离散数学第四章第一节

5、课堂练习
练习1 设f:{a,b,c}N，f={<a,1>,<b,2>,<c,3>} : g:NN，g(x)=2x+1 求gf。
解： gf：{a,b,c}N gf={<a,g(f(a))>,<b,g(f(b))>,<c,g(f(c))>}
={<a,g(1)>,<b,g(2)>,<c,g(3)>}
={<a,3>,<b,5>,<c,7>}
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第4-1讲 作业
P151 1 P156 1
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4、复合函数(6)
定理7 设函数f：X→Y有逆函数f-1：Y→X，则 f-1f=Ix， ff-1=IY (证明从略) 例5 令f:{0,1,2}→{a,b,c},其定义如下图示。 求 f-1f， ff-1 解：f={<0,c>,<1,a>,<2,b>}
f -1={<c,0>,<a,1>,<b,2>} f-1f={<0,0>,<1,1>,<2,2>}= Ix ff-1={<c,c>,<a,a>,<b,b>}= IY 注意：函数复合与关系复合记 法上的区别！
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4、复合函数(3)
定义5 设函数f：X→Y， g：Y→Z，则 gf={<x,z>|xXzZy(yYy=f(x)z=g(y)} 称为f与g的复合函数。记作gf(x)=g(f(x))。 例4：设X={a,b,c},Y={A,B,C,D},Z={1,2,3} f：X→Y，f = {<a,A>,<b,C>,<c,B>} g：Y→Z，g ={<A,2>,<B,1>,<C,2>,<D,3>} 求gf。 解： gf={<a,g(f(a))>,<b,g(f(b))>,<c,g(f(c))>} ={<a,g(A)>,<b,g(C)>,<c,g(B)>} ={<a,2>,<b,2>,<c,1>}
1、函数的概念（3）
定义 2 设有函数 f ： A→B 和函数 g ： C→D ，如果 A=C ， B=D ，且对 x∈A(x∈C) 有 f(x)=g(x), 则称函数 f 与 g 相 等。 例２ 设有函数f和g，且f g，domg domf。证明f = g。
证：因为f g， domf domg，由已知条件domg domf，所以domf = domg (f和g的定义域相同)。 对x∈domf(从而x∈domg)，注意到已知条件f g， 可知f(x)=g(x)。 从而（f和g的函数关系相同）：
解：（l）f：RR，f(x)=-2x2+2x-1是开口向下的抛物线， 不是单调函数，并且在x=1点取得极大值0，因此它既不是 入射也不是满射的。 （2）f：Z+R，f(x)=Inx是单调上升的，因此是入射的。 但不是满射的，因为ranf={In1, In2,…}R。 （3）f是双射。对任意x[0，1]，有唯一的f(x) [a，b]， 反之，对任意y[a，b]，有唯一的x=(y-a)/(b-a)。
解：（l）为满射；（2）为双射；（3）为入射。
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2、满射、入射和双射（2）
例3 判断下列函数是否为满射、入射、双射，为什么？ （l）f：RR，y=f(x)=-2x2+2x-1 （2）f：Z+R，y=f(x)=Inx，Z+为正整数集 （3）f：[0,1][a,b]，y=f(x)=(b-a)x+a，(a<b)
定义4 设函数f：X→Y， g：W→Z，若f(X)W，则 gf={<x,z>|xXzZy(yYy=f(x)z=g(y)} 称g在函数f的左边可复合。 注意：函数复合与关系复合记法顺序相反： gf(不是fg)={<x,z>|<x,y>f<y,z>g}
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4、复合函数(2)
4、复合函数(5)
定义6 设函数f：X→{c}， c为常数，则f={<x,c>|xX}称 为常函数。 定义 7 设函数 f ： X→X ， 则 Ix= {<x,x>|xX} 叫恒等函数。
定理6 设函数f：X→Y，则f=fIx=IYf。 证明： Ix：X→X， Ix(x)=x f：X→Y，f(x)=y fIx：X→Y, fIx(x)=f(Ix(x))=f(x) IYf： X→Y, IYf(x)= IY(f(x))= IY(Y)=y= f(x)
定理4 设函数f：X→Y， g：W→Z，若f(X)W，则 gf={<x,z>|xXzZy(yYy=f(x)z=g(y)} 是一个函数。 证明：( xX zZ)
因f是函数，对任意xX，有y=f(x),因f(X)W，所以yW，又因g是 函数，对上述x必有z Z,使z=g(y)。从而，<x,z>gf。 下面证明对任意xX，只有唯一的z Z，使得<x,z>gf。 假设<x,z1>gf，<x,z2>gf且z1z2。按gf的定义，存在y1和y2， 使<x,y1>f,<x,y2>f，<y1,z1>g,<y2,z2>g。因f是函数，所以 y1=y2=y。进而有<y,z1>gf,<y,z2>g，由于g也是函数，所以z1=z2。 这与z1z2相悖！ 综上所述， gf是函数。
注：对无限集，由|A|=|B|和A B，无法得出A=B，例如，A={1，2， 3，…}，B={2，4，6，…}，
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3、逆函数
任给函数 F ，它的逆 FC 不一定是函数，而只是一个二元 关 系 。 例 如 ， 设 f:AB,A={1,2,3},B={a,b,c} 。 f1={<1,a>,<2,b>,<3,c>} f2={<1,a>,<2,b>,<3,b>} 。 显 然 f1 和 f2 都 是 从 A 到 B 的 函 数 ， f1 的 逆 f1C={<a,1>,<b,2>,<c,3>} 是 从 B 到 A 的 函 数 ， 但 f2 的 逆 f2C={<a,1>,<b,2>,<b,3>} 不是从 B 到 A 的函数。因此，函 数求逆是有条件的。 定理2 设函数f：X→Y是双射函数，则fC是Y→X的双射函 数。 （证明从略） 定义3 设函数f：X→Y是双射函数，称Y→X的双射函数 fC 为f的逆函数，记作f-1。
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4、复合函数(4)
定理5 设函数f：X→Y， g：Y→Z，则 (1)若f和g是满射，则gf也是满射。 (2)若f和g是入射，则gf也是入射。 (1)若f和g是双射，则gf也是双射。 证明 ： (1) 任取 zZ ，因 g 是满射 , 所以存在 yY, 使 z=g(y) 。 又因为f是满射，必有xX，使f(x)=y。于是 z=g(y)=g(f(x))=gf(x)。 因z是任意的，可知gf(X)=Z，那么gf是满射。 (2)设x1,x2X且x1x2，因f是入射，故f(x1)f(x2),又因g 是入射，故g(f(x1))g(f(x2)),所以gf是入射。 (3)因f和g是双射，根据(1)、(2)结论，gf是入射，也是 14 满射。故gf是双射。
函数是一种特殊的二元关系。 定义1 设F为集合X到Y的关系，若对xX都有唯一的 yY，使<x,y>F，则称F为函数。记作 F:xy，或者 y=F(x)，并称x为自变元，y为x在函数F作用下的象。 函数F:xy也称作X到Y的映射。 domF=X叫函数的定义 域。函数的值域ranFY，Y叫F的共域。 ranF又叫做函数 的象集。
f={<x,f(x)>|x∈domf}= {<x,g(x)>|x∈domg}=g
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2、满射、入射和双射（1）
定义2 设有函数f：X Y （1）若 ranf=Y，则称 f是满射的。 （ 2 ） 若 yranf 都存在唯一的 xX ，使得 f(x)=y ，则称 f 是入射的。(即若x1x2,则f(x1)f(x2)) （3）若f既是满射又是单射的，则称f是双射的。 例3 判断下列各图表示的关系是否为满射、入射、双射，为什么？
例1 设X={a,b.c},Y={0,1}，试写出X到Y的所有不同函数。 分析：函数既然是二元关系，它当然是序偶的集合。但 按函数的定义， AB 的子集虽然都是从 A 到 B 的关系， 却不都是从A到B的函数。 设 A 、 B 都是有限集合， A=m ， B=n ，从 A 到 B 的任意函数的定义域都必须是 A，故每个函数恰有 m个 序偶，对任一 xA ，有 B 中 n 个元素中的任一个作为它 的象。故可以有nm个不同的函数。 解： X到Y的所有不同函数有23个： f0={ <a,0>, <b,0>, <c,0>,}; f4={ <a,1>, <b,0>, <c,0>,}; f1={ <a,0>, <b,0>, <c,1>,}; f5={ <a,1>, <b,0>, <c,1>,}; f2={ <a,0>, <b,1>, <c,0>,}; f6={ <a,1>, <b,1>, <c,0>,}; 5 f3={ <a,0>, <b,1>, <c,1>,}; f7={ <a,1>, <b,1>, <c,1>,}。
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2、满射、入射和双射（3）
定理1 设X和Y为有限集，若|X|=|Y|，则f：XY是入射的 当且仅当f是满射的。
证：若f是入射，则|X|=|f(X)|=|Y|，根据函数的定义， f(X)Y，因X和Y为有限集，所以 f(X)=Y，即f是满射的。 若f是满射，则f(X)=Y，所以|f(X)|=|Y| =|X| ，因f(X)和X 为有限集故f是入射的。
第四章 函数
函数是特定类型的二元关系。本章着重 讨论的函数是所谓离散函数，它将有穷集 合变换为另一个有穷集合。
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第四章 目录
第4-1讲 函数 第4-2讲 集合的基数
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第4-1讲 函数
1. 函数的概念 2. 满射、入射和双射 3. 逆函数 4. 复合函数 5. 课堂练习 6. 第4-1讲 作业
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1、函数的概念（1）
例如，设X={a,b.c,d}，Y={1,2,3,4,5}，F={<a,1>, <b,3>, <c,4>, <d,4> }， 按定义，F是（X到Y的）函数。 F(a)=1, F(b)=3, F(c)=4, F(d)=4。 定义域domF=X，象集ranF={1，3，4}Y。 4
1、函数的概念（2）
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4、复合函数(7)
定理8 设函数f：X→Y， g：Y→Z均是双射，则 (gf)-1=f-1g-1 证明 ： (1) 因 f,g 是双射 , 由定理 5 可知 gf: X→Z 存在且是 双射，由定理 2(gf)-1 ： Z→X存在且是双射 。同样的道 理，f-1和g-1是双射，f-1g-1: Z→X也是双射。所以 dom(f-1g-1)=dom((gf)-1)=Z。 (2)对任意zZ，存在唯一的y，使得g(y)=z；对这个y则有 唯一的x，使得f(x)=y,故 (f-1g-1)(z)=f-1(g-1(z))=f-1(y)=x。 但gf(x)=g(f(x))=g(y)=z，所以(gf)-1(z)=x。 于是，对任意zZ，(gf)-1(z)=(f-1g-1)(z) 17 根据(1)、(2)可知(gf)-1=f-1g-1 。
定理3 设函数f：X→Y是双射函数，则 (f-1)-1=f。
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4、复合函数(1)
因为函数是一种特殊的二元关系，函数的复合与关系的复合有联 系。 例如， 设X={a,b,c}，Y={A,B,C,D}，Z={1,2,3} f：XY，f={<a,A>,<b,C>,<c,B>} g：YZ，g={<A,2>,<B,1>,<C,2>,<D,3>} 求fg（视为关系f和g的复合）。 解：fg={<a,2>,<b,2>,<c,1>} 可以看出，要使复合关系fg成为函数，必须f(X)Y。