广东省高三数学一轮复习 试题选编3 三角函数 理

广东省2014届高三理科数学一轮复习试题选编3：三角函数
一、选择题
1 ．（广东省茂名市2013届高三第一次模拟考试数学（理）试题）已知函数x x y cos sin +=,则下列结论
正确的是( )
（ ）
A ．此函数的图象关于直线4
π
-=x 对称 B ．此函数的最大值为1
C ．此函数在区间(,)44
ππ
-
上是增函数 D ．此函数的最小正周期为π
【答案】C
2 ．（广东省肇庆市2013届高三4月第二次模拟数学（理）试题）已知函数
()sin 6f x A x πω⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭(0,0A ω>>,(),x ∈-∞+∞)的最小正周期为π,且()03f =,则函数
()y f x =在,44ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上的最小值是
（ ）
A ．6-
B ．23-
C ．3-
D ．23
【答案】C 解析:23,2()23sin 26A f x x πω⎛⎫
==⇒=+
⎪⎝
⎭
由224
4
3
6
3x x π
π
π
π
π-
≤≤
⇒-
≤+
≤
得min ()23sin 33f x π⎛⎫
=-=- ⎪⎝⎭
3 ．（2013届广东省高考压轴卷数学理试题）函数()sin ()f x x x x R =+∈
（ ）
A ．是偶函数,且在(,)-∞+∞上是减函数;
B ．是偶函数,且在(,)-∞+∞上是增函数;
C ．是奇函数,且在(,)-∞+∞上是减函数;
D ．是奇函数,且在(,)-∞+∞上是增函数; 【答案】D ()()()sin sin f x x x x x f x -=-+-=--=-,得()f x 为奇函数
()/1cos 0f x x =+>得()f x 在R 上为增函数
4 ．（广东省揭阳市2013届高三3月第一次高考模拟数学（理）试题（含解析））当4
x π
=
时,函数
()sin()(0)f x A x A ϕ=+>取得最小值,则函数3(
)4
y f x π
=- （ ）
A ．是奇函数且图像关于点(
,0)2
π
对称 B ．是偶函数且图像关于点(,0)π对称
C ．是奇函数且图像关于直线2
x π
=
对称 D ．是偶函数且图像关于直线x π=对称
【答案】C 解析:依题意可得3(
)sin 4
y f x A x π
=-=-,故选 C ．
5 ．（广东省海珠区2013届高三上学期综合测试（一）数学（理）试题）要得到函数sin 6y x π⎛
⎫
=-
⎪⎝
⎭
的图象可将函数sin 6y x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
的图象上的所有点 .A 向右平行移动
6π 个长度单位 .B 向左平行移动6π
个长度单位 .C 向右平行移动3π 个长度单位 .D 向左平行移动3π
个长度单位
【答案】C
6 ．（广东省惠州市2013届高三10月第二次调研考试数学（理）试题）已知向量()()cos ,2,sin ,1a a b a =-=r r
,
且//a b r r ,则tan 4
a π
-()等于
（ ）
A ．3
B ．3-
C ．
3
1 D ．3
1-
【答案】【解析】由//a b r r ,得cos 2sin 0αα+=,即1tan 2α=-,所以tan()34
π
α-=-,
故选B
7 ．（广东省汕头一中2013年高三4月模拟考试数学理试题 ）函数⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≤+<≤-+=)380(),sin(2)03(,
1πϕωx x x kx y 的图
象如下图,则
（ ）
A ．6,21,31π
ϕω===
k B ．3
,21,31π
ϕω===
k C ．6
,2,31π
ϕω==-=k
D ．3
,2,3π
ϕω=
=-=k
(一)必做题(9~12题)
【答案】A 8 ．（广东省“六校教研协作体”2013届高三第二次（11月）联考数学（理）试题）已知
f (x )=sin(ωx +
3
π
)(ω>0)的图象与y =-1的图象的相邻 两交点间的距离为π,要得到y =f (x )的图象,只需把y =cos2x 的图象 （ ）
A ．向左平移
12π
个单位 B ．向右平移
12
π
个单位
C
．向左平移
12
5π
个单位 D ．向右平移
12
5π
个单位 【答案】 B ． 9 ．（广东省汕头市2013届高三3月教学质量测评数学（理）试题）把函数y=cos2x+l 的图像上所有点的
横坐标伸长到原来的2倍〔纵坐标不变),然后向左
平移l 个单位长度.再向下平移1个单位长度.得到的图像是
【答案】A 10．（广东省深圳市南山区2013届高三上学期期末考试数学（理）试题）如图所示为函数
()()2sin f x x ωϕ=+(ω﹥0,2
π
﹤φ﹤π)的部分图像,其中,A B 两点之间的距离为5,那么()1f -=
（ ）
A ．3-
B ．3
C ．2
D ．2-
【答案】C
11．（广东省湛江一中等“十校”2013届高三下学期联考数学（理）试题）在ABC ∆中,内角A 、B 、C
所对的边分别是a b c 、、,已知b 2=,30B =o ,15C =o , 则a = （ ）
A ．22
B ．23
C ．26-
D ．4
【答案】A
12．（广东省广州市2013届高三调研测试数学（理）试题）函数)(x f y =的图象向右平移
6
π
单位后与函数x y 2sin =的图象重合, 则)(x f y =的解析式是
（ ）
B
y x
O
1
2 2-
A
A ．()f x =)32cos(π
-x B ．()f x =)62cos(π
-x C ．()
f
x =)6
2cos(π
+
x
D ．()
f
x =)3
2cos(π
+
x
【答案】B
分析:逆推法,将sin 2y x =的图象向左平移
6
π
个单位即得()y f x =的图象, 即()sin 2()sin(2)cos[(2)]cos(2)cos(2)632366
f x x x x x x ππππππ
=+=+=-+=-+=-
13．（广东省汕头市东厦中学2013届高三第三次质量检测数学（理）试题 ）已知点P (sin α– cos α,tan α)
在第一象限,则在[0,2π]内α的取值范围是 （ ）
A ．)45,
()43,
2(
πππ
π⋃ B ．)45,
()2,4(π
πππ⋃ C ．)23,45()43,2(ππππ⋃ D ．),43()2,4(ππππ⋃
【答案】B 二、填空题 14．（广东省汕头市东山中学2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题（详解））在△ABC 中,用a 、b 、
c 和A 、B 、C 分别表示它的三条边和三条边所对的角,若a=2,2=b ,4
π
=A ,则角B=______. 【答案】
6
π
. 15．（2010年高考（广东理））已知a ,b ,c 分别是△ABC 的三个内角A ,B ,C 所对的边,若a =1,b=3,A+B =2B ,
则sin C =_____.
【答案】由A +C =2B 及A + B+ C =180°知,B =60°.由正弦定理知,13
sin A =即1sin 2
A =
.由a b <知,60A B <=o ,则30A =o
, 180180306090C A B =--=--=o o o o o ,sin sin901C ==o
16．（广东省广州市2013届高三4月综合测试（二）数学理试题（WORD 版））已知 α为锐角,且3cos 45
απ⎛
⎫+
= ⎪⎝⎭,则 sin α=_______. 2
17．（广东省珠海一中等六校2013届高三5月高考模拟考试数学（理）试题）已知
()2sin()(||)32
f x x ππ
ϕϕ=+<,若1x =是它一条对称轴,则 ϕ=________.
【答案】【解析】由已知得
3
2
x k k Z π
π
ϕπ+=+
∈，,由1x =代入得6
k k Z π
ϕπ=+
∈，,
又||2
π
ϕ<
,所以6
π
ϕ=
.答案:
6
π. 18．（广东省揭阳市2013届高三3月第一次高考模拟数学（理）试题（含解析））计
算:112
2
log sin15log cos15+o o =________.
【答案】2;
19．（广东省揭阳市2013年高中毕业班第二次高考模拟考试理科数学试题）若点(,1)a -在函数13
log y x
=的图象上,则4tan
a
π
的值为________. 【答案】依题意得3a =,则4tan a π=4tan 3
π
=3.
20．（广东省汕头市第四中学2013届高三阶段性联合考试数学（理）试题）如图所示,在平面直角坐标系
xOy 中,角α的终边与单位圆交于点A,点A 的纵坐标为
4
5
,则cosα=_______.
【答案】3
5
-
21．（广东省汕头市2013年普通高中高三教学质量测试试题(二)理科数学试卷）在ABC ∆,角,,A B C 的
对边分别为,,a b c ,且2,3,45a c A ===︒,则角C =________.
【答案】60︒或120︒ 三、解答题
22．（广东省汕头市2013届高三上学期期末统一质量检测数学（理）试题）已知函数1()tan()3
6
f x x π
=-
(I)求f(x)的最小正周期; (II)求3()2
f π的值; (皿)设71(3)22f απ+
=-,求sin()cos()2)4
πααππα-+-+的值.
【答案】解:(1)()f x 的最小正周期为T=
313
π
π=
(2)33(
)tan()tan 2663
f ππππ
=-==(3)由711711
(3)tan[(3)]tan()2232622f πππααπα+=-+-=-+=-得即
所以1
tan 2
α=-
cos 0α∴≠
sin cos sin cos αα
αα-=
+. tan 1
tan 1αα-=
+ 1123112
--==--+
另解:先求sin cos αα和再求得最后正确答案这步也得3分
23．（广东省汕头市东山中学2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题（详解））(本小题满分12分)
设函数()sin 23f x A x π⎛
⎫
=+ ⎪⎝
⎭
(x R ∈)的图象过点7,212P π⎛⎫
-
⎪⎝⎭
. (Ⅰ)求()f x 的解析式;
(Ⅱ)已知1021213f απ⎛⎫+=
⎪⎝⎭,02πα-<<,求3cos 4πα⎛
⎫
-
⎪⎝
⎭
的值. 【答案】(本小题满分12分) 【答案】解(Ⅰ)∵()f x 的图象过点7,212P π⎛⎫
-
⎪⎝⎭
, ∴773sin 2sin 2121232f A A ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯+==- ⎪ ⎪
⎝⎭⎝
⎭ ∴2A =
故()f x 的解析式为()2sin 23f x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
(Ⅱ) ∵102sin 22sin 2cos 2122123213f απαπππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛
⎫+=++=+== ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
即5
cos 13
α=
,
∵02π
α-<<,∴2
2512sin 1cos 11313αα⎛⎫
=--=--=- ⎪⎝⎭
∴
333cos cos cos sin sin 444πππααα⎛
⎫-
=+ ⎪⎝⎭5212217213213226⎛⎫=⨯--⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭
24．（广东省云浮市2012-2013新兴县第一中学高三阶段检测试题数学（三）(理) ）已知函数
2()=sin (2+
)+sin(2)+2cos 13
3
f x x x x π
π
-
-,x R ∈.
(Ⅰ).求函数()f x 的最小正周期; (Ⅱ).求函数()f x 在区间[,
]44ππ
-上的最大值和最小值.
【答案】(1)2()=sin (2+
)+sin(2)+2cos 1
3
3
f x x x x π
π
-
-
2sin 2cos
cos 22sin(2)34
x x x ππ
=+=+ 函数()f x 的最小正周期为22
T π
π== (2)322sin(2)11()24
4
4
4
424
x x x f x π
π
π
π
ππ-
≤≤
⇒-
≤+
≤
⇒-≤+≤⇔-≤≤ 当2()4
2
8
x x π
π
π
+=
=
时,()2max f x =,
当2()4
44
x x π
π
π
+
=-
=-时,min ()1f x =-.
25．（2011年高考（广东理））已知函数1
()2sin()3
6
f x x π
=-
,x ∈R .
(1)求5(
)4
f π
的值; (2)设,0,
2παβ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
,10(3)213f πα+=,6(32)5f βπ+=,求cos()αβ+的值. 【答案】解:(1)515()2sin()2sin 243464
f ππππ=⨯-== (2)110(3)2sin[(3)]2sin 232613f πππααα+=+-==,即5
sin 13
α=
16(32)2sin[(32)]2sin()3625f ππβπβπβ+=+-=+=,即3
cos 5
β=
∵,0,
2παβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
,∴212cos 1sin 13αα=-=,24sin 1cos 5ββ=-= ∴1235416
cos()cos cos sin sin 13513565
αβαβαβ+=-=
⨯-⨯= 26．（广东省汕头市东厦中学2013届高三第三次质量检测数学（理）试题 ）设向量
(cos ,sin )m θθ=u r ,sin ,cos )n θθ=r ,),2
3
(ππθ--∈,
若1m n •=u r r
,求:
(1))4
sin(π
θ+
的值; (2))12
7
cos(πθ+
的值.
【答案】解:(1)依题意,cos sin )sin cos )m n θθθθ•=+u r r
cos )θθ=+ 4sin()4
π
θ=+
又1m n •=u r r ∴4
1)4sin(=+πθ
(2)由于),23(ππθ--∈,则)4
3
,45(4πππθ--∈+
结合4
1
)4
sin(=
+
π
θ,可得415)4cos(-=+πθ
则7cos()12θπ+
11
cos[()]43
θππ=++11(4242=-⨯-⨯8=- 27．（广东省韶关市2013届高三第三次调研考试数学(理科)试题（word 版） ）已知
()f x =x x x
x x x cos sin 22
sin 23sin 2cos 23cos
--, (Ⅰ)求函数)(x f 的最小正周期;
(Ⅱ) 当,2x ππ⎡⎤
∈⎢
⎥⎣⎦
,求函数)(x f 的零点. 【答案】解:(Ⅰ)x x x f 2sin 2cos )(-==)4
2cos(2π
+x
故π=T
(Ⅱ)令0)(=x f ,)24
cos(2x +π
=0,又Θ,2x ππ⎡⎤∈⎢
⎥⎣⎦
592444x πππ∴
≤+≤
3242x ππ
∴+= 故58x π= 函数)(x f 的零点是58
x π=
28．（广东省潮州市2013届高三上学期期末教学质量检测数学（理）试题）已知函数
()sin cos f x x x =+,()f x '是()f x 的导函数.
(1)求函数()()'()g x f x f x =⋅的最小值及相应的x 值的集合; (2)若()2()f x f x '=,求tan()4
x π
+
的值.
【答案】解:(1)∵()sin cos f x x x =+,故'()cos sin f x x x =-, ∴()()'()g x f x f x =⋅(sin cos )(cos sin )x x x x =+-
22cos sin cos 2x x x =-=,
∴当22()x k k Z ππ=-+∈,即()2
x k k Z π
π=-+∈时,()g x 取得最小值1-,
相应的x 值的集合为{|,}2
x x k k Z π
π=-
+∈
评分说明:学生没有写成集合的形式的扣1分.
(2)由()2()f x f x '=,得sin cos 2cos 2sin x x x x +=-,
∴cos 3sin x x =,故1tan 3
x =
, ∴1
1tan tan
34tan()2141tan tan 143
x x x π
ππ+
++=
==-- 29．（广东省深圳市2013届高三第二次调研考试数学理试题（2013深圳二模））已知ABC ∆中,,,a b c 分别
为角,,A B C 的对边,1sin(2)2
2
C π
-=
,且222
a b c +<. (1)求角C 的大小;(2)求
a b
c
+. 【答案】
30．（2010年高考（广东理））已知函数12
)0),,(,0(),3sin()(π
πϕϕ<
<<+∞-∞∈>+=x x A x A x f 在时
取得最大值4.
(1)求)(x f 的最小正周期; (2)求)(x f 的解析式;
(3)若απαsin ,5
12
)1232(
求=+f . 【答案】解:(1)23
T π
=;
(2)由()f x 的最大值是4知,A=4,
,
(3)2212()4sin[3()]31231245
f πππαα+=++=, 即
3sin(2)25πα+=,3cos 25α=,23
12sin 5
α-=,
21
sin 5
α=,5sin 5α=±. 31．（广东省汕头市2013届高三3月教学质量测评数学（理）试题）△ABC 中内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,
向量(2sin ,3)2
A
m =u r ,
2(cos ,2cos 1)4
A n A =-r ,且m n u r r P .
(I)求角A 的大小; (II)若7a =
且△ABC 的面积为
33
2
,求b 十c 的值. 【答案】解:(1)Θ→
→
n m // )14
cos 2(2sin
2cos 32-=∴A
A A A A
A A A A sin 2
cos 2sin 2)14cos 2(2sin 2cos 32==-=∴
3tan =∴A 又),0(π∈A 3
π
=
∴A
(2) 32
33sin 21sin 21===
∆πbc A bc S ABC Θ 6=∴bc
由余弦定理得:3
cos
2222π
bc c b a -+=
2537)(2=+=+⇒bc c b
5=+∴c b
32．（广东省江门佛山两市2013届高三4月教学质量检测（佛山二模）数学理试题）在平面直角坐标系xOy
中,以Ox 为始边,角α的终边与单位圆O 的交点B 在第一象限, 已知(1,3)A -.
(1)若OA OB ⊥,求tan α的值; (2)若B 点横坐标为
4
5
,求AOB S ∆. 【答案】⑴解法1、
由题可知:(1,3)A -,(cos ,sin )B αα,
(1,3)OA =-u u u r ,(cos ,sin )OB αα=u u u r
OA OB ⊥,得0OA OB ⋅=u u u r u u u r
∴cos 3sin 0αα-+=,1tan 3
α=
解法2、
由题可知:(1,3)A -,(cos ,sin )B αα
3OA k =-, tan OB k α=
∵OA OB ⊥,∴1OA OB K K ⋅=-
3tan 1α-=-, 得1
tan 3
α=
解法3、
设) , (y x B ,(列关于x 、y 的方程组2分,解方程组求得x 、y 的值1分,求正切1分) ⑵解法1、 由⑴22(1)(3)10OA =-+=, 记AOx β∠=, (,)2π
βπ∈
∴3310sin 1010β=
=,110
cos 1010
β-==-(每式1分) ∵1OB = 4cos 5α=
,得2
3sin 1cos 5
αα=-=(列式计算各1分) 3104103310
sin sin()10510510
AOB βα∠=-=
⨯+⨯=
(列式计算各1分) ∴11310sin 1012210
AOB S AO BO AOB ∆=∠=⨯⨯⨯3
2=(列式计算各1分)
解法2、
由题意得:AO 的直线方程为30x y += 则2
3sin 1cos 5αα=-=
即43
(,)55
B (列式计算各1分) 则点B 到直线AO 的距离为433
3555
101010
d ⨯+
==(列式计算各1分)
又22(1)(3)10OA =-+=,∴1131031022102
AOB S AO d ∆=
⨯=⨯⨯=(每式1分) 解法3、
23sin 1cos 5αα=-=
即43
(,)55B (每式1分) 即:(1,3)OA =-u u u r ,43
(,)55OB =u u u r ,
22(1)(3)10OA =-+=,1OB =,43131055cos 10101OA OB AOB OA OB
-⨯+⨯⋅∠==
=⨯u u u r u u u r u u u r u u u r (模长、角的余弦各1分)
∴2
310
sin 1cos 10
AOB AOB ∠=-∠=
则113103sin 10122102
AOB S AO BO AOB ∆=
∠=⨯⨯⨯=(列式计算各1分) 解法4、根据坐标的几何意义求面积(求B 点的坐标2分,求三角形边长2分,求某个内角的余弦与正弦
各1分,面积表达式1分,结果1分) 33．（广东省梅州市2013届高三3月总复习质检数学（理）试题）已知△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为
a,b,c,满足21
3sin cos cos 2
C C C -=. (1)求角C
(2)若向量(1,sin )m A =u r 与(2,sin )n B =r
共线,且c=3,求a 、b 的值.
【答案】
34．（广东省湛江一中等“十校”2013届高三下学期联考数学（理）试题）设2
()6cos 3sin 2f x x x =-.
(1)求()f x 的最小正周期、最大值及()f x 取最大值时x 的集合;
(2)若锐角α满足()323f α=-,求4
tan 5
α的值. 【答案】(本小题满分l2分) (1)解:1cos 2()6322
x
f x x +=⨯
- 3cos 2323x x =+
31232sin 232x x ⎫=-+⎪⎪⎭
23cos 236x π⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭
故()f x 的最大值为233+;此时Z k k x k x ∈-
==+,12
,26
2π
πππ
最小正周期22
T π
=
=π (2)由()323f α=-得23cos 233236απ⎛⎫
+
+=- ⎪⎝⎭
, 故cos 216απ⎛⎫
+=- ⎪⎝⎭
, 又由02απ<<
得2666απππ<+<π+,故26απ+=π,解得512α=π 从而4tan tan 353
απ
==
35．（广东省珠海市2013届高三5月综合考试（二）数学（理）试题）已知函数
()sin()f x A x ωφ=+(00||)2
A π
ωφ>><
，，,()x R ∈的部分图像如图所示
(1)求()f x 的解析式; (2)()3()()4
g x f x f x π
=-
+且tan 3α=,求()g α.
【答案】解:(1)由图像知1A =,
()2362
T πππ
=--=,∴T π= ∴22T
π
ω== 又2()06
π
ϕ⋅-
+=得3
π
ϕ=
∴()sin(2)3
f x x π
=+
(2)∵()sin(2)3
f x x π
=+
∴()3)]sin(2)433
g x x x π
ππ
=-
+++
3sin(2)sin(2)63x x ππ
=-++
3(sin 2cos
cos 2sin )sin 2cos cos 2sin 6633
x x x x π
πππ
=-++ =x 2sin 2
∵tan 3α= ∴222
4sin cos 4tan 126
()2sin 2sin cos 1tan 105
g αααααααα==
===++ 36．（广东省海珠区2013届高三上学期综合测试（一）数学（理）试题）(本小题满分12分)
在锐角ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、,c 向量()()
3,sin ,cos ,1-==B n B m ,
且m n ⊥u r r
.
(1)求角B 的大小; (2)若ABC ∆面积为
332
,2
253b ac -=,求,a c 的值. 【答案】(本小题主要考查向量数量积、三角特殊值的运算,三角函数的基本关系,解三角形1等知识,考查化归与转化、方程的数学思想方法,以及运算求解能力) 解(1) : (1) =⋅n m ()()
3,sin cos ,1-⋅B B
()
3cos sin 1-⨯+⨯=B B
B B cos 3sin -= ,0m n m n ⊥∴⋅=u r r u r r
Q
∴0cos 3sin =-B B Q ABC ∆为锐角三角形,cos 0B ∴≠ ∴3tan =B ,
02
B π
<<Q
3
π
=
∴B
(2)由B ac c a b cos 2222-+=,得ac c a b -+=2
22,
代入2253b ac -=得ac c a ac +--=2
2253,得5=+c a
Q 113sin sin 223ABC S ac B ac ac π∆=
=⨯= 由题设
33342
ac =,得6ac =
联立5
6a c ac +=⎧⎨
=⎩
,
解得2,3a c =⎧⎨
=⎩或3
.2
a c =⎧⎨=⎩
37．（广东省汕头市第四中学2013届高三阶段性联合考试数学（理）试题）
在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为232a b c a b ==、、，，,1
cos 2
A =-. (1)求角
B 的大小;
(2)若2
()cos 2sin ()f x x c x B =++,求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间. 【答案】解:(Ⅰ)3
sin 2
A = 由
sin sin a b A B =
得1
sin 2
B = , 又A 为钝角,故B 为锐角6
B π
=
(没指出B 范围扣1分)
(Ⅱ) 2c =
2()cos 22sin ()6
f x x x π
=++
=cos 2cos(2)13
x x π
-+
+
13
cos 2cos 2sin 212x x x =-++
sin(2)16
x π
=++ 所以,所求函数的最小正周期为π 由222,2
6
2
k x k k Z π
π
π
ππ-≤+
≤+
∈
得,3
6
k x k k Z π
π
ππ-
≤≤+
∈
所以所求函数的单调递增区间为[,],36
k k k Z π
π
ππ-
+∈ (没写区间及指出K 为整数扣1分) 38．（广东省潮州市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）已知函数
x x x x x f cos sin 2)cos (sin 3)(22--=.
(Ⅰ)求()f x 的最小正周期;zxxk (Ⅱ)设[,]33
x ππ
∈-,求()f x 的值域和单调递增区间.
【
答
案
】
解:(Ⅰ)∵x x x x x f cos sin 2)sin (cos 3)(2
2---=x x 2sin 2cos 3--=)3
2sin(2π
+
-=x
)(x f ∴的最小正周期为π. zxxk
(Ⅱ)∵[,
]33x ππ
∈-
, 23
3
x π
π
π∴-
≤+
≤, 1)3
2sin(23≤+≤-
∴π
x .
)(x f ∴的值域为]3,2[- Θ当)3
2sin(π
+
=x y 递减时,()f x 递增.
ππ
π
≤+
≤∴
3
22
x ,即
3
12
π
π
≤
≤x .
故()f x 的递增区间为⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡3,12ππ
39．（广东省韶关市2013届高三4月第二次调研测试数学理试题）ABC ∆的三个内角C B A ，，对应的三
条边长分别是c b a ,,,且满足sin 3cos 0c A a C += (1)求C 的值; (2)若5
3
cos =
A , 35=c ,求
B sin 和b 的值. 【答案】解:(1)因为sin 3cos 0c A a
C +=由正弦定理得:
0sin sin 32sin sin 2=+C A R A C R
由0sin ≠A
所以3tan -=C ,),0(π∈C ;3
2π=∴C (2)由53cos =
A ,)2,0(π∈A 则5
4
cos 1sin 2=-=A A , C A C A C A C A B sin cos cos sin )sin()sin(sin +=+=--=π
104
332353)21(54-=
⨯+-⨯=
由
C c B b sin sin =,433sin sin -==C
B
c b
40．（广东省茂名市2013届高三4月第二次高考模拟数学理试题（WORD 版））如图,A 是单位圆与x 轴正半轴的
交点,点B,P 在单位圆上,且B(34
(,)55
-,AOB α∠=,AOP θ∠=(0θπ<<),OQ OA OP =+u u u r u u u r u u u r .设四
边形OAQP 的面积为S,
(1) 求cos()6
π
α-;求()f θ=OA OQ S ⋅+u u u r u u u r
的单调递增区间.
【答案】
41．（2009高考(广东理)）已知向量)2,(sin -=θa 与)cos ,1(θ=b 互相垂直，其中(0,
)2
π
θ∈．
（1）求θsin 和θcos 的值； （2）若10sin()2
π
θϕϕ-=
<<，求cos ϕ的值． 【答案】解：（1）∵与互相垂直，则0cos 2sin =-=⋅θθ，即θθcos 2sin =，代入
1cos sin 22=+θθ得55cos ,552sin ±=±
=θθ，又(0,)2
π
θ∈，∴55cos ,552sin ==θθ. （2）∵2
0π
ϕ<
<，2
0π
θ<
<，∴2
2
π
ϕθπ
<
-<-
，则10
10
3)(sin 1)cos(2
=
--=-ϕθϕθ，∴cos ϕ2
2)sin(sin )cos(cos )](cos[=
-+-=--=ϕθθϕθθϕθθ. 42．（广东省揭阳一中2013届高三第三次模拟考试数学（理）试题）已知函数
()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的一系列对应值如下表:
x
4
π-
6π4π2π34
π
y0
1
1
2
01-0
(1)求()
f x的解析式;
(2)若在ABC
∆中,2
AC=,3
BC=,
1
()
2
f A=-(A为锐角),求ABC
∆的面积.
【答案】解:(Ⅰ)由题中表格给出的信息可知,函数()
f x的周期为
3
44
T
ππ
π
=-=, 所以.
2
2
π
ω
π
==
注意到,sin(2())0
4
π
ϕ
⨯-+=也即2()
2
k k Z
π
ϕπ
=+∈,由0ϕπ
<<,所以
2
π
ϕ=
所以函数的解析式为()sin(2)
2
f x x
π
=+(或者()cos2
f x x
=)
(Ⅱ)∵
1
()cos2
2
f A A
==-,且A为锐角,∴
3
A
π
=
在ABC
∆中,由正弦定理得,
sin sin
BC AC
A B
=,∴
3
2
sin3
2
sin
3
AC A
B
BC
⨯
⋅
===, ∵BC AC
>,∴
3
B A
π
<=,∴
6
cos B=,
∴
3613323
sin sin()sin cos cos sin
23236
C A B A B A B
+
=+=+=⨯+⨯=,
43．（广东省肇庆市2013届高三4月第二次模拟数学（理）试题）在ABC
△中,内角A B C
，，所对边的边长分别是a b c
，，.
(1)若2
c=,
3
C
π
=且ABC
△3,求cos()
A B
+和a b
，的值;
(2)若B是钝角,且
312
cos,sin
513
A B
==,求sin C的值.
【答案】解:(1)∵A B Cπ
++=,
3
C
π
=, ∴A B C
π
+=-
∴
1
cos()cos()cos cos
32
A B C C
π
π
+=-=-=-=-
由余弦定理及已知条件得,224
a b ab
+-=,
又因为ABC △的面积等于3,所以
1
sin 32
ab C =,得4ab =. 联立方程组2244a b ab ab ⎧+-=⎨=⎩
，
，
解得2a =,2b =. (2) ∵B 是钝角,且312
cos ,sin 513
A B =
= ∴2
2
34sin 1cos 155A A ⎛⎫
=-=-= ⎪⎝⎭
2
2125cos 1sin 11313B B ⎛⎫
=--=--=- ⎪⎝⎭
∴[]sin sin ()sin()C A B A B π=-+=+
sin cos cos sin A B A B =+ 4531216
51351365
⎛⎫=⨯-+⨯= ⎪⎝⎭
44．（广东省增城市2013届高三毕业班调研测试数学（理）试题）已知函数)cos (sin sin 2)(x x x x f +=
(1)求()f x 的最小正周期及最大值; (2)用五点法画出)(x f 在一个周期上的图像. 【答案】(1)x x x x f cos sin 2sin 2)(2
+=
x x 2sin 2cos 1+-=
=)2cos 4sin 4cos 2(sin 21x x π
π-+
=)4
2sin(21π
-+x
)(x f ∴的最小正周期是π,最小值是12+
【D 】6．列表 画图
特征点 坐标系 45．（广东省广州市2013届高三3月毕业班综合测试试题（一）数学（理）试题）已知函数
()sin()4
f x A x π
ω=+
(其中x ∈R ,0A >,0ω>)的最大值为2,最小正周
期为8.
(1)求函数()f x 的解析式;
(2)若函数()f x 图象上的两点,P Q 的横坐标依次为2,4,O 为坐标原点,求△POQ 的
面积.
【答案】(本小题主要考查三角函数的图象与性质、诱导公式、余弦定理、正弦定理、两点间距离公式等知识,考查化归与转化的数学思想方法,以及运算求解能力)
(1)解:∵()f x 的最大值为2,且0A >, ∴2A = ∵()f x 的最小正周期为8, ∴28T π
ω
==,得4
π
ω=
∴()2sin(
)44
f x x π
π
=+ (2)解法
1:∵(2)2sin 2cos 244f πππ⎛⎫
=+==
⎪⎝⎭
(4)2sin 2sin 44f πππ⎛
⎫=+=-= ⎪⎝
⎭
∴(4,P Q .
∴OP PQ OQ ===
∴
2
2
2
222
cos
23
OP OQ PQ
POQ OP OQ
+-+-∠
=
=
=
∴POQ sin ∠
=
=
∴△POQ
的面积为1122
3
S OP
OQ POQ sin =
∠=⨯⨯⨯
=解法2:∵(2)
2sin 2cos 244f πππ⎛⎫
=+==
⎪⎝⎭
(4)2sin
2sin 44f
πππ⎛
⎫=+=-= ⎪⎝
⎭
∴(4,P Q . (苏元高考吧:) ∴(4,OP OQ ==
u u u
r u u u r
∴cos cos ,3OP OQ POQ OP OQ OP OQ
⋅∠=<>==
=u u u
r u u u r
u u u r u u u r u u u r
u u u r ∴POQ sin
∠=
=
3
∴△POQ
的面积为1122
3
S OP OQ POQ sin =
∠=⨯⨯⨯
=
解法3:∵(2)2sin 2cos 244f πππ⎛⎫
=+==
⎪⎝⎭
(4)2sin 2sin 44f πππ⎛
⎫=+=-= ⎪⎝
⎭
∴(4,P Q .
∴直线OP 的方程为2
y x =
,即0x -=
∴点Q 到直线OP 的距离为d ==
∵OP =
∴△POQ 的面积为1122
S OP d =
⋅=⨯⨯=46．（广东省珠海一中等六校2013届高三5月高考模拟考试数学（理）试题）已知函数
21
()2cos 2
f x x x x R =
--∈，. (1)求函数()f x 的最小值和最小正周期;
(2)设△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c 且c =()0f C =,若sin 2sin B A =,求,a b 的
值.
【答案】【解析】(1)1cos 21()sin 2sin(2)12226
x f x x x π
+=
--=--, 则()f x 的最小值是2-, 最小正周期是22
T π
π=
=; (2)()sin(2)106
f C C π
=-
-=,则sin(2)106C π
-
-=, 0C π<<,022C π<<,所以1126
6
6
C π
π
π
-
<-
<
, 所以26
2
C π
π
-
=
,3
C π
=
,
因为sin 2sin B A =,所以由正弦定理得2b a =,① 由余弦定理得2
2
2
2cos
3
c a b ab π
=+-,即222
3c a b ab =+-=②
由①②解得:1a =,2b = 47．（广东省惠州市2014届高三第一次调研考试数学（理）试题（word 版） ）已知函数
()2sin 22cos 2,f x x x x R =+∈.(1)求()f x 的最大值和最小正周期;(2) 若
3282f απ⎛⎫
-=
⎪⎝⎭
,α是第二象限的角,求sin 2α. 【答案】解(1)∵22()2sin 2cos 22cos sin 2sin cos 244f x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫
=+=+
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
2sin 24x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭
∴()f x 的最大值为2, ,最小正周期为22
T π
π== (2)由(1)知,()2sin 24f x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
所以32sin 28f απα⎛⎫
-==
⎪⎝⎭
,即3sin 4α= 又α是第二象限的角,所以2
2
313cos 1sin 14αα⎛⎫=--=--=- ⎪ ⎪⎝⎭
所以31339sin 22sin cos 2ααα⎛⎫==⨯⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭
48．（广东省湛江市2013届高三4月高考测试（二）数学理试题（WORD 版））如图,已知平面上直线l 1//l 2,A 、
B 分别是l 1、l 2上的动点,
C 是l 1,l 2之间一定点,C 到l 1的距离CM = 1, C 到l 2的距离CN=3,ΔABC 内角A 、B 、C 所对 边分别为a 、b 、c,a > b ,且b.cosB = a.cosA (1) 判断三角形ΔABC 的形状; (2)记BC
AC f ACM 1
1)(,+=
=∠θθ,求f(θ)的最大值.
【答案】
49．（广东省惠州市2013届高三第三次（1月）调研考试数学（理）试题）(本小题满分12分)已知函数
()sin cos cos sin f x x x ϕϕ=+(其中x ∈R ,0ϕπ<<),且函数24y f x π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭的图像关于直线
6
x π=
对称.
(1)求ϕ的值; (2)若22
()34
f πα-
=,求sin 2α的值. 【答案】(1)解:∵()()sin f x x ϕ=+, ∴函数()f x 的最小正周期为2π ∵函数2sin 244y f x x ππϕ⎛⎫
⎛⎫
=+
=++ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
, 又sin y x =的图像的对称轴为2
x k π
π=+(k ∈Z ),
令24
2
x k π
π
ϕπ++=+
,
将6
x π
=
代入,得12
k π
ϕπ=-
(k ∈Z ).
∵0ϕπ<<,∴1112
π
ϕ=
(2)解:222112()sin()sin()(sin cos )3431242
f ππππααααα-
==-+=+=+, 113sin cos 1sin 2sin 2244
αααα+=
⇒+=⇒=- 50．（广东省惠州市2013届高三一调(理数)）已知函数()sin()(0,0)f x x ωφωφπ=+>≤≤为偶函数,其
图象上相邻的两个最高点之间的距离为2π. (1)求()f x 的解析式 ; (2)若
1(,),()32
3
3
f πππαα∈-+=,求 5sin(2)3
π
α+ 的值.
【答案】解:(1)Θ图象上相邻的两个最高点之间的距离为π2,
π2=∴T , 则12==
T
π
ω.)sin()(ϕ+=∴x x f )(x f Θ是偶函数, )(2
Z k k ∈+
=∴π
πϕ, 又πϕ≤≤0,2
π
ϕ=
∴.
则 x x f cos )(= (2)由已知得)2,3(,31)3
cos(ππαπ
α-∈=
+
Θ ,)6
5,0(3π
πα∈+∴. 则 3
2
2)3
sin(=
+
π
α ∴9
24)3cos()3sin(2)322sin()352sin(-=++-=+-=+
παπαπαπα 51．（广东省云浮市2012-2013新兴县第一中学高三阶段检测试题数学（三）(理) ）已知,,a b c 分别为ABC
∆三个内角,,A B C 的对边
,cos sin 0a C C b c +--= (1).求A ;
(2).若2a =,ABC ∆的面积为3;求,b c . 【答案】(1)由正弦定理得
:
cos sin 0sin cos sin sin sin a C C b c A C A C B C
--=⇔=+
sin cos sin sin()sin 1
cos 1sin(30)2
303060A C A C a C C A A A A A ︒︒︒︒
⇔+=++⇔-=⇔-=⇔-=⇔=
(2)1
sin 42
S bc A bc =
=⇔= 2222cos 4a b c bc A b c =+-⇔+=。