P146-概率统计-4.3-5.1

Fmax (z) P{max( X ,Y ) z} P{X z,Y z}
f (x, y)dxdy F (z, z) x z, yz
特别地 X ,Y 相互独立时
Fmin (z) P{min( X ,Y ) z} 1 P{min( X ,Y ) z}
1 P{X z,Y z} 1 f (x, y)dxdy xz, yz
FZ (z) 0 25
当0 z < 1 时，
z
zx
FZ (z) 0 dx0 1dy
z
0(z x)dx
z2 2
fZ (z) z
y 1
•z •z
1 x
26
当1 z < 2 时，
1
zx
FZ
(
z)
(
z
1)
dx
z1
0
1dy
1
z
1
(z z1
x)dx
2z z2 1 2
y 1 •z
z-1 1•zx
解法三 令 Z X Y U Y
1 1
| J ||
| 1
01
X Z U
Y
U
37
fZU (z,u) f XY (z u,u) 1
3(z
0,
u),
0 z u 1,0 u z u 其他
最重要一 步
3(
z 0,
u),
2u z u 1,0 u 1 其他
z 2
1
1u
38
解
exi ,
f
Xi
(
xi
)
Hale Waihona Puke 0,xi 0 其它
1 exi ,
FX
i
(
xi
)
0,
xi 0 其它
15
(1) X min{X1, X 2,, X n}
n
FX (x) 1 (1 FXi (x))
i1
ex , x 0,
1
FX i
(x)
1,
x0
nenx , x 0
fX (x)
0,
x0
16
求：Z 的概率分布和密度函数 当( X ,Y )为连续型随机变量时， FZ (z) P(Z z) P(g( X ,Y ) z)
f (x, y)dxdy
Dz
其中 D : {( x, y) | g ( x, y) z} z
7
极值分布：极大值，极小值的分布 重点：相互独立的随机变量的极值分布 对于离散型随机变量的极值分布可直接计算
(2) X max{X1, X 2,, X n}
n
FX (x) FXi (x)
i1
(1 ex )n ,
0,
x 0, x0
nex (1 ex )n1, x 0
fX (x)
0,
x0
17
(3) FX (x) P( X x)
1
P( X 0,
x),
x 0, x0
P( X x) PX1, X 2,, X n中至少有k个大于x
35
证 FZU (z,u) P(Z z,U u) P(g(X ,Y ) z,r(X ,Y ) u)
f XY (x, y)dxdy
g ( x,y)z r ( x, y)u
f XY (h(z1,u1), s(z1,u1)) | J (z1,u1) |dz1du1
z1 z u1u
zu
解法一（图形定限法）
显然X ,Y 相互独立,且
f
X
(
x)
1, 0,
0 x 1 其他
fY
(
y)
1, 0,
0 y 1 其他
23
fZ (z) f X (x) fY (z x)dx
1
0 fY (z x)dx
fY
(
z
x)
1, 0,
z 1 x z 其他
0,
1
0 fY (z x)dx
z
0 1dx,
由已知函数 g ( x) 可求出随机变量 Y 的所有 可能取值，则 Y 的概率分布为
P(Y yi )
pk , i 1,2,
g ( xk ) yi
2
连续性随机变量函数的分布
已知随机变量 X 的密度函数 f (x) (或分布函数) 求 Y = g( X ) 的密度函数或分布函数
定理 y g(x)在区间不相互 重叠的
2 2
;
)
则
X
Y
~
N (1
2
,
2 1
21 2
2 2
)
32
推广：已知 ( X ,Y )的联合密度 f (x,y) 求 Z = aX +bY + c 的密度函数, 其中 a,b,c为常数，a , b 0
f
Z
(
z)
|
1 b
|
f
x,
z
ax b
c
dx
z (a.e.)
f
Z
(
z)
|
1 a
|
其他
31
正态随机变量的情形（重要）
若X
,Y
相互独立,
X
~
N
(1
,
2 1
),Y
~
N
(
2
,
2 2
)
则
X
Y
~
N (1
2
,
2 1
2 2
)
若 X1, X 2 ,, X n 相互独立,
Xi
~
N
(
i
,
2 i
),
i
1,2,,n
n
n
n
则
Xi
~
N
(
i
,
2 i
)
i1
i1
i1
若(X ,Y )
~
N
(1
,
2 1
;
2 ,
z 2
fZ (z) fZU (z,u)du
u
z 23(z u)du 9 z2,
0
8
z z
2 1
3(
z
u)du
3 2
1
z2 4
,
0,
0 z 1 1 z 2 其他
39
例 已知 ( X ,Y )的联合密度 f (x,y) 求 Z = aX +bY + c 的密度函数, 其中 a,b,c为常数，a , b 0
f XY (h(z1,u1), s(z1,u1)) | J (z1,u1) | du1dz1
fZU (z,u) f XY (h(z,u), s(z,u)) | J (z,u) |
36
例 已知 ( X ,Y )的联合密度函数为
f
(
x,
y)
3x,
0,
0 x 1,0 y x 其他
Z = X + Y ,求 f Z (z)
（1）串联； （2）并联； （3）L 为 n 个取 k 个的表决系统 (即 n 个元件
中有 k 个或 k 个以上的元件正常工作时， 系统 L 才正常工作)
14
如果 n 个元件的寿命分别为 X1, X 2,, X n 且
Xi ~ E(), i 1,2,,n
求在以上 3 种组成方式下，系统 L 的寿命 X 的密度函数.
1[F(,) F(z,) F(, z) F(z, z)] 1[1 FX (z) FY (z) F (z, z)] FX (z) FY (z) F (z, z)
11
特别地 X ,Y 相互独立时
12
推广至相互独立的 n 个随机变量的情形： 则
13
例 设系统 L 由相互独立的 n 个元件组成，连 接方式为
8
例 X,Y 相互独立, X ,Y ~ 参数为0.5的0-1分布
求M = max{X ,Y }的概率分布
解
pij X 1
0
Y
1
0.25 0.25
0
0.25 0.25
max{X ,Y }
1
0
P
0.75 0.25
9
对于连续型随机变量，设 X ,Y, X ~ FX (x), Y ~FY (y), M = max{X ,Y }, N = min{X ,Y }, 求 M ,N 的分布函数.
fZ (z) 2 z
27
y 当2 z 时，
2
FZ (z) 1 1
fZ (z) 0
0,
f
Z
(
z
)
z,
2 z,
z 0或z 2 0 z 1 1 z 2
1
2 x
28
对于 X ,Y 不相互独立的情形可同样的用直接求
密度函数与通过分布函数求密度函数两种方法
求和的分布
例 已知 ( X ,Y ) 的联合密度函数为
dy
zy
f (x, y)dx
•z •z
z
21
fZ (z) f (x, z x)dx z (1)
或
fZ (z) f (z y, y)dy
z
(2)
特别地，若X ,Y 相互独立，则
fZ (z)
fX
(x)
fY
(z
记作
x)dx
fX
(z)
fY
(z)
z (3)
n j1
jk
n Cnjjejx 1 ex n j
jk
n1
Cnj1( j 1)e ( j1)x
1 ex
n j1
jk
前n-1项
19
n Cnjjejx 1 ex n j
jk
n Cnj jejx 1 ex n j
jk 1
改变下标 j+1 mj
Cnk kekx (1 ex )nk
区间I1, I2 上严格单调，其反函数为 h1( y), h2 ( y) , 而且，h1( y), h2 ( y) 均 为连续函数，则Y g( X )是一个连续 型随机变量，其概率为
f [h1( y)] | h1( y) | f [h2 ( y)] | h2 ( y) |
(
y)
yI*
0
其它
3
f
z
by a
c
,
y
dy
z (a.e.)
33
另一种计算 f Z (z) 的方法: 先构造一个新的二维随机变量(Z ,U ), 它们是
( X , Y ) 的函数，而Z = aX +bY + c 求( Z , U ) 的联合密度函数 f ( z, u ) 求边缘密度 f Z (z)
34
求(Z, U )的联合密度函数 f ZU(z, u) 的方法：
已知 ( X ,Y )的联合密度 f XY (x,y)
设
z g(x, y) u r(x, y)
存在唯一的反函数：
x h(z,u)
y
s(
z,
u)
h h
h , s 有连续的偏导数，记 J (z,u)
z s
u s
z u
则 fUZ (z,u) f XY (h(z,u), s(z,u)) | J |
1
1dx, z1
z 2
z=x 1
1x z 0或z 2, 0 z 1,
1 z 2,
24
0,
f
Z
(
z
)
z,
2 z,
z 0或z 2 0 z 1 1 z 2
解法二 从分布函数出发
y
1 FZ (z) P( X Y z)
f (x, y)dxdy
1
x yz
x
当z < 0 时，
第四章 随机变量的函数的分布
内容复习
问题：已知随机变量 X 的概率特性 —— 分布 函数 或密度函数（分布律） Y=g(X) 求 随机因变量Y 的概率特性
方法：将与 Y 有关的事件转化成 X 的事件
1
离散型随机变量函数的分布
设随机变量 X 的分布律为 P( X xk ) pk , k 1,2,
3x, 0 x 1, 0 y x
f
(x,
y)
0,
其他
Z = X + Y ,求 f Z (z)
最重要
解法一 （图形定限法）
一步
由公式（1） fZ (z) f (x, z x)dx
f
(
x,
z
x)
3x,
0,
0 x 1, x z 2x 其他
29
当z < 0 或z > 2 , f Z (z) = 0
记作
或 fZ (z) f X (z y) fY ( y)dy f X (z) fY (z)
z (4)
称之为函数 f X ( z) 与 f Y ( z)的卷积
22
例 已知( X ,Y ) 的联合概率密度为
1, 0 x 1,0 y 1
f (x, y) 0,
其他
Z = X + Y ,求 f Z (z)
z z
2
z
当 0 < z < 1,
fZ (z)
z 3xdx 9 z2
z/2
8
1 z
z
当 1 < z < 2,
fZ (z)
1 3xdx 3 (1 z2 )
z/2
24
x x=1
30
f
Z
(
z)
3 2
(1
9 8
z2 z2 4
, ),
0,
这比用分布函数做简便
0 z 1 1 z 2
一般地 y = g(x) y
x1
x2
x3 xn x
fY ( y)
f X (x1) dy dx xx1
f X (x2 ) dy dx xx2
f X (xn ) dy dx xxn
4
二维随机变量函数的分布 问题：已知二维随机变量( X ,Y )的概率特性
g(x,y)为已知的二元函数，Z = g( X ,Y ) 求：Z 的概率特性 方法：转化为( X ,Y )的事件
f
X
(
x)
Cnk
kekx
(1 0,
ex
)nk
,
x0 x0
20
和的分布：Z = X + Y
设( X ,Y )为连续型随机变量， 联合密度函数为 f (x,y), 则
FZ (z) P(Z z) P(X Y z)
f (x, y)dxdy
x yz
zx
dx
f (x, y)dy
或
5
离散型二维随机变量的函数
当( X ,Y )为离散型随机变量时，Z 也为离 散型，
Z zk g(xik , y jk )
P(Z zk )
P( X xik ,Y y jk )
g ( xik , y jk )zk
k 1,2,
6
连续型二维随机变量的函数
问题：已知二维连续随机变量( X ,Y )的概率特性 g(x,y)为已知的二元函数，Z = g( X ,Y )
n
Cnj P(X x)j P(X x) n j jk
FX
(x)
1
n
Cnj
jk
ex
j 1 ex
n j ,
0,
x0 x0
18
d
dx
n jk
Cnj
ex
j
1
ex
n j