2021-2022学年陕西省汉中市四校联考高三(上)月考数学试卷(理科)(11月份)(附详解)

2021-2022学年陕西省汉中市四校联考高三（上）月考数
学试卷（理科）（11月份）
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）
1.若复数z=1
1+i
，则z的虚部为()
A. −1
2B. 1
2
C. −i
2
D. i
2
2.已知集合A={−3,−2,1,2}，B={x|x2+5x−6≤0}，则A∩B=()
A. {2}
B. {1,2}
C. {−3,−2}
D. {−3,−2,1}
3.已知命题p：∃x∈R，使tanx=1，命题q：∀x∈R，x2>0下面结论正确的是()
A. 命题“p∧q”是真命题
B. 命题“p∧¬q”是假命题
C. 命题“¬p∨q”是真命题
D. 命题“¬p∧¬q”是假命题
4.已知f(x)是R上的奇函数，且f(x+2)=f(x)，当x∈(0,1)时，f(x)=4x−1，则
f(7
2
)=()
A. −1
B. 0
C. 1
D. 2
5.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E是棱AB上的点，且
AE=3EB，G，F分别是棱DD1，BC的中点，则异面
直线GB1与EF所成角的余弦值为()
A. √2
2
B. √5
3
C. √3
2
D. 2√5
15
6.第24届冬季奥运会将于2022年2月4日在北京开幕．为保证冬奥会顺利进行，组委
会需要提前把各项工作安排好．现要把甲、乙、丙、丁四名志愿者安排到七天中服务，每天一人，甲两天，乙三天，丙和丁各一天，则不同的安排方法有()
A. 840种
B. 140种
C. 420种
D. 210种
7.将函数y=sinx图象上每个点的横坐标变为原来的1
2
倍(纵坐标不变)，再将得到的图
象向左平移π
12
个单位长度，所得图象的函数解析式为()
A. y=sin(2x−π
6) B. y=sin(2x−π
12
)
C. y=sin(2x+π
6) D. y=sin(2x+π
12
)
8.2021年中国人民银行计划发行60个贵金属纪念币品种，
以满足广大收藏爱好者的需要，其中牛年生肖币是收藏
者的首选．为了测算如图所示的直径为4的圆形生肖币中
牛形图案的面积，进行如下实验，即向该圆形生肖币内
随机投掷100个点，若恰有75个点落在牛形图案上，据
此可估算牛形图案的面积是()
A. 3π
2
B. 3π
C. 6π
D. 12π
9.双曲线x2
a2−y2
b2
=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，若P为其上一点，且
|PF1|=2|PF2|，∠F1PF2=π
3
，则双曲线的离心率为()
A. √2
B. 2
C. √3
D. 3
10.已知函数f(x)=lnx
x
−x，则()
A. f(x)的单调递减区间为(0,1)
B. f(x)的极小值点为1
C. f(x)的极大值为−1
D. f(x)的最小值为−1
11.英国数学家约翰⋅康威在数学上的成就是全面性的，其中
“康威圆定理”是他引以为傲的研究成果之一．定理的内
容是：三角形ABC的三条边长分别为a，b，c，分别延长
三边两端，使其距离等于对边的长度，如图所示，所得六
点A1，C2，B1，A2，C1，B2仍在一个圆上，这个圆被称为
康威圆．现有一边长为2的正三角形，则该三角形生成的康威圆的面积是()
A. 9π
B. 14π
3C. 28π
3
D. 32π
3
12.设m∈R，若函数f(x)={−1
2
x+m,x<e
x−lnx,x≥e
的值域是[e−1,+∞)，则函数g(x)=
e x−x+2−m的零点的个数是()
A. 0
B. 1或2
C. 1
D. 2
二、单空题（本大题共3小题，共15.0分）
13.抛物线C：y2=x的焦点为F，第一象限的点M在C上，且|MF|=5
4
，则M的坐标是______．
14. 若向量m
⃗⃗⃗ =(2,4)，n ⃗ =(−3,−2)，则m ⃗⃗⃗ ⋅(m ⃗⃗⃗ −2n ⃗ )=______． 15. 在△ABC 中，若c =√13，a =3，∠C =120°，则b =______．
三、多空题（本大题共1小题，共5.0分）
16. 现有编号为①、②、③的三个三棱锥(底面水平放置)，俯视图分别为图1、图2、
图3，则 (1) 一个侧面与此底面互相垂直的三棱锥的所有编号是 (2) ．
四、解答题（本大题共7小题，共82.0分）
17. 某旅游景点努力打造一流旅游区，吸引更多的游客前来观光旅游，据统计，该景点
2013年到2019年游客人数y 与对应年份代号x 的数据如表： 年份 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 年份代号x
1
2 3 4 5 6 7 游客人数y(单位：万人) 29
33
36
m
48
52
59
(1)若y 关于x 具有较强的线性相关关系，且回归方程为y ̂
=5x +a ̂
，且m =2a ̂
，求a ^
；
(2)若每位游客平均为景区带来200元收入，根据(1)中结论，预测该景点旅游收入首次超过16000万元的年份．
18. 已知{a n }是公差不为零的等差数列，a 3=7，且a 2，a 4，a 9成等比数列．
(1)求a 2的通项公式；
(2)设b n=1
，求数列{b n}的前n项和S n．
a n⋅a n+1
19.如图，四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD//BC，
∠BAD=90°，AD=2BC，M为PD的中点．
(Ⅰ)证明：CM//平面PAB；
(Ⅱ)若△PBD是等边三角形，求二面角A−PB−M的余弦值．
20.已知椭圆C：x2
+y2=1(a>1)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为B，且
a2
∠BF1F2=π
．
4
(1)求C的标准方程；
(2)过点F2的直线l交C于M，N两点，若△MNF1的内切圆的周长为4√5π
，求直线l的
9方程．
21. 已知函数f(x)=
lnx+m e x
(m ∈R)．
(Ⅰ)若f(x)在[1,e]上是单调函数，求实数m 的取值范围； (Ⅱ)若m =2，求证：f(x)<√2．
22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =1+
√3t
2,
y =t
2
(t 为参数)，以坐标原
点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ2−4ρsinθ=2．
(1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；
(2)已知P(1,0)，曲线C 1与曲线C 2相交于A ，B 两点，求|PA|⋅|PB|．
23. 已知函数f(x)=|x +a|+2|x −1|．
(1)当a =2时，解不等式f(x)≤4；
(2)若存在x ∈[1,2]，使得不等式f(x)>x 2成立，求实数a 的取值范围．
答案和解析1.【答案】A
【解析】解：∵z=1
1+i =1×(1−i)
(1+i)(1−i)
=1−i
12−i2
=1−i
2
=1
2
−1
2
i，
∴z的虚部为−1
2
．
故选：A．
根据已知条件，结合复数虚部的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，即可求解．
本题考查了复数虚部的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：∵集合A={−3,−2,1,2}，
B={x|x2+5x−6≤0}={x|−6≤x≤1}，
∴A∩B={−3,−2,1}．
故选：D．
求出集合B，由此能求出A∩B．
本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3.【答案】D
【解析】解：命题p：∃x∈R，使tanx=1，为真命题，¬p为假命题
∵x2≥0
命题q：∀x∈R，x2>0为假命题，则非q为真命题
A：命题“p∧q”为假命题
B：p∧¬q为真命题
C：“¬p∨q”为假命题
D：“¬p∧¬q”假命题
故选：D．
由正切函数的性质可知命题p ：∃x ∈R ，使tanx =1，为真命题，¬p 为假命题；由x 2≥0可得命题q ：∀x ∈R ，x 2>0为假命题，则非q 为真命题，故可判断
本题主要考查了命题真假判断的应用，简单复合命题的真假判断，属于基础试题
4.【答案】A
【解析】解：f(x)是R 上的奇函数，且f(x +2)=f(x)， 可得f(−x)=−f(x)，且f(x)的最小正周期为2， 当x ∈(0,1)时，f(x)=4x −1，
所以f(7
2
)=f(3
2
)=f(−1
2
)=−f(1
2
)=−(41
2
−1)=−1．
故选：A ．
由函数的奇偶性和周期性的定义，结合已知函数的解析式，计算可得所求值． 本题考查函数的奇偶性和周期性的判断和运用，考查转化思想和运算能力，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】解：如图，以D 为坐标原点，分别以DA 、DC 、DD 1所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系．
设正方体的棱长为4，则E(4,3,0)，F(2,4,0)，G(0,0,2)，B 1(4,4,4)， GB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,4,2)，EF
⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,1,0)， ∴cos <GB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,EF ⃗⃗⃗⃗⃗ >=1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
|GB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||EF ⃗⃗⃗⃗⃗ |6×√
5=−2√515
． ∴异面直线GB 1与EF 所成角的余弦值为2√515
．
故选：D ．
以D 为坐标原点，分别以DA 、DC 、DD 1所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利
用空间向量求解异面直线GB 1与EF 所成角的余弦值．
本题考查异面直线所成角的求法，考查空间向量的应用，是基础题．
6.【答案】C
【解析】解：由题意，四名志愿者进行7天服务，甲2天，乙3天，丙丁各2天，
先从7天中选2天甲去，有C 72
种， 从余下5天中选3天乙去，有C 53种， 从余下2天中选1天丙去，有C 21种，
最后1天丁去，则
C 73×C 53×C 21=21×10×2=420种,
故选：C ．
由排列组合的知识，先排甲，再排乙，最后排丙丁即可． 本题考查排列组合的知识，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】解：将函数y =sinx 图象上每个点的横坐标变为原来的1
2倍(纵坐标不变)，可得函数y =sin2x 的图象；
再将得到的图象向左平移π
12个单位长度，所得图象的函数解析式为y =sin(2x +π
6)， 故选：C ．
由题意利用函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，得出结论． 本题主要考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，属于基础题．
8.【答案】B
【解析】 【分析】
本题主要考查了几何概型的公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题． 根据已知条件，结合几何概型的公式，即可求解．
【解答】
解：向该圆形生肖币内随机投掷100个点，恰有75个点落在牛形图案上，则牛形图案部分占75
100=3
4，
故估计牛形图案的面积为π×(4
2)2×3
4=3π． 故选：B ．
9.【答案】C
【解析】 【分析】
本题考查双曲线的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意余弦定理的合理运用．
由已知条件结合双曲线定义知|PF 1|=4a ，|PF 2|=2a ，|F 1F 2|=2c ，再由∠F 1PF 2=π
3，利用余弦定理推导出c =√3a ，由此能求出双曲线的离心率． 【解答】 解：∵双曲线
x 2
a 2
−y 2
b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，
|PF 1|=2|PF 2|，且P 为右支上一点，
∴由双曲线定义知|PF 1|=4a ，|PF 2|=2a ，|F 1F 2|=2c ， ∵∠F 1PF 2=π
3
， ∴(2c)2=(2a)2+(4a)2−2⋅2a ⋅4a ⋅cos π
3， 解得c =√3a ， ∴e =c
a =
√3a a
=√3．
故选：C ．
10.【答案】C
【解析】解：f′(x)=1−lnx x 2
−1=
1−lnx−x 2
x 2
，令φ(x)=1−lnx −x 2，则φ′(x)=−1
x −2x <
0，
所以φ(x)=1−lnx −x 2在(0,+∞)上单调递減，
因为φ(1)=0，所以当0<x <1时，φ(x)>0；当x >1时，φ(x)<0， 所以f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1,+∞)， 故f(x)的极大值点为1，f(x)极大值=f(1)=−1． 故选：C ．
对函数f(x)求导，可知f(x)的增区间为(0,1)，减区间为(1,+∞)，得到f(x)的极大值点为1，且f(1)=−1，进而得出答案．
本题考查导数在函数中的应用，考查逻辑推理与数学运算的核心素养，属于中档题．
11.【答案】C
【解析】解：解：因为AA 1=AA 2，AB 1=AC 2， 所以康威圆的圆心在∠BAC 的平分线上， 同理，康威圆的圆心在∠ABC 的平分线上， 设三角形ABC 的内切圆圆心为r ，则r =1
3⋅√3， 又A 1C 2=6，
所以康威圆的半径为√(√33
)2+32=√283，
故面积为π(√283)2=
28π3
．
故选：C ．
由题意康威圆的圆心即为三角形ABC 的内切圆圆心，正三角形内切圆的圆心即为中心，可求康威圆的半径R 的值，即可求解其面积．
本题主要考查了三角形中的几何计算，考查了数形结合思想的应用，属于中档题．
12.【答案】D
【解析】解：当x ≥e 时，f(x)=x −lnx 的导数为f′(x)=1−1
x =
x−1x
>0，
可得f(x)在[e,+∞)递增，可得f(x)≥e −1，
当x <e 时，f(x)=m −1
2x 递减，可得f(x)>m −1
2e ， 由f(x)的值域是[e −1,+∞)，可得m −1
2e ≥e −1，即m ≥3
2e −1，
函数g(x)=e x −x +2−m 的零点个数，即为e x −x =m −2的实根的个数． 设ℎ(x)=e x −x ，则ℎ′(x)=e x −1，
当x >0时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)递增；当x <0时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)递减， 可得ℎ(x)在x =0处取得极小值，且为最小值1， 作出g(x)=e x −x 的图象，以及直线y =m −2， 由于m −2>1，可得它们有两个交点， 则函数g(x)=e x −x +2−m 的零点的个数是2． 故选：D ．
讨论x ≥e ，x <e 时，f(x)的单调性，可得f(x)的值域，进而得到m 的范围，再由g(x)=0，转化为e x −x =m −2的实根的个数．作出ℎ(x)=e x −x 的图象，即可得到所求零点个数．
本题考查函数的零点个数求法，以及函数的值域问题，考查转化思想和方程思想、数形结合思想，运算能力，属于中档题．
13.【答案】(1,1)
【解析】解：设M(x 0,y 0)，由抛物线的定义，|MF|=5
4，即x 0+p
2=5
4， 又p =1
2，所以x 0=1，代入C 得：y 0=1，(y 0=−1舍去) 故M(1,1)． 故答案为：(1,1)．
设M(x 0,y 0)，由抛物线的定义，结合|MF|=5
4，求出y 0=1，然后求解M 的坐标． 本小题主要考查抛物线的定义、标准方程等基础知识，考查抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力等，考查转化与化归思想、函数与方程思想，体现基础性，导向对发
展直观想象的关注，属于中档题．
14.【答案】48
【解析】解：∵m⃗⃗⃗ =(2,4)，n⃗=(−3,−2)，
∴m⃗⃗⃗ −2n⃗=(8,8)，
∴m⃗⃗⃗ ⋅(m⃗⃗⃗ −2n⃗ )=2×8+4×8=48．
故答案为：48．
根据平面向量的线性和数量积的坐标运算法则，即可得解．
本题考查平面向量的坐标运算，熟练掌握平面向量的线性和数量积的坐标运算法则是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．
15.【答案】1
【解析】解：因为c=√13，a=3，∠C=120°，
)，整理可得由余弦定理c2=a2+b2−2abcosC，可得13=9+b2−2×3×b×(−1
2
b2+3b−4=0，
则解得b=1，或−4(舍去)．
故答案为：1．
由已知利用余弦定理可得b2+3b−4=0，解方程即可得解b的值．
本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了方程思想，属于基础题．
16.【答案】至少存在
①②
【解析】解：编号为①的三棱锥，其直观图可能是①，
其侧棱VC⊥底面ABC，∴侧面VAC⊥底面ABC，满足条件；
编号为②的三棱锥，其直观图可能是②
，
其侧面PBC⊥平面ABC，满足条件；
编号为③的三棱锥，其直观图可能为③，
其中不存在侧面与底面互相垂直的情况．
综上，满足题意的序号是①②．
故答案为：①②．
根据题意，画出编号为①、②、③的三棱锥的直观图，判断是否存在侧面与底面互相垂直的情况即可．
本题考查了简单几何体三视图的应用问题，也考查了空间想象能力的应用问题，是中档题．
17.【答案】解：(1)x −
=1
7×(1+2+3+4+5+6+7)=4，y −
=1
7×(29+33+36+
2a ̂
+48+52+59)=
257+2a ̂
7
， ∵y 关于x 具有较强的线性相关关系，且回归方程为y ̂
=5x +a ̂
， ∴
257+2a
̂
7
=5×4+a ̂
，解得a ̂
=117
5．
(2)由(1)可得，y ̂
=5x +1175，
令200(5x +
1175
)>16000，解得x >11.32，
故预测该景点旅游收入首次超过16000万元的年份为2024年．
【解析】(1)根据已知条件，求出x ，y 的平均值，再结合线性回归方程过样本中心，即可求解．
(2)由(1)可得，y ̂
=5x +1175
，令200(5x +
1175
)>16000，解出x ，即可求解．
本题主要考查了线性回归方程的性质，以及平均值的求解，属于基础题．
18.【答案】解：(1)设{a n }的公差为d ，d ≠0，
因为a 2，a 4，a 9成等比数列，∴a 42
=a 2a 9，可得(a 1+3d)2=(a 1+d)(a 1+8d)，
∴d 2=3a 1d ， ∵d ≠0， ∴d =3a 1，
又∵a 3=a 1+2d =7， 解得a 1=1，d =3， ∴a n =3n −2．
(2)b n =
1a n ⋅a n+1=1(3n −2)(3n +1)=13(13n −2−1
3n +1
)
∴S n =b 1+b 2+⋯+b n =13(11−14)+13(14−17)+⋯13(13n −2−1
3n +1
)
∴S n =13(1
1−1
3n+1)=n
3n+1．
【解析】(1)直接利用已知条件求出数列的通项公式． (2)利用裂项相消法求出数列的和．
本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法，裂项相消法在数列求和中的应用，主要
考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
19.
【答案】解：(Ⅰ)证明：如图，取AD 中点N ，连结MN ，CN ， ∵M 为PD 的中点，∴MN//AP ， ∵AD =2BC ，∴AN =BC ，
∵BC//AD ，∴四边形ABCN 是平行四边形，∴AB//CN ， ∵CN ∩NM =N ，BA ∩AP =A ，∴平面CMN//平面PAB ， ∵CM ⊂平面MNC ，∴CM//平面PAB ．
(Ⅱ)解：以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系， ∵△PBD 为等边三角形，∴AB =AD =AP ， 设AB =2，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，D(0,2,0)， ∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2,0)，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0,2)， 设平面BDP 的法向理n
⃗ =(x,y,z)， 则{n ⃗ ⋅BD
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2x +2y =0n ⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2x +2z =0，令z =1，得n
⃗ =(1,1,1)， ∵AD ⊥平面PAB ，∴平面PAB 的法向量n ⃗ =(0,1,0)， ∴cosθ=|n ⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ |
|n ⃗⃗ |⋅|m ⃗⃗⃗ |
=1
√
3×1
=√3
3
． ∴二面角A −PB −M 的余弦值为√3
3
．
【解析】(Ⅰ)取AD 中点N ，连结MN ，CN ，推导出MN//AP ，BC//AD ，从而四边形ABCN 是平行四边形，AB//CN ，进而平面CMN//平面PAB ，由此证明CM//平面PAB ． (Ⅱ)以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A −PB −M 的余弦值．
本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
20.【答案】解：(1)由椭圆C 的左、右焦点分别为F 1，F 2，上顶点为B ，且∠BF 1F 2=π
4， 得△BOF 1和△BOF 2均为等腰直角三角形，且b =|OB|=|OF 1|=|OF 2|=c ， 又b =1，∴a 2=2， 则椭圆方程为
x 22
+y 2=1；
(2)由(1)知，F 1(−1,0)，F 2(1,0)，
直线l 的斜率不为0，可设直线l 为x =ty +1， 代入椭圆方程，得(t 2+2)y 2+2ty −1=0． 设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，Δ=8t 2+8>0． 则y 1+y 2=−2t t 2+2，y 1y 2=−1
t 2+2， ∴|MN|=√1+t 2⋅√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=2√2(t 2+1)
t 2+2
， 而F 1到直线l 的距离d =√1+t 2
故S △MNF 1=12d ⋅|MN|=2√2(t 2
+1)
t 2+2
，又△MNF 1的内切圆的周长为
4√5π
9
， 若内切圆半径为r ，则r =4√5π9
2π
=
2√59
，而△MNF 1的周长为4a =4√2， ∴S △MNF 1=1
2×4√2×
2√59=
4√10
9，即2√2(t 2+1)t 2+2
=
4√109
，解得t =±1
2．
故直线l 的方程为x =±1
2y +1．
【解析】(1)由题意得△BOF 1和△BOF 2均为等腰直角三角形，且b =|OB|=|OF 1|=|OF 2|=c ，求得a 2=2，则椭圆方程可求；
(2)由(1)知，F 1(−1,0)，F 2(1,0)，直线l 的斜率不为0，可设直线l 为x =ty +1，代入椭圆方程，得关于y 的一元二次方程，利用根与系数的关系结合弦长公式、圆的周长列式求解t ，则直线方程可求．
本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．
21.【答案】解：(Ⅰ)f(x)=
lnx+m e x
，(x >0)，
f′(x)=
1e
x (1
x
−lnx −m)，
令g(x)=1
x −lnx −m ，(x >0)，
则g′(x)=−1
x 2−1
x <0，g(x)在(0,+∞)递减， 若f(x)在[1,e]上是单调函数， 则f(x)在[1,e]递增或在[1,e]递减，
即f′(x)≥0在[1,e]恒成立或f′(x)≤0在[1,e]恒成立， ⇔g(1)≤0或g(e)≥0，
即1−m ≤0或1
e −1−m ≥0，解得m ≥1或m ≤1
e −1，
故m 的取值范围是(−∞,1
e −1]∪[1,+∞)； (Ⅱ)m =2时，要证f(x)=
lnx+2e x
<√2，
即证ℎ(x)=√2e x −lnx −2>0，(x >0)， ℎ′(x)=√2e x −1x ，ℎ″(x)=√2e x +1
x 2>0，
故ℎ′(x)在(0,+∞)递增，x →0时，ℎ′(x)→−∞，x =1时，ℎ′(1)=√2e −1>0， 故∃x 0∈(0,1)，使得ℎ′(x 0)=0，即√2e x 0=1x 0
，lnx 0=−ln(√2e x 0)=−x 0−1
2ln2，
故ℎ(x)在(0,x 0)递减，在(x 0,+∞)递增，
故ℎ(x)min =ℎ(x 0)=√2e x 0−lnx 0−2=1x 0
+x 0+12ln2−2>2−2+1
2ln2>0，
故ℎ(x)>0恒成立，故f(x)<√2．
【解析】(Ⅰ)求出函数的导数，根据导函数的单调性得到关于m 的不等式，解出即可； (Ⅱ)问题转化为证ℎ(x)=√2e x −lnx −2>0，(x >0)，求出函数的导数，根据函数的单调性求出ℎ(x)的最小值，从而证明结论成立即可．
本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，是一道中档题．
22.【答案】解：(1)曲线C 1的参数方程为{x =1+√3t
2,y =
t
2
(t 为参数)，转换为直角坐标方程
为x −√3y −1=0；
曲线C 2的极坐标方程为ρ2−4ρsinθ=2，根据{x =ρcosθ
y =ρsinθ
x 2+y 2=ρ2，转换为直角坐标方
程为x 2+(y −2)2=6； (2)把直线的参数方程{x =1+
√3t
2,y =t
2
代入x 2
+(y −2)2=6，
得到t 2+(√3−2)t −1=0(设点A 和B 对应的参数为t 1和t 2)， 所以|PA||PB|=|t 1t 2|=1．
【解析】(1)直接利用转换关系，在参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；
(2)利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．
本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
23.【答案】解：(1)当a =2时，f(x)=|x +2|+2|x −1|，
当x ≤−2时，f(x)=−(x +2)−2(x −1)，不等式f(x)≤4化为−3x ≤4，解得x ≥−4
3，结合x ≤−2，得不等式的解集为⌀；
当−2<x ≤1时，f(x)=(x +2)−2(x −1)，不等式f(x)≤4化为−x +4≤4，解得x ≥0，结合−2<x ≤1，得0≤x ≤1；
当x >1时，f(x)=(x +2)+2(x −1)，不等式f(x)≤4化为3x ≤4，解得x ≤4
3，结合x >1，得1<x ≤4
3；
综上知，不等式f(x)≤4的解集为[0,4
3].
(2)当1≤x ≤2时，f(x)=|x +a|+2|x −1|=|x +a|+2x −2， 不等式f(x)>x 2可化为|x +a|>x 2−2x +2，
由绝对值的定义知，x +a >x 2−2x +2或x +a <−x 2+2x −2， 即存在x ∈[1,2]，使得a >x 2−3x +2，或a <−x 2+x −2． 即a >(x −3
2)2−1
4，或a <−(x −1
2)2−74， 由x =3
2时(x −3
2)2−1
4取得最小值−1
4； 由x =1时−(x −1
2)2−7
4取得最大值为−2； 所以a >−1
4，或a <−2，
所以实数a 的取值范围是(−∞,−2)∪(−1
4,+∞)．
【解析】(1)a =2时f(x)=|x +2|+2|x −1|，利用分段讨论法求出不等式f(x)≤4的解集．
(2)1≤x ≤2时f(x)=|x +a|+2x −2，不等式f(x)>x 2化为|x +a|>x 2−2x +2，由绝对值的定义化为关于a 的不等式，从而求得实数a 的取值范围．
本题考查了含有绝对值的不等式解法与应用问题，也考查了使不等式成立的应用问题，是中档题．。