对一道课本试题的变式

对一道课本习题的变式、推广与思考

波利亚指出：“拿一个有意义又不复杂的题目去帮助学生发掘问题的各个方面，使得通过这个题目就好像通过一道门户，把学生引入一个完整的领域。”

题目：已知ABC ∆两个顶点()()0,6,0,6B A -，边BC AC ,所在直线的斜率之积等于9

4-，求顶点C 的轨迹方程。（北师大版数学选修2-1第三章§1椭圆习题3-1A 组第8题） 一、动手实践，掌握方法

解析：设()y x C ,，则直线BC AC ,的斜率分别是()6,66

,621-≠≠-=

+=x x x y

k x y k ， 根据题意，9

4

21-

=⋅k k ，所以 9

4

362

2-=-x y ，化简，得()6,6116362

2

-≠≠=+x x y x 所以顶点C 的轨迹是椭圆，去掉左右顶点。

评析：（1）典型的用直接法求动点的轨迹方程，注意6,6-≠≠x x ，一方面它保证了直线BC AC ,的斜率的存在性，另一方面符合C 为ABC ∆的一个顶点，C B A ,,不能共线。

（2）题目的几何条件包括“两个定点、一个动点、一个定值，两条直线的斜率，一个等量关系”。 （3）轨迹是椭圆，去掉左右顶点。 二、引进参数，化静为动

变式1、已知两个定点()()()00,,0, a a B a A -，动点C 满足直线BC AC ,的斜率之积等于()0≠m m ，试讨论动点C 的轨迹。

分析：首先确定动点C 的轨迹方程，然后依据方程判定它的轨迹。 解析：设()y x C ,，则直线BC AC ,的斜率分别是

a

x y

k a x y k -=+=

21,，()a x +

-

≠，根据题意，m k

k =⋅2

1

，

所以m a x y =-2

22，化简，得动点C 的轨迹方程122

22=-ma

y a x ，所以 1、当0 m 时，动点C 的轨迹是焦点在x 轴上的双曲线，去掉它的两个顶点； 2、当0 m 时

（1）若1-=m ，则动点C 的轨迹方程为2

2

2

a y x =+，所以它的轨迹是圆心在原点，半径为a 的圆，去掉

与x 轴的两个交点；

（2）当01 m -时，2

2ma a - ，所以动点C 的轨迹是焦点在x 轴上的椭圆，去掉左右顶点；

（3）当1- m 时，2

2ma a - ，所以动点C 的轨迹是焦点在

y 轴上的椭圆去掉左右顶点。

评析：引进参数，化静为动，培养学生分类讨论的数学思想，发展学生的数学思维能力。注意到变式1并没有改变题目中的几何关系，但是参数值及它的的符号决定了轨迹的不同形式——圆、椭圆、双曲线，这也从一个侧面说明三种曲线之间有着内在的联系，可以想象当参数m 由()+∞→≠→-→∞-001变化时，动点

c 的轨迹由焦点在y 轴上的椭圆，变为圆，再变为焦点在x 轴上椭圆，然后蜕变为焦点在x 轴上的双曲线，

这确实是一个神奇的过程。 三、变换条件，探究结果

波利亚曾指出：“好问题同某种蘑菇有些相像，它们都成堆地生长，找到一个以后，你应当在周围找找，很可能附近就有好几个。”在解题教学活动过程中要学会采“蘑菇”，善于引导学生对一个好问题进行变式改造，如改变题目的条件、结论、图形、叙述方式等，进而对问题进行更深层次的探索，这样灵活的运用变式教学，既可以免于搞题海战术，减轻学生负担，做到深入浅出，以点带面，以少胜多，又能较好的培养学生的思维能力，克服思维定势，提高学生的解题能力及应变能力，而且能激发学生学习数学的兴趣，提高学习积极性。

[]1

变式2、已知两个定点()()()00,,0, a a B a A -，动点C 满足直线BC AC ,的斜率之商等于常数()0≠m m ，试探

求动点C 的轨迹。

解析：设()y x C ,，则直线BC AC ,的斜率分别是

a

x y k a x y k -=

+=

21,，(

)a x +

-≠，根据题意,m k

k

=2

1

所以m a x a x =+-，整理，得a m

m x -+=11

因为,0≠m 所以a x ≠，又111-=-+m

m 无实数解，所以a x -≠，故动点C 的轨迹方程是

a m

m x -+=11()0≠m 。 1、当1=m 时，

a m

m -+11

无意义，动点C 的轨迹不存在，即21k k =不可能成立；

2、当0≠m 且1≠m 时，动点C 的轨迹是一条平行于

y 轴的直线。

变式3已知两个定点()()()00,,0, a a B a A -，动点C 满足直线BC AC ,的斜率之差等于常数m ，试探求动点C 的轨迹。

解析：设()y x C ,，则直线BC AC ,的斜率分别是()a x a x a

x y

k a x y k -≠≠-=

+=,,21 不妨假设m k k =-21，所以m a

x ay

=--

2

22 1、若,0=m 则0=y ，所以动点C 的轨迹方程是x 轴上去掉两个点B A ,; 2、当0≠m 时，整理，得⎪⎭

⎫

⎝⎛--

=222ma y m a x ，所以动点C 的轨迹是焦点在y 轴上的抛物线，去掉B A ,两个点。

评析：将原来题目中的斜率之积为常数，变换为斜率之商、斜率之差等于常数，引导学生思考交流、合作探究，学会运用运动变化的观点，辩证的思维方式认识问题、分析问题，能够深入问题的内部，抓住问题的本质，从而有效提升学生的数学素养。 四、前后互易，探究必要性

变式4、已知ABC ∆两个顶点()()0,6,0,6B A -，顶点C 的轨迹方程是()6,6116

362

2-≠≠=+x x y x ，探究：边BC AC ,所

在直线的斜率之积是否为定值？

解析：设()y x C ,，则直线BC AC ,的斜率分别是()6,66,621-≠≠-=+=x x x y k x y k ，那么()

94

3636943622

22

21-=--=-=⋅x x x y k k ，

所以边BC AC ,所在直线的斜率之积为定值，等于9

4

-。