2023--新高考--琴生不等式

琴生不等式
基础知识
函数的凹凸性
设()f x 在区间I 上有定义
(1)若对于任意的1x ，2x I ，且12x x ，有
1212()()
()22x x f x f x f
则称()f x 在区间I 内为凸函数，此时''()0f x 在区间I 内恒成立
(2) 若对于任意的1x ，2x I ，且12x x ，有
1212()()
(22x x f
x f x f
则称()f x 在区间I 内为凹函数，此时''()0f x 在区间I 内恒成立
判断含有12(2x x f 和12
()()
2f x f x 的大小
典型类题 1
〖题目〗(2005北京卷理13文13)对于函数)(x f 定义域中任意的)(,2121x x x x ，有如下结论：
①)()()(2121x f x f x x f ； ②)()()(2121x f x f x x f ； ③;0)()(2121 x x x f x f ④.2
)()(2(2121x f x f x x f 当x x f lg )( 时，上述结论中正确结论的序号是 .
典型类题 2
〖题目〗(2015陕西文)设()ln f x x ，0a b ，若p f ，(2a b q ，1(()())2r f a f b ，则下列关系式中正确的是
A ．q r p
B ．q r p
C ．p r q
D ．p r q
典型类题 3
〖题目〗(2012新课标理) 已知函数()f x 满足满足121()(1)(0)2x f x f e f x x
； (1)求()f x 的解析式及单调区间；
(2)若21()2
f x x ax b
，求(1)a b 的最大值.
琴生不等式
(1)设()f x 在区间I 上为凸函数，则对任意的1x ，2x ， ，n x I 都有1212()()(n n x x x f x f x f x f n n ）
当且仅当12n x x x 时，等式成立
(2) 设()f x 在区间I 上为凹函数，则对任意的1x ，2x ， ，n x I 都有1212()()(
n n x x x f x f x f x f n n ）
当且仅当12n x x x 时，等式成立
典型类题 1
〖题目〗(2018新课标Ⅰ理)已知函数()2sin sin 2f x x x ，则()f x 的最小值是________．
∵()f x 是奇函数且周期为2
∵()2sin sin 2f x x x
则'()2cos 2cos 2f x x x
''()2sin 4sin 20f x x x ∴()f x 是凸函数
∴2()2sin sin 2sin sin sin(2)3sin 3sin 332x x x f x x x x x x
典型类题 2
〖题目〗在ABC 中，sin sin sin A B C 的最大值________．
∵sin sin sin sin sin 3332A B C A B C
∴sin sin sin 2A B C
典型类题 3
〖题目〗设A ，B ，C 为锐角ABC 的三个内角，
求证：3cos cos cos 2
A B C
典型类题 4
〖题目〗已知a ，b ，c R ，且3a b c 9
证明：
设函数()f x ，则()f x 为(0,) 上的凸函数，于是又琴生不等式可得： ()()((1)333f a f b f c a b c f f
） ∴()()()9f a f b f c
典型类题 5
〖题目〗(2011湖北理) (1)已知函数()ln 1f x x x ，(0,)x ，求函数()f x 的最大值．
(2)设k a ，k b (1k ，2，…，n )均为正数，证明：
①若112212n n n a b a b a b b b b ，则11221n n a b a b a b ；
②若121n b b b ，则1222212121n b b b n n b b b b b b n .
典型类题 6
〖题目〗。