安徽省淮南市龙湖中学2020-2021学年高二数学文联考试题含解析

安徽省淮南市龙湖中学2020-2021学年高二数学文联考
试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 在复平面上，复数对应的点在（）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
参考答案：
D
【分析】
直接把给出的复数写出代数形式，得到对应的点的坐标，则答案可求。

【详解】由题意，复数，
所以复数对应的点的坐标为位于第一象限，故选A。

【点睛】本题主要考查了复数的代数表示，以及复数的几何意义的应用，其中解答中熟记复数的代数形式和复数的表示是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。

2. 交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查。

假设四个社区驾驶员的总人数为，其中甲社区有驾驶员96人。

若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43，则这四个社区驾驶员的总人数为（）
A、101
B、808
C、1212
D、2012
参考答案：
B
3. 函数处的切线方程是（）
A． B．
C． D．
参考答案：
D
略
4. 某珠宝店丢了一件珍贵珠宝，以下四人中只有一人说真话，只有一人偷了珠宝. 甲：我没有偷；乙：丙是小偷；丙：丁是小偷；丁：我没有偷. 根据以上条件，可以判断偷珠宝的人是( )
A．甲 B.
乙 C．丙 D.丁
参考答案：
A
5. 已知命题p：?x∈R，lnx+x﹣2=0，命题q：?x∈R，2x≥x2，则下列命题中为真命题的是（）
A．p∧q B．￢p∧q C．p∧￢q D．￢p∧￢q
参考答案：
C
【考点】复合命题的真假．
【分析】先判定命题p是真命题，得￢p是假命题；再判定命题q是假命题，得￢q是真命题；从而判定各选项是否正确．
【解答】解：对于命题p：∵y=lnx与y=2﹣x在坐标系中有交点，如图所示；
即?x0∈R，使lnx0=2﹣x0，∴命题p正确，￢p是假命题；
对于命题q：当x=3时，23＜32，∴命题q错误，￢q是真命题；
∴p∧q是假命题，￢p∧q是假命题；p∧￢q是真命题，￢p∧￢q是假命题；
综上，为真命题的是C．
故选：C．
【点评】本题考查了复合命题真假的判定问题，解题时应先判定命题p、q的真假，再判定它们的复合命题的真假，是基础题．
6. 已知点M的极坐标为（6，），则点M关于y轴对称的点的直角坐标为（）A．（﹣3，﹣3）B．（3，﹣3）C．（﹣3，3）D．（3，3）
参考答案：
A
【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．
【分析】点M的极坐标为（6，），可得直角坐标M，化简可得点M关于y轴对称的点的直角坐标．
【解答】解：点M的极坐标为（6，），可得直角坐标
M，即M．
则点M关于y轴对称的点的直角坐标为．
故选：A．
7. （1+2x）n的展开式中所有系数之和等于729，那么这个展开式中x3的系数为（）
A．56 B．80 C．18 0 D．160
参考答案：
D
略
8. 已知中的对边分别为若且，则
( )
A. 2 B．4＋ C．4—
D．
参考答案：
A
略
9. （x2+x+y）5的展开式中，x5y2的系数为（）
A．10 B．20 C．30 D．60
参考答案：
C
【考点】DC：二项式定理的应用．
【分析】利用展开式的通项，即可得出结论．
【解答】解：（x2+x+y）5的展开式的通项为T r+1=，
令r=2，则（x2+x）3的通项为=，
令6﹣k=5，则k=1，
∴（x2+x+y）5的展开式中，x5y2的系数为=30．
故选：C．
【点评】本题考查二项式定理的运用，考查学生的计算能力，确定通项是关键．
10. 如果实数x、y满足条件，那么2x﹣y的最大值为（）
A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣3
参考答案：
B
【考点】简单线性规划的应用．
【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x﹣y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．
【解答】解：先根据约束条件画出可行域，
当直线2x﹣y=t过点A（0，﹣1）时，
t最大是1，
故选B．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），给出定义：设f′（x）是函数y=f（x）的导数，f″是f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．请你根据这一发现，求：函数
对称中心为．
参考答案：
（，1）
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】先求f′（x）得解析式，再求f″（x），由f″（x）=0 求得拐点的横坐标，代入函数解析式求拐点的纵坐标．
【解答】解：依题意，得：f′（x）=x2﹣x+3，∴f″（x）=2x﹣1．
由f″（x）=0，即2x﹣1=0．
∴x=，
又 f（）=1，
∴函数对称中心为（，1）
故答案为：（，1）
12. 点是曲线上任意一点，则到直线的距离的最小值是__.
参考答案：
13. 命题“”的否定是_ ▲．
参考答案：
略
14. 与的等比中项是_________.
参考答案：
±1
15. 若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是 .
参考答案：
略
16. 设集合,集合,则_______________.
参考答案：
略
17. 将八进制数化为十进制的数是；再化为三进制的
数．
参考答案：
454；121211
，
根据除k取余法可得下面的算式：
余数为1；
余数为1；
余数为2；
余数为1；
余数为2；
余数为1.
所以。

答案：，
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知函数f（x）=lnx﹣ax2﹣2x（a＜0）
（1）若函数f（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；
（2）若a=﹣且关于x的方程f（x）=﹣x+b在[1，4]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围．
参考答案：
（1）﹣1＜a＜0；（2）ln2﹣2＜b≤﹣
解析：（1）对函数求导数，得f'（x）=（x＞0）
依题意，得f'（x）＜0在（0，+∞）上有解．即ax2+2x﹣1＞0在x＞0时有解．
∴△=4+4a＞0且方程ax2+2x﹣1=0至少有一个正根．
再结合a＜0，得﹣1＜a＜0
（2）a=﹣时，f（x）=﹣x+b即x2﹣x+lnx﹣b=0
设g（x）=x2﹣x+lnx﹣b，则g'（x）=
∴当x∈（0，1）时，g'（x）＞0；当x∈（1，2）时，g'（x）＜0；当x∈（2，4）时，g'（x）＞0．
得函数g（x）在（0，1）和（2，4）上是增函数．在（1，2）上是减函数
∴g（x）的极小值为g（2）=ln2﹣b﹣2；g（x）的极大值为g（1）=﹣b﹣，且g（4）=﹣b﹣2+2ln2；
∵方程g（x）=0在[1，4]上恰有两个不相等的实数根．
∴，解之得：ln2﹣2＜b≤﹣
略
19. (本题满分10分)求经过点P（-3，0），Q（0，-2）的椭圆的标准方程，并求出椭圆的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标.
参考答案：
由已知可得椭圆的标准方程为，…………………4分
长轴长, 短轴长. ………………………6分
离心率. ………………………………8分
焦点为. ……………………………………10分.
20. (本小题满分14分) 在等差数列中，，且是与的等比中项，求数列的首项、公差及前项和.
参考答案：
由已知有 -----------------------------------------2分
------------------------------------------------5分
①当时，；------------------------------------------ 8分
②当时，由得，
--------------------------------12分
综上可得或. --------------14分21. 如图，圆周角∠BAC的平分线与圆交于点D，过点D的切线与弦AC的延长线交于点
E，AD交BC于点F．
（Ⅰ）求证：BC∥DE；
（Ⅱ）若D，E，C，F四点共圆，且=，求∠BAC．
参考答案：
考点：与圆有关的比例线段．
专题：推理和证明．
分析：（Ⅰ）通过证明∠EDC=∠DCB，然后推出BC∥DE．
（Ⅱ）解：证明∠CFA=∠CED，然后说明∠CFA=∠ACF．设∠DAC=∠DAB=x，在等腰△ACF 中，π=∠CFA+∠ACF+∠C AF=7x，求解即可．
解答：解：（Ⅰ）证明：因为∠EDC=∠DAC，∠DAC=∠DAB，∠DAB=∠DCB，
所以∠EDC=∠DCB，
所以BC∥DE．…
（Ⅱ）解：因为D，E，C，F四点共圆，所以∠CFA=∠CED
由（Ⅰ）知∠ACF=∠CED，所以∠CFA=∠ACF．
设∠DAC=∠DAB=x，
因为=，所以∠CBA=∠BAC=2x，
所以∠CFA=∠FBA+∠FAB=3x，
在等腰△ACF中，π=∠CFA+∠ACF+∠CAF=7x，则x=，
所以∠BAC=2x=．…
点评：本题考查内错角相等证明直线的平行，四点共圆条件的应用，考查推理与证明的基本方法．
22. （本题12分）如图：△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E。

①证明：AB·AC=AD·AE；
②若△ABC的面积S= AD·AE，求∠BAC的大小。

参考答案：
证明：∵
∴（2分）
∵
∴（4分）
∴
∴（6分）
(2) ∵ (10分)
∴
90° (12分)
略。