高考数学选择题常考考点专练3
2020年高考数学(理)重难点专练03 空间向量与立体几何(解析版)
2020年高考数学（理）重难点03 空间向量与立体几何【高考考试趋势】立体几何在高考数学是一个必考知识点，一直在高中数学中占有很大的分值，未来的高考中立体几何也会持续成为高考的一个热点，理科高考中立体几何主要考查三视图的相关性质利用，简单几何体的体积，表面积以及外接圆问题.另外选择部分主要考查在点线面位置关系，简单几何体三视图.选择题主要还是以几何体的基本性质为主，解答题部分主要考查平行，垂直关系以及二面角问题.前面的重点专题已经对立体几何进行了一系列详细的说明，本专题继续加强对高考中立体几何出现的习题以及对应的题目类型进行必要的加强.本专题包含了高考中几乎所有题型，学完本专题以后，对以后所有的立体几何你将有一个更加清晰的认识.【知识点分析以及满分技巧】基础知识点考查：一般来说遵循三短一长选最长.要学会抽象问题具体会，将题目中的直线转化成显示中的具体事务，例如立体坐标系可以看做是一个教室的墙角有关外接圆问题：一般图形可以采用补形法，将几何体补成正方体或者是长方体，再利用不在同一个平面的四点确定一个立体平面原理，从而去求.内切圆问题：转化成正方体的内切圆去求.求点到平面的距离问题：采用等体积法.求几何体的表面积体积问题：应注意巧妙选取底面积与高.对于二面角问题应采用建立立体坐标系去求.但是坐标系要注意采用左手系务必要标记准确对应点以及法向量对应的坐标.【常见题型限时检测】（建议用时：35分钟）一、单选题1．（2019·遵义航天高级中学高考模拟（理））一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．83B．163C．203D．8【答案】B 【解析】由图可知该几何体底面积为8，高为2的四棱锥，如图所示：∴该几何体的体积1168233V =⨯⨯= 故选B【点睛】：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽. 2．（2019·天津高考模拟（理））已知四面体ABCD 的四个面都为直角三角形，且AB ⊥平面BCD ，2AB BD CD ===，若该四面体的四个顶点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为（ ）A ．3πB ．C ．D ．12π【答案】D 【解析】 【分析】由已知中的垂直关系可将四面体放入正方体中，求解正方体的外接球表面积即为所求的四面体外接球的表面积；利用正方体外接球半径为其体对角线的一半，求得半径，代入面积公式求得结果. 【详解】2BD CD ==Q 且BCD ∆为直角三角形 BD CD ∴⊥又AB ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD CD AB ∴⊥CD \^平面ABD由此可将四面体ABCD 放入边长为2的正方体中，如下图所示：∴正方体的外接球即为该四面体的外接球O正方体外接球半径为体对角线的一半，即12R == ∴球O 的表面积：2412S R ππ==本题正确选项：D 【点睛】本题考查多面体的外接球表面积的求解问题，关键是能够通过线面之间的位置关系，将所求四面体放入正方体中，通过求解正方体外接球来求得结果.3．（2019·河南高考模拟（理））如图，点P 在正方体1111ABCD A B C D -的面对角线1BC 上运动，则下列四个结论：①三棱锥1A D PC -的体积不变；1//A P ②平面1ACD ； 1DP BC ⊥③；④平面1PDB ⊥平面1ACD ．其中正确的结论的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【解析】【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解． 【详解】对于①，由题意知11//AD BC ，从而1//BC 平面1AD C ，故BC 1上任意一点到平面1AD C 的距离均相等，所以以P 为顶点，平面1AD C 为底面，则三棱锥1A D PC -的体积不变，故①正确； 对于②，连接1A B ，11A C ，111//AC AD 且相等，由于①知：11//AD BC ， 所以11//BA C 面1ACD ，从而由线面平行的定义可得，故②正确； 对于③，由于DC ⊥平面11BCB C ，所以1DC BC ⊥， 若1DP BC ⊥，则1BC ⊥平面DCP ，1BC PC ⊥，则P 为中点，与P 为动点矛盾，故③错误；对于④，连接1DB ，由1DB AC ⊥且11DB AD ⊥，可得1DB ⊥面1ACD ，从而由面面垂直的判定知，故④正确． 故选：C ． 【点睛】本题考查命题真假的判断，解题时要注意三棱锥体积求法中的等体积法、线面平行、垂直的判定，要注意使用转化的思想．4．（2019·贵州高考模拟（理））设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，有下列四个命题：∴若m α⊂，αβ⊥，则m β⊥； ∴若//a β，m β⊂，则//m α； ∴若m α⊥，//m n ，//αβ，则n β⊥； ∴若//m α，//n β，//m n ，则//αβ其中正确命题的序号是（ ） A ．∴∴ B ．∴∴C ．∴∴D ．∴∴【答案】C 【解析】∴两个面垂直，推不出面中任意直线和另一个面垂直，错误；故排除A 、B 选项，对于∴，两个平行平面，其中一个平面内的任意直线都和另一个平面平行，故正确，所以选C.5．（2019·福建高考模拟（理））在三棱锥P ABC -中，3PA PB ==，BC =8AC =，AB BC ⊥，平面PAB ⊥平面ABC ，若球O 是三棱锥P ABC -的外接球，则球O 的半径为（ ）．A B C D ．2【答案】A 【解析】 【分析】取AB 中点D ，AC 中点E ，连PD ，ED ，得E 为∴ABC 外接圆的圆心，且OE∴平面PAB ，然后求出∴PAB 的外接圆半径r 和球心O 到平面PAB 的距离等于d ，由勾股定理得R .【详解】解：取AB 中点D ，AC 中点E ，连PD ，ED 因为AB BC ⊥，所以E 为∴ABC 外接圆的圆心因为OE∴PD ，OE 不包含于平面PAB ，所以OE∴平面PAB 因为平面PAB ⊥平面ABC ，3PA PB ==，得PD ⊥AB ，ED ⊥AB 所以PD ⊥平面ABC ，ED ⊥平面PAB且AB ==PD 1=所以球心O 到平面PAB 的距离等于ED d ==在∴PAB 中，3PA PB ==，AB =1sin 3PAB ∠=， 所以∴PAB 得外接圆半径2r 9sin PB PAB ∠==，即9r 2=由勾股定理可得球O 的半径R ==故选：A. 【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，经常用球中勾股定理R =R 是外接球半径，d 是球心到截面距离，r 是截面外接圆半径.二、解答题6．（2019·山东高考模拟（理））如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形,//AB AD AB CD ⊥，224AB AD CD ===，4PC =.（1）证明：当点E 在PB 上运动时，始终有平面EAC ⊥平面PBC ； （2）求锐二而角A PB C --的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）5. 【解析】 【分析】（1）由PC ⊥底面ABCD ，证得AC PC ⊥，又由勾股定理，得AC CB ⊥，利用线面垂直的判定定理，得到AC ⊥平面PBC ，再由面面垂直的判定定理，可得平面EAC ⊥平面PBC ，即可得到结论；（2）分别以CD ，CF ，CP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，求得平面PBC 和平面PAB 的法向量，利用向量的夹角公式，即可求解． 【详解】（1）由题意，因为PC ⊥底面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以AC PC ⊥，又因为224AB AD CD ===，所以4AB =，2AD CD ==，所以AC BC ==，所以222AC BC AB +=，从而得到AC CB ⊥．又BC ⊂Q 平面PBC ，PC ⊂平面PBC ，BC PC C ⋂=，所以AC ⊥平面PBC ， 又AC ⊂Q 平面ACE ，所以平面EAC ⊥平面PBC ， 所以当点E 在PB 上运动时，始终有平面EAC ⊥平面PBC. （2）由条件知PC ⊥底面ABCD ，且AB AD ⊥， AB C D ∥所以过点C 作CF CD ⊥交AB 于点F ，分别以CD ，CF ，CP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系（如图所示），所以(0,0,0)C ，(2,2,0)A ，(2,2,0)B -，(0,0,4)P .由（1）知CA u u u r为平面PBC 的一个法向量，因为(2,2,0)CA =u u u r，(2,2,4)PA =-u u u r (2,2,4)PB =--u u u r ，设平面P AB 的一个法向量为(,,)n=x y z r，则(,,)(2,2,4)00(,,)(2,2,4)00x y z n PA x y z n PB ⎧⋅-=⎧⋅=⇒⎨⎨⋅--=⋅=⎩⎩u uu v r u u u v r ，即02x y z=⎧⎨=⎩，令1z =，则2y =，所以(0,2,1)n =r，所以|||cos ,|5||||CA n CA n CA n ⋅〈〉===uu r ruu r r uu r r ，故锐二面角A PB C --的余弦值5．【点睛】本题考查了线面垂直与面面垂直的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关键，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.7（2017·广东高考模拟（理））如图，在四棱锥P ABCD -中，90,60ABC ACD BAC CAD ∠=∠=︒∠=∠=︒， PA ⊥平面ABCD ，2,1PA AB ==.(1)设点E 为PD 的中点，求证： //CE 平面PAB ；(2)线段PD 上是否存在一点N ，使得直线CN 与平面PAC 所成的角θ的正弦值为5？若存在，试确定点N 的位置；若不存在，请说明理由. 8．（2019·天津市新华中学高考模拟（理））如图所示的几何体中，PD 垂直于梯形ABCD所在的平面，,2ADC BAD F π∠=∠=为PA 的中点，112PD AB AD CD ====，四边形PDCE 为矩形，线段PC 交DE 于点N .（1）求证：AC P 平面DEF ； （2）求二面角A PB C --的正弦值；（3）在线段EF 上是否存在一点Q ，使得BQ 与平面BCP 所成角的大小为π6？若存在，求出FQ 的长；若不存在，请说明理由.【答案】（1）见解析（23）在线段EF 上存在一点Q 满足题意，且FQ =【解析】 【分析】(1)由题意结合线面平行的判定定理即可证得题中的结论；(2)建立空间直角坐标系，利用两个半平面的法向量可得二面角的余弦值，然后利用同角三角函数基本关系可得二面角的正弦值；(3)假设点Q 存在，利用直线的方向向量和平面的法向量计算可得点Q 的存在性和位置. 【详解】（1）因为四边形PDCE 为矩形，所以N 为PC 的中点.连接FN ，在PAC V 中，,F N 分别为,PA PC 的中点，所以FN AC ∥， 因为FN ⊂平面DEF ，AC ⊄平面DEF ， 所以AC P 平面DEF .（2）易知,,DA DC DP 两两垂直，如图以D 为原点，分别以,,DA DC DP 所在直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系.则(1,0,0),(1,1,0),(0,2,0)P A B C，所以(1,1,,(1,1,0)PB BC ==-u u u r u u u r.设平面PBC 的法向量为(,,)m x y z =r，则(,,)(1,1,0(,,)(1,1,0)0m PB x y z m BC x y z ⎧⋅=⋅=⎪⎨⋅=⋅-=⎪⎩u u u v r u u u v r即0,0,x y x y ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩解得,,y x z =⎧⎪⎨=⎪⎩令1x =，得1,y z =⎧⎪⎨=⎪⎩所以平面PBC的一个法向量为m =r. 设平面ABP 的法向量为(,,)n x y z =r，(,,)(0,1,0)0(,,)(1,1,0n AB x y z n PB x y z ⎧⋅=⋅=⎪⎨⋅=⋅-=⎪⎩u u uv r u u uv r ，据此可得01x y z ⎧=⎪=⎨⎪=⎩， 则平面ABP的一个法向量为)n =r，cos ,3m n <>==u r r，于是sin ,3m n 〈〉=r r. 故二面角A PB C --（3）设存在点Q 满足条件.由1,0,,(0,22F E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， 设(01)FQ FE λλ=u u u r u u u r &剟，整理得1),2,22Q λλλ⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭，则1,22BQ λλ⎛+=-- ⎝⎭u u u r . 因为直线BQ 与平面BCP 所成角的大小为6π，所以1sin |cos ,|||62||||BQ m BQ m BQ m π⋅====⋅u u u r u ru u u r u r u u ur u r 解得21λ=，由知1λ=，即点Q 与E 重合.故在线段EF 上存在一点Q，且FQ EF ==. 【点睛】本题的核心在考查空间向量的应用，需要注意以下问题：(1)求解本题要注意两点：一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算，要认真细心，准确计算．(2)设,m n u r r 分别为平面α，β的法向量，则二面角θ与,m n <>u r r互补或相等.求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．9．（2019·山东高考模拟（理））如图，在四棱锥P ABCD -中，已知PA ⊥平面ABCD ，ABC ∆为等边三角形，22PA AB ==，AC CD ⊥，PD 与平面PAC 所成角的正切值 为5.(∴)证明：//BC 平面PAD ；(∴)若M 是BP 的中点，求二面角P CD M --的余弦值.【答案】（∴）见解析.（∴ 【解析】 【分析】(∴)先证明DPC ∠为PD 与平面PAC 所成的角，于是可得CD =60CAD ∠=︒．又由题意得到60BCA ∠=︒，故得//BC AD ，再根据线面平行的性质可得所证结论． (∴) 取BC 的中点N ，连接AN ，可证得AN AD ⊥．建立空间直角坐标系，分别求出平面PCD 和平面CDM 的法向量，根据两个法向量夹角的余弦值得到二面角的余弦值． 【详解】(∴)证明：因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， 所以PA CD ⊥又AC CD ⊥,CA PA A =I , 所以CD ⊥平面PAC ，所以DPC ∠为PD 与平面PAC 所成的角． 在Rt PCD V中，PC ==所以CD =所以在Rt PCD V 中，2AD =,60CAD ∠=︒. 又60BCA ∠=︒，所以在底面ABCD 中，//BC AD , 又AD ⊂平面PAD ，BC ⊄平面PAD ， 所以//BC 平面PAD ．(∴)解：取BC 的中点N ，连接AN ，则AN BC ⊥,由(∴)知//BC AD ， 所以AN AD ⊥，分别以AN ，AD ，AP 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系Axyz .则(0,0,2)P，1,02C ⎫⎪⎪⎝⎭，(0,2,0)D，1,14M ⎫-⎪⎪⎝⎭所以3,,022CD ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭uu u r ，(0,2,2)PD =-u u ur，9,,144DM ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭uuu u r设平面PCD 的一个法向量为()1111,,n x y z =u r，由1100n CD n PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u vu u u v，即111130220y y z ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，得1111x z y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，令11y =，则1,1)n =u r．设平面CDM 的一个法向量为()2222,,n x y z =u ur，由2200n CD n MD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u v u u u v u u v u u u u v，即2222230940y y z ⎧+=⎪-+=，得222232x y z ⎧=⎪⎨=⎪⎩， 令21y =，则232n ⎫=⎪⎭u u r ．所以121212331cos ,||||n n n n n n ++⋅<>===⋅u r u u ru r u u r u r u u r 由图形可得二面角P CD M --为锐角， 所以二面角P CD M --【点睛】空间向量是求解空间角的有利工具，根据平面的法向量、直线的方向向量的夹角可求得线面角、二面角等，解题时把几何问题转化为向量的运算的问题来求解，体现了转化思想方法的利用，不过解题中要注意向量的夹角和空间角之间的关系，特别是求二面角时，在求得法向量的夹角后，还要通过图形判断出二面角是锐角还是钝角，然后才能得到结论． 10．（2018·吉林高考模拟（理））如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ， M ， N 分别是棱AB ， AD ， 11A B ， 11A D 的中点，点P ， Q 分别在棱1DD ， 1BB 上移动，且(02)DP BQ λλ==<<.（1）当1λ=时，证明：直线1//BC 平面EFPQ ；（2）是否存在λ，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）见解析；（2）12λ=±.【解析】以D 为原点，射线DA ， DC ， 1DD 分别为x ， y ， z 轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -.由已知得()2,2,0B ， ()10,2,2C ，()2,1,0E ，()1,0,0F ， ()0,0,P λ， ()1,0,2N ， ()2,1,2M ，则()12,0,2BC =-u u u u r， ()1,0,FP λ=-u u u r ， ()1,1,0FE =u u u r ， ()1,1,0NM =u u u u r ， ()1,0,2NP λ=--u u u r.（1）当1λ=时， ()1,0,1FP =-u u u r ，因为()12,0,2BC =-u u u u r ，所以12BC FP =u u u u r u u u r，即1//BC FP ，又FP ⊂平面EFPQ ，且1BC ⊄平面EFPQ ，故直线1//BC 平面EFPQ . （2）设平面EFPQ 的一个法向量为(),,n x y z =r，则由0{0FE n FP n ⋅=⋅=u u u r ru u u r r，得0{0.x y x z λ+=-+=，于是可取(),,1n λλ=-r . 设平面MNPQ 的一个法向量为()',','m x y z =r，由0{0NM m NP m ⋅=⋅=u u u u r ru u u r r，得()''0{'2'0x y x z λ+=-+-=，于是可取()2,2,1m λλ=--r. 若存在λ，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角，则()()2,2,1,,10m n λλλλ⋅=--⋅-=r r，即()()2210λλλλ---+=，解得1λ=±，显然满足02λ<<.故存在1λ=±，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角.点睛：立体几何的有关证明题，首先要熟悉各种证明的判定定理，然后在进行证明，要多总结题型，对于二面角问题一般直接建立空间直角坐标系，求出法向量然后根据向量夹角公式求解二面角，要注意每一个坐标的准确性。
高考数学二轮复习考点三《复数》
5．(2021·福建福州高三 5 月调研)已知 z 为复数，z2＋1＝0，则|z－1|等 于( )
A．0 B．1 C． 2 D．2
答案 C 解析 因为 z2＋1＝0，所以 z2＝－1，所以 z＝±i，所以 z－1＝i－1 或 －i－1，所以|z－1|＝ 2.故选 C.
6．(2021·山东泰安肥城模拟)复数 z 满足 z·－z ＋z＋－z －17＝0，则|z＋3 －2i|的最大值为( )
7.(2021·海南第五次模拟)如图，复平面内的平行四边形 OABC 的顶点 A 和 C 对应的复数分别为 2＋i 和－1＋3i，则点 B 对应的复数为( )
A．3＋i C．1＋3i
B．4＋i D．1＋4i
答案 D 解析 O→B＝O→A＋O→C，所以O→B对应的复数为 2＋i＋(－1＋3i)＝1＋4i.
题设，得aa＋ －22＝ ≠00， ，解得 a＝－2，则| 5＋2i|＝3，故选 C.
16．(2021·湖南长沙一中模拟)满足条件|z＋4i|＝2|z＋i|的复数 z 对应的点 的轨迹是( )
A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线
答案 B
解 析 设 复 数 z ＝ x ＋ yi(x ， y ∈ R) ， 则 |z ＋ 4i| ＝ |x ＋ (y ＋ 4)i| ＝ x2＋（y＋4）2，|z＋i|＝|x＋(y＋1)i|＝ x2＋（y＋1）2，结合题意有 x2＋(y ＋4)2＝4x2＋4(y＋1)2，整理可得 x2＋y2＝4.即复数 z 对应的点的轨迹是圆．故 选 B.
4．(2021·广东肇庆第二次统一检测)若复数－z ＝3－5i4i(i 为虚数单位)，则
在复平面内，复数 z 对应的点的坐标为( )
A.(3，4)
B．(－4，3)
2020高考数学冲刺核心考点 专题3 第2讲 立体几何(大题)
例3 (2019·临沂模拟)如图，平面ABCD⊥平面ABE，四边形ABCD是边长为2的正 方形，AE＝1，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE. (1)求证：AE⊥平面BCE；
证明 ∵BF⊥平面ACE，AE⊂平面ACE， ∴BF⊥AE， ∵四边形ABCD是正方形， ∴BC⊥AB， 又平面ABCD⊥平面ABE，平面ABCD∩平面ABE＝AB， ∴CB⊥平面ABE， ∵AE⊂平面ABE， ∴CB⊥AE， ∵BF∩BC＝B，BF，BC⊂平面BCE， ∴AE⊥平面BCE.
由-A--1-B→1 ＝12A→B，得 B1(－ 3，1,4).
因为
E
是棱
BB1
的点，所以
E－
23，32，2，
所以E→A1＝
23，－32，2，-A--1-C→1 ＝(－2
3，0,0).
设n＝(x，y，z)为平面EA1C1的法向量， n·-A--1-C→1 ＝－2 3x＝0，
证明 连接AB1，AC1， ∵点Q为线段A1B的中点，∴A，Q，B1三点共线，且Q为AB1的中点， ∵点P为B1C1的中点，∴PQ∥AC1. 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC， ∴BC⊥平面ACC1A1， 又AC1⊂平面ACC1A1，∴BC⊥AC1. ∵AC＝AA1，∴四边形ACC1A1为正方形，∴AC1⊥A1C， 又A1C，BC⊂平面A1BC，A1C∩BC＝C， ∴AC1⊥平面A1BC，而PQ∥AC1， ∴PQ⊥平面A1BC.
得－3y－2
3z＝0， 2x＝0.
令 y＝1，则 n＝(0,1， 3). 又P→B＝( 2，1，－ 3)，
设直线PB与平面PCD所成的角为θ.
则
sin
θ＝|cos〈n，P→B〉|＝
新教材高考数学考点过关检测3一元二次不等式含解析
考点过关检测3 一元二次不等式一、单项选择题1．[2022·湖北九师联盟]不等式x 2－2x －8≤0的解集为( ) A ．{x |－4≤x ≤2} B ．{x |－2≤x ≤4} C ．{x |x ≥4或x ≤－2} D ．{x |x ≥2或x ≤－4}2．已知不等式x 2－2x －3＜0的解集为A ,不等式x 2＋x －6＜0的解集为B ,不等式x 2＋ax ＋b ＜0的解集为A ∩B ,则a ＋b ＝( )A ．1B ．0C ．－1D ．－33．[2022·广东普师高级中学月考]函数y ＝log 0.54x 2－3x 的定义域为( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，0∪⎝ ⎛⎦⎥⎤34，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0∪⎝ ⎛⎦⎥⎤34，1C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1 4．[2022·山东新泰一中月考]若不等式ax2－x －c >0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－1<x <12,则函数y ＝cx 2－x －a 的图象可以为( )5．[2022·广东深圳月考]若不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集为{x |－2<x <1},则二次函数y ＝2bx 2＋4x ＋a 在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为( )A ．－1,－7B ．0,－8C ．1,－1D ．1,－76．在R 上定义运算⊗：M ⊗N ＝(1＋M )(1－N ),若不等式(x －a )⊗(x ＋a )<1对任意实数x 均成立,则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(0,2)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12 7．[2022·浙江五校联考]已知关于x 的不等式ax 2－2x ＋3a ＜0在(0,2]上有解,则实数a 的取值范围是( )A ．－∞,33B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，47C.33,＋∞D.⎝ ⎛⎭⎪⎫47，＋∞8．设函数f (x )＝mx 2－mx －1,若对于任意的x ∈{x |1≤x ≤3},f (x )<－m ＋4恒成立,则实数m 的取值范围为( )A ．m <57B ．0≤m <57C ．m <0或0<m <57D ．m ≤0二、多项选择题9．已知关于x 的不等式kx 2－2x ＋6k ＜0(k ≠0),则下列说法正确的是( ) A ．若不等式的解集为{x |x ＜－3或x ＞－2},则k ＝－25B ．若不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ∈R ，x ≠1k ,则k ＝66C ．若不等式的解集为R ,则k ＜－66D ．若不等式的解集为∅,则k ≥6610．已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为(－∞,－2)∪(3,＋∞),则( ) A ．a >0B ．不等式bx ＋c >0的解集是{x |x <－6}C ．a ＋b ＋c >0D ．不等式cx 2－bx ＋a <0的解集为(－∞,－13)∪(12,＋∞)11．[2022·福建龙岩模拟]已知函数f (x )＝x 2－2(a －1)x ＋a ,若对于区间[－1,2]上的任意两个不相等的实数x 1,x 2都有f (x 1)≠f (x 2),则实数a 的取值范围可以是( )A ．(－∞,0]B ．[0,3]C ．[－1,2]D ．[3,＋∞)12．[2022·湖南长郡中学月考]已知不等式x 2＋ax ＋b >0(a >0)的解集是{}x |x ≠d ,则下列四个结论中正确的是( )A ．a 2＝4b B ．a 2＋1b≥4C ．若不等式x 2＋ax －b <0的解集为(x 1,x 2),则x 1x 2>0D ．若不等式x 2＋ax ＋b <c 的解集为(x 1,x 2),且|x 1－x 2|＝4,则c ＝4 三、填空题13．[2022·福建福清西山学校月考]x 2＋2(m －1)x ＋m 2－2≥0对x ∈R 恒成立,则m 的取值范围为________．14．[2022·江苏苏州十中月考]已知不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为(2,4),则不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集为________．15．[2022·北京101中学模拟]若关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为{x |x 1<x <x 2},且x 2－x 1＝15,则a 的值为________．16．[2022·河北石家庄二中月考]若一个集合是另一个集合的子集,则称这两个集合构成“全食”；若两个集合有公共元素但不互为对方的子集,则称两个集合构成“偏食”．已知集合A ＝{x |－t <x <t ,t >0}和集合B ＝{x |x 2－x －2<0},若集合A ,B 构成“偏食”,则实数t 的取值范围为________．考点过关检测3 一元二次不等式1．答案：B解析：由x 2－2x －8≤0,得(x －4)(x ＋2)≤0,所以－2≤x ≤4. 2．答案：D解析：由题意得,不等式x 2－2x －3＜0的解集A ＝(－1,3),不等式x 2＋x －6＜0的解集B ＝(－3,2),所以A ∩B ＝(－1,2),即不等式x 2＋ax ＋b ＜0的解集为(－1,2),所以a ＝－1,b ＝－2,所以a ＋b ＝－3.3．答案：A解析：由题可知,log 0.5(4x 2－3x )≥0,由对数函数的单调性,可得0<4x 2－3x ≤1,解得：－14≤x <0或34<x ≤1,所以y ＝log 0.54x 2－3x 的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，0∪⎝ ⎛⎦⎥⎤34，1. 4．答案：C解析：由题可得－1和12是方程ax 2－x －c ＝0的两个根,且a <0,∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＋12＝1a －1×12＝－ca,解得a ＝－2,c ＝－1,则y ＝cx 2－x －a ＝－x 2－x ＋2＝－(x ＋2)(x －1),则函数图象开口向下,与x 轴交于(－2,0),(1,0)．5．答案：D解析：ax 2＋bx ＋2>0的解集为{x |－2<x <1},∴－2,1是方程ax 2＋bx ＋2＝0的根,且a <0,∴⎩⎪⎨⎪⎧－2＋1＝－ba－2×1＝2a,∴a ＝－1,b ＝－1,则二次函数y ＝2bx 2＋4x ＋a ＝－2x 2＋4x －1开口向下,对称轴x ＝1,在区间[0,3]上,当x ＝1时,函数取得最大值1,当x ＝3时,函数取得最小值－7.6．答案：B解析：因为(x －a )⊗(x ＋a )<1对任意实数x 均成立,所以(1＋x －a )(1－x －a )<1对任意实数x 恒成立,即(1－a )2－x 2<1恒成立,所以(1－a )2<1＋x 2恒成立,所以只需(1－a )2<(1＋x 2)min ,又因为(1＋x 2)min ＝1,所以(1－a )2<1,解得0<a <2.7．答案：A解析：因为x ∈(0,2],所以不等式可化为ax ＋3ax＜2.当a ＝0时,不等式为0＜2,满足题意；当a ＞0时,不等式化为x ＋3x <2a ,则x ＋3x≥2x ·3x＝23,当且仅当x ＝3时取等号,所以2a ＞23,即0＜a ＜33；当a ＜0时,x ＋3x ＞2a 在x ∈(0,2]时恒成立．综上所述,实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，33. 8．答案：A解析：若对于任意的x ∈{x |1≤x ≤3},f (x )<－m ＋4恒成立,即可知：mx 2－mx ＋m －5<0在x ∈{x |1≤x ≤3}上恒成立,令g (x )＝mx 2－mx ＋m －5,对称轴为x ＝12.当m ＝0时,－5<0恒成立,当m <0时,有g (x )开口向下且在[1,3]上单调递减,∴在[1,3]上g (x )max ＝g (1)＝m －5<0,得m <5,故有m <0.当m >0时,有g (x )开口向上且在[1,3]上单调递增,∴在[1,3]上g (x )max ＝g (3)＝7m －5<0,∴0<m <57.综上,m 的取值范围为m <57.9．答案：ACD解析：对于A,∵不等式的解集为{x |x ＜－3或x ＞－2},∴k ＜0,且－3与－2是方程kx2－2x ＋6k ＝0的两根,∴(－3)＋(－2)＝2k ,解得k ＝－25.故A 正确；对于B,∵不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ∈R ，x ≠1k ,∴⎩⎪⎨⎪⎧k <0，Δ＝4－24k 2＝0，解得k ＝－66,故B 错误；对于C,由题意,得⎩⎪⎨⎪⎧k <0，Δ＝4－24k 2<0，解得k ＜－66,故C 正确；对于D,由题意,得⎩⎪⎨⎪⎧k >0，Δ＝4－24k 2≤0，解得k ≥66,故D 正确． 10．答案：ABD解析：关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为(－∞,－2)∪(3,＋∞),∴a >0,A 选项正确；且－2和3是关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根,由韦达定理得⎩⎪⎨⎪⎧－2＋3＝－ba －2×3＝c a,则b ＝－a ,c ＝－6a ,则a ＋b ＋c ＝－6a <0,C 选项错误；不等式bx ＋c >0即为－ax －6a >0,解得x <－6,B 选项正确；不等式cx 2－bx ＋a <0即为－6ax 2＋ax ＋a <0,即6x 2－x －1>0,解得x <－13或x >12,D 选项正确．11．答案：AD解析：二次函数f (x )＝x 2－2(a －1)x ＋a 图象的对称轴为直线x ＝a －1,∵任意x 1,x 2∈[－1,2]且x 1≠x 2,都有f (x 1)≠f (x 2),即f (x )在区间[－1,2]上是单调函数,∴a －1≤－1或a －1≥2,∴a ≤0或a ≥3,即实数a 的取值范围为(－∞,0]∪[3,＋∞)．12．答案：ABD解析：对于A,由题意,Δ＝a 2－4b ＝0,∴b ＝a 24,所以A 正确；对于B,a 2＋1b ＝a 2＋4a2≥2a 2·4a 2＝4当且仅当a 2＝4a2,即a ＝2时等号成立,所以B 正确；对于C,由韦达定理,知x 1x 2＝－b ＝－a 24<0,所以C 错误；对于D,由韦达定理,知x 1＋x 2＝－a ,x 1x 2＝b －c ＝a 24－c ,则|x 1－x 2|＝x 1＋x 22－4x 1x 2＝a 2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫a 24－c ＝2c ＝4,解得c ＝4,所以D 正确．13．答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞解析：由題意可知Δ＝4(m －1)2－4(m 2－2)≤0,即－8m ＋12≤0,得m ≥32,故m 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞. 14．答案：⎩⎪⎨⎪⎧ x ⎪⎪⎪ x >12或⎭⎬⎫x <14解析：因为不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为(2,4),所以a <0且2和4是ax 2＋bx ＋c ＝0的两根．所以⎩⎪⎨⎪⎧2＋4＝－ba2×4＝ca可得：⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－6ac ＝8a,所以cx 2＋bx ＋a <0可化为：8ax 2－6ax＋a <0,因为a <0,所以8ax 2－6ax ＋a <0可化为8x 2－6x ＋1>0,即(2x －1)(4x －1)>0,解得：x >12或x <14,所以不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧ x ⎪⎪⎪ x >12或⎭⎬⎫x <14.15．答案：52解析：关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为{x |x 1<x <x 2},所以x 1,x 2是一元二次方程x 2－2ax －8a 2＝0(a >0)的实数根,所以Δ＝4a 2＋32a 2＝36a 2>0,且x 1＋x 2＝2a ,x 1x 2＝－8a 2.又因为x 2－x 1＝15,所以152＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4a 2＋32a 2＝36a 2,又a >0,解得a ＝52.16．答案：{t |1<t <2}解析：由题意,可知集合A ＝{x |－t <x <t ,t >0},集合B ＝{x |－1<x <2},因为集合A ,B 构成“偏食”,所以⎩⎪⎨⎪⎧ －t <－1<t 2>t 或⎩⎪⎨⎪⎧－t <2<t －1<－t,解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－t <－1<t2>t,得1<t <2；解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－t <2<t－1<－t ,得⎩⎪⎨⎪⎧t >2t <1,此时无解．所以实数t 的取值范围为1<t <2.。
高考数学复习选填题专项练习31---函数零点(解析版)
高考数学复习选填题专项练习30---函数零点第I 卷（选择题)一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.（2020·河北高三期末（文））函数131()2x f x x =-的零点所在的区间为（ ） A ．1(0,)4B ．11(,)43C ．11(,)32D ．1(,1)2【答案】C 【解析】【分析】先判断出函数的单调性,结合零点存在定理即可判断出零点所在区间. 【详解】函数131()2x f x x =-，所以函数在R 上单调递增，因为1113331311111033322f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1113321211111022222f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以函数零点在11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭故选:C【点睛】本题考查了根据零点存在定理判断零点所在区间,注意需判断函数的单调性,说明零点的唯一性,属于基础题.2．（2020·江西高三（文））方程()3sin =f x x 零点的个数是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C【解析】大致图形如图所示,接下来比较与在处的切线斜率,,时,,即在处的切线方程为轴,又,在,因此在轴右侧图象较缓,由图象可知,共有个交点,故选C ．【点晴】本题考查的是两个函数的交点个数问题．首先运用函数与方程的思想,把给定方程转化成为两个基本函数的交点问题,再通过函数的性质与比较函数在相同自变量处的函数值的大小关系画出两个基本函数图象,需要注意的是,两个函数都过点,而轴右侧的高低情况需要比较两个函数在处的切线斜率得到,为本题的易错点．3.（2019·四川高三月考（理））函数()332,0log 6,0x x f x x x ⎧->=⎨+≤⎩的零点之和为（）A ．-1B ．1C ．-2D ．2【答案】A 【解析】【分析】由函数零点与方程的根的关系可得函数()332,0log 6,0x x f x x x ⎧->=⎨+≤⎩的零点即方程320x -=，3log 60x +=的根，解方程后再将两根相加即可得解.【详解】令320x -=，解得3log 2x =，令3log 60x +=，解得3log 6x =-，则函数()f x 的零点之和为3331log 2log 6log 13-==-，故选A. 【点睛】本题考查了分段函数零点的求解，重点考查了对数的运算，属基础题.4．（2020·河南高三期末（理））已知函数()2943,02log 9,0x x x f x x x ⎧+≤=⎨+->⎩，则函数()()y f f x =的零点所在区间为（ ）A ．73,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()1,0-C ．7,42⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()4,5【答案】A 【解析】【分析】首先求得0x ≤时，()f x 的取值范围.然后求得0x >时，()f x 的单调性和零点，令()()0ff x =，根据“0x ≤时，()f x 的取值范围”得到()32log 93xf x x =+-=，利用零点存在性定理，求得函数()()y f f x =的零点所在区间.【详解】当0x ≤时，()34f x <≤.当0x ≥时，()2932log 92log 9xxx f x x =+-=+-为增函数，且()30f =，则3x =是()f x 唯一零点.由于“当0x ≤时，()34f x <≤.”，所以令()()0f f x =，得()32log 93x f x x =+-=，因为()303f =<，3377log 98 1.414log 39 3.312322f ⎛⎫=->⨯+-=> ⎪⎝⎭，所以函数()()y ff x =的零点所在区间为73,2⎛⎫⎪⎝⎭.故选：A 【点睛】本小题主要考查分段函数的性质，考查符合函数零点，考查零点存在性定理，考查函数的单调性，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.5．（2020·山东枣庄八中高三月考）已知()f x 是定义在[10,10]-上的奇函数，且()(4)f x f x =-，则函数()f x 的零点个数是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C 【解析】【分析】由定义在[10,10]-上的奇函数可知(0)0f =且零点关于原点对称,利用(0)0f =,由()(4)f x f x =-可得到部分零点【详解】()f x Q 是定义在[10,10]-上的奇函数,(0)0f ∴=,且零点关于原点对称,∴零点个数为奇数,又()(4)f x f x =-Q ,(0)(4)0f f ∴==,(4)(4)0f f -=-=,(4)(44)(8)0f f f ∴-=+==,(8)(8)0f f -=-=,()f x ∴的零点至少有0,4,±8±这5个,【点睛】本题主要考查函数的零点、函数奇偶性的应用以及抽象函数的解析式,意在考查综合应用所学知识解答问题的能力,属于中档题.6. （2020·江西高三（理））已知函数()ln(||1)cos 2f x x a x =+++只有一个零点，则a =（ ）A ．2B ．4C ．3D ．2-【答案】D 【解析】【分析】判断函数为偶函数，根据偶函数的对称性即可求解.【详解】因为()ln(||1)cos()2()f x x a x f x -=-++-+=,所以函数()f x 为偶函数， 又函数()f x 只有一个零点， 故(0)0f =，所以2a =-.故答案为：2- 【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性，函数的零点，属于容易题.7．（2020·湖北高三月考（理））已知函数23()123x x f x x =+-+，若()(2020)h x f x =-的零点都在(),a b 内，其中a ，b 均为整数，当b a -取最小值时，则b a +的值为（ ）A ．4038B ．2019C ．4037D ．4039【答案】D 【解析】【分析】求导分析23()123x x f x x =+-+的单调性,再根据零点存在定理与函数的平移分析即可.【详解】因为2'()10f x x x =-+>恒成立.故23()123x x f x x =+-+为增函数.所以()f x 有且仅有一个零点.又(0)10=>f ,115(1)110236f -=---=-<,故()f x 零点在区间()1,0-之间.又()(2020)h x f x =-为函数()f x 往右平移2020个单位,所以()(2020)h x f x =-的零点落在()2019,2020上.由题意可知, b a -取最小值时2020,2019b a ==,所以4039b a +=.故答案为：4039【点睛】本题主要考查了函数的零点存在性定理与函数平移的问题,属于基础题.8.（2020·河南南阳中学高三月考（理））已知函数()()2sin 10,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=++>≤ ⎪⎝⎭，其图象与直线1y =-相邻两个交点的距离为π，若()1f x >对于任意的,123x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭恒成立，则ϕ的取值范围是( )A ．,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．,62ππ⎛⎤⎥⎝⎦ 【答案】A【解析】由题意可得相邻最低点距离1个周期，T π=，2ω=，()1f x >，即()sin 20x ϕ+>，222,k x k k Z πϕππ≤+≤+∈，即,,222x k k k Z ϕϕπππ⎡⎤∈-+-++∈⎢⎥⎣⎦所以,123ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭ ⊆,,222k k k Z ϕϕπππ⎡⎤-+-++∈⎢⎥⎣⎦，包含0,所以k=0, ,,222k Z ϕϕπ⎡⎤--+∈⎢⎥⎣⎦,122223πϕϕππ⎧-≥-⎪⎪⎨⎪-+≥⎪⎩,63ππϕ≤≤． 【点睛】由于三角函数是周期周期函数，所以不等式解集一般是一系列区间并集，对于恒成立时，需要令k为几个特殊值，再与已知集合做运算．9．（2020·天津南开中学高三月考）已知函数22,2()(2),2⎧-≤=⎨->⎩x x f x x x ，函数()3(2)g x f x =--，则函数()()y f x g x =-的零点的个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】A【解析】由22,2()(2),2⎧-≤=⎨->⎩x x f x x x ，()3(2)g x f x =--，所以2222231,0()()231,0244155,2⎧+-+=+-≤⎪=-=--+=-<≤⎨⎪-+-+=-+>⎩x x x x x y f x g x x x x x x x x x x 所以当0x ≤时，零点为12x --=一个，当02x <≤时，无零点，当2x >时，零点为52+一个，所以零点个数为2个，故选A ． 考点：函数的零点个数的判断．【方法点睛】该题属于考查函数的零点个数的问题，在解题的过程中，需要先确定出函数解析式，根据题中所给的函数()f x 的解析式求得函数()g x 的解析式，从而得到()()f x g x -关于x 的分段函数，通过对每一段上的解析式进行分析，求得相应的函数的零点，注意结合自变量的取值范围进行相应的取舍，最后确定出该题的答案．10.（2020·河南鹤壁高中高三月考（文））已知函数2()cos2cos 1(0)222xxxf x ωωωω=+->的周期为π，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，方程()f x m ＝恰有两个不同的实数解1x ，2x ，则()12f x x +=（ ） A ．2 B ．1C ．﹣1D ．﹣2【答案】B 【解析】【分析】对()f x 进行化简，利用周期为π，求出2ω=，根据()f x 在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的图象，得到12x x +的值，再求出()12f x x +的值.【详解】2()cos2cos 1222xxxf x ωωω=+-cos 2sin 6x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭由2T ππω== ，得2ω=．()2sin 26f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭．作出函数()f x 在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的图象如图：由图可知，123x x π+=，()1212sin 221362f x x ππ⎛⎫∴+=⨯+=⨯= ⎪⎝⎭．故选B 项． 【点睛】本题考查正弦型函数的化简及其图像与性质，属于简单题.11. （2020·河北工业大学附属红桥中学高三月考）已知函数32,0(),0x x x f x lnx x ⎧-=⎨->⎩…，若函数()()g x f x x a=--有3个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[0，2)B ．[0，1)C ．(-∞，2]D ．(-∞，1]【答案】A 【解析】【分析】本道题先绘制()f x 图像，然后将零点问题转化为交点问题，数形结合，计算a 的范围，即可． 【详解】绘制出()f x 的图像，()f x x a =+有3个零点，令()h x x a =+与()f x 有三个交点，则()h x 介于1号和2号之间，2号过原点，则0a =，1号与()f x 相切，则()2'321,1f x x x =-==-，1y =，代入()h x 中，计算出2a =，所以a 的范围为[)0,2，故选A ．【点睛】本道题考查了数形结合思想和函数与函数交点个数问题，难度中等．12．（2020·湖南长沙一中高三月考（理））已知偶函数()y f x =的定义域为R ，当0x ≥时，()23sin ,01221,1x x x f x x π-⎧≤≤⎪=⎨⎪+>⎩函数()()2221g x x ax a a R =-+-∈，若函数()()y g f x =有且仅有6个零点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(]1,2B ．()1,2C ．(]2,3D ．()2,3【答案】B 【解析】【分析】画出()f x 的图像,先求解()22210g x x ax a =-+-=,再数形结合列出关于a 的不等式求解即可.【详解】由题意画出()f x 的图像如图所示,由()22210g x x ax a =-+-=解得11x a =+,21x a =-,由函数()()y g f x =有且仅有6个零点知113011a a <+<⎧⎨<-≤⎩,解得12a <<,【点睛】本题主要考查了数形结合解决函数零点个数的问题,需要根据函数图像与带参数的方程交点的个数,列出对应的不等式进行求解.属于中等题型.第II 卷（非选择题)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
高考数学总复习真题分类专题03 导数及其应用(选择题、填空题)
高考数学总复习真题分类专题03 导数及其应用（选择题、填空题）1．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知曲线e ln x y a x x =+在点（1，a e ）处的切线方程为y =2x +b ，则 A ．e 1a b ==-， B ．a=e ，b =1 C ．1e 1a b -==，D ．1e a -=，1b =-【答案】D【解析】∵e ln 1,xy a x '=++∴切线的斜率1|e 12x k y a ='==+=，1e a -∴=， 将(1,1)代入2y x b =+，得21,1b b +==-. 故选D ．【名师点睛】本题求解的关键是利用导数的几何意义和点在曲线上得到含有a ，b 的等式，从而求解，属于常考题型.2．【2018年高考全国Ⅰ卷理数】设函数32()(1)f x x a x ax =+-+.若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为 A ．2y x =- B ．y x =- C ．2y x = D ．y x =【答案】D【解析】因为函数f(x)是奇函数，所以a −1=0，解得a =1，所以f(x)=x 3+x ，f′(x)=3x 2+1， 所以f′(0)=1,f(0)=0，所以曲线y =f(x)在点(0,0)处的切线方程为y −f(0)=f′(0)x ，化简可得y =x . 故选D.【名师点睛】该题考查的是有关曲线y =f(x)在某个点(x 0,f(x 0))处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得f′(x)，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果.3．【2017年高考全国Ⅱ卷理数】若2x =-是函数21()(1)ex f x x ax -=+-的极值点，则()f x 的极小值为A ．1-B ．32e -- C ．35e - D ．1【答案】A【解析】由题可得12121()(2)e(1)e [(2)1]e x x x f x x a x ax x a x a ---'=+++-=+++-，因为(2)0f '-=，所以1a =-，21()(1)e x f x x x -=--，故21()(2)e x f x x x -'=+-，令()0f x '>，解得2x <-或1x >，所以()f x 在(,2),(1,)-∞-+∞上单调递增，在(2,1)-上单调递减， 所以()f x 的极小值为11()(111)e 11f -=--=-.故选A ．【名师点睛】（1）可导函数y ＝f (x )在点x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0，且在x 0左侧与右侧f ′(x )的符号不同；（2）若f (x )在(a ，b )内有极值，那么f (x )在(a ，b )内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．4．【2017年高考浙江】函数y=f (x )的导函数()y f x '=的图象如图所示，则函数y=f (x )的图象可能是【答案】D【解析】原函数先减再增，再减再增，且0x =位于增区间内，因此选D ．【名师点睛】本题主要考查导数图象与原函数图象的关系：若导函数图象与x 轴的交点为0x ，且图象在0x 两侧附近连续分布于x 轴上下方，则0x 为原函数单调性的拐点，运用导数知识来讨论函数单调性时，由导函数()f x '的正负，得出原函数()f x 的单调区间．5．【2018年高考全国Ⅱ卷理数】函数()2e e x xf x x --=的图像大致为【答案】B【解析】()()()2e e 0,,x xx f x f x f x x --≠-==-∴Q 为奇函数，舍去A ；()11e e 0f -=->Q ，∴舍去D ；()()()()()243e e e e 22e 2e ,xx x x x x x xx x f x xx---+---++=='Q 2x ∴>时，()0f x '>，()f x 单调递增，舍去C. 因此选B.【名师点睛】有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的周期性. 6．【2018年高考全国Ⅲ卷理数】函数422y x x =-++的图像大致为【答案】D【解析】函数图象过定点(0,2)，排除A ，B ；令42()2y f x x x ==-++，则32()422(21)f x x x x x '=-+=--，由()0f x '>得22(21)0x x -<，得2x <-或02x <<，此时函数单调递增，由()0f x '<得22(21)0x x ->，得2x >或02x -<<，此时函数单调递减，排除C.故选D.【名师点睛】本题主要考查函数的图象的识别和判断，利用函数图象过的定点及由导数判断函数的单调性是解决本题的关键.7．【2019年高考天津理数】已知a ∈R ，设函数222,1,()ln ,1.x ax a x f x x a x x ⎧-+≤=⎨->⎩若关于x 的不等式()0f x ≥在R 上恒成立，则a 的取值范围为 A ．[]0,1 B ．[]0,2 C ．[]0,eD ．[]1,e【答案】C【解析】当1x =时，(1)12210f a a =-+=>恒成立；当1x <时，22()22021x f x x ax a a x =-+≥⇔≥-恒成立，令2()1x g x x =-，则222(11)(1)2(1)1()111x x x x g x x x x -----+=-=-=----112201x x ⎛⎫⎛⎫=--+-≤-= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭， 当111x x-=-，即0x =时取等号， ∴max 2()0a g x ≥=，则0a >.当1x >时，()ln 0f x x a x =-≥，即ln xa x≤恒成立， 令()ln xh x x=，则2ln 1()(ln )x h x x -'=， 当e x >时，()0h x '>，函数()h x 单调递增， 当0e x <<时，()0h x '<，函数()h x 单调递减， 则e x =时，()h x 取得最小值(e)e h =， ∴min ()e a h x ≤=，综上可知，a 的取值范围是[0,e]. 故选C.【名师点睛】本题考查分段函数的最值问题，分别利用基本不等式和求导的方法研究函数的最值，然后解决恒成立问题.8．【2019年高考浙江】已知,a b ∈R ，函数32,0()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++≥⎪⎩．若函数()y f x ax b =--恰有3个零点，则 A ．a <–1，b <0B ．a <–1，b >0C ．a >–1，b <0D ．a >–1，b >0【答案】C【解析】当x ＜0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b ＝x ﹣ax ﹣b ＝（1﹣a ）x ﹣b ＝0，得x =b1−a ， 则y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 最多有一个零点；当x ≥0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b =13x 3−12（a +1）x 2+ax ﹣ax ﹣b =13x 3−12（a +1）x 2﹣b ，2(1)y x a x =+-'，当a +1≤0，即a ≤﹣1时，y ′≥0，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 在[0，+∞）上单调递增， 则y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 最多有一个零点，不合题意；当a +1＞0，即a >﹣1时，令y ′＞0得x ∈(a +1，+∞），此时函数单调递增， 令y ′＜0得x ∈[0，a +1），此时函数单调递减，则函数最多有2个零点.根据题意，函数y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 恰有3个零点⇔函数y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 在（﹣∞，0）上有一个零点，在[0，+∞）上有2个零点， 如图：∴b1−a ＜0且{−b ＞013(a +1)3−12(a +1)(a +1)2−b ＜0， 解得b ＜0，1﹣a ＞0，b ＞−16（a +1）3，则a >–1，b <0. 故选C ．【名师点睛】本题考查函数与方程，导数的应用.当x ＜0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b ＝x ﹣ax ﹣b ＝（1﹣a ）x ﹣b 最多有一个零点；当x ≥0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b =13x 3−12（a +1）x 2﹣b ，利用导数研究函数的单调性，根据单调性画出函数的草图，从而结合题意可列不等式组求解．9．【2017年高考全国Ⅲ卷理数】已知函数211()2(ee )x xf x x x a --+=-++有唯一零点，则a =A ．12- B ．13C ．12D ．1【答案】C【解析】函数()f x 的零点满足()2112e e x x x x a --+-=-+， 设()11eex x g x --+=+，则()()21111111e 1eeee ex x x x x x g x ---+----'=-=-=， 当()0g x '=时，1x =；当1x <时，()0g x '<，函数()g x 单调递减； 当1x >时，()0g x '>，函数()g x 单调递增， 当1x =时，函数()g x 取得最小值，为()12g =.设()22h x x x =-，当1x =时，函数()h x 取得最小值，为1-，若0a ->，函数()h x 与函数()ag x -没有交点；若0a -<，当()()11ag h -=时，函数()h x 和()ag x -有一个交点， 即21a -⨯=-，解得12a =.故选C. 【名师点睛】函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用.10．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】曲线23()e xy x x =+在点(0)0，处的切线方程为____________．【答案】30x y -=【解析】223(21)e 3()e 3(31)e ,xxxy x x x x x '=+++=++ 所以切线的斜率0|3x k y ='==，则曲线23()e xy x x =+在点(0,0)处的切线方程为3y x =，即30x y -=．【名师点睛】准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，而导致计算错误．求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求．11．【2018年高考全国Ⅱ卷理数】曲线2ln(1)y x =+在点(0,0)处的切线方程为__________．【答案】y =2x 【解析】∵y ′=2x+1，∴在点（0,0）处切线的斜率为k =20+1=2，则所求的切线方程为y =2x .【名师点睛】求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异，过点P 的切线中，点P 不一定是切点，点P 也不一定在已知的曲线上，而在点P 处的切线，必以点P 为切点. 12．【2018年高考全国Ⅲ卷理数】曲线()1e xy ax =+在点()0,1处的切线的斜率为2-，则a =________．【答案】−3【解析】()e 1e xxy a ax =++'，则0|12x y a ='=+=-，所以a =−3.【名师点睛】本题主要考查导数的计算和导数的几何意义，属于基础题. 13．【2019年高考江苏】在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点，则点P 到直线0x y +=的距离的最小值是 ▲ . 【答案】4 【解析】由4(0)y x x x =+>，得241y x'=-， 设斜率为1-的直线与曲线4(0)y x x x =+>切于004(,)x x x +， 由20411x -=-得0x =0x =， ∴曲线4(0)y x x x=+>上，点P 到直线0x y +=4=.故答案为4．【名师点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法，利用数形结合和转化与化归思想解题.14．【2018年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数()2sin sin2f x x x =+，则()f x 的最小值是_____________．【答案】−3√32【解析】f′(x)=2cosx +2cos2x =4cos 2x +2cosx −2=4(cosx +1)(cosx −12)，所以当cosx <12时函数单调递减，当cosx >12时函数单调递增，从而得到函数的递减区间为()5ππ2π,2π33k k k ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦Z ， 函数的递增区间为()ππ2π,2π33k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ， 所以当π2π,3x k k =-∈Z 时，函数f (x )取得最小值， 此时sinx =−√32,sin2x =−√32， 所以f (x )min =2×(−√32)−√32=−3√32， 故答案是−3√32. 【名师点睛】该题考查的是有关应用导数研究函数的最小值问题，在求解的过程中，需要明确相关的函数的求导公式，需要明白导数的符号与函数的单调性的关系，确定出函数的单调增区间和单调减区间，进而求得函数的最小值点，从而求得相应的三角函数值，代入求得函数的最小值.15．【2019年高考江苏】在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是 ▲ . 【答案】(e, 1)【解析】设出切点坐标，得到切线方程，然后求解方程得到横坐标的值，可得切点坐标. 设点()00,A x y ，则00ln y x =. 又1y x'=， 当0x x =时，01y x '=， 则曲线ln y x =在点A 处的切线为0001()y y x x x -=-， 即00ln 1xy x x -=-， 将点()e,1--代入，得00e1ln 1x x ---=-，即00ln e x x =，考察函数()ln H x x x =，当()0,1x ∈时，()0H x <，当()1,x ∈+∞时，()0H x >， 且()ln 1H x x '=+，当1x >时，()()0,H x H x '>单调递增， 注意到()e e H =，故00ln e x x =存在唯一的实数根0e x =， 此时01y =，故点A 的坐标为()e,1.【名师点睛】导数运算及切线的理解应注意的问题：一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．16．【2019年高考北京理数】设函数()e e xxf x a -=+（a 为常数）．若f （x ）为奇函数，则a =________；若f （x ）是R 上的增函数，则a 的取值范围是___________． 【答案】(]1,0--∞【解析】首先由奇函数的定义得到关于a 的恒等式，据此可得a 的值，然后利用()0f x '≥可得a 的取值范围.若函数()e e xxf x a -=+为奇函数，则()(),f x f x -=-即()ee e e xx x x a a --+=-+，即()()1e e0xxa -++=对任意的x 恒成立，则10a +=，得1a =-.若函数()e e xxf x a -=+是R 上的增函数，则() e e 0x xf x a -'=-≥在R 上恒成立，即2e x a ≤在R 上恒成立， 又2e 0x >，则0a ≤，即实数a 的取值范围是(],0-∞.【名师点睛】本题考查函数的奇偶性､单调性､利用单调性确定参数的范围.解答过程中，需利用转化与化归思想，转化成恒成立问题.注重重点知识､基础知识､基本运算能力的考查.17．【2018年高考江苏】若函数f(x)=2x 3−ax 2+1(a ∈R)在(0,+∞)内有且只有一个零点，则f(x)在[−1,1]上的最大值与最小值的和为________．【答案】–3【解析】由()2620f x x ax =-='得0x =或3a x =， 因为函数()f x 在()0,+∞上有且仅有一个零点且()0=1f ，所以0,033a a f ⎛⎫>= ⎪⎝⎭， 因此32210,33a a a ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得3a =. 从而函数()f x 在[]1,0-上单调递增，在[]0,1上单调递减，所以()()max 0,f x f = ()()(){}()min min 1,11f x f f f =-=-，则()()max min f x f x +=()()0+114 3.f f -=-=-故答案为3-.【名师点睛】对于函数零点的个数问题，可利用函数的单调性、草图确定其中参数的取值条件．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．18．【2017年高考江苏】已知函数31()2e ex x f x x x =-+-，其中e 是自然对数的底数．若(1)f a -+2(2)0f a ≤，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】1[1,]2- 【解析】因为31()2e ()ex x f x x f x x -=-++-=-，所以函数()f x 是奇函数，因为22()32e e 320x x f 'x x x -=-++≥-+≥，所以函数()f x 在R 上单调递增， 又21)02()(f f a a +-≤，即2())2(1a a f f ≤-，所以221a a ≤-，即2120a a +-≤，解得112a -≤≤， 故实数a 的取值范围为1[1,]2-．【名师点睛】解函数不等式时，首先根据函数的性质把不等式转化为(())(())f g x f h x >的形式，然后根据函数()f x 的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在函数()f x 的定义域内．19．【2017年高考山东理数】若函数e ()x f x （e 2.71828=L 是自然对数的底数）在()f x 的定义域上单调递增，则称函数()f x 具有M 性质.下列函数中所有具有M 性质的函数的序号为 .①()2x f x -=②()3x f x -= ③3()f x x = ④2()2f x x =+ 【答案】①④ 【解析】①e e ()e 2()2x x x x f x -=⋅=在R 上单调递增，故()2x f x -=具有性质； ②e e ()e 3()3x x x x f x -=⋅=在R 上单调递减，故()3xf x -=不具有性质；③3e ()e x x f x x =⋅，令3()e x g x x =⋅，则322()e 3e e (3)x x x g x x x x x '=⋅+⋅=+，当3x >-时，()0g x '>，当3x <-时，()0g x '<，3e ()e x x f x x =⋅在(,3)-∞-上单调递减，在(3,)-+∞上单调递增，故3()f x x =不具有性质；④2e ()e (2)x x f x x =+，令2()e (2)x g x x =+，则22()e (2)2e e [(1)1]0x x x g x x x x '=++=++>，则2e ()e (2)x x f x x =+在R 上单调递增，故2()2f x x =+具有性质．【名师点睛】本题考查新定义问题，属于创新题，符合新高考的动向，它考查学生的阅读理解能力，接受新思维的能力，考查学生分析问题与解决问题的能力，新定义的概念实质上只是一个载体，解决新问题时，只要通过这个载体把问题转化为我们已经熟悉的知识即可．M M ∴∴M M。
考点3复数—2021届高考数学(理科旧高考)二轮专题复习首选卷
考点三 复数一、选择题1．(2020·新高考卷Ⅰ)2－i1＋2i＝( ) A ．1 B ．－1 C ．iD ．－i2．(2020·云南昆明三模)在复平面内，复数z ＝2i1＋i所对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限3．(2020·青海西宁检测(一))已知a ＋b i(a ，b ∈R )是1－i1＋i的共轭复数，则a ＋b ＝( )A ．－1B ．－12C ．12D ．14．(2020·全国卷Ⅰ)若z ＝1＋i ，则|z 2－2z |＝( ) A ．0 B ．1 C ． 2D ．25．(2020·陕西咸阳一模)设z ·i＝2i ＋1，则z ＝( ) A ．2＋i B ．2－i C ．－2＋iD ．－2－i6．(2020·浙江宁波二模)已知复数z 是纯虚数，满足z (1－i)＝a ＋2i(i 为虚数单位)，则实数a 的值是( )A ．1B ．－1C ．2D ．－27．(2020·江西6月大联考)若复数z＝1＋2i1－i，则|z－|＝( )A.10 B． 5C．105D．1028．(2020·北京高考)在复平面内，复数z对应的点的坐标是(1,2)，则i·z ＝( )A．1＋2i B．－2＋iC．1－2i D．－2－i9．(2020·湖南师大附中高三摸底考试)满足条件|z＋4i|＝2|z＋i|的复数z 对应点的轨迹是( )A．直线B．圆C．椭圆D．双曲线10．(2020·湖南长沙长郡中学高三下学期第一次高考模拟)在复平面内与复数z＝2i1＋i所对应的点关于虚轴对称的点为A，则A对应的复数为( )A．－1－i B．1－iC．1＋i D．－1＋i11．(2020·福建厦门高三毕业班5月质量检查)已知i是虚数单位，复数z 满足(1－i)z＝2i，则复平面内与z对应的点在( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限12．(2020·湖南长沙长郡中学二模)下面是关于复数z＝2－1＋i(i为虚数单位)的命题，其中假命题为( )A．|z|＝ 2 B．z2＝2iC．z的共轭复数为1＋i D．z的虚部为－113．(2020·陕西西安中学高三下学期仿真考试(一))已知复数z满足z－＋i i＝－1＋i，则复数z＝( )A．－1－2i B．－1＋2iC．1－2i D．1＋2i14．(2020·贵州贵阳高三6月适应性考试二)已知复数z满足z(1＋i)＝|－1＋3i|，则复数z的共轭复数为( )A．－1＋i B．－1－iC．1＋i D．1－i15．(2020·山西太原五中高三3月模拟)已知复数z＝23－i，则|z|＝( )A．1 B．2C． 3 D． 216．(2020·陕西咸阳三模)设复数z满足|z－1＋i|＝1，z在复平面内对应的点为P(x，y)，则点P的轨迹方程为( )A．(x＋1)2＋y2＝1 B．(x－1)2＋y2＝1C．x2＋(y－1)2＝1 D．(x－1)2＋(y＋1)2＝117．(2020·吉林长春高三质量监测二)若z＝1＋(1－a)i(a∈R)，|z|＝2，则a＝( )A．0或2 B．0C．1或2 D．118．下面四个命题中，①复数z＝a＋b i(a，b∈R)的实部、虚部分别是a，b；②复数z满足|z＋1|＝|z－2i|，则z对应的点构成一条直线；③由向量a的性质|a|2＝a2，可类比得到复数z的性质|z|2＝z2；④i为虚数单位，则1＋i＋i2＋…＋i2020＝1.正确命题的个数是( )A．0 B．1C．2 D．3二、填空题19．(2020·江苏高考)已知i是虚数单位，则复数z＝(1＋i)(2－i)的实部是________．20．(2020·广州高三综合测试一)已知复数z＝22－22i，则z2＋z4＝________.21．若i为虚数单位，图中网格纸的小正方形的边长是1，复平面内点Z表示复数z，则复数z1－2i的共轭复数是________．22．(2020·全国卷Ⅱ)设复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝2，z1＋z2＝3＋i，则|z1－z2|＝________.一、选择题1．(2020·全国卷Ⅲ)若z－(1＋i)＝1－i，则z＝( )A．1－i B．1＋iC．－i D．i2．(2020·吉林东北师大附中第四次模拟)在复平面内，复数z对应的点与3＋i对应的点关于实轴对称，则zi＝( )A．－1－3i B．－3＋iC．－1＋3i D．－3－i3．(2020·山西太原一模)已知i是虚数单位，复数m＋1＋(2－m)i在复平面内对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是( )A．(－∞，－1) B．(－1,2)C．(2，＋∞) D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)4．(2020·河南洛阳第三次统一考试)已知复数z满足|z|＝1，则|z－1＋3 i|的最小值为( )A．2 B．1C． 3 D． 25．(2020·辽宁丹东二模)已知复数z＝a2＋1＋i1－i－ai－1为纯虚数，则实数a＝( )A．0 B．±1C．1 D．－16．(2020·山西大同模拟)如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是OA→，OB→，若z1＝zz2，则z的共轭复数z－＝( )A.12＋32i B．12－32iC．－12＋32i D．－12－32i7．(2020·广州综合测试)若复数z满足方程z2＋2＝0，则z3＝( )A．±2 2 B．－2 2C．－22i D．±22i8．(2020·吉林长春质量监测四模)设复数z＝x＋y i(x，y∈R)，下列说法正确的是( )A．z的虚部是y iB．z2＝|z|2C．若x＝0，则复数z为纯虚数D．若z满足|z－i|＝1，则z在复平面内对应点(x，y)的轨迹是圆二、填空题9．(2020·河南开封3月模拟)若z＝1＋2i，则4iz z－－1＝________.10．若2－i是关于x的实系数方程x2＋bx＋c＝0的一个复数根，则bc＝________.11．(2020·浙江杭州高三下学期仿真模拟)复数z满足：z1＋i＝a－i(其中a>0，i为虚数单位)，|z|＝10，则a＝________；复数z的共轭复数z－在复平面上对应的点在第________象限．12．定义复数的一种新运算z1@z2＝|z1|＋|z2|2(等式右边为普通运算)．若复数z＝x＋y i，i为虚数单位，且实数x，y满足x＋y＝22，则z－@z的最小值为________．三、解答题13．已知z1＝cosα＋isinα，z2＝cosβ－isinβ，且z1－z2＝513＋1213i，求cos(α＋β)的值．14．设z＋1为关于x的方程x2＋mx＋n＝0，m，n∈R的虚根，i为虚数单位．(1)当z＝－1＋i时，求m，n的值；(2)若n＝1，在复平面上，设复数z所对应的点为P，复数2＋4i所对应的点为Q，试求|PQ|的取值范围．考点三复数一、选择题1．(2020·新高考卷Ⅰ)2－i1＋2i＝( )A．1 B．－1 C．i D．－i 答案 D解析2－i1＋2i ＝2－i 1－2i 1＋2i 1－2i＝－5i5＝－i ，故选D. 2．(2020·云南昆明三模)在复平面内，复数z ＝2i1＋i所对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 A 解析 ∵z ＝2i1＋i＝2i 1－i 1＋i 1－i＝1＋i ，∴复数z 所对应的点的坐标为(1,1)，位于第一象限．故选A.3．(2020·青海西宁检测(一))已知a ＋b i(a ，b ∈R )是1－i1＋i的共轭复数，则a ＋b ＝( )A ．－1B ．－12C ．12D ．1答案 D 解析 1－i1＋i＝1－i 21＋i 1－i＝－2i2＝－i ，∴a ＋b i ＝－(－i)＝i ，∴a＝0，b ＝1，∴a ＋b ＝1.故选D.4．(2020·全国卷Ⅰ)若z ＝1＋i ，则|z 2－2z |＝( ) A ．0 B ．1 C ． 2 D ．2答案 D解析 z 2＝(1＋i)2＝2i ，则z 2－2z ＝2i －2(1＋i)＝－2，故|z 2－2z |＝|－2|＝2.故选D.5．(2020·陕西咸阳一模)设z ·i＝2i ＋1，则z ＝( ) A ．2＋i B ．2－i C ．－2＋i D ．－2－i 答案 B解析 ∵z ·i＝2i ＋1，∴z ＝2i ＋1i ＝2i －i 2i＝2－i.故选B.6．(2020·浙江宁波二模)已知复数z 是纯虚数，满足z (1－i)＝a ＋2i(i 为虚数单位)，则实数a 的值是( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2答案 C解析 设z ＝b i(b ∈R 且b ≠0)，则z (1－i)＝b i(1－i)＝b ＋b i ＝a ＋2i ，所以⎩⎨⎧b ＝a ，b ＝2，解得a ＝2.故选C.7．(2020·江西6月大联考)若复数z ＝1＋2i1－i ，则|z －|＝( ) A.10 B ． 5 C ．105D ．102答案 D解析 因为z ＝1＋2i1－i ＝1＋2i 1＋i 1－i1＋i＝1＋i ＋2i ＋2i 22＝－1＋3i 2，所以z －＝－12－3i 2，则|z －|＝14＋94＝102.故选D. 8．(2020·北京高考)在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(1,2)，则i·z ＝( )A ．1＋2iB ．－2＋iC ．1－2iD ．－2－i答案 B解析 由题意得z ＝1＋2i ，∴i·z ＝i －2.故选B.9．(2020·湖南师大附中高三摸底考试)满足条件|z ＋4i|＝2|z ＋i|的复数z 对应点的轨迹是( )A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线 答案 B解析设复数z＝x＋y i(x，y∈R)，则|z＋4i|＝|x＋(y＋4)i|＝x2＋y＋42，|z＋i|＝|x＋(y＋1)i|＝x2＋y＋12，结合题意有x2＋(y ＋4)2＝4x2＋4(y＋1)2，整理可得x2＋y2＝4.即复数z对应点的轨迹是圆．故选B.10．(2020·湖南长沙长郡中学高三下学期第一次高考模拟)在复平面内与复数z＝2i1＋i所对应的点关于虚轴对称的点为A，则A对应的复数为( ) A．－1－i B．1－iC．1＋i D．－1＋i 答案 D解析由题意得z＝2i1＋i＝2i1－i1＋i1－i＝2i＋22＝1＋i，在复平面内对应的点为(1,1)，关于虚轴对称的点为(－1,1)，所以其对应的复数为－1＋i.故选D.11．(2020·福建厦门高三毕业班5月质量检查)已知i是虚数单位，复数z 满足(1－i)z＝2i，则复平面内与z对应的点在( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案 B解析∵(1－i)z＝2i，∴z＝2i1－i＝2i1＋i2＝－1＋i，∴复平面内与z对应的点在第二象限，故选B.12．(2020·湖南长沙长郡中学二模)下面是关于复数z＝2－1＋i(i为虚数单位)的命题，其中假命题为( )A．|z|＝ 2 B．z2＝2iC．z的共轭复数为1＋i D．z的虚部为－1 答案 C解析因为z＝2－1＋i＝2－1－i－1＋i－1－i＝－2－2i2＝－1－i，所以|z|＝2，A为真命题；z2＝2i，B为真命题；z的共轭复数为－1＋i，C为假命题；z的虚部为－1，D为真命题．故选C.13．(2020·陕西西安中学高三下学期仿真考试(一))已知复数z 满足z －＋i i＝－1＋i ，则复数z ＝( )A ．－1－2iB ．－1＋2iC ．1－2iD ．1＋2i答案 B解析 已知复数z 满足z －＋i i＝－1＋i ，则z －＝i(－1＋i)－i ＝－1－2i ，故z ＝－1＋2i ，故选B.14．(2020·贵州贵阳高三6月适应性考试二)已知复数z 满足z (1＋i)＝|－1＋3i|，则复数z 的共轭复数为( )A ．－1＋iB ．－1－iC ．1＋iD ．1－i答案 C解析 由z (1＋i)＝|－1＋3i|＝－12＋32＝2，得z ＝21＋i＝21－i1＋i 1－i＝1－i ，∴z －＝1＋i.故选C.15．(2020·山西太原五中高三3月模拟)已知复数z ＝23－i，则|z |＝( ) A ．1 B ．2 C ． 3 D ． 2答案 A 解析 因为z ＝23－i＝23＋i 3－i 3＋i＝3＋i 2＝32＋12i ，所以|z |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝1.故选A. 16．(2020·陕西咸阳三模)设复数z 满足|z －1＋i|＝1，z 在复平面内对应的点为P (x ，y )，则点P 的轨迹方程为( )A ．(x ＋1)2＋y 2＝1B ．(x －1)2＋y 2＝1C ．x 2＋(y －1)2＝1D ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝1答案 D解析由题意得z＝x＋y i，则由|z－1＋i|＝1得|(x－1)＋(y＋1)i|＝1，即x－12＋y＋12＝1, 则(x－1)2＋(y＋1)2＝1.故选D.17．(2020·吉林长春高三质量监测二)若z＝1＋(1－a)i(a∈R)，|z|＝2，则a＝( )A．0或2 B．0C．1或2 D．1答案 A解析因为z＝1＋(1－a)i(a∈R)，|z|＝2，所以12＋1－a2＝2，解得a＝0或a＝2.故选A.18．下面四个命题中，①复数z＝a＋b i(a，b∈R)的实部、虚部分别是a，b；②复数z满足|z＋1|＝|z－2i|，则z对应的点构成一条直线；③由向量a的性质|a|2＝a2，可类比得到复数z的性质|z|2＝z2；④i为虚数单位，则1＋i＋i2＋…＋i2020＝1.正确命题的个数是( )A．0 B．1C．2 D．3答案 D解析①复数z＝a＋b i(a，b∈R)的实部为a，虚部为b，故正确；②设z＝a＋b i(a，b∈R)，由|z＋1|＝|z－2i|计算得2a＋4b－3＝0，故正确；③设z＝a ＋b i(a，b∈R)，当b≠0时，|z|2＝z2不成立，故错误；④1＋i＋i2＋…＋i2020＝1，故正确．二、填空题19．(2020·江苏高考)已知i是虚数单位，则复数z＝(1＋i)(2－i)的实部是________．答案 3解析∵复数z＝(1＋i)(2－i)＝2－i＋2i－i2＝3＋i，∴复数z的实部为3.20．(2020·广州高三综合测试一)已知复数z ＝22－22i ，则z 2＋z 4＝________.答案 －1－i解析 ∵z 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22－22i 2＝12－i －12＝－i ，∴z 4＝(z 2)2＝(－i)2＝－1，∴z 2＋z 4＝－1－i.21．若i 为虚数单位，图中网格纸的小正方形的边长是1，复平面内点Z 表示复数z ，则复数z 1－2i的共轭复数是________．答案 －i解析 由题图可得z ＝2＋i ，复数z1－2i ＝2＋i 1－2i ＝－2i 2＋i1－2i＝i ，其共轭复数为－i.22．(2020·全国卷Ⅱ)设复数z 1，z 2满足|z 1|＝|z 2|＝2，z 1＋z 2＝3＋i ，则|z 1－z 2|＝________.答案 2 3解析 解法一：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )， ∵|z 1|＝|z 2|＝2， ∴a 2＋b 2＝4，c 2＋d 2＝4，∵z 1＋z 2＝a ＋b i ＋c ＋d i ＝3＋i ， ∴a ＋c ＝3，b ＋d ＝1，∴(a ＋c )2＋(b ＋d )2＝a 2＋c 2＋2ac ＋b 2＋d 2＋2bd ＝4， ∴2ac ＋2bd ＝－4，∵z 1－z 2＝a ＋b i －(c ＋d i)＝a －c ＋(b －d )i ， ∴|z 1－z 2|＝a －c2＋b －d2＝a 2＋c 2－2ac ＋b 2＋d 2－2bd ＝a 2＋b 2＋c 2＋d 2－2ac ＋2bd＝4＋4－－4＝2 3.解法二：∵|z 1|＝|z 2|＝2，可设z 1＝2cos θ＋2sin θ·i，z 2＝2cos α＋2sin α·i， ∴z 1＋z 2＝2(cos θ＋cos α)＋2(sin θ＋sin α)·i＝3＋i ， ∴⎩⎨⎧2cos θ＋cos α＝3，2sin θ＋sin α＝1.两式平方作和，得4(2＋2cos θcos α＋2sin θsin α)＝4， 化简得cos θcos α＋sin θsin α＝－12.∴|z 1－z 2|＝|2(cos θ－cos α)＋2(sin θ－sin α)·i| ＝4cos θ－cos α2＋4sin θ－sin α2＝8－8cos θcos α＋sin θsin α＝8＋4 ＝2 3.一、选择题1．(2020·全国卷Ⅲ)若z －(1＋i)＝1－i ，则z ＝( ) A ．1－i B ．1＋i C ．－i D ．i答案 D解析 因为z －＝1－i 1＋i＝1－i 21＋i 1－i＝－2i2＝－i ，所以z ＝i.故选D. 2．(2020·吉林东北师大附中第四次模拟)在复平面内，复数z 对应的点与3＋i 对应的点关于实轴对称，则zi＝( )A ．－1－3iB ．－3＋iC ．－1＋3iD ．－3－i答案 A解析 ∵复数3＋i 在复平面内对应的点为(3，1)，复数z 在复平面内对应的点与3＋i 对应的点关于实轴对称，∴复数z 在复平面内对应的点为(3，－1)，∴z ＝3－i ，∴zi ＝3－ii＝3－i·ii 2＝－1－3i.故选A.3．(2020·山西太原一模)已知i 是虚数单位，复数m ＋1＋(2－m )i 在复平面内对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,2)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)答案 A解析 因为复数m ＋1＋(2－m )i 在复平面内对应的点在第二象限，所以⎩⎨⎧m ＋1<0，2－m >0，解得m ＜－1.所以实数m 的取值范围为(－∞，－1)．故选A.4．(2020·河南洛阳第三次统一考试)已知复数z 满足|z |＝1，则|z －1＋3i|的最小值为( )A ．2B ．1C ． 3D ． 2答案 B解析 设z ＝x ＋y i(x ∈R ，y ∈R )，由|z |＝1得x 2＋y 2＝1，又|z －1＋3i|＝x －12＋y ＋32表示定点(1，－3)与圆上任一点(x ，y )间的距离．则由几何意义得|z －1＋3i|min ＝0－12＋[0－－3]2－1＝2－1＝1，故选B.5．(2020·辽宁丹东二模)已知复数z ＝a 2＋1＋i 1－i －ai－1为纯虚数，则实数a ＝( )A ．0B ．±1C ．1D ．－1答案 C解析 ∵z ＝a 2＋1＋i 1－i －ai －1＝a 2＋1＋i 21－i 1＋i－a i i2－1＝a 2－1＋(a ＋1)i 为纯虚数，∴⎩⎨⎧a 2－1＝0，a ＋1≠0，解得a ＝1.故选C.6．(2020·山西大同模拟)如图，在复平面内，复数z 1，z 2对应的向量分别是OA →，OB →，若z 1＝zz 2，则z 的共轭复数z －＝( )A.12＋32i B ．12－32i C ．－12＋32iD ．－12－32i答案 A解析 由题图可知z 1＝1＋2i ，z 2＝－1＋i ，所以z ＝z 1z 2＝1＋2i －1＋i＝1＋2i －1－i －1＋i－1－i＝1－3i 2，所以z －＝12＋32i.故选A. 7．(2020·广州综合测试)若复数z 满足方程z 2＋2＝0，则z 3＝( ) A ．±2 2 B ．－2 2 C ．－22i D ．±22i答案 D解析 z 2＋2＝0，即z 2＝－2，解得z ＝±2i.所以z 3＝z ·z 2＝(±2i)·(－2)＝±22i ，故选D.8．(2020·吉林长春质量监测四模)设复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，下列说法正确的是( )A ．z 的虚部是y iB ．z 2＝|z |2C ．若x ＝0，则复数z 为纯虚数D ．若z 满足|z －i|＝1，则z 在复平面内对应点(x ，y )的轨迹是圆 答案 D解析 z 的实部为x ，虚部为y ，所以A 错误；z 2＝x 2－y 2＋2xy i ，|z |2＝x 2＋y 2，所以B 错误；当x ＝0，y ＝0时，z 为实数，所以C 错误；由|z －i|＝1得|x ＋y i －i|＝1，所以|x ＋(y －1)i|＝1，所以x 2＋(y －1)2＝1，所以D 正确．故选D.二、填空题9．(2020·河南开封3月模拟)若z ＝1＋2i ，则4iz z －－1＝________. 答案 i 解析4iz z －－1＝4i1＋2i1－2i－1＝i.10．若2－i 是关于x 的实系数方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个复数根，则bc ＝________.答案 －20解析 把复数根2－i 代入方程中，得(2－i)2＋b (2－i)＋c ＝0，即3＋2b ＋c －(4＋b )i ＝0，所以⎩⎨⎧3＋2b ＋c ＝0，4＋b ＝0，解得⎩⎨⎧b ＝－4，c ＝5，故bc ＝－20.11．(2020·浙江杭州高三下学期仿真模拟)复数z 满足：z 1＋i＝a －i(其中a >0，i 为虚数单位)，|z |＝10，则a ＝________；复数z 的共轭复数z －在复平面上对应的点在第________象限．答案 2 四 解析 由z 1＋i＝a －i 可得，z ＝(a －i)(1＋i)＝a ＋1＋(a －1)i ，所以|z |＝a ＋12＋a －12＝10，左右同时平方得，a 2＋2a ＋1＋a 2－2a ＋1＝10，所以a 2＝4.又因为a >0，所以a ＝2.所以z ＝3＋i ，z －＝3－i ，所以z －在复平面上对应的点为(3，－1)，位于第四象限．12．定义复数的一种新运算z 1@z 2＝|z 1|＋|z 2|2(等式右边为普通运算)．若复数z ＝x ＋y i ，i 为虚数单位，且实数x ，y 满足x ＋y ＝22，则z －@z 的最小值为________．答案 2解析 z －@z ＝|z －|＋|z |2＝2|z |2＝|z |＝x 2＋y 2.因为x ＋y ＝22，所以z －@z ＝ 2x －22＋4，故当x ＝2时，z －@z 取最小值2. 三、解答题13．已知z 1＝cos α＋isin α，z 2＝cos β－isin β，且z 1－z 2＝513＋1213i ，求cos(α＋β)的值．解 ∵z 1＝cos α＋isin α，z 2＝cos β－isin β， ∴z 1－z 2＝(cos α－cos β)＋i(sin α＋sin β)＝513＋1213i. ∴⎩⎪⎨⎪⎧cos α－cos β＝513， ①sin α＋sin β＝1213. ②由①2＋②2，得2－2cos(α＋β)＝1. ∴cos(α＋β)＝12.14．设z ＋1为关于x 的方程x 2＋mx ＋n ＝0，m ，n ∈R 的虚根，i 为虚数单位． (1)当z ＝－1＋i 时，求m ，n 的值；(2)若n ＝1，在复平面上，设复数z 所对应的点为P ，复数2＋4i 所对应的点为Q ，试求|PQ |的取值范围．解 (1)因为z ＝－1＋i ，所以z ＋1＝i ， 则i 2＋m i ＋n ＝0，易得⎩⎨⎧m ＝0，n ＝1.(2)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则(a ＋1＋b i)2＋m (a ＋1＋b i)＋1＝0，于是⎩⎨⎧a ＋12－b 2＋m a ＋1＋1＝0， ①2a ＋1b ＋mb ＝0， ②因为z ＋1为虚数根，所以b 不为零，所以由②得m ＝－2(a ＋1)，代入①得，(a ＋1)2＋b 2＝1，则点P 是以(－1,0)为圆心，1为半径的圆(去掉b ＝0对应的两点)上任意一点．又复数2＋4i 对应的点为Q ，所以|PQ |的最大值为2＋12＋42＋1＝6，|PQ |的最小值为4.所以|PQ |的取值范围是[4,6]．。
2025届高考数学一轮复习人教A版多选题专题练：第三章-函数概念与性质(含解析)
2025届高考数学一轮复习人教A 版多选题专题练：第三章 函数概念与性质一、多项选择题A.()()31ff -=C.函数的定义域是(],0-∞4．下列各组函数表示同一个函数的是A.()0(0)f x x x =≠，()()10g x x =≠B.()()21f x x x =+∈Z ，()()21g x x x =-∈ZC.()f x =()x =D.()221f x x x =--，()221g t t t =--5．如图所示的四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止.用下列对应的图象表示该容器中水面的高度h 与时间t 之间的关系，其中正确的( )A. B.C. D.．下列函数中，值域为[1,)+∞的是( )A.1y x =-1y x =+9．下列函数中，值域为[1,)+∞的是( )A.y =1y x =+ C.y =y =10．函数的定义域为R ,已知()1f x +是奇函数,()()22f x f x +=-,当[]1,2x ∈时,()22f x ax =+,则下列各选项正确的是( )()f xA.()()4f x f x +=B.()f x 在[]0,1单调递增C.()10f = D.13533f ⎛⎫=⎪⎝⎭11．下列对函数的奇偶性判断正确的是( )A.()2f x x x =+--B.22,0(),0x x x f x x x x ⎧+<⎪=⎨->⎪⎩是奇函数C.()f xD.()f x =+12．已知函数()7πcos 212f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,则( )A.π24fx ⎛⎫- ⎪⎝⎭的图象关于原点对称B.()f x 的图象关于直线x =C.()f x 在2π,π3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增D.()()2g x f x =-)0,2π上有4个零点13．已知()f x 是定义在[)0,+∞上的单调递增且图象连续不断的函数,若,,恒有,则( )A.B.,14．下列函数中,满足()()22f x f x =的是( )A.()f x ()f x x= C.()f x =()f x x x=-x ∀[)0,y ∈+∞()f x y +=121x x >>()00f =[)00,x ∃∈+∞()01f x =122x x f +⎛⎫> ⎪⎝⎭122x x f +⎛⎫< ⎪⎝⎭15．已知函数()222,193,1x ax x f x x a x x ⎧-+≤⎪=⎨+->⎪⎩的最小值为()1f ,则a 的可能取值是( )A.1B.3C.5D.716．已知定义在()0,+∞的函数()f x 满足()()()f xy f x f y =+,且()412f =,当1x >时,()0f x >,则( )参考答案1．答案：BC解析：函数()2,212,1x x f x x x ⎧-≤<=⎨-+≥⎩的定义域是[)2,-+∞，故A 错误；当21x -≤<时，()2f x x =，值域为[]0,4，当1x ≥时，()2f x x =-+，值域为(],1-∞，故()f x 的值域为(],4-∞，故B 正确；当1x ≥时，令()22f x x =-+=，无解，当21x -≤<时，令()22f x x ==，得到x =C 正确；当21x -≤<时，令()21f x x =<，解得()1,1x ∈-，当1x ≥时，令()21f x x =-+<，解得()1,x ∈+∞，故()1f x <的解集为()()1,11,-+∞ ，故D 错误.故选：BC.2．答案：AD解析：令()121x t t -=≠，则x =2221142()1(1)12t f t t t -⎛⎫- ⎪⎝⎭==---⎛⎫⎪⎝⎭，则24()1(1)(1)f x x x =-≠-，故C 错误；1152f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故A 正确；()23f =，故B 错误；22214411(1)11x f x x x ⎛⎫=-=- ⎪-⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭（0x ≠且1x ≠），故D 正确.故选：AD.3．答案：AD解析：选项A ：由图像可得(3)2f -=，所以((3))(2)1f f f -==，A 正确；选项B ：图像法只能近似地求出函数值，且有时误差较大，故由图像不能得出(1)f -的确定值，B 错误；选项C ：由图像可得函数的定义域为[3,0][2,3]- ，C 错误；选项D ：由图像可得函数的值域为[1,5]，D 正确.故选：AD.4．答案：AD解析：对于选项A ，()0(0)f x x x =≠，()()10g x x =≠两个函数的定义域均为{}0x x ≠，且01y x ==，所以对应关系也相同，所以是同一个函数，故A 正确；D.函数的值域为(0,)+∞，所以该选项不符合题意.故选：BC.7．答案：BD解析：对于选项A ，2M ∈N .故不能构成从M 到N 的函数.对于选项B ，x M ∀∈，y x N =∈.故能构成从M 到N 的函数.对于选项C ，4M ∈，但5N ∉.故不能构成从M 到N 的函数.对于选项D ，x M ∀∈，2y x N =∈.故能构成从M 到N 的函数.故选：BD.8．答案：ABD解析：选项A ，B ，D 均满足函数的定义，选项C 中同一个分数可以对应多个考试号，不满足对于任意的x ，都有唯一的y 与其对应，故选项C 不符合题意.选ABD.9．答案：BC解析：A.函数的值域为[0,)+∞，所以该选项不符合题意；B.因为||0x ≥，||11x ∴+≥，所以函数的值域为[1,)+∞，所以该选项符合题意；C.因为20x ≥，211x ∴+≥，1∴≥，所以函数的值域为[1,)+∞，所以该选项符合题意；D.函数的值域为(0,)+∞，所以该选项不符合题意.故选：BC.10．答案：AC解析：()1f x + 是奇函数,则(1)(1)(2)()f x f x f x f x +=--+⇒+=--,(12)(1)(1)0f f f ∴-+=-⇒=,故C 正确;又()()22f x f x +=-,故()(2)()(2)f x f x f x f x --=-⇒-=+,所以(2)(4)()f x f x f x -+=+=,即4T =是()f x 的一个周期,故A 正确;由()f x 关于()1,0中心对称,即函数()f x 在[0,1]上的单调性与[]1,2上的单调性一致,由(1)202f a a =+=⇒=-,则[]1,2x ∈时,()222f x x =-+,此时函数单调递减,即B 错误;由上知:213115542233333f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+==-=-⨯+= ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选:AC 11．答案：AD解析：对A,x ∈R ,()22|2||2|()f x x x x x f x -=-+---=--+=-,故函数为奇函数,A 正确;对B,因为(2)2f =,(2)2f -=,故函数不是奇函数,B 不正确;对C,由()f x 2022x ≥+≠,即[1,1]x ∈-,所以()f x =又()()f x f x -===-,所以函数为奇函数,C 不正确;对D,由()f x =+221010x x -≥-≥,解得{1,1}x ∈-,所以()0f x =,故()f x 既是奇函数又是偶函数,故D 正确.故选:AD这与()f x 单调递增矛盾,故[)0,x ∀∈+∞,()1f x ≠,故B 错误;对于选项CD:若存在1x ,使得()11f x >,因为()f x 的图象连续不断,()11f x >,()001f =<,故存在2x ,使得()21f x =,与上述()1f x ≠矛盾,故[)0,x ∀∈+∞,()1f x <,可得1212x x f +⎛⎫<⎪⎝⎭,则()()()()()1212121f x f x f x x f x f x ++=≥+当且仅当()()12f x f x =时取等号,又因为12x x ≠,()f x 单调递增,故不取等号,即()12f x x +>令0y x =≥时,可得()2fx =则()12f x x +=当[)0,1x∈)x ()0,1x ∈,因为1y x=0,1可知()g x ∈1<,又因为(0g x ),且在[)0,1上单调递增,因为()12121221222212x x f x x g f f x xx x f +⎛⎫ ⎪⎛+⎫⎛⎫⎝⎭==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎡+⎤⎛⎫+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,()()122f x f x g +⎛⎫=⎪⎝⎭可知()()121222f x f x x x g f g +⎛⎫⎛+⎫⎛⎫>⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,所以()()121222f x f x x x f ++⎛⎫>⎪⎝⎭,故C 错误,D 正确.故选:AD.14．答案：ABD解析：对于A 选项,()f x ()2x ()f x 对于B 选项,()f x x =,满足()()22f x f x =,所以B 正确;对于C 选项,()f x =()2f x =,()2f x =,不满足()()22f x f x =,所以C 不正确;对于D 选项,()f x =()22x x =()2f x x =因为()()()f xy f x f y =+,所以()()()f xy f y f x -=,所以()3f x +-2232x x f f x ⎛⎫+⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以()236f x f x ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭等价于()2322x x f f ⎛⎫+< ⎪⎝⎭,因为()f x 在()0,+∞上单调递增,所以23020322x x x x ⎧⎪+>⎪⎪>⎨⎪⎪+<⎪⎩,解得01x <<,则D 正确.故选：AD.17．答案：BC解析：当0x >时，由于(2)()1f x f x +=得到()()()()14124f x f x f x f x ===+++１，则(10)(108)(2)2f f f =-==，A 错；()1(11)(118)(3)1f f f f =-===(12)(1212)(0)410f f f =-==<，C 对；(13)(1312)(1)220f f f =-==<，D 错；故选：BC.18．答案：AD 解析：由题设，2a a =-，2log b b =-，3c c =-，所以，问题可转化为y x =-与2x y =、2log y x =、3y x =的交点问题，函数图象如下：由图及2x y =、2log y x =对称性知：0a b +=，0c =，且101a c b -<<=<<，所以A 、D 正确，B 、C 错误.故选：AD.19．答案：ABD解析：因为幂函数()()22657m f m m x x -+-=在()0,+∞上是增函数，所以2257160m m m ⎧-+=⎨->⎩，解得3m =，所以()3f x x =，所以()()()33f x x x f x -=-=-=-，故()3f x x =为奇函数，函数图象关于原点对称，所以()f x 在(),0-∞上单调递增.。
2022届新高考版数学小题狂练03(含解析)
小题专练03三角函数、平面向量与解三角形(A)一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(考点:三角函数的定义,★)若角α的终边过点(-sin 45°,cos 30°),则sin α=( ). A .√32 B .√155C .-√155D .-√322.(考点:三角恒等变换,★)已知tan α=-4,则cos(π-2α)=( ). A .35 B .310 C .1517 D .3√10103.(考点:平面向量与三角函数的综合,★★)已知向量a=(sin α,3),b=(-1,cos α),且a ⊥b ,则sin2αsinαcosα+cos 2α=( ).A .23 B .32 C .1 D .524.(考点:三角函数的图象与性质,★★)若函数y=3sin(3x+φ)的图象关于点(5π4,0)中心对称,则|φ|的最小值为( ). A .π3 B .π6 C .π4 D .π125.(考点:平面向量的数量积,★★)设向量a ,b 满足|a+b|=3,|a-b|=2,则a ·b=( ). A .1 B .54 C .32 D .746.(考点:三角函数的图象变换,★★)函数f (x )=A sin(ωx+φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示,为了得到y=sin (2x -π3)的图象,只需将f (x )的图象上( ).A .各点的横坐标变为原来的2倍,再向右平移π6个单位长度 B .各点的横坐标变为原来的12,再向右平移π3个单位长度C .各点的横坐标变为原来的2倍,再向左平移π6个单位长度 D .各点的横坐标变为原来的12,再向左平移π3个单位长度7.(考点:正、余弦定理的综合应用,★★★)已知在△ABC 中,a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 所对的边,且a=2,c cosA+a cos C=-2√33b cos B ,△ABC 的面积S=√3,则b=( ). A .√13B .√14C .2√7D .√218.(考点:三角恒等变换及函数的性质,★★★)已知函数f (x )=√3sin 2(2π-ωx )+sin ωx cos ωx+√32,且f (α)=√3+1,f (β)=√3,若|α-β|的最小值是π,则下列结论正确的是( ). A .ω=1,函数f (x )的最大值为1 B .ω=12,函数f (x )的最大值为√3+1 C .ω=14,函数f (x )的最大值为√3+1 D .ω=12,函数f (x )的最大值为1二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分. 9.(考点:三角恒等变换,★★)下列各式中,值为12的有( ). A .2√33sin 30°cos 30° B .cos 230°-sin 230° C .1-2cos 230° D .sin 230°+cos 230°10.(考点:平面向量的坐标运算,★★)已知向量a+b=(5,3),a-b=(-3,1),c=(-2,1),设a ,b 的夹角为θ,则( ). A .|a|=|b| B .a ⊥cC .b ∥cD .cos θ=6√858511.(考点:三角函数的基本性质,★★)已知函数f (x )=sin x+|cos x|,则下列命题正确的是( ). A .该函数为奇函数B .该函数的最小正周期为2πC .该函数的图象关于直线x=π2对称D .该函数的单调递增区间为[-π2+2kπ,π2+2kπ],k ∈Z12.(考点:解三角形,★★★)已知△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,则下列四个命题中正确的是( ). A .若a 2+b 2-c 2<0,则△ABC 一定是钝角三角形 B .若acosA =bcosB =ccosC ,则△ABC 一定是等边三角形 C .若a cos A=b cos B ,则△ABC 一定是等腰三角形D .若b cos C=c cos B ,则△ABC 一定是等腰三角形 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(考点:向量共线的条件,★★)已知a=(3,2),b=(k ,5),若(a+2b )∥(4a-3b ),则k= .14.(考点:两角和与差的正、余弦公式,★★)已知α,β为锐角,cos α=35,sin(α+β)=1213,则cos β= . 15.(考点:平面向量的数量积,★★)已知等边△ABC 的边长为6,平面内一点P 满足CP⃗⃗⃗⃗⃗ =12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则PA⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ = . 16.(考点:三角恒等变换及函数的性质,★★★)已知函数f (x )=sin 2x-sin 2(x -π6),x ∈R,则f (x )的最小值为 ;单调递增区间为 .答案解析：一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(考点:三角函数的定义,★)若角α的终边过点(-sin 45°,cos 30°),则sin α=( ). A .√32 B .√155C .-√155D .-√32【解析】由题意可知角α的终边过点(-√22,√32), 故sin α=√32√(-√22)+(√32)=√155. 【答案】B2.(考点:三角恒等变换,★)已知tan α=-4,则cos(π-2α)=( ). A .35 B .310 C .1517 D .3√1010【解析】由题意得,cos(π-2α)=-cos 2α=-cos 2α+sin 2α=-cos 2α+sin 2αsin α+cos α=-1+tan 2αtan α+1=-1+1616+1=1517.【答案】C3.(考点:平面向量与三角函数的综合,★★)已知向量a=(sin α,3),b=(-1,cos α),且a ⊥b ,则sin2αsinαcosα+cos 2α=( ).A .23 B .32 C .1 D .52【解析】因为a ⊥b ,所以a ·b=-sin α+3cos α=0,即sin α=3cos α,所以tan α=3, 故sin2αsinαcosα+cos 2α=2tanαtanα+1=32.【答案】B4.(考点:三角函数的图象与性质,★★)若函数y=3sin(3x+φ)的图象关于点(5π4,0)中心对称,则|φ|的最小值为( ). A .π3 B .π6 C .π4 D .π12【解析】由题意可得3sin (3×5π4+φ)=0,故3×5π4+φ=k π,k ∈Z,解得φ=k π-15π4,k ∈Z,令k=4,可得|φ|的最小值为π4. 【答案】C5.(考点:平面向量的数量积,★★)设向量a ,b 满足|a+b|=3,|a-b|=2,则a ·b=( ). A .1 B .54 C .32 D .74【解析】由题意可得,a 2+2a ·b+b 2=9,a 2-2a ·b+b 2=4, 两式相减,得4a ·b=9-4=5, 即a ·b=54. 【答案】B6.(考点:三角函数的图象变换,★★)函数f (x )=A sin(ωx+φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示,为了得到y=sin (2x -π3)的图象,只需将f (x )的图象上( ).A .各点的横坐标变为原来的2倍,再向右平移π6个单位长度B .各点的横坐标变为原来的12,再向右平移π3个单位长度 C .各点的横坐标变为原来的2倍,再向左平移π6个单位长度 D .各点的横坐标变为原来的12,再向左平移π3个单位长度【解析】根据函数f (x )=A sin(ωx+φ)(A >0,ω>0,φ<π2)的部分图象,可得A=1,34T=7π6-(-π3)=3π2,解得T=2π, 所以ω=2πT =1.再根据五点作图法可得7π6+φ=3π2,则φ=π3,故f (x )=sin (x +π3).则将函数y=f (x )的图象上各点的横坐标变为原来的12,得到y=sin (2x +π3)的图象,再向右平移π3个单位长度,得到y=sin (2x -π3)的图象. 故选B.【答案】B7.(考点:正、余弦定理的综合应用,★★★)已知在△ABC 中,a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 所对的边,且a=2,c cosA+a cos C=-2√33b cos B ,△ABC 的面积S=√3,则b=( ). A .√13B .√14C .2√7D .√21【解析】由正弦定理可得sin C cos A+sin A cos C=-2√33sin B cos B ,即sin(A+C )=-2√33sin B cos B , 所以sin B=-2√33sin B cos B , 又sin B ≠0,所以cos B=-√32,则B=150°. 因为a=2,△ABC 的面积S=√3, 所以S=12ac sin B=12×2×c ×12=√3,解得c=2√3,所以b=√a 2+c 2-2accosB =2√7. 【答案】C8.(考点:三角恒等变换及函数的性质,★★★)已知函数f (x )=√3sin 2(2π-ωx )+sin ωx cos ωx+√32,且f (α)=√3+1,f (β)=√3,若|α-β|的最小值是π,则下列结论正确的是( ). A .ω=1,函数f (x )的最大值为1 B .ω=12,函数f (x )的最大值为√3+1 C .ω=14,函数f (x )的最大值为√3+1 D .ω=12,函数f (x )的最大值为1【解析】f (x )=√3sin 2(2π-ωx )+sin ωx cos ωx+√32=√3sin 2ωx+12sin 2ωx+√32=12sin 2ωx-√32cos 2ωx+√3=sin (2ωx -π3)+√3,由题意可得该函数的周期为π×4=4π,则2π2ω=4π,所以ω=14,则f (x )=sin (12x -π3)+√3,故f (x )的最大值为√3+1. 【答案】C二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分. 9.(考点:三角恒等变换,★★)下列各式中,值为12的有( ). A .2√33sin 30°cos 30° B .cos 230°-sin 230° C .1-2cos 230° D .sin 230°+cos 230° 【解析】A 符合,2√33sin 30°cos 30°=√33sin 60°=12; B 符合,cos 230°-sin 230°=cos 60°=12; C 不符合,1-2cos 230°=-cos 60°=-12; D 不符合,sin 230°+cos 230°=1. 故选AB . 【答案】AB10.(考点:平面向量的坐标运算,★★)已知向量a+b=(5,3),a-b=(-3,1),c=(-2,1),设a ,b 的夹角为θ,则( ). A .|a|=|b| B .a ⊥cC .b ∥cD .cos θ=6√8585【解析】根据题意,a+b=(5,3),a-b=(-3,1),则a=(1,2),b=(4,1), 对于A 项,|a|=√5,|b|=√17,则|a|=|b|不成立,A 错误; 对于B 项,a=(1,2),c=(-2,1),则a ·c=0,即a ⊥c ,B 正确; 对于C 项,b=(4,1),c=(-2,1),b ∥c 不成立,C 错误;对于D 项,a=(1,2),b=(4,1),则a ·b=6,|a|=√5,|b|=√17,则cos θ=a ·b|a ||b |=6√8585,D 正确.故选BD . 【答案】BD11.(考点:三角函数的基本性质,★★)已知函数f (x )=sin x+|cos x|,则下列命题正确的是( ).A .该函数为奇函数B .该函数的最小正周期为2πC .该函数的图象关于直线x=π2对称D .该函数的单调递增区间为[-π2+2kπ,π2+2kπ],k ∈Z【解析】当cos x ≥0时,f (x )=sin x+cos x=√2sin (x +π4),当cos x<0时,f (x )=sin x-cos x=√2sin (x -π4), 画出函数图象,如图所示.根据图象知,函数不是奇函数,A 错误;f (x+2π)=sin(x+2π)+|cos(x+2π)|=sin x+|cos x|=f (x ),故该函数的最小正周期为2π,B 正确; f (π-x )=sin(π-x )+|cos(π-x )|=sin x+|cos x|=f (x ),故该函数的图象关于直线x=π2对称,C 正确;由图象可知,在[-π2,π2]上,函数f (x )不单调,所以f (x )的单调递增区间不为[-π2+2kπ,π2+2kπ],k ∈Z,D 错误. 故选BC . 【答案】BC12.(考点:解三角形,★★★)已知△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,则下列四个命题中正确的是( ). A .若a 2+b 2-c 2<0,则△ABC 一定是钝角三角形 B .若acosA =bcosB =c cosC ,则△ABC 一定是等边三角形 C .若a cos A=b cos B ,则△ABC 一定是等腰三角形 D .若b cos C=c cos B ,则△ABC 一定是等腰三角形 【解析】对于A,若a 2+b 2-c 2<0,由余弦定理可知cos C=a 2+b 2-c 22ab<0,角C 为钝角,故A 正确;对于B,因为acosA =bcosB =ccosC ,由正弦定理得a=2R sin A ,b=2R sin B ,c=2R sin C ,所以tan A=tan B=tan C ,所以A=B=C ,所以△ABC 一定是等边三角形,故B 正确;对于C,若a cos A=b cos B ,由正弦定理得sin 2A=sin 2B ,所以A=B 或A+B=π2,所以△ABC 是等腰三角形或直角三角形,故C 错误;对于D,若b cos C=c cos B ,由正弦定理得sin B cos C=sin C cos B ,则sin B cos C-sin C cos B=0,所以sin(B-C )=0,得B=C ,所以△ABC 一定是等腰三角形,故D 正确. 故选ABD . 【答案】ABD三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(考点:向量共线的条件,★★)已知a=(3,2),b=(k ,5),若(a+2b )∥(4a-3b ),则k= . 【解析】由题意得a+2b=(3+2k ,12),4a-3b=(12-3k ,-7), 因为(a+2b )∥(4a-3b ), 所以(3+2k )·(-7)=12·(12-3k ), 解得k=152.【答案】15214.(考点:两角和与差的正、余弦公式,★★)已知α,β为锐角,cos α=35,sin(α+β)=1213,则cos β= . 【解析】由题意得sin α=2α=45,cos(α+β)=±√1-sin 2(α+β)=±513.当cos(α+β)=513时,cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=513×35+1213×45=6365; 当cos(α+β)=-513时,cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=-513×35+1213×45=3365. 综上所述,cos β的值为6365或3365. 【答案】6365或336515.(考点:平面向量的数量积,★★)已知等边△ABC 的边长为6,平面内一点P 满足CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则PA⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ = . 【解析】由CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,可得PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =23CA ⃗⃗⃗⃗⃗ -12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ -CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ -13CA ⃗⃗⃗⃗⃗ , 故PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(23CA ⃗⃗⃗⃗⃗ -12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ -13CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ -29CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2-14CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2 =12×18-29×36-14×36=-8. 【答案】-816.(考点:三角恒等变换及函数的性质,★★★)已知函数f (x )=sin 2x-sin 2(x -π6),x ∈R,则f (x )的最小值为 ;单调递增区间为 .【解析】由题意,f (x )=sin 2 x-sin 2(x -π6)=12(1-cos 2x )-12[1-cos (2x -π3)]=-14cos 2x+√34sin 2x=12sin (2x -π6),所以函数f (x )的最小值为-12;令-π2+2k π≤2x-π6≤π2+2k π,k ∈Z,则-π6+k π≤x ≤π3+k π,k ∈Z, 即f (x )的单调递增区间为[-π6+kπ,π3+kπ],k ∈Z .【答案】-12 [-π6+kπ,π3+kπ],k ∈Z。
2020年新课标高考数学二轮复习选填专题专练(第3-4套)
2020年新课标高考数学二轮复习选填专题专练（第3-4套）选填专题专练第3套1.已知集合A ＝{x |x 2－2x －3＞0}，集合B ＝{x |0＜x ＜4}，则(∁R A )∩B 等于( )A.(0，3]B.[－1，0)C.[－1，3]D.(3，4)答案 A解析 因为A ＝{x |x ＜－1或x ＞3}， 故∁R A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |0＜x ＜4}， 所以(∁R A )∩B ＝{x |0＜x ≤3}，故选A.2.设i 为虚数单位，若复数a ＋2i1＋i 为纯虚数，则实数a 的值为( )A.－1B.1C.－2D.2 答案 C解析 由题意，得a ＋2i 1＋i ＝a ＋22＋2－a2i ，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋22＝0，2－a 2≠0⇒a ＝－2，故选C.3.将函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋x ·(cos x －2sin x )＋sin 2x 的图象向左平移π8个单位长度后得到函数g (x )，则g (x )具有性质( )A.在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上单调递增，为奇函数 B.周期为π，图象关于⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称C.最大值为2，图象关于直线x ＝π2对称 D.在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0上单调递增，为偶函数答案 A解析 函数的解析式为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋x (cos x －2sin x )＋sin 2x ＝sin 2x －cos 2x＝ 2 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，将其图象向左平移π8个单位长度，得到函数g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8－π4＝2sin 2x 的图象，则g (x )为奇函数，且在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上单调递增，故A 正确.4.为了得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象，只需把函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －4π3的图象( )A.向左平移π4个单位长度 B.向右平移π4个单位长度 C.向左平移π2个单位长度 D.向右平移π2个单位长度 答案 A解析 y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －4π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －4π3＋π2＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4－π3， 所以函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －4π3的图象向左平移π4个单位长度得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象，故选A.5.过点M (2，－2p )引抛物线x 2＝2py (p ＞0)的切线，切点分别为A ，B ，若|AB |＝410，则p 的值是( )A.1或2B.2或2C.1D.2答案 A解析 设切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，12p t 2，因为y ′＝1p x ，则切线斜率k ＝12p t 2＋2p t －2＝1p t ，整理可得t 2－4t －4p 2＝0，由根与系数的关系可得t 1＋t 2＝4，t 1t 2＝－4p 2， 则(t 1－t 2)2＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝16(1＋p 2).设切点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 1，t 212p ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2，t 222p ，则|AB |＝(t 1－t 2)2＋⎝⎛⎭⎪⎫t 21－t 222p 2＝(t 1－t 2)2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12p 2(t 1＋t 2)2，即|AB |＝4(1＋p 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4p 2，所以(1＋p 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4p 2＝10，即p 4－5p 2＋4＝0，解得p 2＝1或p 2＝4，即p ＝1或p ＝2，故选A. 6.已知三棱锥A －BCD 的所有顶点都在球O 的球面上，AB 为球O 的直径，若该三棱锥的体积为433，BC ＝4，BD ＝3，∠CBD ＝90°，则球O 的表面积为( )A.11πB.20πC.23πD.35π答案 C解析 设棱锥的高为h ，因为S △BCD ＝12×BC ×BD ＝23，所以V A －BCD ＝13S △BCD ×h ＝433，所以h ＝2，因此点O 到平面BCD 的距离为1， 因为△BCD 外接圆的直径为19，所以OB ＝1＋194＝232， 所以球O 的表面积为S ＝4πr 2＝23π，故选C.7.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为( )A.36πB.8πC.9π2D.27π8 答案 B解析 从题设中三视图所提供的图形信息与数据信息可知该几何体是棱长为2，2，2的长方体的一角所在三棱锥，其外接球与该长方体的外接球相同，其直径是该长方体的对角线l ＝22＋(2)2＋(2)2＝22，故球的半径为R ＝2，所以该外接球的表面积S ＝4π(2)2＝8π，故选B.8.已知点P 为不等式组⎩⎨⎧x －2y ＋1≥0，x ≤2，x ＋y －1≥0所表示的平面区域内的一点，点Q是圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1上的一个动点，则|PQ |的最大值是( )A.35＋22B.25＋33C.253D.10答案 A解析 由题意得，画出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由题意知点A 到圆心(－1，0)的距离最远，由⎩⎨⎧x －2y ＋1＝0，x ＝2，解得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32，最远距离为d ＝(2＋1)2＋⎝⎛⎭⎪⎫322＝352，所以|PQ |的最大值为352＋1＝35＋22，故选A.9.阅读如图所示的程序框图，若输出的数据为58，则判断框中应填入的条件为( )A.k ≤3?B.k ≤4?C.k ≤5?D.k ≤6?答案 B解析 第一次循环，S ＝12＝1，k ＝2；第二次循环，S ＝2×1＋22＝6，k ＝3； 第三次循环，S ＝2×6＋32＝21，k ＝4； 第四次循环，S ＝2×21＋42＝58，k ＝5， 最后输出的数据为58，所以判断框中应填入k ≤4？，故选B.10.已知三个函数f (x )＝2x ＋x ，g (x )＝x －1，h (x )＝log 3x ＋x 的零点依次为a ，b ，c ，则( )A.a ＜b ＜cB.b ＜a ＜cC.c ＜a ＜bD.a ＜c ＜b答案 D解析 由题意知f (x )，g (x )，h (x )均为各自定义域上的增函数，且有唯一零点， 因为f (－1)＝12－1＝－12＜0，f (0)＝1>0，所以－1＜a ＜0，由g (x )＝0可得x ＝1，所以b ＝1，h ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝－1＋13＝－23＜0，h (1)＝1>0，所以13＜c ＜1，所以a ＜c ＜b ，故选D.11.已知当x ＝θ时，函数f (x )＝2sin x －cos x 取得最大值，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π4等于( )A.7210B.210C.－210D.－7210答案 D解析 因为f (x )＝5sin(x －φ)， 所以f (x )max ＝5， 其中cos φ＝25，sin φ＝15， 当x －φ＝2k π＋π2，k ∈Z 时，函数取得最大值，即θ＝2k π＋π2＋φ，k ∈Z 时函数取得最大值.由于sin 2θ＝－sin 2φ＝－2×25×15＝－45，cos 2θ＝－cos 2φ＝－(2cos 2φ－1)＝－35，故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π4＝22(sin 2θ＋cos 2θ)＝－75×22＝－7210，故选D.12.已知M 是函数f (x )＝e －2|x －1|＋2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12在x ∈[－3，5]上的所有零点之和，则M 的值为( )A.4B.6C.8D.10答案 C解析 因为f (x )＝e －2|x －1|＋2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＝e －2|x －1|－2cos πx ，所以f (x )＝f (2－x )， 因为f (1)≠0，所以函数零点有偶数个，两两关于x ＝1对称. 当x ∈[1，5]时，y ＝e －2(x －1)∈(0，1]，且单调递减； y ＝2cos πx ∈[－2，2]，且在[1，5]上有两个周期，因此当x ∈[1，5]时，y ＝e －2(x －1)与y ＝2cos πx 有4个不同的交点， 从而所有零点之和为4×2＝8，故选C.13.我们把满足：x n ＋1＝x n －f (x n )f ′(x n )的数列{x n }叫做牛顿数列.已知函数f (x )＝x 2－1，数列{x n }为牛顿数列，设a n ＝ln x n －1x n ＋1，已知a 1＝2，则a 3＝________.答案 8解析 由f (x )＝x 2－1，得f ′(x )＝2x ，则x n ＋1＝x n －x 2n －12x n ＝x 2n ＋12x n，所以x n ＋1－1＝(x n －1)22x n，x n ＋1＋1＝(x n ＋1)22x n ，所以x n ＋1－1x n ＋1＋1＝(x n －1)2(x n ＋1)2，所以ln x n ＋1－1x n ＋1＋1＝ln (x n －1)2(x n ＋1)2＝2ln x n －1x n ＋1，即a n ＋1＝2a n ，所以数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，则a 3＝2×22＝8.14.已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，点P 是腰DC 上的动点，则|P A →＋3PB→|的最小值为________.答案 5解析 方法一 以点D 为原点，分别以DA ，DC 所在直线为x ，y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设DC ＝a ，DP ＝x .∴D (0，0)，A (2，0)，C (0，a )，B (1，a )，P (0，x )，PA →＝(2，－x )，PB →＝(1，a －x )，∴PA→＋3PB →＝(5，3a －4x )，|PA →＋3PB →|2＝25＋(3a －4x )2≥25， ∴|PA→＋3PB →|的最小值为5. 方法二 设DP→＝xDC →(0＜x ＜1)，∴PC→＝(1－x )DC →，PA →＝DA →－DP →＝DA →－xDC →， PB→＝PC →＋CB →＝(1－x )DC →＋12DA →， ∴PA→＋3PB →＝52DA →＋(3－4x )DC →， |PA →＋3PB → |2＝254DA → 2＋2×52×(3－4x )DA → DC→＋(3－4x )2DC 2→＝25＋(3－4x )2DC →2≥25，∴|PA→＋3PB →|的最小值为5.15.点P 在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右支上，其左、右焦点分别为F 1，F 2，直线PF 1与以坐标原点O 为圆心、a 为半径的圆相切于点A ，线段PF 1的垂直平分线恰好过点F 2，则该双曲线的渐近线的斜率为________.答案 ±43解析 如图，A 是切点，B 是PF 1的中点，因为|OA |＝|a |，所以|BF 2|＝2a ，又|F 1F 2|＝2c ，所以|BF 1|＝2b ，|PF 1|＝4b ，又|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，根据双曲线的定义，有|PF 1|－|PF 2|＝2a ，即4b －2c ＝2a ，两边平方并化简得3c 2－2ac －5a 2＝0，所以c a ＝53，因此b a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2－1＝43.16.已知数列{}a n 的前n 项和为S n ，S n ＝43()a n －1，则()4n －2＋1⎝⎛⎭⎪⎫16a n ＋1的最小值为______.答案 4解析 ∵S n ＝43()a n －1，∴S n －1＝43()a n －1－1()n ≥2，∴a n ＝S n －S n －1＝43()a n －a n －1，∴a n ＝4a n －1.又a 1＝S 1＝43()a 1－1，∴a 1＝4，∴{}a n 是首项为4，公比为4的等比数列， ∴a n ＝4n ， ∴()4n －2＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫16a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4n 16＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫164n ＋1＝2＋4n 16＋164n ≥2＋2＝4， 当且仅当n ＝2时取“＝”.选填专题专练第4套1.已知集合M ＝{x |x 2－x －2＜0}，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ＝－12x 2＋1，x ∈R ，则M ∩N 等于( )A.{x |－2≤x ＜1}B.{x |1＜x ＜2}C.{x |－1＜x ≤1}D.{x |1≤x ＜2}答案 C解析 M ＝{x |－1＜x ＜2}，N ＝{y |y ≤1}，则M ∩N ＝{x |－1＜x ≤1}，故选C. 2.已知a ＋2ii ＝b ＋i(a ，b 是实数)，其中i 是虚数单位，则ab 等于( ) A.－2 B.－1 C.1 D.3答案 A解析 由题设可得a ＋2i ＝b i －1， 则a ＝－1，b ＝2， 故ab ＝－2，故选A.3.某校组织由5名学生参加的演讲比赛，采用抽签法决定演讲顺序，在“学生A 和B 都不是第一个出场，B 不是最后一个出场”的前提下，学生C 第一个出场的概率为( )A.13B.15C.19D.320答案 A解析 先排B ，有A 13(非第一与最后)种方法，再排A 有A 13(非第一)种方法，其余3人自由排，共有A 13A 13A 33＝54(种)方法，这是总结果；学生C 第一个出场，先排B ，有A 13(非第一与最后)种方法，再排A 有A 13种方法，C 第一个出场，剩余2人自由排，故有A 13A 13A 22＝18(种)，故学生C 第一个出场的概率为1854＝13. 4.(2017·安阳模拟)已知函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)－12⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＞0，0＜φ＜π2的图象在y轴上的截距为1，且关于直线x ＝π12对称，若对于任意的x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，都有m 2－3m ≤f (x )，则实数m 的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32B.[1，2]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，2 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－132，3＋132答案 B解析 由已知得，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＋φ＝1⇒φ＝π3，f (0)＝1⇒A sin π3－12＝1⇒A ＝3，则f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－12，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，π3≤2x ＋π3≤4π3，所以f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＝－2，则m 2－3m ≤－2⇒m 2－3m ＋2≤0， 解得1≤m ≤2，故选B.5.四面体P ABC 的四个顶点都在球O 的球面上，P A ＝8，BC ＝4，PB ＝PC ＝AB ＝AC ，且平面PBC ⊥平面ABC ，则球O 的表面积为( )A.64πB.65πC.66πD.128π答案 B解析 如图，D ，E 分别为BC ，PA 的中点，易知球心O 点在线段DE 上， ∵PB ＝PC ＝AB ＝AC ，则PD ⊥BC ，AD ⊥BC ，PD ＝AD . 又∵平面PBC ⊥平面ABC ， 平面PBC ∩平面ABC ＝BC ， ∴PD ⊥平面ABC ，∴PD ⊥AD ， ∴PD ＝AD ＝4 2. ∵点E 是PA 的中点，∴ED ⊥PA ，且ED ＝EA ＝PE ＝4.设球O 的半径为R ，OE ＝x ，则OD ＝4－x ， 在Rt △OEA 中，有R 2＝16＋x 2， 在Rt △OBD 中，有R 2＝4＋(4－x )2， 解得R 2＝654，∴S ＝4πR 2＝65π.故选B.6.一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法可以设计如图所示的程序框图，若输入的n ＝12，则输出的结果b 等于( )A.4B.72C.9728D.6414答案 C解析 n ＝12，a ＝6，i ＝1，b ＝4.满足i ＜3，第一次循环：i ＝2，a ＝4，b ＝72；满足i ＜3，第二次循环：i ＝3，a ＝72，b ＝9728；不满足i ＜3，退出循环.故选C.7.已知正项等比数列{a n }满足：a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n ，使得a m a n ＝4a 1，则1m ＋16n 的最小值为( )A.256B.32C.83D.215 答案 D解析 设正项等比数列{a n }的公比为q ，且q ＞0， 由a 7＝a 6＋2a 5，得q 2－q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－1(舍去)，因为a m a n ＝16a 21，所以(a 1q m －1)(a 1q n －1)＝16a 21， 则q m ＋n －2＝16，解得m ＋n ＝6，所以1m ＋16n ＝16 ×(m ＋n )×⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋16n ＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫17＋n m ＋16m n ≥16⎝⎛⎭⎪⎫17＋2n m ×16m n ＝256，因为mn 取整数，验证可得，当m ＝1，n ＝5时，取最小值为215. 8.(2017·贵阳模拟)过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－22作圆x 2＋y 2＝1的切线l ，l 与x 轴的交点为抛物线E ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点，l 与抛物线E 交于A ，B 两点，则AB 的中点到抛物线E 的准线的距离为( )A.522B.3 2C.722D.42答案 D解析 由题意得，过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－22作圆x 2＋y 2＝1的切线l ，可得直线l 的方程为x －y －2＝0，此时直线l 与x 轴的交点坐标为(2，0)， 又(2，0)与抛物线的焦点重合，即p2＝2，解得p ＝22，即y 2＝42x ，且准线方程为x ＝－2，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝42x ，x －y －2＝0，整理得x 2－62x ＋2＝0，则x 1＋x 2＝62，则x 1＋x 22＝32，所以AB 的中点到抛物线的准线的距离为x 1＋x 22＋2＝42，故选D. 9.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.73B.8－π3C.83D.7－π3答案 B解析 由三视图中提供的数据信息和几何特征可知该几何体是一个四棱锥去掉半圆锥的组合体，其体积V ＝13×2×2×2－13×12π×1×2＝8－π3.10.如图，茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污染，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为( )A.12B.35C.45D.710答案 C解析 由茎叶图可知，甲的平均成绩为x 甲＝88＋89＋90＋91＋925＝90，乙的平均成绩为x 乙＝83＋83＋87＋99＋x5，因为x 甲＞x 乙，即352＋x ＜450，得到x＜98，又由题意可知x ≥90，且x 是整数，故基本事件有从90到99共10个，而满足条件的有从90到97共8个，故甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为P ＝810＝45，故选C. 11.已知将函数f (x )＝3sin x cos x ＋cos 2x －12的图象向左平移5π12个单位长度后得到y ＝g (x )的图象，则g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π3上的值域为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，12 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32答案 B 解析 因为f (x )＝32sin 2x ＋12cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6， 故g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋5π12＋π6＝sin(2x ＋π)＝－sin 2x ， 因为－π12≤x ≤π3，故－π6≤2x ≤2π3，则－12≤sin 2x ≤1，所以－1≤g (x )≤12，故选B. 12.(2017届湖南衡阳期末)函数f (x )在定义域(0，＋∞)内恒满足：①f (x )＞0，②2f (x )＜xf ′(x )＜3f (x )，其中f ′(x )为f (x )的导函数，则( )A.14＜f (1)f (2)＜12B.116＜f (1)f (2)＜18C.13＜f (1)f (2)＜12D.18＜f (1)f (2)＜14答案 D解析 令g (x )＝f (x )x 2，x ∈(0，＋∞)，则g ′(x )＝xf ′(x )－2f (x )x 3，∵∀x ∈(0，＋∞)，2f (x )＜xf ′(x )＜3f (x )恒成立，f (x )＞0，∴g ′(x )＝xf ′(x )－2f (x )x 3＞0，∴函数g (x )在x ∈(0，＋∞)上单调递增，∴f (1)1＜f (2)4，∴f (1)f (2)＜14. 令h (x )＝f (x )x 3，x ∈(0，＋∞)，则h ′(x )＝xf ′(x )－3f (x )x 4，∵∀x ∈(0，＋∞)，2f (x )＜xf ′(x )＜3f (x )恒成立， ∴h ′(x )＝xf ′(x )－3f (x )x 4＜0，∴函数h (x )在x ∈(0，＋∞)上单调递减，∴f (1)1＞f (2)8，∴f (1)f (2)＞18.综上可得18＜f (1)f (2)＜14，故选D.13.在周长为10的△ABC 中，AB ＝2，则CA →·CB →的最小值是________.答案 14解析 设CA ＝m ，CB ＝n ，则m ＋n ＝8， 所以由余弦定理可得CA→ CB →＝mn cos C＝m 2＋n 2－42＝()m ＋n 2－2mn －42＝82－4－2mn 2＝30－mn ，又因为mn ≤⎝⎛⎭⎪⎫m ＋n 22＝16， 当且仅当m ＝n ＝4时，等号成立. 所以CA→ CB →≥30－16＝14. 14.若ʃm 1(2x －1)d x ＝6，则二项式(1－2x )3m 的展开式中各项系数和为________. 答案 －1解析 ʃm 1(2x －1)d x ＝(x 2－x )|m 1＝m 2－m ＝6，m ＝3(m ＝－2舍去)，令x ＝1，则(1－2×1)9＝－1，即为所求系数和.15.若数列{a n }满足a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n2(n ∈N *)，其前n 项和为S n ，则S n ＝____.答案34⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n 解析 因为a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n2，所以当n ≥2时有a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －2a n －1＝n －12， 两式作差得3n －1an ＝12， 所以a n ＝12 13n －1(n ≥2，n ∈N *)，又因为当n ＝1时，a 1＝12适合此式，所以数列{}a n 的通项公式为a n ＝12 13n －1，所以S n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n 1－13＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n .16.已知双曲线x 2－y 23＝1上存在两点M ，N 关于直线y ＝x ＋m 对称，且MN的中点在抛物线y 2＝18x 上，则实数m 的值为________.答案 0或－8解析 因为点M ，N 关于直线y ＝x ＋m 对称， 所以MN 的垂直平分线为y ＝x ＋m ， 所以直线MN 的斜率为－1. 设线段MN 的中点P (x 0，x 0＋m )， 直线MN 的方程为y ＝－x ＋b ， 则x 0＋m ＝－x 0＋b ， 所以b ＝2x 0＋m . 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋b ，x 2－y 23＝1，得2x 2＋2bx －b 2－3＝0，所以x M ＋x N ＝－b ， 所以x 0＝－b 2，所以b ＝m2，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 4，34m .因为MN 的中点在抛物线y 2＝18x 上， 所以916m 2＝－92m ， 解m ＝0或m ＝－8.。
高考数学考点专练选择题(基础)
专练01选择题（基础）一、单选题1．【2021届广州一模】复数21iz i-=-在复平面内对应的点在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．【2021届深圳一模】已知复数1iz i=+，则||z =（）A ．22B C ．12D ．13．【2021届深圳一模】已知集合{|2}A x x =>，{0,1,2,3,4}B =，则()R A B = ð（）A ．{3,4}B ．{2,3,4}C ．{0,1}D ．{0,1,2}4．【2021届广州一模】已知集合{(1)(2)0}A x x x =-+<∣，则R A =ð（）A ．{21}xx -<<∣B ．{12}xx -<<∣C ．{2xx -∣ 或1}x D ．{1x x -∣ 或2}x 5．【2021届肇庆二模】图中阴影部分所对应的集合是（）A ．()()U A B BðB ．()U A B ðC ．()()()U A B A B ðD ．()()()U A B A B ð6．【2021届湛江一模】已知()R A B =∅ ð，则下面选项中一定成立的是（）A ．AB A= B ．A B B= C ．A B B⋃=D ．A B R= 7．【2021届汕头一模】若135a⎛⎫= ⎪⎝⎭，则15log 15a -=（）A ．1-B ．1C ．15D ．38．【2021届肇庆二模】已知函数()()()sin 1xx f x a x =+-为奇函数，则a =（）A ．1-B ．12C ．12-D ．19．【2021届梅州一模】若向量,a b满足()()1,,2a a b a a b b =+⊥+⊥ ，则b = （）A ．2B C ．1D ．2210．【2021届湛江调研】已知向量(1,2)a = ，向量(2,2)b =- ，a kb + 与a b -垂直，则k ＝（）A ．2B ．107C ．12D ．71011．【2021届高州一模】如图所示的ABC 中，点D 是线段AC 上靠近A 的三等分点，点E 是线段AB 的中点，则DE →=（）A ．1136BA BC→→--B ．1163BA BC→→--C ．5163BA BC →→--D ．5163BA BC →→-+12．【2021届韶关一模】ABC ∆中，点M 为AC 上的点，且12AM MC = ，若BM BA BC λμ=+，则λμ-的值是（）A ．1B ．12C ．13D ．2313．【2020届珠海三模】已知在ABC ∆中，4AB =，3BC =，5AC =，14AD DC = ，则BD BC ⋅=（）A ．95B ．94C ．165D ．36514．【2021届肇庆二模】曲线()1ln f x x x=-在()()1,1f 处的切线方程为（）A ．230x y --=B ．210x y --=C ．230x y +-=D ．210x y +-=15．【2021届湛江调研】命题“0x ∀>，lg|2x -1|＞0”的否定是（）A ．0x ∀≤，lg 210x -≤B ．0x ∃≤，lg 210x -≤C ．0x ∃>，lg 210x -≤D ．0x ∀>，lg 210x -<16．【2021届韶关一模】命题p ：220x x --<是命题q ：01x <<的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件17．【2021届广州一模】1a b >+是22a b >的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件18．【2021届广州天河区二模】设R θ∈，则“sin 2θ<”是“04πθ<<”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件19．【2021届深圳一模】设,,αβγ为三个不同的平面，若αβ⊥，则“//γβ是“αγ⊥”的（）A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件20．【2021届湛江一模】已知圆锥的轴截面是边长为8的等边三角形，则该圆锥的侧面积是（）A ．64πB ．48πC ．32πD ．16π21．【2021届肇庆二模】牙雕套球又称“鬼工球”，取鬼斧神工的意思，制作相当繁复，工艺要求极高．明代曹昭在《格古要论·珍奇·鬼工毬》中写道：“尝有象牙圆毬儿一箇，中直通一窍，内车数重，皆可转动，故谓之鬼工毬”．现有某“鬼工球”，由外及里是两层表面积分别为2100cm π和264cm π的同心球（球壁的厚度忽略不计），在外球表面上有一点A ，在内球表面上有一点B ，连接线段AB ．若线段AB 不穿过小球内部，则线段AB 长度的最大值是（）A ．cmB ．9cmC ．3cmD ．2cm22．【2021届梅州一模】若干年前，某老师刚退休的月退休金为4000元，月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图．该老师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图．已知目前的月就医费比刚退休时少100元，则目前该老师的月退休金为（）A ．5000元B ．5500元C ．6000元D ．6500元23．【2020届深圳二模】记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若24S =，42S =，则6S =（）A ．6-B ．4-C ．2-D ．024．【2020届广州二模】首项为﹣21的等差数列从第8项起开始为正数，则公差d 的取值范围是（）A ．d >3B ．d 72<C ．3≤d 72<D ．3<d 72≤25．【2021届汕头一模】在正项等比数列{}n a 中，2416a a =，4524a a +=，则数列{}n a 的通项公式为（）A ．12n n a -=B ．2nn a =C ．3nn a =D ．13-=n n a 26．【2021届揭阳一模】科赫曲线因形似雪花，又被称为雪花曲线．其构成方式如下：如图1将线段AB 等分为AC ，CD ，DB ，如图2以CD 为底向外作等边三角形CMD ，并去掉线段CD ．在图2的各条线段上重复上述操作，当进行三次操作后形成图3的曲线．设线段AB 的长度为1，则图3曲线的长度为（）A ．2B ．83C ．6427D ．327．【2021届汕头一模】已知sin 3cos 36ππαα⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则sin 2α的值是（）A ．B ．437C ．-D ．7-28．【2020届珠海三模】将函数()cos sin f x x x =+的图象向右平移34π个单位长度，得到函数g()x 的图象，则函数g()x 的解析式为A ．()g x x =B ．()g x x =C ．()g x x=D ．()g x x=29．【2021届湛江一模】将函数f (x )=sin x 的图象上所有点的横坐标变为原来的1ω(ω>0)，纵坐标不变，得到函数g (x )的图象，若函数g (x )的最小正周期为6π，则（）A ．ω=13B ．ω=6C ．ω=16D ．ω=330．【2021届梅州一模】已知直线6x π=是函数()()sin 2()2f x x πϕϕ=+<与的图象的一条对称轴，为了得到函数()y f x =的图象，可把函数sin2y x =的图象A ．向左平行移动6π个单位长度B ．向右平行移动6π个单位长度C ．向左平行移动12π个单位长度D ．向右平行移动12π个单位长度31．【2021届韶关一模】人的心脏跳动时，血压在增加或减少．血压的最大值､最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80mmHg 为标准值．设某人的血压满足函数式()()10125sin 16p t πt =+，其中()p t 为血压(单位：mmHg )，t 为时间(单位：min )，则下列说法正确的是（）A ．收缩压和舒张压均高于相应的标准值B ．收缩压和舒张压均低于相应的标准值C ．收缩压高于标准值，舒张压低于标准值D ．收缩压低于标准值，舒张压高于标准值32．【2021届深圳一模】2020年12月31日，国务院联防联控机制发布，国药集团中国生物的新冠病毒灭活疫苗已获药监局批准附条件上市，其保护效力达到世界卫生组织及药监局相关标准要求，现已对18至59岁的人提供．根据某地接种年龄样本的频率分布直方图（如图）估计该地接种年龄的中位数为（）A ．40B ．39C ．38D ．3733．【2021届深圳一模】小明跟父母、爷爷和奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制，5人坐一排．若小明的父母都与他相邻，则不同坐法的种数为（）A ．6B ．12C ．24D ．4834．【2021届揭阳一模】某学校有东、南、西、北四个校门，受新冠肺炎疫情的影响，学校对进入四个校门做出如下规定：学生只能从东门或西门进入校园，教师只能从南门或北门进入校园．现有2名教师和3名学生要进入校园（不分先后顺序），请问进入校园的方式共有（）A ．6种B ．12种C ．24种D ．32种35．【2021届肇庆二模】二项式621ax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的常数项为60，则a 的值为（）A ．2B ．2-C ．2±D ．3±36．【2021届韶关一模】假设某射手每次射击命中率相同，且每次射击之间相互没有影响．若在两次射击中至多命中一次的概率是1625，则该射手每次射击的命中率为（）A ．925B ．25C ．35D ．3437．【2020届深圳二模】若1x ，2x ，…，n x 的平均数为a ，方差为b ，则123x +，223x +，…，23n x +的平均数和方差分别为（）A ．2a ，2bB ．2a ，4bC ．23a +，2bD ．23a +，4b38．【2021届深圳一模】已知随机变量()2~,N ξμσ，有下列四个命题：甲：(1)(2)P a P a ξξ<->>+乙：()0.5P a ξ>=;丙：()0.5a ξ≤=丁：(1)(12)P a a P a a ξξ<<+<+<<+;如果只有一个假命题，则该命题为（）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁39．【2020届珠海三模】甲、乙、丙三位同学在一项集训中的40次测试分数都在[50，100]内，将他们的测试分数分别绘制成频率分布直方图，如图所示，记甲、乙、丙的分数标准差分别为s 1，s 2，s 3，则它们的大小关系为A ．s 1>s 2>s 3B ．s 1>s 3>s 2C ．s 3>s 1>s 2D ．s 3>s 2>s 140．【2021届广州天河区二模】在某次数学测试中，学生成绩ξ服从正态分布()2100,(0)σσ>，若ξ在(80,120)内的概率为0．6，则任意选取两名学生的成绩，恰有一名学生成绩不高于80的概率为（）A ．0．16B ．0．24C ．0．32D ．0．4841．【2021届揭阳一模】中医是中国传统文化的瑰宝．中医方剂不是药物的任意组合，而是根据中药配伍原则，总结临床经验，用若干药物配制组成的药方，以达到取长补短、辨证论治的目的．中医传统名方“八珍汤”是由补气名方“四君子汤”（由人参、白术、茯苓、炙甘草四味药组成）和补血名方“四物汤”（由熟地黄、白芍、当归、川芎四味药组成）两个方共八味药组合而成的主治气血两虚证方剂．现从“八珍汤”的八味药中任取四味，取到的四味药刚好组成“四君子汤”或“四物汤”的概率是（）A ．135B ．170C ．1840D ．1168042．【2020届广州二模】《周髀算经》中提出了“方属地，圆属天”，也就是人们常说的“天圆地方”．我国古代铜钱的铸造也蕴含了这种“外圆内方”“天地合一”的哲学思想．现将铜钱抽象成如图所示的图形，其中圆的半径为r ，正方形的边长为a （0＜a ＜r ），若在圆内随机取点，得到点取自阴影部分的概率是p ，则圆周率π的值为（）A ．()221a p r -B ．()221a p r +C ．()1a p r-D ．()1a p r+【点睛】本题主要考查几何概型的概率求法及应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题．43．【2021届广州天河区二模】生物学指出：生态系统中，在输入一个营养级的能量中，大约10%的能量能够流到下一个营养级．在123H H H →→这个生物链中，若能使3H 获得10kJ 的能量，则需1H 提供的能量为（）A ．510kJB ．410kJC ．310kJD ．210kJ 44．【2021届广州天河区二模】已知4log 3a =，5log 3b =，34c =，则（）A ．a c b <<B ．a b c <<C ．c b a<<D ．b c a<<45．【2020届珠海三模】已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x >时，()22xf x x a =+-，则()1f -=（）A ．3B ．3-C ．2-D ．1-46．【2020届深圳二模】已知定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x +=，当01x ≤≤时，()13f x x =，则17(8f =（）A ．12B ．2C ．18D ．847．【2020届广州二模】函数()12f x x x=-+的图像大致是（）A ．B ．C ．D ．48．【2021届高州一模】函数()||2sin x e xf x x⋅=的部分图象大致为（）A ．B ．C ．D ．49．【2021届湛江调研】若双曲线2221x y a-=（a ＞0）的一条渐近线方程为12y x =-，则其离心率为（）A ．2B ．2C ．2D50．【2020届深圳二模】已知双曲线C ：22221y x a b-=（0a >，0b >）的两条渐近线互相垂直，则C 的离心率为（）A ．B ．2C D ．3二、多选题1．【2021届湛江一模】若复数z i =-，则（）A ．|z |=2B ．|z |=4C ．z 的共轭复数z iD ．24z =-2．【2021届广州天河区二模】设向量(1,1)a =-，(0,2)b = ，则（）A ．||||a b =B ．()a b a- ∥C ．()a b a-⊥ D ．a 与b 的夹角为4π3．【2021届揭阳一模】已知一组直线为20x y ±=，则以该组直线为渐近线的双曲线有（）A ．2241x y -=B ．2241y x -=C ．2214y x -=D ．2214x y -=4．【2021届湛江调研】因防疫的需要，多数大学开学后启用封闭式管理．某大学开学后也启用封闭式管理，该校有在校学生9000人，其中男生4000人，女生5000人，为了解学生在封闭式管理期间对学校的管理和服务的满意度，随机调查了40名男生和50名女生，每位被调查的学生都对学校的管理和服务给出了满意或不满意的评价，经统计得到如下列联表：满意不满意男2020女4010附表：P （K 2≥k ）0．1000．050．0250．0100．001k 2．7063．8415．0246．63510．828附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++以下说法正确的有（）A ．满意度的调查过程采用了分层抽样的抽样方法B ．该学校学生对学校的管理和服务满意的概率的估计值为0．6C ．有99％的把握认为学生对学校的管理和服务满意与否与性别有关系D ．没有99％的把握认为学生对学校的管理和服务满意与否与性别有关系5．【2021届肇庆二模】某大学生暑假到工厂参加生产劳动，生产了100件产品，质检人员测量其长度（单位：厘米），将所得数据分成6组：[)90,91，[)91,92，[)92,93，[)93,94，[)94,95，[]95,96，得到如右所示的频率分布直方图，则对这100件产品，下列说法中正确的是（）A ．0.25b =B ．长度落在区间[)93,94内的个数为35C ．长度的众数一定落在区间[)93,94内D ．长度的中位数一定落在区间[)93,94内6．【2021届湛江一模】已知(1-2x )2021=a o +a 1x +a 2x 2+a 3x 3+…+a 2021x 2021．（）A ．展开式中所有项的二项式系数和为22021B ．展开式中所有奇次项系数和为2021312-C ．展开式中所有偶次项系数和为2021312-D ．320211223202112222a a a a +++⋅⋅⋅=-7．【2021届肇庆二模】函数()()sin A f x x ωϕ+（0A >）的部分图象如图所示，则()f x =（）A ．22sin 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭B ．52sin 23x π⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．2cos 26x π⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．72cos 6x π⎛⎫- ⎪⎝⎭8．【2021届湛江一模】已知函数f (x )=x 3-3ln x -1，则（）A ．f (x )的极大值为0B ．曲线y =f (x )在（1，f (1))处的切线为x 轴C ．f (x )的最小值为0D ．f (x )在定义域内单调。
高考数学一轮复习 第一部分 考点通关练 第一章 集合与常用逻辑用语 考点测试3 简单的逻辑联结词、全
考点测试3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词高考概览本考点是高考的常考知识点，常考题型为选择题，分值5分，低难度 考纲研读1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义2．理解全称量词与存在量词的意义 3．能正确地对含有一个量词的命题进行否定一、基础小题1．命题“所有实数的平方都是正数”的否定为( ) A ．所有实数的平方都不是正数 B ．有的实数的平方是正数 C ．至少有一个实数的平方是正数 D ．至少有一个实数的平方不是正数 答案 D解析 根据全称命题的否定为特称命题知，把“所有”改为“至少有一个”，“是”的否定为“不是”，故命题“所有实数的平方都是正数”的否定为“至少有一个实数的平方不是正数”，故选D.2．“p ∨q 为真”是“綈p 为假”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 因为綈p 为假，所以p 为真，所以“p ∨q 为真”，反之不成立，可能q 为真，p 为假，綈p 为真．所以“p ∨q 为真”是“綈p 为假”的必要不充分条件．故选B.3．已知命题p ：若a >|b |，则a 2>b 2；命题q ：若x 2＝4，则x ＝2.下列说法正确的是( ) A ．“p ∨q ”为真命题 B ．“p ∧q ”为真命题 C ．“綈p ”为真命题 D ．“綈q ”为假命题答案 A解析 由a >|b |≥0，得a 2>b 2，所以命题p 为真命题．因为x 2＝4⇔x ＝±2，所以命题q 为假命题．所以“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，“綈p ”为假命题，“綈q ”为真命题．综上所述，可知选A.4．已知命题“∃x ∈R,4x 2＋(a －2)x ＋14≤0”是假命题，则实数a 的取值X 围为( )A ．(－∞，0)B ．[0,4]C ．[4，＋∞)D ．(0,4)答案 D解析 因为命题“∃x ∈R,4x 2＋(a －2)x ＋14≤0”是假命题，所以该命题的否定“∀x ∈R,4x 2＋(a －2)x ＋14>0”是真命题，则Δ＝(a －2)2－4×4×14＝a 2－4a <0，解得0<a <4，故选D.5．已知命题p ：∃x 0∈(0，＋∞)，x 0>x 20；命题q ：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，2x ＋21－x >2 2.则下列命题中是真命题的为( )A ．綈qB ．p ∧(綈q )C ．p ∧qD ．(綈p )∨(綈q )答案 C解析 取x 0＝12，可知12>⎝ ⎛⎭⎪⎫122，故命题p 为真；因为2x ＋21－x ≥22x ·21－x＝22，当且仅当x ＝12时等号成立，故命题q 为真；故p ∧q 为真，即C 正确，故选C.6．下列命题中，是真命题的为( ) A ．∃x 0∈R ，e x 0≤0 B ．∀x ∈R,2x >x 2C ．a ＋b ＝0的充要条件是a b＝－1D ．若x ，y ∈R ，且x ＋y >2，则x ，y 中至少有一个大于1 答案 D解析 指数函数y ＝e x ＞0，A 错误；当x ＝2时，2x ＝x 2＝4，B 错误；当a ＝0，b ＝0时，满足a ＋b ＝0，但b a没有意义，C 错误；对于D ，应用反证法，当x ，y 都不大于1时，不可能有x ＋y >2，D 正确．7．下列命题中的假命题为( ) A ．∀x ∈R ，e x>0 B ．∀x ∈N ，x 2>0 C ．∃x 0∈R ，ln x 0<1 D ．∃x 0∈N *，sin πx 02＝1答案 B解析 由函数y ＝e x的图象可知，∀x ∈R ，e x>0，故A 为真命题；当x ＝0时，x 2＝0，故B 为假命题；当x 0＝1e 时，ln 1e ＝－1<1，故C 为真命题；当x 0＝1时，sin π2＝1，故D 为真命题．故选B.8．已知命题p ：∀a ∈R ，方程ax ＋4＝0有解；命题q ：∃m >0，直线x ＋my －1＝0与直线2x ＋y ＋3＝0平行．给出下列结论，其中正确的有( )①命题“p ∧q ”是真命题； ②命题“p ∧(綈q )”是真命题； ③命题“(綈p )∨q ”是真命题； ④命题“(綈p )∨(綈q )”是真命题． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个答案 B解析 因为当a ＝0时，方程ax ＋4＝0无解，所以命题p 是假命题；当1－2m ＝0，即m ＝12时两条直线平行，所以命题q 是真命题．所以綈p 是真命题，綈q 是假命题，所以①②错误，③④正确．故选B.9．已知命题p ：“a >b ”是“2a>2b”的充要条件；命题q ：∃x 0∈R ，|x 0＋1|≤x 0，则( ) A ．(綈p )∨q 为真命题 B ．p ∨q 为真命题 C ．p ∧q 为真命题 D ．p ∧(綈q )为假命题答案 B解析 对于命题p ，由函数y ＝2x 是R 上的增函数，知命题p 是真命题．对于命题q ，当x ＋1≥0，即x ≥－1时，|x ＋1|＝x ＋1>x ；当x ＋1<0，即x <－1时，|x ＋1|＝－x －1，由－x－1≤x ，得x ≥－12，无解，因此命题q 是假命题．所以(綈p )∨q 为假命题，A 错误；p ∨q 为真命题，B 正确；p ∧q 为假命题，C 错误；p ∧(綈q )为真命题，D 错误．故选B.10．下列语句中正确的个数是( )①∀φ∈R ，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数；②命题“若x ＝y 则sin x ＝sin y ”的否命题是真命题；③若p 或q 为真，则p ，q 均为真；④“a ·b >0”的充分不必要条件是“a 与b 夹角为锐角”．A ．0B ．1C ．2D ．3答案 B解析 ∀φ∈R ，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数，是错误的，当φ＝π2时，函数表达式为y ＝cos2x ，是偶函数，故①错误．命题“若x ＝y 则sin x ＝sin y ”的否命题为“若x ≠y ，则sin x ≠sin y ”，是错误的，当x ＝π，y ＝3π时，函数值相等，故②错误．若p 或q 为真，则p ，q 至少一个为真即可，故③错误．“a ·b >0”的充分不必要条件是“a 与b 夹角为锐角”，正确，夹角为锐角则两向量的数量积一定大于0，反之两向量的数量积大于0，夹角有可能为0角，故④正确．故选B.11．已知全集U ＝R ，A ⊆U ，B ⊆U ，如果命题p ：x ∈(A ∩B )，那么綈p 是________． 答案 x ∉A 或x ∉B解析 x ∈(A ∩B )即x ∈A 且x ∈B ，所以其否定为：x ∉A 或x ∉B .12．设命题p ：|4x －3|≤1；命题q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0.若綈p 是綈q 的必要不充分条件，则实数a 的取值X 围是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 解析 由|4x －3|≤1，得12≤x ≤1；由x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，得a ≤x ≤a ＋1.∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，∴q 是p 的必要不充分条件，∴p 是q 的充分不必要条件．∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1⊆[a ，a ＋1]．∴a ≤12且a ＋1≥1，两个等号不能同时成立，解得0≤a ≤12.∴实数a 的取值X围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12. 二、高考小题13．(2019·全国卷Ⅲ)记不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥6，2x －y ≥0表示的平面区域为D .命题p ：∃(x ，y )∈D,2x ＋y ≥9；命题q ：∀(x ，y )∈D,2x ＋y ≤12.下面给出了四个命题：①p ∨q ；②綈p ∨q ；③p ∧綈q ；④綈p ∧綈q . 这四个命题中，所有真命题的编号是( ) A ．①③ B ．①② C ．②③ D ．③④答案 A解析 解法一：画出可行域如图中阴影部分所示．目标函数z ＝2x ＋y 是一条平行移动的直线，且z 的几何意义是直线z ＝2x ＋y 的纵截距．显然，直线过点A (2,4)时，z min ＝2×2＋4＝8，即z ＝2x ＋y ≥8.∴2x ＋y ∈[8，＋∞)．由此得命题p ：∃(x ，y )∈D,2x ＋y ≥9是真命题； 命题q ：∀(x ，y )∈D,2x ＋y ≤12是假命题． ∴①③真，②④假．故选A.解法二：取x ＝4，y ＝5，满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥6，2x －y ≥0，且满足2x ＋y ≥9，不满足2x ＋y ≤12，故p 真，q 假．∴①③真，②④假．故选A.14．(2017·某某高考)已知命题p ：∀x >0，ln (x ＋1)>0；命题q ：若a >b ，则a 2>b 2.下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．p ∧(綈q )C ．(綈p )∧qD ．(綈p )∧(綈q )答案 B解析 ∵∀x >0，x ＋1>1，∴ln (x ＋1)>0，∴命题p 为真命题；当b <a <0时，a 2<b 2，故命题q 为假命题．由真值表可知B 正确，故选B.15．(2016·某某高考)命题“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ≥x 2”的否定形式是( ) A ．∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n <x 2B ．∀x ∈R ，∀n ∈N *，使得n <x 2C ．∃x ∈R ，∃n ∈N *，使得n <x 2D ．∃x ∈R ，∀n ∈N *，使得n <x 2答案 D解析 先将条件中的全称量词变为存在量词，存在量词变为全称量词，再否定结论．故选D.16．(2015·某某高考)命题“∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1”的否定是( ) A ．∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1 B ．∀x ∉(0，＋∞)，ln x ＝x －1 C ．∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0≠x 0－1 D ．∃x 0∉(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1 答案 A解析 特称命题的否定为全称命题，所以∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1的否定是∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1，故选A.17．(2015·全国卷Ⅰ)设命题p ：∃n ∈N ，n 2>2n，则綈p 为( ) A ．∀n ∈N ，n 2>2nB ．∃n ∈N ，n 2≤2nC ．∀n ∈N ，n 2≤2nD ．∃n ∈N ，n 2＝2n解析 根据特称命题的否定为全称命题，所以綈p ：∀n ∈N ，n 2≤2n，故选C.18．(2015·某某高考)若“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________．答案 1 解析 ∵0≤x ≤π4，∴0≤tan x ≤1.∵“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，∴m ≥1，∴实数m 的最小值为1.三、模拟小题19．(2019·某某质量监测)设命题p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0，则綈p 为( ) A ．∃x ∈R ，x 2－x ＋1>0 B ．∀x ∈R ，x 2－x ＋1≤0 C ．∃x ∈R ，x 2－x ＋1≤0 D ．∀x ∈R ，x 2－x ＋1<0 答案 C解析 全称命题的否定是特称命题．故选C.20．(2019·某某质量检测)命题p ：∀a ≥0，关于x 的方程x 2＋ax ＋1＝0有实数解，则綈p 为( )A ．∃a <0，关于x 的方程x 2＋ax ＋1＝0有实数解 B ．∃a <0，关于x 的方程x 2＋ax ＋1＝0没有实数解 C ．∃a ≥0，关于x 的方程x 2＋ax ＋1＝0没有实数解 D ．∃a ≥0，关于x 的方程x 2＋ax ＋1＝0有实数解 答案 C解析 根据全称命题的否定可知，綈p 为∃a ≥0，关于x 的方程x 2＋ax ＋1＝0没有实数解．故选C.21．(2019·某某调研)设有下面四个命题：p 1：∃n ∈N ，n 2>2n ；p 2：x ∈R ，“x >1”是“x >2”的充分不必要条件；p 3：命题“若x －312是有理数，则x 是无理数”的逆否命题； p 4：若“p ∨q ”是真命题，则p 一定是真命题．其中为真命题的是( ) A ．p 1，p 2 B ．p 2，p 3 C ．p 2，p 4D ．p 1，p 3解析 ∵n ＝3时，32>23，∴∃n ∈N ，n 2>2n，∴p 1为真命题；∵(2，＋∞)⊆(1，＋∞)，∴x >2能推出x >1，x >1不能推出x >2，“x >1”是“x >2”的必要不充分条件，∴p 2是假命题；根据逆否命题的定义可知p 3为真命题．根据复合命题的真假判断法则可知p 4为假命题．故选D.22．(2019·某某某某、马某某联考)已知命题p ：∃x ∈R ，x －2>lg x ，命题q ：∀x ∈R ，e x>x ，则( )A ．命题p ∨q 是假命题B ．命题p ∧q 是真命题C ．命题p ∧(綈q )是真命题D ．命题p ∨(綈q )是假命题 答案 B解析 显然，当x ＝10时，x －2>lg x 成立，所以命题p 为真命题．设f (x )＝e x－x ，则f ′(x )＝e x －1，当x >0时，f ′(x )>0，当x <0时，f ′(x )<0，所以f (x )≥f (0)＝1>0，所以∀x ∈R ，e x>x ，所以命题q 为真命题．故命题p ∧q 是真命题，故选B.23．(2019·某某第一次调研)设命题p ：若定义域为R 的函数f (x )不是偶函数，则∀x ∈R ，f (－x )≠f (x )．命题q ：f (x )＝x |x |在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数．则下列判断错误的是( )A ．p 为假命题B ．綈q 为真命题C ．p ∨q 为真命题D ．p ∧q 为假命题答案 C解析 函数f (x )不是偶函数，仍然可得∃x ∈R ，使得f (－x )＝f (x )，p 为假命题；f (x )＝x |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2x ≥0，－x 2x <0在R 上是增函数，q 为假命题．所以p ∨q 为假命题，故选C.24．(2019·某某质量检测)已知命题p ：∀x ＞0，总有x >sin x ；命题q ：直线l 1：ax ＋2y ＋1＝0，l 2：x ＋(a －1)y －1＝0.若l 1∥l 2，则a ＝2或a ＝－1；则下列命题中是真命题的是( )A ．p ∧qB ．(綈p )∧(綈q )C ．(綈p )∨qD ．p ∨q答案 D解析 设f (x )＝sin x －x ，则f ′(x )＝cos x －1≤0，则函数f (x )在x ≥0上为减函数，则当x ＞0时，f (x )＜f (0)＝0，即此时sin x ＜x 恒成立，即命题p 是真命题，若a ＝0，则两直线方程为l 1：2y ＋1＝0，l 2：x －y －1＝0，此时两直线不平行，不满足条件．若a ≠0，若两直线平行，则满足1a ＝a －12≠－11，由1a ＝a －12得a (a －1)＝2，即a 2－a －2＝0，解得a ＝2或a ＝－1，由1a≠－1得a ≠－1，则a ＝2，即命题q 是假命题，则p ∨q 是真命题，其余为假命题，故选D.25．(2019·某某二调)命题“∃x ∈R,2x >0”的否定是________． 答案 ∀x ∈R,2x ≤0解析 根据特称命题的否定法则可得．26．(2020·某某一中月考)已知命题p ：关于x 的方程x 2－mx －2＝0在[0,1]上有解；命题q ：f (x )＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－2mx ＋12在[1，＋∞)上单调递增．若“綈p ”为真命题，“p ∨q ”为真命题，则实数m 的取值X 围为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，34解析 对于命题p ：令g (x )＝x 2－mx －2，则g (0)＝－2，∴g (1)＝－m －1≥0，解得m ≤－1，故命题p 为真命题时，m ≤－1.∴綈p 为真命题时，m >－1.对于命题q ：⎩⎪⎨⎪⎧m ≤1，1－2m ＋12＞0，解得m <34.又由题意可得p 假q 真，∴－1<m <34，即实数m 的取值X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，34.一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型． 二、模拟大题1．(2019·某某某某模拟)命题p ：实数a 满足a 2＋a －6≥0；命题q ：函数y ＝ax 2－ax ＋1的定义域为R .若命题p ∧q 为假，p ∨q 为真，某某数a 的取值X 围．解 当命题p 为真时，即a 2＋a －6≥0， 解得a ≥2或a ≤－3；当命题q 为真时，可得ax 2－ax ＋1≥0对任意x ∈R 恒成立， 若a ＝0，则满足题意；若a ≠0，则有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a 2－4a ≤0，解得0<a ≤4，∴0≤a ≤4.∵p ∧q 为假，p ∨q 为真，∴“p 真q 假”或“p 假q 真”，①当p 真q 假时，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a ≤－3，a >4或a <0，∴a >4或a ≤－3；②当p 假q 真时，则⎩⎪⎨⎪⎧－3<a <2，0≤a ≤4，∴0≤a <2.综上，实数a 的取值X 围是(－∞，－3]∪[0,2)∪(4，＋∞)．2．(2019·潍坊联考)已知m ∈R ，设p ：∀x ∈[－1,1]，x 2－2x －4m 2＋8m －2≥0成立；q ：∃x ∈[1,2]，(x 2－mx ＋1)<－1成立．如果“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，某某数m 的取值X 围．解 若p 为真，则∀x ∈[－1,1]，4m 2－8m ≤x 2－2x －2恒成立． 设f (x )＝x 2－2x －2，配方得f (x )＝(x －1)2－3， ∴f (x )在[－1,1]上的最小值为－3， ∴4m 2－8m ≤－3，解得12≤m ≤32，∴p 为真时，12≤m ≤32.若q 为真，则∃x ∈[1,2]，x 2－mx ＋1>2成立，即m <x 2－1x成立．设g (x )＝x 2－1x ＝x －1x ，则g (x )在[1,2]上是增函数，∴g (x )的最大值为g (2)＝32，∴m <32，∴q 为真时，m <32.∵“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，∴p 与q 一真一假． 当p 真q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧ 12≤m ≤32，m ≥32，∴m ＝32；当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧m <12或m >32，m <32，∴m <12.综上所述，实数m 的取值X 围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m |m <12或m ＝32.。
2021届高考数学选择填空题专题复习课件：专题3 导数的概念及简单应用
【解析】(1)令t=ex,故x=ln t,所以f(t)=ln t+t,
即f(x)=ln x+x,
所以f′(x)= +11,所以f′(1)=2.
x
(2)因为曲线y=ax2+b 过点P(2,-5),
x
所以4a+b =-5.①
2
又y′=2ax- b,且曲线在点P(2,-5)处的切线与直线
x2
7x+2y+3=0平行,所以4ab- =-7 .②
【变式训练】
(1)设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为
y=2x,则a= ( )
A.0
B.1
C.2
D.3
(2)已知函数f(x)=ax3+x+1的图象在点(1,f(1))处的切
线过点(2,7),则a=________.
【解析】(1)选D.y′=a- x,＋1由1 题意得y′|x=0=2, 即a-1=2,所以a=3. (2)因为f′(x)=3ax2+1,所以f′(1)=3a+1. 又f(1)=a+2,所以f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为 y-(a+2)=(3a+1)(x-1).
3.已知点P在曲线y= 4 上,α为曲线在点P处的切线
ex＋1
的倾斜角,则α的取值范围是________.
【解析】1.由题意知y′=ex+xex,令y′=0,解得x=-1,
代入函数解析式可得极值点的坐标为(－1，－. 1)
e
又极值点处的切线为平行于x轴的直线,故方程为y=
- 1.
e
2.设P(x0,y0)(x0>0),
由y=ex,得y′=ex,所以y′|x=0=1.
高考数学复习题——阶段检测试题(三)
阶段检测试题(三)(时间:120分钟满分:150分)【选题明细表】知识点、方法题号数列的概念、证明1,22等差、等比数列及应用6,10,13数列求和5,16不等式的性质及解法2,3,8,14,17线性规划问题4,7,11基本不等式及应用9,15,18,21综合问题12,19,20,22一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.数列{a n}的前n项和S n=2n2-3n,则{a n}的通项公式为( A )(A)4n-5 (B)4n-3 (C)2n-3 (D)2n-1解析:因为S n=2n2-3n,所以当n≥2时,S n-1=2(n-1)2-3(n-1),两式相减可得a n=S n-S n-1=4n-5,又当n=1时,a1=S1=-1,满足上式,故选A.2.如果a>b>1,c<0,在不等式①>;②ln(a+c)>ln(b+c);③(a-c)c< (b-c)c;④be a>ae b中,所有正确命题的序号是( B )(A)①②③(B)①③④(C)②③④(D)①②④解析:因为a>b>1,c<0, 所以可令a=3,b=2,c=-4,此时ln(a+c)>ln(b+c)不成立, 所以②错误,排除A,C,D,故选B.3.在R上定义运算⊗:x⊗y=x(1-y),若不等式(x-a)⊗(x+a)<1对任意实数x成立,则( C )(A)-1<a<1 (B)0<a<2(C)-<a< (D)-<a<解析:(x-a)⊗(x+a)=(x-a)(1-x-a)<1,-x2+x+(a2-a-1)<0恒成立, Δ=1+4(a2-a-1)<0解得-<a<.4.不等式组表示的平面区域的面积为( B )(A)48 (B)24 (C)16 (D)12解析:不等式组表示的平面区域如图阴影所示,则点A(-2,2),B(2,-2),C(2,10),所以平面区域面积为S△ABC=|BC|·h=×(10+2)×(2+2)=24.故选B.5.设{a n}是公差不为0的等差数列,a1=2,且a1,a3,a6成等比数列,则{a n}的前n项和S n等于( A )(A)(B)(C)(D)n2+n解析:设等差数列的公差为d,则a1=2,a3=2+2d,a6=2+5d.又因为a1,a3,a6成等比数列,所以=a 1·a6.即(2+2d)2=2(2+5d),整理得2d2-d=0.因为d≠0,所以d=.所以S n=na1+d=+n.故选A.6.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其意思为有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地,请问第二天走了( B )(A)192里(B)96里(C)48里(D)24里解析:设等比数列{a n}的首项为a1,公比为q=,依题意有=378,解得a1=192,则a2=192×=96,即第二天走了96里,故选B.7.若x,y满足则x+2y的最大值为( D )(A)1 (B)3 (C)5 (D)9解析:已知关于x,y的不等式组对应的平面区域如图所示,设z=x+2y,则y=-x+z,它表示斜率为-的一动直线,当其在上述平面区域内移动,经过A(3,3)点时,纵截距达到最大值,即z取得最大值,最大值为3+2×3=9,故选D.8.若不等式x2-2ax+a>0对一切实数x∈R恒成立,则关于t的不等式<1的解集为( B )(A)(-3,1)(B)(-∞,-3)∪(1,+∞)(C)⌀(D)(0,1)解析:不等式x2-2ax+a>0对一切实数x∈R恒成立,则Δ=(-2a)2-4a<0,即a2-a<0,解得0<a<1,所以不等式<1转化为t2+2t-3>0,解得t<-3或t>1,故选B.9.已知各项均为正数的等比数列{a n}满足a7=a6+2a5,若存在两项a m,a n 使得=4a 1,则+的最小值为( A )(A)(B)(C)(D)解析:由各项均为正数的等比数列{a n}满足a7=a6+2a5,可得a1q6=a1q5+ 2a1q4,所以q2-q-2=0,所以q=2.因为=4a 1,所以q m+n-2=16,所以2m+n-2=24,所以m+n=6,所以+=(m+n)(+)=(5++)≥(5+4)=,当且仅当=时,等号成立,又m+n=6,解得m=2,n=4符合题意.故+的最小值等于,故选A.10.若数列{a n}满足:a1=19,a n+1=a n-3(n∈N+),则数列{a n}的前n项和数值最大时,n的值为( B )(A)6 (B)7 (C)8 (D)9解析:因为a1=19,a n+1-a n=-3,所以数列{a n}是以19为首项,-3为公差的等差数列.所以a n=19+ (n-1)×(-3)=22-3n.设{a n}的前k项和数值最大,则有k∈N+.所以所以≤k≤.因为k∈N+,所以k=7.所以满足条件的n的值为7.11.在平面上,过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影.由区域中的点在直线x+y-2=0上的投影构成的线段记为AB,则|AB|等于( C )(A)2 (B)4 (C)3(D)6解析:如图△MQR为线性区域,区域内的点在直线x+y-2=0上的投影构成了线段R′Q′,即AB,而R′Q′=RQ,由得Q(-1,1),由得R(2,-2),|AB|=|QR|==3.故选C.12.已知数列{a n}与{b n}的前n项和分别为S n,T n,且a n>0,6S n=+3a n(n ∈N*),b n=,若∀n∈N*,k>T n恒成立,则k的最小值是( B ) (A)(B)(C)49 (D)解析:已知6S n=+3a n(n∈N*),6S n-1=+3a n-1(n∈N*,n≥2),两式子作差得到a n-a n-1=3,故数列是等差数列,由等差数列的通项公式得到a n=3n,故b n==(-),裂项求和得到T n=(-)=-×,由条件k>T n恒成立,得到k的最小值为.故选B.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.等比数列{a n}中,S n表示前n项和,a3=2S2+1,a4=2S3+1,则公比q 为.解析:由a3=2S2+1,a4=2S3+1得a4-a3=2(S3-S2)=2a3,所以a4=3a3,所以q==3.答案:314.已知函数f(x)=,x∈R,则不等式f(x2-2x)<f(3x-4)的解集是.解析:f(x)=其图象如图所示,由图可知,不等式f(x2-2x)<f(3x-4)等价于解得即1<x<2,所以不等式的解集为(1,2).答案:(1,2)15.若实数x,y满足x2+x+y2+y=0,则x+y的取值范围是.解析:因为x2+y2≥2xy,所以2(x2+y2)≥x2+y2+2xy,即x2+y2≥,由已知x2+y2+x+y=0,得x+y+≤0,所以(x+y)2+2(x+y)≤0.解得-2≤x+y≤0.答案:[-2,0]16.等差数列{a n}的前n项和为S n,数列{b n}是等比数列,且满足a 1=3,b1=1,b2+S2=10,a5-2b2=a3,数列{}的前n项和为T n,若T n<M对一切正整数n都成立,则M的最小值为.解析:设数列{a n}的公差为d,数列{b n}的公比为q,由b2+S2=10,a5-2b2=a3,得解得所以a n=3+2(n-1)=2n+1,b n=2n-1.则=,T n=3+++…+,所以T n=+++…++,两式作差得T n=3+++++…+-=3+(1+++…+)-=3+-=3+2-2·()n-1-,即T n=10-()n-3-<10,由T n<M对一切正整数n都成立,所以M≥10,故M的最小值为10.答案:10三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)若不等式ax2+5x-2>0的解集是{x|<x<2},(1)求a的值;(2)求不等式ax2+5x+a2-1>0的解集.解:(1)依题意,可知方程ax2+5x-2=0的两个实数根为和2; 由根与系数的关系得+2=-,解得a=-2.(2)不等式ax2+5x+a2-1>0,即2x2-5x-3<0,即(x-3)(2x+1)<0,解得-<x<3,故不等式的解集为{x|-<x<3}.18.(本小题满分12分)(1)当x<时,求函数y=x+的最大值;(2)设0<x<2,求函数y=的最大值. 解:(1)y=(2x-3)++=-(+)+.当x<时,有3-2x>0,所以+≥2=4,当且仅当=,即x=-时取等号.于是y≤-4+=-,故函数的最大值为-.(2)因为0<x<2,所以2-x>0,所以y==·≤·=, 当且仅当x=2-x,即x=1时取等号.故函数的最大值为.19.(本小题满分12分)在数列{a n}中,a1=1,a n+1=2a n+2n.(1)设b n=.证明:数列{b n}是等差数列;(2)求数列{a n}的前n项和.(1)证明:由已知a n+1=2a n+2n,得b n+1===+1=b n+1.所以b n+1-b n=1,又b1=a1=1.所以{b n}是首项为1,公差为1的等差数列.(2)解:由(1)知,b n=n,=b n=n.所以a n=n·2n-1.所以S n=1+2×21+3×22+…+n·2n-1,两边乘以2得2S n=1×21+2×22+…+(n-1)·2n-1+n·2n,两式相减得-S n=1+21+22+…+2n-1-n·2n=2n-1-n·2n=(1-n)2n-1,所以S n=(n-1)·2n+1.20.(本小题满分12分)已知数列{a n}满足a1=a2=1, a n+2=a n+2(-1)n(n∈N*).(1)写出a5,a6的值;(2)设b n=a2n,求{b n}的通项公式;(3)记数列{a n}的前n项和为S n,求数列{S2n-18}的前n项和T n的最小值.解:(1)a3=-1,a4=3,a5=-3,a6=5.(2)b n=a2n,n∈N* ,则b n+1-b n=a2n+2-a2n=2(-1)2n=2,所以{b n}是以1为首项,2为公差的等差数列,所以b n=1+(n-1)·2=2n-1.(3)因为a2n+1-a2n-1=2(-1)2n-1=-2,n∈N*,所以{a2n-1}是以1为首项,-2为公差的等差数列,所以数列{a n}的前n个奇数项之和为na1+d=2n-n2,由(2)可知 a2n=2n-1,所以数列{a n}的前n个偶数项之和为=n2.所以S2n=2n,所以S2n-18=2n-18.因为S2n-18-(S2n-2-18)=2,且S2-18=-16,所以数列{S2n-18}是以-16为首项,2为公差的等差数列.由S2n-18=2n-18≤0可得n≤9,所以当n=8或n=9时,数列{S2n-18}的前n项和T n的最小值为T8=T9= =-72.21.(本小题满分12分)经市场调查,某旅游城市在过去的一个月内(以30天计)第t天(1≤t ≤30,t∈N*)的旅游人数f(t)(万人)近似地满足f(t)=4+,而人均消费g(t)(元)近似地满足g(t)=120-|t-20|.(1)求该城市的旅游日收益W(t)(万元)与时间t(1≤t≤30,t∈N*)的函数关系式;(2)求该城市旅游日收益的最小值.解:(1)W(t)=f(t)g(t)=(4+)(120-|t-20|)=(2)当t∈[1,20]时,401+4t+≥401+2=441(t=5时取最小值).当t∈(20,30]时,因为W(t)=559+-4t递减,所以t=30时,W(t)有最小值W(30)=443,所以t∈[1,30]时,W(t)的最小值为441万元.22.(本小题满分12分)在等差数列{a n}中,a1=3,其前n项和为S n,等比数列{b n}的各项均为正数,b1=1,且b2+S2=11,2S3=9b3.(1)求数列{a n}和{b n}的通项公式;(2)令c n=·,设数列{c n}的前n项和为T n,求T n-(n∈N*)的最大值与最小值.解:(1)设等差数列{a n}的公差为d,等比数列{b n}的公比为q,则解得d=3,q=2,所以a n=3n,b n=2n-1.(2)由(1)得c n=-3·(-)n,故T n=1-(-)n,当n为奇数时,T n=1+()n,T n随n的增大而减小,所以1<T n≤T1=; 当n为偶数时,T n=1-()n,T n随n的增大而增大,所以=T2≤T n<1, 令f(x)=x-,x>0,则f′(x)=1+>0,故f(x)在x>0时是增函数. 故当n为奇数时,0<T n-≤T1-=;当n为偶数时,0>T n-≥T2-=-.综上所述,T n-的最大值是,最小值是-.。
第二章 必刷小题3 基本初等函数-2025数学大一轮复习高考必刷题专练
一、单项选择题1．已知函数f (x )＝log 3x 与g (x )的图象关于y ＝x 对称，则g (－1)等于()A ．3 B.13C ．1D ．－12．(2023·邯郸质检)已知幂函数f (x )满足f (6)f (2)＝4，则f 13()A ．2 B.14C ．－14D ．－23．函数y ＝log 0.5(2－x －x 2)的单调递增区间为()A.－∞，－12B.－2，－12C.－12，＋∞ D.－12，14．(2023·西安模拟)在同一平面直角坐标系中，函数y ＝a －x ，y ＝log a x ＋a (a >0且a ≠1)的图象可能是()5．函数f (x )＝lg(4x －2x ＋1＋11)的最小值是()A ．10B ．1C ．11D ．lg 116．若实数m ，n ，p 满足32534e ,5e m n ==，p ＝18e2()A ．p <m <nB ．p <n <mC ．m <p <nD ．n <p <m7．已知函数f (x )＝log a (x 2＋ax ＋3)(a >0且a ≠1)，若f (x )>1恒成立，则实数a 的取值范围是()A ．(1,2)D ．(2，＋∞)8．(2023·人大附中模拟)净水机常采用分级过滤，其中第一级过滤一般由孔径为5微米的PP 棉滤芯(聚丙烯熔喷滤芯)构成，其结构是多层式，主要用于去除铁锈、泥沙、悬浮物等各种大颗粒杂质．假设每一层PP 棉滤芯可以过滤掉三分之一的大颗粒杂质，过滤前水中大颗粒杂质含量为25mg/L ，若要满足过滤后水中大颗粒杂质含量不超过2.5mg/L ，则PP 棉滤芯层数最少为(参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)()A ．5B ．6C ．7D ．8二、多项选择题9．在下列四个图形中，二次函数y ＝ax 2＋bx 与指数函数y 的图象可能是()10．若0<a <1，则下列关系成立的是()A ．log a (1－a )>log a (1＋a )B ．log a (1＋a )<0C ．1132(1)(1)a a -<-D ．a 1－a <111．(2024·绥化模拟)已知函数f (x )＝a |＋b 的图象经过原点，且无限接近直线y ＝2，但又不与该直线相交，则下列说法正确的是()A ．a ＋b ＝0B ．若f (x )＝f (y )，且x ≠y ，则x ＋y ＝0C ．若x <y <0，则f (x )<f (y )D ．f (x )的值域为[0,2)12．(2023·郴州质检)已知正实数x ，y ，z 满足2x ＝3y ＝6z ，则()A.1x ＋1y ＝1zB ．2x >3y >6zC ．xy <4z 2D ．x ＋y >4z 三、填空题13．计算：23278-⎛⎫ ⎪⎝⎭＋πlg 1＋log 223－log 4169＝________.14．方程log x 10＋2log 10x ＝6的解为________．15．已知函数f (x )＝lg(|x |＋1)，则使不等式f (2x ＋1)<f (3x )成立的x 的取值范围是________．16．若关于x 的不等式k e x ＋(k －1)e －x ＋2k ＋1<0在(0，＋∞)上恒成立，则实数k 的取值范围是________．。
高考数学 考点3 映射、函数及反函数练习-人教版高三全册数学试题
考点3 映射、函数及反函数1.（2010·全国高考卷Ⅱ文科·Ｔ4）函数y=1+ln （x-1）(x>1)的反函数是( )（A ）y=1x e+-1(x>0) (B)y=1x e -+1(x>0) (C) y=1x e +-1(x ∈R) (D ）y=1x e -+1 (x ∈R) 【命题立意】本题考查了反函数的概念及其求法.【思路点拨】运用求反函数的方法求解.【规X 解答】 选D.y=1+ln （x-1），ln （x-1）=y-1,x-1=e 1-y ,所以反函数为y=1x e -+1 (x ∈R)【方法技巧】求反函数的步骤：（1）反解x,即用y 表示x.(2)把x ，y 互换，（3）写出反函数的定义域，即原函数的值域.本题注意指数式与对数式的互化.2.（2010·全国高考卷Ⅱ理科·Ｔ2）函数1ln(1)(1)2x y x +-=>的反函数是（ ）（A ）211(0)x y e x +=->（B ）211(0)x y e x +=+> （C ）211(R)x y e x +=-∈（D ）y=112+-x e (x ∈R) 【命题立意】本题考查了反函数的概念及其求法.【思路点拨】运用求反函数的方法求解.【规X 解答】选D.2y=1+ln （x-1），ln （x-1）=2y-1,x-1=e 1-2y ,所以反函数为y=112+-x e (x ∈R)【方法技巧】求反函数的步骤：（1）反解x,即用y 表示x.(2)把x ，y 互换，（3）写出反函数的定义域，即原函数的值域.本题注意指数式与对数式的互化.3.（2010·某某高考文科·Ｔ3）已知函数3log ,0()2,0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩，则1(())9f f =（ ）（A ）4 （B ）14（C ）-4（D ）-14 【命题立意】本题主要考查考生对函数概念的理解，考查考生的基本运算能力．【思路点拨】根据函数()f x 的解析式先求1()9f ，再次利用()f x 的解析式求1(())9f f . 【规X 解答】选B.由题意1()9f 31log 29==-，故1(())9f f =(2)f -=2124-=. 【方法技巧】分段函数求函数值时，一定要根据所给自变量的取值X 围找准适合哪一段的函数解析式，然后再代值求解.4.（2010·某某高考理科·Ｔ8）对任意不等于1的正数a ，函数f(x)=log (3)a x +的反函数的图像都经过点P ，则点P 的坐标是【命题立意】本题考查对数函数的性质及反函数的有关性质．【思路点拨】根据对数函数的性质找到原函数过的定点，再由反函数的性质找到关于直线y=x 的对称点．【规X 解答】)2,0(-．因为函数)3(log )(+=x x f a 的图像过定点)0,2(-，由反函数的性质可知， 反函数的图像过定点)2,0(-．【答案】（0，-2）5.（2010·某某高考文科·Ｔ9）函数3()log (3)f x x =+的反函数的图像与y 轴的交点坐标是．【命题立意】本题考查对数函数的性质及反函数的有关性质．【思路点拨】根据对数函数的性质找到原函数与x 轴的交点，再由反函数的性质找到关于直线y=x 的对称点即是反函数与y 轴的交点坐标．【规X 解答】)2,0(-．因为函数3()log (3)f x x =+的图像与x 轴的交点坐标为)0,2(-，由反函数的性质可知，反函数的图像与y 轴的交点坐标为)2,0(-．【答案】（0，-2）。
高考数学总复习考点知识讲解与练习32 概率、随机变量及其分布
高考数学总复习考点知识讲解与练习 第32讲 概率、随机变量及其分布[考情分析]1.考查古典概型、互斥事件、相互独立事件、独立重复试验等内容，主要以选择题、填空题的形式出现，中低等难度.2.离散型随机变量的分布列、均值、方差和概率的计算问题常常结合在一起进行考查，中高等难度． 考点一 古典概型 核心提炼古典概型的概率公式P (A )＝m n ＝事件A 中所含的基本事件数试验的基本事件总数.例1(1)(2020·宁夏六盘山高级中学模拟)2020年春节突如其来的新型冠状病毒肺炎在某省爆发，一方有难八方支援，全国各地的白衣天使走上战场的第一线，某医院抽调甲、乙、丙三名医生，抽调A ，B ，C 三名护士支援某市第一医院与第二医院，参加该市疫情狙击战．其中选一名护士与一名医生去第一医院，其他都在第二医院工作，则医生甲和护士A 被选去第一医院工作的概率为() A.112 B.16 C.15 D.19答案D解析根据题意，选一名护士与一名医生去第一医院，有：甲A ，甲B ，甲C ，乙A ，乙B ，乙C ，丙A ，丙B ，丙C ，9种情况，而医生甲和护士A 被选去第一医院工作有1种情况，所以概率为P ＝19.(2)河图是上古时代神话传说中伏羲通过黄河中浮出龙马身上的图案，与自己的观察，画出的“八卦”，而龙马身上的图案就叫做“河图”．把一到十分成五组，如图，其口诀：一六共宗，为水居北；二七同道，为火居南；三八为朋，为木居东；四九为友，为金居西；五十同途，为土居中．现从这十个数中随机抽取四个数，则能成为两组的概率是()A.15B.110C.121D.1252 答案C解析现从这十个数中随机抽取4个数，基本事件总数n ＝C 410，能成为两组的基本事件个数m ＝C 25，则能成为两组的概率是P ＝m n ＝C 25C 410＝121.规律方法古典概型求解的关键点(1)正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，这常常用到排列、组合的有关知识．(2)对于较复杂的题目计数时要正确分类，分类时应不重不漏．跟踪演练1(1)(2018·全国Ⅱ)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30＝7＋23.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是()A.112 B.114 C.115 D.118答案C解析不超过30的所有素数为2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共10个，随机选取两个不同的数，共有C 210＝45(种)情况，而和为30的有7＋23,11＋19,13＋17这3种情况，所以所求概率为345＝115.(2)用0与1两个数字随机填入如图所示的5个格子里，每个格子填一个数字，并且从左到右数，不管数到哪个格子，总是1的个数不少于0的个数，则这样填法的概率为()A.532B.516C.1132D.1116 答案B解析由题意可知，填写的可能结果共有如下32种： 00000,00001,00010,00011,00100,00101,00110,00111， 01000,01001,01010,01011,01100,01101,01110,01111， 10000,10001,10010,10011,10100,10101,10110,10111， 11000,11001,11010,11011,11100,11101,11110,11111， 其中满足题意的有10种：10101,10110,10111,11001,11010,11011,11100,11101,11110,11111，由古典概型概率计算公式可得满足题意的概率值P ＝1032＝516.考点二 随机变量的分布列核心提炼1．超几何分布在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件{X＝k}发生的概率P(X＝k)＝C k M C n－kN－MC n N，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.2．二项分布一般地，在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝C knp k(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.考向一超几何分布例2(2020·天津市滨海新区塘沽第一中学模拟)4月23日是“世界读书日”，某中学开展了一系列的读书教育活动．学校为了解高三学生课外阅读情况，采用分层抽样的方法从高三某班甲、乙、丙、丁四个读书小组(每名学生只能参加一个读书小组)学生中抽取12名学生参加问卷调查．各组人数统计如下：(1)从参加问卷调查的12名学生中随机抽取2人，求这2人来自同一个小组的概率；(2)从已抽取的甲、丙两个小组的学生中随机抽取2个，用X表示抽得甲组学生的人数，求随机变量X的分布列和均值．解(1)由题意得，问卷调查从四个小组中抽取的人数分别为4,3,2,3，从参加问卷调查的12名学生中随机抽取两人的取法共有C212＝66(种)，抽取的两名学生来自同一小组的取法共有C24＋2C23＋C22＝13(种)，所以，抽取的两名学生来自同一个小组的概率为P＝13 66 .(2)由(1)知，在参加问卷调查的12名学生中，来自甲、丙两小组的学生人数分别为4,2，所以抽取的两个人中是甲组学生的人数X的可能取值为0,1,2，因为P(X＝0)＝C04C22C26＝115，P(X＝1)＝C14C12C26＝815，P(X＝2)＝C24C02C26＝25.所以随机变量X的分布列为所以随机变量X的均值为E(X)＝0×115＋1×815＋2×25＝43.跟踪演练2PM2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的可入肺颗粒物．根据现行国家标准GB3095－2012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．从某自然保护区2018年全年每天的PM2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值频数如下表所示：(1)从这10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，求恰有一天空气质量达到一级的概率；(2)从这10天的数据中任取3天数据，记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求ξ的分布列．解(1)记“从这10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，恰有一天空气质量达到一级”为事件A，则P(A)＝C13C27C310＝2140.(2)由条件知，ξ服从超几何分布，其中N＝10，M＝3，n＝3，且随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3.P(ξ＝k)＝C k3·C3－k7C310(k＝0,1,2,3)．∴P(ξ＝0)＝C03C37C310＝724，P(ξ＝1)＝C13C27C310＝2140，P(ξ＝2)＝C23C17C310＝740，P(ξ＝3)＝C33C07C310＝1120.故ξ的分布列为考向二二项分布例3(2020·陕西安康中学模拟)“互联网＋”是“智慧城市”的重要内容，A市在智慧城市的建设中，为方便市民使用互联网，在主城区覆盖了免费WiFi ，为了解免费WiFi 在A 市的使用情况，调查机构借助网络进行了问卷调查，并从参与调查的网友中抽取了200人进行抽样分析，得到如下列联表(单位：人)：(1)根据以上数据，判断是否有90%的把握认为A 市使用免费WiFi 的情况与年龄有关； (2)将频率视为概率，现从该市45岁以上的市民中用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次．记被抽取3人中“偶尔或不用免费WiFi”的人数为X ，若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的分布列、均值E (X )和方差D (X )．附：K 2＝n (ad －bc )2(a＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .解(1)由列联表可知K 2＝200×(70×40－60×30)2130×70×100×100≈2.198，因为2.198<2.706，所以没有90%的把握认为A 市使用免费WiFi 的情况与年龄有关． (2)由题意可知X ～B ⎝⎛⎭⎪⎫3，25，X 的所有可能取值为0,1,2,3，P(X＝0)＝C03×⎝⎛⎭⎪⎫353＝27125，P(X＝1)＝C13×25×⎝⎛⎭⎪⎫352＝54125，P(X＝2)＝C23×⎝⎛⎭⎪⎫252×35＝36125，P(X＝3)＝C33×⎝⎛⎭⎪⎫253＝8125.所以X的分布列为E(X)＝3×25＝65，D(X)＝3×25×⎝⎛⎭⎪⎫1－25＝1825.规律方法随机变量分布列问题的两个关键点(1)求离散型随机变量分布列的关键是正确理解随机变量取每一个值所表示的具体事件，然后综合应用各类概率公式求概率．(2)求随机变量均值与方差的关键是正确求出随机变量的分布列，若随机变量服从二项分布，则可直接使用公式求解．跟踪演练3某机器生产商对一次性购买2台机器的客户推出2种超过质保期后2年内的延保维修方案：方案一：交纳延保金6000元，在延保的2年内一共可免费维修2次，超过2次每次收取维修费1500元；方案二：交纳延保金7740元，在延保的2年内一共可免费维修4次，超过4次每次收取维修费a元．某工厂准备一次性购买2台这种机器，现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了100台这种机器超过质保期后2年内维修的次数，统计得下表：以这100台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率，记X表示这2台机器超过质保期后2年内共需维修的次数．(1)求X的分布列；(2)以所需延保金与维修费用之和的均值为决策依据，该工厂选择哪种延保方案更合算？解(1)X所有可能的取值为0,1,2,3,4,5,6，P(X＝0)＝15×15＝125，P(X＝1)＝110×15×2＝125，P(X＝2)＝110×110＋15×25×2＝17100，P(X＝3)＝110×25×2＋15×310×2＝15，P(X＝4)＝25×25＋310×110×2＝1150，P(X＝5)＝25×310×2＝625，P(X＝6)＝310×310＝9100，∴X的分布列为(2)设选择方案一所需费用为Y1元，则Y1的分布列为E(Y1)＝14×6000＋15×7500＋1150×9000＋625×10500＋9100×12000＝8580.设选择方案二所需费用为Y2元，则Y2的分布列为E(Y2)＝67100×7740＋625×(7740＋a)＋9100×(7740＋2a)＝7740＋21a50.当E(Y1)－E(Y2)＝840－21a50>0，即0<a<2000时，选择方案二更合算，当E(Y1)－E(Y2)＝840－21a50＝0，即a＝2000时，选择方案一、方案二均可；当E(Y1)－E(Y2)＝840－21a50<0，即a>2000时，选择方案一更合算．专题强化练一、单项选择题1.某路公交在某段路上有4个站点(如图)，分别记为A0，A1，A2，A3，现有甲、乙两人同时从A0站点上车，且他们中的每个人在站点A i(i＝1,2,3)下车是等可能的，则甲、乙两人不在同一站点下车的概率为()A.23B.34C.35D.12答案A解析设事件A表示“甲、乙两人不在同一站点下车”．甲、乙两人同在站点A1下车的概率为13×13；甲、乙两人同在站点A2下车的概率为13×13；甲、乙两人同在站点A3下车的概率为13×13.所以甲、乙两人在同一站点下车的概率为3×13×13＝13，则P(A)＝1－13＝23.2．设离散型随机变量X可能的取值为1,2,3,4，P(X＝k)＝ak＋b，若X的均值E(X)＝3，则a－b等于()A.110B．0C．－110D.15答案A解析∵离散型随机变量X可能的取值为1,2,3,4，P(X＝k)＝ak＋b，∴(a ＋b )＋(2a ＋b )＋(3a ＋b )＋(4a ＋b )＝1， 即10a ＋4b ＝1， 又X 的均值E (X )＝3，则(a ＋b )＋2(2a ＋b )＋3(3a ＋b )＋4(4a ＋b )＝3， 即30a ＋10b ＝3，∴a ＝110，b ＝0，∴a －b ＝110.3．如图，电路从A 到B 上共连接着6个灯泡，每个灯泡断路的概率是13，整个电路的连通与否取决于灯泡是否断路，则从A 到B 连通的概率是()A.1027B.448729C.100243D.4081 答案B解析由题图可知，A ，C 之间未连通的概率是⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝19，连通的概率是1－19＝89.E ，F 之间连通的概率是⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝49，未连通的概率是1－49＝59，故D ，B 之间未连通的概率是⎝ ⎛⎭⎪⎫592＝2581，D ，B 之间连通的概率是1－2581＝5681，故A ，B 之间连通的概率是89×5681＝448729. 4．先后掷两次骰子(骰子的六个面上分别有1,2,3,4,5,6六个点)，落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x ，y ，记事件A 为“x ＋y 为偶数”，事件B 为“x ，y 中有偶数且x ≠y ”，则概率P (B |A )等于() A.12B.13C.14D.25 答案B解析正面朝上的点数(x，y)的不同结果共有C16·C16＝36(种)，事件A：“x＋y为偶数”包含事件A1：“x，y都为偶数”与事件A2：“x，y都为奇数”两个互斥事件，其中P(A1)＝C13·C1336＝14，P(A2)＝C13·C1336＝14，所以P(A)＝P(A1)＋P(A2)＝14＋14＝12.事件B为“x，y中有偶数且x≠y”，所以事件AB为“x，y都为偶数且x≠y”，所以P(AB)＝C13·C13－336＝16，由条件概率的计算公式，得P(B|A)＝P(AB)P(A)＝13.5．(2020·山东枣庄市八中月考)某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布N(105，σ2)(σ>0)，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀(高于120分)的人数占总人数的15，则此次数学考试成绩在90分到105分(含90分和105分)之间的人数约为() A．150B．200 C．300D．400答案C解析因为P(X<90)＝P(X>120)＝1 5，P(90≤X≤120)＝1－25＝35，所以P(90≤X≤105)＝12P(90≤X≤120)＝310，所以此次数学考试成绩在90分到105分(含90分和105分)之间的人数约为1000×3 10＝300.6．某次考试共有12个选择题，每个选择题的分值为5分，每个选择题四个选项有且只有一个选项是正确的，A学生对12个选择题中每个题的四个选择项都没有把握，最后选择题的得分为X 分，B 学生对12个选择题中每个题的四个选项都能判断其中有一个选项是错误的，对其它三个选项都没有把握，选择题的得分为Y 分，则D (Y )－D (X )等于() A.12512B.3512C.274D.234答案A解析设A 学生答对题的个数为m ， 则得分X ＝5m ，m ～B ⎝⎛⎭⎪⎫12，14， D (m )＝12×14×34＝94， 所以D (X )＝25×94＝2254；同理设B 学生答对题的个数为n ，则得分Y ＝5n ，n ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，13，D (n )＝12×13×23＝83，所以D (Y )＝83×25＝2003，所以D (Y )－D (X )＝2003－2254＝12512.二、多项选择题7．已知随机变量ξi 满足P (ξi ＝1)＝p i ，P (ξi ＝0)＝1－p i ，i ＝1,2.若0<p 1<p 2<12，则下列结论正确的是() A ．E (ξ1)<E (ξ2) B ．E (ξ1)>E (ξ2) C ．D (ξ1)<D (ξ2)D ．D (ξ1)>D (ξ2) 答案AC解析∵E (ξ1)＝p 1，E (ξ2)＝p 2， ∴E (ξ1)<E (ξ2)，∵D (ξ1)＝p 1(1－p 1)，D (ξ2)＝p 2(1－p 2)， ∴D (ξ1)－D (ξ2)＝(p 1－p 2)(1－p 1－p 2)<0， 即D (ξ1)<D (ξ2)．8．某国产杀毒软件的比赛规则为每个软件进行四轮考核，每轮考核中能够准确对病毒进行查杀的进入下一轮考核，否则被淘汰．已知某个软件在四轮考核中能够准确杀毒的概率依次是56，35，34，13，且各轮考核能否通过互不影响，则()A ．该软件通过考核的概率为18B ．该软件在第三轮考核被淘汰的概率为18C ．该软件至少能够通过两轮考核的概率为23D ．在此次比赛中该软件平均考核了6524轮 答案ABD解析设事件A i (i ＝1,2,3,4)表示“该软件能通过第i 轮考核”，则P (A 1)＝56，P (A 2)＝35，P (A 3)＝34，P (A 4)＝13.该软件通过考核的概率为P (A 1A 2A 3A 4)＝P (A 1)P (A 2)P (A 3)P (A 4)＝56×35×34×13＝18，选项A 正确；该软件在第三轮考核被淘汰的概率为P (A 1A 2A 3)＝P (A 1)P (A 2)P (A 3)＝56×35×14＝18，选项B 正确；该软件至少能够通过两轮考核的概率为1－P (A 1)－P (A 1A 2)＝1－16－56×25＝12，选项C 不正确；设在此次比赛中，该软件考核了Y 轮，∴Y 的可能取值为1,2,3,4，P (Y ＝1)＝P (A 1)＝16，P (Y ＝2)＝P (A 1A 2)＝56×25＝13，P (Y ＝3)＝P (A 1A 2A 3)＝18，P (Y ＝4)＝P (A 1A 2A 3)＝56×35×34＝38，∴E (Y )＝1×16＋2×13＋3×18＋4×38＝6524，故选项D 正确．三、填空题9．某校高一新生健康检查的统计结果显示：体重超重者占40%，血压异常者占15%，两者都有的占8%，今任选一该校高一新生，已知此人体重超重，则他血压异常的概率为________． 答案0.2解析记事件A 表示此人体重超重，事件B 表示此人血压异常，则P (A )＝0.4，P (AB )＝0.08，P (B |A )＝P (AB )P (A )＝0.080.4＝0.2. 10．出租车司机从饭店到火车站途中经过六个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率都是13，则这位司机遇到红灯前已经通过了两个交通岗的概率为________． 答案427解析因为这位司机在第一、二个交通岗未遇到红灯，在第三个交通岗遇到红灯之间是相互独立的，且遇到红灯的概率都是13，所以未遇到红灯的概率都是1－13＝23，所以遇到红灯前已经通过了两个交通岗的概率为23×23×13＝427.11．(2020·临沂模拟)《易经》是中国传统文化中的精髓，如图是易经八卦(含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦)，每一卦由三根线组成(“”表示一根阳线，“”表示一根阴线)，从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有两根阳线，四根阴线的概率为________．答案314解析观察八卦图可知，含三根阴线的共有一卦，含三根阳线的共有一卦，含两根阳线一根阴线的共有三卦，含一根阳线两根阴线的共有三卦，所以从八卦中任取两卦有C 28＝28(种)情况．其中抽取的两卦中六根线恰有两根阳线，四根阴线的所有情况是一卦含有三根阴线，另一卦含有两根阳线一根阴线，或者两卦都含有一根阳线两根阴线，即C 13＋C 23＝6(种)情况．故所求概率为P ＝628＝314.12．(2020·浙江)盒中有4个球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球，从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止．设此过程中取到黄球的个数为ξ，则P (ξ＝0)＝________，E (ξ)＝________. 答案131解析方法一1个红球，1个绿球，2个黄球，共有A 24＝12(种)排列．①红球前面没有黄球，有A13＋1＝4(种)，P(ξ＝0)＝412＝13；②红球前面有1个黄球，有A12＋A12＝4(种)，P(ξ＝1)＝412＝13；③红球前面有2个黄球，有1＋A13＝4(种)，P(ξ＝2)＝412＝13.E(ξ)＝0×13＋1×13＋2×13＝1.方法二①第1次就取到红球：P(红)＝1 4；②第2次取到红球：P(黄，红)＝24×13＝16，P(绿，红)＝14×13＝112；③第3次取到红球：P(黄，黄，红)＝24×13×12＝112，P(黄，绿，红)＝24×13×12＝112，P(绿，黄，红)＝14×23×12＝112；④第4次取到红球：P(黄，黄，绿，红)＝24×13×12＝112，P(黄，绿，黄，红)＝24×13×12＝112，P(绿，黄，黄，红)＝14×23×12＝112.故P(ξ＝0)＝P(红)＋P(绿，红)＝14＋112＝13，P(ξ＝1)＝P(黄，红)＋P(黄，绿，红)＋P(绿，黄，红)＝16＋112＋112＝13，P(ξ＝2)＝P(黄，黄，红)＋P(黄，黄，绿，红)＋P(黄，绿，黄，红)＋P(绿，黄，黄，红)＝112＋112＋112＋112＝13.则E(ξ)＝0×13＋1×13＋2×13＝1.四、解答题13．某大学在一次公益活动中聘用了10名志愿者，他们分别来自于A，B，C三个不同的专业，其中A专业2人，B专业3人，C专业5人，现从这10人中任意选取3人参加一个访谈节目．(1)求3个人来自两个不同专业的概率；(2)设X表示取到B专业的人数，求X的分布列与均值．解(1)令事件A表示“3个人来自于两个不同专业”，事件A1表示“3个人来自于同一个专业”，事件A2表示“3个人来自于三个不同专业”，P(A1)＝C33＋C35C310＝11120，P(A2)＝C12C13C15C310＝30120＝14，∴3个人来自两个不同专业的概率P(A)＝1－P(A1)－P(A2)＝1－11120－30120＝79120.(2)随机变量X的取值为0,1,2,3，P(X＝0)＝C03C37C310＝35120＝724，P(X＝1)＝C13C27C310＝63120＝2140，P(X＝2)＝C23C17C310＝21120＝740，P(X＝3)＝C33C07C310＝1120，∴X的分布列为E(X)＝0×724＋1×2140＋2×740＋3×1120＝910.14．(2020·寿光市第二中学月考)十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康．经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民年收入也逐年增加，为了制定提升农民收入力争早日脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了2019年50位农民的年收入并制成如下频率分布直方图：(1)根据频率分布直方图，估计50位农民的年平均收入x(单位：千元)(同一组数据用该组数据区间的中点值表示)；(2)由频率分布直方图，可以认为该贫困地区农民收入X服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为年平均收入x，σ2近似为样本方差s2，经计算得s2＝6.92，利用该正态分布，求：①在扶贫攻坚工作中，若使该地区约有84.14%的农民的年收入不低于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元？②为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况，扶贫办随机走访了1000位农民．若每位农民的年收入互相独立，这1000位农民中的年收入不少于12.14千元的人数为ξ，求E(ξ)．附参考数据： 6.92≈2.63，若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)≈0.9973.解(1)x＝12×0.04＋14×0.12＋16×0.28＋18×0.36＋20×0.10＋22×0.06＋24×0.04＝17.40(千元)，故估计50位农民的年平均收入x为17.40千元．(2)由题意知X～N(17.40,6.92)，①P(X≥μ－σ)＝0.5＋0.68272≈0.8414，所以μ－σ≈17.40－2.63＝14.77时，满足题意，即最低年收入大约为14.77千元．②由P(X≥12.14)＝P(X≥μ－2σ)＝0.5＋0.95452≈0.9773，每个农民的年收入不少于12.14千元的事件的概率为0.9773，则ξ～B(1000，p)，其中p＝0.9773，所以E(ξ)＝1000×0.9773＝977.3.。
2021届新高考版高考数学考点考法专题训练：专题3 三角恒等变换
专题3三角恒等变换
1.[2020唐山市摸底考试]已知sin(α- )= - 3cos(α- ),则tan 2α=()
A.-4 B.- C.4 D.
2.[2020湖北部分重点中学高三测试]已知sin( - 2x)= ,则sin 4x的值为()
【技巧点拨】(1)借助“换元”转化,巧解题——处理有关三角函数求值问题时,有时需将表示“角”的代数式看作一个整体,借助“换元”的形式,有利于进一步分析、解决问题;(2)借助“平方”变形,巧解题——遇到涉及同角的正、余弦函数之和(或之差)类等式问题时,往往需要借助“平方”变形加以灵活处理;(3)借助“加减”变形,巧解题——有意识地考虑“角”与“角”之间的“加减”联系,往往可为灵活运用和差角公式及题设条件创造有利条件.
6.Csin 2α=cos( - 2α)=2cos2( -α)- 1= ,则cos2(α- )=cos2( -α)= .
7.B∵α∈(0,π),tanα=2,∴α在第一象限,且cosα= .∴cos 2α+cosα=2cos2α- 1+cosα=2×( )2- 1+ = - ,故选B.
8.- ∵cos(α+ )- sinα= cosα- sinα= ,∴ - cosα+ sinα=sin(α- )= - ,∴sin(α+ )=sin[(α- )+2π]=sin(α- )= - .
2.A解法一因为sin( - 2x)= ,所以 (cos 2x- sin 2x)= ,两边同时平方得 (1 - 2sin 2xcos 2x)= ,所以sin 4x= ,故选A.
解法二因为sin( - 2x)= =1 - 2×( )2= ,所以sin 4x= .故选A.
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高考数学选择题常考考点专练3
21．已知{}n a 是等差数列，154=a ，555=S ，则过点P (3 ，3a ) ，Q （4 ，4a ）的直
线的斜率为 （ ）
A ．4
B ．
4
1 C ．－4 D ．－14
【标准答案】
A. 解析：依题意，∵{}n a 是等差数列，154=a ，555=S ，∴1522a a +=，设公差为d ，则d=4，又43
443
PQ a a k d -===-
22．直三棱柱ABC —A 1B 1C1的底面ABC 为等腰直角三角形，斜边AB ＝2，侧棱AA 1=1,则该三棱柱的外接球的表面积为 （ ） A ．2π B ．3π C ．4π D ．5π 【标准答案】B
解析：由于直三棱柱ABC —A 1B 1C1的底面ABC 为等腰直角三角形，把直三棱柱ABC —A 1B 1C1
补成正四棱柱，则正四棱柱的体对角线是其外接球的直径，所以外接球半径为3，表面积为3π.
23. 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 17为一确定常数，则下列各式也为确定常数的是 （ ）
A ．a 2 + a 15
B ． a 2·a 15
C ．a 2 + a 9 +a 16
D ． a 2·a 9·a 16 【标准答案】
解析：∵ 17S =
2
)
(17171a a +为一确定常数， ∴ 1a + 17a 为一确定常数，又1a + 17a = 2a + 16a = 29a ， ∴2a + 16a 及9a 为一确定常数，故选C 。
说明：本题是一道基础题，若直接用通项公式和求和公式求解较复杂，解答中应用
等差数列的性质m a + n a =p a + q a ，结论巧妙产生，过程简捷，运算简单。
24 (理科)记二项式（1+2x ）n
展开式的各项系数和为a n ，其二项式系数和为b n ，则
23lim n n
n n n
b a b a →∞-+等于（ ） A ．1
B ．－1
C ．0
D ．不存在
【标准答案】
解析：由题意得()123n
n n a =+=，2n
n b =，于是，
23lim n n n n n
b a b a →∞-+2212233lim lim 13232313n
n n
n n n n n →∞→∞⎛⎫⋅- ⎪⋅-⎝⎭===-⋅+⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭。
选B 。
25. 已知P 为圆O 外一点（O 为圆心）,线段PO 交圆O 于点A, 过点P 作圆O 的切线PB,切点为B,若劣弧AB 等分△POB 的面积, 且 ∠AOB=α弧度,则
A. tan α= α
B. tan α=2α
C. sin α=2cos α
D. 2 sin α= cos α 【标准答案】
解析：由于劣弧AB 等分△POB 的面积，所以S POB ∆=2S
AOB
扇形,
则
21OB ·PB=2
1l ·OB ×2=α·OB 2
， 所以PB=2α·OB,则 tan α=OB
PB
=2α.故选B 。
26. O 为△ABC 的内切圆圆心，且AB=5、BC=4、CA=3，
下列结论中正确的是（ ）
A ．OA OC OC O
B OB OA •<•<• B. OB OA •>>•O
C OB OA OC • C. OB OA •=OC OB •=OA OC • D. OB OA •<OC OB •=OA OC • 【标准答案】
解析：作出图形， 如图，数量积的意义是实数作差比大小， OB OA •-•=CA OB •，由直角三角形C 中为直角，
则•<0，故OB OA •<OC OB •； 同理 •-OA OC •=•<0， 则OC OB •<•。
故OB OA •<OC OB •<OA OC •,应选A 。
说明：向量的数量积为实数可转化为实数大小的问题，作差借助减法的运算又化归数量积判断，借助几何条件判断数量积符号，充分显示了数量积的本质属性，为向量和实数的相互转
A
B
C
O
P
B
O
A
化提供了方法和依据。
27. 已知椭圆的中心在O,右焦点为F ，右准线为L ，若在L 上存在点M ，使线段OM 的垂直平分线经过点F ，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A ⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,22
B ⎥⎦
⎤ ⎝⎛23,0 C ⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,23 D ⎥⎦⎤ ⎝⎛22,0 【标准答案】
解析：如果注意到形助数的特点，借助平面几何知识的最值构建使问题简单化，由于线段OM 的垂直平分线经过点F ，则,c OF MF ==利用平面几何折线段大于或等于直线段（中
心到准线之间的距离），则有 2c ≥c
a 2e ∴≥22，选A 。
说明：离心率的范围实质为一个不等式关系，如何构建这种不等关系？可以利用方程
和垂直平分线性质构建。
利用题设和平面几何知识的最值构建不等式往往使问题简单化，回味本题的探究过程，认识解析几何中“形助数”简化运算的途径。
28. 在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的底面A 1B 1C 1D 1内取一点E,使AE 与AB 、AD 所成的角都是60°,则线段AE 的长为（ ）
A.2
5 B.2
6 C.2 D.3
【标准答案】
解析：由∠EAB=∠EAD ，则E 点必在A 1C 1上， 且E 在面A 1C 上的射影在AC 上为F ， 如图， ∵cos ∠FAM=AF
AM =22
，
∴cos ∠BAE=AE AM =AF AM
·AE AF =cos60°=2
1，
∴cos ∠FAE= cos ∠AEA 1= AE AF =2
2
,则∠AEA 1=45°，
∴△AEA 1为等腰直角三角形，故AE=2。
29．设函数=)(x f ⎪⎩⎪⎨⎧<--≥--)
0(62)
0(1222x x x x x x ,若2)(>t f ，则实数t 的取值范围是 （ ）
A ．（)1,-∞-),4(+∞⋃
B ．（－)3,-∞+∞⋃,2(）
C ．（－),1()4,+∞⋃-∞
D ．（－),3()2,+∞⋃-∞
A 1
B 1
D 1
B
1
E
M
F C
【标准答案】 C
30. 已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，且对于任意R x ∈，都有)3()1(+=-x f x f ，当
[]6,4∈x 时，12)(+=x x f ，则函数)(x f 在[]0,2-上的反函数)(1
x f
-的值)19(1
-f
为
（ ）
A.15log 2
B.3－23log 2
C.5＋3log 2
D.－1－23log 2
【标准答案】
D 解析：由已知,)(2
1
,CP b a OP CP OC OP ++=
∴+= =-⋅∴)(P ρ 2
1)(])(21[=-⋅+-（|AB CP b a ⋅+-)|||22=6)24(21
22=-。