浙江初三初中数学中考模拟带答案解析

浙江初三初中数学中考模拟
班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________
一、解答题
1.（本题满分10分）如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，点D 在边AB 上运动，DE 平分∠CDB 交边BC 于点E ，EM ⊥BD 垂足为M ，EN ⊥CD 垂足为
N ．
（1）当AD ＝CD 时，求证DE ∥AC ；
（2）探究：AD 为何值时，以B ，M ，E 为顶点的三角形与以C ，E ，N 为顶点的三角形相似？
2.已知：如图①，在矩形ABCD 中，AB=5，AD=，AE ⊥BD ，垂足是E ．点F 是点E 关于AB 的对称点，连接AF 、BF ．
（1）求AE 和BE 的长；
（2）若将△ABF 沿着射线BD 方向平移，设平移的距离为m （平移距离指点B 沿BD 方向所经过的线段长度）．当点F 分别平移到线段AB 、AD 上时，直接写出相应的m 的值．
（3）如图②，将△ABF 绕点B 顺时针旋转一个角α（0°＜α＜180°），记旋转中的△ABF 为△A′BF′，在旋转过程中，设A′F′所在的直线与直线AD 交于点P ，与直线BD 交于点Q ．是否存在这样的P 、Q 两点，使△DPQ 为等腰三角形？若存在，求出此时DQ 的长；若不存在，请说明理由．
3.如图，点P ( x , y 1)与Q (x , y 2)分别是两个函数图象C 1与C 2上的任一点. 当a ≤ x ≤ b 时，有-1 ≤ y 1 - y 2 ≤ 1成立，则称这两个函数在a ≤ x ≤ b 上是“相邻函数”，否则称它们在a ≤ x ≤ b 上是“非相邻函数”.
例如，点P (x , y 1)与Q (x , y 2)分别是两个函数y = 3x +1与y = 2x - 1图象上的任一点，当-3 ≤ x ≤ -1时，y 1 - y 2 = (3x + 1) - (2x - 1) = x + 2，通过构造函数y = x + 2并研究该函数在-3 ≤ x ≤ -1上的性质，得到该函数值的范围是-1 ≤ y ≤ 1，所以-1 ≤ y 1 - y 2 ≤ 1成立，因此这两个函数在-3 ≤ x ≤ -1上是“相邻函数”.
（1）判断函数y =3x +2与y =2x +1在－2 ≤ x ≤ 0上是否为“相邻函数”，说明理由；
（2）若函数y = x 2- x 与y = x - a 在0 ≤ x ≤ 2上是“相邻函数”，求a 的取值范围；
（3）若函数y =
与y =－2x + 4在1 ≤ x ≤ 2上是“相邻函数”，直接写出a 的最大值与最小值.
4.（1）解方程
（2）化简：．
5.个不透明的口袋里装有分别标有汉字“美”、“丽”、“西”、“湖”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球．
（1）若从中任取一个球，球上的汉字刚好是“西”的概率为多少？
（2）甲从中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用画树状图的方法，求出甲取出的两个球上的汉字恰能组成“美丽”或“西湖”的概率P 1；
（3）乙从中任取一球，记下汉字后再放回袋中，再从中任取一球，记乙取出的两个球上的汉字恰能组成“美丽”或“西湖”的概率为P 2，请比较P 1，P 2的大小关系。

6.如图，已知等边△ABC ，以AB 为直径向外做半圆.
（1）请用直尺和圆规作该半圆的三等点D 、E ；（要保留作图痕迹，不写作法与证明）
（2）连接CD 交AB 于F ，求的值
7.直线与相交于点P, 点P 的横坐标为-1，直线交y 轴于点A(0,-1), 直线的函数表达式为。

设直
线与y 轴交于B 。

（1）求直线的函数表达式。

（2）求两直线与y 轴围成的面积。

（3）过动点D(a,0）作x 轴的垂线与直线，分别交于M,N 两点，若,求a 的取值范围。

二、填空题
1.因式分解：= ．
2.如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，直径AD=4，∠ABC=∠DAC ，则AC 长为______。

3.已知关于x 的方程kx 2-2x-1=0有两个不相等的实数根，则k 的最小整数值是_______________
4.甲、乙两人从A,B 两地出发，甲骑自行车，乙骑摩托车，沿同一条路线相向匀速行驶。

出发后经3小时两人相遇。

已知在相遇时乙比甲多行驶了90千米，相遇后经1小时乙达到A 地。

若设甲每小时行驶x 千米，则可列方程为_______________________ 。

5.已知实数m,n 满足2m-n=2,并且,若,则y 的取值范围是_____
6.已知△ABC 中，tanB=，BC=6，过点A 作BC 边上的高，垂足为点D ，且满足BD ：CD=2：1，则△ABC 面积为_______________
三、选择题
1.一组数据5，4，2，5，6的中位数是（ ）
A ．5
B ．4
C ．2
D ．6
2.下列运算结果正确的是（ ）
A ．a+2b="3ab"
B ．3a 2﹣2a 2=1
C ．a 2•a 4=a 8
D ．（﹣a 2b ）3÷（a 3b ）2=﹣b
四、单选题
1.下列选项中，不是如图所示几何体的主视图、左视图、俯视图之一的是 ( )
A．B．C．D．
2.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=50°,AB=10,则BC的长为（）
A．10cos50°B．10sin50°C．10tan50°D．°
3.下列命题中，真命题的有（）
①对角线互相平分的四边形是平行四边形；②两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
③一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形．④对角线相等的四边形是矩形.⑤对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
A．①②③B．①③④⑤C．①②③④D．①②
4.如图，点A，B，C在⊙O上．若⊙O的半径为3，∠C=30°，则的长为（）
A．B．C．D．
5.已知关于x的分式方程的根为正数，则m的取值范围为（）
A．B．C．D．
6.如图，线段AB,CD相交于点E,AD∥EF∥BC,若AE:EB=1:3，则=( )
A．2B．C．D．
7.已知x=2是不等式的解，且x=1不是这个不等式的解，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．
8.关于x的二次函数，其中为锐角，则：
①当为30°时，函数有最小值－；②函数图象与坐标轴必有三个交点. ③当<60°时，函数在x >1时，y随 x 的增大而增大；④无论锐角怎么变化，函数图象必过定点。

其中正确的结论有（）
A．①③④B．①④C．②③D．①②④
浙江初三初中数学中考模拟答案及解析
一、解答题
1.（本题满分10分）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在边AB上运动，DE平分∠CDB交边BC于点E，EM⊥BD垂足为M，EN⊥CD垂足为
N．
（1）当AD＝CD时，求证DE∥AC；
（2）探究：AD为何值时，以B，M，E为顶点的三角形与以C，E，N为顶点的三角形相似？
【答案】（1）见解析（2）AD＝5或AD＝4．8
【解析】（1）当AD＝CD时，要证明DE∥AC成立，只需要根据条件证明∠DAC=∠DCA=∠BDE=∠BDC即
可；（2）分两种情况：①若△BME∽△CNE，②若△BME∽△ENC，分别讨论即可．
试题解析：（1）证明：∵AD="CD" ∴∠DAC=∠DCA
∴∠BDC=2∠DAC
又∵DE是∠BDC的平分线
∴∠DAC=∠BDE
∴DE∥AC
（2）解：分两种情况：
①若△BME∽△CNE，必有∠MBE=∠NCE
此时BD=DC
∵DE平分∠BDC
∴DE⊥BC，BE=EC
又∠ACB＝90°
∴DE∥AC
∴即
∴AD=5
②若△BME∽△ENC，必有∠EBM=∠CEN
此时NE∥MC
∵CD⊥NE，∴CD⊥AB
∴
∴当AD＝5或AD＝4．8时，以B，M，E为顶点的三角形与以C，E，N为顶点的三角形相似……10分
【考点】1．平行线的判定；2．勾股定理；3．相似三角形的判定与性质．
2.已知：如图①，在矩形ABCD中，AB=5，AD=，AE⊥BD，垂足是E．点F是点E关于AB的对称点，连接AF、BF．
（1）求AE和BE的长；
（2）若将△ABF沿着射线BD方向平移，设平移的距离为m（平移距离指点B沿BD方向所经过的线段长度）．当点F分别平移到线段AB、AD上时，直接写出相应的m的值．
（3）如图②，将△ABF绕点B顺时针旋转一个角α（0°＜α＜180°），记旋转中的△ABF为△A′BF′，在旋转过程中，设A′F′所在的直线与直线AD交于点P，与直线BD交于点Q．是否存在这样的P、Q两点，使△DPQ为等腰三角形？若存在，求出此时DQ的长；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)4,3;(2)3或．（3）DQ的长度分别为、；或．
【解析】（1）利用矩形性质、勾股定理及三角形面积公式求解；
（2）依题意画出图形，如图2所示．利用平移性质，确定图形中的等腰三角形，分别求出m的值；
（3）在旋转过程中，等腰△DPQ有4种情形，如图3所示，对于各种情形分别进行计算．试题解析：（1）在Rt△ABD中，AB=5，AD=，
由勾股定理得：BD=．
∵S
=BD•AE=AB•AD，
△ABD
∴AE=．
在Rt△ABE中，AB=5，AE=4，由勾股定理得：BE=3．
（2）设平移中的三角形为△A′B′F′，如图2所示：
由对称点性质可知，∠1=∠2．
由平移性质可知，AB∥A′B′，∠4=∠1，BF=B′F′=3．
①当点F′落在AB上时，
∵AB∥A′B′，
∴∠3=∠4，
∴∠3=∠2，
∴BB′=B′F′=3，即m=3；
②当点F′落在AD上时，
∵AB∥A′B′，
∴∠6=∠2，
∵∠1=∠2，∠5=∠1，
∴∠5=∠6，
又易知A′B′⊥AD，
∴△B′F′D为等腰三角形，
∴B′D=B′F′=3，
∴BB′=BD-B′D=，即m=．
（3）存在．理由如下：
在旋转过程中，等腰△DPQ依次有以下4种情形：
①如图3-1所示，点Q落在BD延长线上，且PD=DQ，易知∠2=2∠Q，
∵∠1=∠3+∠Q，∠1=∠2，
∴∠3=∠Q，
∴A′Q=A′B=5，
∴F′Q=F′A′+A′Q=4+5=9．
在Rt△BF′Q中，由勾股定理得：BQ=．
∴DQ=BQ-BD=；
②如图3-2所示，点Q落在BD上，且PQ=DQ，易知∠2=∠P，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠P，
∴BA′∥PD，则此时点A′落在BC边上．
∵∠3=∠2，
∴∠3=∠1，
∴BQ=A′Q，
∴F′Q=F′A′-A′Q=4-BQ．
在Rt△BQF′中，由勾股定理得：BF′2+F′Q2=BQ2，
即：32+（4-BQ）2=BQ2，
解得：BQ=，
∴DQ=BD-BQ=-=；
③如图3-3所示，点Q落在BD上，且PD=DQ，易知∠3=∠4．
∵∠2+∠3+∠4=180°，∠3=∠4，
∴∠4=90°-∠2．
∵∠1=∠2，
∴∠4=90°-∠1．
∴∠A′QB=∠4=90°-∠1，
∴∠A′BQ=180°-∠A′QB-∠1=90°-∠1，
∴∠A′QB=∠A′BQ，
∴A′Q=A′B=5，
F′Q=A′Q-A′F′=5-4=1．
在Rt△BF′Q中，由勾股定理得：BQ=，∴DQ=BD-BQ=；
④如图3-4所示，点Q落在BD上，且PQ=PD，易知∠2=∠3．
∵∠1=∠2，∠3=∠4，∠2=∠3，
∴∠1=∠4，
∴BQ=BA′=5，
∴DQ=BD-BQ=．
所述，存在4组符合条件的点P 、点Q ，使△DPQ 为等腰三角形；
DQ 的长度分别为、；或．
【考点】几何变换综合题.
3.如图，点P ( x , y 1)与Q (x , y 2)分别是两个函数图象C 1与C 2上的任一点. 当a ≤ x ≤ b 时，有-1 ≤ y 1 - y 2 ≤ 1成立，则称这两个函数在a ≤ x ≤ b 上是“相邻函数”，否则称它们在a ≤ x ≤ b 上是“非相邻函数”.
例如，点P (x , y 1)与Q (x , y 2)分别是两个函数y = 3x +1与y = 2x - 1图象上的任一点，当-3 ≤ x ≤ -1时，y 1 - y 2 = (3x + 1) - (2x - 1) = x + 2，通过构造函数y = x + 2并研究该函数在-3 ≤ x ≤ -1上的性质，得到该函数值的范围是-1 ≤ y ≤ 1，所以-1 ≤ y 1 - y 2 ≤ 1成立，因此这两个函数在-3 ≤ x ≤ -1上是“相邻函数”.
（1）判断函数y =3x +2与y =2x +1在－2 ≤ x ≤ 0上是否为“相邻函数”，说明理由；
（2）若函数y = x 2- x 与y = x - a 在0 ≤ x ≤ 2上是“相邻函数”，求a 的取值范围；
（3）若函数y =与y =－2x + 4在1 ≤ x ≤ 2上是“相邻函数”，直接写出a 的最大值与最小值.
【答案】（1）是“相邻函数”，理由见解析；（2）；（3）的最大值是2，的最小值1.
【解析】
（1）直接利用相邻函数的定义结合一次函数增减性，得出当x=0时，函数有最大值1，当x=-2时，函数有最小值-1，即-1≤y≤1，进而判断即可；
（2）直接利用相邻函数的定义结合二次函数增减性，得出当x=1时，函数有最小值a-1，当x=0或x=2时，函数有最大值a ，即a-1≤y≤a ，进而判断即可；
（3）直接利用相邻函数的定义结合函数增减性，得出当x=1时，函数有最小值a-2，当x=2时，函数有最大值，
即a-2≤y≤，进而判断最值即可． 试题解析：（1）是“相邻函数”.
理由如下：，构造函数.
∵在上随着x 的增大而增大，
∴当x=0时，函数有最大值1，当x=-2时，函数有最小值-1，即 ∴-1≤y ₁-y ₂≤1.
即函数在是“相邻函数”.
（2）
构造函数
∵ ∴顶点坐标为(1,a-1)
又∵抛物线开口向上，
当时，函数有最小值，当或
时，函数有最大，即, ∵函数
与在 “相邻函数”， ∴，即∴.
（3）的最大值是2，的最小值1.
点睛：（1）通过构建函数y=x-1，根据一次函数的性质可得出该函数在0≤x≤2上单调递增，分别代入x=0、x=2即可得出y 的取值范围，由此即可得出结论；
（2）由函数y=x 2-x 与y=x•a 在0≤x≤2上是“相邻函数”，构造函数y=x 2-（a+1）x ，根据抛物线的位置不同，令其最大值≤1、最小值≥-1，解关于a 的不等式组即可得出结论．
4.（1）解方程
（2）化简：．
【答案】（1） （2）2m+6
【解析】（1）先移项，再运用因式分解法求解即可；
（2）先计算括号里的，再把除法转化为乘法，约分化简即可.
试题解析：（1）
解得：
（2）
=
=
=
5.个不透明的口袋里装有分别标有汉字“美”、“丽”、“西”、“湖”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球．
（1）若从中任取一个球，球上的汉字刚好是“西”的概率为多少？
（2）甲从中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用画树状图的方法，求出甲取出的两个球上的汉字恰能组成“美丽”或“西湖”的概率P 1；
（3）乙从中任取一球，记下汉字后再放回袋中，再从中任取一球，记乙取出的两个球上的汉字恰能组成“美丽”或“西湖”的概率为P 2，请比较P 1，P 2的大小关系。

【答案】（1） （2）树状图略。

(3)
【解析】（1）由一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“美”、“丽”、“西”、“湖”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，直接利用概率公式求解即可求得答案；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与取出的两个球上的汉字恰能组成“美丽”或“西湖”的情况，再利用概率公式即可求得答案；
（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与取出的两个球上的汉字恰能组成“美丽”或“西湖”的情况，再利用概率公式即可求得答案．
试题解析：（1）∵一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“美”、“丽”、“西”、“湖”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，
∴从中任取一个球，球上的汉字刚好是“湘”的概率为：；
（2）画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，取出的两个球上的汉字恰能组成“美丽”或“湘湖”的有4种情况，
∴P 1=；
（3）画树状图得：
∵共有16种等可能的结果，取出的两个球上的汉字恰能组成“美丽”或“湘湖”的有4种情况，
∴P 2=，
∴P 1＞P 2．
【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．注意掌握放回试验与不放回实验的区别．
6.如图，已知等边△ABC ，以AB 为直径向外做半圆.
（1）请用直尺和圆规作该半圆的三等点D 、E ；（要保留作图痕迹，不写作法与证明）
（2）连接CD 交AB 于F ，求的值
【答案】（1）作图见解析：（2）的值为
【解析】（1）作线段AB 的中垂线交AB 于O ，再分别以A ，B 两点为圆心，AO 为半径画弧，交半圆弧于D ，E ，则D ，E 为所求；
（2）利用已知条件证明△AFD ∽△BCF ，即可求出的值．
【点评】本题考查了等边三角形的性质、在同圆或等圆中圆心角、弧、弦的关系和相似三角形的判定和相似三角形的性质．
试题解析：（1）作图如下：
（2）
连接OD，
∵点D、E是半圆弧的三等分点，
∴∠AOD=60°，
∴AO=DO=AD=AB=BC，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∴AD∥BC，
∴△AFD∽△BFC，
∴
7.直线与相交于点P, 点P的横坐标为-1，直线交y轴于点A(0,-1), 直线的函数表达式为。

设直线与y轴交于B。

（1）求直线的函数表达式。

（2）求两直线与y轴围成的面积。

（3）过动点D(a,0）作x轴的垂线与直线，分别交于M,N两点，若,求a的取值范围。

【答案】（1）直线的函数表达式为；
（2）两直线与y轴围成的面积为2；
（3）a的取值范围是
【解析】（1）先求出P点坐标，根据两点确定一条直线即可求出直线的函数表达式；
（2）根据三角形的面积计算公式即可得出三角形的面积；
（3）分别用a表示M和N的纵坐标，求出MN的长度,根据即可求出a的取值范围。

试题解析：（1）由点P在直线l
2上，得y=1,
∴P(-1,1)
设直线l
2
的解析式为y=kx+b，则有：
解得：
∴直线l
2
的解析式为
（2）直线l
1和直线l
2
与y轴围成的图形是ΔABP
∴S
ΔABP
=×1×(3+1)=2.
(3) ∵D(a,0）
∴M(a,2a+3) N(-2a-1) ∴MN=
解得：
二、填空题
1.因式分解：= ．
【答案】2（a+2）（a﹣2）．
【解析】==2（a+2）（a﹣2）．故答案为：2（a+2）（a﹣2）．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
2.如图，⊙O是△ABC的外接圆，直径AD=4，∠ABC=∠DAC，则AC长为______。

【答案】
【解析】试题解析：连接CD，如图所示：
∵∠B=∠DAC，
∴，
∴AC=CD，
∵AD为直径，
∴∠ACD=90°，
在Rt△ACD中，AD=4，
∴AC=CD=AD=×4=．
3.已知关于x的方程kx2-2x-1=0有两个不相等的实数根，则k的最小整数值是_______________
【答案】1
【解析】试题解析：∵关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不相等的实数根，
∴k≠0且△＞0，即（-2）2-4×k×（-1）＞0，
解得k＞-1且k≠0．
∴k的取值范围为k＞-1且k≠0．
故k的最小整数值为1.
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的
实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．
4.甲、乙两人从A,B两地出发，甲骑自行车，乙骑摩托车，沿同一条路线相向匀速行驶。

出发后经3小时两人相遇。

已知在相遇时乙比甲多行驶了90千米，相遇后经1小时乙达到A地。

若设甲每小时行驶x千米，则可列方程为
_______________________ 。

【答案】3x=x+30
【解析】试题解析：根据题意得：3x=x+30.
5.已知实数m,n满足2m-n=2,并且,若,则y的取值范围是_____
【答案】
【解析】试题解析：∵2m-n=2，
∴n=2m-2，
∵n≤2，
∴2m-2≤2，
解得m≤2，
又∵m≥-1
∴-1≤＜x≤2，
∵y=(2m-2)2+m=，
当m=2时，y=15；
当m=时，m=，
∴＜m≤15．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式：根据不等式的性质解一元一次不等式，基本步骤为：①去分母；②去括号；
③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．也考查了代数式的变形和一次函数的性质．
6.已知△ABC中，tanB=，BC=6，过点A作BC边上的高，垂足为点D，且满足BD：CD=2：1，则△ABC面积
为_______________
【答案】6或18
【解析】如图1所示：
∵BC=6，BD：CD=2：1，
∴BD=4，
∵AD⊥BC，tan B=，
∴，
∴AD=BD=2，
∴S
=BC•AD=×6×2=6；
△ABC
如图2所示：
∵BC=6，BD：CD=2：1，
∴BD=12，
∵AD⊥BC，tan B=，
∴，
∴AD=BD=6，
∴S
=BC•AD=×6×6=18；
△ABC
综上，△ABC面积的所有可能值为6或18.
【点睛】本题考查了解直角三角形，以及三角函数的定义，三角形面积，分类讨论思想的运用是本题的关键．
三、选择题
1.一组数据5，4，2，5，6的中位数是（）
A．5B．4C．2D．6
【答案】A．
【解析】将题目中数据按照从小到大排列是： 2，4，5，5，6，故这组数据的中位数是5，故选A．
【考点】中位数；统计与概率．
2.下列运算结果正确的是（）
A．a+2b="3ab"
B．3a2﹣2a2=1
C．a2•a4=a8
D．（﹣a2b）3÷（a3b）2=﹣b
【答案】D.
【解析】选项A：a+2b不能再计算，故此选项错误；选项B：3a2﹣2a2=a2，故此选项错误；选项C：a2·a4=a6，故此选项错误；选项D：（-a2b）3÷（a3b）2=-a6b3÷a6b2=-b，故此选项正确.故选D.
【考点】1合并同类项；2同底数幂的乘法；3幂的乘方与积的乘方.
四、单选题
1.下列选项中，不是如图所示几何体的主视图、左视图、俯视图之一的是 ( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】试题解析：几何体的主视图为选项D，俯视图为选项B，左视图为选项C．
故选A．
2.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=50°,AB=10,则BC的长为（）
A．10cos50°B．10sin50°C．10tan50°D．°
【答案】A
【解析】试题解析：∵cos B=，
∴BC=AB cos B=10cos50°．
故选A．
3.下列命题中，真命题的有（）
①对角线互相平分的四边形是平行四边形；②两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
③一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形．④对角线相等的四边形是矩形.⑤对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
A．①②③B．①③④⑤C．①②③④D．①②
【答案】D
【解析】试题解析：根据平行四边形、正方形及矩形的判定可知：
①正确．
②正确.
③错误，一组对边平行，另一组对边相等的四边形也是等腰梯形．
④错误. 等腰梯形对角线也相等
⑤错误. 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形
故选D.
4.如图，点A，B，C在⊙O上．若⊙O的半径为3，∠C=30°，则的长为（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】试题解析：∵∠C=30°，
∴∠AOB=60°，
∴的长为=π，
故选B
5.已知关于x的分式方程的根为正数，则m的取值范围为（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】试题解析：方程两边同时乘以x2-4得，2(x+2)+m x=0，
解得．
∵x为正数，
∴2+m＞0，解得m＜-2．
∵x≠2，
∴2+m ≠-2，即m ≠-4． ∴m 的取值范围是m ＜-2且m ≠-4．
故选C ．
【点睛】本题考查的是分式方程的解，熟知求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解是解答此题的关键．
6.如图，线段AB,CD 相交于点E,AD ∥EF ∥BC,若AE:EB=1:3，则=( )
A ．2
B ．
C ．
D ．
【答案】D
【解析】试题解析：设△ADE 、△BCE 、△ACE 、△ABC 、△AEF 的面积分别为；
λ、μ、γ、ρ、θ．
∵EF ∥BC ∥AD ， ∴△ADE ∽△BCE ，
∴，而AE ：EB =1：3，
∴μ=9λ，即S △BCE =9λ．
∵γ：μ=AE ：BE =1：3， ∴γ=3λ，△ABC 的面积ρ=3a +9a =12λ． ∵EF ∥BC ， ∴△AEF ∽△ABC ，
∴
，而ρ=12λ，AE ：AB =1：4， ∴θ=
，即S △AEF =．
∴
故选D ．
【点睛】该题主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是深入把握题意，灵活运用相似三角形的判定及其性质等几何知识点来分析、判断、推理或解答．
7.已知x=2是不等式的解，且x=1不是这个不等式的解，则实数a 的取值范围是（ ） A ． B ． C ． D ．
【答案】C
【解析】试题解析：∵x =2是不等式（x -5）（ax -3a +2）≤0的解，
∴（2-5）（2a -3a +2）≤0，
解得：a ≤2，
∵x =1不是这个不等式的解， ∴（1-5）（a -3a +2）＞0，
解得：a ＞1，
∴1＜a ≤2，
故选C ．
8.关于x 的二次函数，其中为锐角，则：
① 当为30°时，函数有最小值－；② 函数图象与坐标轴必有三个交点. ③ 当<60°时，函数在x >1时，y 随 x 的增大而增大；④ 无论锐角怎么变化，函数图象必过定点。

其中正确的结论有（ ）
A ．①③④
B ．①④
C ．②③
D ．①②④
【答案】D
【解析】试题解析：①当a =30°时，sin a =，二次函数解析式可写作：y =x 2-x =（x -）2-；
所以当a 为30°时，函数的最小值为-；故①正确；
②令y =0，则有：2sin ax 2-（4sin a +）x -sin a +=0，
△=（4sin a+）2-4×2sin a×（-sin a+）=24sin2a+＞0，
所以抛物线与x轴一定有两个交点，再加上抛物线与y轴的交点，即与坐标轴有三个交点，②正确；
③∵2sin a＞0，且对称轴x=-=1+＞1，
∴x=1在抛物线对称轴的左侧，因此x＞1时，y随x的增大先减小后增大；故③错误．
④y=2sin ax2-（4sin a+）x-sin a+=sina（2x2-4x-1）-x+；
当2x2-4x-1=0，即x=1±时，抛物线经过定点，故④正确．
故选D．。