钢筋混凝土矩形梁经济配筋率近似公式推导

钢筋混凝土矩形梁经济配筋率近似公式推导
张浩
【摘要】以梁的有效高度h0为变量建立梁的造价函数,通过求解微分方程,推导了钢筋混凝土矩形截面梁的经济配筋率近似公式,公式表明,梁的经济配筋率只与材料强度有关,与梁的截面尺寸无关。

%Variable to establish the cost function of the beam, the beam effective height h0 derived by solving the differential equation, reinforced concrete rectangular beam reinforcement ratio approximate formula. The formulas show that the beam reinforcement ratio only with the strength of the material related to the beam section size.【期刊名称】《山西建筑》
【年(卷),期】2012(038)023
【总页数】2页(P24-25)
【关键词】钢筋混凝土梁;经济配筋率;优化设计
【作者】张浩
【作者单位】香港华艺设计顾问（深圳）有限公司,广东深圳518031
【正文语种】中文
【中图分类】TU375
0 引言
随着房地产行业专业化程度不断提高，业主对于结构的含钢量方面的控制越来越重
视。

钢筋混凝土结构是目前应用最为普遍的结构体系之一。

其中，作为主要构件的梁含钢量的控制起到控制性因素。

含钢量是通过配筋率指标控制的，以往的设计工作中合理的配筋率主要通过工程经验来初步估算，然后通过反复试算后方能确定经济的配筋率，其工作量较大。

本文拟通过求解微分方程的思路推导钢筋混凝土矩形截面单筋梁的经济配筋率的近似公式，以此为基础，给出控制作为钢筋混凝土结构重要构件之一的梁经济配筋率的控制性因素，对实际工程在方案前期的选择具有指导性意义。

1 推导过程
某钢筋混凝土矩形截面梁，宽b，mm，高h，mm。

所用混凝土轴心抗压强度设计值fc，N/mm2，梁纵向受力钢筋抗拉强度设计值fy，N/mm2。

假定钢筋和混凝土价格分别为 Ps，元/t，Pc，元/m3，钢筋混凝土梁的经济配筋率为ρe。

根据单筋矩形截面混凝土梁正截面受弯承载力计算公式[1］:
其中，M为梁截面弯矩设计值;h0为计算高度，h0=h－a，a为受力钢筋形心到梁边距离，单排钢筋取38 mm，双排钢筋取63 mm;αs为梁截面弹塑性抵抗矩系数;γs为内力臂系数。

考虑到普通梁的混凝土强度等级一般在C50以内，故上述求解公式中不考虑等效矩形应力图系数α。

假定梁为适筋梁，将式(1)代入式(2)，得:
令:
将式(4)，式(5)代入式(3)，则有:
梁的造价P主要由受力纵筋、混凝土Pc及箍筋、模板等造价P0构成，即:
其中，ρs为钢筋密度，一般取7．85 t/m3;P0项数值的变异性较小，可近似认为常量。

由梁正截面受弯承载力计算公式可知，影响截面承载能力和纵筋面积的主要因素是梁高。

因此，本文推导梁经济配筋率公式以梁计算高度h0为变量，研究其对单位长度钢筋混凝土矩形截面梁造价的影响。

即当其余条件不变时，求h0为何值时P值最小。

因此，问题转化为求解如下微分方程:
将式(6)，式(7)代入式(8)，有:
由于φ为h0的函数，根据式(5)，有:
将式(9)展开，并将式(10)代入，可得:
根据式(5)，有:
将式(12)代入式(11)，并约分，可得:
对式(13)等号左边表达式对h0求导，即:
式(14)等号右侧恒大于零，即当式(13)成立时，P为极小值。

由式(13)可得:
将式(6)，式(12)，式(15)依次代入配筋率公式:
则得经济配筋率ρe的近似公式:
由式(16)可知，经济配筋率ρe仅与材料的强度和价格因素有关，与梁截面的尺寸和所承担的弯矩无关。

2 近似公式适用范围
由于γs=1－0．5ξ，ξ为梁截面的相对受压区高度，联合式(4)，式(5)可得:
当φ=φe时:
只有当ξe＜ξb时，梁不超筋[1］。

其中ξb为相对界限受压区高度。

由式(18)可得:
其中即钢筋与混凝土的价格比。

由于最小配筋率考虑的是梁全截面面积，故式(20)乘以系数取其最不利值为0．8。

同时，将式(16)代入，得:
同时，经济配筋率应该不小于受弯构件最小配筋率ρmin。

即:
其中即钢筋与混凝土强度比;ρmin=MAX
梁纵向受力钢筋应采用HRB400，HRB500，HRBF400，HRBF500等规格钢筋[2］，其中后三种目前应用较少，故本文仅就HRB400规格的钢筋予以讨论。

当
混凝土强度等级范围在C25～C50之间时，经计算，式(19)右侧最大值为3．6，
式(21)右侧最小值为41．2。

即当3．6 ＜Rp≤41．2 时，式(19)，式(21)成立，
梁为适筋梁。

根据相关资料，市场上钢筋与混凝土的价格比Rp一般位于10～18
之间。

因此，满足经济配筋率的梁为适筋梁。

3 快速查询表格
根据最小配筋率近似公式(16)，本文制定了经济配筋率ρe的快速查询表格供设计人员参考，见表1。

表1 经济配筋率ρe快速查询表格钢筋价格元/t混凝土价格元/m3混凝土强度等级C25 C30 C35 C40 C45 C50 250 0．642 0．663 0．680 0．692 0．701 0．708 300 0．741 0．770 0．792 0．810 0．822 0．832 4 000 350 0．834 0．870 0．899 0．921 0．937 0．950 400 0．920 0．965 0．999 1．027 1．046 1．063 450 1．000 1．053 1．095 1．128 1．152 1．171 250 0．583 0．601 0．614 0．624 0．631 0．637 300 0．676 0．700 0．718 0．732 0．742 0．750 4 500 350 0．762 0．793 0．816 0．835 0．848 0．858 400 0．843 0．881 0．910 0．933 0．949 0．962 450 0．920 0．965 0．999 1．027 1．046 1．063 250 0．534 0．549 0．560 0．569 0．575 0．579 300 0．621 0．641 0．656 0．668 0．676 0．683 5 000 350 0．702 0．728 0．748 0．763 0．774 0．783 400 0．779 0．811 0．836 0．855 0．868 0．879 450 0．851 0．890 0．919 0．943 0．959 0．973 250 0．493 0．505 0．515 0．522 0．527 0．531 300 0．574 0．591 0．604 0．614 0．621 0．627 5 500 350 0．651 0．673 0．690 0．703 0．712 0．720 400 0．724 0．751 0．772 0．789 0．800 0．810 450 0．792 0．826 0．851 0．871 0．885 0．897注:钢筋规格:HRB400;中间值采用线性插值法确定
4 结语
本文推导的经济配筋率近似公式分析表明:梁的经济配筋率仅与材料的强度和价格有关，与梁的截面尺寸和所受弯矩值无关;满足经济配筋率的梁通常为适筋梁。

根
据经济配筋率近似公式或快速查询表格，设计人员可以迅速计算出符合工程实际的经济配筋率，从而达到优化设计的目的。

参考文献:
【相关文献】
[1] 叶列平．混凝土结构[M］．北京:清华大学出版社，2005．
[2] GB 50010-2010，混凝土结构设计规范[S］．。