(刷题1+1)2020高考数学讲练试题基础巩固练(五)理(含近年高考+模拟题)(最新整理)

（刷题1+1）2020高考数学讲练试题基础巩固练（五）理（含2019高
考+模拟题)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题:本大题共12小题，每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．(2019·濮阳市二模)已知集合A＝｛x｜x＞0｝，B＝｛x|log2(3x－1）＜2｝，则（)
A．A∪B＝(0，＋∞) B．A∩B＝错误!
C．A∪B＝R D．A∩B＝错误!
答案A
解析依题意，得B＝{x｜log2(3x－1）＜2}＝{x｜0＜3x－1＜4｝＝错误!，所以A∩B＝错误!,A∪B＝（0，＋∞)．故选A.
2．（2019·重庆一中模拟）若复数z满足（1－i）z＝2＋3i，则复数z的实部与虚部之和为( ）
A．－2 B．2 C．－4 D．4
答案B
解析由（1－i)z＝2＋3i，得z＝错误!＝－错误!＋错误!i.
则复数z的实部与虚部之和为－错误!＋错误!＝2。

故选B.
3．（2019·武汉市模拟)某学校为了了解本校学生的上学方式，在全校范围内随机抽查部分学生,了解到上学方式主要有：A结伴步行，B自行乘车，C家人接送，D其他方式，并将收集的数据整理绘制成如下两幅不完整的统计图．请根据图中信息，求本次抽查的学生中A 类人数是（）
A．30 B．40 C．42 D．48
答案A
解析根据选择D方式的有18人,所占比例为15％，得总人数为错误!＝120人,故选择A
方式的人数为120－42－30－18＝30。

故选A.
4．（2019·兰州一中模拟)在等差数列{a n｝中,a10＜0，a11＞0，且a11＞|a10|，则使｛a n}
的前n项和S n＜0成立的最大的自然数n为( )
A．11 B．10 C．19 D．20
答案C
解析∵数列｛a n}为等差数列，a10＜0,a11＞0，∴d＞0，又∵a11＞|a10|,∴a11＞－a10,即a
＋a11＞0，由S20＝错误!×20＝10（a10＋a11)＞0，S19＝错误!×19＝19a10＜0，故可得使｛a n} 10
的前n项和S n＜0成立的最大的自然数为19,故选C。

5．（2019·湖南师大附中模拟)已知函数f（x)＝错误!,则函数f（x)的图象在点
(0,f(0）)处的切线方程为（)
A．x＋y＋1＝0 B．x＋y－1＝0
C．x－y＋1＝0 D．x－y－1＝0
答案B
解析∵f(x)＝错误!，∴f′（x)＝错误!，
∴f′（0）＝－1，f（0)＝1，
即函数f（x)的图象在点(0，1）处的切线的斜率为－1,
∴函数f（x）的图象在点(0，f（0)）处的切线方程为y＝－x＋1，即x＋y－1＝0。

故选
B。

6．(2019·邯郸市模拟）某班有50名学生，一次数学考试的成绩ξ服从正态分布N
（105,102），已知P(95≤ξ≤105)＝0。

32，估计该班学生数学成绩在115分以上的人数为
( )
A．10 B．9 C．8 D．7
答案B
解析∵数学考试的成绩ξ服从正态分布N（105，102）,
∴数学考试的成绩ξ关于ξ＝105对称，
∵P(95≤ξ≤105)＝0。

32，
∴P(ξ≥115)＝1
2
(1－0。

64)＝0.18,
∴该班学生数学成绩在115分以上的人数为0。

18×50＝9.故选B。

7．(2019·安徽宣城第二次调研)如图，网格纸上小正方形的边长为2,粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的体积为( ）
A.错误!
B.错误!
C.错误!
D.错误!
答案C
解析由三视图可得其直观图为三棱锥E－ABD，所以该几何体的体积为V＝错误!×错误!×4×8×4＝错误!。

8．（2019·武汉二中一模)已知二项式错误!n（n∈N＊)的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2∶5，则x3的系数为( )
A．14 B．－14 C．240 D．－240
答案C
解析由题意可得C错误!∶C错误!＝2∶5,解得n＝6，T r＋1＝C错误!(2x)6－r·(－1）r（x 错误!)r＝（－1）r26－r C错误!·x错误!，由6－错误!r＝3，得r＝2,所以x3的系数为(－1）2×24×C错误!＝240.故选C.
9．（2019·宜春三模）在平面直角坐标系xOy中，已知向量a，b,|a｜＝｜b｜＝1,a·b ＝0，点Q满足错误!＝错误!(a＋b）．曲线C＝{P｜错误!＝a cosθ＋b sinθ，0≤θ≤2π},区域Ω＝｛P|0＜r≤|错误!｜≤R，r＜R}．若C∩Ω为两段分离的曲线，则（）A．1＜r＜R＜3 B．1＜r＜3≤R
C．r≤1＜R＜3 D．1＜r＜3＜R
答案 A
解析 设a ＝(1，0），b ＝（0，1)，则OQ →
＝(2，错误!），错误!＝(cos x ，sin x )，区域
Ω表示的是平面上的点到点Q （2，错误!）的距离在r 到R 之间(包含边界)，如图中的阴影
部分圆环，要使C ∩Ω为两段分离的曲线,则1＜r ＜R ＜3，故选A.
10．（2019·包头市一模）七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板"，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形,现从该正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率是( ）
A.3
16 B.错误! C.错误! D.错误! 答案 A
解析 设AB ＝2，则BC ＝CD ＝DE ＝EF ＝1。

∴S △BCI ＝错误!×错误!×错误!＝错误!，
S ▱EFGH ＝2S △BCI ＝2×14
＝错误!,
∴所求的概率为P ＝错误!＝错误!，故选A 。

11．(2019·张家界市三模）设F 1，F 2分别是双曲线错误!－错误!＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点,双曲线上存在一点P 使得∠F 1PF 2＝60°，|OP |＝3b (O 为坐标原点),则该双曲线的离心率为（ )
A.错误! B。

错误! C。

错误! D.错误!
答案D
解析设｜PF1|＝m,｜PF2|＝n，
则由余弦定理可得m2＋n2－mn＝4c2,①
m2＝c2＋｜OP｜2－2c|OP｜cos∠POF
，n2＝c2＋｜OP｜2－2c|OP|cos（π－∠POF1），即n2
1
＝c2＋|OP｜2＋2c·｜OP｜cos∠POF1，由以上两式可得m2＋n2＝2c2＋2×9b2,即m2＋n2＝2c2＋18b2,②
又由双曲线的定义可得｜m－n｜＝2a，即m2＋n2－2mn＝4a2，③
由①③可得m2＋n2＝8c2－4a2，代入②可得9b2＝3c2－2a2，即6c2＝7a2，故离心率e＝错误!＝错误!，故选D。

12．(2019·南宁市二模）已知定义在R上的奇函数f（x)满足当x≥0时,f(x)＝错误!则关于x的函数y＝f(x)－a(－1＜a＜0）的所有零点之和为（）
A．2a－1 B．2－a－1 C．1－2－a D．1－2a
答案B
解析作出函数f(x）与y＝a的图象如下，
结合图象可知，
函数f(x)与y＝a的图象共有5个交点，
故函数y＝f(x）－a有5个零点，
设5个零点分别为b＜c＜d＜e＜f，
∴b＋c＝2×（－3）＝－6，e＋f＝2×3＝6，
log错误!（x＋1)＝a，
故x＝－1＋2－a,即d＝－1＋2－a,
故b＋c＋d＋e＋f＝－1＋2－a，故选B.
第Ⅱ卷(非选择题，共90分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（2019·广西联合模拟）已知实数x,y满足
错误!则错误!的最大值是________．
答案错误!
解析由约束条件可作出如图中阴影部分所示的可行域，两直线的交点为A（4，1），则当过原点的直线过点A时，斜率k max＝错误!＝错误!,即错误!的最大值为错误!.
14．（2019·山东师大附中一模）对于实数x，[x]表示不超过x的最大整数,已知正数数列{a n｝满足S n＝错误!错误!，n∈N*，其中S n为数列{a n｝的前n项和，则错误!＝________.
答案20
解析由题意可知S n＞0，当n＞1时，S n＝错误!错误!化简可得S错误!－S错误!＝1,当n＝1，S错误!＝a错误!＝1，
所以数列{S2，n}是首项和公差都为1的等差数列，即S2n＝n，∴S n＝错误!，
又n＞1时，2(错误!－错误!)＝错误!＜错误!＜错误!＝2(错误!－错误!)，
记S＝错误!＋错误!＋…＋错误!，
一方面S＞2[错误!－错误!＋…＋错误!－1]＝2(错误!－1）＞20，
另一方面S＜1＋2［（错误!－错误!）＋…＋(错误!－1)]＝1＋2(错误!－1）＝21.
所以20＜S＜21。

即[S]＝20。

15．（2019·化州市三模)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张．不同取法的种数为________．
答案472
解析用间接法，符合条件的取法的种数为C错误!－4C错误!－C错误!·C错误!＝472。

16．（2019·全国卷Ⅲ）学生到工厂劳动实践,利用3D打印技术制作模型．如图,该模型为长方体ABCD－A1B1C1D1挖去四棱锥O－EFGH后所得的几何体．其中O为长方体的中心，E,F,G，H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6 cm，AA
＝4 cm。

3D打印所用原料密度为0。

9
1
g/cm3，不考虑打印损耗,制作该模型所需原料的质量为________g.
答案118。

8
解析由题知挖去的四棱锥的底面是一个菱形,对角线长分别为6 cm和4 cm，
故V挖去的四棱锥＝错误!×错误!×4×6×3＝12（cm3)．
又V长方体＝6×6×4＝144（cm3)，
所以模型的体积为V长方体－V挖去的四棱锥＝144－12＝132（cm3），
所以制作该模型所需原料的质量为132×0。

9＝118。

8(g）．
三、解答题:共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一)必考题：60分．
17．（本小题满分12分）(2019·吉林一中模拟)如图，在△ABC中,AB＝2，cos B＝错误!，点D在线段BC上．
（1)若∠ADC＝错误!，求AD的长；
（2)若BD＝2DC，△ACD的面积为错误!，求错误!的值．
解（1)在△ABC中，∵cos B＝错误!，∴sin B＝错误!.
在△ABD中，由正弦定理,得错误!＝错误!，
又AB＝2，∠ADB＝错误!，sin B＝错误!.∴AD＝错误!。

(2)∵BD＝2DC，∴S△ABD＝2S△ADC，S△ABC＝3S△ADC，
又S△ADC＝错误!，∴S△ABC＝4错误!,
∵S△ABC＝错误!AB·BC sin B，∴BC＝6，
∵S△ABD＝错误!AB·AD sin∠BAD,
S
＝错误!AC·AD sin∠CAD,
△ADC
S
＝2S△ADC,∴错误!＝2·错误!，
△ABD
在△ABC中，由余弦定理,
得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC cos B。

∴AC＝4错误!,∴错误!＝2·错误!＝4错误!.
18．(本小题满分12分）(2019·青岛市二模）为了研究学生的数学核心素养与抽象能力(指标x）、推理能力（指标y)、建模能力(指标z)的相关性，将它们各自量化为1、2、3三个等级,再用综合指标w＝x＋y＋z的值评定学生的数学核心素养，若w≥7，则数学核心素养为一级；若5≤w≤6，则数学核心素养为二级；若3≤w≤4，则数学核心素养为三级，为了了解某校学生的数学核心素养,调查人员随机访问了某校10名学生，得到如下数据：
的概率；
（2）在这10名学生中任取三人，其中数学核心素养等级是一级的学生人数记为X，求随机变量X的分布列及其数学期望．
解
(1)由题意可知，建模能力一级的学生是A9;建模能力二级的学生是A4，A5,A7,A10；建模能力三级的学生是A1，A2，A3，A6，A8。

记“所取的两人的建模能力指标相同”为事件A，记“所取的两人的综合指标值相同”为事件B.
则P（B｜A）＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!。

(2）由题意可知,数学核心素养一级的学生为A1，A2，A3，A5，A6，A8，非一级的学生为余下4人，
∴X的所有可能取值为0，1，2，3。

P(X＝0)＝错误!＝错误!，P（X＝1)＝错误!＝错误!,
P（X＝2）＝错误!＝错误!,P(X＝3)＝错误!＝错误!，
∴随机变量X的分布列为
X0123
P错误!错误!错误!错误!
∴E(X)＝0×
1
30
＋1×错误!＋2×错误!＋3×错误!＝1.8。

19．（本小题满分12分)（2019·安徽黄山二模)如图，已知四边形ABCD满足AD∥BC,BA ＝AD＝DC＝错误!BC＝a，E是BC的中点，将△BAE沿AE翻折成△B1AE，使得B1D＝错误!a，F为B
1
D的中点．
（1）证明：B1E∥平面ACF；
(2)求平面ADB1与平面ECB1所成锐二面角的余弦值．
解(1)证明：连接ED交AC于点O，连接OF，由四边形ADCE为菱形，F为B1D的中点，得OF∥B1E,
又因为B1E⊄平面ACF，OF⊂平面ACF，所以B1E∥平面ACF。

(2)由（1）可知，以MD，MA,MB1所在的直线分别为x,y，z
轴建立空间直角坐标系(如图）,
则A错误!，D错误!,B1错误!，C错误!,E错误!，
错误!＝错误!，错误!＝错误!，错误!＝错误!，错误!＝错误!。

设平面ADB1的法向量m＝（x，y，z），则错误!
则错误!令y＝1,解得m＝错误!，
同理可得平面ECB1的法向量n＝错误!，
∴cos〈m,n〉＝错误!＝错误!，
故平面ADB1与平面ECB1所成锐二面角的余弦值为错误!.
20．（本小题满分12分)(2019·福建莆田二模）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，若点P在C上,点E在l上，且△PEF是周长为12的正三角形．
(1)求抛物线C的方程；
(2)过点F的直线n与抛物线C相交于A，B两点，抛物线C在点A处的切线与l交于点N，求△ABN面积的最小值．
解（1)由△PEF是周长为12的正三角形，得|PE|＝|PF|＝|EF｜＝4，
又由抛物线的定义可得PE⊥l.
设准线l与y轴交于点D，则PE∥DF，从而∠PEF＝∠EFD＝60°.
在Rt△EDF中，|DF|＝|EF｜·cos∠EFD＝4×错误!＝2，即p＝2.
所以抛物线C的方程为x2＝4y.
（2）依题意可知，直线n的斜率存在，故设直线n的方程为y＝kx＋1,
联立错误!消去y可得，x2－4kx－4＝0。

设A（x1，y1)，B（x2，y2)，则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4。

所以|AB|＝错误!|x1－x2｜
＝错误!错误!＝错误!错误!
＝4（1＋k2)．
由y＝错误!，得y′＝错误!，
所以过A点的切线方程为y－y1＝错误!(x－x1),
又y1＝错误!，
所以切线方程可化为y＝错误!·x－错误!。

令y＝－1,可得x＝错误!＝2·错误!＝2k，
所以点N(2k，－1),
所以点N到直线n的距离d＝错误!＝2错误!，
所以S△ABN＝错误!｜AB|·d＝4错误!≥4，
当k＝0时，等号成立．
所以△ABN面积的最小值为4.
21．（本小题满分12分)（2019·武汉模拟）已知函数f（x）＝a错误!－错误!（a∈R，a 为常数)在（0,2）内有两个极值点x1，x2(x1＜x2）．
(1）求实数a的取值范围；
（2)求证:x1＋x2＜2（1＋ln a)．
解（1)∵函数f（x）＝a错误!－错误!(a∈R,a为常数)，
∴x＞0,f′（x）＝错误!，
设h（x)＝e x－1－ax，x＞0，
由题意知y＝h(x）在（0，2)上存在两个零点，
∵h′(x)＝e x－1－a,
∴当a≤0时，h′（x）＞0，则h(x）在(0,2)上单调递增,h（x)至多有一个零点，不符合题意．
当a＞0时,由h′（x)＝0，得x＝1＋ln a.
①若1＋ln a＜2且h(2）＞0，即1＜a＜错误!时，h(x）在（0,1＋ln a)上单调递减,在（1＋ln a，2）上单调递增，
则h(x)min＝h（1＋ln a)＝－a ln a＜0，且h（2）＞0，h(0)＝1
e
＞0，
∴h（x)在(0,1＋ln a)和(1＋ln a，2）上各有一个零点，
∴h(x）在（0,2)上存在两个零点．
②若1＋ln a＞2,即a＞e时,h（x)在（0,2）上单调递减，h（x)至多一个零点，舍去．
③若1＋ln a＜2，且h（2）≤0，即e
2
≤a＜e时，此时h（x)在(0,1＋ln a)上有一个零
点,而在（1＋ln a，2）上没有零点，舍去．
综上，1＜a＜错误!.即实数a的取值范围是错误!。

(2)证明：令H（x）＝h（x）－h（2＋2ln a－x)，0＜x＜1＋ln a，
则H′（x)＝h′(x)＋h′（2＋2ln a－x）＝e x－1－a＋e2＋2ln a－x－1－a＝e x－1＋错误!－2a≥2a－2a＝0，
∴H(x)在(0，1＋ln a)上单调递增，
从而H（x）＜H(1＋ln a）＝0，
∴h（x）－h（2＋2ln a－x)＜0，
∴h（x1）－h(2＋2ln a－x1）＜0，
∵h（x1）＝h(x2），且h(x)在（1＋ln a，2)上单调递增,
∴h(x2）＜h（2＋2ln a－x1),∴x2＜2＋2ln a－x1，
∴x1＋x2＜2(1＋ln a)．
(二)选考题：10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．(本小题满分10分)［选修4－4：坐标系与参数方程］
(2019·江西重点中学联盟第二次联考）在直角坐标系xOy中,直线l:错误!（t为参数），以原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ＋4＝0.
（1)写出曲线C的直角坐标方程；
（2）已知点A（0,错误!)，直线l与曲线C相交于点M，N，求错误!＋错误!的值．
解（1）ρ2cos2θ－ρ2sin2θ＋4＝0⇒x2－y2＋4＝0⇒y2－x2＝4.
(2）将直线l的参数方程化为标准形式错误!(t为参数)，
代入曲线C的方程，得错误!t2＋4t＋1＝0，
则错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝错误!＝4.
23．（本小题满分10分）［选修4－5：不等式选讲］
(2019·唐山联考)已知函数f（x）＝x|x－a|（a∈R），
(1)当f（1）＋f（－1）＞1时,求a的取值范围；
(2）若a＞0，对∀x，y∈(－∞，a］都有不等式f(x)≤错误!＋|y－a|恒成立，求a的取值范围．
解（1）f（1)＋f（－1）＝｜1－a｜－｜1＋a|＞1,
若a≤－1，则1－a＋1＋a＞1，得2＞1,即a≤－1时恒成立；
若－1＜a＜1，则1－a－(1＋a)＞1，得a＜－错误!，
即－1＜a＜－错误!；
若a≥1，则－(1－a)－（1＋a)＞1，得－2＞1，此时不等式无解．
综上所述，a的取值范围是错误!。

（2）由题意知,要使不等式恒成立，
只需［f(x）]max≤错误!min.
当x∈(－∞,a]时，f（x)＝－x2＋ax，
［f（x）]max＝f错误!＝错误!.
因为错误!＋|y－a｜≥错误!，
所以当y∈错误!时,错误!min
＝错误!＝a＋错误!.
于是a2
4
≤a＋
5
4
,解得－1≤a≤5.
结合a＞0,所以a的取值范围是（0，5]．
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