【配套K12】中考数学 考点跟踪突破13 二次函数的图象和性质

二次函数的图象和性质
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．(大连模拟)二次函数y＝ax2＋bx－1(a≠0)的图象经过点(1，1)，则a＋b＋1的值是( D)
A．－3 B．－1 C．2 D．3
2．(2015·临沂)要将抛物线y＝x2＋2x＋3平移后得到抛物线y＝x2，下列平移方法正确的是( D)
A．向左平移1个单位，再向上平移2个单位
B．向左平移1个单位，再向下平移2个单位
C．向右平移1个单位，再向上平移2个单位
D．向右平移1个单位，再向下平移2个单位
3．(朝阳模拟)如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴相交于(－2，0)和(4，0)两点，当函数值y＞0时，自变量x的取值范围是( B)
A．x＜－2 B．－2＜x＜4
C．x＞0 D．x＞4
,第3题图) ,第5题图) 4．(2015·南昌)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0)过(－2，0)，(2，3)两点，那么抛物线的对称轴( D)
A．只能是x＝－1
B．可能是y轴
C．可能在y轴右侧且在直线x＝2的左侧
D．可能在y轴左侧且在直线x＝－2的右侧
5．(2015·烟台)如图，已知顶点为(－3，－6)的抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点(－1，－4)，则下列结论中错误的是( C)
A．b2＞4ab
B．ax2＋bx＋c≥－6
C．若点(－2，m)，(－5，n)在抛物线上，则m＞n
D．关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝－4的两根为－5和－1
二、填空题(每小题5分，共25分)
6．(2015·怀化)二次函数y＝x2＋2x的顶点坐标为__(－1，－1)__，对称轴是直线__x ＝－1__．
7．(抚顺模拟)函数y＝x2＋2x＋1，当y＝0时，x＝__－1__；当1＜x＜2时，y随x的增大而__增大__(填“增大”或“减小”)．
8．(2015·上海)如果将抛物线y＝x2＋2x－1向上平移，使它经过点A(0，3)，那么所得新抛物线的表达式是__y＝x2＋2x＋3__．
9．(营口模拟)当x＝m或x＝n(m≠n)时，代数式x2－2x＋3的值相等，则x＝m＋n时，代数式x2－2x＋3的值为__3__．
10．(2015·岳阳)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，顶点C的纵坐标为－2，现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线y＝a1x2＋b1x＋c1，则下列结论正确的是__③④__．(写出所有正确结论的序号)
①b ＞0；②a－b ＋c ＜0；③阴影部分的面积为4；④若c ＝－1，则b 2
＝4a. 三、解答题(共50分)
11．(10分)如图，已知抛物线y ＝ax 2
＋bx －4经过A(－8，0)，B(2，0)两点，直线x ＝－4交x 轴于点C ，交抛物线于点D.
(1)求该抛物线的解析式；
(2)点P 在抛物线上，点E 在直线x ＝－4上，若以A ，O ，E ，P 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的坐标．
解：(1)y ＝14x 2＋3
2
x －4 (2)P 1(－12，14)，P 2(4，6)，P 3(－4，－6)
12．(12分)(铁岭模拟)如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的边长为4，顶点A ，
C 分别在x 轴，y 轴的正半轴，抛物线y ＝－12
x 2
＋bx ＋c 经过B ，C 两点，点D 为抛物线的顶
点，连接AC ，BD ，CD.
(1)求此抛物线的解析式；
(2)求此抛物线顶点D 的坐标和四边形ABCD 的面积．
解：(1)由已知得：C(0，4)，B(4，4)，把B 与C 坐标代入y ＝－12
x 2
＋bx ＋c 得：
⎩
⎪⎨⎪⎧4b ＋c ＝12，c ＝4，解得b ＝2，c ＝4，则解析式为y ＝－12x 2＋2x ＋4 (2)∵y＝－12x 2＋2x ＋4＝－
12(x －2)2
＋6，∴抛物线顶点坐标为(2，6)，则S 四边形ABDC ＝S △ABC ＋S △BCD ＝12×4×4＋12
×4×2＝8
＋4＝12
13．(14分)(2015·岳阳)如图，抛物线y ＝ax 2
＋bx ＋c 经过A(1，0)，B(4，0)，C(0，3)三点．
(1)求抛物线的解析式； (2)如图①，在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使得四边形PAOC 的周长最小？若存在，
求出四边形PAOC 周长的最小值；若不存在，请说明理由．
(3)如图②，点Q 是线段OB 上一动点，连接BC ，在线段BC 上是否存在这样的点M ，使△CQM 为等腰三角形且△BQM 为直角三角形？若存在，求点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝0，16＋4b ＋c ＝0，c ＝3，解得
⎩⎪⎨⎪⎧a ＝34
，b ＝－154，
c ＝3
所以，抛物线的解析式为y ＝3
4x 2－15
4
x ＋3 (2)∵A，B 关于对称轴对称，连接BC ，∴BC 与对称轴的交点即为所求的点P ，此时PA ＋PC ＝BC ，∴四边形PAOC 的周长最小值为：OC ＋OA ＋BC ，∵A(1，0)，B(4，0)，C(0，
3)，∴OA ＝1，OC ＝3，BC ＝OB 2＋OC 2
＝5，∴OC ＋OA ＋BC ＝1＋3＋5＝9；∴在抛物线的对称轴上存在点P ，使得四边形PAOC 的周长最小，四边形PAOC 周长的最小值为9 (3)∵B(4，
0)，C(0，3)，∴直线BC 的解析式为y ＝－3
4
x ＋3，①当∠BQM＝90°时，设M(a ，b)，∵∠
CMQ ＞90°，∴只能CM ＝MQ ＝b ，∵MQ ∥y 轴，∴△MQB ∽△COB ，∴BM BC ＝MQ OC ，即5－b 5＝b
3
，解
得b ＝158，代入y ＝－34x ＋3得，158＝－34a ＋3，解得a ＝32，∴M(32，15
8
)；②当∠QMB ＝90°
时，∵∠CMQ ＝90°，∴只能CM ＝MQ ，设CM ＝MQ ＝m ，∴BM ＝5－m ，∵∠BMQ ＝∠COB＝90°，
∠MBQ ＝∠OBC，∴△BMQ ∽△BOC ，∴m 3＝5－m 4，解得m ＝157，作MN∥OB，∴MN OB ＝CN OC ＝CM BC ，即
MN
4
＝CN 3＝1575，∴MN ＝127，CN ＝97，∴ON ＝OC －CN ＝3－97＝127，∴M(127，12
7
)，综上，在线段BC 上存在这样的点M ，使△CQM 为等腰三角形且△BQM 为直角三角形，点M 的坐标为(32，15
8
)或
(127，127)
14．(14分)如图，抛物线y ＝ax 2
＋bx(a≠0)经过点A(2，0)，点B(3，3)，BC ⊥x 轴于点C ，连接OB ，等腰直角三角形DEF 的斜边EF 在x 轴上，点E 的坐标为(－4，0)，点F 与原点重合．
(1)求抛物线的解析式并直接写出它的对称轴；
(2)△DEF 以每秒1个单位长度的速度沿x 轴正方向移动，运动时间为t 秒，当点D 落在BC 边上时停止运动，设△DEF 与△OBC 的重叠部分的面积为S ，求出S 关于t 的函数关系式．
(3)点P 是抛物线对称轴上一点，当△ABP 是直角三角形时，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标．
解：(1)根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧0＝4a ＋2b ，3＝9a ＋3b ，解得⎩
⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2，∴抛物线解析式是y ＝x 2
－2x ，对称
轴是直线x ＝1 (2)有3种情况：①当0≤t≤3时，△DEF 与△OBC 重叠部分为等腰直角三
角形，如图1，S ＝14
t 2
；②当3＜t≤4时，△DEF 与△OBC 重叠部分是四边形，如图2，S ＝
－14t 2＋3t －92；③当4＜t≤5时，△DEF 与△OBC 重叠部分是四边形，如图3，S ＝－12t 2
＋3t －12
(3)当△ABP 是直角三角形时，可得符合条件的点P 坐标为(1，1)或(1，2)或(1，1
3
)或
(1，113)。