微积分 自测题 1-5 章(2)

自测题1-5章（二）
一、填空 )20102(=⨯
1、设x x f c o s )(= ，2
2)]([x x f -=ϕ，则函数：)(x ϕ= ，
其定义域为 。

2、)100(lim 2
x x x x ++-∞
→= 。

3、x
x x 21lim
-→= 。

4、方程x x sin =有 个实根。

5、若x e x f 2)(-=，则)(ln x f '= 。

6、为了使函数⎩⎨
⎧>+≤=1
1)(2x b
ax x x x f ，在1=x 处连续且可导，
则=a ，=b 。

7、设1
ln
arctan 22+-=x
x
x
e
e e y ，则
1
=x dx
dy = 。

8、函数3)(x x f =在[-1，2]上符合拉格朗日中值定理的ξ= 。

9、⎰
++dx x
x x sin cos 1= 。

10、已知)(x f 的一个原函数为：x x ln )sin 1(∙+，则⎰'dx x f x )(= 。

二、选择 )1052(=⨯
1、下列函数在其定义域内连续的是（ ） A 、x
x f 1)(=
B 、⎩⎨
⎧>≤=0
cos 0sin )(x x
x x x f
C 、⎪⎩
⎪
⎨⎧>-=<+=0100
1)(x x x x x x f D 、⎪⎩
⎪
⎨⎧=≠=0
001)(x x x
x f
2、下列函数在[-1，1]上符合罗尔定理的有（ ） A 、2
1)(x
x f =
B 、1)(+=x x f
C 、)1ln()(2x x f +=
D 、2
.)(x
e x x
f =
3、曲线2
1
x
xe
y = （ ）
A 、仅有水平渐近线
B 、仅有铅垂渐近线
C 、既有水平又有铅垂渐近线
D 、既有铅垂又有斜渐近线
4、需求的价格弹性可用微分形式表示为（ ）
A 、p
d Q d ln ln -
B 、Q
d P d ln ln -
C 、dp
Q d ln -
D 、 p
d dQ ln -
5、设)(x f 为可导函数，后满足条件0
lim
→x 12)
1()1(-=--x
x f f ，则曲线)(x f y =在点
))1(,1(f 处的切线斜率为（ ）
A 、2
B 、-1
C 、
2
1 D 、-2
三、计算 )4267(=⨯
1、0lim →x ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+-++++x
x
x x x e e x e x csc 23cos )1ln(sin 2、0
lim
→x ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-22
cos sin 1x x x 3、已知)(x f y =，则2
2
ln arctan
y
x x
y +=表示，求
2
2
dx
y d 。

4、1
111ln
4
11arctan 2
12
22
-++++
+=
x
x x
y ，求dy
5、dx x x x
x ⎰⎪⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛+++cos 111arctan 2 6、⎰-+221)1(x x dx 四、应用 )2438(=⨯
1、已知)(x f 在),(+∞-∞内可导，且()e x f x ='→0
lim ，
)]1()([lim )(lim --=-+∞
→∞
→x f x f c
x c x x x
x ，
求c 的值。

2、函数)(x f y =为可导函数，且满足0
lim →x 12)
1(4-=-+x
x f ，求曲线)(x f y =在))
1(,1(f 处的切线方程。

3、某商品需求函数为p Q 5.012-=，总成本函数为5)(2
+=Q Q C ，其中Q 为产量，p 为价格，求
（1）商品的需求价格弹性大于是1时，商品价格的取值范围。

（2）利润最大时产量及利润。

五、证明 （4分）
试证：),(,1)1ln(12
2
+∞-∞∈+≥
+++x x x x x。