2024年人教版高二数学上册月考试卷含答案

2024年人教版高二数学上册月考试卷含答案
考试试卷
考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟
学校：______ 姓名：______ 班级：______ 考号：______
总分栏
题号一二三四五六总分
得分
评卷人得分
一、选择题(共8题，共16分)
1、以下有三种说法；其中正确说法的个数为（）
（1）“m是有理数”是“m是实数”的充分不必要条件；
（2）“tanA=tanB”是“A=B”的充分不必要条件；
（3）“x2-2x-3=0”是“x=3”的必要不充分条件．
A. 0个。

B. 1个。

C. 2个。

D. 3个。

2、【题文】已知双曲线＝1(a>0，b>0)的一个焦点到渐近线的距离是焦距的则双曲线的离心率是()
A. 2
B. 4
C.
D.
3、【题文】在正四面体P-ABC中，M为ABC内（含边界）一动点，且到三个侧面PAB，PBC，PCA的距离成等差数列，则点M的轨迹是（）
A. 一条线段
B. 椭圆的一部分
C. 双曲线的一部分
D. 抛物线的一部分
4、【题文】要得到函数y=sin（2x-)的图象，只需将函数y=sin2x的图象
A. 向右平移
B. 向右平移
C. 向左平移
D. 向左平移
5、若关于x的不等式ax2+bx+c＜0的解集为（{﹣∞，﹣1}）∪（+∞），则不等式cx2﹣bx+a＜0的解集为（）
A. （﹣1，2）
B. （﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）
C. （﹣2，1）
D. （﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）
6、给定下列命题：①全等的两个三角形面积相等；②3的倍数一定能被6整除；③如果那么④若其中，真命题有（）
A. ①
B. ①③④
C. ①④
D. ①②③④
7、若直线mx- ny = 4与⊙O: x2+y2= 4没有交点，则过点P(m,n)的直线与椭圆的交点个数是（）
A. 至多为1
B. 2
C. 1
8、
设abm为整数(m>0)若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余.记为a隆脭b(bmodm).已知
a=1+C101+C102鈰�2+C103鈰�22++C1010鈰�29b隆脭a(bmod10)则b的值可以是()
A. 2015
B. 2011
C. 2008
D. 2006
评卷人得分
二、填空题(共6题，共12分)
9、=____．
10、已知双曲线的两个焦点为是此双曲线上一点，若
则该双曲线的方程是_____________。

11、
【题文】已知函数若且则=____________．
12、
【题文】某学校有初中生人，高中生人，教师人，现采用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为的样本进行调查.如果从高中生中抽取人，则样本容量
13、定积分dx的值为______ ．
14、
鈭�11(1鈭�x2+x2)dx= ______ ．
评卷人得分
三、作图题(共8题，共16分)
15、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？
16、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，
组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）
17、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）
18、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到
水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？
19、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，
组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）
20、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）
21、分别画一个三棱锥和一个四棱台．
评卷人得分
四、解答题(共1题，共10分)
22、已知函数有三个极值点．
（I）证明：-27＜c＜5；
（II）若存在实数c；使函数f（x）在区间[a，a+2]上单调递减，求a的取值范围．
评卷人得分
五、计算题(共3题，共27分)
23、如图，正三角形ABC的边长为2，M是BC边上的中点，P是AC边上的一个动点，求PB+PM的最小值．
24、设L为曲线C：y＝在点(1,0)处的切线．求L的方程；
25、求证：ac+bd≤ •．
评卷人得分六、综合题(共4题，共36分)
26、（2009•新洲区校级模拟）如图，已知直角坐标系内有一条直线和一条曲线，这条直
线和x轴、y轴分别交于点A和点B，且OA=OB=1．这条曲线是函数y=的图象在第
一象限的一个分支，点P是这条曲线上任意一点，它的坐标是（a、b），由点P向x轴、y轴所作的垂线PM、PN，垂足是M、N，直线AB分别交PM、PN于点E、F．则AF•BE=____．
27、（2009•新洲区校级模拟）如图，已知直角坐标系内有一条直线和一条曲线，这条直
线和x轴、y轴分别交于点A和点B，且OA=OB=1．这条曲线是函数y=的图象在第
一象限的一个分支，点P是这条曲线上任意一点，它的坐标是（a、b），由点P向x轴、y轴所作的垂线PM、PN，垂足是M、N，直线AB分别交PM、PN于点E、F．则AF•BE=____．
28、已知S n为等差数列{a n}的前n项和，S6=51，a5=13．
29、已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，S3=0．
参考答案
一、选择题(共8题，共16分)
1、C
【分析】
（1）“m是有理数”⇒“m是实数”；
反之；若m是实数，则m不一定是有理数；
∴“m是有理数”是“m是实数”的充分不必要条件；
故（1）正确；
（2）“tanA=tanB”⇒“A=kπ+B；k∈Z”
“A=B”⇒“tanA=tanB”；
∴“tanA=tanB”是“A=B”的必要不充分条件；
故（2）不正确；
（3）“x2-2x-3=0”⇒“x=3；或x=-1”；
“x=3”⇒“x2-2x-3=0”；
∴“x2-2x-3=0”是“x=3”的必要不充分条件；
故（3）正确．
故选C．
【解析】
【答案】（1）“m是有理数”是“m是实数”的充分不必要条件；（2）“tanA=tanB”是“A=B”的必要不充分条件；（3）“x2-2x-3=0”是“x=3”的必要不充分条件．
2、D
【分析】
【解析】由题意可知＝所以a2＝3b2，e＝＝
【解析】
【答案】D
3、A
【分析】
【解析】设M到三个侧面PAB，PBC，PCA的距离分别为正四面体P-ABC的高为h,底面面积为s,则又
所以点M应该在过ABC的中心平行于BC的线段上。

故选A
【解析】
【答案】A
4、B
【分析】
【解析】略
【解析】
【答案】B
5、C
【分析】
【解答】解：∵不等式ax2+bx+c＜0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（+∞）；
∴a＜0，且﹣1为方程ax2+bx+c=0的两根；
∴﹣1+ =﹣﹣1×=
∴b= a，c=﹣a；
∴cx2﹣bx+a＜0可转化为﹣ax2+ ax+a＜0；
∴x2﹣x﹣2＜0；
即（x﹣2）（x+1）＜0；
解得﹣2＜x＜1；
即不等式cx2﹣bx+a＜0的解集为（﹣2；1）．
故选：C．
【分析】根据不等式ax2+bx+c＜0的解集，利用根与系数的关系，求出a、b、c的两根，再化简不等式cx2﹣bx+a＜0，求出它的解集．
6、A
【分析】
【分析】显然；只有①是真命题。

选A。

【点评】难度不大，但综合性强，涉及知识面广。

7、B
【分析】
【解析】∵直线mx- ny = 4与⊙O: x2+y2= 4没有交点，∴即∴
∴点P(m,n)在椭圆的内部，故过点P(m,n)的直线与椭圆
的交点个数是2个。

【分析】解决此类问题除了要求学生掌握直线与圆的相关概念和公式外，还应注意恰当运用平面几何知识以简化运算
8、A
【分析】
解：隆脽已知a=1+C101+C102鈰�2+C103鈰�22++C1010鈰�29
隆脿2a=1+2C101+22C102+23C103++210C1010=1+(1+2)10
隆脿a=1+C101+C102鈰�2+C103鈰�22++C1010鈰�29=12+12(1+2)10=12(310+1)．而310=95=(10鈭�1)5=C50?105鈭�C51?104+C52?103鈭�C53?102+C54?10鈭�1
故a=12(310+1)=12(C50?105鈭�C51?104+C52?103鈭�C53?102+C54?10)的个位为5
隆脿a除以10的余数为5．
而b隆脭a(bmod10)故b隆脭a(bmod10)故b除以10的余数为5
结合所给的选项；应选A；
故选A．
根据已知中a和b对模m同余的定义，结合二项式定理，我们可以求出a的个位，结合
b=a(bmod10)比照四个。

答案中的数字；结合得到答案．
本题考查的知识点是同余定理、二项式定理，其中正确理解a和b对模m同余；是解答本题的关键，同时利用。

二项式定理求出a的个位，也很关键，属于中档题．
【解析】
A
二、填空题(共6题，共12分)
9、略
【分析】
∵
∴=
=
故答案为：
【解析】
【答案】结合数列的特点，可考虑利用裂项求和进行求解即可。

10、略
【分析】
【解析】
设双曲线的方程为x2/a2 -y2 /b2 =1．由题意得||MF1|-|MF2||=2a，|MF1|2+|MF2|2=（）2=20．又∵|MF1|•|MF2|=2，∴4a2=20-2×2=16∴a2=4，b2=5-4=1．所以双曲线的方程为x2 /4 -y2=1
【解析】
【答案】
11、略
【分析】
【解析】略
【解析】
【答案】
12、略
【分析】
【解析】
试题分析：设初中生抽取人，教师抽取人，则解得
考点：分层抽样.
【解析】
【答案】148
13、略
【分析】
解：由定积分的几何意义，定积分dx为以原点为圆心，3为半径的圆面积的．面积为=
故答案为：．
利用定积分的几何意义求值．定积分dx为以原点为圆心，3为半径的圆面积的．本题考查了运用定积分的几何意义求定积分，属于基础题．
【解析】
14、略
【分析】
解：原式=鈭�鈭�111鈭�x2dx+鈭�鈭�11x2dx．
垄脵鈭�鈭�11x2dx=x33|鈭�11=23
垄脷令y=1鈭�x2鈮�0则x2+y2=1(y鈮�0).如图所示：
则鈭�鈭�111鈭�x2dx=12隆脕娄脨隆脕12=娄脨2．
隆脿原式=娄脨2+23．
故答案为娄脨2+23．
利用微积分基本定理及其几何意义即可求出．
熟练掌握微积分基本定理是解题的关键．
【解析】
娄脨2+23
三、作图题(共8题，共16分)
15、略
【分析】
【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．
【解析】
【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；
如图所示；
由对称的性质可知AB′=AC+BC；
根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．
16、略
【分析】
【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．
【解析】
【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，
与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．
证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；
∴AB=A'B；AC=A''C；
于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；
根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．
17、略
【分析】
【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．
【解析】
【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；
这样PA+PB最小；
理由是两点之间，线段最短．
18、略
【分析】
【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．
【解析】
【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；
如图所示；
由对称的性质可知AB′=AC+BC；
根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．
19、略
【分析】
【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．
【解析】
【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，
与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．
证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；
∴AB=A'B；AC=A''C；
于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；
根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．
20、略
【分析】
【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．
【解析】
【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；
这样PA+PB最小；
理由是两点之间，线段最短．
21、解：画三棱锥可分三步完成。

第一步：画底面﹣﹣画一个三角形；
第二步：确定顶点﹣﹣在底面外任一点；
第三步：画侧棱﹣﹣连接顶点与底面三角形各顶点．
画四棱可分三步完成。

第一步：画一个四棱锥；
第二步：在四棱锥一条侧棱上取一点；从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段；
第三步：将多余线段擦去．
【分析】
【分析】画三棱锥和画四棱台都是需要先画底面，再确定平面外一点连接这点与底面上的顶点，得到锥体，在画四棱台时，在四棱锥一条侧棱上取一点，从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段，将多余线段擦去，得到图形．
四、解答题(共1题，共10分)
22、略
【分析】
（I）因为函数有三个极值点；
所以f'（x）=x3+3x2-9x+c=0有三个互异的实根．
设g（x）=x3+3x2-9x+c，则g'（x）=3x2+6x-9=3（x+3）（x-1）；
当x＜-3时；g'（x）＞0，g（x）在（-∞，-3）上为增函数；
当-3＜x＜1时；g'（x）＜0，g（x）在（-3，1）上为减函数；
当x＞1时；g'（x）＞0，g（x）在（1，+∞）上为增函数；
所以函数g（x）在x=-3时取极大值；在x=1时取极小值．
当g（-3）≤0或g（1）≥0时；g（x）=0最多只有两个不同实根．
因为g（x）=0有三个不同实根；所以g（-3）＞0且g（1）＜0．
即-27+27+27+c＞0；且1+3-9+c＜0；
解得c＞-27；且c＜5，故-27＜c＜5．
（II）由（I）的证明可知；当-27＜c＜5时，f（x）有三个极值点．
不妨设为x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），则f'（x）=（x-x1）（x-x2）（x-x3）．
所以f（x）的单调递减区间是（-∞，x1]，[x2，x3]
若f（x）在区间[a；a+2]上单调递减；
则[a，a+2]⊂（-∞，x1]，或[a，a+2]⊂[x2，x3]；
若[a，a+2]⊂（-∞，x1]，则a+2≤x1．由（I）知，x1＜-3；于是a＜-5．
若[a，a+2]⊂[x2，x3]，则a≥x2且a+2≤x3．由（I）知，-3＜x2＜1．
又f'（x）=x3+3x2-9x+c，当c=-27时，f'（x）=（x-3）（x+3）2；
当c=5时，f'（x）=（x+5）（x-1）2．
因此，当-27＜c＜5时，1＜x3＜3．所以a＞-3；且a+2≤3．
即-3＜a＜1．故a＜-5；或-3＜a＜1．反之，当a＜-5，或-3＜a＜1时；
总可找到c∈（-27；5），使函数f（x）在区间[a，a+2]上单调递减．
综上所述；a的取值范围是（-∞，-5）∪（-3，1）．
【解析】
【答案】（1）题目中：“有三个极值点”先转化为其导数的零点问题，即f'（x）=x3+3x2-9x+c=0有三个互异的实0即可；
（2）存在性问题，由于f（x）的单调递减区间是（-∞，x1]，[x2，x3]，只需[a，a+2]是（-∞，x1]或[x2，x3]的子集即可．
五、计算题(共3题，共27分)
23、略
【分析】
【分析】作点B关于AC的对称点E，连接EP、EB、EM、EC，则PB+PM=PE+PM，因此EM的长就是PB+PM的最小值．
【解析】
【解答】解：如图；作点B关于AC的对称点E，连接EP；EB、
EM、EC；
则PB+PM=PE+PM；
因此EM的长就是PB+PM的最小值．
从点M作MF⊥BE；垂足为F；
因为BC=2；
所以BM=1，BE=2 =2 ．
因为∠MBF=30°；
所以MF= BM= ，BF= = ，ME= = ．
所以PB+PM的最小值是．
24、解：所以当x=1时，k= 点斜式得直线方程为y＝x－1
【分析】
【分析】函数的导数这是导函数的除法运算法则
25、证明：∵（a2+b2）•（c2+d2）﹣（ac+bd）2=（ad﹣bc）2≥0，∴（a2+b2）•（c2+d2）≥（ac+bd）2；
∴|ac+bd|≤ •
∴ac+bd≤ •
【分析】
【分析】作差（a2+b2）•（c2+d2）﹣（ac+bd）2=（ad﹣bc）2≥0，即可证明．
六、综合题(共4题，共36分)
26、略
【分析】
【分析】根据OA=OB，得到△AOB是等腰直角三角形，则△NBF也是等腰直角三角形，由于P 的纵坐标是b，因而F点的纵坐标是b，即FM=b，则得到AF= b，同理BE= a，根据（a，b）是函数y= 的图象上的点，因而b= ，ab= ，则即可求出AF•BE．
【解析】
【解答】解：∵P的坐标为（a，）；且PN⊥OB，PM⊥OA；
∴N的坐标为（0，）；M点的坐标为（a，0）；
∴BN=1- ；
在直角三角形BNF中；∠NBF=45°（OB=OA=1，三角形OAB是等腰直角三角形）；
∴NF=BN=1- ；
∴F点的坐标为（1- ，）；
∵OM=a；
∴AM=1-a；
∴EM=AM=1-a；
∴E点的坐标为（a；1-a）；
∴AF2=（- ）2+（）2= ，BE2=（a）2+（-a）2=2a2；
∴AF•BE=1．
故答案为：1．
27、略
【分析】
【分析】根据OA=OB，得到△AOB是等腰直角三角形，则△NBF也是等腰直角三角形，由于P 的纵坐标是b，因而F点的纵坐标是b，即FM=b，则得到AF= b，同理BE= a，根据（a，b）是函数y= 的图象上的点，因而b= ，ab= ，则即可求出AF•BE．
【解析】
【解答】解：∵P的坐标为（a，）；且PN⊥OB，PM⊥OA；
∴N的坐标为（0，）；M点的坐标为（a，0）；
∴BN=1- ；
在直角三角形BNF中；∠NBF=45°（OB=OA=1，三角形OAB是等腰直角三角形）；
∴NF=BN=1- ；
∴F点的坐标为（1- ，）；
∵OM=a；
∴AM=1-a；
∴EM=AM=1-a；
∴E点的坐标为（a；1-a）；
∴AF2=（- ）2+（）2= ，BE2=（a）2+（-a）2=2a2；
∴AF•BE=1．
故答案为：1．
28、【解答】（1）设等差数列{a n}的公差为d；则。

∵S6=51，
∴{#mathml#}12×6 {#/mathml#}×（a1+a6）=51；
∴a1+a6=17；
∴a2+a5=17，
∵a5=13，∴a2=4，
∴d=3，
∴a n=a2+3（n﹣2）=3n﹣2；
（2）b n={#mathml#}2an {#/mathml#}=﹣2•8n﹣1，
∴数列{b n}的前n项和S n={#mathml#}21-8n1-8=27 {#/mathml#}（8n﹣1）．
【分析】
【分析】（1）设等差数列{a n}的公差为d，利用S6=51，求出a1+a6=17，可得a2+a5=17，从而求出a2=4，可得公差，即可确定数列{a n}的通项公式；
（2）求出数列{b n}的通项公式，利用等比数列的求和公式，可得结论．
29、解：（1）设{a n}的公差为d；
由a1=1，S3=0，
可得3a1+3d=0，
解得d=﹣1，
从而a n=2﹣n；
（2）b1=2a1=2，b2=a6=﹣4，
可得公比q=b2b1=-2，
∴Bn=b11-qn1-q=21--2n3．
【分析】
【分析】（1）设{a n}的公差为d；运用等差数列的求和公式，可得d=﹣1，再由等差数列的通项公式即可得到所求；
（2）由等比数列的通项公式可得公比为﹣2，再由等比数列的求和公式，可得所求和．。