对一道课本试题的变式
对一道课本例题的挖掘
＝
解 ： 图 ３点 （ ， ） 如 一２ Ｏ 不在 曲线 ’＝ １ 。 ，
｛ 相切， 公共点除切点外还可能有交
问题 ２ 曲线 上过 点 Ｐ 的 曲线 的切线仅
上设 点 （， 。，ｙ Ｘ． 线 ， 为 。 。， ＝２． 切 了 ）． ，切 １ ・
再 由⑤ ＋⑥ ， 并开 方 ， 得 ＋ ＜ １ １＋
１
’
邀请赛高二第 ２ 的第 ３ ） 直角三角形 试 题 设
两 直角 边 的长分 别 为 ０和 ｂ 斜边 长 为 ｃ斜 ， ，
边 上 的高为 ｈ， ｏ＋ｂ和 ｃ 则 ＋ｈ的 大小 关 系
是（ ） ．
Ａ ． ＋ ｂ ＜ ｃ＋ ｈ Ｂ． ＋ ｂ ＞ ｃ ＋ ｈ 口 ｏ
等
Ｏ
，。（或。 １切 ．：舍 一．线 ・ ２） ： ， ． ．
３ 一 ３ｖ ＋ ２ ＝０．
方 程组
／
的 ： ． 方程为ｖ 要： ２ 斜率 １ 切线 一 一 ，
即 ３ 一３ Ｙ＋２ √． 求切 线方程 为 １ ｘ一 ＝０ 所 ２
３Ｙ 一 １ ＝ ０ ６
ｆ吉 ｙ ＝
，得
，
１２ ３ 一 ６ ０ 一 ｙ １ ＝ １
Ｑ（ ４ 一 ） 一 ， ，因 此 ， 所
图 １
问题 ３ 如讨 论 过 曲 线 外 一 点 的 切 线 ， 情况 如何 ？ 变式 ２ 求过 点 （ ２ ０ 的切线 方程 ． 一 ，）
求切线与曲线 ｙ ｛ 。 ＝ 有两个公共点 Ｐ和
２０ ０ ９年 第 ４期
河北理 科教 学研 究
短 文集锦
ｂ ＋ｃ ≥ 口 ｂ＋ ｂ ｃ＋ ｃ ０ 所 以 一 一 ～ ，
对一道课本习题的研究
对一道课本习题的研究通过多年的教学，我发现教材中有许多极有价值的题目.对于这类题目，我们不能就题论题，或者仅仅满足于能正确解答题目，而应引导学生认真挖掘题目的内涵，不断地完善学生的知识结构和认知结构，激发学生对教材研究的兴趣，培养学生的探究能力、创新能力.高中数学新教材第二册（上）p96练习4：△abc的一边的两顶点是b（0，6）、c（0，-6），另两边的斜率的积是-49，求顶点a的轨迹.这道题的答案是：轨迹方程为x281+y236=1（x≠0），轨迹是一个椭圆（除短轴端点外）.我把这道题当做作业布置给学生，学生只是满足于把题目解答出来，而且绝大多数学生都能正确解答本题.但是，在学了椭圆和双曲线之后的一节习题课中，我要求学生研究这道题.下面是这一道课本习题的教学实录.师：今天这节课，老师想请同学们研究一道课本题（p96练习4）. 开始，许多学生都认真研究他们的解答，看看是否做错，很快他们发现他们没有做错，他们说：“老师，我们没有做错，你要我们研究什么？”师：是的，这道题你们是没有做错，但老师就是要你们研究这道题.经过热烈的讨论，有学生说：“老师，我想看看它的逆命题是否正确？”师：很好，大家不妨以这位同学的想法为例做一些研究.很快有学生写出了它的逆命题：已知椭圆方程为x281+y236=1（x≠0），短轴的两个端点为b、c，若点a是椭圆上任意一点（异于b、c），求点a与b、点a与c的连线的斜率的积.经过计算得到答案正好是-49.这时一些学生脸上露出成功的喜悦，并感叹：“原来这个命题的逆命题也成立！”师：很好，同学们经过研究，发现了这个命题及它的逆命题都是正确的，但这仅仅是研究的开始，请同学们继续研究.于是，学生再次进入思维、探索的高潮，所有学生都在进行积极的探索.有的学生想研究它的否命题、逆否命题，但很快发现研究这四种命题的关系没有什么价值；有的学生研究椭圆的方程x281+y236=1（x≠0）中的数值与-49的关系；有的学生写出了p96练习4的一般形式：△abc一边的两顶点b（0，m）、c（0，-m），另两边的斜率之积是常数-p，求顶点a的轨迹；还有的学生得出了更一般的命题：与两定点的连线的斜率之积是定值的点的轨迹是椭圆……教师在教室巡视，不时给学生一些提示和点拨，经过学生的研究和讨论，得到了如下命题：平面内的一个动点m（x，y）到两定点a1（-a，0），a2（a，0）的斜率之积等于常数e2-1（-1<e2-1此时，同学们十分高兴，个个脸上都露出了成功的喜悦.师：你们真了不起，通过研究你们发现了这样漂亮的命题，真是太棒了.但是，谁能使这个命题更加完美呢？学生再一次进入思维、探索的高潮.有的学生想到了教材p108习题1：△abc一边的两个端点是b（0，6）、c（0，-6），另两边的斜率的积是49，求顶点a的轨迹.[答案：双曲线x281+y236=1（x≠0）]；有些学生则直接对命题中的常数的取值范围进行研究，他们觉得这个常数的改变会引起曲线的形状的改变……（下课铃响了.）师：同学们，这节课你们通过对一道课本题的研究，发现了一个重要的命题：平面内的一个动点m（x，y）到两定点a1（-a，0），a2（a，0）的斜率之积等于常数e2-1（-1<e2-11.这里面蕴含了什么哲学原理？2.请大家给出一个统一的圆锥曲线的定义.综上可知，一道优秀的习题、一种较好的解法及得出的优美结论，可激发学生的兴趣，发展学生的智力，提高学生的能力.作为教师，我们应该培养学生探索研究的能力，让学生逐步形成良好的思维习惯.</e2-1</e2-1（责任编辑黄春香）。
一道教材习题引发的深度学习
教材点击２０２３年１２月下半月㊀㊀㊀一道教材习题引发的深度学习◉湖北省武汉市杨园学校㊀熊㊀利１深度学习深度学习是课程改革以来对课程理解和课堂实践的深化,它既是一种理念也是一种实践指导策略．深度学习是指在教师引领下,学生围绕着具有挑战性的学习主题,全身心积极参与,体验成功,获得发展的有意义的学习过程．数学学习过程是学生围绕学习内容展开的活动过程,初中数学深度学习的特点是学生能够全身心投入具有挑战性的富有思维含量的学习活动．笔者在一节习题课中设计了三个具有挑战性的学习活动:一是发现习题的多个不同的证明方法;二是通过不同证明方法的对比,发现并确认题中多余的条件;三是将多余条件结论化,进而探求习题的结构．三个学习活动衔接自然,过程流畅,思维含量一个比一个高,逐步将课堂学习活动推向高潮．整节课学生自主㊁自发地参与到课堂学习活动中来,不断体验到发现和证明出结论带来的快乐,这也正是深度学习理念指导下的课堂实践的最好展现．２教学纪实２．１展示习题,指明目标教师:很多时候我们只顾埋头做题,一题做完紧接下一题,很少停下脚步去深入研究一道题,今天老师带领大家对课本上一道习题进行深入探究,希望大家从中能有所收获．(展示习题)本节课我们只研究这一道题,请大家开动脑筋积极思考．图１题目㊀(人民教育出版社八年级数学上册第２５页习题第１０题)如图１,六边形A B C D E F 的内角都相等,øD A B ＝６０ʎ,A B 与D E有怎样的位置关系?B C 与E F 有这种位置关系吗?这些结论是怎样得出的?教师:做完的同学写一下过程,然后再看看整道题,你有没有什么发现?没做出来的同学,尽可能地算出图中所有的角,并给出证明．过程回顾:首先指明这节课的目标是对一道题进行深入研究．让学生用不同的方法解答,激发学生的探究欲,同时,希望学生通过各种不同方法的对比,发现 øD A B ＝６０ʎ是多余条件,让接下来的学习过程衔接更自然．２．２一题多解,拓宽思路教师:老师已经看到了不同的证明方法,大家开动脑筋,用尽可能多的方法来证明你的结论．教师:会做这道题的同学请举手．好,有超过一半的同学举手了．请一位同学说一下你的证明过程．学生１:A B ʊD E ,且B C ʊE F ．证明:由øD A B ＝６０ʎ,得øF A D ＝øD A B ＝６０ʎ．由øE ＋øF ＋øF A D ＋øE D A ＝３６０ʎ,且øE ＝øF ＝１２０ʎ,可知øE D A ＝６０ʎ,所以øE D A ＝øD A B ,故A B ʊD E ．又øF ＋øF A D ＝øB ＋øD A B ＝１８０ʎ,所以E F ʊA D ,B C ʊA D ,于是B C ʊE F ．教师:对于D E ʊA B ,同学们还有其他证明方法吗?学生２:如图２,过点F 作F H ʊE D ．由ø１＋øE ＝１８０ʎ,得ø１＝６０ʎ,则ø２＝１２０ʎ－ø１＝６０ʎ,所以ø２＋øF A B ＝１８０ʎ,所以F H ʊA B ．故D E ʊA B ．图２㊀㊀图３学生３:如图３,延长E F ,和B A 的延长线交于点H ．由ø１＝１８０ʎ－øE F A ＝６０ʎ,ø２＝１８０ʎ－øF A B ＝６０ʎ,又øH ＋ø１＋ø２＝１８０ʎ,得øH ＝６０ʎ,所以øE ＋øH ＝１８０ʎ,故D E ʊA B ．图４学生４:如图４,连接A E ．由ø１＋ø２＋øF ＋ø３＋ø４＝３６０ʎ,ø１＋øF ＋ø３＝１８０ʎ,可知ø２＋ø４＝１８０ʎ,所以D E ʊA B ．教师:对于D E ʊA B ,同学们给出了四种不同的证明方法,大家再观察一下,看你有没有什么发现?学生５:除了第一种方法,其余三种都作了辅助线．学生６:后三种方法都没有用到 øD A B ＝６０ʎ这个条件．８２０２３年１２月下半月㊀教材点击㊀㊀㊀㊀教师:这两个同学的证明方法都很好!请问条件 øD A B ＝６０ʎ能否去掉?过程回顾:让学生尽情展示,在一个个证明方法中逐渐打开思路,过程自然流畅,学生都沉浸在思维的海洋里．２．３导向深入,抓住关键学生７:从做题过程来看,条件 øD A B ＝６０ʎ可以去掉．D A 这条线段也可以去掉．教师:那为什么题目要多给条件呢?(学生７沉默不语,课堂陷入沉默．)教师:此题是 １１．３多边形及其内角和 的一道习题,主要考查灵活运用多边形内角和公式解决问题的能力．题目多给条件,一是为了让大家往计算角这个方向思考,二是给大家留出探索发现的空间,这也是此题放在 拓广探索 栏目中的原因．教师:经过大家的思考探索,可以把题目简化为 凸六边形A B C D E F 的内角都相等,求证:D E ʊA B ．学生８:老师,我又发现了新的证明方法．不用 øD A B ＝６０ʎ 这个条件,连D A 就可以证明．教师:好的,你先不说过程,让大家思考一下,这样可不可以证明?图５学生８:如图５,因为ø２＋ø３＋øE ＋øF ＝３６０ʎ,所以ø２＋ø３＝１２０ʎ．又ø１＋ø２＝１２０ʎ,所以ø１＝ø３．故D E ʊA B ．教师:非常好,过程清楚,思路明确．要证明平行,但没有截线,连D A 后就有了截线,产生内错角,证内错角相等．大家回顾一下,以上几种证明方法有没有共同点?解答这题的关键是什么?学生９:课本原题除学生１的证法外,其余证明方法都作了辅助线,作辅助线后才产生了截线,所以这道题的关键是要有截线．教师:学生９总结得很好．大家能否归纳一下作截线的方法学生１０:作截线有三种方式,即连接㊁延长和作平行线．过程回顾:通过教师的引导㊁学生的积极参与,证明思路越来越清晰,最后点出了证明平行的关键是找截线,并归纳了作截线的三种方法．２．４抛出问题,探索结构教师:既然条件 øD A B ＝６０ʎ是多余的,老师有一个想法,能否把它放到结论中,也就是由每个内角都相等能否得到øD A B ＝６０ʎ．题目改编如下:如图６,六边形A B C D E F 的内角都相等,øD A B是否等于６０ʎ给出你的判断并说明理由．教师:要解决上面这个问题,我们先解决另外一个问题,题中的六边形是否是正六边形?图６(课堂陷入沉默,一分钟后有学生举手．)学生１１:不一定是正六边形,可以将B C 边向上平移,如图７,如果原图是正六边形,则平移后的图形就不是．教师:学生１１举出的反例很图７好地解释了原图不一定是正六边形,通过平移边,在不改变角度大小的情况下,改变了边长．下面回到øD A B 是否等于６０ʎ这个问题上来,大家还同意øD A B ＝６０ʎ吗?学生１２:不一定是６０ʎ,将B A向上平移,øD A B 的度数会变小．教师:你是如何判断øD A B 变小的?学生１２沉默,学生１３举手．图８学生１３:如图８,由A B ʊG H ,得øD A B ＝ø２．又ø２＞ø１,所以øD A B ＞ø１．故向上平移øD A B 会变小．教师:非常好!通过两位同学的分析,我们可以看到øD A B 的度数不是一个确定的值,那 六个内角都相等 这个条件能确定什么?不能确定什么?学生１４:可以确定D E ʊA B ,不能确定øD A B ．学生１５:还可以确定E F ʊB C ,还有C D ʊA F ．教师:也就是可以确定六边形正对着的三组边平行,但不能确定六边形的边长,如果大家能够看到这一层,那这个图形在你眼里就是可以变化的,很多问题就可迎刃而解．过程回顾:通过将多余的条件结论化,来探索试题的结构,将此题的研究进一步推向深入．抛出问题 六个角相等的六边形是否为正六边形 ,为问题的解决指明了方向．３教学感悟课本的一道普通习题,如果不去深入研究,可能十分钟就讲完了,但沉下心来研究一番,结果发现它是一座思维的宝库．笔者并不想直接将这里的宝藏呈现给学生,而是一步步引领学生看到发现宝藏的过程,在这个过程中,让学生逐步体会到解完题后,我们还能怎样去思考,教会学生思考问题的方法,一同经历一堂思维的盛宴．教师能设计出具有挑战性㊁富有思维含量的学习活动是学生在课堂上开展深度学习的必要条件．这就需要教师多研究试题,而研究试题中最有意义的事情是研究教材习题．只有教师的深度学习和研究才有可能促成学生深度学习的产生．Z９。
关于初中数学例题变式教学的实践与认识
关于初中数学例题变式教学的实践与认识摘要：随着新课改的深入实施，教师的工作任务有所变化，从帮助学生“掌握理论知识”向“促进学生全面发展”转变。
在初中教育课程中，数学学科具有不可代替的地位，它承担着培养学生创造、发散等学习思维能力的重任。
因此，教师要时刻谨记“素质教育核心理念”，不断创新教学观念、教学方法。
如何在数学教学活动中有效培养学生的学习思维、能力？教师首先需要选择合适的教学方法，例如“例题变式教学法”。
关键词：初中数学；例题变式；教学实践引言：与传统的“灌输式教学法”相比，“例题变式教学法”更考验学生的逆向思维、发散思维等能力。
“例题变式教学法”就是指通过一道经典的课本例题进行变形，以此令学生的数学思维能力得到锻炼。
在此之间，教师要时刻谨记“一题多变”原则，这是保证“例题变式教学法”取得良好效果的重要前提。
一、坚持一题多变原则，锻炼学生学习思维数学学科主要以数学概念、结论为基础，然后通过经典例题去展现对应的知识点。
由此可见，“例题”在数学学科中具有非常重要的意义。
一般来说，教师在教学过程中都会以课本例题为基础，然后以此展开教学。
为了可以让学生灵活运用所学知识、掌握更多解题技巧，所以教师在讲解课本例题之时，要时刻谨记“一题多变原则”。
“一题多变原则”也就是依托书本例题进行变形，通过改变题目的条件、结论等内容，将其转变成全新的题型，但又与书本例题有千丝万缕的关系。
借此方式，学生可以认识更多题型、解题技巧，这无疑有利于帮助他们夯实所学知识，并且令他们的学习思维、能力得到锻炼。
以教材第87页例题4为例，首先，教师先帮助学生掌握这道习题，并且引申其中所涉及到的知识点，例如“角平分线的性质”等等。
随后，教师便可以围绕这道习题进行变形。
从课本例题到变式1，主要减少了两个已知条件：直径AB、弦AC的长度。
同时，还改变了需要求解的结论；从课本例题到变式2，只是变化了需要求解的结论。
虽然这两道变式例题只是减少或者增加了一两个条件，但整道题目却发生了巨大的变化。
对一道竞赛题的变式探究
【 试题 分 析 】
本题是一道高 中数学竞赛第二试的试题， 初 看此题， 它表现出的“ 简约美” 就深深地吸引了笔
者， 深刻研究后发现其 内涵十分丰富， 前后鲜 明 的对 比不禁让笔者感慨， 命题专家的灵感与智 慧 真是匠心独运．此类竞赛试题应是教师开展教 学研究的宝贵资源， 深入研究， 才能仔细体会试 题的命题意图、 命题技巧与创新特色．充分运用 这些 试题 ， 对拓 展 学 生， 尤其 是 优 秀 生的视 域 、 分 析与解决问题的能力和探究能力都很有好处．
图 １
的弦， Ｚ Ｄ应是弦切 角，由弦切 角定理知 则 ＣＡ Ｄ＝ Ａ ＢＤ； 之若 反 Ｄ ： Ａ Ｄ， 是 △Ａ ＢＤ外接圆的切线．于是 问题化归为 证明 Ｃ Ｄ ＝ ＡＢＤ． 笔者利用几何画板度量 角度功能分别测得 ＡＤ Ａ 的度数， 、 发
现 Ａ ＝ ＡＢ Ｄ Ｄ． 操作确认， 打消了笔者怀 疑的念头！ － 但笔者仍没有找到可行的方法．
２１ 年第 ５ ０２ 期
数 学数 学
５ｓ 一
对一道竞赛题的变式探究
２ ００ 安徽省马鞍山市成功中学 汪宗兴 ４０ ３
２ １ 年第七届北方 数学 奥林 匹克邀请赛试 ０１ 卷（ 第二天） 第六题 的题 目 如下： 如图１ ，过 点 Ｊ 引 ｏ （ 的 切 线 尸 和 割 线 Ｆ ） ＝ ） ＰＢＣ， ＡＤ 上 Ｐ（， 足为 点 Ｊ． ＝垂 ） ［ ） 求证： Ｃ是 ＡＡ Ａ ＢＤ＃ 接 圆的切 线． Ｆ
助 线 太 多， 且 角度 转 化过 于频 繁 ， 法 能 否简 而 此
．
．
Ｃ Ｄ
’ ． ．
ＡＤ
△
Ｄ ∽ △ ＣＡＤ ．
‘
．
ＡＢ Ｄ ＝ ＣＡＤ ．
善变才会赢——一道教材例题的创新再探
ｙ
ｆ
解析：如图 ８ ，因为ｓ ＝１× Ｂ×ｌ ： １×１ ＝ Ｏ Ｉ ｃ ×Ｉ Ｉ ｃ
Ｏ ／ ／Ａ １
１—
／ 、
２
ｊ
ｌＩ ｓ ， ， ＝ ｃ｝ １
所以 ｌ ＝ １． Ｉ ｃ
，
ｌ
ｓ ＝
＝． ｝
ｆ Ｂ
解 析 ：设 这 个 一 次 函数 的解 析 式 为 Ｙ ｘ＋ｂ ＝ｋ ，
当 ＞ 时 ｙ０ ｝ ，＞ ；
当 ＝ １
当 ＜ １
，
ｙ＝ ０；
－
０／ Ａ１ ／
；
７ １ Ｂ 一
图 １
，
ｙ＜ Ｏ；
当 ＜＜ 时 一 ）０ ０ ≥ ，１，． ＜＜
链接 ３ 轴上 是否存在一 点 Ｐ ，使 ｓ ＝２ ７若存在 ，求
出点 Ｐ的坐标 ；若不存在 ，说 明理 由．
解 析 ：如 图 ２ ，因为 ． 口 ｓ ＝
Ｙ
ｐ ’ Ｂ＝ １ ×１ ：２ Ａ Ｏ ×
，
因为 Ｙ＝ ｘ ｋ ＋ｂ的图象过点（ ，５ 与 （４ ９ ， ３ ） 一 ，一 ） 所 以｛
ｆ ｋ＋ｂ＝５． ３ 【４ － ｋ＋ｂ＝－ ． ９
疏通知识之 间的联 系，对减轻学 生负担 ，使 学生从 “ 题海 ” 中 解脱 出来，训 练和培养 学生思维 的创 造性和深刻性 也有一 定的 促进作 用，而且对培养 学生的思 维品 质 ，拓 宽学生的思路 ，提
高整 体教 学 水 平具 有 十 分 重要 的作 用．
关 键词 ：题 目；链 接 ；品味 ；启 示
图３
／ 、
１ ｉ
解 Ｉ｝ 得 ＝．
商 Ｂ —
链 接 ５ 直 线 ＝ 与 直 线 Ａ Ｂ交 于
主动谋变,变中求通——对一道教材课后习题变式拓展的思考
一、前言
书本上的习题是数学教材的重要组成部分, 是通过专家 们精心构思, 反复斟酌推敲设计出来的, 具有不容置疑的典 型性、示范性和探索性. 课后习题一方面能使学生巩固所学 的新知识, 学会运用新知识解决实际问题, 另一方面它有助 于学生掌握和运用数学思想、方法、发展学生的数学思维, 从 而促进学生数学核心素养的提高. 因此, 如何恰当地运用课 本习题, 如何充分地挖掘和深化这些习题, 使其发挥内在潜 能, 以培养高素质的学生, 是教师面临的一个新课题.
36
中学数学研究
2019 年第 10 期 (下)
说明 例 1(1) 对原题作了条件上的
变化, 图形不变, 考察学生用定理“两角
分别相等的两个三角形相似”证明相似,
以此巩固新知. 例 1(2) 在 (1) 的基础上将 其中点 E 设置为动点, 加入函数元素. 要
图 3.1
求 y 与 x 的函数关系, 实际上只要证明两个直角三角形相似,
BE ⊥ EF,△ABE 与 △DEF 相似吗? 为什
么?
图3
(2) 如图 3, 如图, E 是正方形 ABCD 的
边 AD 上的动点, EF ⊥ BE 交 CD 于点 F ．若正方形的边长
为 4, AE = x, DF = y．则 y 与 x 的函数关系式为
．
在日常的教学中教师应该多给予学生数学阅读的指导, 多给一些阅读时间, 多给一些阅读的材料, 根据数学学科阅 读的特点和学生阅读的水平, 重视数学阅读的教学, 充分利 用阅读的形式.
图4
说明 本题增设了圆的背景, 将基本图形与圆、动点巧妙
结合笔者十多年的一线数学教学实践, 对教材中习题的 拓展和开发作了一些尝试, 旨在让学生通过“主动谋变”实现 “变中求通”, 提高学习数学的能力.
探究例题内涵 彰显数学魅力——对一道课本习题的变式教学
现 了在 数学活 动 中理解和 掌握数学 知识 的理念．
１２ 探 究增加 条件 的 变题 ．
系 ， 作一定 的拓 展 ， 提高 学 生 思维 的广 阔性 很 并 对
有帮 助．
１ ３ 探 究 变 换 图形 的 变题 ．
第 ３期
童
鹏 ： 究 例 题 内涵 探
彰 显 数 学魅 力
探 究 例 题 内 涵
— —
温岭市实验学校 浙江温岭 ３７０ ） １ ０ ５
●童 鹏
叶圣 陶 先 生 曾 说 ： 教 材 只 能 作 为 教 课 的依 “ 据 ， 教得 好 ， 学生 受 到实益 ， 要 使 还要 靠教 师 的善 于
生： ． 会
师： 思路 非 常好 ， 把后 面 的 ２个 图形 都 转 化成 图１ 来解 决． 虽然 点在 变 ， 但是 基本 图形 不变 ， 因此
结论 也不 变．
适 当删减 条 件 ， 把 题 目从 特 殊 转 化 为一 般． 可
本例 从点 移 到边 ， 移 到 直 线 上 ， 成 了从 静 到动 再 完 的演 绎 ， 学生 经历 了一个 变化 、 动 的过程． 使 灵 这种
图 １
图 ２
图３
图４
１ 探 究例题 ， 变题 开拓 思维 用
师 ： 在边上 移 动着 ， 点 能否 移 到边 所 在 的 直线
教 材提供 的仅 仅 是 一种 方 向 ， 条 线 索 ， 师 一 教
外 呢 ？当这 些点 分别 在它 们所 在 的直 线上运 动时 ， 是 否 只要 保 持 Ｇ 与 Ｅ 垂 直 ， Ｈ 与 Ｅ 就 相 等 Ｈ Ｆ Ｇ Ｆ
Ｇ Ｆ Ｈ＋ Ｑ Ｏ＝９ 。 Ｑ Ｐ＋／Ｇ Ｐ＝ ０ ． Ｍ， Ｑ Ｆ ０． Ｇ Ｑ ９。 又 因为 ／Ｆ Ｈ ＝ ／Ｇ Ｐ， 以 ／Ｑ Ｏ ＝／Ｑ Ｐ， Ｑ Ｑ 所 Ｆ Ｇ 从
变式题专题
试确定S1+S2+S3+S4与S的关系，并说明理由。
F A E H D
I G B C
（3）四边形ABCD为任意四边形，点E、F、G、H分别为AD、 AB、BC、CD的中点，连结EF、FG、GH、HE，分别以EF、 FG、GH、HE为边向外作平行四边形，且经过四边形ABCD各顶 点，四边形ABCD的面积记作S， △ AFJ、△AEI 、△ DEF…… △ BFK的面积依次记作S1、S2、S3……S8， 试确定S1+S2+S3+……+S8与S的关系，并说明理由。
变式题的意义及作用： 变式题的意义及作用：
对一道题进行适当的演变、引申、拓展，不仅 能提高学生的应变能力、探索能力，还能激发学生 思维的广阔性，发散性。使学生从不同的角度去观 察问题，思考问题，从而提高学生思维过程的整体 性、严密性，培养学生的综合素质。教学中教师要 深入细致的钻研课标，研究教材，深入挖掘习题潜 在的功能。即通过一个典型的例题，最大可能的覆 盖知识点，把分散的知识点串联成一条线，往往会 起到意想不到的效果，有利于知识的构建。
有三种情况，给了一种情况的结论，侧重 于全等三角形，相似三角形及三角形面积等， 通过一种情况的结论去猜想其它的两种情况， 并对其中一种猜想，加以证明，辅助线常用连 结、延长、补图、旋转等。
一 、在△ABC中，AB=AC，点O是BC的中点，点D是直 线BC上一点（不与B、C重合），过点D作DE⊥AB，垂足 为E，DF⊥AC，垂足为F，将△DEB沿DB对折，点E的对 应点为G，将△DFC沿DC对折，点F的对应点为H，连结 OG、OH。 (1)当点D与点O重合时，易证OG=OH
对一道概率题的探究
及 到的知识点之间的内在联 系 ， 通过知识体系 的构建 ， 对知识点进 行有效梳理， 为后续问题的解决提供依据和方法 。这种方法老师不
形式 ， 分式 内容进行 了“ 将 挖掘 和拓展 ”将几个 看似无 关 的知识 ，
点 ， 分式 、 如 函数 、 等式 等进行巧妙地加工与有 机整合 ， 不 使原本单 要干 巴巴地一条条地说 概念 ， 而是通过预设 的问题 ， 通过提 问提炼 薄 的复习 内容显得层次分明 ， 内涵丰富 ， 这样极 易刺激 一些优秀学 出知识主 干 ， 而通 过小 问题进行 “ 继 细化 ” 由“ 到“ ， ， 面” 点” 使整个 生 的求知欲和学习兴趣 。 知识体系网络化 、 系统 化， 使复 习内容“ 重点突 出、 次分 明” 主 。
＝ １ 一
，
∑ｌ （） ｌ ∑一 ６ １ｃ ｊ
一
当 ＝ ４时 ， ２ ； ｜ ５时 Ｐ Ｏ 当ｊ ｝ ＝
＝
．
由熟知的组合恒 等式 ｎ（
１ 萋 ）＝ ｃ
推广 ３ 把 ｍ封不同信件 投入 ｎ个不 同信箱 （ ）则 每个 ｍ≥ ，
即 得∑（ ）ｃ ： 一 ６ １
样 的平移得到 的？
有的复习 内容概念 性知识较 多 ，呈现知识结构 图是章节 或阶
段复习的一种常用方法 ，目的是让学 生从 整体 上 了解该 内容所涉
变式 ３当 为何值 时 ， ： 函数
Ｘ－ ｌ
的值总是正数？
从一道 课本 习题 出发 ， 师 以独特 的视角 通过“ 教 一题多变 ” 的
这一基本事件为 基本事件总数 为 ３；５袋 中集齐 ３ ５“ 种卡 片获奖”这一事件 可分两 两卡 ，
步进行 ： 一步从 ５袋 中选 ３袋放 置 Ａ Ｃ卡 片有 ， 第 Ｂ 第二 步 ， 其 余 两袋 或者 放 同一 卡片 ， 或者 放不 同卡 片 ， ３ ｃ 种 ； Ｐ 有 ＋ 故 ＝
对一道课本例题的推广与延伸
百
（ 此题 也 可 由 延 伸 ３得 出 答 案 ）
例 ２ （ ０ ７江 西 ） 图 ２０ 如 ３ 在 △ ＡＢ 中 ， ０ 是 Ｂ 的 ， Ｃ 点 Ｃ 中点 ， 点 。 的 直 线 分 别 交 直 过 线 ＡＢ， 于 不 同 的 两 点 Ｍ ， ＡＣ Ｎ， 若 万 ， 一 ， 则 ｍ＋ 的 值 为 ． 解 析 因 为 Ｏ 是 Ｂ 的 中 Ｃ 点 ， 以 一 所 ＋ 一 图 ３
以Ｏ为圆心的圆弧 上变动． 若 一 蕊 ＋ 菌 ，
其 中 ， ∈Ｒ， ｘ 则 ＋ｙ的 最 大 值 是 解 析 如 图 １ ， Ｏ 与 ＡＢ 相 交 于 点 Ｃ ， 延伸 ０设 Ｃ 由
．
— —
解 析 由延 伸 １ 延 伸 ２知 ｘ ０ ＞ Ｏ 且 ０ ｘ 及 ＜ ， ， ＜ ＋ １ 故 选 Ｃ ＜ ， ． 例 ７ （ ０ ６湖 南理 ） 图 ８Ｏ ／ＡＢ，点 Ｐ 在 由 ２０ 如 ，Ｍ ／ 射线 Ｏ ， 段 Ｏ Ｍ 线 Ｂ及 ＡＢ 的 延 长 线 围 成 的 区域 内 （ 不
（ 上接 第 ６ ２页 ）
到关 于 ｚ 的一 元 二 次 方 程 ， 用 韦 达 定 理 及 题 给 条 件 利
进行 转 化 ， 终 得 出 关 于 离 心 率 或 斜 率 的方 程 ， 而 使 最 从 问题 得 以解 决 ． 一 解 法 体 现 了方 程 （ ） 想 、 归 思 这 组 思 化 想 等 在解 决直 线 与 圆 锥 曲 线 位 置 关 系 问 题 中 的 运 用 ； 但运算复杂 、 大 ， 量 对代 数 运 算 能 力 的要 求 很 高 ． 解 法 二从 几何 角度 人 手 ， 平 面 几 何 图 形 为 载 体 ， 以 利 用 图形 直 观 ， 合 平 面 几 何 知 识 、 结 圆锥 曲线 的第 二 定 义 及 题 给 条 件 转 化 求 解 ． 一 解 法 充 分 体 现 了数 形 结 这 合思想在解析几 何 中的运 用． 一解 法 ， 这 回归 定 义 ， 利 用 图 形 直 观 ， 几 何 推 理 与 代 数 运 算 于 一 体 ， 免 了解 寓 避 法 一 的 复 杂 运 算 ， 问题 的解 决 变 得 简 捷 多 了． 使
万变不离其宗2016版高中数学课本典型试题改编系列之必修3解析版 含解析
万变不离其宗—-—2016版高中数学课本典型试题改编系列之必修31。
原题（必修3第13页例6)改编 已知程序框图如图1所示，则该程序框图的功能是（ )A.求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 1的前10项和()*N n ∈ B 。
求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 21的前10项和()*N n ∈C.求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 1的前11项和()*N n ∈ D.求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 21的前11项和()*N n ∈ 【答案】B.2.原题（必修3第15页思考）改编 在图2程序中所有的输出结果之和为 。
3。
原题(必修3第19页图1。
1—20）改编如图3，输出结果为.【解析】算法程序表示用二分法求函数2(2-)xf的零点，精确度为0。
=x1。
答案：1.4375.4。
原题（必修3第20页习题1。
1B组第二题)改编1某高中男子体育小组的50m的跑步成绩（单位：s)如下表:学123456789号i成6。
46。
57。
0 6.87。
17.3 6.97.07.5绩a i若图4中的程序用来表示输出达标的成绩，且输出结果为6.4，6.5,则达标成绩x的最大值为.（结果保留一位小数）.改编2某高中男子体育小组的50m的跑步成绩(单位:s)如下表: 123456789学号i成6。
46。
57。
06。
87。
17.36。
97.07。
5绩a i若图5中的程序用来表示输出达标的成绩，则从该小组中任取两名同学的成绩，至少有一名达标的概率为.5。
原题（必修3第33页习题1。
2B组第四题)改编在图6的程序框中,将输出的a的值分别记为a1,a2,a3…，若t=3，则数列{}n a的通项公式为.6. 原题(必修3第50页复习参考题A 组第三题）某铁路客运部门规定甲、乙两地之间旅客托运行李的费用：不超过50kg 按0。
53元/kg 收费，超过50kg 的部分按0.85元/kg 收费.相应收费系统的流程图如右图所示，则①处应填（ ）A 。
x y 85.0=B 。
()85.05053.050⨯-+⨯=x yC 。
一题多变多题归一(4个题)
一题多变 多题归一宁安市石岩学校 金同双知识是静态的，思维是活动的；例题、习题是固定的，而它的变化却是无穷的。
我们可以通过很多途径对课本的例题、习题进行变式，如：改变条件、改变结论、改变数据或图形；条件引申或结论拓展；条件开放或结论开放或条件、结论同时开放等。
通过一题多变、多题归一的训练，可以把各个阶段所学的知识、知识的各个方面紧密联系起来，加深对知识的理解，认识和体会数学是一个整体，但更重要的是可以起到举一反三的效应，解一道题懂一类题，提高效率的目的，激发学生的学习兴趣、创新意识和探索精神，培养他们的创新能力，学会学习。
纵观近几年全国各省市的中考数学试题可以发现，有很多题目都源于课本，特别是一些由基础知识推广与拓展、培养学生理解问题和分析问题、解决问题的题目，大多是由课本中的例题（或习题）改编而成，都能在课本上找到原型。
比如：（新人教版八年级上册第16页综合运用第9题）已知：如图点B 、E 、C 、F 在一条直线上，AB=DE ，AC=DF ，BE=CF 。
求证：∠A=∠D 。
评析：本习题主要训练学生运用“边边边”条件判定三角形全等，进而运用全等三角形的性质得出所求证的角相等。
由条件BE=CF 不难得出BC=EF ，又有已知条件AB=DE ，AC=DF 。
利用“边边边”条件可得△ABC ≌△DEF,从而∠A=∠D 得证。
就是这样的一道习题却成了各个省市中考命题的源泉，正所谓中考题是“源于课本又高于课本”的变式题。
就此题为例通过“改变条件、改变结论、改变数据或图形；条件引申或结论拓展；条件开放或结论开放或条件、结论同时开放等方面”命制几道变试题：一、填空题：1、如图，已知AC=EF ，BC=DE ，点A 、D 、B 、F 在一条直线上，要使△ABC ≌△FDE ，还需添加一个条件，这个条件可以是 。
【答案：∠C=∠E 或AB=FD 或AD=FB ；】2、如图，点B 、D 、C 、F 在一条直线上，且BC = FD ，AB = EF 。
对一道中考试题的赏析
…
一
…
一
…
一
…
一
…
～
李 式奇 （ 宁省 辽 阳 市教 师进 修 学院） 辽
题 目 （０ ９年 山 东 ・ ２０ 日照 卷） 如 图 １ ，
Ａ Ｍ Ｄ
ＣＧ．
已知 正方 形 Ａ Ｃ Ｂ Ｄ中 ，Ｅ为对角线 Ｂ Ｄ上 的一 点 ，过点 Ｅ作 Ｅ Ｆ上Ｂ Ｄ，交 Ｂ Ｃ于点
直角三角形斜 等于斜边 的 边上的中线 一坐 线段中点定义 几何表达式 垂直平分线 三角形 中线定 义 几何表达式 几何作 图 读懂作 图语言 引辅助线
证 法 ２ 如 图 ５ 延 长 Ｃ 至点 ， ： ， Ｇ
上 『
使 ＭＧ＝Ｃ Ｇ，连接 ＭＦ 、ＭＥ、Ｅ ． Ｃ
图 ２
表 １
图４
在 ＡＤ ＡＧ与 △Ｄ Ｇ中 ， Ｃ
因为 Ａ ：Ｃ Ｄ Ｄ，
所 以 Ｇ＝Ｃ ． Ｇ
Ｄ ＝ Ｃ Ｇ ＤＧ，
ＤＧ＝ＤＧ，所 以 △Ｄ △Ｄ Ｇ ＡＧ Ｃ ．
Ｆ Ｃ
＿ 一角形 全等的 判定
ＳＳ Ａ
ＡＳ Ａ
图 １
在 ＡＤ ＭＧ与 ＡＦ Ｇ中 ， Ｎ
考 查 学 生 对 几 何 知识 的综 合 运 用 和 推 理判
在 ＡＦ ＭＧ 与 ＡＤＣ 中 ， Ｇ
因为 Ｆ ＝Ｄ Ｇ Ｇ， ￣ＭＧ ＝ Ｃ Ｄ， Ｆ Ｇ ＭＧ＝Ｃ Ｇ，所 以 △Ｆ △ＤＣ ． ＭＧ Ｇ
Ｂ Ｃ
图 ３
所 以 ＭＦ＝Ｃ Ｆ Ｄ。 ＭＧ＝ ＤＣ ． Ｇ
正 方形
Ｄ ！ Ｆ Ｇ ＭＧ Ｎ ．
性质 性质
性质
判定
判 定
旋转 ４ 。 ５ ，如图 ２所示 ，取 Ｄ Ｆ的中点 Ｇ， 连接 Ｅ Ｇ、Ｃ ．问 （ ） 的结论 是 否仍 然 Ｇ １中 成立 ？若 成立 ，试 给出证 明 ；若不成立 ，
曲径通幽 拨云见日——对一道解析几何试题的探究
2020年第8期(上)中学数学研究43曲径通幽拨云见日—–对一道解析几何试题的探究重庆市合川中学(401520)黄富国王安国李娟摘要借助一道常规考题,进行适当拓展、变式,运用类比推理,培养学生的逻辑推理能力和发散思维能力,提升学生的数学学科核心素养和创新意识.关键词解析几何;定点;对称1试题呈现题目1(2020年重庆合川中学高二上期期中考试)已知圆心在x 轴的正半轴上,且半径为2的圆C 被直线y =√3x截得的弦长为√13.(Ⅰ)求圆C 的方程;(Ⅱ)设动直线y =k (x −2)与圆C 交于A ,B 两点,则在x 轴正半轴上是否存在定点N ,使得直线AN 与直线BN 关于x 轴对称?若存在,请求出点N 的坐标;若不存在,请说明理由.解(Ⅰ)圆C 的方程为(x −1)2+y 2=4.(Ⅱ)设N (t,0),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由(x −1)2+y 2=4,y =k (x −2),得(k 2+1)x 2−(2+4k 2)x +4k 2−3=0,所以x 1+x 2=2+4k 2k 2+1,x 1x 2=4k 2−3k 2+1,若直线AN 与直线BN 关于x 轴对称,则k AN =−k BN ⇒y 1x 1−t +y 2x 2−t=0,即k (x 1−2)x 1−t +k (x 2−2)x 2−t =0,化简整理得2x 1x 2−(t +2)(x 1+x 2)+4t =0,所以2(4k 2−3)k 2+1−(2+4k 2)(t +2)k 2+1+4t =0,化简整理解得t =5,所以当点N 为(5,0)时,直线AN 与直线BN 关于x 轴对称.试题以圆为背景,考查圆的方程,直线与圆的位置关系,探索是否存在满足条件的定点.从改卷的结果来看,本题的校平均分只有4.38,分数不够理想.针对这一种情况,笔者在考后与学的生交流中,发现部分学生不知如何将直线AN 与直线BN 关于x 轴对称这一问题情境转化为数学关系式;有的学生虽然想到转化,但因运算错误导致结果错误.对称、定点问题是解析几何中的重要问题之一,有必要对此类问题进行全面、深入的探究.2试题拓展数学家波利亚曾说:“解题就像采蘑菇,当你发现一个蘑菇时,它的周围可能有一个蘑菇圈.”解答完本题后,我们对题目1中第(Ⅱ)问作如下反思:1.动直线y =k (x −2)与圆C 交于A ,B 两点,在x 轴负半轴上是否存在定点N 使得直线AN 与直线BN 关于x 轴对称?2.若把动直线改为y =k (x −5),则在x 轴上是否存在定点N ,使得直线AN 与直线BN 也关于x 轴对称.上图中的三角形满足a 2n +2=S 2n +1+S n +1+1,易得θn =2θn +1,因为θ1=π3,所以θn =π3·(12)n −1,在图(1)的三角形中利用正弦定理可得1sin θn −1=a n +1sin 2π3,所以a n =√32/sin (π3×2n −1).三角函数的应用极为广泛,可以沟通不同的数学知识点,如三角与不等式,三角与函数,三角和解析几何,三角与数列等等,利用三角代换,常常可以突破难点,提供简单的解决方法.三角代换是一种典型、实用且简便的解题方法.本文探讨如何依据三角函数公式,通过类比的方法求出有关递推数列的通项问题,涉及两角和的正切公式,正切的二倍角公式,余弦定理,正弦定理以及数列求通项公式的联合应用.数列是高中教材的重点和难点,而递推数列则是难点中的难点,多数为探求数列的性质.而且有许多问题可以借助三角公式进行代换从而得到巧解.44中学数学研究2020年第8期(上)3.过圆外x轴上的点,作两条关于x轴对称的直线与圆相交,连接不对称两点的直线,则该直线是否过定点?4.一般地,对于圆C:(x−a)2+y2=r2,过圆内x轴上点P的直线与圆C交于A,B两点,若在x轴上存在定点N使得直线AN与直线BN关于x轴对称,那么P,N两点的坐标与半径r之间又存在怎样的数量关系?为了探究以上问题的方便,不妨设圆的方程为x2+y2=r2,笔者通过逐步、深入地分析,得如下结论.结论1已知圆O:x2+y2=r2,P(t,0),Q(n,0)是x轴上不同的两点(都异于圆心和左右顶点),过点Q的直线l与椭圆C交于A,B两点,则直线P A,P B关于x轴对称的充要条件是tn=r2.证明当直线l与x轴重合时,直线P A,P B关于x对称,此时tn可以取任意实数;当直线l不与x轴重合时,设直线AB方程为x=my+n,A(x1,y1),B(x2,y2),由x2+y2=r2,x=my+n,得(m2+1)y2+2mny+n2−r2=0,所以y1+y2=−2mnm2+1,y1y2=n2−r2m2+1,因为直线P A与直线P B关于x轴对称⇔k P A+k P B=0⇔y1x1−t +y2x2−t=y1my1+n−t+y2my2+n−t=0,故k P A+k P B=0⇔2my1y2+(n−t)(y1+y2)=2m(n2−r2)m2+1+(n−t)(−2mn)m2+1=0⇔2m (tn−r2)=0⇔tn=r2,综上,直线P A,P B关于x对称的充要条件是tn=r2.结论中呈现了直线与圆位置关系,直线与直线的对称关系以及定点坐标间的数量关系,结合图形的几何特征,我们可从静态和动态两个方面对结论1中的图形做图1进一步赏析.从静态方面看,在图1中,延长P B交圆O于D,连接CD,若直线P A,P B关于x轴对称,由图形的对称性,易得直线QA,QC也关于x轴对称;反之亦成立.从动态方面看,在图2中,直线AB绕Q点旋转时,若直线P A,P B关于x轴对称,则直线QA,QC也关于x轴对称且动直线AC过定点P;反过来,直线AC绕点图2P旋转时,若直线QA,QC关于x轴对称,则直线P A,P B 也关于x轴对称且动直线AB过定点Q.再结合圆的几何性质,当直线AB绕定点Q旋转时(不重合于x轴),∆AOQ ∆AOP始终成立,定点P,Q的坐标关系也可通过如下方式证明.证明图3为去除坐标轴的平面几何图形.连接AO并延长交圆O于D,连接BD;延长P B交圆O于C,连接AC交P O于E.因为AD为圆O的直径,所以∠ABD=∠P EC=90◦;又图3因为∠ADB=∠ACB,所以Rt∆ABD Rt∆P CE.因为Rt∆P CE =Rt∆P AE,所以Rt∆ABD Rt∆P AE,得∠OAQ=∠AP Q,又∠AOQ=∠AOP,所以∆AOQ ∆AOP,故|OQ||AO|=|AO||OP|,即nt=r2.可以发现,相比较于代数法,平面几何法的证明过程要显得简洁直观.因为解析几何问题本质是几何问题,它们本身就包含一些很重要的几何性质.如果我们可以充分利用这些几何性质,它们其实就是纯几何问题,完全可以借助平面几何的知识加以解决.这样不但能避开繁琐的代数运算,使解决问题的过程得到简化,而且能更好地揭示问题的本质.3试题推广椭圆可由圆“压缩”而得到,类比于圆,椭圆是否也具有类似的结论呢?回答是肯定的.结论2已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0), P(t,0),Q(n,0)是x轴上不同的两点(都异于椭圆的中心和顶点),过点Q的直线l与椭圆C交于A,B两点,则直线P A,P B关于x轴对称的充要条件是tn=a2.证明当直线l与x轴重合时,直线P A,P B关于x 对称,此时tn可以取任意实数;当直线l不与x轴重合时,设直线l的方程为x=my+n,A(x1,y1),B(x2,y2).则由x2a2+y2b2=1x=my+n得(m2b2+a2)y2+2mnb2y+b2n2−a2b2=0.y1+y2=−2mnb2m2b2+a2,y1y2=b2n2−a2b2m2b2+a2.因为2020年第8期(上)中学数学研究45直线P A,P B 关于x 对称⇔k P A +k P B =0,而k P A +k P B =y 1x 1−t +y 2x 2−t=y 1my 1+n −t +y 2my 2+n −t =2my 1y 2+(n −t )(y 1+y 2)(my 1+n −t )(my 2+n −t )故k P A +k P B =0⇔2my 1y 2+(n −t )(y 1+y 2)=2m (b 2n 2−a 2b 2)mb 2+a 2+(n −t )(−2mnb 2)m 2b 2+a 2=0⇔2mb 2(tn −a 2)=0⇔tn =a 2综上,直线P A,P B 关于x 对称的充要条件是tn =a 2.椭圆、双曲线和抛物线同属于圆锥曲线,它们往往有相通的性质.笔者利用几何画板探究双曲线和抛物线,发现它们也具有这一类似性质,又得下述结论.结论3已知双曲线C :x 2a 2−y 2b2=1(a,b >0),P (t,0),Q (n,0)是x 轴上不同的两点(都异于双曲线的中心和顶点),过点Q 的直线l 与双曲线C 交于A,B 两点,则直线P A,P B 关于x 轴对称的充要条件是tn =a 2.结论4已知抛物线C:y 2=2px (p >0),P (t,0),Q (n,0)是x 轴上不同的两点(都异于抛物线的顶点),过点Q 的直线l 与抛物线C 交于A,B 两点,则直线P A,P B 关于x 轴对称的充要条件是t +n =0.双曲线的证明只需将椭圆中b 2换成−b 2即可,抛物线的证明方法和椭圆、圆类似,其证明过程在此不再赘述,读者可自行证明.上述结论体现了数学对称、简洁、和谐和统一之美,同时它们已成为高考命题的一个藏宝库.笔者查阅了近几年的高考试题,发现圆锥曲线中的这一结论已考查过多次,如2013年陕西卷理科第20题,2015年全国Ⅰ卷理科第20题,2015年高考北京理科第19题,2015年四川理科第20题,2018年全国理科Ⅰ卷第19题等.通过对图形的对称性进一步分析,我们也可大胆猜想,图像关于坐标轴对称的曲线方程f (x 2,y )=0、f (x,y 2)=0、f (x 2,y 2)=0也都具有这一类似结论.4试题变式下面利用结论对试题进行变式.变式1如图4,已知P 为圆O 外一点,P O 为∠AP B 的角平分线,弦AB 交P O 于点Q .若|OQ |=2,|OP |=8,求圆O 的半径长?此题与文首试题1本质上完全一致,固定点P,Q 到圆心O 的距离,把题目中的直线P A,P B 关于x 轴对称,等价转换为P O 是∠AP B 的角平分线,从而得到一个纯平面几何题.显然,由结论1可得r =√|OP ||OQ |=4.图4图5变式2如图5,已知椭圆C :x 24+y 23=1,过点P (4,0)的直线与椭圆C 交于A,B 两点,设O 为原点,点M 与点A 关于x 轴对称,直线MB 交x 轴于点Q ,问:y 轴上是否存在点N ,使得∠ONP =∠OQN ?若存在,求出N 点坐标;若不存在,请说明理由.此题为文首试题1的简单变形,把以圆为背景替换为椭圆,并设置条件A 关于x 轴对称M ,再结合P,Q 两点坐标的数量关系,从而把试题改造为探索性、开放性试题.由结论2和此题条件可知,Q 为定点且坐标为(1,0),若在y 轴上存在N 点使得∠ONP =∠OQN ,则Rt ∆OP N Rt ∆OQN .得|OQ ||ON |=|ON ||OP |,即|ON |2=4,故在y 轴上存在点N 坐标为(0,±2).当然,此题也可利用解析法进行求解.5结束语解析几何问题的本质仍是几何问题,解题时要善于“拨云见日”,充分把握解析几何图形的特征,紧扣其中的关键几何要素,挖掘图形的几何性质,恰当地运用平面几何的相关的知识,往往能简化运算,优化解题过程,能起到四两拨千斤的功效.波利亚曾说:与其穷于应付繁琐的数学内容和过量的题目,还不如适当选择某些有意义的题目去帮助学生发掘题目的各方面,在指导学生解题的过程中,提高他们的才智和推理能力.教师选定一个典型试题,引导学生对试题进行拓展和推广,并将问题引向深入,探索隐藏在题目背后的奥秘,挖掘题目的真正内涵,找到解决这个问题与解决其他问题在思维上的共性.这样我们才能领会试题命制的深刻背景,才能引领学生跳出题海,真正做到触类旁通,举一反三.在此过程中,同时培养了学生的逻辑推理能力和发散思维能力,还无形中提升了学生的核心素养.参考文献[1]G.波利亚.怎样解题[M].北京:科学出版社,2006.[2]王安国,李娟.对2019年高考全国Ⅲ卷理科第21题的探究[J],中学数学研究(华南师范大学版),2019(8):23-25.[3]王安国,李娟.追溯本源拓展外延——以2019年全国理科Ⅱ卷第21题为例[J],高中数学教与学,2019(11):32-34.。
利用课本习题加强发散性思维训练
利用课本习题加强发散性思维训练
康林
【期刊名称】《科技信息（学术版）》
【年(卷),期】2011(000)018
【摘要】在当前的数学教学中，普遍存在着比较重视集中思维的训练，而相对忽视了发散思维的培养。
发散思维是理解教材、灵活运用知识所必须的，也是迎接信息时代、适应未来生活所应具备的能力。
【总页数】1页(PI0276-I0276)
【作者】康林
【作者单位】新疆师范大学附属中学
【正文语种】中文
【中图分类】O173.1
【相关文献】
1.充分利用课本例题、习题进行中考复习--由一道课本复习题到中考动点题型 [J],
2.利用课本习题加强素质教育 [J], 白明祖
3.利用课本习题变式提高习题课教学效果 [J], 谢继林
4.加强教材习题的研究,让学生的思维展翅飞翔r——对一道课本习题的探究与思考[J], 田卫东
5.利用课本习题加强素质教育 [J], 白明祖
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对一道江苏高考试题的解法赏析和变式探究
对一道江苏高考试题的解法赏析和变式探究郭建华;于健【摘要】文章通过对一道江苏省数学高考试题的解法赏析和变式探究,让题目充分发挥巩固基础知识、提炼解题方法、发展思维的作用,通过"一题多解"和"变式探究"让学生选择不同的角度思考问题和探究问题,为学生创造更广阔的思维空间,同时也符合现在高考"多考想,少考算"的基本理念.【期刊名称】《中学教研：数学版》【年(卷),期】2017(000)001【总页数】4页(P38-41)【关键词】高考试题;解法赏析;变式探究;拓展思维【作者】郭建华;于健【作者单位】南京市第二十九中学江苏南京 210036;金陵中学江苏南京 210005【正文语种】中文【中图分类】O123.1题目如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的⊙M:x2+y2-12x-14y+60=0及其上一点A(2,4).1)设⊙N与x轴相切，与⊙M外切，且圆心N在直线x=6上，求⊙N的标准方程；2)设平行于OA的直线l与⊙M相交于点B，C，且BC=OA，求直线l的方程；3)设点T(t,0)满足：存在⊙M上的2个点P和Q，使得，求实数t的取值范围.在新课改下，对圆锥曲线的教学要求已经降低，对韦达定理的考查已经弱化，因此高考对解析几何题的考查也会发生变化.2016年江苏省数学高考第18题以圆为背景，主要考查直线方程、圆的方程、直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系以及平面向量的运算等知识.此题并非怪题、偏题，考生们很容易接受.本题的平均得分为7.07分，主要是第3)小题得分较低.考生对解析几何中多变量问题的处理较为困难，就本题而言很多考生对的实质理解不到位，致使解题目标不明确，因而导致错误．本题的命题特色如下：一是动静结合，化动为静；二是化相等为不等，实现质的突破.这2点既是本题的亮点，也是难点.第1)，2)小题考查直线和圆的基础知识和基本技能，贴近教学实际，既注重全面，又突出重点[1]；第3)小题重点考查利用动点轨迹的分析求参数的范围问题，主要考查探究思维，将圆、平行四边形的性质和数学思想方法有机地结合起来.点多面广，让学生选择不同的角度思考问题和探究问题，为学生创造更广阔的思维空间，同时也符合现在高考“多考想，少考算”的基本理念.既注重知识间内在联系的考查，又以能力立意，注重对中学数学中蕴含的数学思想方法的考查.笔者对第3)小题进行了全新的审视和研究，获得了4种不同的解法和3个变式探究，现整理如下，供读者参考．笔者着重对第3)小题进行剖析.1)⊙N的标准方程为(x-6)2+(y-1)2=1(过程略).2)直线l的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0(过程略).3)解法1 构造轨迹,凸显方法.设P(x1,y1)，Q(x2,y2).因为,所以又因为点Q在⊙M上，所以将式(1)代入式(2)，得于是点P(x1,y1)既在⊙M上，又在圆上，从而圆与圆有公共点，因此解得于是，实数t的取值范围是].点评解法1为轨迹法，是学生最易想到、最易理解的一种解法．先通过对进行分析，将向量式坐标化，得出点P，Q间的坐标关系，适当选择一个点分析，用代入法构造该点的轨迹，再利用圆与圆的位置关系求参数的范围.构造能把一些看似复杂的问题简单化、具体化和创新化，并能促使各个章节的知识有机地结合，不仅加强了知识间的纵横联系，还能激发学生探究问题的兴趣，更有利于培养学生的创造性思维，在解析几何中是常用的解题手段[2].考生通过对第2)小题的解答，也会考虑利用平面几何图形的性质求解，于是笔者给出下面一种解法.解法2 巧用转化,破解有方.由A(2,4)，T(t,0)，得直线AT的方程为从而存在⊙M上的点P和Q，使得，易得四边形ATPQ为平行四边形，则AT∥PQ且|AT|=|PQ|，于是过点M作MN⊥PQ于点N，设直线PQ的方程为则又MQ2=MN2+NQ2，得化简得4m2+8(10+7t)m+[(t-2)2-34]2-2 500+4(10+7t)2=0，即原问题转化为关于m的一元二次方程有解，由Δ≥0，解得因此，实数t的取值范围是点评解法2借助于图形的几何性质求解.受第2)小题启发，学生很容易想到，结合平行四边形和圆的几何性质，即联结圆心M与弦PQ的中点N，易知MN⊥PQ，结合MQ2=MN2+NQ2，将平面几何问题转化为代数运算问题，再结合函数与方程的思想求解.美中不足的是化简所得方程的形式较复杂、计算量较大、容易出错.通过对图形的观察和题意的理解，也可以换个角度思考问题，会给解题带来全新的感觉.因此笔者尝试用三角换元的方法求实数的范围，运算过程也较解法2简洁．解法3 三角助阵,别有洞天.由⊙M的方程可设Q(6+5cosα,7+5sinα)，又T(t,0)，设QT中点为N，则点N 的坐标为,由，易得四边形ATPQ为平行四边形，则AP的中点也为N，易得P(4+t+5cosα,3+5sinα).又点P在⊙M上，得化简得40sinα-10(t-2)cosα=16+(t-2)2，即,其中.又由sin(α-φ)≤1，得解之得因此，实数t的取值范围是点评解法3为三角换元法，也是解与圆有关问题的常用方法.当题设条件中出现等时，可以考虑用三角换元法求解.由点Q在⊙M上，设Q(6+5cosα,7+5sinα)，再利用三角函数的有界性，把方程转化为不等式求解.对于解析几何题，要想得到更简洁的方法，必须深刻理解题意，挖掘图形中的隐含条件，笔者利用圆中弦PQ的性质，给出一种更简洁的解法.解法4 以定制动,出奇制胜.由，易得四边形ATPQ为平行四边形，由圆的性质，显然有PQ≤10.又A(2,4)，T(t,0)，得即解得对任意的]，要使，此时||≤10，只要作TA的平行线，使得圆心到直线的距离为，必然与圆交于点P和Q，此时.因此，实数的取值范围是].点评解法4明显优于前3种解法.观察和分析图形特征，研究问题的临界状态，使得因果关系变得更加明显，利用临界位置化动为静，把复杂的问题简捷求解.特别是处理几何中的存在性问题，常常考虑与之相关的“临界”状态，会给解题带来出奇制胜的效果.“变式探究”可以帮助学生透过表象理解基本概念、掌握解题规律、领悟思想方法、养成科学的数学思维习惯，从而达到以不变应万变的目的.变式问题的设计要具有层层递进、螺旋上升的特点，这样才能发挥变式题的辐射功能.在学生的“最近发展区”内引导探究，达到“解一题，通一类”的效果.通过变式教学，引导学生通过现象看本质，更有利于培养学生思维的深刻性.4.1 变换视角,拓展思维变式1 如图2，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的⊙M:x2+y2-12x-14y+60=0.设点T(t,0)满足：⊙M上存在点P，使∠MTP=30°，求实数t的取值范围.解联结MT，过点T作⊙M的切线，与圆相切于点Q，根据圆的切线性质，有反之，若∠MTQ≥30°，则⊙M上存在一点P使得∠MTP=30°，因此⊙M上若存在点P，使得∠MTP=30°，则∠MTQ≥30°，由MQ=5，得MT≤10，即解得因此，实数的取值范围是].点评换个视角考查圆的切线性质、直线与圆的位置关系.由分析得过点T作圆的切线，切线与TM成的角是圆上的点与TM所成角的最大值，因此只要此角大于等于30°即可.通过对实数t范围的求解，综合考查学生的运算求解能力、探究能力以及如何利用临界值分析法处理问题的能力.4.2 相似变式,巩固提升变式2 如图3，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的⊙M:x2+y2-12x-14y+60=0及其上一点A(2,4).设点T(t,0)满足：存在⊙M上的2个点P和Q，使得四边形ATPQ为菱形，求实数t的取值范围.解假设存在四边形ATPQ为菱形，则，设线段AP与TQ交于点N，则NA=NP，且NT=NQ.设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，则又NA=NP，得由，得即点Q在⊙M上，从而且P(x1+t-2,y1-4)也在⊙M上，因此即圆 x2+y2-4x-8y-t2+4t=0,圆 x2+y2-12x-14y+60=0与圆x2+y2+(2t-16)x-22y+t2-16t+160=0相交于点P，则实数t要满足，由式(3)和式(4)得式(5)-式(4),得当时，方程(6)和(7)无解，故不满足题意，于是.联立方程(6)和(7)，解得点P的横坐标为，又点P在⊙M上，则解得或因此，实数t的取值范围是].变式3 如图4，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的⊙M:x2+y2-12x-14y+60=0及其上一点A(2,4)，存在⊙M上的2个点P和Q，使得(其中λ>0)，求实数λ的取值范围.解设P(x1,y1)，Q(x2,y2).因为A(2,4)，O(0,0)，由(其中λ>0)，得即因为点P在⊙M上，所以将式(8)代入式(9)，化简得即点Q在圆上，也在圆(x-6)2+(y-7)2=25上，因此2个圆有公共点，满足解之得，于是实数λ的取值范围为.点评轨迹问题是指满足一定条件的动点所形成的轨迹(曲线)的形状、大小、性质等问题，解析几何采用坐标法来处理轨迹问题.基于方程来研究曲线，需要找准所要研究的代数目标和运算方法.纵观历年高考对轨迹方程的考查，主要分为2类：一类是“显性”的轨迹题，即题中明确告诉你要求的轨迹方程(或求某种特殊的曲线方程)，这类问题的解题目标明确，解题方向容易把握；另一类是“隐性”的轨迹题，表面上题目与求轨迹方程无关，但需要把问题转化为求轨迹方程才能更好地解决，这类问题具有一定的隐蔽性，解题方向不易把握，有时解题会陷入困境[3]．笔者在原题的基础上设计了与轨迹相关的变式探究，变式2是第3)小题的特殊情况，变式3通过改变参数的形式加强对轨迹问题的理解和掌握.因此在解题中要不断引导学生从不同角度分析问题，加强解题方法的对比，通过对题设条件的挖掘和再创造，寻求更好的求解方案.这样不仅有利于培养他们的钻研精神和创造能力，而且有利于思维灵活性的培养和陶冶情操，体会数学带来的快乐[4].通过“一题多解”和“变式探究”,让学生从多个角度分析同一个数学模型，在数学教学中深化知识理解，培养学生创新意识和发散思维能力；让学生能充分应用所学的知识解决同一个问题，把握知识间的纵横联系，形成一个完整的知识网，而不是零散的、互不干扰的知识点；突破学生平时解题时形成的一种先入为主的思维定式，大大扩展了解题思路，激发学生学习数学的兴趣和创新意识，克服对数学的畏难情绪.【相关文献】[1] 江苏省教育考试院.2016年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)说明[M].江苏：江苏凤凰教育出版社，2015.[2] 郭建华.例谈解题中“辅助圆”的构造[J].高中数学教与学，2014(11)：22-24.[3] 徐勇.例说与圆有关的“隐性”轨迹[J].福建中学数学，2015(11)：42-44.[4] 郭建华.再谈一道填空题的另解妙解[J].中学数学研究，2016(6)：36-37.。
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对一道课本习题的变式、推广与思考波利亚指出：“拿一个有意义又不复杂的题目去帮助学生发掘问题的各个方面，使得通过这个题目就好像通过一道门户，把学生引入一个完整的领域。
”题目：已知ABC ∆两个顶点()()0,6,0,6B A -，边BC AC ,所在直线的斜率之积等于94-，求顶点C 的轨迹方程。
（北师大版数学选修2-1第三章§1椭圆习题3-1A 组第8题） 一、动手实践，掌握方法解析：设()y x C ,，则直线BC AC ,的斜率分别是()6,66,621-≠≠-=+=x x x yk x y k ， 根据题意，9421-=⋅k k ，所以 943622-=-x y ，化简，得()6,61163622-≠≠=+x x y x 所以顶点C 的轨迹是椭圆，去掉左右顶点。
评析：（1）典型的用直接法求动点的轨迹方程，注意6,6-≠≠x x ，一方面它保证了直线BC AC ,的斜率的存在性，另一方面符合C 为ABC ∆的一个顶点，C B A ,,不能共线。
（2）题目的几何条件包括“两个定点、一个动点、一个定值，两条直线的斜率，一个等量关系”。
（3）轨迹是椭圆，去掉左右顶点。
二、引进参数，化静为动变式1、已知两个定点()()()00,,0, a a B a A -，动点C 满足直线BC AC ,的斜率之积等于()0≠m m ，试讨论动点C 的轨迹。
分析：首先确定动点C 的轨迹方程，然后依据方程判定它的轨迹。
解析：设()y x C ,，则直线BC AC ,的斜率分别是ax yk a x y k -=+=21,，()a x +-≠，根据题意，m kk =⋅21，所以m a x y =-222，化简，得动点C 的轨迹方程12222=-may a x ，所以 1、当0 m 时，动点C 的轨迹是焦点在x 轴上的双曲线，去掉它的两个顶点； 2、当0 m 时（1）若1-=m ，则动点C 的轨迹方程为222a y x =+，所以它的轨迹是圆心在原点，半径为a 的圆，去掉与x 轴的两个交点；（2）当01 m -时，22ma a - ，所以动点C 的轨迹是焦点在x 轴上的椭圆，去掉左右顶点；（3）当1- m 时，22ma a - ，所以动点C 的轨迹是焦点在y 轴上的椭圆去掉左右顶点。
评析：引进参数，化静为动，培养学生分类讨论的数学思想，发展学生的数学思维能力。
注意到变式1并没有改变题目中的几何关系，但是参数值及它的的符号决定了轨迹的不同形式——圆、椭圆、双曲线，这也从一个侧面说明三种曲线之间有着内在的联系，可以想象当参数m 由()+∞→≠→-→∞-001变化时，动点c 的轨迹由焦点在y 轴上的椭圆，变为圆，再变为焦点在x 轴上椭圆，然后蜕变为焦点在x 轴上的双曲线，这确实是一个神奇的过程。
三、变换条件，探究结果波利亚曾指出：“好问题同某种蘑菇有些相像，它们都成堆地生长，找到一个以后，你应当在周围找找，很可能附近就有好几个。
”在解题教学活动过程中要学会采“蘑菇”，善于引导学生对一个好问题进行变式改造，如改变题目的条件、结论、图形、叙述方式等，进而对问题进行更深层次的探索，这样灵活的运用变式教学，既可以免于搞题海战术，减轻学生负担，做到深入浅出，以点带面，以少胜多，又能较好的培养学生的思维能力，克服思维定势，提高学生的解题能力及应变能力，而且能激发学生学习数学的兴趣，提高学习积极性。
[]1变式2、已知两个定点()()()00,,0, a a B a A -，动点C 满足直线BC AC ,的斜率之商等于常数()0≠m m ，试探求动点C 的轨迹。
解析：设()y x C ,，则直线BC AC ,的斜率分别是ax y k a x y k -=+=21,，()a x +-≠，根据题意,m kk=21所以m a x a x =+-，整理，得a mm x -+=11因为,0≠m 所以a x ≠，又111-=-+mm 无实数解，所以a x -≠，故动点C 的轨迹方程是a mm x -+=11()0≠m 。
1、当1=m 时，a mm -+11无意义，动点C 的轨迹不存在，即21k k =不可能成立；2、当0≠m 且1≠m 时，动点C 的轨迹是一条平行于y 轴的直线。
变式3已知两个定点()()()00,,0, a a B a A -，动点C 满足直线BC AC ,的斜率之差等于常数m ，试探求动点C 的轨迹。
解析：设()y x C ,，则直线BC AC ,的斜率分别是()a x a x ax yk a x y k -≠≠-=+=,,21 不妨假设m k k =-21，所以m ax ay=--222 1、若,0=m 则0=y ，所以动点C 的轨迹方程是x 轴上去掉两个点B A ,; 2、当0≠m 时，整理，得⎪⎭⎫⎝⎛--=222ma y m a x ，所以动点C 的轨迹是焦点在y 轴上的抛物线，去掉B A ,两个点。
评析：将原来题目中的斜率之积为常数，变换为斜率之商、斜率之差等于常数，引导学生思考交流、合作探究，学会运用运动变化的观点，辩证的思维方式认识问题、分析问题，能够深入问题的内部，抓住问题的本质，从而有效提升学生的数学素养。
四、前后互易，探究必要性变式4、已知ABC ∆两个顶点()()0,6,0,6B A -，顶点C 的轨迹方程是()6,61163622-≠≠=+x x y x ，探究：边BC AC ,所在直线的斜率之积是否为定值？解析：设()y x C ,，则直线BC AC ,的斜率分别是()6,66,621-≠≠-=+=x x x y k x y k ，那么()9436369436222221-=--=-=⋅x x x y k k ，所以边BC AC ,所在直线的斜率之积为定值，等于94-。
评析：1、结合变式4可知，边BC AC ,所在直线的斜率之积等于94-是顶点C 的轨迹是椭圆()6,61163622-≠≠=+x x y x 的充要条件。
2、联想：已知B A ,分别是椭圆()012222 b a by a x =+的左右顶点，点C 是椭圆上异于B A ,两点的任意一个点，直线BC AC ,的斜率分别是21,k k ，则2221ab k k -=⋅。
变式5、已知ABC ∆的顶点()0,6-A ,顶点C 的轨迹方程是()6,61163622-≠≠=+x x y x ,且边BC AC ,所在直线的斜率之积等于94-，探究：顶点B 是定点吗？解析：设()n m B ,，()y x C ,，则直线BC AC ,的斜率()m x x mx ny k x y k ≠-≠--=+=,6,621， 根据题意946-=--⋅+m x n y x y ，整理，可得()m ny x m y x 249649422=--++又顶点C 的轨迹方程是1449422=+y x ，所以方程()14424964-=--m ny x m 对()[]4,4,6,6-∈-∈y x 恒成立，所以0,6==n m ，即顶点B 是定点()0,6。
评析：在解题教学活动中进行探究式教学有助于培养学生思维的深刻性，引导学生透过现象看本质，洞察数学对象的本质及联系。
很多数学问题，条件关系比较隐蔽，如果只看问题的表面，是无从下手的。
因此在解题教学活动中，要进行由表及里探索，抓住问题的本质和规律。
[]1 五、引入直线，追踪高考变式6、已知ABC ∆两个顶点()()0,6,0,6B A -，边BC AC ,所在直线的斜率之积等于94-， （1）求顶点C 的轨迹E 的方程；（2）设直线l 与曲线E 仅有一个公共点D ，求原点()0,0与直线l 的距离的取值范围。
解析：（2）()I 若直线l 与曲线E 相切于点D ，设直线l 的方程为：m kx y +=，代入E 的方程：1449422=+y x ，消去y ，得()014491894222=-+++m mkx x k ，由0=∆，得163622+=k m ①又原点()0,0与直线l 的距离12036112222+-=+=+=k k m k m d 根据题意，,02≥k 所以36120162+≤k ，所以64 d ≤，即点()0,0与直线l 的距离的取值范围是[)6,4 ()II 若直线l 过点A 或点B ,根据对称性，仅考虑直线l 过点A ，设其方程为()6+=x k y ，根据题意0≠k且原点()0,0到直线l 的距离13636136162222+-=+=+=k k k k k d ，因为0≠k ，所以3613602 +k ，60 d ， 即原点()0,0与直线l 的距离的取值范围是()6,0。
综上所述，点()0,0与直线l 的距离的取值范围是[)6,4或()6,0。
变式7、将椭圆1163622=+y x 进行均匀压缩，使得长轴变为原来的66倍，离心率变为原来的10103，得到椭圆E '。
直线l :y ＝－x +3与椭圆E '有且只有一个公共点T . （I ）求椭圆E '的标准方程及点T 的坐标；（II ）设O 是坐标原点，直线l '平行于OT ,与椭圆E '交于不同的两点A 、B ，且与直线l 交于点P .证明：存在常数λ，使得PB PA PT ⋅=λ2，并求λ的值.解析：容易求得椭圆E '的方程为22163x y+=，点T 坐标为（2,1）.()II 由已知可设直线l '的方程为()021≠+=m m x y由方程组⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=321x y m x y ，可得321,322my m x +=-= 所以P 点坐标为2298,321,322m PT m m =⎪⎭⎫ ⎝⎛+-① 设点()()2211,,,y x B y x A由方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==+m x y y x 2113622，可得()01244322=-++m mx x ② 方程②的判别式()22916m -=∆，由0 ∆，得-223223m 由②得212124412=,33m m x x x x -+-=.所以123mPA x ==--，同理223m PB x =--，结合①、②可得 12522(2)(2)433m m PB PB x x ⋅=----21212522(2)(2)()433m m x x x x =---++ 225224412(2)(2)()43333m m m m -=----+2109m =.故存在常数45λ=，使得2PT PA PB λ=⋅.评析：解析几何综合题，一般涉及直线与圆锥曲线的位置关系，对应的题型有定值（定点）问题，最值（参数范围）问题，在解决这类问题的过程中，注意数形结合、回归定义、等价转化、设而不求、巧设坐标、引入向量等数学思想方法的灵活运用，它可以降低思维量，减少运算量。