2019年山西省朔州市窝窝会中学高三数学理月考试卷含解析

2019年山西省朔州市窝窝会中学高三数学理月考试卷
含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知以为周期的函数，其中.若方程
恰有5个实数解，则的取值范围为（）
A．B．C． D.
参考答案：
B
2. 用数字组成数字可以重复的四位数, 其中有且只有一个数字出现两次的四位数的个数为
A. B. C. D.
参考答案：
C
若四位数中不含0，则有种；若四位数中含有一个0，则有
；种若四位数中含有两个0，则有种，所以共有
种，选C.
3. 若长方体ABCD-A1B1C1D1的顶点都在体积为288π的球O的球面上，则长方体ABCD-
A1B1C1D1的表面积的最大值等于（）
A．576 B．288 C．144 D．72
参考答案：
B
4. 计算+（2﹣i）2等于（）
A．4﹣5i B．3﹣4i C．5﹣4i D．4﹣3i
参考答案：
A
【考点】复数代数形式的混合运算．
【分析】同乘分母共轭复数，（2﹣i）2去括号，化简即可．
【解答】解： +（2﹣i）2
=﹣i（1+i）+4﹣1﹣4i
=4﹣5i，
故选：A．
5. 已知函数f (x)＝x3＋2bx2＋cx＋1有两个极值点x1、x2，且x1∈[－2，－1]，
x2∈[1,2]，则f(－1)的取值范围是( )
A．[－，3] B．[，6] C．[3,12] D．[－，12]参考答案：
C
6.
若复数为纯虚数，则实数的值为
A．2 B．-l C． 1 D．-2 参考答案：
答案：D
7. 若函数在上可导，且满足，则
A． B．
C． D．
参考答案：
B
试题分析：由于，恒成立，因此在上时单调递减函数，
，即，故答案为B
考点：函数的导数与单调性的关系
8. 已知，且，则sin2α的值为（）
A．B．C．D．
参考答案：
C
【考点】GP：两角和与差的余弦函数；GI：三角函数的化简求值．
【分析】由条件利用两角和的正弦公式、二倍角公式求得cosα﹣sinα，或cosα+sinα的值，由此求得sin2α的值．
【解答】解：∵，且，
∴2（cos2α﹣sin2α）=（cosα+sinα），
∴cosα﹣sinα=，或cosα+sinα=0．
当cosα﹣sinα=，则有1﹣sin2α=，sin2α=；
∵α∈（0，），
∴cosα+sinα=0不成立，
故选：C．
【点评】本题主要考查两角和差的正弦、余弦公式的应用，二倍角公式的应用，考查了转化思想，属于基础题．
9. 已知实数，满足则的最大值为（）
A. 7
B. 1
C. 10
D. 0
参考答案：
C
易知过点（10，0）时，目标函数取最大值，所以选C.
点晴：本题考查的是线性规划问题中的已知最值求参数的问题，线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想，需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最值会在可行域的端点或边界上取得.
10. 已知角A是△ABC的一个内角，且tan=，则△ABC的形状是（）
A．直角三角形B．锐角三角形
C．钝角三角形D．无法判断△ABC的形状
参考答案：
C
【分析】利用倍角公式得到tanA===﹣4＜0．由此推知三角形ABC的形状．
【解答】解：∵，
∴tanA===﹣4＜0．
又角A是△ABC的一个内角，
∴90°＜A＜180°，
∴△ABC是钝角三角形．
故选：C．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知，则（）.
参考答案：
，
令，则，，所以，所以
，.
12. 设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数（如[2.32]=2，[﹣4.76]=﹣5），对于给定的n∈N*，定义C=，其中x∈[1，+∞），则当时，函
数f（x）=C的值域是．
参考答案：
【考点】57：函数与方程的综合运用．
【分析】分类讨论，根据定义化简C x n，求出C x10的表达式，再利用函数的单调性求出C x10的值域．
【解答】解：当x∈[，2）时，[x]=1，∴f（x）=C=，
当x∈[，2）时，f（x）是减函数，∴f（x）∈（5，）；
当x∈[2，3）时，[x]=2，∴f（x）=C=，
当x∈[2，3）时，f（x）是减函数，∴f（x）∈（15，45]；
∴当时，函数f（x）=C的值域是，
故答案为：．
13. 已知函数是上的减函数，那么的取值范围是 .
参考答案：
略
14. 在长方形中，，为的中点，若，则的长
为
参考答案：
2
15. 已知O为坐标原点，点M（3，2），若N（x，y）满足不等式组，则
的最大值为_________ ．
参考答案：
12
16. 如图, 在中,,是边上一点,,则的长为________.
参考答案：
17. 如图，在平面四边形ABCD中，O为BD的中点，且OA=3，OC=5，若=﹣7，则的值是．
参考答案：
9
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】根据平面向量的线性表示与数量积运算，利用?=（+）?（+）求出||=||=4；再利用?=（+）?（+）求出运算结果．
【解答】解：平面四边形ABCD中，O为BD的中点，
且OA=3，OC=5，∴+=；
若?=﹣7，
则（+）?（+）=+?+?+?
=+?（+）﹣
=32﹣=﹣7；
∴=16，
∴||=||=4；
∴?=（+）?（+）
=?+?+?+
=﹣+?（+）+
=﹣42+0+52
=9．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知函数f（x）=x﹣alnx（a∈R）．
（Ⅰ）当a=2时，求曲线f（x）在x=1处的切线方程；
（Ⅱ）设函数h（x）=f（x）+，求函数h（x）的单调区间；
（Ⅲ）若g（x）=﹣，在[1，e]（e=2.71828…）上存在一点x0，使得f（x0）≤g
（x0）成立，求a的取值范围．
参考答案：
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】导数的综合应用．
【分析】（Ⅰ）求出切点（1，1），求出，然后求解斜率k，即可求解曲线f（x）在点（1，1）处的切线方程．
（Ⅱ）求出函数的定义域，函数的导函数，①a＞﹣1时，②a≤﹣1时，分别求解函数的单调区间即可．
（Ⅲ）转化已知条件为函数在[1，e]上的最小值[h（x）]min≤0，利用第（Ⅱ）问的结果，通过①a≥e﹣1时，②a≤0时，③0＜a＜e﹣1时，分别求解函数的最小值，推出所求a的范围．
【解答】解：（Ⅰ）当a=2时，f（x）=x﹣2lnx，f（1）=1，切点（1，1），
∴，∴k=f′（1）=1﹣2=﹣1，
∴曲线f（x）在点（1，1）处的切线方程为：y﹣1=﹣（x﹣1），即x+y﹣2=0．
（Ⅱ），定义域为（0，+∞），
，
①当a+1＞0，即a＞﹣1时，令h′（x）＞0，
∵x＞0，∴x＞1+a
令h′（x）＜0，∵x＞0，∴0＜x＜1+a．
②当a+1≤0，即a≤﹣1时，h′（x）＞0恒成立，
综上：当a＞﹣1时，h（x）在（0，a+1）上单调递减，在（a+1，+∞）上单调递增．
当a≤﹣1时，h（x）在（0，+∞）上单调递
增．
（Ⅲ）由题意可知，在[1，e]上存在一点x0，使得f（x0）≤g（x0）成立，
即在[1，e]上存在一点x0，使得h（x0）≤0，
即函数在[1，e]上的最小值[h（x）]min≤0．
由第（Ⅱ）问，①当a+1≥e，即a≥e﹣1时，h（x）在[1，e]上单调递减，
∴，∴，
∵，∴；
②当a+1≤1，即a≤0时，h（x）在[1，e]上单调递增，
∴[h（x）]min=h（1）=1+1+a≤0，
∴a≤﹣2，
③当1＜a+1＜e，即0＜a＜e﹣1时，∴[h（x）]min=h（1+a）=2+a﹣aln（1+a）≤0，
∵0＜ln（1+a）＜1，∴0＜aln（1+a）＜a，∴h（1+a）＞2
此时不存在x0使h（x0）≤0成立．
综上可得所求a的范围是：或a≤﹣2．
【点评】本题考查函数的导数的综合应用，曲线的切线方程函数的单调性以及函数的最值的应用，考查分析问题解决问题得到能力．
19. 在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，过作斜率为的直线交抛物线于（异于点），已知，直线交抛物线于另一点. （1）求抛物线的方程；
（2），求的值.
参考答案：
（1）由题意，，所以，所以抛物线
（2）已知直线代入抛物线方程：，消去，，得；
直线，直线；联立得
又因为在抛物线上，则得
得
20. 如图，在三棱锥中，点分别是棱的中点．
(1)求证：//平面；
(2)若平面平面，，求证：．
参考答案：
（1）详见解析；（ 2）详见解析.
【答案】
略
21. 在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数），在以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为
．
（1）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；
（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，求△AOB的面积．
参考答案：
【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．
【分析】（1）将直线l的参数方程中两式相减可得直线l的普通方程；由
ρ2sin2θ=2ρcosθ，代入x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得曲线C的直角坐标方程；
（2）联立直线l和曲线C的普通方程，解方程可得交点A，B，运用两点的距离公式和点到直线的距离公式，结合三角形的面积公式，计算即可得到所求值．
【解答】解：（1）直线l的参数方程为（t为参数），
两式相减可得x﹣y=4，即有直线l的普通方程为x﹣y﹣4=0：
曲线C的极坐标方程为，即ρ2sin2θ=2ρcosθ，
代入x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得y2=2x；
（2）联立方程x﹣y﹣4=0和方程y2=2x，
消去y，可得x2﹣10x+16=0，
解得x1=2，x2=8，
可得交点A（2，﹣2），B（8，4），
即有|AB|==6，
O到直线l的距离为d==2，
则△AOB的面积为S=d?|AB|=×2×6=12．
22. 已知椭圆的离心率为，短轴长为2．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若圆O：x2+y2=1的切线l与曲线E相交于A、B两点，线段AB的中点为M，求|OM|的最大值．
参考答案：
【考点】K5：椭圆的应用．
【分析】（I）根据条件列方程组解出a，b即可得出椭圆的方程；
（II）设直线l方程为x=my+t，联立方程组消元，利用根与系数的关系求出M的坐标，根据距离公式求出|OM|的最值．
【解答】解：（ I）由题意得，解得a=2，b=1．
∴椭圆C的标准方程．
（ II）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），
若直线l的斜率为0，则l方程为y=±1，此时直线l与椭圆只有1个交点，不符合题意；
设直线l：x=my+t．
∵l与圆O相切，∴，即t2=m2+1；
联立方程组，消去x，得（m2+4）y2+2mty+t2﹣4=0，
则△=4m2t2﹣4（t2﹣4）（m2+4）=16（m2﹣t2+4）=48＞0，
∴，∴，，即，
∴，
设x=m2+4，则x≥4，，
∴当x=8时等号成立，|OM|取得最大值=．。