【高中数学】新人教A版高一期末素养测评卷[全部章节](练习题)

新人教A 版高一期末素养测评卷[全部章节](2464)
1.复数5
i−2的共轭复数是（ ） A.2+i
B.2−i
C.−2+i
D.−2−i
2.某校对高三年级的学生进行体检，现将高三年级男生的体重(单位：kg)数据进行整理后分为五组，并绘制频率分布直方图(如图所示).根据一般标准，高三男生的体重超过65 kg 属于偏胖，低于55 kg 属于偏瘦.已知图中从左到右第一、三、四、五小组的纵坐标分别为0.05,0.04,0.02,0.01，第二小组的频数为400，则该校高三年级的男生总人数和体重正常的频率分别为（ ）
A.1 000,0.50
B.800,0.50
C.800,0.60
D.1 000,0.60
3.下列说法中正确的是（ ）
A.若向量a ，b 共线，则向量a ，b 的方向相同
B.在△ABC 中，D 是BC 的中点，则AD →
=12
(AB →
+AC →
) C.若向量AB →
与向量CD →
是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上 D.若a//b ，则存在λ∈R ，使a =λb
4.甲、乙、丙三人在3天假期中值班，每人值班1天，则乙紧接着排在甲的后面值班的概率是（ ） A.1
6
B.1
4
C.1
3
D.1
2
5.△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，若A =π
3,a =2,b =3，则sinB =（ ） A.3√3
B.4√3
C.3√3
4
D.4√3
3
6.已知a =(cos α，sin α)，b =(cos(−α)，sin(−α))，那么a ·b =0是α=kπ＋π
4(k ∈Z)的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
7.如图，欲测量楼顶一点P 离地面的高度OP ，在地面上的两点A ，B 处测得点P 的仰角分别为30∘，45∘，且∠ABO =60∘，AB =50米，则OP 为（ ）
A.15米
B.25米
C.35米
D.45米
8.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC=BC=4，AC⊥BC，CC1=5，D，E分别是AB，B1C1的中点，则异面直线BE与CD所成角的余弦值为（）
A.√3
3B.1
3
C.√58
29
D.3√87
29
9.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=1，b=√3，A=30∘，则B的大小可能为（）
A.30∘
B.150∘
C.60∘
D.120∘
10.下列各对事件中,M,N是相互独立事件的有（）
A.掷1枚质地均匀的骰子一次,事件M=“出现的点数为奇数”,事件N=“出现的点数为偶数”
B.袋中有5个白球和5个黄球,它们除颜色外完全相同,依次不放回地摸出两个球,事件M=“第1次摸到红球”,事件N=“第2次摸到红球”
C.分别抛掷2枚相同的硬币,事件M=“第1枚硬币正面向上”,事件N=“两枚硬币向上的结果相同”
D.一枚硬币掷两次,事件M=“第一次为正面向上”,事件N=“第二次为反面向上”
11.图是某省近五年进出口情况统计图，则下列说法中正确的是（）
A.这五年，2015年出口额最少
B.这五年，出口总额比进口总额多
C.这五年，出口增速前四年逐年下降
D.这五年，2019年进口增速最快
12.如图，点N是边长为1的正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是ED的中点，则（）
A.直线BM，EN是异面直线
B.BM≠EN
C.直线BM与平面ECD所成角的正弦值为2√7
7
D.三棱锥N−ECD的体积为√3
8
13.已知向量a=(1,2)，b=(2,−2)，c=(λ,−1)，若c//(2a+b)，则λ=.
14.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若a=√5
b，A=2B，则cosB=
2
.
15.设样本数据x1，x2，…，x10的均值和方差分别为1和4，若y i=x i+a(a为非零常数，i=1,2,…,10)，则y1，y2，…，y10的均值和方差分别为，.
16.已知三棱锥S−ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径.若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S−ABC的体积为9，则球O的表面积
为.
17.已知|a|=1，|b|=√2，a与b的夹角为θ.
(1)若a//b，求a·b；
(2)若a−b与a垂直，求θ.
18.计算机考试分理论考试与实际操作两部分，每部分的考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则计算机考试“合格”，并颁
发合格证书.已知甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为4
5，3
4
，2
3
，
在实际操作中“合格”的概率依次为1
2，2
3
，5
6
，所有考试是否合格相互之间没
有影响.
(1)假设甲、乙、丙三人同时进行理论考试与实际操作，那么谁获得合格证
书的可能性最大？
(2)这三人进行理论考试与实际操作后，求恰有两人获得合格证书的概率. 19.我国某地区2016年至2019年新能源汽车的销售量(单位：万辆)按季度(一年四个季度)统计制成的频率分布直方图如图.
(1)求频率分布直方图中a的值，并估计销售量的中位数；
(2)请根据频率分布直方图估计新能源汽车平均每个季度的销售量(同一组
数据用该组区间的中间值作代表).
20.全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响力的综合指标，
根据相关报道提供的全网传播2019年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指数的数据，对名列前20名的“省级卫视新闻台”的融合指数进行分组
(1)现从融合指数在[4,5)和[7,8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家进行调
研，求至少有1家的融合指数在[7,8]内的概率；
(2)根据分组统计表求这20家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数.
.
21.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且sin(A+C)=8sin2B
2
(1)求cosB；
(2)若a+c=6，△ABC的面积为2，求b.
22.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，E，F分别是A1C1，BC 的中点.
(1)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；
(2)求证：C1F//平面ABE.
参考答案1.【答案】:C
【解析】:因为5
i−2=5(−2−i)
(−2+i)(−2−i)
=−2−i，所以复数5
i−2
的共轭复数是−2+i，故选 C.
2.【答案】:D
【解析】:根据题意得第二小组的频率为0.40，所以该校高三年级的男生总人数为400
0.40
=1000，体重正常的频率为0.40＋0.20=0.60.
3.【答案】:B
【解析】:对于A，a与b的方向相同或相反，所以A错误；
对于B，易知是正确的；
对于C，A，B，C，D四点不一定在一条直线上，如平行四边形ABCD的四个顶点不共线，但满足AB→和CD→共线，所以C错误；
对于D，当b=0时，不一定存在λ∈R，使a=λb，所以D错误.故选 B.
4.【答案】:C
【解析】:样本空间Ω=｛(甲，乙，丙)，(甲，丙，乙)，(丙，甲，乙)，(丙，乙，甲)，(乙，丙，甲)，(乙，甲，丙)｝，其中符合条件的样本点有2个，故
所求概率为1
3
.
5.【答案】:C
【解析】:因为A=π
3,a=2,b=3，由正弦定理可得a
sinA
=b
sinB
，所以sinB=bsinA
a
=3×
√3
2
2
=
3√3
4
，故选 C.
6.【答案】:B
【解析】:a·b=cosα·cos(−α)＋sin⁡α·sin⁡(−α)=cos2α−sin2α=cos⁡2α.
若a·b=0，则cos2α=0，∴2α=kπ+π
2(k∈Z)，解得α=kπ
2
+π
4
(k∈Z).∴a·b=0是α=kπ＋
π
4
(k∈Z)的必要不充分条件.故选 B.
7.【答案】:B
【解析】:由题意知∠OAP =30∘，∠PBO =45∘，∠ABO =60∘，AB =50米，OP ⊥AO ，OP ⊥OB ， 设OP =x 米，则OA =√3x 米，OB =x 米，在△OAB 中，由余弦定理得OA 2=OB 2+AB 2−
2OB ·AB ·cos∠ABO ，即(√3x)2=x 2+502−2×50x ×1
2，解得x =25或x =−50(舍去)．故选
B ．
8.【答案】:C
【解析】:如图，取A 1C 1的中点F ，连接 DF ，EF ，CF . 易知EF 是△A 1B 1C 1的中位线，所以EF//A 1B 1且EF =1
2A 1B 1，
又AB//A 1B 1且AB =A 1B 1，D 为AB 的中点，所以BD//A 1B 1且BD =1
2A 1B 1， 所以EF//BD 且EF =BD ， 所以四边形BDFE 是平行四边形，所以DF//BE ， 所以∠CDF 就是异面直线BE 与CD 所成的角.
因为AC =BC =4，AC ⊥BC ，CC 1=5，D ，E ，F 分别是AB ，B 1C 1，A 1C 1的中点， 所以C 1F =1
2A 1C 1=2，B 1E =1
2B 1C 1=2且CD ⊥AB . 在△ABC 中，由勾股定理得AB =√42+42=4√2， 所以CD =
AC·BC AB =4×44
√2
=2√2.
因为CF =√CC 12+C 1F 2=√52+22=√29，DF =BE =√BB 12+B 1E 2=√52+22=√29，
所以 在△CDF 中，由余弦定理的推论得cos∠CDF =
(√29)2+(2√2)2−(√29)2
2×√29×2√2
=
√58
29
.故选 C.
9.【答案】:C ；D
【解析】:由正弦定理得a
sinA =b
sinB ，所以sinB =bsinA a =√3×
1
21=√32
， 又b >a ，0∘<B <
180∘，所以B =60∘或B =120∘，故选CD.
10.【答案】:CD
【解析】:在A 中,P(M)P(N)=12×12=1
4, P(MN)=0，所以M,N 不是相互独立事件；
在B中,事件M发生与否对事件N发生的概率有影响, 所以M，N不是相互独立事件；
在C中，P(M)=1
2,P(N)=1
2
,P(MN)=1
4
,P(MN)=P(M)P(N)，所以M,N是相互独立事件；
在D中,事件M发生与否不影响事件N发生的概率,所以M,N是相互独立事件.故选CD.
11.【答案】:A；B；D
【解析】:【分析】
本题考查通过柱状统计图，折线统计图分析读取数据，属于基础题.
解题时结合统计图对各个选项逐一分析即可得到正确结果.
【解答】
对于选项A，观察5个白色条形图可知，这五年中2015年出口额最少，故A正确；对于选项B，观察五组条形图可得，2015年出口额比进口额稍低，但2016年至2019年出口额都高于进口额，并且2017年和2018年出口额都明显高于进口额，故这五年，出口总额比进口总额多，故B正确；对于选项C，观察虚线折线图可知，2015年到2016年出口增速是上升的，故C错误；
对于选项D，从图中可知，实线折线图2019年是最高的，即2019年进口增速最快，故D正确．
故选ABD.
12.【答案】:BC
【解析】:对于A选项，连接BD，BE，则点N为BD的中点，∴E，N∈平面BDE，∴EN⊂BDE，同理可知BM⊂BDE，∴BM与EN不是异面直线，A选项错误；
对于C选项，连接CM，∵四边形ABCD是边长为1的正方形，∴BC⊥CD，又平面ABCD⊥平面ECD，平面ABCD∩平面ECD=CD，BC⊂ABCD，∴BC⊥平面ECD，∴直线BM与平面ECD所成的角为∠BMC，∵M为DE的中点，且△CDE是边长为1的正三角形，∴
CM=√3
2，∴BM=√BC2+CM2=√7
2
，∴sin∠BMC=BC
BM
=
√7
2
=2√7
7
，C选项正确；
对于B选项，取CD的中点O，连接ON，OE，则ON//BC且ON=1
2BC=1
2
，OE=√3
2
，∵
BC⊥平面CDE，∴ON⊥平面CDE，∵OE⊂平面CDE，∴ON⊥OE，∴EN=√OE2+ON2=1，∴BM≠EN，B选项正确；
对于D选项，∵ON⊥平面CDE，S△CDE=√3
4×12=√3
4
，∴三棱锥N−ECD的体积为1
3
S△CDE·
ON=1
3×√3
4
×1
2
=√3
24
，D选项错误. 故选BC.
13.【答案】:−2
【解析】:∵a=(1,2)，b=(2,−2)，∴2a+b=(4,2)，又c//(2a+b)，∴2λ=−4，解得λ=−2.
14.【答案】:√5
4
【解析】:∵a=√5
2b，∴由正弦定理可得sinA=√5
2
sinB，又A=2B，∴sin⁡A=sin⁡2B=
2sinBcosB，∴√5
2sin B=2sin Bcos B，可得cosB=√5
4
.
15.【答案】:1+a；4
【解析】:由题意可得1
10∑10i=1x i=1,1
10
∑10i=1(x i−1)2=4，则y1，y2，…，y10的均值
为1
10∑10i=1y i=1
10
∑10i=1(x i+a)=1
10
(∑10i=1x i+10a)=1
10
∑10i=1x i+a=1+a,方差为
1 10∑10i=1(y i−y¯)
2
=1
10
∑10i=1[(x i+a)−(1+a)]2=1
10
∑10i=1(x i−1)2=4.
16.【答案】:36π
【解析】:由题意知△SBC与△SAC都是等腰直角三角形，设球O的半径为r，则
由题可得1
3×1
2
×2r×r×r=9，解得r=3，故球O的表面积为4πr2=36π.
17
(1)【答案】∵a//b，∴θ=0∘或180∘，∴a·b=|a||b|cosθ=±√2.
(2)【答案】∵a−b与a垂直，∴(a−b)·a=0，
即|a|2−a·b=1−√2cosθ=0，∴cosθ=√2
2
.
又0⩽θ⩽180∘，∴θ=45∘.
18
(1)【答案】设“甲获得合格证书”为事件A，“乙获得合格证书”为事件B，“丙获得合格证书”为事件C，
则P(A)=4
5×1
2
=2
5
，P(B)=3
4
×2
3
=1
2
，P(C)=2
3
×5
6
=5
9
.
因为P(C)>P(B)>P(A)，所以丙获得合格证书的可能性最大.
(2)【答案】设“三人考试后恰有两人获得合格证书”为事件D，则P(D)=P(ABC¯)+
P(AB ¯C)+P(A ¯
BC)=25
×12
×49
+25
×12
×59
+35
×12
×59
=
1130
.
19
(1)【答案】因为频率分布直方图中所有矩形的面积之和为1， 所以(0.012 5+a +0.075+0.025×2)×4=1，解得a =0.112 5， 由于(0.012 5+0.112 5)×4=0.5，故销售量的中位数为16万辆.
(2)【答案】由频率分布直方图可知，新能源汽车平均每个季度的销售量约为10×0.05+14×0.45+18×0.3+22×0.1+26×0.1=17(万辆). 20
(1)【答案】融合指数在[7,8]内的“省级卫视新闻台”记为A 1，A 2，A 3，融合指数在[4,5)内的“省级卫视新闻台”记为B 1，B 2，则从融合指数在[4,5)和[7,8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家的样本空间Ω=｛｛A 1，A 2｝，｛A 1，A 3｝，｛A 2，A 3｝，｛A 1，B 1｝，｛A 1，B 2｝，｛A 2，B 1｝，｛A 2，B 2｝，｛A 3，B 1｝，｛A 3，B 2｝，｛B 1，B 2｝｝，共10个样本点，
其中，至少有1家的融合指数在[7,8]内的样本点有｛A 1，A 2｝，｛A 1，A 3｝，｛A 2，A 3｝，｛A 1，B 1｝，｛A 1，B 2｝，｛A 2，B 1｝，｛A 2，B 2｝，｛A 3，B 1｝，｛A 3，B 2｝，共9个， 所以所求概率P =9
10.
(2)【答案】这20家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数为4.5×2
20＋5.5×8
20
＋6.5×7
20＋7.5×3
20=6.05.
21
(1)【答案】∵sin(A +C)=8sin 2B
2，∴sinB =4(1−cosB)， 又sin 2B +cos 2B =1， ∴16(1−cosB)2+cos 2B =1，
∴(17cos B −15)(cos B −1)=0，∴cosB =
1517
.
(2)【答案】由(1)可知sinB =8
17，∵S △ABC =1
2ac ·sin B =2，∴ac =
172
，
∴b 2=a 2+c 2−2accosB =a 2+c 2−2×172
×15
17=a 2+c 2−15=(a +c)2−2ac −15=36−17−
15=4，∴b =2．
22
(1)【答案】由题设知，B1B⊥AB，
又AB⊥BC，B1B∩BC=B，B1B⊂B1BCC1，BC⊂B1BCC1，所以AB⊥平面B1BCC1.
因为AB⊂ABE，
所以平面ABE⊥平面B1BCC1.
(2)【答案】取AB的中点G，连接EG，FG.
因为E，F分别是A1C1，BC的中点，
所以FG//AC，且FG=1
2AC，EC1=1
2
A1C1，
因为AC//A1C1，且AC=A1C1，
所以FG//EC1，且FG=EC1，
所以四边形FGEC1为平行四边形，
所以C1F//EG.
又EG⊂ABE，C1F⊄ABE，所以C1F//平面ABE.
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