函数的单调性专题复习

函数的单调性专题复习
河津三中---李春荣
一、函数单调性的概念：
1、定义：给定区间D 上的函数f （x ），若对于任意的x 1，x 2∈D ，，当x 1＜x 2时，都有f （x 1）＜f （x 2），则f （x ）为区间D 上的增函数；对于任意的x 1，x 2∈D ，当x 1＜x 2时，都有f （x 1）＞f （x 2），则f （x ）为区间D 上的减函数。

注意：（1）函数的单调性与单调区间密不可分，单调区间一般是定义域的子区间（也可以是整个定义域），因此单调性相对于定义域来说，一般是函数的“局部性质”。

例如函数2)(x x f =，在区间)0,(-∞这个局部上是减函数，在区间),0(+∞这个局部上又是增函数，而在整个定义域),(+∞-∞上不是单调函数。

再如x
x f 1
)
(=，在区间)0,(-∞和
),0(+∞都是减函数，但在定义域上不具有单调性，显然函数不可能在
定义域上是增函数，又)1()1(f f <-，所以函数也不是定义域上的减函数，即函数在定义域上不具备单调性。

（2）函数的单调性又是函数在单调区间上的“整体性质”，定义中的x 1，x 2在单调区间上具有任意性，由特定的D x x ∈21,满足)0(0)()(21><-x f x f ，不能说明函数)(x f 在区间D 上具有单调性。

如
2
)(x x f =，在（-2，3）上，)2()1(f f <-，不能得出函数在（-2，3）上是增函数，实际上函数在（-2，3）上不具有单调性。

2、用定义证明函数的单调性的方法步骤： （1）任取x 1，x 2∈D ，且x 1＜x 2 （2）作差f （x 1）-f （x 2），与零比。

（3）变形：朝着容易判断“差”的符号的方向变形，一般化为几个因式的积（或商）的形式，或者化为几个非负数（式）的和的形式。

（4）根据差式的符号确定函数的增减性。

3、有关结论： （1）一般情况下，同一区间上的增（减）函数的和仍为增（减）函数；
（2）函数f （x ）为某一区间上的增（减）函数，则-f （x ）为该区间上的减（增）函数。

（3）互为反函数的两个函数具有相同的单调性。

（4）复合函数的单调性：
y=f[g （x ）]是定义在M 上的函数，若函数f （u ）与函数g （x ）的单调性相同，则函数y=f[g （x ）]为增函数；若函数f （u ）与函数
g （x ）的单调性不同，则函数y=f[g （x ）]为减函数。

（5）奇函数不一定是单调函数，偶函数一定是不单调函数。

5、奇函数在相对原点的对称区间上的单调性相同，偶函数在相对原点的对称区间上的单调性相反。

6、导函数的符号与函数的单调性：
函数的导函数在某区间上大于零，则函数在该区间上为增函数，反之，则相反。

7、判断函数的单调性的方法： （1）定义法（略）
（2）图像法：函数在某区间上图像是上升的，则函数为该区间上的增函数。

反之相反。

（3）利用复合函数的单调性来判断 （4）利用导数法来判断
（5）利用函数的奇偶性、周期性来判断
二、函数单调性应用举例 1、定义法证明函数的单调性： 例1、证明函数3
)(x
x f =在R 上是增函数。

证：设R
x x ∈2
1,，且21
x x <
))(()()(2
2222
1213
23
121x x x x x x x x x f x f ++-=-=-
]4
3)2
1)[((2
22
2121x x x x x +
+-=
又假设知021<-x x ，又04
3)2
1(2
22
21>+
+
x x x （等于零的条件
是⎪⎩⎪⎨⎧==+
002
1
2
21x x x ，即021==x x 与假设矛盾）
)()(21<-∴x f x f ，故函数)(x f 在R 上为增函数。

例2、证明函数1
1)(--+=
x x x f 在),1[+∞上是减函数。

证：设),1[,2
1+∞∈x x ，且21x x <
1111)()(122121--
-++-+=-x x x x x f x f
111
1121
2212
1-+--+
++
+-=
x x x x x x x x
0)
11)(11()
1111)((1221112221>-+-++++-
-+
+-
--=
x x x x x x x x x x
故函数)(x f 在),1[+∞上是减函数。

2、定义法求函数的单调区间或讨论函数的单调性 例
3、求函数)0()(>+
=a x
a x x f 的单调区间。

解析：设21
x x <，
2
11221212
2
21
2
121)
()()()(x x x x a x x x x x a x x a x x f x f -+-=
+-
+=
-
2
12121)
)((x x a x x x x --=
当),(,21a x x --∞∈时，a x x >21，即0
21>-a x x
)()(21<-∴x f x f ，因此函数)(x f 在),(a -
-∞上为增函数，
当)0,(,21a x x -∈时，a x x <<210，即0
2
1<-a x x
0)()(21>-∴x f x f ，因此函数)(x f 在)0,
(a -上为减函数。

同理，函数)(x f 在),0(a 上是减函数，在),(+∞a 上是增函数
故函数)(x f 的单调增区间是：),(a --∞与),(+∞a
减区间是：)0,(a -
与),0(a 。

例4、判断函数2
1)(x
ax x f -=
在)1,
1(-上的单调性。

解：设1121<<<-x x
则)
1)(1()1)((11)()(2
22
121212
2
22
1
121x x x x x x a x ax
x ax x f x f --+-∙
=--
-=
-
由假设得：11,1,1,0212
22
121
<<-<<<-x x x x x x
01,01,01212
22
1>+>->-∴x x x x
因此，当0>a 时，)()(0)()(2121x f x f x f x f <⇒<-，↑
)(x f
当0<a 时，)()(0)()(2121x f x f x f x f >⇒>-，↓)(x f
当0=a
时，函数不具有单调性。

3、已知函数的单调性，求参数的取值范围 例5、已知函数)(log 2
x ax
y
a -=在区间]4,2[上是增函数，则a 的
取值范围是（ ）
解：设0)(2
>-=x ax
x t ，其对称轴为a
x 21=
当10
<<a 时，↓=t y a
log
，又)(log
x t y a
=在]4,
2[上为增函数 因此)(x t 在]4,2[上为减函数，421≥∴a ，8
10≤
<∴a ，
此时0416)(min >-=a x t 得：4
1>a ，ϕ
∈∴
a
当1>a
时，↑=t y a
log
，又)(log
x t y a
=在]4,
2[上为增函数， 因此)(x t 在]4,2[上为增函数，4
1221≥
⇒≤∴a a ，
此时2
1024)(min >
⇒>-=a a x t
故1>a
符合题意，a 的取值范围是),1(+∞
例6、函数)(x f 定义域是)1,
1(-，)(x f 是奇函数且为增函数，如果0)1()1(2<-+-a f a f ，则a
的取值范围是（ ）
解：)1()1(0)1()1(2
2
a f a f a f a f --<-⇒<-+-
又)(x f 是奇函数，)1()1(2
2
a f a
f --=-∴
)1()1(2
-<-∴a
f a f ，又)(x f 为增函数，
201111111122<<⇒⎪⎩
⎪
⎨⎧<-<-<-<--<-∴a a a a a ，即a 的取值范围是)2,0(
例7、已知1)()1(2)()(,)(2
2
+-+-==x f a x af x g x x f ，试问：是
否存在)0(<a
a 使得)(x g 在区间]4,(--∞上为减函数，
在区间（-4，-1）上为增函数，若存在就出a 的值，若不存在说明理由。

解：1)12()
(2
4
+-+-=x
a ax
x g
假设存在)0(<a
a 满足题意，且设21x x <，则：
))(12()()()(2
22
14
24
121x x a x x a x g x g --+--=-
)](12)[)((2
22
12121x x a a x x x x +---+=
（1）若421-<<x x ，则0,02121<-<+x x x x ，16
222
1≥>x x
要使↓)(x g ，则必有0)(122
22
1>---x x a a 恒成立，
即1)2(2
221
-<-+x x
a ，注意到3022
22
1>-+x x ，
所以21
2
221-+-<
x x a ，又
30
12
1
2
221-
>-+-x x
因此30
1-
≤a
时，在区间]4,(--∞上↓)(x g
（2）若1421-<<<-x x ，
则0,02121<-<+x x x x ，要使↑)(x g ，
则必有0)(122
22
1<---x x a a 恒成立，即1)2(2
22
1->-+x x a 注意到30
201162
22
12
22
1<-+<⇒>>>x x x x
因此2
1
22
2
1
-+->
x
x
a
，且
30
12
1
22
21
-
<-+-x
x
，
因此，30
1-
≥a
时，在区间（-4，-1）上↑)(x g
综上可得：30
1-
=a
满足题意。

例8、5
10
≤
<a 是2)1(2)
(2
+-+=x a ax
x f 在区间]4,(-∞上是减函
数的（ ） 答案：A
A.充分不必要
B.必要不充分
C.充分必要
D.既不充分有不必要
例9、已知函数)12(log )
()1(2+=-x x f a ，
在)0,2
1(-内恒有0)(>x f ，
则a 的取值范围是（ D ） A.1>a
B.10<<a
C.1或1>-<a a
D.2
1或12<<-<<-
a a
练习1、已知函数)2(log ax y a -=在]1,
0[上是减函数，则a 的取
值范围是（ C ）
A.10
<<a B.1>a C.21<<a D.2
1
≤<a
练习2、若定义域在区间)0,1(-上的函数)1(log
)
(2+=x x f a
满足：
0)(>x f ，则a
的取值范围是（ A ）
A.)21
,
0( B.]2
1
,0[ C.),21(+∞ D.),
0(+∞ 练习3、已知函数x
x f a
log
)(=，在),3[+∞上恒有1|)(|>x f ，求a
的取值范围。

解：①当1>a 时，
x y a
log
=在),3[+∞上为增函数，且0log >x a ，
由x
a a x x x f a
<⇒>⇒>⇒>
1log 1|)(|，31<<∴a ；
②当10<<a 时，
x y a
log
=在),3[+∞上为减函数，且0log <x a ，
由1
1
1log 1|)(|-->⇒>⇒>-⇒>
x
a a x x x f a
，而3
11
≤
-x ，
13
1<<∴a
故a 的取值范围)3,1()1,3
1(
⋃
三、根据复合函数的单调性求函数的单调区间：
例10、求下列函数的单调区间： （1）)26(log 2
21x x y -+= （2）|2||2|)31(-++=x x y
（3）)5(|1|+-=x x y （4）3||22
++-=x x
y
（5）3log
2log
2
2
2
--=x x y
（6）5
)(4)(2
22
+---=x x
x x y
解：（5）设x
u
2
log
=，则3
2)
(2
--=u u
u y
故原函数的单调递增区间：),2(+∞，单调递减区间：)2,
0( （6）设x
x
u
-=2
，则52)
(2
+-=u u
u y
故原函数的单调递增区间：]2
1,
1[-和),
2[+∞，单调递减区间： ]1,(--∞和]2,2
1[
例11、函数)54lg()(2
++-=x x
x f 的单调增区间为。

答案：)5,2[
练习1、函数)23(log )
(2
2
1+-=x x
x f 的递增区间（ B ）
A.)1,(-∞
B.),2(+∞
C.)2
3,(-∞ D.),2
3(
+∞
四、判断复合函数的单调性：
例12、下列函数中，在)2,0(为增函数的是（D ） A.)1(log 2
1+=x y B.1log
2
2
-=x
y
C.x
y
1
3
log = D.)54(log 2
3
1+-=x x
y
练习1、已知函数x
x x f +-+=
11lg
2
1)
(，
（1）求此函数的定义域，并判断该函数的单调性； （2）解关于x 的不等式2
1)]1([<
-x x f
解：（1）由011>+-x
x 得函数的定义域为：)1,
1(-， 设u
x
x x g x
x u
lg 11lg
)(,11=+-=+-=，
112
1)1(211-+=
++-=
+-=
x
x
x x
x u ，由反比例函数的单调性可知
)(x u 在)1,1(-上是减函数，而u y lg =在),0(+∞上是增函数，因此)(x g 在
)1,1(-上为减函数。

故)(x f 在)1,1(-上为减函数。

（2）)0(2
1)]1([,2
1)0(f x x f f =<
-∴=
，由函数的单调性知：
⎩⎨
⎧<-<->-1
)1(10)1(x x x x ，解得：0251<<-x 或25
11+<<x 。

五、已知分段函数单调性求参数的取值范围 例13、已知⎩⎨
⎧≥<+-=)
0(,)
0(,4)13()
(x a x a x a x f x
是),(+∞-∞上的减函数那么a 的取值范围为（ ）
A.)1,0(
B.)3
1,
0( C.)31,41
[
D.)1,4
1
[ 解：31
4140)13(100
130
<≤⇒⎪⎩⎪⎨
⎧≥+⨯-<<<-a a
a a a a ，故选C
例
14、已知⎩
⎨⎧≥<+-=)1(,log )
1(,4)13()(x x x a x a x f a 是),(+∞-∞上的减函数那
么a 的取值范围为。

解：3
17
11
log 41)13(1
00
13<
≤⇒
⎪⎩
⎪⎨⎧≥+⨯-<<<-a a a a a a
，填)3
1,71
[
六、利用函数的单调性比较函数值的大小、或自变量的大小（略） 七、利用单调性就函数的最值、值域（略）。