抛物线的标准方程

F
L
问题思考
抛物线的定义 |x＋ y－ 2| (1)平面内满足 x－ 1 ＋ y－ 1 ＝ 的动点 2 (x， y)的轨迹是抛物线；( )
2 2
|x＋ y－ 3| (2)平面内满足 x－ 1 ＋ y－ 1 ＝ 的动点(x， y) 2 的轨迹是抛物线． ( )
2 2
[答案] (1)错
感悟：
1.由于抛物线的标准方程有四种形式，且每一种 形式中，都只含一个参数p，因此只要给出确定p 的一个条件，就可以求出抛物线的标准方程 2.当抛物线的焦点坐标或准线方程给定以后， 它的标准方程就唯一确定了；若抛物线的焦点 坐标或准线方程没有给定，则所求的标准方程 就会有多解．
小 结 ：
1、椭圆、双曲线与抛物线的定义的联系 及其区别； 2、会运用抛物线的定义、标准方程求它 的焦点、准线、方程；
p 4 2
探照灯、汽车前灯的反光曲面，手电筒的反光镜面、 太阳灶的镜面都是抛物镜面。 抛物镜面：抛物线绕其对称轴旋转而成的曲面。 灯泡放在抛物线的焦点位置上，通过镜面反射就变 成了平行光束，这就是探照灯、汽车前灯、手电筒的 设计原理。
z```xx`````k
平行光线射到抛物镜面上，经镜面反射后，反射光线都 经过抛物线的焦点，这就是太阳灶能把光能转化为热能 的理论依据。
想 一 想 ？ ？
l N
M
· · F
求轨迹方程的步骤？
如何建立直角 坐标系？
y
y=ax2
y=ax2+c y=ax2+bx+c
o
x
标准方程 （设|KF| = P ） 方程的推导：
y y y
N
Ko F
M
x
N K oF
M
N
x Ko F
M
x
L
(1)
L
(2)
L
(3)
二、标准方程
设︱KF︱= p p p 则F（ 2 ，0），l：x = 2 设点M的坐标为（x，y），
o
x
巩固练习：
1、根据下列条件，写出抛物线的标准方程：
（1）焦点是F（3，0）；
y2 =12x y2 =x =4x、 y2 = -4x、 x2 =4y 或 x2 = -4y
1 （2）准线方程 是x = ； 4
（3）焦点到准线的距离是2。 y2
抛物线的标准方程 (1) 方程 y2 ＝ 2px 表示的曲线是焦点在 x 正半轴上的双曲 线．( ) (2)方程 y2＝ λx(λ≠ 0)表示的曲线是焦点在 x 轴上的抛物线，
o
y o
F
l
x
l
(0,
x2=－2py x (p>0)
P (0, － 2 )
※
问题：
根据上表中抛物线的标准方程 的不同形式与图形、焦点坐标、准 线方程的对应关系，如何判断抛物 线的焦点位置、开口方向？
( 1 )一次项的变量如为X（或Y） 则X轴（或 Y轴）为抛物线的对称轴，焦点就在对称轴上。
( 2 )一次项的系数的正负决定开口方向
y
l
N
M
由定义可知，
K o
· · F
x
p 2 p ( x ) y2 x 2 2
化简得
y2 = 2px（p＞0）
标准方程 （设|KF| = P ） 方程的推导：
y y y
N
Ko F
M
x
N K oF
M
N
x Ko F
M
x
Lห้องสมุดไป่ตู้
2
(1)
L
2
(2)
L
2
(3)
y 2 px p
y 2 px p
3、注重数形结合的思想。
l l M M l
F ·
F
·
e＞1
·
M
· F
0＜ e ＜ 1
e=1
画抛物线
抛物线的定义：
平面内到定点 F与到定直线 L 的 距离相等的点的轨迹叫抛物线.（定点F 不在定直线L上）
定点 F 叫做 抛物线的焦点； 定直线 L 叫做 抛物线的准线．
“一动三定” ｜MF︳=d 两种距离 相互转化
N M
K
λ 且其焦点坐标是 ，0，准线方程是 4
λ x＝－ .( ) 4 (3)方程 y＝ ax2(a≠ 0)表示的曲线是焦点在 y 轴上的抛物线， 1 y＝－ .( 4a )
1 且其焦点坐标是0， ，准线方程是 4a
[答案] (1)错
(2)对
(3)对
[解析] (1)在抛物线的标准方程中，必需限制 p>0，其几何意 义是焦点到准线的距离(称之为焦参数)，否则方程 y2＝2px 表示 的曲线，当 p＝0 时就是 x 轴，当 p<0 时，表示焦点在 x 轴负半 轴上的抛物线． λ (2)λ>0 时， 焦参数 p＝ ， 方程 y2＝λx 表示焦点在 x 轴上的抛 2 λ λ 物线，且其焦点坐标是 4，0 ，准线方程是 x＝－ ；λ<0 时，焦 4 λ 参数 p＝－ ，方程表示 y2＝λx 焦点在 x 轴上的抛物线，且其焦 2 λ λ 点坐标是 4，0 ，准线方程是 x＝－ . 4 1 (3)把方程化为 x2＝ay，类似(2)的讨论．
抛物线及其标准方程
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请同学们思考一个问题
想 一 我们对抛物线已有了哪些认识？ 想 ？
抛物线是二次函数
顶点 开口方向 对称轴 最值 单调性 o
y
x
抛物线的生活实例
抛物线的生活实例
夜色下的喷泉
抛物线的生活实例
美丽的赵州桥
抛物线的生活实例
复习：
椭圆、双曲线的第二定义： 与一个定点的距离和一条定直线的距离的比 是常数e的点的轨迹，当0＜e ＜1时，是椭圆， 当e＞1时，是双曲线。 当e=1时，它又是什么曲线？
（4）求过点A（3，2） 的抛物线的标准方程
y
(3,2)
解：（4）因为(3，2)点 在第一象限，所以抛物线 的开口方向只能是向右或向上，故设抛 物线的标准方程是 y2 = 2px（p>0），或 x2 = 2py（p>0）， 将（3，2）点的坐标分别代入上述方程 可得抛物线的标准方程为 9 4 2 2 y = 3 x或 x = 2 y
想 一 想 ？
其它形式的抛 物线的焦点与 准线呢？
3．四种抛物线的对比
图形
y l o
F
标准方程
x
焦点坐标
P ( 2 ,0) P (－ 2 , 0) P 2 )
准线方程
P x =－ 2 ※ P x= 2 ※ P y =－ 2 P y= 2 ※
y2=2px (p>0)
y l
F
o
y
F
y2=－2px x (p>0) x2=2py (p>0)
例1
（1）已知抛物线的标准方程是 y 2 = 6 x ，求它 的焦点坐标及准线方程
解答
3 焦点F ( 2 , 0 ) 3 准线：x =－ 2
（2）已知抛物线的焦点坐标是 F（0，－2），求 抛物线的标准方程
x 2 =－8 y
（3）已知抛物线的准线方程为 x = 1 ，求抛物 线的标准方程 2
y =－4 x
练习 在抛物线y2=2x上求一点P，使P到焦点F与 到点A（3，2）的距离之和最小. 解：如下图所示，设抛物线的点P到准线的距离 为|PQ|
由抛物线定义可知：|PF|=|PQ| ∴|PF|+|PA|=|PQ|+|PA| 显然当P、Q、A三点共线时，|PQ|+|PA|最小. ∵A(3,2)，可设P（x0,2)代入y2=2x得x0=2 故点P的坐标为（2，2）.
例2:已知点M与点F（4，0）的距离比它到直 线L：x+5=0的距离小1，求点M的轨迹方程。
解：如右图所示，设点M的坐标为（x,y) 由已知条件可知，点M与点F的距离等于它 到直线x+4=0的距离.根据抛物线的定义， 点M的轨迹是以F（4，0）为焦点的抛物线.
∴p=8 因为焦点在x轴的正半轴上，所以点M的轨迹 方程为y2=16x.
(2)对
[解析] (1)由于点(1,1)在直线 x＋y－2＝0 上，故平面内满足 |x＋y－2| x－1 ＋y－1 ＝ 的动点(x，y)的轨迹是过点(1,1)且垂 2
2 2
直直线 x＋y－2＝0 的直线． (2)轨迹是以点(1,1)为焦点，直线 x＋y－3＝0 为准线的抛物 线．
二、标准方程
2
y 2 px
2
抛物线的标准方程
y2 = 2px（p＞0）
N
l y
M
其中 p 为正常数，它的几何意义是:
K o
· · F
x
焦点到准线的距离
方程 y2 = 2px（p＞0）表示焦点在 x轴正半 轴上的抛物线
焦点：F（ 2 ，0），准线
p p x=－ 2
抛物线的标准方程
抛物线的标 准方程还有 哪些形式?