初中数学人教版八年级上册数学活动

F H
B
D
E G C
结论 PD=PE
PD=PE PD⊥OA于D PE⊥OB于E
OP平分∠AOB
思考
如图，要在S区建一个
贸易市场，使它到铁路和公路距离相等，
离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市
场应建在何处？（比例尺为1︰20000）
解：作夹角的角 平分线OC，
截取OD=2.5cm , D即为所求。
SD
C
课堂练习 如图，△ABC中，D是BC
G
FG⊥AE， FM⊥BC，
∴FG=FM.
又∵点F在∠CBD平分线上， FH⊥AD， FM⊥BC. ∴FM=FH.
M H
∴FG=FH，
∵FG ⊥AE,FH ⊥AD
∴点F在∠DAE的平分线上.
1、角平分线的判定： 在一个角的内部，且到角的两边距 离相等的点，在这个角的平分线上。
2、三角形角平分线的交点性质： 三角形的三条角平分线交于一点。
角平分线的性质：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
几何语言： ∵ OC平分∠AOB， 且PD⊥OA， PE⊥OB
∴ PD= PE
A D
P到OA的距离
C
角平分线上的点
P
P到OB的距离
O
E B 不必再证全等
反过来，到一个角的两边的距离相等 的点是否一定在这个角的平分线上呢？
已知：如图,PD⊥OA，PE⊥OB， 点D、E为垂足，PD＝PE． 求证：点P在∠AOB的平分线上
P
已知：如图,PD⊥OA，PE⊥OB，
点D、E为垂足，PD＝PE．
求证：点P在∠AOB的平分线上．
证明: 经过点P作射线OC
∵ PD⊥OA，PE⊥OB
C
∴ ∠PDO＝∠PEO＝90° 在Rt△PDO和Rt△PEO中
P
PO＝PO PD=PE
∴ Rt△PDO≌Rt△PEO（HL） ∴ ∠ POD＝∠POE
∴点P在∠AOB的平分线上
角平分线性质的逆定理 （角平分线的判定）
角的内部到角的两边的距离
相等的点在角的平分线上。
用数学语言表示为：
∵ PD⊥OA，PE⊥OB，
PD＝PE．
C
∴OP平分∠AOB．
P
角的平分线的性质 角的平分线的判定
图形
C
P
C P
OP平分∠AOB
已知条件 PD⊥OA于DFra bibliotekPE⊥OB于E
3、角的平分线的辅助线作法： 见角平分线就作两边垂线段。
课堂练习
如图，BE⊥AC于E， CF⊥AB于F， BE、CF相交于D， BD=CD 。 B 求证： AD平分∠BAC
F
A
D
E
C
课堂练习
如图，O是三条角平分线的交点，
OD⊥BC于D，OD=3， △ABC的
周长为15，求S△ABC
A
N
M
O
B
C
GD
M C D
F
A
EB
N
已知：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P. 求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.
证明：过点P作PD 、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA， 垂足为D、E、F
∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上
∴PD=PE
A
（在角平分线上的点到角的两边的距离相等）
同理 PE=PF.
∴ PD=PE=PF.
ND
M
即点P到边AB、BC、 CA的距离相等
P
F
B
C
E
怎样找三角形内到三角形三边距离相等的点？
课堂练习 如图，已知△ABC的外角
∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F， 求证：点F在∠DAE的平分线上．
证明：过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD
于H，FM⊥BC于M，
∵点F在∠BCE的平分线上，
课堂练习 如图，在四边形ABCD中，
∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平 分∠ ADC。 求证：AM平分∠DAB
D
C
M
A
B
课堂练习
如图, D, E, F分别是△ABC三边上 的点, CE=BF, △DCE和△DBF的面积 相等, DH⊥AB于H, DG⊥AC于G.
求证: AD平分∠BAC. A
的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别
是E、F，且BE＝CF。
A
求证：AD是△ABC的角平分线
E
F
B
C D
课堂练习 已知：如图,在△ABC中，
BD＝CD, ∠1= ∠2.
求证：AD平分∠BAC
A
E
F
1 D2
B
C
课堂练习
已知:BD⊥AM于点D,CE⊥AN于点E,BD,CE交 点F,CF=BF,求证:点F在∠A的平分线上.