第四章代数系统(2)

2.3 代数系统间的同态 定义4 定义 设A1= < X,f1,f2,···,fm> 和A2= < Y,g1,g2, ···,gm> 是两个同 类型的代数系统。若存在函数h：X→Y，对A1 和A2 中每一对相 应的运算满足同态公式，则称 h 是从 A1到 A2的同态函数，并称 < h(X),g1,g2, ···,gm> 是A1的同态象。 ⑴ 若h是单射的，则称h是从 A1 到 A2 的单同态函数，并称 < h(X) ,g1,g2, ···,gm >是A1的单同态象。 ⑵ 若h 是满射的，则称h是从 A1 到 A2 的满同态函数，并称 A2是A1的满同态象。 ⑶ 若h 是双射的，则称h是从 A1 到 A2 的同构函数，并称 A1和A2 同构。 • 从定义4可知，同构实际上是一种特殊的同态。同态的概念和 同构的概念不同，同构是无方向性的，即对两个同构的代数系 统来说是相互同构。但同态是有方向性的，从A1 到 A2 有同态 函数存在，从 A2 到A1就未必有同态函数存在，即同态的概念不 可逆。另外当 h 是满同态函数时，A1的同态象就是 A2 。
例1 设N是自然数集合, +是自然数加法，< N, + >是代数系统。 设 Nm=｛ [0] ，[1] ，…， [m－1] ｝， +m 定义如下： ∀[i]，[j] ∈ Nm , [ i ] +m [ j ] = [(i＋j) mod m] 由于 0≤ (i + j) mod m < m，且结果唯一，故+m 是 Nm 上的二元 运算，故 < Nm , +m > 是代数系统。 取函数h：N → Nm ，h(i) =[i mod m] ⑴ 对Nm中的任意元素[i] ，取 i + m ∈ N，则 h(i + m )= [i] ， 故h是满射的。 ⑵ ∀i，j ∈ N，有 h(i + j)=[(i + j) mod m] =[i mod m] + m [ j mod m]=h(i) +m h(j) 故 h 对+和+m 满足同态公式。 由定义4知，h 是从< N, + > 到 < Nm , + m >的满同态函数，即 <Nm , + m >是< N, + >的满同态象。
在前面例1和例2 的两个代数系统< 2A, ∪>和<B, ∨ >中： ⑴ 这两个代数系统是同类型的，都只有一个二元运算； ⑵ 取函数h：2A →B, h(∅) = 0，h(A) = 1，显然 h 是双射函数； ⑶ 由于： h(∅∪∅)=h(∅)=0 = h(∅)∨h(∅)=0∨0=0 h(∅∪A)=h(A)=1 = h(∅)∨h(A)=0∨1=1 h(A∪∅)=h(A)=1 = h(A)∨h(∅)=1∨0=1 h(A∪A)=h(A)=1 = h(A)∨h(A)=1∨1=1 故 ∀a,b∈2A, h(a∪b)=h(a)∨h(b) ，即h满足同态公式。 由同构函数定义知 h 是从 < 2A ,∪> 到 < B, ∨ > 的同构函数， 即 < 2A , ∪ >与< B, ∨ >同构。
例2 设N为自然数集合， +是自然数加法，< N, + >是代数系统。 设X={ 1，－1 }，×是整数乘法，<X, × >是代数系统。 取函数 h：N →X，h(偶数) = 1，h(奇数) = －1, ⑴ 由满射函数的定义知 h 是从 N 到 X 的满射函数。 ⑵ 任取i，j ∈ N 有： ① 当 i 为偶数，j 为偶数时，i + j 为偶数，于是有 h( i + j ) =1 = h(i) × h(j ) =1 × 1=1 ② 当 i 为偶数，j 为奇数时，i + j 为奇数，于是有 h( i + j ) =－1 = h(i) × h(j ) =1×(－1) = －1 ③ 当 i 为奇数，j 为偶数时，i + j 为奇数，于是有 h( i + j ) =－1 = h(i) × h(j ) = (－1) × 1= －1 ④ 当 i 为奇数，j 为奇数时，i + j 为偶数，于是有 h(i + j) =1 = h(i) × h(j)=(－1) ×(－1) =1 故 h 对＋和×满足同态公式。 由定义4知，h 是从 < N, + >到 < X, × >的满同态函数，即 <X, × >是< N, + >的满同态象。
定理3 定理 设 < X , ∗ > 和 < Y , ° > 是两个代数系统，∗ 和 ° 分别是 X 和 Y 上的二元运算，h 是从 < X , ∗ > 到 < Y , ° > 的满同态函数， 那么： ⑴若 ∗ 满足结合律，则 ° 满足结合律； ⑵若 ∗ 满足交换律，则 ° 满足交换律； ⑶ 若 e 是关于 ∗ 的幺元，则 h(e) 是关于° 的幺元； ⑷ 若 0 是关于 ∗ 的零元，则 h(0) 是关于° 的零元； ⑸ 若 x 关于 ∗ 有逆元x－1，则 h(x) 关于 ° 的逆元是 h(x－1) 。 从定理3可见当 < Y , ° > 是 < X，∗ > 的满同态象时，如果对 < Y , ° > 的性质不了解，则可 通 过 满 同 态 函 数 将 < X，∗ >上 的性质带到< Y , ° >中去。因此在研究一个新代数系统时，首先 应考虑它是否与已有的代数系统同构或同态，若某个新的代数系 统与原有的熟知的代数系统有这种同态关系，则对新的代数系统 研究起来就容易多了。
例1 设 N 是自然数集合, ＋是自然数加法，< N, + > 是代数系统。 设 E 是正偶数集合, ＋是自然数加法, < E, + > 是代数系统。 证明：< N, + > 和 < E, + > 同构。 证： ⑴ 这两个代数系统是同类型的，都只有一个二元运算； ⑵ 取函数 h：N →E，h(i)=2i。由初等数学知h是双射函数； ⑶ ∀i，j ∈N 有： h(i＋j)=2(i＋j)=2i + 2j = h(i)+h(j) 故 h 满足同态公式。 由定义3知,h是从 < N,+ > 到 < E,+ > 的同构函数,即< N,+ > 和 < E,+ >同构。
由例1和例2 可以看到 < Nm , +m > 和 < X , × > 都是 < N , + > 的满同态象，由此可知，一个代数系统的满同态 象可以是各种各样的代数系统。 定理2 定理 设 A1= < X,f1,f2 ,···, fm> 和 A2= < Y, g1,g2 ,···, gm > 是两个同类型的代数系统，h 是从 A1 到 A2 的同态函数， 那么 A1 的同态象 < h(X), g1,g2,···,gm > 是 A2 的子代数系统。
定义2 定义 设< X，f >和< Y，g >是两个代数系统，f 和 g 分别 是 X 和 Y 上的 n 元运算。若存在一个函数 h：X→Y，使得 ∀( x1,x2,…,x n ) ∈ X n ，有 h (f(x1,x2,…,x n ))=g(h(x1),h(x2),…,h(x n)) ① 则称函数 h 对 f 和 g 保持运算，同时称①式为同态公式。 • h对 f 和 g保持运算的含义是指在 h 的作用下，元素运算结 果的象等于元素象的运算结果。 • 当 h 对 f 和 g 保持运算时，也称 h 满足同态公式。
第二节 代数系统间的同构与同态
2.1 基本概念 例1 设A={a}，< 2A,∪>是代数系统，∪是2A上的并运算， 运算表见表1 。 例2 设B={0,1}，< B,∨ >是代数系统，∨是B上的或运算， 运算表见表2 。 ∪ ∅ ∅ ∅ A A A A A
∨
0 1
0 0 1
1 1
由例1和例2可以看到，在这两个代数系统中，虽然集合不 同，运算不同，但这两个二元运算的运算表却如此相似，如用 ∪代替∨，用 ∅ 代替0，用 A 代替 1，那么就会得到两张完全 一样的运算表；反之也一样。这说明这两个代数系统除符号外， 没有实质上的不同。
2.2 代数系统间的同构关系 定义3 定义 设 A= < X,f1,f2,···,fm > 和 B= < Y,g1,g2, ···,g m > 是两个 同类型的代数系统。若存在一双射函数 h：X→Y，对于A 和B 中的每一对相应的运算fi和gi(i=1,2,…,m)满足同态公式，则称 h 是从 A 到 B 的同构函数，同时称 A 和 B 同构。 • 从定义3可知，论及两个代数系统的同构，必须在两个同类 型的代数系统之间讨论，即两个代数系统中运算的个数必须一 样多，且对应的运算的阶也必须相同，否则同构无从谈起。 • 代数系统间的同构要求有一个双射函数存在，因此如果两 个代数系统同构，那么这两个代数系统的集合的势是一样的， 故有限代数系统绝不会和无限代数系统同构。同时这个双射函 数还要对每一对运算满足同态公式，这样两个代数系统才能同 构。 • 由于两个代数系统间的同构函数 h 是双射函数，因此 h 的 逆函数 h –1 存在，可以证明 h –1是从Y 到 X 的双射函数且对相 应的 g i 和 f i 保持运算，故 h –1 是从B 到A 的同构函数。因此 对同构而言，两个代数系统若同构，则是互相同构的。
定义1 定义 设 A= < X,f1,f2,···,fm > 和 B= < Y,g1,g2,···,g n > 是两个代数 系统， f1,f2,···,fm 是X上的 m 个运算， g1,g2,···,g n是Y上的 n 个运算。若 1) m = n； 2) f i 和相对应的g i的运算的阶相等， i= 1, ···,m; 则称A和B是两个同类型的代数系统。 例3 < I, ＋,×> 和< 2X,∩,∪>是两个同类型的代数系统，因为 这两个代数系统都具有两个运算，且＋和∩都是二元运算， ×和∪也都是二元运算。
例2 设R是实数集合,＋是实数加法，< R, ＋> 是代数系统， 设R+是正实数集合,×是实数乘法，< R+,×> 是代数系统。 证明： < R, ＋> 和 < R+,×> 同构。 证： ⑴ 这是两个同类型的代数系统，都只有一个二元运算； ⑵ 取函数 h：R → R+ ，h(α)= eα。由初等数学知 h是双射函数； ⑶ ∀α, β∈R 有： h (α＋β)= e α＋β = eα×eβ = h(α)×h(β) 故 h 满足同态公式。 由定义3知，h 是从 < R,+ > 到 < R+,×> 的同构函数，即 < R,+ > 和 < R+,×>同构。