重积分变量代换公式证明
数学分析 重积分的变量替换变量替换公式

数学分析(二):多元微积分梅加强副教授南京大学数学系内容提要:内容提要:重积分的变量替换公式;内容提要:重积分的变量替换公式; 极坐标变换;内容提要:重积分的变量替换公式; 极坐标变换;柱面坐标变换;内容提要:重积分的变量替换公式; 极坐标变换;柱面坐标变换;球面坐标变换.现在我们考虑比仿射变换更一般的映射,看看可求体积的集合在这些映射下如何变化.现在我们考虑比仿射变换更一般的映射,看看可求体积的集合在这些映射下如何变化.设D⊂R n为开集,A可求体积且¯A⊂D,ϕ:D→R n为C1映射且Jϕ处处非退化.现在我们考虑比仿射变换更一般的映射,看看可求体积的集合在这些映射下如何变化.设D⊂R n为开集,A可求体积且¯A⊂D,ϕ:D→R n为C1映射且Jϕ处处非退化.问题:ϕ(A)是否可求体积,如果是的话其体积等于多少?现在我们考虑比仿射变换更一般的映射,看看可求体积的集合在这些映射下如何变化.设D⊂R n为开集,A可求体积且¯A⊂D,ϕ:D→R n为C1映射且Jϕ处处非退化.问题:ϕ(A)是否可求体积,如果是的话其体积等于多少?首先,根据反函数定理我们知道ϕ将A的内点映为ϕ(A)的内点,这说明∂ϕ(A)⊂ϕ(∂A).一般的变量替换现在我们考虑比仿射变换更一般的映射,看看可求体积的集合在这些映射下如何变化.设D⊂R n为开集,A可求体积且¯A⊂D,ϕ:D→R n为C1映射且Jϕ处处非退化.问题:ϕ(A)是否可求体积,如果是的话其体积等于多少?首先,根据反函数定理我们知道ϕ将A的内点映为ϕ(A)的内点,这说明∂ϕ(A)⊂ϕ(∂A).断言:ϕ(∂A)为零测集,从而∂ϕ(A)亦然,于是ϕ(A)可求体积.事实上,取δ>0,使得K={x|d(x,A)≤δ}⊂D.记C=max K Jϕ .事实上,取δ>0,使得K={x|d(x,A)≤δ}⊂D.记C=max K Jϕ .根据覆盖引理的证明,任给ε>0,存在有限个小球B i⊂K,使得∂A⊂iB i,且iν(B i)<ε.事实上,取δ>0,使得K={x|d(x,A)≤δ}⊂D.记C=max K Jϕ .根据覆盖引理的证明,任给ε>0,存在有限个小球B i⊂K,使得∂A⊂iB i,且iν(B i)<ε.记B i=B ri (x i),由拟微分中值定理可知ϕ(B i)⊂B Cri(ϕ(x i)),这说明ϕ(∂A)⊂iB Cri(ϕ(x i)),且这些球的体积之和小于C nε.于是ϕ(∂A)为零测集.事实上,取δ>0,使得K={x|d(x,A)≤δ}⊂D.记C=max K Jϕ .根据覆盖引理的证明,任给ε>0,存在有限个小球B i⊂K,使得∂A⊂iB i,且iν(B i)<ε.记B i=B ri (x i),由拟微分中值定理可知ϕ(B i)⊂B Cri(ϕ(x i)),这说明ϕ(∂A)⊂iB Cri(ϕ(x i)),且这些球的体积之和小于C nε.于是ϕ(∂A)为零测集.从上述证明还可以得出,若 ψ(x)−ψ(y) ≤ρ x−y 且ψ将可求体积集B映为可求体积集ψ(B),则ν(ψ(B))≤ρnν(B).事实上,取δ>0,使得K={x|d(x,A)≤δ}⊂D.记C=max K Jϕ .根据覆盖引理的证明,任给ε>0,存在有限个小球B i⊂K,使得∂A⊂iB i,且iν(B i)<ε.记B i=B ri (x i),由拟微分中值定理可知ϕ(B i)⊂B Cri(ϕ(x i)),这说明ϕ(∂A)⊂iB Cri(ϕ(x i)),且这些球的体积之和小于C nε.于是ϕ(∂A)为零测集.从上述证明还可以得出,若 ψ(x)−ψ(y) ≤ρ x−y 且ψ将可求体积集B映为可求体积集ψ(B),则ν(ψ(B))≤ρnν(B).为了研究ϕ(A)的体积,我们将ϕ线性化并做误差估计.引理1沿用以上记号,则任给ε>0,存在0<η<δ,使得当x∈A,d(x ,x)≤η时ϕ(x )−ϕ(x)−Jϕ(x)(x −x) ≤ε x −x .引理1沿用以上记号,则任给ε>0,存在0<η<δ,使得当x∈A,d(x ,x)≤η时ϕ(x )−ϕ(x)−Jϕ(x)(x −x) ≤ε x −x .证明.在Bδ(x)中考虑函数F(y)=ϕ(y)−ϕ(x)−Jϕ(x)(y−x),则F(x)=0,JF(y)=Jϕ(y)−Jϕ(x).根据拟微分中值定理,存在ξ=x+θ(x −x)(0<θ<1),使得F(x ) = F(x )−F(x) ≤ Jϕ(ξ)−Jϕ(x) x −x ,由Jϕ在K上的一致连续性即可完成证明.引理2沿用以上记号,则当B⊂A可求体积且d(B)<η时ν(ϕ(B))≤[|det Jϕ(x)|+O(ε)]ν(B),x∈B.引理2沿用以上记号,则当B⊂A可求体积且d(B)<η时ν(ϕ(B))≤[|det Jϕ(x)|+O(ε)]ν(B),x∈B.证明.考虑仿射变换L(y)=[Jϕ(x)]−1(y−ϕ(x))+x,则L◦ϕ(x )=[Jϕ(x)]−1F(x )+x ,于是当x ,x ∈Bη(x)时L◦ϕ(x )−L◦ϕ(x ) ≤[1+ [Jϕ(x)]−1 ε] x −x .由B⊂Bη(x)可得ν(L◦ϕ(B))≤[1+ [Jϕ(x)]−1 ε]nν(B).再由仿射变化的体积变化公式即可完成证明.(重积分的变量替换)设ϕ:D→R n为C1单射,且Jϕ处处非退化.设A可求体积,¯A⊂D,f在ϕ(A)中可积,则ϕ(A)f=Af◦ϕ|det Jϕ|.(1)特别地,ν(ϕ(A))=A|det Jϕ|.(重积分的变量替换)设ϕ:D→R n为C1单射,且Jϕ处处非退化.设A可求体积,¯A⊂D,f在ϕ(A)中可积,则ϕ(A)f=Af◦ϕ|det Jϕ|.(1)特别地,ν(ϕ(A))=A|det Jϕ|.证明.不妨设A为矩形,且f非负.任给A的分割π={A ij},我们有ϕ(A)f=ijϕ(A ij)f≤ij[supϕ(A ij)f]ν(ϕ(A ij))证明(续).当分割充分细时,由之前的引理可得ϕ(A)f≤ijsupA ij[f◦ϕ]|det Jϕ(ξij)|ν(A ij)+O(ε),由Riemann和与积分之间的关系可得ϕ(A)f≤Af◦ϕ|det Jϕ|+O(ε),令ε→0可得ϕ(A)f≤Af◦ϕ|det Jϕ|.根据反函数定理,ϕ:D→ϕ(D)可逆.如果对ϕ−1重复上述论证就可得到另一边的不等式.例1设0<p <q,0<a <b.抛物线y 2=px,y 2=qx 以及双曲线xy =a,xy =b 围成的区域记为A.计算积分I = A xy d x d y.例1设0<p <q,0<a <b.抛物线y 2=px,y 2=qx 以及双曲线xy =a,xy =b 围成的区域记为A.计算积分I = A xy d x d y.解.积分区域是一个曲边的四边形,为了简化,我们令y 2/x =u ,xy =v ,则(u ,v )关于(x ,y )的Jacobi 行列式为∂(u ,v )∂(x ,y )= −y 2/x 22y /x y x =−3y 2/x =−3u ,因此(x ,y )关于(u ,v )的Jacobi 行列式为−(3u )−1.在这个变换下,积分区域变为矩形[p ,q ]×[a ,b ],因此I =q p d u b a v −(3u )−1 d v =16(b 2−a 2)ln q p.我们知道,在平面R2上有直角坐标(x,y)和极坐标(r,θ),其变换关系为x=r cosθ,y=r sinθ,r≥0,0≤θ≤2π.我们知道,在平面R2上有直角坐标(x,y)和极坐标(r,θ),其变换关系为x=r cosθ,y=r sinθ,r≥0,0≤θ≤2π.这个变换称为极坐标变换,其Jacobi行列式为∂(x,y)∂(r,θ)=cosθ−r sinθsinθr cosθ=r.我们知道,在平面R2上有直角坐标(x,y)和极坐标(r,θ),其变换关系为x=r cosθ,y=r sinθ,r≥0,0≤θ≤2π.这个变换称为极坐标变换,其Jacobi行列式为∂(x,y)∂(r,θ)=cosθ−r sinθsinθr cosθ=r.极坐标变换将(r,θ)平面上的矩形[0,R]×[0,2π]变为(x,y)平面上的圆x2+y2≤R2.不过,这个变换不是一一的,且在r=0处退化.我们知道,在平面R2上有直角坐标(x,y)和极坐标(r,θ),其变换关系为x=r cosθ,y=r sinθ,r≥0,0≤θ≤2π.这个变换称为极坐标变换,其Jacobi行列式为∂(x,y)∂(r,θ)=cosθ−r sinθsinθr cosθ=r.极坐标变换将(r,θ)平面上的矩形[0,R]×[0,2π]变为(x,y)平面上的圆x2+y2≤R2.不过,这个变换不是一一的,且在r=0处退化.尽管如此,由于此变换在(0,+∞)×(0,2π)上是一一的且非退化,因此将前面的证明略作改动即知,积分的变量替换公式对这个变换仍然成立.例子例2求椭圆x2a2+y2b2=1(a,b>0)所包围的面积.例子例2求椭圆x2a2+y2b2=1(a,b>0)所包围的面积.解.作所谓的广义极坐标变换x=ar cosθ,y=br sinθ,r∈[0,1],θ∈[0,2π],其Jacobi行列式为∂(x,y)∂(r,θ)=a cosθ−ar sinθb sinθbr cosθ=abr,因此所求面积为10d r2πabr dθ=πab.我们再考虑R3中的坐标变换.如下的柱面坐标变换有时能用到:x=r cosθ,y=r sinθ,z=z,其Jacobi行列式也是r.我们再考虑R3中的坐标变换.如下的柱面坐标变换有时能用到:x=r cosθ,y=r sinθ,z=z,其Jacobi行列式也是r.与极坐标变换类似,R3中也有所谓的球面坐标变换:x=r sinθcosϕ,y=r sinθsinϕ,z=r cosθ,r≥0,θ∈[0,π],ϕ∈[0,2π].我们再考虑R3中的坐标变换.如下的柱面坐标变换有时能用到:x=r cosθ,y=r sinθ,z=z,其Jacobi行列式也是r.与极坐标变换类似,R3中也有所谓的球面坐标变换:x=r sinθcosϕ,y=r sinθsinϕ,z=r cosθ,r≥0,θ∈[0,π],ϕ∈[0,2π]. 这个变换的Jacobi行列式为∂(x,y,z)∂(r,θ,ϕ)=sinθcosϕr cosθcosϕ−r sinθcosϕsinθsinϕr cosθsinϕr sinθcosϕcosθ−r sinθ0=r2sinθ.我们再考虑R3中的坐标变换.如下的柱面坐标变换有时能用到:x=r cosθ,y=r sinθ,z=z,其Jacobi行列式也是r.与极坐标变换类似,R3中也有所谓的球面坐标变换:x=r sinθcosϕ,y=r sinθsinϕ,z=r cosθ,r≥0,θ∈[0,π],ϕ∈[0,2π]. 这个变换的Jacobi行列式为∂(x,y,z)∂(r,θ,ϕ)=sinθcosϕr cosθcosϕ−r sinθcosϕsinθsinϕr cosθsinϕr sinθcosϕcosθ−r sinθ0=r2sinθ.球面坐标和伸缩变换结合起来称为广义球面坐标变换.例3计算椭球x2a2+y2b2+z2c2≤1(a,b,c>0)的体积.例3计算椭球x2a2+y2b2+z2c2≤1(a,b,c>0)的体积.解.用广义球面坐标变换:x=ar sinθcosϕ,y=br sinθsinϕ,z=cr cosθ,此变换的Jacobi行列式为abcr2sinθ,积分区域变为{(r,θ,ϕ)|r∈[0,1],θ∈[0,π],ϕ∈[0,2π]},因此椭球体积为V=10d rπabcr2sinθdθ2πdϕ=43πabc.例3计算椭球x2a2+y2b2+z2c2≤1(a,b,c>0)的体积.解.用广义球面坐标变换:x=ar sinθcosϕ,y=br sinθsinϕ,z=cr cosθ,此变换的Jacobi行列式为abcr2sinθ,积分区域变为{(r,θ,ϕ)|r∈[0,1],θ∈[0,π],ϕ∈[0,2π]},因此椭球体积为V=10d rπabcr2sinθdθ2πdϕ=43πabc.在一般的欧氏空间R n中也有类似的(广义)球面坐标变换.。
数学分析 重积分的变量替换变量替换公式

数学分析(二):多元微积分梅加强副教授南京大学数学系内容提要:内容提要:重积分的变量替换公式;内容提要:重积分的变量替换公式; 极坐标变换;内容提要:重积分的变量替换公式; 极坐标变换;柱面坐标变换;内容提要:重积分的变量替换公式; 极坐标变换;柱面坐标变换;球面坐标变换.现在我们考虑比仿射变换更一般的映射,看看可求体积的集合在这些映射下如何变化.现在我们考虑比仿射变换更一般的映射,看看可求体积的集合在这些映射下如何变化.设D⊂R n为开集,A可求体积且¯A⊂D,ϕ:D→R n为C1映射且Jϕ处处非退化.现在我们考虑比仿射变换更一般的映射,看看可求体积的集合在这些映射下如何变化.设D⊂R n为开集,A可求体积且¯A⊂D,ϕ:D→R n为C1映射且Jϕ处处非退化.问题:ϕ(A)是否可求体积,如果是的话其体积等于多少?现在我们考虑比仿射变换更一般的映射,看看可求体积的集合在这些映射下如何变化.设D⊂R n为开集,A可求体积且¯A⊂D,ϕ:D→R n为C1映射且Jϕ处处非退化.问题:ϕ(A)是否可求体积,如果是的话其体积等于多少?首先,根据反函数定理我们知道ϕ将A的内点映为ϕ(A)的内点,这说明∂ϕ(A)⊂ϕ(∂A).一般的变量替换现在我们考虑比仿射变换更一般的映射,看看可求体积的集合在这些映射下如何变化.设D⊂R n为开集,A可求体积且¯A⊂D,ϕ:D→R n为C1映射且Jϕ处处非退化.问题:ϕ(A)是否可求体积,如果是的话其体积等于多少?首先,根据反函数定理我们知道ϕ将A的内点映为ϕ(A)的内点,这说明∂ϕ(A)⊂ϕ(∂A).断言:ϕ(∂A)为零测集,从而∂ϕ(A)亦然,于是ϕ(A)可求体积.事实上,取δ>0,使得K={x|d(x,A)≤δ}⊂D.记C=max K Jϕ .事实上,取δ>0,使得K={x|d(x,A)≤δ}⊂D.记C=max K Jϕ .根据覆盖引理的证明,任给ε>0,存在有限个小球B i⊂K,使得∂A⊂iB i,且iν(B i)<ε.事实上,取δ>0,使得K={x|d(x,A)≤δ}⊂D.记C=max K Jϕ .根据覆盖引理的证明,任给ε>0,存在有限个小球B i⊂K,使得∂A⊂iB i,且iν(B i)<ε.记B i=B ri (x i),由拟微分中值定理可知ϕ(B i)⊂B Cri(ϕ(x i)),这说明ϕ(∂A)⊂iB Cri(ϕ(x i)),且这些球的体积之和小于C nε.于是ϕ(∂A)为零测集.事实上,取δ>0,使得K={x|d(x,A)≤δ}⊂D.记C=max K Jϕ .根据覆盖引理的证明,任给ε>0,存在有限个小球B i⊂K,使得∂A⊂iB i,且iν(B i)<ε.记B i=B ri (x i),由拟微分中值定理可知ϕ(B i)⊂B Cri(ϕ(x i)),这说明ϕ(∂A)⊂iB Cri(ϕ(x i)),且这些球的体积之和小于C nε.于是ϕ(∂A)为零测集.从上述证明还可以得出,若 ψ(x)−ψ(y) ≤ρ x−y 且ψ将可求体积集B映为可求体积集ψ(B),则ν(ψ(B))≤ρnν(B).事实上,取δ>0,使得K={x|d(x,A)≤δ}⊂D.记C=max K Jϕ .根据覆盖引理的证明,任给ε>0,存在有限个小球B i⊂K,使得∂A⊂iB i,且iν(B i)<ε.记B i=B ri (x i),由拟微分中值定理可知ϕ(B i)⊂B Cri(ϕ(x i)),这说明ϕ(∂A)⊂iB Cri(ϕ(x i)),且这些球的体积之和小于C nε.于是ϕ(∂A)为零测集.从上述证明还可以得出,若 ψ(x)−ψ(y) ≤ρ x−y 且ψ将可求体积集B映为可求体积集ψ(B),则ν(ψ(B))≤ρnν(B).为了研究ϕ(A)的体积,我们将ϕ线性化并做误差估计.引理1沿用以上记号,则任给ε>0,存在0<η<δ,使得当x∈A,d(x ,x)≤η时ϕ(x )−ϕ(x)−Jϕ(x)(x −x) ≤ε x −x .引理1沿用以上记号,则任给ε>0,存在0<η<δ,使得当x∈A,d(x ,x)≤η时ϕ(x )−ϕ(x)−Jϕ(x)(x −x) ≤ε x −x .证明.在Bδ(x)中考虑函数F(y)=ϕ(y)−ϕ(x)−Jϕ(x)(y−x),则F(x)=0,JF(y)=Jϕ(y)−Jϕ(x).根据拟微分中值定理,存在ξ=x+θ(x −x)(0<θ<1),使得F(x ) = F(x )−F(x) ≤ Jϕ(ξ)−Jϕ(x) x −x ,由Jϕ在K上的一致连续性即可完成证明.引理2沿用以上记号,则当B⊂A可求体积且d(B)<η时ν(ϕ(B))≤[|det Jϕ(x)|+O(ε)]ν(B),x∈B.引理2沿用以上记号,则当B⊂A可求体积且d(B)<η时ν(ϕ(B))≤[|det Jϕ(x)|+O(ε)]ν(B),x∈B.证明.考虑仿射变换L(y)=[Jϕ(x)]−1(y−ϕ(x))+x,则L◦ϕ(x )=[Jϕ(x)]−1F(x )+x ,于是当x ,x ∈Bη(x)时L◦ϕ(x )−L◦ϕ(x ) ≤[1+ [Jϕ(x)]−1 ε] x −x .由B⊂Bη(x)可得ν(L◦ϕ(B))≤[1+ [Jϕ(x)]−1 ε]nν(B).再由仿射变化的体积变化公式即可完成证明.(重积分的变量替换)设ϕ:D→R n为C1单射,且Jϕ处处非退化.设A可求体积,¯A⊂D,f在ϕ(A)中可积,则ϕ(A)f=Af◦ϕ|det Jϕ|.(1)特别地,ν(ϕ(A))=A|det Jϕ|.(重积分的变量替换)设ϕ:D→R n为C1单射,且Jϕ处处非退化.设A可求体积,¯A⊂D,f在ϕ(A)中可积,则ϕ(A)f=Af◦ϕ|det Jϕ|.(1)特别地,ν(ϕ(A))=A|det Jϕ|.证明.不妨设A为矩形,且f非负.任给A的分割π={A ij},我们有ϕ(A)f=ijϕ(A ij)f≤ij[supϕ(A ij)f]ν(ϕ(A ij))证明(续).当分割充分细时,由之前的引理可得ϕ(A)f≤ijsupA ij[f◦ϕ]|det Jϕ(ξij)|ν(A ij)+O(ε),由Riemann和与积分之间的关系可得ϕ(A)f≤Af◦ϕ|det Jϕ|+O(ε),令ε→0可得ϕ(A)f≤Af◦ϕ|det Jϕ|.根据反函数定理,ϕ:D→ϕ(D)可逆.如果对ϕ−1重复上述论证就可得到另一边的不等式.例1设0<p <q,0<a <b.抛物线y 2=px,y 2=qx 以及双曲线xy =a,xy =b 围成的区域记为A.计算积分I = A xy d x d y.例1设0<p <q,0<a <b.抛物线y 2=px,y 2=qx 以及双曲线xy =a,xy =b 围成的区域记为A.计算积分I = A xy d x d y.解.积分区域是一个曲边的四边形,为了简化,我们令y 2/x =u ,xy =v ,则(u ,v )关于(x ,y )的Jacobi 行列式为∂(u ,v )∂(x ,y )= −y 2/x 22y /x y x =−3y 2/x =−3u ,因此(x ,y )关于(u ,v )的Jacobi 行列式为−(3u )−1.在这个变换下,积分区域变为矩形[p ,q ]×[a ,b ],因此I =q p d u b a v −(3u )−1 d v =16(b 2−a 2)ln q p.我们知道,在平面R2上有直角坐标(x,y)和极坐标(r,θ),其变换关系为x=r cosθ,y=r sinθ,r≥0,0≤θ≤2π.我们知道,在平面R2上有直角坐标(x,y)和极坐标(r,θ),其变换关系为x=r cosθ,y=r sinθ,r≥0,0≤θ≤2π.这个变换称为极坐标变换,其Jacobi行列式为∂(x,y)∂(r,θ)=cosθ−r sinθsinθr cosθ=r.我们知道,在平面R2上有直角坐标(x,y)和极坐标(r,θ),其变换关系为x=r cosθ,y=r sinθ,r≥0,0≤θ≤2π.这个变换称为极坐标变换,其Jacobi行列式为∂(x,y)∂(r,θ)=cosθ−r sinθsinθr cosθ=r.极坐标变换将(r,θ)平面上的矩形[0,R]×[0,2π]变为(x,y)平面上的圆x2+y2≤R2.不过,这个变换不是一一的,且在r=0处退化.我们知道,在平面R2上有直角坐标(x,y)和极坐标(r,θ),其变换关系为x=r cosθ,y=r sinθ,r≥0,0≤θ≤2π.这个变换称为极坐标变换,其Jacobi行列式为∂(x,y)∂(r,θ)=cosθ−r sinθsinθr cosθ=r.极坐标变换将(r,θ)平面上的矩形[0,R]×[0,2π]变为(x,y)平面上的圆x2+y2≤R2.不过,这个变换不是一一的,且在r=0处退化.尽管如此,由于此变换在(0,+∞)×(0,2π)上是一一的且非退化,因此将前面的证明略作改动即知,积分的变量替换公式对这个变换仍然成立.例子例2求椭圆x2a2+y2b2=1(a,b>0)所包围的面积.例子例2求椭圆x2a2+y2b2=1(a,b>0)所包围的面积.解.作所谓的广义极坐标变换x=ar cosθ,y=br sinθ,r∈[0,1],θ∈[0,2π],其Jacobi行列式为∂(x,y)∂(r,θ)=a cosθ−ar sinθb sinθbr cosθ=abr,因此所求面积为10d r2πabr dθ=πab.我们再考虑R3中的坐标变换.如下的柱面坐标变换有时能用到:x=r cosθ,y=r sinθ,z=z,其Jacobi行列式也是r.我们再考虑R3中的坐标变换.如下的柱面坐标变换有时能用到:x=r cosθ,y=r sinθ,z=z,其Jacobi行列式也是r.与极坐标变换类似,R3中也有所谓的球面坐标变换:x=r sinθcosϕ,y=r sinθsinϕ,z=r cosθ,r≥0,θ∈[0,π],ϕ∈[0,2π].我们再考虑R3中的坐标变换.如下的柱面坐标变换有时能用到:x=r cosθ,y=r sinθ,z=z,其Jacobi行列式也是r.与极坐标变换类似,R3中也有所谓的球面坐标变换:x=r sinθcosϕ,y=r sinθsinϕ,z=r cosθ,r≥0,θ∈[0,π],ϕ∈[0,2π]. 这个变换的Jacobi行列式为∂(x,y,z)∂(r,θ,ϕ)=sinθcosϕr cosθcosϕ−r sinθcosϕsinθsinϕr cosθsinϕr sinθcosϕcosθ−r sinθ0=r2sinθ.我们再考虑R3中的坐标变换.如下的柱面坐标变换有时能用到:x=r cosθ,y=r sinθ,z=z,其Jacobi行列式也是r.与极坐标变换类似,R3中也有所谓的球面坐标变换:x=r sinθcosϕ,y=r sinθsinϕ,z=r cosθ,r≥0,θ∈[0,π],ϕ∈[0,2π]. 这个变换的Jacobi行列式为∂(x,y,z)∂(r,θ,ϕ)=sinθcosϕr cosθcosϕ−r sinθcosϕsinθsinϕr cosθsinϕr sinθcosϕcosθ−r sinθ0=r2sinθ.球面坐标和伸缩变换结合起来称为广义球面坐标变换.例3计算椭球x2a2+y2b2+z2c2≤1(a,b,c>0)的体积.例3计算椭球x2a2+y2b2+z2c2≤1(a,b,c>0)的体积.解.用广义球面坐标变换:x=ar sinθcosϕ,y=br sinθsinϕ,z=cr cosθ,此变换的Jacobi行列式为abcr2sinθ,积分区域变为{(r,θ,ϕ)|r∈[0,1],θ∈[0,π],ϕ∈[0,2π]},因此椭球体积为V=10d rπabcr2sinθdθ2πdϕ=43πabc.例3计算椭球x2a2+y2b2+z2c2≤1(a,b,c>0)的体积.解.用广义球面坐标变换:x=ar sinθcosϕ,y=br sinθsinϕ,z=cr cosθ,此变换的Jacobi行列式为abcr2sinθ,积分区域变为{(r,θ,ϕ)|r∈[0,1],θ∈[0,π],ϕ∈[0,2π]},因此椭球体积为V=10d rπabcr2sinθdθ2πdϕ=43πabc.在一般的欧氏空间R n中也有类似的(广义)球面坐标变换.。
10多元函数积分中的三个公式计算及运用

10多元函数积分中的三个公式计算及运用在高等数学中,多元函数积分是一个重要的概念,它在应用数学、物理学等领域中都有着广泛的应用。
为了更好地理解和应用多元函数积分,李正元考研高数基础讲义中介绍了十个多元函数积分的基本公式,其中有三个是重要且常用的公式,它们分别是重积分的线性性、变量代换公式和极坐标系下的积分公式。
首先是重积分的线性性。
重积分的线性性是指如果f(x,y)和g(x,y)是定义在闭区域D上的可积函数,c1和c2是常数,那么c1f(x,y)+c2g(x,y)也是定义在D上的可积函数,并且有以下成立的公式:∫∫D [c1f(x, y) + c2g(x, y)]dxdy = c1∫∫D f(x, y)dxdy +c2∫∫D g(x, y)dxdy这个公式的运用非常广泛,在对多元函数进行积分时经常会用到。
其次是变量代换公式。
在计算多元函数积分时,有时可以通过进行变量代换来简化计算。
设有从平面区域D到平面区域D'的可导函数变换x=x(u,v),y=y(u,v),且这个变换是一一对应,那么就有以下变量代换公式:∫∫D' f(x(u, v), y(u, v)),J(u, v),dudv = ∫∫D f(x,y)dxdy其中J(u,v)是变换的雅可比行列式,即J(u,v)=∂(x,y)/∂(u,v)=∂x/∂u*∂y/∂v-∂x/∂v*∂y/∂u。
这个公式在计算复杂的多元函数积分时非常有用,通过适当的变量代换可以将积分区域转化成更简单的形式,从而简化计算过程。
最后是极坐标系下的积分公式。
当积分区域是一个闭圆盘或圆环时,可以使用极坐标系来进行积分计算。
假设f(r,θ)是定义在圆盘或圆环内的连续函数,那么有以下公式成立:∫∫D f(r, θ)rdrdθ = ∫(θ=a to b) ∫(r=0 to R) f(r,θ)rdrdθ其中D表示积分区域,a和b是角度的取值范围,R是极坐标下的积分区域的半径。
13.3重积分的变量代换

m
i
y
→ ∫∫ f (r cos θ , r sin θ )rdrdθ
D'
∆σ ij = 1 (2r + ∆r )∆r ∆θ j j j i
0
1 2 = rj ∆rj ∆θ i + ∆rj ∆θ i 2
2
x
D= ( x, y ) | x + y ≤ a
2 2
{
2
}
用曲线网 格代替直 线网格
I =
∫∫ e
∴∫∫
D
x y 2 1 − 2 − 2 dxdy = ∫∫ 1 − r abrdrdθ a b D′
2
2
2 = πab. 3
变量代换公式的证明
∫∫
T (D)
f ( x, y )dxdy = ∫∫
D
∂ ( x, y ) f ( x(u, v), y (u, v)) | | dudv ∂ (u, v)
Di 分为两种:正方形及正方形与D的边界相交 分为两种:正方形及正方形与 的边界相交
正方形与D的边界相交部分因其面积和 正方形与 的边界相交部分因其面积和 的边界相交 趋于零,则其上积分也收敛与零。 趋于零,则其上积分也收敛与零。
下面考虑正方形的情形: 下面考虑正方形的情形: 正方形的情形
v
v+k v
在可求面积区域 D 上连续
− ( x2 + y2 )
I = ∫ dx ∫
=
a2 − x2
− a2 − x
e 2
dy
∫
a
−a
e
−x
2
dx ∫
a2 − x2
2 2
− a −x
e
− y2
本节将给出在具有一阶连续偏导数的条件下,重积分变量变

\ W .
(7)
事实上, 因为Hi 4(i 1,2) , 所以 的中心Y 的
闭邻域
U (Y , ) \ W .
由于正方形 的中心 Y 在映射 T 下的象即为 Y ,
所以由 (4) 式有
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因此 UW 包含整个线段 Y Z0 , 所以 Z UW . 这就证明了包含关系 (6) 成立.
设 Hi 表示平行四边形 中垂直于边 PAi的高. 下前页 后页 返回源自面分两种情形证明(1)式成立.
(i) 若 Hi 4(i 1,2), 则 \ W 非空 (图21-46). 可
以证明此时成立包含关系:
§9 重积分变量变换公式的证明
本节将给出在 x x(u,v), y y(u,v) 具有 一阶连续偏导数的条件下, 重积分变量 变换公式(定理 21.13 )的一般证明.
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证明重积分变量变换公式的的关键是下面的引理.
引理 设变换T : xi i ( x1, x2 ) (i 1, 2) 将 x1x2平面
行四边形 PA1CA2,其中 A1,C, A2 分别为 A1,C, A2 在映照 T 下的象(图21-45).记这平行四边形为 , 它
的边界为 .
由(3)式知 的两条边 PAi(i 1,2) 的长分别为 | PAi| hai ,
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其中
1
ai
2
xi
1
(
x1
,
x2
)
xi
2
上由按段光滑封闭曲线所围的有界闭域 D 一对一
地变换成 x1 x2 平面上的闭域 D . 又设 i ( x1, x2)
(i 1,2) 在 D 上具有一阶连续偏导数,并且
数学分析三大基本思想之变换

导、积分等光滑运算。其中有一种方法令笔者印象非常深刻,称之为收敛因子
法。下面用例子来说明,考虑广义积分
∫ +∞ sin x dx = ?
0x
我们引入一个收敛因子e−tx ,然后定义一个新的函数
∫ ϕ(t) = e +∞ −tx sin x dx
0
x
数学分析中证明了新函数ϕ(t) 有很好的性质,可以积分号下直接求导,于是
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数学分析三大基本思想之变换
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说明:鉴于笔者时间和精力有限,文章小错误难免。因此笔者建议读者最好将文章中的结 论动手推导一遍,相信必有收获。光看不练,等于白看。
本章介绍数学分析中的三大基本思想之变换。广义的变换应该作为一种思想 来理解,即对某个数学对象进行操作,转化为另一个对象,要求后者相对容易 处理。
函数,则存在有理函数h , 使得
∫ f (x )eg(x ) dx = h (x )eg(x ) +C .
这个定理的证明涉及微分代数,有兴趣的读者可自行查阅相关文献。
在积分理论中,有一类非常重要的变换,即含参数变换。
ϕ(t) = ∫ f (x)K (x , t) dx R
这里t 是参变量, K (x , t) 称为核函数。这种方法也是定义非初等函数的一种常
如果 Rn 的子集S 可以表示为有限个两两无公共内点的闭方块的并集,那么 我们就说S 是一个简单图形。任何简单图形当然都是闭若尔当可测集。新讲中 证明了:为证明重积分变量代换公式,只需要考虑积分区域最简单的情形。即 如下结论成立:
二重积分的变量代换

附录:极坐标系下的二重积分的公式
1用定积分定义推导极坐标系下的二重积分的公式
极坐标变换: 。
设D是 中的有界闭区域,且 是 中的零测度集;再设f在D上几乎处处连续的有界函数,根据上节内容可知:f R(D)∴ 有意义的;它的值不因对区域D的分割方式不同而变化。
极坐标变换是一种特殊的变量替换.
极坐标变换 : (8)
此时 =
注5在定理21.13中,假设J≠0,但有时会遇到这种情形.变换行列式在区域内个别点上等于0.或只在区域个别线段上等于0,而在其它点上非0,此时定理21.13结论能成立.
定理21.14设 满足定理21.13的条件,在极坐标变换(8)下,有
= (9)
在直角坐标系中,我们是以平行于x轴和y轴的两族直线来分划区域D为一系列小矩形的,在极坐标系中,若用极坐标网分割,即用r=常数的一族同心圆以及θ=常数的一族过极点的射线来分划D(如左图示),得出若干个小块 ,这时小块的面积若极为 ,( )则Rieman和为 ,注意到
= = =
易见,当 , 充分小时, 可近似地看成一个矩形,边长分割为: 和 ,即 ,若有Rieman和 中以 代替 ,并按极坐标交换: , 。当分割的精度→0是,由上面分析知: → .
§4二重积分的变量代换
引言
有一种情形,函数f在D上可积,但无论采用哪种积分次序都“算不出来”。
例如 ,D=
分析:∵函数f(x,y)= 在有界区域D= 处处连续,∴f R(D)
=
或者 =
计算不出来!f R(D),但化为二次积分后算不出来,因此,我们有必要寻找更有效的计算二重积分的方法.联想到定积分的计算方法,换元法、分部积分法、N-L公式等,特别是换元法,是一种化难为易的有效方法.在二重积分中能否利用这种化难为易的思想呢?二重积分的变量代换,就是这种方法,。在定积分中,换元积分法对简化定积分计算起着重要的作用.对于二重积分也有相应的换元公式,用于简化积分区域或被积函数.
重积分的积分方法和积分公式

重积分的积分方法和积分公式重积分是高等数学中的重要概念,也是应用数学和物理学中使用最广泛的数学工具之一。
重积分包括二重积分和三重积分两种形式,其积分方法和积分公式对于求解各种物理量的大小、均值、中心、惯性矩等、数学物理问题的衍生、傅里叶级数的变换等都有着非常重要的应用价值。
1.二重积分的积分方法在二维空间内,设有一函数$f(x,y)$,在有界区域$D$上有定义,那么$f(x,y)$在$D$上的二重积分可以通过将$D$分成若干个无穷小的小矩形,然后对每个小矩形求面积乘上$f(x,y)$在矩形内的均值得出,公式如下:$\iint_Df(x,y)dxdy=\lim_{\Delta x, \Delta y \to 0} \sum_{i=1}^nf(x_i, y_i) \Delta x_i \Delta y_i$这里,$\Delta x$和$\Delta y$表示$x$和$y$在区域$D$上的最小划分,$n$表示小矩形的个数,而$f(x_i,y_i)$则为小矩形中心点$(x_i,y_i)$处的函数值。
不同的小矩形划分方式会影响到二重积分的精确度,一种常用的划分方式是网格划分方法,即将区域D分成若干格子,然后在每个格子中取其中心点作为较准确的位置来求积分。
2.二重积分的积分公式(1) Fubini定理:对于在矩形域$D$上的二重积分,其积分范围可以交换。
$\iint_Df(x,y)dxdy=\int_{a}^{b}dx\int_{c}^{d}f(x,y)dy=\int_{c}^ {d}dy\int_{a}^{b}f(x,y)dx$(2) 极坐标变换:若对于$f(x,y)$在极坐标下的表示为$f(r,\theta)$,则对于圆域$D$有以下公式成立。
$\iint_Df(x,y)dxdy=\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{R(\theta)}f(r\c os\theta,r\sin\theta)rdr$其中,$R(\theta)$表示圆$D$在极坐标系下,相对于$\theta$的极径取值范围。
重积分变量代换公式证明

D
∂(u, v)
2.二重积分变量代换公式 设 U 为 uv 平面上的开集, V 是 xy 平面上开集,映射
T: x = x(u,v) , y = y(u,v)
是 U 到 V 的一个一一对应。 进一步假设 x = x(u,v) , y = y(u,v) 具有连续偏导数,
且有 ∂(x, y) ≠ 0,则由连续性可知 ∂(x, y) 在 U 上不变号。对于 U 中任意具有分段
数,那么变量代换公式
∫ ∫ f
T (Ω)
( y1,L,
yn )dy1 Ldyn
=
Ω
f
( y1 ( x),L,
y
n
(
x))
∂ ∂
( (
y1 x1
,L, ,L,
yn xn
) )
dx1 Ldxn
成立,其中 x = (x1,L, xn ) 。
4.注意点
1.重积分变量代换的概念,是数学分析课程中一个比较困难的内容。我们先通 过类比方法,写出重积分变量代换的公式,使得学生先有一个对重积分变量代换 的概念,然后再来证明,学生也就容易理解。同时通过类比,使学生容易记住这 一重要的公式。 2.将一般的变量代换视为向量值函数,将它分解为两个本原变换的复合,也就 是将复杂的函数分解成简单函数的复合,将问题化为对简单函数的证明,这是数 学上常用的一种方法,通过学习,希望同学掌握这一方法。 3.在证明中,我们只考虑了包含在区域 D 内的小矩形,这是因为区域 D 具有零 边界。通过学习,要求同学理解为什么我们在本章开始要引进零边界区域的概念。
f
[ y(x, h) −
y(x, g)]dx
=( y(u~, h) −
y(u~, g))( f
[理学]重积分的变量代换
![[理学]重积分的变量代换](https://img.taocdn.com/s3/m/2e6e107ebe23482fb4da4cde.png)
0 ≤θ ≤ 2π
⎛ r2 ⎜ ⎜ 2a − r − a ⎝
⎞ ⎟ ⎟r d r d θ ⎠
= ∫0
2π
⎛ r2 dθ ∫ ⎜ 2a − r − 0 ⎜ a ⎝
因此所求的面积为
2 ∫∫ dxdy = 2∫∫ abrdrdθ =2∫ dθ
D D1 2 0
π
∫
ab sin θ cosθ c2
0
abrdr
a 2b 2 = 2 c
2 2 a b 2 。 sin θ cos θ d θ = 2 ∫0 2c矩形,由于区域 D 具有 零边界,当分割充分细的时候,与区域 D 边界相交的小矩形的面积之 和可以任意小,因此只需要考虑包含在区域 D 内的小矩形 R 。 定义 13.3.1 或
x = r cos θ , y = r sin θ , 0 ≤ θ ≤ 2π , 0 ≤ r < +∞
是我们十分熟悉的。除原点与正实轴外,它是一一对应的,这时
∂( x, y ) cosθ = ∂(r ,θ ) sin θ − r sin θ =r。 r cosθ
例 13.3.3 计算 ∫∫ sin(π x 2 + y 2 )dxdy ,其中 D = {( x, y ) | x 2 + y 2 ≤ 1} 。
T ( D)
∫∫
f ( x, y ) d x d y = ∫∫ f ( x(u , v), y (u , v))
D
∂ ( x, y ) dudv 。 ∂(u, v)
显然,当 f ( x, y ) ≡ 1 时,由以上定理得
三重积分的变量代换

∫∫ f ( x , y )dσ = ∫∫ f ( y, x )dσ .
D D
例9. 设 连续函数 f > 0, D = [a , b] × [a , b], 则 f ( x) dxdy ≥ (b − a ) 2 . ∫∫ f ( y ) D 1 f ( x) f ( y) f ( x) 由轮换对称性, 证: 由轮换对称性 ∫∫ f ( y ) dxdy = 2 ∫∫ f ( y ) + f ( x ) dxdy D D
(a1 x + b1 y + c1 z )2 + (a 2 x + b2 y + c2 z ) 2 + ( a 3 x + b3 y + c3 z ) 2 = h 2 ,
a1 a3
b1 b3
c1 c3
其中 ∆ := a 2 b2 c2 ≠ 0. 解: 令 u = a1 x + b1 y + c1 z , v = a2 x + b2 y + c2 z , w = a 3 x + b3 y + c3 z , 则
dxdydz
r d r dθ dz
球面坐标系 r 2 sinϕ dr dϕ dθ 变量可分离. * 说明: 说明 三重积分也有类似二重积分的换元积分公式 换元积分公式: 换元积分公式
∫∫∫Ω f (x, y, z) dxdydz = ∫∫∫Ω
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*
F(u, v, w) J dudvdw
对应雅可比行列式为 J = ∂(x, y, z) ∂(u, v, w)
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结束
例4. 计算三重积分 与球面 解: 在球面坐标系下
重积分换元法证明

重积分换元法证明重积分是高等数学中最重要的概念之一,它是多元函数在平面或空间内的积分。
在实际研究中,处理二元和三元函数的重积分占据着很大的比重,这些重积分的求解过程往往非常复杂,需要借助各种积分技巧和方法来简化计算。
其中,通过换元法对重积分进行简化和计算是一种常用的方法,下面我们将介绍重积分换元法的证明过程。
重积分换元法的基本思路是将原坐标系中的积分变量通过一定的变量替换映射到新的坐标系中,从而实现计算繁琐的重积分变得简便的目的。
其中,最常用的换元法就是极坐标系和柱坐标系的换元法。
下面,我们将以极坐标系的重积分为例,给出其换元法的证明过程。
设在平面上存在一小区域 $D$,用极坐标系 $(r,\theta)$ 表示点 $(x,y)$,其坐标变换公式为$$x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta$$设 $f(x,y)$ 在区域 $D$ 上连续且非负,且 $D$ 的面积为 $S(D)$,则函数$f(x,y)$ 在 $D$ 上的重积分可表示为$$\iint_D{f(x,y)dxdy}$$通过极坐标系的表示,可以得到$$\begin{cases}x=r\cos\theta\\ y=r\sin\theta\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}r=\sqrt{x^2+y^2}\\ \theta=\arctan\dfrac{y}{x}\end{cases}$$利用反函数求导法则,可以得到$$dx\,dy=\left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(r,\theta)}\right|dr\,d\theta=r\,dr\,d\theta$$将 $x,y, dx\,dy$ 的表达式带入原式,可得其中 $D'$ 为在极坐标系下对应区域,面积为 $S(D')$。
因此,原式的计算问题就被转化为了极坐标系下对应的积分问题,通过改变变量之后,原积分变为一个带有 $r$ 和 $\theta$ 的二元函数的积分,其中 $r$ 代表径向的长度,$\theta$ 代表角度坐标的位置。
重积分与变量代换

重积分与变量代换重积分是微积分中的一个重要概念,用于计算曲线、曲面和立体的面积、体积等物理量。
而变量代换则是在计算重积分时常常使用的一种技巧,它能够简化积分计算的过程,提高计算效率。
本文将介绍重积分的基本概念和性质,并详细说明变量代换的原理和应用。
一、重积分的基本概念和性质重积分是微积分中一种对多变量函数进行积分的方法,主要用于计算曲线、曲面和立体的面积、体积等物理量。
在数学上,重积分可以分为二重积分和三重积分两种形式。
二重积分用于计算二维平面上的曲线和曲面的面积。
若函数 f(x, y)在一个闭区间上连续,那么这个闭区间可以分割成无数个小区域,将每个小区域的面积相加,就可以得到整个闭区间的面积,即二重积分。
二重积分的符号表示为∬f(x, y)dxdy。
三重积分则用于计算三维空间中立体的体积。
若函数 f(x, y, z) 在一个闭区域上连续,那么这个闭区域可以分割成无数个小立方体,将每个小立方体的体积相加,就可以得到整个闭区域的体积,即三重积分。
三重积分的符号表示为∭f(x, y, z)dxdydz。
重积分具有以下性质:1. 线性性质:对于任意常数 a 和 b,有∬(af(x, y) + bg(x, y))dxdy =a∬f(x, y)dxdy + b∬g(x, y)dxdy。
2. 区域可加性:若闭区域 D 可以分割成互不相交的两个子区域 D1 和 D2,那么∬f(x, y)dxdy = ∬f(x, y)dxdy + ∬f(x, y)dxdy。
3. 反序性质:对于面积可积的函数 f(x, y),有∬f(x, y)dxdy = ∬f(x, y)dydx。
4. 极坐标系下的重积分:对于函数f(r, θ) 在极坐标系下,有∬f(r, θ)rdrdθ。
二、变量代换的原理和应用变量代换是在计算重积分时常常使用的一种技巧,它利用一组新的变量代替原有的变量,以简化积分计算的步骤。
变量代换的原理可以用微积分中的链式法则来解释。
数学分析(下)21-9重积分变量变换公式的证明

本节将给出在具有一阶连续偏导数的条件下, 重积分变量变换公式(定理21.13)的一般证明.==(,),(,)x x u v y y u v §9 重积分变量变换公式的证明*返回证明重积分变量变换公式的的关键是下面的引理.那么成立关系式ìü1A ¢D ¢C ¢P ¢O ¢2x ¢2A ¢2)(x T Q =2145-图C ¢¢P2A ¢¢1A 1A ¢¢CD2A D ¢¢G ¢其中(,,,)(,,,),P A C A T P A C A ¢¢¢¢=的边界¢D微分中值定理, 存在点使得(,),x x D ¢¢¢Î¶¢¢其中从而由的定义可得()h wm其中k 是与h 及在中的位置无关的常数(这是因¢D ¢D 界,因此和在上也上也有界有界).¢D =(1,2)i a i ()h w 现在来证明引理的结论, 即(1)式成立. 为此为此先证明先证明下面的包含关系:.(6)W D D ¢¢Ì 事实上, 设Z 为中的任意一点. 我们从平行四边形D 在有界闭域上具有一阶连¢¢=12(,)(1,2)i x x i j ¢D 为续偏导数,于是它们与它们的一阶于是它们与它们的一阶偏导数在偏导数在¢D 上有的中心出发,作一射线经过且延伸到无穷. 由¢¢D ¢¢Y Z 于函数与在上有界, 所以是¢¢112(,)x x j ¢¢212(,)x x j ¢D D 一有界区域, 并且它的边界是按段光滑的封闭曲G 线. 因此所作的射线必与相交于某一点.又由G 0Z (4) 式知道从而,W G Ì0.Z W W D ¢¢ÎÌ 因此包含整个线段所以¢¢ W D 0,Y Z ¢¢.Z W D ¢¢Î 这就证明了包含关系(6) 成立.设表示平行四边形中垂直于边的高.下i H ¢¢D ¢¢i PA面分两种情形证明(1)式成立.((),)((),()).T Y Y T Y T Y r r l *¢¢¢¢¢=£¢¢(,)x x h h 其中常数C不依赖于点与的选取, 即与£+=+28()48()()a h W a h h W l m w m() m D所有的¢¢¢Î(,)x x D 一致地成立.¢¢12(,)J x x ¢¢12(,)x x 表示在变换T 之下,面积微元在点的局部伸缩率.下面给出在¢¢==12(,)(1,2)i i x x x i j 具有一阶连续偏导数的一般条件下, 二重积分变量变换公式的证明. 证由于T 是一对一变换, 因而在所设条件下¢D 的按段光滑的边界曲线变换到D 时,其边界曲线也是按段光滑的. 在¢¢12x x 平面上作平行于坐标轴的方格¢D 12x x 网,它是的一个分割. 由变换T ,相应地得到平由(10)式看到, 与一元函数的导数相仿, 函数行列式内的方格D i在上的一个上界. 将它们按下标逐项相加, 得到1122121212((,),(,)|(,)|d d .D f x x x x J x x x x j j ¢¢¢¢¢¢¢¢¢=òò由(11)式中e 的任意性, 上面两式右边部分相等上面两式右边部分相等,,即得如下变换式成立:注值得注意的是,本节中所有的证明在n 维空间中112212120lim ((,),(,))|(,)|()i i i i i i i h if x x x x J x x j j m D ®¢¢¢¢¢¢¢å1122121212((,),(,)|(,)|d d .D f x x x x J x x x x j j ¢¢¢¢¢¢¢¢¢=òò1212(,)d d Df x x x x òò维立方体、、平行多面体来代替这里的正方只要用n维立方体。
21_9 重积分变量变换公式的证明

下面来估计点 Q
T ( Q )
与点 Q T ( Q ) 之间的距
离. 由 (2) 及 (3) 式有
2 x i x i i ( i1 , i2 ) i ( x1 , x ) ( x1 x1 ) x1 x1 2 i ( i1 , i2 ) i ( x1 , x ) ( x x ) 2 2 x 2 x 2 ( i 1, 2 ).
行四边形 P A1C A 2 , 其中 A1 , C , A 2 分别为 A1 , C , A 2
在映照 T 下的象(图21-45).记这平行四边形为 它 , 的边界为 . 由(3)式知
的两条边 P A i ( i 1, 2 ) 的长分别为
上由按段光滑封闭曲线所围的有界闭域
D
一对一
地变换成 x 1 x 2 平面上的闭域 D . 又设 i ( x 1 , x 2 )
( i 1, 2 )
在 D 上具有一阶连续偏导数,并且
( 1 , 2 ) ( x 1 , x 2 ) 0 , ( x 1 , x 2 ) D .
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从而由 ( h ) 的定义可得
| x i x i | ( 2 h ) h ( 2 h ) h 4 ( 2 h ) h .
因此 Q 与 Q 之间的距离
( Q , Q )
( x 1 x 1 ) ( x 2 x 2 ) 6 ( h ) h .
从而 Y 在映射 T 下的象
Y T ( Y ) U (Y , ) \ W .
又因 W ,所以 与 \ W 不相交. 若存在点 Z
17重积分—— 三重积分的变量代换

2
3
z4 4
2 1
5
2
z
• z Dz
o
y
x
: x2 y2 z2,1 z 2
y
Dz
o
zx
Dz : x2 y2 z2 16
z r cos
y
(2) e ydv
令
x
r
sin
2
y y
2 1
e ydv e ydv e ydv
a4
2 2
a
a
4
)
(
a
4
a4 )
o
zx
44 2
4
4 44
a4。
8
10
解法三 投影法
z
zdv
a2 x2 y2
dxdy
zdz
x2 y2
Dxy
x
1 2
(a2
2x2
2
y2
)dxdy
Dxy
再用极坐标变换
1
2
d
a
2 (a2 2r 2 )rdr
21
z
①球面坐标的变化范围
0 r ,
0 ,
M(r,,)
r • M(x,y,z)
0 2 ②三组坐标面
o
z
x
y
x
y
P(x,y,0)
r =常数,即以原点为心的球面。
=常数,即以原点为顶点、z轴为轴的圆锥面。
=常数,即过z轴的半平面。
22
重积分的变换

推论 若 x ,y ,z…空间中的一个闭若尔当可测区域 R 由一 1-1 的变换映射到 u , v, w…空间的一个区域 R ′
上,其雅可比 d ( x , y , z L ) 处处不为零,则有变换公式 d(u, v, wL)
关 键 词:重积分;变量变换;坐标变换
中图分类号 :O172.2 文献标识码 :A 文章编号 :1008-2611(2005)04-0037-03
1 引出公式
重积分最终都是化为多次单积分来计算。而事实 上,有的重积分虽然可以化为单积分,但要明确计算 出重积分一般来说会有很大困难。为了计算二重积分 和三重积分,利用极坐标、柱面坐标、球面坐标等,引 进新的变量进行坐标变换,用新变量来计算重积分, 达到简化积分与计算积分的目的。但是,有很多的重 积分,被积函数并不一定是用初等函数表达的,甚至 有高于三重的多重积分,用上述的坐标变换就显得远远 不够,因此,我们需要在积分号下引进新变量代替旧 变量来计算重积分的一般表达式。
形如 x=x ,y= Φ(v,x)以及 v=v,x= ψ(u,v)的两个本原 变 换 时①, 实 际 已 经 建 立 了 变 换 公 式 。
当 D ≠ 0 时,就能把闭区域 R 分为有限个区域,在 每个区域上这种分解是可行的,如果必须的话,可以 改变一下 u 和 v 的位置,而这并不影响到积分值。
为了计算二重积分线确定了许多网格我们把那些位于重积分利用极坐标柱面坐标球面坐标等引作子区域进新的变量进行坐标变换用新变量来计算重积分如果这种网格不是曲线围成的而是由u积分被积函数并不一定是用初等函数表达的甚至应的顶点构成的平行四边形则这个网格的面积应是有高于三重的多重积分用上述的坐标变换就显得远远hkd不够因此我们需要在积分号下引进新变量代替旧变量来计算重积分的一般表达式
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2
{
}
由 Heine-Borel 定理,存在有限多个邻域 U δ ( Q1 ) , U δ ( Q2 ),L , U δ
1 2 2 2
S
( QS ) ,
2
δ ⎫ ⎧δ δ 它们覆盖了 D 。设 δ * = min ⎨ 1 , 2 , L , S ⎬ 。 2 ⎭ ⎩2 2 取划分充分细, 使得所有的小矩形的对角线长度都小于 δ * , 那么当小矩形 D i
∂ ( x, y ) = ∂y ∂ (u, v) ∂ u
1
∂y = > 0, ∂v ∂v
0
∂y
所以在每个小矩形 R=[e, f] × [g, h]上,对于固定的 u, y (u , v ) 是 v 的单调增加函数, 因此 R 被一一对应地映到 T ( R ) = {( x, y ) | e ≤ x ≤ f , y ( x, g ) ≤ y ≤ y( x, h)} 。
∂ ( x, y ) mD i , ∂(u , v) (u ~ ,~ i vi ) ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ,v ~ ) ,则从上式得 这里 ( ui , vi ) 为 D i 中某一点。设 xi = x ( ui , vi ) , yi = y ( u i i mT (D i ) =
~ ,v ~ ~ ~ xi , ~ y i ) mT ( Di ) = ∑ f ( x(u ∑ f (~ i i ), y (u i , vi ))
= ∫∫ f ( x(u , v), y (u , v))
Di
∂ ( x, y ) dudv 。 ∂(u , v)
因此
T ( D) M
∫∫
f ( x, y )dxdy =∑
M
i =1 T ( D ) i
∫∫ f ( x, y)dxdy
∂ ( x, y ) ∂ ( x, y ) dudv = ∫∫ f ( x(u, v), y (u, v) dudv . ∂(u, v) ∂(u, v) D
证毕 下面证明变量代换公式对于本原映射成立。 引理 2 设 T 为本原映射,二元函数 f ( x, y ) 在 T (D) 上连续,则
T ( D)
∫∫ f ( x, y)dxdy =∫∫ f ( x(u, v), y(u, v)) ∂(u, v) dudv 。
D
∂ ( x, y )
证 考虑上述对区域 D 的分割,设 D1 , D 2 ,L, D M 是包含在区域 D 内的所有小矩 形,由引理 1,在 D i 上成立
i i
∂ ( x, y ) mDi , ∂ (u , v ) ( u ~ ,v ~)
i i
设所有小矩形的对角线长度的最大值为 ρ ,令 ρ 趋于 0,由二重积分的定义,即 得 ∂ ( x, y ) f ( x, y )dxdy = ∫∫ f ( x(u , v), y (u , v)) dudv 。 ∫∫ ∂(u , v) T ( D) D 证毕
4
T ( Di )
∫∫ f ( x, y)dxdy = ∫∫
f ( x(ξ ,η ), y (ξ ,η ))
T1 ( D i )
∂ ( x, y ) dξ dη ∂(ξ ,η )
= ∫∫ f ( x(ξ (u , v),η (u , v)), y (ξ (u , v),η (u , v)))
Di
∂( x, y ) ∂(ξ ,η ) dudv ∂(ξ ,η ) ∂(u , v)
T ( D)
∫∫ f ( x, y) d x d y =∫∫ f ( x(u, v), y(u, v)) ∂(u, v) d u d v 。
DHale Waihona Puke ∂ ( x, y )为证明定理 1,我们将区域 D 用水平线与垂直线分割成许多小矩形,由于区 域 D 具有零边界,当分割充分细的时候,与区域 D 边界相交的小矩形的面积之和 可以任意小,因此我们只需要考虑包含在区域 D 内的小矩形 R 。 3.定义 形如 Tx : 或
3
为了完全证明定理 1,还需要以下的结果: 引理 3 设 T 满足定理 1 的假设, 则对于任意点 Q0 = (u 0 , v 0 ) ∈ U ,T 在点 Q0 附近可以表示成 2 个具有连续偏导数的、一对一的本原映射的复合。 证 设 x0 = x(u 0 , v0 ), y 0 = y (u 0 , v0 ), P0 = ( x0 , y 0 ) 。 ∂ ( x, y ) ∂x 由于 (u 0 , v0 ) ≠ 0 ,行列式中必有元素不为零。不妨设 (u 0 , v0 ) ≠ 0 , ∂ (u , v) ∂u 于是,本原映射 ⎧ξ = x(u, v), T1 : ⎨ ⎩η = v ∂(ξ ,η ) ∂x 的 Jacobi 行列式 由隐函数存在定理 (或逆映射定 (u 0 , v0 ) = (u 0 , v0 ) ≠ 0 , ∂(u , v) ∂u ⎧u = g (ξ ,η ), 理) ,局部地可得逆映射 ⎨ 且 g (ξ , η ) 在 T1 ( u0 , v 0 ) 的一个邻域具有连续 ⎩v = η , 偏导数。注意这时成立 g ( x (u , v ), v) = u 。 作 ⎧x = ξ , T2 : ⎨ ⎩ y = y ( g (ξ ,η ),η ), 则有 x = ξ = x(u , v), y = y ( g (ξ ,η ),η ) = y ( g ( x(u , v), v), v) = y (u , v)。 即 T2 o T1 = T 。 证毕 4.二重积分变量代换公式的证明: 根据引理 3,对于每点 Q = (u , v) ∈ D 存在它的一个邻域 U δ (Q) ,在这个邻域
T ( D)
∫∫ f ( x, y )dxdy = ∫∫ f ( x(u, v), y (u, v)) ∂(u, v) dudv ,
D
∂ ( x, y )
其中
∂ ( x, y ) 是向量值函数 T 的导数。但是注意在定积分情况下,如果 ϕ ' (t ) < 0 , ∂ (u , v )
则α > β , 即右端积分的上限小于下限, 交换积分上下限后, ϕ ' (t ) 就换成 − ϕ ' (t ) ; 而在重积分情况下, ∂ ( x, y ) 也有可能小于 0,但由于积分区域 D 没有方向(或符 ∂ (u , v )
与U δ
j
D i 必包含在某个 U δ (Q ) 中 (1 ≤ j ≤ S ) 。 于是在每个 D i ( i = (Q j ) 相交时,
2
j
1,2, L , M )上成立 T = T2 o T1 (为简便起见去掉了标记 i ,注意对不同的 D i ,可
能有不同 T1 和 T2 ) ,这里 T1 和 T2 是本原映射。设 ⎧ξ = ξ (u, v), ⎧ x = x(ξ ,η ), T1 : ⎨ 和 T2 : ⎨ ⎩η = η (u, v), ⎩ y = y (ξ ,η ). 那么 ∂( x, y ) ∂( x, y ) ∂(ξ ,η ) 。 = ⋅ ∂(u , v) ∂(ξ ,η ) ∂(u , v) 由引理 2 得
Ty :
x = x(u , v ), y = y (u , v ) = v x = x (u , v ) = u , y = y ( u , v )
的映射称为本原映射。 引理 1 设 T 为本原映射,则对于每个小矩形 R ,等式 ∂ ( x, y ) mT ( R ) = mR ∂ (u , v) ( u ~ ,v ~) ~, v ~ ) 为 R 上某一点。 成立,这里 (u 证 仅对本原映射 Tx 证明,对 T y 的证明是类似的。 设在 U 上 J > 0 。由于这时成立 J=
证毕
= ∑ ∫∫ f ( x(u, v), y (u , v)
i =1 D i
5. n 重积分的变量代换公式 对于 n 重积分的变量代换,我们不加证明给出公式: 设 U 为 R n ( n > 2 )上的开集,映射 T : y1 = y1 ( x1 , L , x n ), L , y n = y n ( x1 , L , x n ) 将 U 一一对应地映到 V ⊂ R n 上。进一步假设 y1 = y1 ( x1 ,L , x n ),L , y n = y n ( x1 ,L , x n ) 都具有连续偏导数,而且这个映射的 Jacobi 行列式不等于零。 设 Ω 为 U 中具有分片光滑边界的有界闭区域,则有与二维情形类似的结论: 定理 2 映射 T 和区域 Ω 如上假设。如果 f ( y1 , y 2 ,L , y n ) 是 T (Ω)上的连续函 数,那么变量代换公式
∫a
b
f ( x )dx =
∫α f (ϕ( t ))ϕ ′(t )dt
D → T (D )
β
⎧ x = x(u, v) 二重积分: 设 f ( x, y ) 在有界闭区域 D 连续, 变换 T : ⎨ : ⎩ y = y (u, v)
是一一对应,有连续偏导数,则类比定积分的变量代换公式,重积分的变量代换 公式似乎应该是
教案 重积分变量代换公式的证明
1. 教学内容
我们先对本原变换证明二重积分变量代换公式, 然后将一般的变量代换视为向量 值函数,将它分解为两个本原变换的复合,从而给出了重积分变量代换公式一个 容易理解而简单的证明。
2. 指导思想
重积分变量代换公式的证明是数学分析课程教学中的一个难点, 如何化解这一难 点,使学生理解并掌握这一重要内容,是本教案的目的。我们通过将一般的变量 代换分解为两个本原变换的复合的方法,然后对本原变换的情况进行证明,使得 证明简单而容易理解。同时,也教给学生一个如何将复杂的问题化成简单问题的 方法。
号)概念,因此对
∂ ( x, y ) 要加上绝对值符号,即 ∂ (u , v )