黑龙江省哈师大附中高二数学下学期期中试题 理 新人教

哈师大附中2012—2013学年度下学期期中考试
高二数学理试题
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.从1、2、3、4、5五个数字中任选两个组成个位和十位数字不同的两位数，这个数字是偶数的概率为（ ）
A.
25 B.35 C.14 D.34
2. 函数2
14y x x
=+的单调递增区间为（ ）
A.(0,)+∞
B.(,1)-∞
C.1
(,)2
+∞ D.(1,)+∞
3.若甲以10发6中，乙以10发5中的命中率打靶，两人各射击一次，则他们都中靶的概率是( )
A.
35 B.12 C.310 D.15
4. 若a ＝⎠⎛02x 2d x ，b ＝⎠⎛02x 3d x ，c ＝⎠⎛0
2
sin x d x ，则a 、b 、c 的大小关系是( )
A.a<c<b
B.a<b<c
C.c<b<a
D.c<a<b
5. 函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内有极小值点( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
6. 有3个相识的人某天各自乘火车外出，假设火车有10节车厢，那么至少有2人在同一车厢内相遇的概率为( ) A.29200 B.725 C.29144 D.718
7. 如图所示，曲线是函数32()f x x bx cx d =+++的大致图象，则22
12x x +等
于（ ） A.8
9
B.
109
C.
169
D.
54
8. 直线y kx b =+与曲线3
1y x ax =++相切于点（2,3），则b 的值为（ ） A.-3 B.9 C.-15 D.-7
9. 已知函数2
()=f x x cos x -，则(0.6),(0),(-0.5)f f f 的大小关系是（ ） A.(0)<(0.6)<(-0.5)f f f B.(0)<(-0.5)<(0.6)f f f C.(0.6)<(-0.5)<(0)f f f
D.(-0.5)<(0)<(0.6)f f f
10. 甲乙两人一起去游“2010上海世博会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是( ) A.
136 B.19 C.536 D.16
11.已知实数a ，b 满足1-≤a ≤1，1-≤b ≤1，则函数y ＝13x 3－ax 2
＋bx ＋5有极值的概率为
( )
A.14
B.12
C.23
D.34
12. 定义在R 上的可导函数f(x),且f(x)图像连续,当x≠0时, 1
'()()0f x x f x -+>,则函数1
()()g x f x x -=+的零点的个数为（ ） A.1
B.2
C.0
D.0或2
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 某厂生产的灯泡能用3000小时的概率为0.8，能用4500小时的概率为0.2，则已用3000小时的灯泡能用到4500小时的概率为 . 14.
⎰
--2
2
24dx x =________.
15.小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内掷一点，若此点到圆心的距离大于
12，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于1
4
，则去打篮球；否则，在家看书。

则小波周末不在家看书的概率为______________. 16．对于函数3
2
()1f x x ax x =+-+，有下列说法：
①该函数必有两个极值点；
②该函数的极大值必大于1； ③该函数的极小值必小于1； ④该函数必有三个不同的零点
其中正确结论的序号为 .（写出所有正确结论序号）
三、解答题：本大题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. （本小题满分10分）
已知定义在R 上的函数)3()(2
-=ax x x f ，其中a 为常数． （1）若1=x 是函数)(x f 的一个极值点，求a 的值；
（2）若函数)(x f 在区间)0,1(-上是增函数，求a 的取值范围．
18．（本小题满分12分）
有一枚正方体骰子，六个面分别写1、2、3、4、5、6的数字，规定“抛掷该枚骰子得到的数字是抛掷后，面向上的那一个数字”.已知a 和b 是先后抛掷该枚骰子得到的数字，函数2
()21f x ax bx =++ ()x R ∈
(1)若先抛掷骰子得到的数字是3，求再次抛掷骰子时，使函数()y f x =有零点的概率； (2)求函数()y f x =在区间(－3，＋∞)上是增函数的概率.
19. （本小题满分12分）
已知函数e ().1
ax
f x x =-
（1） 当1a =时,求曲线()f x 在(0,(0))f 处的切线方程； （2）求函数()f x 的单调区间.
20．（本小题满分12分）
在某校组织的一次篮球定点投篮测试中，规定每人最多．．投3次，每次投篮的结果相互独立.在A 处每投进一球得3分，在B 处每投进一球得2分，否则得0分. 将学生得分逐次累加并用ξ表示，如果ξ的值不低于3分就认为通过测试，立即停止．．．．投篮，否则继续投篮，直到投完三次为止.投篮的方案有以下两种：方案1：先在A 处投一球，以后都在B 处投；方案2：都在B 处投篮.甲同学在A 处投篮的命中率为5.0，在B 处投篮的命中率为8.0.
（Ⅰ）甲同学选择方案1.
求甲同学测试结束后所得总分等于4的概率；
求甲同学测试结束后所得总分ξ的分布列和数学期望E ξ；
（Ⅱ）你认为甲同学选择哪种方案通过测试的可能性更大？说明理由.
21. （本小题满分12分） 已知函数
2()()
x f x ax e a R =-∈.
（1）当1a =时，证明：()f x 在(,)-∞+∞上为减函数； （2）若()f x 有两个极值点1212,(),x x x x <求实数a 的取值范围.
22. （本小题满分12分）
已知函数2
()ln(1).f x ax x =++ （1）当1
4
a =-
时，求函数()f x 的单调区间； （2）任意[)0,x ∈+∞，()f x x ≤恒成立，求实数a 的取值范围.
参考答案 选择题
1. A 、
2.C 、
3.C 、
4.D 、
5.A 、
6.B 、
7.C 、
8.C 、
9.B 、10.D 、11.C 、12.C 填空题
13.0.25 14.2π 15.13
16
16.①②③ 解答题
17. （本小题满分10分） （1）解：2
'()36f x ax x =-
由已知'(1)03602f a a =⇒-=⇒=
经检验：2a =时，1x =为()y f x =的极大值点。

………………5分 （2）解：由已知，可得(1,0)x ∀∈-，都有2
'()360f x ax x =-≥成立，
即22ax a x ≤⇒≥max
22a a x ⎛⎫⇒≥⇒≥- ⎪⎝⎭. ………………10分 18. （本小题满分12分）
（1）解:设事件A ：再次抛掷骰子时，函数()y f x =有零点. 若()y f x =有零点，则2224403b a b a b -≥⇒≥⇒≥
2,3,4,5,6b ⇒=.所以5
()6
P A =
. 答：再次抛掷骰子时，函数()y f x =有零点的概率为
5
6
. ………………6分 （2）解：设事件B 为函数()y f x =在(3,)-+∞为增函数.
若函数()y f x =在(3,)-+∞上是增函数，则有3b
a
-≤-，即3b a ≥. 当1a =时，3,4,5,6b =；当2a =时，6b =.所以14115
().666636P B =⨯+⨯=
答：函数()y f x =在(3,)-+∞上是增函数的概率是5
36
.………………12分
19. （本小题满分12分）
（1）解：当
1
a =时，
()1
x
e f x x =
-，
2(2)
'()(1)x e x f x x -=
- ………………2分
又(0)1f =-，'(0)2f =-， 所
以
()
f x 在
(0,(0))
f 处的切线方程为
21y x =-- ………………4分
（II ）解：2
e [(1)]
'()(1)ax ax a f x x -+=-
当0a =时，
2
1
'()0
(1)f x x -=
<-
又函数的定义域为{|1}x x ≠ 所
以
()
f x 的单调递减区间为
(,1),(1,)-∞+∞ ……………6分
当 0a >时， ()f x 的单调递减区间为(,1)-∞，
1
(1,
)a a +，
单调递增区间为1
(
,)
a a ++∞ ………………9分
当0a <时，()f x 的单调递增区间为
1
(,
)a a +-∞，
单调递减区间为1
(
,1)a a +，(1,)+∞ ………………12分
20. （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）在A 处投篮命中记作A ,不中记作A ；在B 处投篮命中记作B ,不中记作B ； 甲同学测试结束后所得总分为4可记作事件ABB ,则
))))0.50.80.80.32P ABB P A P P ==⨯⨯=(((B (B ……………2分
解：ξ的所有可能取值为0,2,3,4，则
(0)()()()()0.50.20.20.02P P ABB P A P B P B ξ====⨯⨯=
(2)))))))))P P ABB P ABB P A P P B P A P B P ξ==+=+((((B ((((B 0.50.8(10.8)0.5(10.8)0.80.16=⨯⨯-+⨯-⨯=
(3))0.5P P A ξ===(
(4)))))0.50.80.80.32P P ABB P A P P ξ====⨯⨯=(((B (B ……………6分
ξ的分布列为：
………………7分
00.0220.1630.540.32 3.1E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=， ………………9分
（Ⅱ）解：甲同学选择方案1通过测试的概率为1P ，
选择方案2通过测试的概率为2P , 1P =(3)0.50.320.82P ξ≥=+=
2P ()()()P BBB P BBB P BB =++=20.80.20.80.80.896⨯⨯+⨯=
因为 21P P > ………………12分 所以 甲同学应选择方案2通过测试的概率更大 21. （本小题满分12分）
（1）证明：1a =时，()2x
f x x e '=-，()2x
f x e ''=-，
()0f x ''>时，ln 2x <；()0f x ''<时，ln 2x >；
()f x '∴在区间(),ln 2-∞递增，在区间(ln 2,)+∞递减；
max ()(ln 2)2(ln 21)0f x f ''∴==-<，即()0f x '∴<在R 上恒成立，()f x 在(,)-∞+∞递
减. ………………6分
（2）解：若()f x 有两个极值点12,x x ，则12,x x 是方程'()0f x =的两个根，故方程
20x
ax e -=有两个根12,x x ，又0x =显然不是该方程的根，所以方程2x
e a x
=有两个根，
设2(1)(),'(),x x e e x x x x x
ϕϕ-==当0x <时，()0x ϕ<且'()0,()x x ϕϕ<单调递减，
当0x >时，()0,x ϕ>当01x <<时，'()0,()x x ϕϕ<单调递减，当1x >时，'()0,()
x x ϕϕ>单调递增，要使方程2x e a x =有两个根，需2(1),a e ϕ>=即2
e a >且1201,x x <<<故a 的
取值范围为(,).2
e
+∞ ………………12分 22. （本小题满分12分） （1）1
4
a =-
时，(2)(1)()2(1)x x f x x -+-'=+，
1x >-Q ，∴()0f x '>时11x -<<；()0f x '<时1x >，
函数()f x 在区间(1,1)-递增，在区间(1,)+∞递减. ………………4分
（2）由已知得0x ≥时，2
ln(1)ax x x ++≤恒成立， 即0x ≥时，2
ln(1)0ax x x ++-≤恒成立。

设2
()ln(1)g x ax x x =++-， 221
()1
ax a g x x x +-'=⋅
+，
0a ≤时，0,()0x g x '≥∴≤Q ，()g x 在区间[)0,+∞递减，0x ∴≥时，()(0)0g x g ≤=，
故0a ≤；………………8分
0a >时，若()0g x '>，则112x a >
-，函数()g x 在区间11,2a ⎛⎫
-+∞ ⎪⎝⎭
递增， 若
1102a -≤，即1
2
a ≥时，()g x 在[)0,+∞递增，则()(0)0g x g ≥=，矛盾，故舍去；………………10分 若
1102a ->，
即102a <<时，()g x 在10,12a ⎛⎫- ⎪⎝⎭递减，在11,2a ⎛⎫
-+∞ ⎪⎝⎭
递增，且x →+∞时2
ln(1)ax x x -++→+∞，，矛盾，故舍去. 综上，0a ≤.………………12分。