);
printf("The result is %d",AddFun(num));
return 0;
}
int AddFun(int n)
{
if(n == 1)
{
return 1;
}
return AddFun(n-1) + 2;
}
这⾥呢AddFun(n)就是之前看到的a(n)，在调⽤的过程中先判断n是否为1，如果为1当然就表⽰现在是⾸项了，不在继续调⽤，直接返回结果1
这⾥使⽤的不是数学中的公式计算，纯粹的事利⽤递推关系得到的结果.
再看看等⽐数列. 相信已经很清楚了，等⽐数列就是后⼀项是前⼀项的定常数被，表⽰为
a(n)=a(n-1)*q
LaTeX代码为
\[a_n=a_{n-1}\cdot q\]
将函数改⼀改就能使⽤了，假设⾸项为1，公⽐为2：
static void Main(string[] args)
{
Console.Write("Please input num:");
int n = int.Parse(Console.ReadLine());
int result = AddFun(n);
Console.WriteLine(result);
Console.ReadKey();
}
private static int AddFun(int n)
{
if (n == 1)
{
return1;
}
else
{
return AddFun(n - 1) * 2;
}
}
当然递归不⼀定要调⽤函数开完成，使⽤for循环⼀样可以做到
第⼆部分、递归调⽤注意（直接递归）
递归调⽤在编程⾥⾯就是对⼀个函数，或⽅法进⾏⾃⼰掉⾃⼰，那么在编写递归代码时有三点要注意，⾸先要注意⼀个问题，就是递推关系，这⾥需要抽象出⼀个递推的关系，不⼀定只有两层，或许是三层甚⾄更多
例如：楼梯有n阶台阶,上楼可以⼀步上1阶,也可以⼀步上2阶,编⼀程序计算共有多少种不同的⾛法.
先来分析⼀下，如果只有⼀个台阶，那么显然只有1种，所以a(1)=1
如果有两个台阶，呢么就有每次上⼀层，上两次，和⼀次上两层，即1+1和2共2种，即a(2)=2
当n=3时，那么就有1+1+1、1+2、2+1共3种了，似乎还看不出规律，那么分析⼀下递推关系，即前后项间的关系
到达第三层有两个⽅法，⼀是从第⼆层⾛⼀步到第三层，那么有a(2)种⽅法，⼜可以从第⼀层⾛两步到第三层，即a(1)种⽅法，拍脑袋了，显然到达第三层有a(1)+a(2)种⽅法，那么是不是呢？验证⼀下
a(1)+a(2)=1+2=3，咦，正好，看来有点像了，再来看看第四层是不是
当n=4时，按照上边的分析肯定为a(2)+a(3)=2+3=5，下⾯我们枚举⼀下：1+1+1+1、1+1+2、1+2+1、2+1+1、2+2，刚刚好，看来就是她了！
那么递推关系就有了，即a(n)=a(n-1)+a(n-2)，同时还有了⾸项的值：a(1)=1，a(2)=2，由于递推关系有三项，很显然必须有两个初始值
好啦，上⾯讨论了递归的⼀个注意，下⾯是第⼆个注意，临界条件
既然递归就是⾃⼰调⾃⼰，那么怎么停⽌呢，显然不做逻辑判断，计算机会⼀直运⾏下去，知道程序崩溃（栈溢出），所以就需要加上⼀个if判断来跳出递归，其实就是前⾯提到的数列⾸项，就是这⾥的a(1)和a(2)
那么代码就可以这么写了：
private static int Count(int n)
{
if (n == 2)
{
return2;
}
else if (n == 1)
{
return1;
}
else
return Count(n - 1) + Count(n - 2);
}
实际上这就是⼀个典型的Fibonacci数列，只是初始值不同罢了。

现在剩下第三个要注意的事项了，就是递归体.
先看两个函数代码(C++代码)：
void Test_1(int n)
{
cout<<n<<endl;
if(n < 6)
{
Test_1( n + 1 );
}
}
2、
void Test_2(int n)
{
if(n < 6)
{
Test_2( n + 1 );
}
cout<<n<<endl;
}
如果在main()函数中分别调⽤这两个函数，会有什么执⾏结果呢？
现在我们假定n为0
第⼀个函数打印出
1
2
3
4
5
6
第⼆个函数打印出
6
5
4
3
2
1
这个就很奇怪了，这是为什么呢？
实际上前⾯我们考虑的递归关系是单⼀的递归，但是这两个递归体中，除了完成递归外，还有其他执⾏代码.
其实之前也有，只是没有显⽰出来，就没有被察觉⽽已
那么怎么去分析呢？
其实很简单，递归体本⾝可分为三个部分，⼀个是头代码，⼀个是递归表达式，⼀个是尾代码，区分头尾的⾃然就是递归表达式了看这段代码：
#include <iostream>
using namespace std;
int main()
{
void Test(int);
Test(1);
return0;
}
void Test(int n)
{
cout<<n<<endl;
if(n < 3)
{
Test( n + 1 );
cout<<n<<endl;
}
}
输出结果为
1
2
3
2
1
那么在这段代码中if()前⾯的输出流为头代码，中间的Test( n + 1 )为递归表达式，这⾥的尾代码依然是⼀个输出流
那么分析此程序怎么做呢？很简单，⼋个字
“头尾分开，等待归来”
头尾分开，就是将两个cout<<n<<endl分开，第⼀个cout<<n<<endl执⾏，然后转⼊第⼀次递归，等待递归结束后回到第⼆个cout<<n<<endl 语句执⾏
这样说很抽象，我们⼀步步分析⼀下
第⼀次调⽤，n=1
执⾏头cout<<n<<endl，输出1，并且尾cout<<n<<endl等待，其值也是1，但未输出；
进⼊第⼀次递归，n=2
执⾏头cout<<n<<endl，输出2，并且尾cout<<n<<endl等待，其值是2，但未输出；
进⼊第⼆次递归，n=3
执⾏头cout<<n<<endl，输出3，但判断n < 3 不成⽴，即不再执⾏尾cout<<n<<endl语句，函数体结束
回到第⼀次递归体，执⾏等待的尾cout<<n<<endl，输出2，第⼀次递归体结束，会带最外层
执⾏等待的cout<<n<<endl，输出1，整个函数调⽤结束，回到main()函数体继续执⾏其他命令.
形象的说就像是⼀架⼿风琴⼀样，函数调⽤开始就拉开⼿风琴，然后进⼊递归，等待内层递归结束才执⾏后⾯的代码
也就⼋个字“头尾分开，等待归来”
其实这就是实现的栈的结构
到这⾥就基本结束了我所理解的递归含义，总结⼀下：
递归调⽤即递推关系
递归三个注意：注意递推表达、注意临界判断、注意递归体。