高等数学(一)第三章(下)练习题

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《高等数学》习题答案

《高等数学》习题答案二〇一四年六月三日《高等数学》习题答案第1章函数练习题1.11.（1）不是。

定义域不相同。

函数x y =的定义域为R ，函数xx y 2=的定义域为}{0≠x x 。

（2）不是。

对应法则不相同。

x x y ==2。

2.（1）⎩⎨⎧>-≠-0120)12lg(x x ∴定义域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠>121x x x 且。

（2）022≥-x }2-x 2x {x ≤≥∴或定义域为。

（3）⎪⎩⎪⎨⎧>≥-⇒⎩⎨⎧>-≥-⇒⎩⎨⎧>-≥-321230231ln )23ln(0230)23ln(x x x x x x {}1≥∴x x 定义域为。

3.25)23(,23)21(==f f 。

4.[()]12xf f x x=- 5.（1）⎩⎨⎧≥-≠0102x x {}011≠≤≤-∴x x x 且定义域为（2）1211≤-≤-x {}31≤≤-∴x x 定义域为（3）⎩⎨⎧≠≥-003x x {}03≠≤∴x x x 且定义域为6. 不是。

定义域不相同。

{}{}0lg 2)(,0lg )(2>=≠=x x x x g x x x x f 的定义域为的定义域为。

练习题1.21.（1）偶函数（2）偶函数（3）奇函数2.（1）π2=T （2）ππ==-=-==22,2cos 212122cos 1sin 2T x x x y （3）ππ==22T练习题1.31.（1）x y 2tan = （2）)1sin(2+=xe y2.（1）23,10+==x u u y （2）21,x u u y -==（3）x u y u-==,10 （4）2,2x u y u== （5）1,log 22+==x u u y （6）x u u y 5,sin == （7）5,sin x u u y == （8）x u u y sin ,5== （9） x v v u u y lg ,lg ,lg === （10）2,arcsin x u u y == 3.（1）由)(21,2112R x x y y x x y ∈-=-=+=故其反函数为可得（2）由)(2,22333R x x y y x x y ∈-=-=+=故其反函数为可得练习题1.41.（1）R （2）⎩⎨⎧>>⇒⎩⎨⎧>>⇒⎩⎨⎧>>0101lg lg 00lg x x x x x x {}1>∴x x 定义域为（3）⎪⎩⎪⎨⎧>≥-⇒⎩⎨⎧>-≥-⇒⎩⎨⎧>-≥-321230231ln )23ln(0230)23ln(x x x x x x {}1≥∴x x 定义域为（4）1211≤-≤-x {}31≤≤-∴x x 定义域为第一章复习题一、判断题:1.√2.×3.√4.√5.√6.√ 二、填空题:1. 0>x2. e 、13. 5,,tan -===x v v u u y4. 22-x 5. {}122±≠≤≤-x x x 且三、解答题:42)(,4)0(3++-=-=x x x f f第2章极限练习题2.11.（1）极限为0 （2）极限为0 （3）极限为1 （4）极限为1（5）当n 无限增大时，n)1(1-+无休止地反复取0和2两个数，而不会无限接近于任何一个确定的常数，故该数列当∞→n 时没有极限（6）数列{}n n)1(-即为-1,2，-3,4，-5…… ，故该数列当∞→n 时没有极限（7）极限为22. 该数列的奇子数列为1,2,3,…，n … 没有极限偶子数列为111,,23n⋅⋅⋅⋅⋅⋅，极限为0 所以该数列的极限不存在。

高等数学作业题及参考答案

高等数学作业题（一）第一章函数1、填空题（1）函数1142-+-=x x y 的定义域是 2、选择题(1)下列函数是初等函数的是（）。

A.3sin -=x y B.1sin -=x y C.⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=1,01,112x x x x yD. ⎩⎨⎧≥<+=0,0,1x x x x y (2)xy 1sin =在定义域内是（）。

A. 单调函数 B. 周期函数 C. 无界函数 D. 有界函数3、求函数2)1ln(++-=x x y 的定义域4、设,1)(2+-=x x x f 计算xf x f ∆-∆+)2()2(5、要做一个容积为250立方米的无盖圆柱体蓄水池，已知池底单位造价为池壁单位造价的两倍，设池底单位造价为a 元，试将总造价表示为底半径的函数。

6、把一个圆形铁片，自中心处剪去中心角为α的一扇形后，围成一个无底圆锥，试将此圆锥体积表达成α的函数。

第二章极限与连续1、填空题（1）32+=x y 的间断点是（2）0=x 是函数x x y +=1的第类间断点。

（3）若极限a x f x =∞→)(lim 存在，则称直线a y =为曲线=y ()x f 的渐近线。

（4）有界函数与无穷小的乘积是（5）当0→x ，函数x 3sin 与x 是无穷小。

（6）xx x 1)21(lim 0+→= （7）若一个数列{}n x ，当n 时，无限接近于某一个常数a ，则称a 为数列{}n x 的极限。

（8）若存在实数0>M ，使得对于任何的R x ∈，都有()M x f <，且()0lim 0=→x g x ，则()()=→x g x f x 0lim （9）设x y 3sin =，则=''y(10) x x x)211(lim -∞→=2、选择题（1）xx x sin lim 0→的值为（）。

A.1 B.∞ C.不存在 D.0 （2）当x →0时，与3100x x +等价的无穷小量是( )。

高等数学作业题及参考答案

高等数学作业题（一）第一章函数1、填空题（1）函数1142-+-=x x y 的定义域是 2、选择题(1)下列函数是初等函数的是（）。

A.3sin -=x y B.1sin -=x y C.⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=1,01,112x x x x yD. ⎩⎨⎧≥<+=0,0,1x x x x y (2)xy 1sin =在定义域内是（）。

6、把一个圆形铁片，自中心处剪去中心角为α的一扇形后，围成一个无底圆锥，试将此圆锥体积表达成α的函数。

第二章极限与连续1、填空题（1）32+=x y 的间断点是（2）0=x 是函数x x y +=1的第类间断点。

（3）若极限a x f x =∞→)(lim 存在，则称直线a y =为曲线=y ()x f 的渐近线。

（4）有界函数与无穷小的乘积是（5）当0→x ，函数x 3sin 与x 是无穷小。

（6）xx x 1)21(lim 0+→= （7）若一个数列{}n x ，当n 时，无限接近于某一个常数a ，则称a 为数列{}n x 的极限。

（8）若存在实数0>M ，使得对于任何的R x ∈，都有()M x f <，且()0lim 0=→x g x ，则()()=→x g x f x 0lim （9）设x y 3sin =，则=''y (10) x x x)211(lim -∞→=2、选择题（1）xx x sin lim 0→的值为（）。

A.1 B.∞ C.不存在 D.0 （2）当x →0时，与3100x x +等价的无穷小量是( )。

高等数学I(1)复习题

一、填空题1．函数)(x f 在点0x 处极限)(lim 0x f x x →存在是)(x f 在点0x 处连续的_____条件.2．)(x f 在点0x 处连续是函数)(x f 在点0x 处可导的______条件. 3．)(x f 在点0x 处可导是函数)(x f 在点0x 处连续的______条件.4．x ＝3是函数22)3()3sin()(--=x x x f 的_______(可去、跳跃、无穷)间断点.5．x ＝3是函数2)3()3sin()(--=x x x f 的_______(可去、跳跃、无穷)间断点. 6．x ＝2是函数)2()2tan()(--=x x x f 的_______(可去、跳跃、无穷)间断点.二计算下列极限 1．30sin sin tan limx x x x -→. 2．20)1(sin tan lim --→x x e x x x . 3．)1ln(sin tan lim 20x x xx x +-→. 4．)1(ln sin tan lim 20x x x x x +-→5．232)11(lim n n n +∞→ 6．nn n 3)111(lim ++∞→ 7．n n n 5)11(lim +∞→ 8．242)11(lim n n n -∞→ 9．13)111(lim -∞→--n n n 10．23)11(lim -∞→-n n n第二章练习题1．7sec sin ln 2-+=x x x x y ，求y ' 2．⎰++=21cos ln sin xdx x x x x y 求y '.3．方程y xe y=+1确定函数)(x y y =，求=x dxdy.4．方程0sin cos 52=-++y y y x 确定函数)(x y y =，求dx dy .5．方程0sin 21=+-y y xe y确定函数)(x y y =，求dy dx dy 及.一、利用罗比达法则求极限 1．30sin limx x x x -→ 2．30sin tan limx xx x -→3．)1(ln sin tan lim 20x x x x x +-→ 4．20)(arcsin 1sin lim x x e x x --→5．)3ln()1ln(lim 2x x x +++∞→ 6．)3ln()1ln(lim 7x x x +++∞→二、求函数251 +=-xy 的凹凸区间和拐点。

高等数学(一)智慧树知到答案章节测试2023年聊城大学

第一章测试1.A:B:C:D:答案:B2.A:B:C:D:答案:B3.A:是奇函数，非偶函数B:既非奇函数，又非偶函数C:既是奇函数，又是偶函数D:是偶函数，非奇函数答案:C4.下列数列收敛的是（）.A:B:C:D:答案:C5.A:充分必要条件B:必要条件C:充分条件D:无关条件答案:D6.下列极限存在的是（）.A:B:C:D:答案:A7.A:0B:2C:0.5D:不存在答案:C8.A:-1B:0C:1D:2答案:D9.下列极限中结果等于e的是（）.A:B:C:D:答案:A10.下列变量在给定的变化过程中为无穷小量的是（）.A:B:C:D:答案:A第二章测试1.A:1B:4C:2D:3答案:D2.下列函灵敏在点x=0外均不连续，其中点x=0是f(x)的可去间断点的是（）．A:B:C:D:答案:B3.A:充要条件B:必要非充分条件C:充分非必要条件D:无关条件答案:B4.A:B:C:D:答案:B5.A:B:C:D:答案:B6.A:第二类间断点B:连续点C:跳跃间断点D:可去间断点答案:D7.A:B:C:D:答案:A8.A:0B:1C:2D:3答案:D9.A:跳跃间断点B:连续点C:可去间断点D:无穷间断点答案:A10.A:B:C:D:答案:D第三章测试1.A:B:C:D:答案:D2.A:2B:不存在C:4D:0答案:C3.A:4B:3C:5D:2答案:B4.A:-2B:-1C:1D:0答案:A5.A:连续不可导B:可导C:极限不存在D:极限存在，但不连续答案:A6.A:无定义B:可导C:连续但不可导D:不连续答案:C7.下列结论错误的是（）.A:如果函数f(x)在点x=x0处连续，则f(x)在点x=x0处可导.B:如果函数f(x)在点x=x0处不可导，则f(x)在点x=x0处也可能连续C:如果函数f(x)在点x=x0处可导，则f(x)在点x=x0处连续D:如果函数f(x)在点x=x0处不连续，则f(x)在点x=x0处不可导答案:A8.设f(x)=x(x+1)(x+2)(x+3),则f’(0)=( ) .A:6B:2C:3D:0答案:A9.A:B:C:D:答案:D10.A:B:C:D:答案:A第四章测试1.下列函数在给定区间上满足罗尔定理条件的是（）.A:B:C:D:答案:D2.求下列极限能直接使用洛必达法则的是（）.A:B:C:D:答案:A3.A:f(x)与x是同阶非等价无穷小量B:f(x)是比x较高阶的无穷小是C:f(x)是比x较低阶的无穷小量D:f(x)与x是等价无穷小量答案:A4.A:不增不减B:单调增加C:有增有减D:单调减少答案:C5.A:有极大值B:有极小值C:单调减少D:单调增加答案:D6.函数y=f(x)在x=x0处取得极大值，则必有（）.A:f ”(x0)<0B:f ‘(x0)=0或f ‘(x0)不存在C:f ‘(x0)=0且f “(x0)<0D:f’(x0)=0答案:B7. f ’(x0)=0，f “(x0)>0是函数f(x)在点x=x0处以得极小值的一个（）.A:既非必要也非充分条件B:必要非充分条件C:充分非必要条件D:必要充分条件答案:C8.函数y=x3+12x+1在定义域内（）.A:图形上凹B:单调增加C:图形下凹D:单调减少答案:B9.f(x)在点x=x0处可微，是f(x)在点x=x0处连续的（）.A:必要非充分条件B:充分非必要条件C:充分且必要条件D:既非充分也非必要条件答案:B10.A:B:C:D:答案:C第五章测试1.A:B:C:D:答案:C2.A:B:C:D:答案:B3.A:B:C:D:答案:C4.A:B:C:D:答案:D5.A:B:C:D:答案:A6.A:B:C:答案:B7.A:xsinx+cosx+CB:xcosx+sinx+CC:xcosx-sinx+CD:xsinx-cosx+C答案:C8.A:B:C:D:答案:D9.A:B:C:D:答案:D10.A:B:C:D:答案:D第六章测试1.下列积分可直接使用牛顿-莱布尼茨公式的是（）.A:B:C:D:答案:D2.A:B:C:D:答案:D3.A:40B:-80C:80D:-40答案:C4.A:B:C:答案:C 5.A:-1B:-2C:2D:1答案:C。

高数(一)试题(2)

高等数学（一）（第三章练习题）一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分） 1.设f （x ）=⎩⎨⎧<≥0x ,x sin 0x ,x ，则)0(f '=（）A.-1B.1C.0D.不存在2.设函数f(x)在点a 可导，且1h 2)h 5a (f )h 5a (f lim 0h =--+→，则=')a (f （）A.51B.5C.2D.21 3.设函数y=2x 2，已知其在点x 0处自变量增量3.0x =∆时，对应函数增量y ∆的线性主部为-0.6，则x 0=（） A.0B.1C.-0.5D.-44.设某商品的需求函数为Q=a-bp ，其中p 表示商品价格，Q 为需求量，a 、b 为正常数，则需求量对价格的弹性=EPEQ（）A.bp a b --B. bp a b- C. bp a bp -- D. bp a bp -5．函数f(x)在点x=x 0处连续是f(x)在x=x 0处可导的（）A ．必要条件B ．充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分条件又非必要条件 6.设函数f(x)在x=a 处可导，则f(x)在x=a 处（） A.极限不一定存在 B.不一定连续 C.可微 D.不一定可微 7.设函数(x)(x),a)-(x f (x)ϕϕ=在x=a 处可导，则（） A.)x ()x (f ϕ=' B.)a ()a (f ϕ'=' C.)a ()a (f ϕ=' D.)a x ()x ()x (f -+ϕ=' 8.设y=lnsinx,则dy=（） A.-cotx dx B.cotx dx C.-tanx dx D.tanx dx9.设y=a x (a>0,a ≠1),则y (n)==0x （）A.0B.1C.lnaD.(lna)n10.设一产品的总成本是产量x 的函数C(x),则生产x 0个单位时的总成本变化率(即边际成本)是（） A.x )x (C B.0x x x )x (C = C.dx )x (dC D.0x x dx )x (dC =11.设函数y=f(x)在点x 0可导，且,a )x (f 0='则 =∆-∆-→∆x)x (f )x 2x (f lim 000x （）A.aB.2aC.-2aD.-2a 12.若函数f(x)在点x 0处自变量增量Δx=0.25，对应函数增量Δy 的线性主部为2，则函数在该点的导数值=')x (f 0（） A.4B.8C.0.5D.0.12513.设某商品的供给函数为S=a+bp ，其中p 为商品价格，S 为供给量，a,b 为正常数，则该商品的供给价格弹性=EPES（） A.bpa bp+B.bp a b+ C.bpa bp +- D.bpa b+- 14．设D=D （p ）是市场对某一商品的需求函数，其中p 是商品价格，D 是市场需求量，则需求价格弹性是（） A ．)p ('D p D - B ．)p ('D D p - C ．)D ('p pD-D ．)D ('p Dp-15．设△y=f(x 0+△x)-f(x 0)且函数f(x)在x=x 0处可导，则必有（） A ．0x lim →∆△y=0 B ．△y=0 C ．dy=0 D ．△y=dy16．设产品的利润函数为L （x ）,则生产x o 个单位时的边际利润为（） A ．00x )x (L B ．dx)x (dL C ．0x x dx )x (dL =D ．)dx)x (L (dx d 17．设f(x)=x 15+3x 3-x+1,则f (16)（1）=（） A ．16! B ．15! C ．14!D ．018.设f (x )为可微函数，且n 为自然数，则⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-∞→)n x (f )x (f 1lim n =（）A.0B.)x (f 'C.-)x (f 'D.不存在19.设函数f(x)可导，又y=f(-x)，则y '=（） A.)x (f ' B.)x (f -' C.-)x (f 'D.-)x (f -'20.设某商品的需求函数为D(P)=475-10P-P 2,则当P = 5时的需求价格弹性为（） A.0.25 B.-0.25 C.100D.-10021已知某商品的成本函数为500302)(++=Q Q Q C ，则当产量Q =100时的边际成本（） A ．5 B ．3 C ．3.5D ．1.522.设f(x)=⎩⎨⎧<≥+0x ,x 0x ),x 1ln(, 则=')0(f （）A.0B.1C.-1D.不存在23.设供给函数S=S(p)(其中p 为商品价格), 则供给价格弹性是（）A.)p (S S p '-B. )p (S S p 'C. )p (S p 'D. )p (S S 1'24.设f (x )=x |x |，则f ′(0)=( ) A.1 B.-1 C.0 D.不存在25.设某商品的需求量D 对价格p 的需求函数为D =50-5p，则需求价格弹性函数为( ) A.250-p p B.p p -250 C.51pp -250D.51250-p p 26.设生产x 个单位的总成本函数为C （x ）=7x 2012x 2++，则生产6个单位产品时的边际成本是（）A.6B.20C.21D.2227．设函数y =150-2x 2,则其弹性函数ExEy=（） A ．221504x - B ．221504x x- C ．150242-x xD ．1502422-x x28.设f (x )=2x,则f ″(x )=（）A.2x ·ln 22B.2x ·ln4C.2x ·2D.2x ·429．设f (x )=arccos(x 2)，则f ＇(x )=（） A ．211x--B ．212xx --C ．411x--D ．412xx --二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1.曲线y =x +ln x 在点（1，1）处的切线方程为________________.2.设函数y =ln x ,则它的弹性函数ExEy=_____________. 3.函数f(x)在点x 0处左、右导数存在且相等是函数f(x)在x 0可导的___________条件.4．设某商品的市场需求函数为D=1-7P，P 为商品价格，则需求价格弹性函数为 .5．设y=2x 2e x ，则y ''(0)= .6. 已知某商品的产量为q 件时总成本为C （q ）=100q+160q 2(百元)，则q=500件时的边际成本为___________.7.设f(x)在x=a 处可导，则=--→h)a (f )h 2a (f lim 0h ___________.8.曲线y=sinx 在点π=32x 处的切线方程为___________. 9．若f(x)在x=x 0处可导，且.__________)x ('f ,3h)h 5x (f )x (f lim0000h ==+-→则10. 设f(x)=⎩⎨⎧≥<-1|x |,01|x |,x 12,则'-f (1)=_____.11.设y=cos 2x 1+，则'y =_____.12.已知某产品的产量为g 时，总成本是C(g)=9+800g 2，则生产100件产品时的边际成本MC|g=100=_____.13.设⎩⎨⎧>≤-=0x ,x 0x ,e 1)x (f 2x ，则-'f (0)=___________。

高等数学练习册（1-5章）带答案

高等数学习题册（上册）目录习题1-1 函数 (1)习题1-2 常用的经济函数 (5)习题2-1 极限 (9)习题2-2 无穷小与无穷大，极限运算法则 (13)习题2-3 极限存在准则，两个重要极限及无穷小的比较 (17)习题2-4 函数的连续性 (21)习题2-5 闭区间上连续函数的性质 (25)第二章综合题 (29)第二章自测题 (36)习题3-1 导数概念 (40)习题3-2 求导法则与基本初等函数求导公式（一） (44)习题3-2 求导法则与基本初等函数求导公式（二） (48)习题3-3 高阶导数 (52)习题3-4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 (56)习题3-5 函数的微分 (60)习题3-6 边际与弹性 (64)第三章综合题 (68)第三章自测题 (74)习题4-1 中值定理 (78)习题4-2 洛必达法则 (82)习题4-3 导数的应用（一） (86)习题4-3 导数的应用（二） (90)习题4-4 函数的最大值和最小值及其在经济中的应用 (94)习题4-5 泰勒公式 (98)第四章综合题 (100)第四章自测题 (104)习题5-1 不定积分的概念、性质 (108)习题5-2 换元积分法（一） (112)习题5-2 换元积分法（二） (116)习题5-3 分部积分法 (120)习题5-4 有理函数的积分 (122)第五章综合题 (124)第五章自测题 (128)微积分（上）模拟试卷一 (134)微积分（上）模拟试卷二 (138)参考答案 (142)习题1-1 函数1. 填空题：（1）()x y 32log log =的定义域。

（2）523arcsin3xx y -+-=的定义域。

（3）xxy +-=11的反函数。

（4）已知31122++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+xx x x f ，则=)(x f 。

2. 设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<=3x , 0 3 , sin )(ππϕx x x ，求()2,6-⎪⎭⎫⎝⎛ϕπϕ，并作出函数()x ϕη=的图形。

大学高等数学各章节练习题

大学高等数学各章节练习题在大学阶段的学习中，高等数学是一个必修课程，它包含了各个章节和知识点的练习题。

练习题是帮助学生巩固理论知识、提高解题能力和应用能力的重要工具。

本文将根据大学高等数学的各个章节，对其练习题进行介绍和总结。

第一章导数与微分在高等数学的第一章中，导数与微分是其中的基础知识。

通过学习导数与微分的定义和性质，可以掌握求导法则和应用，从而解决各种函数的极值、单调性、函数图像以及相关应用问题。

以下是几道典型的练习题：1. 求函数f(x)=3x^2-2x+1的导函数。

2. 设函数f(x)=√(x+1)，求f'(x)。

3. 设函数f(x)=e^x+2x，求f''(x)。

通过练习这些题目，可以加深对导数与微分概念的理解，熟练掌握运用导数的方法。

第二章不定积分在高等数学的第二章中，不定积分是其中的重要内容。

学习不定积分可以学会对函数的原函数进行求解，从而求出函数的不定积分。

以下是几道典型的练习题：1. 求函数f(x)=3x^2-2x+1的不定积分。

2. 求∫(2x+1)dx的结果。

3. 求∫sinx^2dx的结果。

通过练习不定积分的题目，可以提高对不定积分的理解和熟练应用。

第三章定积分与曲线长度在高等数学的第三章中，定积分是其中的关键知识点。

学习定积分可以求解曲线下面积、定积分的性质以及曲线长度等问题。

以下是几道典型的练习题：1. 求∫[0,1]x^2dx的结果。

2. 求曲线y=x^2在[0,1]上的下曲边与y轴围成的面积。

3. 求曲线y=√(1-x^2)在[-1,1]上的弧长。

通过练习定积分的题目，可以加深对定积分概念的理解，并且掌握运用定积分求解相关问题的方法。

第四章微分方程在高等数学的第四章中，微分方程是其中的核心内容。

学习微分方程可以理解微分方程的概念和基本解法，并且可以应用微分方程解决实际问题。

以下是几道典型的练习题：1. 求解微分方程dy/dx = 2x。

2. 求解微分方程 dy/dx = y/x。

高等数学第三章微分中值定理与导数的应用试题库(附带答案)

>第三章微分中值定理与导数的应用一、选择题1、则，且存在，，设 ,1)x (f )x (f )x (f 0)x (f 0)x (f 00000-=+''''='>（）是否为极值点不能断定的极值点不是　的极小值点是的极大值点是0000x )D ()x (f x )C ( )x (f x )B ()x (f x )A (2、处必有在则处连续且取得极大值，在点函数 x )x (f x x )x (f y 00==（）0)x (f )B ( 0)x ('f )A (00<''= 或不存在且 0)x (f )D (0)x (f 0)x (f )C (0'00=<''=3、的凸区间是 x e y x -=（）) , 2( (D) ) , (2 (C) 2) , ( (B) 2) , ( (A)∞+-∞+--∞-∞，4、在区间 [-1，1] 上满足罗尔定理条件的函数是（）(A)xx sin )x (f = (B)2)1x ()x (f += (C) 3 2x )x (f = (D)1x )x (f 2+=5、设f (x) 和g (x) 都在x=a 处取得极大值，F (x)=f (x)g (x)，则F(x)在x=a 处（） (A) 必取得极大值 (B)必取得极小值 (C)不取极值 (D)不能确定是否取得极值6、满足罗尔定理的区间是使函数 )x 1(x y 322-=（）(A) [-1,1] (B) [0,1] (C) [-2,2] (D) ]5 4, 5 3[- 7、x 2 e x y -=的凹区间是（）(A))2,(-∞ (B) )2,(--∞ (C) ) 1(∞+， (D) ) 1(∞+-，&8、函数)x (f 在0x x = 处连续，若0x 为)x (f 的极值点，则必有（）．(A)0)(0='x f (B)0)(0≠'x f (C)0)(0='x f 或)(0x f '不存在 (D))(0x f '不存在 9、当a= ( ) 时，处取到极值在 3x 3sin3x asinx f(x)π=+=（） (A) 1 (B) 2 (C)3 π(D) 010、间是适合罗尔定理条件的区使函数 )x 1(x )x (f 322-=（）]5 4, 5 3[)D ( ]2,2[)C ( ]1,1[)B ( ]1,0[)A (--- 11、()，则上的凹弧与凸弧分界点为连续曲线，若 )x (f y )x (f x 00=（）的极值必定不是的极值点为必定为曲线的驻点，　必为曲线的拐点， )x (f x )D ( )x (f x )C ( ))x (f x ( )B ( ))x (f x ( )A (000000、二、填空题 1、__________________e y82x的凸区间是曲线-=．2、______________ 2 x y x 的极小值点是函数=．3、的凸区间为曲线x 3 e y x+=_____________________ ． 4、函数f （x ）＝x x 3-在[0,3]上满足罗尔定理的条件，由罗尔定理确定的罗尔中值点ξ＝． 5、设曲线y ＝a 23bx x +以点（1，3）为拐点，则数组（a ，b ）＝． 6、函数1x 3x y 3+-=在区间 [-2,0] 上的最大值为，最小值为． 7、函数 x sin ln y =在 [65, 6 ππ] 上的罗尔中值点ξ= ． …8、1 x y +=在区间 [ 1，3 ] 的拉格朗日中值点ξ = _______________． 9、______________ 2 x y x 的极小值点是函数=． 10、______________ 2x y x 的极小值点是函数⋅=。

关于高等数学练习题

★高等数学(ZK104A)第一章函数1、【43992】（单项选择题）下列各对函数中，表示相同函数的是（）． A.11)(2+-=x x x f ，1)(-=x x gB.2)(x x f =，x x g =)(C.2ln )(x x f =，x x g ln 2)(= D.11)(+-=x x x f ，11)(+-=x x x g【答案】C2、【44001】（单项选择题）设xx f 21)21(-=-，则=)(x f （）．A.x -+141B.x 2121--C.x --141D.x 2121-+【答案】C3、【44003】（单项选择题）设2)(x x f =，xx g 2)(=，则=)]([x g f （）．A.x 22B.22xC.x22D.xx 2【答案】A4、【44006】（单项选择题）设)(x f 在),(+∞-∞有定义，则下列函数中为奇函数的是（）．A.)(x f xB.)(x f x -C.xx f sin )(D.)(23x f x【答案】D5、【65043】（单项选择题）函数1sin )(2++=x x x x f 在定义域内是（）． A.偶函数 B.奇函数 C.有界函数 D.周期函数【答案】A6、【65051】（单项选择题）下列各组函数中表示相同函数的是（）．A.x y =与xy 2log 2=B.x y =与2x y =C.xy 2cos 1+=与x y cos 2=D.x y ln 2=与2ln x y = 【答案】B7、【65052】（单项选择题）下列各项函数中，互为反函数的是（）． A.1-=xe y 与1ln +=x y B.x y tan =与x y cot = C.xy 3log =与xy 31log =D.13-=x y 与)1(31+=x y【答案】D8、【65054】（单项选择题）函数xx x f -=2ln )(的定义域是（）．A.),0(+∞B.)1,(-∞C.)1,0(D.),1()1,0()0,(+∞-∞ 【答案】D9、【65056】（单项选择题）函数3)1()(x x f -=在),(+∞-∞内（）．A.单调增加B.单调减少C.不增不减D.有增有减【答案】B10、【80814】（单项选择题）函数xy 1cos=在定义域内是（）．A.单调函数B.周期函数C.无界函数D.有界函数【答案】D11、【102058】（单项选择题）函数xx y -=1的定义域是（）．A.）（+∞∞-,B.]0,∞-（ C.）（）（1,00,⋃∞- D.）（0,∞- 【答案】D12、【102060】（单项选择题）设211)(x x f +=，则=])(1[x f f （）．A.221x+B.22)1(11x ++C.21x+D.22)1(1x ++ 【答案】B13、【102061】（单项选择题）函数2log log 44+=x y 的反函数是（）．A.124-=x y B.14-=x y C.12-=x yD.14-=x y【答案】A14、【102070】（单项选择题）设)(x f 在),(+∞-∞有定义，则下列函数中必为奇函数的是（）．A.)(x f y =B.)(x f y -=C.C y =（C 是常数）D.)(2x xf y = 【答案】D15、【102071】（单项选择题）设121)(+-=x x x f ，若曲线)(x f 与)(x g 关于直线x y =对称，则)(x g 表达式为（）．A.121-+x xB.x x 211-+C.x x +-112D.x x +-121【答案】B16、【102072】（单项选择题）下列函数中，函数图形关于原点对称的是（）． A.x y sin = B.x xy sin 2=C.x x y sin 3= D.1sin +=x y 【答案】B17、【102073】（单项选择题）下列各组函数中，表示相同函数的是（）． A.x x x g x x f 32)(;)(==B.)2cos 1(21)(;sin )(2x x g x x f -==C.2)(;)(x x g x x f ==D.21)(;)2)(1()(+⋅+=++=x x x g x x x f【答案】B18、【163321】（单项选择题）设函数()1-=x x f ，则()=1f （）. A.0 B.1 C.2 D.3【答案】A19、【163325】（单项选择题）()x n y +=11的定义域为（）. A.()+∞-,1 B.[)+∞-,1 C.()+∞-∞, D.()+∞,0【答案】A20、【163326】（单项选择题）x y +=1的定义域为（）.A.()+∞-∞,B.(]0,-∞C.[)+∞,0D.(]1,-∞【答案】C21、【163327】（单项选择题）xy =的定义域为（）.A.()+∞-∞,B.(]0,-∞C.(]1,-∞D.[)+∞,0【答案】D22、【163328】（单项选择题）()31x x f +=是（）. A.偶函数 B.奇函数C.非奇非偶函数D.周期函数【答案】C23、【163330】（单项选择题）()1+=x x f 是（）. A.偶函数 B.奇函数 C.周期函数D.非奇非偶函数【答案】D24、【163331】（单项选择题）()x x f cos 7=是（）.A.偶函数B.奇函数C.单调函数D.非奇非偶函数【答案】A25、【163333】（单项选择题）x y sin 5=是（）. A.偶函数 B.奇函数 C.单调函数D.非奇非偶函数【答案】B26、【163335】（单项选择题）()922+=x x f 是()+∞-∞,内的（）. A.有界函数 B.单调函数 C.奇函数 D.偶函数【答案】D27、【163336】（单项选择题）函数()x x f cos 3+=在()+∞-∞,内是（）. A.偶函数 B.奇函数 C.无界函数 D.单调函数【答案】A28、【163338】（单项选择题）()x x f 2sin =在()+∞-∞,内是（）. A.偶函数 B.奇函数 C.无界函数 D.单调函数【答案】B29、【163339】（单项选择题）()xe xf =在()+∞-∞,内是（）. A.有界函数 B.单调函数 C.奇函数 D.偶函数【答案】B30、【163340】（单项选择题）设2sin x y =，则y 为（）. A.偶函数 B.奇函数C.非奇非偶函数D.恒等于零的函数【答案】A31、【163341】（单项选择题）()x x f sin =在()+∞-∞,内是（）. A.奇函数 B.偶函数 C.无界函数 D.单调函数【答案】A32、【163342】（单项选择题）()x x f sin 3+=是（）. A.单调函数 B.无界函数 C.周期函数 D.奇函数【答案】C33、【163343】（单项选择题）()x x f cos 5-=是（）. A.单调函数 B.周期函数 C.无界函数 D.偶函数【答案】B34、【163344】（单项选择题）()x x f sin =是()+∞-∞,内的（）. A.单调函数 B.有界函数 C.无界函数 D.偶函数【答案】B35、【163345】（单项选择题）()x x f cos 1+=是()+∞-∞,内的（）. A.奇函数 B.偶函数 C.无界函数 D.有界函数【答案】D36、【163346】（单项选择题）设曲线()x f y =如图示，则函数()x f （）. A.在()a ,0内单调减少，在区间()+∞,a 内单调增加 B.在()a ,0内单调增加，在区间()+∞,a 内单调减少 C.在()+∞,0内单调增加 D.在()+∞,0内单调减少【答案】B37、【163347】（单项选择题）设曲线()x f y =如图示，则函数()x f （）. A.在()+∞-∞,内单调增加B.在()0,-∞内单调减少，在区间()+∞,0内单调增加C.在()0,-∞内单调增加，在区间()+∞,0内单调减少D.在()+∞-∞,内单调减少【答案】C38、【163348】（单项选择题）设曲线()x f y =如图示，则函数()x f （）. A.在()+∞-∞,内单调增加 B.在()+∞-∞,内单调减少C.在()0,-∞内单调增加，在区间()+∞,0内单调减少D.在()0,-∞内单调减少，在区间()+∞,0内单调增加【答案】B39、【163349】（单项选择题）设曲线()x f y =如图示，则函数()x f （）. A.在()0,-∞内单调增加，在区间()+∞,0内单调减少 B.在()0,-∞内单调减少，在区间()+∞,0内单调增加 C.在()+∞-∞,内单调增加 D.在()+∞-∞,内单调减少【答案】C40、【163350】（单项选择题）设曲线()x f y =如图示，则函数()x f （）. A.在()0,-∞内单调增加，在区间()+∞,0内单调减少 B.在()+∞-∞,内单调增加C.在()0,-∞内单调减少，在区间()+∞,0内单调增加D.在()+∞-∞,内单调减少【答案】B41、【163351】（单项选择题）设曲线()x f y =如图示，则函数()x f （）. A.在()0,-∞内单调增加，在区间()+∞,0内单调减少 B.在()+∞-∞,内单调增加C.在()0,-∞内单调减少，在区间()+∞,0内单调增加D.在()+∞-∞,内单调减少【答案】C42、【163352】（单项选择题）设曲线()x f y =如图示，则函数()x f （）. A.在()0,-∞内单调增加，在区间()+∞,0内单调减少 B.在()0,-∞内单调减少，在区间()+∞,0内单调增加 C.在()+∞-∞,内单调增加 D.在()+∞-∞,内单调减少【答案】B43、【163353】（单项选择题）设曲线()x f y =如图示，则函数()x f （）. A.在()0,-∞内单调减少，在区间()+∞,0内单调增加 B.在()0,-∞内单调增加，在区间()+∞,0内单调减少 C.在()+∞-∞,内单调增加 D.在()+∞-∞,内单调减少【答案】A44、【163354】（单项选择题）设曲线()x f y =如图示，则函数()x f 的单调减少区间为（）.A.()0,-∞B.()+∞,aC.()a ,0D.()+∞-∞,【答案】C45、【163355】（单项选择题）设曲线()x f y =如图示，则函数()x f （）. A.在()a ,-∞内单调增加，在区间()+∞,a 内单调减少 B.在()+∞-∞,内单调增加C.在()a ,-∞内单调减少，在区间()+∞,a 内单调增加D.在()+∞-∞,内单调减少【答案】C46、【163356】（单项选择题）函数()()21+=x x x f 的图形如图示，则曲线()x f y =的单调减少区间为（）.A.⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-31, B.⎪⎭⎫ ⎝⎛--31,1C.()+∞,0D.()+∞-∞,【答案】B47、【163357】（单项选择题）函数()x x x f ln 22-=的图形如图示，则曲线()x f y =（）. A.在()1,0内单调增加，在区间()+∞,1内单调减少 B.在()+∞,0内单调增加C.在()1,0内单调减少，在区间()+∞,1内单调增加D.在()+∞,0内单调减少【答案】C48、【163358】（单项选择题）函数()()x x e e x f --=21的图形如图示，则曲线()x f y =（）.A.在()0,-∞内单调增加，在区间()+∞,0内单调减少B.在()+∞-∞,内单调增加C.在()0,-∞内单调减少，在区间()+∞,0内单调增加D.在()+∞-∞,内单调减少【答案】B49、【163359】（单项选择题）函数()()x xe e xf -+=21的图形如图示，则曲线()x f y =（）.A.在()0,-∞内单调增加，在区间()+∞,0内单调减少B.在()+∞-∞,内单调增加C.在()0,-∞内单调减少，在区间()+∞,0内单调增加D.在()+∞-∞,内单调减少【答案】C50、【163360】（单项选择题）设曲线()x f y =如图示，则函数()x f 的单调减少区间为（）.A.()a ,0B.()b a ,C.()+∞,bD.()+∞,0【答案】B51、【193641】（单项选择题）()x x f sin 1+=是（）. A.偶函数 B.奇函数C.非奇非偶函数D.无界函数【答案】C52、【193645】（单项选择题）()3x x f -=是（）. A.偶函数 B.奇函数 C.周期函数D.非奇非偶函数【答案】B53、【98433】（填空题）函数xx f 44log 2log )(+=的图形与)(x g 的图形关于直线x y =对称，则=)(x g _____．【答案】124-x54、【102089】（填空题）函数xx y ln =的单调减区间为_____．【答案】),(+∞e55、【163367】（填空题）函数2211x x y +-=的定义域为 .【答案】()+∞-∞,56、【163368】（填空题）设函数()xe xf =，则()=1f . 【答案】e57、【163369】（填空题）设函数()x x f sin =，则()=1f . 【答案】1sin58、【163370】（填空题）函数x y 3=的定义域为 .【答案】[)+∞,059、【163371】（填空题）函数()3x x f =的定义域为 . 【答案】()+∞-∞,60、【163372】（填空题）函数()26x x f +=的定义域为 . 【答案】()+∞-∞,61、【163373】（填空题）函数()1+=x x f 的定义域为 . 【答案】[)+∞,062、【163374】（填空题）函数()x x f ln 2=的定义域为 . 【答案】()+∞,063、【163375】（填空题）函数()()2ln +=x x f 的定义域是 . 【答案】()+∞-,264、【163376】（填空题）函数()3+=x x f 的定义域是 . 【答案】[)+∞-,365、【163377】（填空题）函数()x x f -=21的定义域为.【答案】[)+∞,066、【163378】（填空题）函数()x x f ln 8+=的定义域为 . 【答案】()+∞,067、【163379】（填空题）函数()xe xf 2=的定义域为 . 【答案】()+∞-∞,68、【163380】（填空题）函数()x x f 4=的定义域为 . 【答案】[)+∞,069、【163381】（填空题）函数()x x f sin 7+=的定义域为 . 【答案】()+∞-∞,70、【163382】（填空题）函数()x x f cos 2=的定义域为 . 【答案】()+∞-∞,71、【163383】（填空题）函数()2ln x x f =的定义域为 . 【答案】0≠x72、【163384】（填空题）函数21)(x x x f +=的定义域是 .【答案】()+∞-∞,73、【163385】（填空题）函数21)(2+=x x f 的定义域为 .【答案】()+∞-∞,74、【163386】（填空题）函数xx f +=11)(定义域是 .【答案】1-≠x75、【163387】（填空题）函数1sin )(+=x x f 的定义域是.【答案】()+∞-∞,76、【163388】（填空题）函数2)(3+=x x f 的定义域是 . 【答案】()+∞-∞,77、【163389】（填空题）函数x x y sin -=的定义域是 . 【答案】()+∞-∞,78、【163390】（填空题）函数1)(2+=x x f ，则函数()=2x f.【答案】14+x79、【163391】（填空题）设函数()u u f 3=，x u sin =，则函数()=u f . 【答案】x sin 380、【163392】（填空题）设函数()2u u f =，1+=x u ，则()=u f . 【答案】()21+x81、【163393】（填空题）函数()u u f cos =，1+=x u ，则()=u f . 【答案】()1cos +x82、【163394】（填空题）函数()u u f sin =，x u 2=，则()=u f . 【答案】x 2sin83、【163395】（填空题）函数()2u u f =，x u -=，则()=u f .【答案】2x84、【163396】（填空题）设函数()u e u f =，()3x x g u ==，则()()=x g f .【答案】3xe第二章极限与连续85、【44012】（单项选择题）若)(lim x f 存在，)(lim x g 不存在，则)]()(lim[x g x f +（）． A.不存在 B.存在C.可能存在可能不存在D.存在且极限为零【答案】A86、【44014】（单项选择题）)(0x f 存在是)(lim 0x f x x →存在的（）．A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件D.无关条件【答案】D87、【44018】（单项选择题）若∞→x 时，x xsin α为无穷小量，则α应满足的条件是（）．A.0≤αB.0≥αC.0<αD.0>α【答案】C88、【65062】（单项选择题）当∞→x 时，x x y arctan 1=是（）． A.无穷大量 B.无穷小量 C.常量D.无界变量【答案】B89、【65064】（单项选择题）下列命题中正确的是（）． A.函数)(x f 在点0x 无定义，则)(x f 在点0x 无极限 B.函数)(x f 在点0x 不连续，则)(x f 在点0x 不可导 C.函数)(x f 在点0x 不可导，则)(x f 在点0x 不连续 D.函数)(x f 在点0x 不可导，则)(x f 在点0x 不取极值【答案】B90、【65081】（单项选择题）当∞→n 时，与n1sin 2等价的无穷小量是（）．A.n 1B.n 1C.21nD.n 2【答案】C91、【65086】（单项选择题）下列变量中，当1→x 时，不是无穷小量的是（）． A.11cos)1(2--x xB.1)1sin(2--x xC.113--x xD.2)1(22-+-x x x 【答案】C92、【65093】（单项选择题）当1→x 时下列变量中不是无穷小量的是（）． A.12-xB.1232--x x C.1)2(+-x xD.1242+-x x 【答案】D93、【65100】（单项选择题）当∞→x 时，下列变量中是无穷小量的是（）． A.x x 1sinB.x eC.x x sin 1 D.2-x x【答案】C94、【65120】（单项选择题）若在0x x →时，)(x α与)(x β都是无穷小量，且0)(≠x β，则在0x x →时，下列各式不一定是无穷小量的是（）．A.)()(x x βα-B.22)]([)]([x x βα+ C.)]()(1ln[x x βα⋅+ D.)()(2x x βα【答案】D95、【65128】（单项选择题）若31)131(2lim =-++-∞→x x bx ax x ，则b a ,值为（）．A.2,3=-=b aB.2,3-==b aC.2,3==b aD.2,3-=-=b a 【答案】B96、【65131】（单项选择题）=-∞→x xx sin )21(1lim（）． A.0 B.1 C.∞D.不存在【答案】A97、【65136】（单项选择题）设)(x f 在),(+∞-∞连续，下列为偶函数的是（）． A.)(x fB.)(x fC.)()(x f x f --D.2)]([x f【答案】B98、【65139】（单项选择题）当1→x 时，x ln 与1-x 比较是（）． A.高阶无穷小 B.低阶无穷小C.同阶非等价无穷小D.等价无穷小【答案】D99、【99268】（单项选择题）若Ax f x =∞→)(lim ，则当∞→x 时，A x f -)(是（）．A.0B.振荡变量C.无穷大量D.无穷小量【答案】D100、【102062】（单项选择题）=-++∞→)2)34((lim x x x x （）．A.0B.1C.43D.∞【答案】C101、【102063】（单项选择题）若⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0,0,)1()(x a x kx x f x m在0=x 处连续，则=a （）．A.m eB.ke C.kmeD.mk e【答案】C102、【102074】（单项选择题）当0→x 时，下列无穷小中不是x 的等价无穷小的是（）．A.x x sin -B.x arcsinC.)1ln(x +D.2tan x x +【答案】A103、【102075】（单项选择题）当0→x 时，xx 1arctan是（）．A.无穷大量B.无穷小量C.无界变量D.无法判定【答案】B 104、【102076】（单项选择题）当0x x →时，若)(x f 有极限，)(x g 无极限，则当0x x →时，)()(x g x f ⋅（）．A.无极限B.有极限C.可能有，也可能没有极限D.若有极限，极限必为零【答案】C105、【102077】（单项选择题）当1→x 时，下列变量不是无穷小量的是（）． A.12-xB.1)2(+-x xC.1)1sin(--x xD.1232--x x 【答案】C106、【102082】（单项选择题）设21)1(sin lim21=--→x x k x ，则=k （）．A.2B.1C.4D.0【答案】C107、【193642】（单项选择题）=+-+-+∞→1434)2(lim22n n n n n n x （）．A.43B.34C.32D.38【答案】B108、【98431】（填空题）=++→2310)31(lim xx x _____．【答案】e109、【98435】（填空题）若112lim)1(lim 0+-=-∞→→x x x x x kx ，则=k _____．【答案】2ln -110、【98440】（填空题）=+∞→xx x x)1(lim _____．【答案】e 1111、【98442】（填空题）若kxx e x =-→10)21(lim ，则=k _____．【答案】2-112、【98443】（填空题）=-∞→)sin 11sin (lim x xx x x _____．【答案】1113、【98447】（填空题）=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→231lim x x x x _____．【答案】3-e114、【98448】（填空题）=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→211lim 22x x x x _____．【答案】2e115、【98451】（填空题）=--→22)sin(limπππx x x _____．【答案】π21116、【98453】（填空题）=--→x x x x 33lim33_____．【答案】)3ln 1(27-117、【98455】（填空题）=-→x x x 10)21(lim _____．【答案】2-e118、【98457】（填空题）设⎪⎩⎪⎨⎧-=k x x x f )sin()(π0,0,=≠x x 在点0=x 处间断，则k应满足的条件是_____．【答案】1≠k119、【98467】（填空题）=-+∞→1)2(lim x x xx _____．【答案】2-e120、【98468】（填空题）=∞→nn n 2sin lim π_____．【答案】2π121、【98469】（填空题）若函数⎪⎩⎪⎨⎧---=k x x x x f 22)(22,2,=≠x x 在2=x 处连续，则=k _____．【答案】3122、【98471】（填空题）=⎪⎭⎫ ⎝⎛++-∞→32lim x x x x _____．【答案】2e123、【98473】（填空题）=++-∞→302010)13()3()12(limx x x x _____．【答案】301032124、【98474】（填空题）=⋅∞→t x t t sinlim _____．【答案】x125、【98476】（填空题）=-→x x x 20)1(lim _____．【答案】2-e126、【102090】（填空题）=--→xx x 10)21(lim _____．【答案】2e127、【102091】（填空题）=+→x x x 1)sin 1(lim _____．【答案】e128、【102092】（填空题）若k xx e xx =-∞→)2(lim ，则=k_____．【答案】2-129、【81962】（解答题）设⎪⎩⎪⎨⎧-=k x x x x f 1ln )(1,10,=≠>x x x 且，求k值，使)(x f 在),0(+∞连续．【答案】解：⎪⎭⎫⎝⎛-→001ln lim 1x x x x =11ln lim1-+→x x =1-依题意应满足()()1lim 1f x f x =→，所以1-=k130、【102120】（解答题）求极限xxx x tan sin 2sin 2lim0--+→．【答案】解：x xx x tan sin 2sin 2lim0--+→()xx x x x sin 2sin 2tan sin 2lim0-++=→=21第三章导数与微分131、【44028】（单项选择题）设)(x f 在点0x 处可导，则hx f h x f h )()(lim000-+→（）．A.与h x ,0都有关B.仅与h 有关与0x 无关C.仅与0x 有关与h 无关D.与h x ,0都无关【答案】C132、【44034】（单项选择题）设2)(),()(x x h x g x f dx d ==，则=)]([x h f dx d （）．A.)(2x xgB.)(22x xgC.)(2xgD.)(22x g x【答案】B133、【44038】（单项选择题）设2xe y -=，则=''y （）．A.2x e - B.224xe x - C.2)12(22x e x -- D.2)12(22x e x -+【答案】C134、【44040】（单项选择题）)(x f 在点0x 处连续是)(x f 在点0x 处可微的（）． A.充分条件 B.必要条件C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件【答案】B135、【44041】（单项选择题）设)(sin )()sin (ln x d x g x d =，则=)(x g （）． A.x cos B.x sinC.x cos 1D.x sin 1【答案】D136、【44042】（单项选择题）=)sin (x xd （）．A.dxx xx x 3sin cos -B.dxx x x x 4222sin cos -C.dxx xx x 2sin cos -D.dxx xx x 32sin cos -【答案】C137、【65146】（单项选择题）设)(x f 在ax =处可导，且1)(='a f ，则ha f h a f h )()3(lim--→等于（）．A.3-B.3C.31-D.31【答案】A138、【99269】（单项选择题）设)3)(2)(1()(---=x x x x x f ，则=')0(f （）．A.0B.6C.6-D.3【答案】C139、【99272】（单项选择题）设)(x f 在0=x 可导，且0)0(=f ，则=→x x f x )(lim（）．A.)0(f 'B.1C.0D.不存在【答案】A140、【102064】（单项选择题）设)(x f 在点0x 处可导，则=--+→h h x f h x f h )()3(lim000（）．A.)(0x f 'B.)(20x f 'C.)(30x f 'D.)(40x f '【答案】D141、【102083】（单项选择题）设1)1(2-=+xx f ，则=')1(f （）．A.0B.1C.2D.1-【答案】A142、【98458】（填空题）设x y tan ln =，则=22dx yd _____．【答案】x x 2cot 2csc 4⋅-143、【98463】（填空题）设222e xy x ++=，则='y _____．【答案】2ln 22xx +144、【98464】（填空题）若)4)(3)(2)(1()(----=x x x x x x f ，则=')2(f _____．【答案】4145、【102093】（填空题）设xx x f 3)(⋅=，则='')0(f _____．【答案】3ln 2146、【102094】（填空题）设xx y -+=11ln，则='y _____．【答案】212x-147、【65143】（解答题）设xx y arccos 1ln-=，求)0(y '．【答案】解：x x y arccos ln 21)1ln(21--=148、【65154】（解答题）求曲线21xe y -=的平行于直线012=+-y x 的切线方程．【答案】解：设切点为),(00y x直线012=+-y x 的斜率为2．()()()0101022202x x x x x y e e x x -==-='--，依题意，应有可解得：1,100=-=y x 即：切点为)1,1(- 故所求为：032),1(21=+-+=-y x x y ．149、【81963】（解答题）求曲线xy 1=过点)0,2(的切线方程．【答案】解：设切点为),(00y x ，由题设，切线过切点与已知点）（0,2，其斜率为2000--x y又21x y -='，210x y x x -='=为切线斜率，从而2010020--=-x y x切点在曲线上，又有01x y =解⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-000020121x y x y x 得10=x ，10=y ，而11-='=x y故所求切线方程为：)1(11-⋅-=-x y 即02=-+y x150、【81965】（解答题）设曲线)(x f y =上任意一点),(y x 处的切线斜率为该点纵坐标与横坐标之差，且曲线过坐标原点，求此曲线方程．【答案】解：依题意，有x y y -='，即x y y -=-'，且00==x y⎰⋅-dx 1=x -⎰⎰----=⋅-)(x xe xd dx ex =dxe xe x x ⎰---=x xe xe--+通解为)(c e xe e y x x x ++=--=xce x ++1将00==x y 代入通解，得1-=c 故所求为xex y -+=1151、【102102】（解答题）求曲线211x y +=的平行于x 轴的切线方程．【答案】解：22)1(2x x y +-='，由题设，应有0,02==x x又当1,0==y x故所求为：01=-y ，即1=y152、【102123】（解答题）求曲线2+=xxe y 上0=x 处的切线方程．【答案】将0=x 代入方程，得2=yx x xe e y +='，10='=x y故所求为：)0(12-⨯=-x y ，即2+=x y第四章微分中值定理与导数应用153、【44045】（单项选择题）设)(lim )(lim 0==→→x g x f x x x x ，在点0x 的空心邻域)(),(x g x f ''存在，且0)(≠'x g ，a 是常数，则下列命题中正确的是（）．A.若a x g x f x x =→)()(lim0，则a x g x f xx =''→)()(limB.若∞=→)()(lim0x g x f x x ，则∞=''→)()(limx g x f xxC.若a x g x f x x =''→)()(lim 0，则a x g x f xx =→)()(limD.若)()(lim 0x g x f x x ''→不存在，则)()(lim0x g x f x x →不存在【答案】C154、【44050】（单项选择题）)(0x f '不存在是)(0x f 为极值的（）． A.充分条件 B.必要条件C.充分必要条件D.以上说法都不对【答案】D155、【44051】（单项选择题）设)(x f 处处连续，且)(,0)(21x f x f '='不存在，则下列说法正确的是（）．A.1x x =与2x x =都一定不是)(x f 的极值点B.1x x =与2x x =都可能是)(x f 的极值点C.1x x =是)(x f 的极值点，而2x x =一定不是极值点D.2x x =是)(x f 的极值点，而1x x =一定不是极值点【答案】B156、【44052】（单项选择题）设0)(,0)(00=''='x f x f ，则)(0x f （）． A.必是)(x f 的极大值 B.必是)(x f 的极小值 C.一定不是)(x f 的极值D.可能是也可能不是)(x f 的极值【答案】D157、【44054】（单项选择题）设)(x f 是),(a a -内的连续偶函数，且当0<<-x a 时，)0()(f x f <，则下述结论正确的是（）．A.)0(f 是)(x f 在),(a a -的极大值，但不是最大值B.)0(f 是)(x f 在),(a a -的最小值C.)0(f 是)(x f 在),(a a -的极大值，也是最大值D.点))0(,0(f 是曲线)(x f y =的拐点【答案】C158、【65205】（单项选择题）0)(0='x f 是函数)(x f y =在点0x 处取得极值的（）．A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件D.以上说法都不对【答案】D159、【65245】（单项选择题）曲线xx x f +=1)(2的拐点的个数是（）．A.0B.1C.2D.3【答案】B160、【99278】（单项选择题）函数x x x f ln 21)(2-=的单调增区间是（）．A.)1,0(B.),1()0,1(+∞⋃-C.),1(+∞D.)1,1(-【答案】C161、【102065】（单项选择题）若函数)(x f 在),(b a 内是单调减函数，则)(x f '（）．A.0≤B.0<C.0≥D.0>【答案】A162、【102078】（单项选择题）函数2)1(3+-=x y 的拐点的个数是（）．A.3B.2C.1D.0【答案】C163、【102084】（单项选择题）曲线)1ln(2x y +=的拐点的个数是（）．A.0B.1C.2D.3【答案】C164、【102088】（单项选择题）0)(,0)(00>''='x f x f 是函数)(x f y =在点0x x =处有极值的（）． A.必要条件 B.充分条件C.充分必要条件D.无关条件【答案】B165、【98490】（填空题）曲线xxe y -=的拐点坐标是_____．【答案】)2,2(2e166、【98491】（填空题）函数)2()1()(2+-=x x x f 的极大值点是_____．【答案】1-=x167、【98492】（填空题）函数)1ln()(x x x f +-=的凹区间是_____．【答案】),1(+∞-168、【98493】（填空题）函数xx x f )3()(-=在]4,0[上的最小值是_____．【答案】2-169、【98499】（填空题）曲线xxe y -=的拐点坐标是_____．【答案】)2,2(2e170、【102095】（填空题）曲线3)2(3--=x y 的拐点坐标是_____．【答案】)3,2(-171、【102096】（填空题）函数x xe x f 2)(-=的凹区间为_____．【答案】),1(∞+172、【65196】（解答题）求极限xxex xx sin lim20-→．【答案】解：⎪⎭⎫ ⎝⎛-→00sin lim20x xe x xx=⎪⎭⎫⎝⎛-+→00cos 2lim0x xe e xx x x =xxe e e x xxx sin 2lim0+++→=1173、【65198】（解答题）求函数x xy -=2的极值．【答案】解：定义域为]2,(-∞令0='y 由034=-x 得驻点34=x当234<<x 时，0<'y ；当34<<∞-x 时，0>'y ，所以y 在34=x 取极大值．所以694323434234)34(==-==y y 极大174、【65201】（解答题）求极限xe x xx sin 1lim 20-→--．【答案】解：⎪⎭⎫⎝⎛---→00sin 1lim 20x e x x x175、【65217】（解答题）求极限xxe x x cos 1sin )1(lim0--→．=()⎪⎭⎫⎝⎛-+→00sin cos 1sin lim 0x x x e e x xx=()()xx x x x e e e exx x xx cos sin 1cos cos sin lim 0--+++→=2176、【65220】（解答题）求极限x x x ln 1lim21-→．【答案】解：⎪⎭⎫⎝⎛-→00ln 121limx x x=2177、【65234】（解答题）用12米塑钢做一个如图所示形状的窗框，其中1:2:=BC AB ．问：如何设计宽高的尺寸，可使采光最好？【答案】解：设宽为x ，高为y ，由题设，面积s 可表为xy s =①且y x ,满足 12373=+y x ②由②：)4(79)312(73x x y -=-=③③代入①，有：)4(792x x s -=x s 718736-='，令0='s ，得驻点2=x 又718-=''s ，0718)2(<-=''s ，s 在2=x 取最大值．当2=x 时，由③可得718=y故当2=x ，718=y 时，面积最大，即采光最好．178、【65240】（解答题）将边长为定值a 的正方形铁皮各角剪去大小相同的正方形小块，做成无盖的盒子，问剪去的正方形小块的边长为何值时，可使盒子的容积最大？【答案】解：示意图见图11-2设剪去的正方形小块的边长为x ，记体积为V ，则令0='V ，由081222=+-a ax x，得6a x =，2a x =（舍去）故当正方形小块边长为6a 时，小盒容积最大．179、【65243】（解答题）求极限x e e xx x 2sin 0lim-→．【答案】解：⎪⎭⎫⎝⎛-→00lim2sin 0x e e x x x180、【65252】（解答题）求极限xx x x cos 1)12(lim--→．181、【65257】（解答题）计算极限2222lim--→x x x x ．【答案】解：⎪⎭⎫⎝⎛--→0022lim22x x x x182、【65261】（解答题）设函数x bx x a x f 3ln )(2-+=在1=x 处取得极值，且极值为0，求b a ,的值．【答案】解：32)(-+='bx x ax f在1=x 处取极值，有032=-+b a 极值为0，有01311ln 2=⋅-⋅+b a 即03=-b 所3=b 将3=b 代入032=-+b a 中，知036=-+a ，3-=a 故3-=a ，3=b183、【65263】（解答题）求函数13)(23--+=x x xx f 的凹凸区间和拐点坐标．【答案】解：定义域),(+∞-∞令0)(=''x f ，得1-=x 当)1,(--∞∈x ，0)(<''x f ； ),1(+∞-∈x ，0)(>''x f凹区间为),1(+∞-，凸区间为)1,(--∞，拐点为)2,1(-184、【65269】（解答题）欲建一个底面为正方形的蓄水池，使其容积为定值α，若池底单位面积造价是四壁单位面积造价的二倍，当底面边长为多少时，可使总造价最低．【答案】解：设底面边长为x ，深为y ，四壁单位面积造价为m ，记总造价w图3-3依题意， mxy mx w 422+=①且 a y x=2②由②：2x a y =③③代入①：xma mx w 422+= ),0(+∞∈x令0='w ，由0443=-ma mx，得唯一驻点3ax =又384x mam w +=''，012)(3>=''m a w ，w 在3ax =取唯一极小值，即当底面边长为3a时，总造价最低．185、【65272】（解答题）借用一面墙，围成一个矩形的场地，使其面积为72平方米，问：与现有墙平行的一面墙的长度为多少时，可使周长最小．【答案】解：示意图见图2-3，设置与现有墙平行的墙的长度为x ，宽为y ，依题意，有：周长 y x L 2+=①且 72=xy ②由②，xy 72=，代入①:xx L 144+=令0'=L x ，得驻点12=x 又x Lx3''288=，61)12(''>=L x ，所以12=x 时，可使周长最小．186、【65273】（解答题）求函数xx x f 2)(-=在区间]4,0[上的最大值与最小值．【答案】解：xx xx f 111)(-=-='，令0)(='x f ，由01=-x 得)4,0(1∈=x 0)0(=f ，1)1(-=f ，0)4(=f所以0max =f ；1min -=f187、【65277】（解答题）求极限x x x cos ln 2lim →．【答案】解：⎪⎭⎫ ⎝⎛→00cos ln lim 20x x x188、【82445】（解答题）求x xe x xx sin 20lim -→．【答案】解：⎪⎭⎫ ⎝⎛-→00sin lim20x xe x xx189、【82446】（解答题）求极限⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→x e x x 111lim 0．【答案】解：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→x e x x 111lim 0)(∞-∞190、【91935】（解答题）求曲线xxe y =的拐点坐标．【答案】解：x xxe ey +='令0=''y ，由02=+x 得2-=x将2-=x 代入xxe y =中，有22e y -= 当2->x 时，0>''y ，当2-<x 时，0<''y 拐点坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--222e ， 191、【102101】（解答题）求曲线1234+-=x xy 的凹凸区间及拐点．【答案】解：定义域为),(+∞-∞)1(121212,64223-=-=''-='x x x x y x x y 令0=''y ，有1,0==x x)1(=y ，1)0(=y凹区间为),1()0,(+∞-∞ ，凸区间为)1,0(，拐点为)0,1(),1,0(192、【102103】（解答题）欲围一个面积为150平方米的矩形场地，所用材料的造价其正面是每平方米6元，其余三面是每平方米3元，问场地的长、宽各为多少米时，才能使所用材料费最少？【答案】解：设所围场地正面长为x 米，另一边长为y 米，围墙高度为一个单位（米），由场地面积150=xy ，从而xy 150=．设四周围墙所使用的材料总费用为)(x f ，则有215069)(x x f ⨯-='，令0)(='x f 得驻点10=x （10-=x 舍去）31800)(x x f =''，且08.1)10(>=''f ．所以)10(y 为最小值．由于只有一个驻点，由实际意义可知最小值存在，一般情形下不必再求0)10(>''y （或0<），即可判定10=x ，15=y 为所求．也即当围墙正面长为10米，侧面长为15米时，所用的材料费最少．193、【102104】（解答题）设点)1,1(是曲线c bx ax xy +++=23的拐点，且曲线在2=x 取极值，求c b a ,,的值．【答案】解：b ax xy ++='232，由y 在2=x 取极值，应有2=x 时，0='y ，即：0124=++b a ……①=''y a x 26+，由)1,1(为拐点，应有1=x 时，0=''y ，即：062=+a ……②由拐点)1,1(在曲线上，其坐标应满足曲线方程，即 11=+++c b a ③由②，3-=a 代入①，0=b ；一并代入③，3=c ．194、【102105】（解答题）用薄铁皮做一个横截面为半圆的无盖水槽，使其容积为定值V ，当截面圆半径和水槽的长各为多少时，可使所用薄铁皮的面积最小？【答案】解：设横截面半径为x ，水槽长为y ，记表面积为S ，则xy x S ππ+=2①且V y x =221π②由②：22x Vy π=③③代入①：xVx x Vx x S 22222+=⋅+=ππππ令2222232=-=-='xVx xV x S ππ，得3πVx =又342x VS +=''π，063>=⎪⎪⎭⎫⎝⎛''ππV s所以S 当3πVx =时取最小值，当3πVx =，32πVy =时，表面积最小．195、【102106】（解答题）设点)2,1(-是曲线b ax xy +-=23的拐点，求ba ,的值．【答案】解：ax xy 232-='a x y 26-=''，依题设，应有02)1(6=--⋅a ，从而3-=a又拐点在曲线上，知b a +---=23)1()1(2，于是0=b196、【102107】（解答题）用总长度为l 米的墙围成一个矩形的场地，并加一个隔墙将矩形场地分成两部分，问隔墙长度为多少时，可使矩形场地的面积最大？【答案】解：设隔墙长度为x ，与隔墙垂直的墙的长度为y ，矩形场地面积记为s ，依题意：xy s =①且 l y x =+23②由②，有)3(21x l y -=③③代入①：)3(21x l x s -⋅=x l s 321-='，令0='s ，得l x 61=又3-=''s ，0361<-=⎪⎭⎫⎝⎛''l s ，s在l x 61=取唯一极大值，即最大值．即隔墙长为l 61时，矩形场地面积最大．197、【102108】（解答题）用L 米塑钢做一个矩形窗框，如何设计尺寸使采光最好．【答案】解：设矩形宽，高分别为y x ,，记面积为s ，依题意xy s =且L y x =+)(2，即)2(21x L y -=从而Lx x x L x s 21)2(212+-=-=L x s 212+-='，令0='s 得L x 41=，L y 41=当宽、高相等时采光最好．198、【102118】（解答题）求)ln 111(lim 1x x x --→．【答案】解：⎪⎭⎫ ⎝⎛--→x x x ln 111lim 1)(∞-∞199、【102119】（解答题）求极限xxe x x sin cos lim20-→．【答案】解：)00(sin cos lim20x x e x x -→=xxe x x cos sin 2lim20+→=2 200、【102121】（解答题）求极限xx xe e x x x sin 2lim0----→．【答案】解：⎪⎭⎫⎝⎛----→00sin 2lim 0x x x e e x x x =⎪⎭⎫⎝⎛--+-→00cos 12lim 0x e e x x x=⎪⎭⎫ ⎝⎛--→00sin lim 0x e e x x x =xe e xx x cos lim 0-→+=2201、【102122】（解答题）求函数322)(x x x f -=在)2,0(内的极值．【答案】解：()()()32232223)1(22322x x x x x x x f -⋅-=-⋅-='令()0='x f ,得驻点1=x 和不可导点1,0==x x ，在)2,0(内只有1=x ，其余舍去．当21<<x 时，()0<'x f ，当10<<x 时，()0>'x f所以()x f 在1=x 取极大值，()11==f f 极大第五章不定积分202、【44059】（单项选择题）下列等式中，正确的是（）．A.⎰=')()(x F dx x FB.⎰+='C x f dx x f )(])([C.⎰=dx x F x dF )()(D.⎰=dx x F dx x F d )()( 【答案】D203、【44062】（单项选择题）函数x 2sin 的原函数是（）．A.x 2cosB.x 2sinC.x x cos sin 2D.x 2cos -【答案】B204、【44063】（单项选择题）设xe xf -=)(，则⎰='dx x x f )(ln （）．A.C x +-1B.C x +1C.C x +-lnD.C x +ln【答案】B205、【44065】（单项选择题）设x x f ln )(=，则⎰='dx e f e xx )(（）．A.C x +B.C ex+C.C e x+221 D.C e x+331【答案】A206、【44066】（单项选择题）设xx sin 是)(x f 的一个原函数，则⎰='dx x fx )(（）．A.Cx xx x +-sin cos B.Cx xx x +-sin 2cosC.Cxxx x +-2sin cosD.Cx xx x +-2sin 2cos【答案】B207、【44068】（单项选择题）⎰=+dx x x )1(1（）．A.C x +arctanB.C x +arctan 2C.Cx +arctan 21D.C x +-arctan 21【答案】B208、【66282】（单项选择题）设)(x f 有连续的二阶导数，则⎰=''dx x f x )(（）． A.C x f x f x +'-')()( B.C x f x f x +-')()( C.C x f x f x +'+')()( D.C x f x f x ++')()( 【答案】B209、【66283】（单项选择题）若)()(x g x f '='，则下式中一定成立的是（）． A.)()(x g x f = B.)()(x g C x f ⋅=C.⎰⎰=dx x g d dx x f d )()(D.⎰⎰=)()(x g d x f d 【答案】D210、【66285】（单项选择题）若⎰⎰=)()(x dg x df ，则下列等式不一定成立的是（）．A.)()(x g x f =B.)()(x g x f '='C.)()(x dg x df =D.⎰⎰'='dx x g d dx x f d )()( 【答案】A211、【66286】（单项选择题）设⎰+=C x F dx x f )()(，则⎰--dx e f e x x )(等于（）．A.C e F x+--)(B.C e F x+-)( C.C eF x+-)(D.C e F x+)(【答案】A212、【70477】（单项选择题）设)(x f 是某区间内的非零连续函数，若)(),(x G x F 是)(x f 的两个原函数，则在该区间内（）．A.C x G x F =+)()(B.C x G x F =-)()(C.)()(x CG x F =D.)()(x G x F = 【答案】B213、【80779】（单项选择题）设C x dx x f +=⎰1)(，则⎰dx x f x )1(12等于（）．A.C x +B.C x +-C.C x +1 D.C x +-1【答案】B214、【85206】（单项选择题）下列函数中，以x x x -ln 为原函数的是（）．。

高等数学习题册参考答案

《高等数学》习题册参考答案说明本参考答案与现在的习题册中的题目有个别的不同，使用时请认真比对，以防弄错.第一册参考答案第一章 §1.11.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+≤≤--<≤<≤+=--. ),(2, , ,0 , 211010101T t T T t a v T t v t at v v a va vv a v v 图形为：2.B.3.)]()([)]()([)(2121x f x f x f x f x f --+-+=，其中)]()([)(21x f x f x F -+=为偶函数，而)]()([)(21x f x f x G --=为奇函数. 4.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=<≤-<≤-<≤=.6 ,0,64 ,)4(,42 ,)2(,20 ,)(222x x x x x x x x f 5.⎩⎨⎧.)]([,)2()]([,)1(单调减单调性相反，则单调增；单调性相同，则x g f g f x g f g f6.无界.7.（1）否，定义域不同；（2）否，对应法则不同；（3）否，定义域不同.§1.21.（1）)1 ,0()0 ,1(⋃-=D ；（2）} , ,{2Z ∈+≠=k k k x x D πππ；（3）)1 ,0(=D . 2.1 ,4-==b a . 3.⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=,0 ,1,0 ,0 ,0 ,1 )]([x x x x g f ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<=-.1 ,,1 ,1 ,1 , )]([1x e x x e x f g4.（1）]2 ,0[,)1arcsin(2=-=D x y ；（2）Y ∞=+=+=022),( , )(tan log 1k a k k Dx y πππ. 5.（1）xx x f f 1)]([-=；（2）xx f f 1)(1][=. 6.+∞<<=-h r V rh hr 2 ,23122π.7.（1）a x =)(ϕ；（2）h x x +=2)(ϕ；（3）ha a h x x )1()(-=ϕ.§1.91.1-=e a .2.（1）1=x 和2=x 都是无穷间断点（属第Ⅱ类）；（2）1 ,0==x x 和1-=x 是间断点，其中：1是可去间断点（极限为21）（属第Ⅰ类）； 0是跳跃间断点（左极限1-，右极限1）（属第Ⅰ类）；-1 是无穷间断点（属第Ⅱ类）；（3）0=x 为无穷间断点（属第Ⅱ类），1=x 为跳跃间断点（属第Ⅰ类）（注意：+∞==∞+-→-ee xx x 11lim ，而0lim 11==∞--→+e e xx x ）；（4）)( 2Z ∈+=k k x ππ为无穷间断点（属第Ⅱ类）；（5）⎩⎨⎧=≠=+=∞→,0 ,0,0 ,1lim )(12x x nx nx x f xn ∴ 0=x 为无穷间断点（属第Ⅱ类）；（6）∵ )(lim , 0)(lim 11+∞==+-→→x f x f x x ， ∴ 1=x 为第Ⅱ类间断点，（注意：这类间断点既不叫无穷间断点，也不叫跳跃间断点，不要乱叫）； ∵ 1)(lim , 0)(lim -→→==+-e x f x f x x ， ∴ 0=x 为跳跃间断点（属第Ⅰ类）.3.（1）1 ,0≠=b a ；（2）1 ,≠=a e b .4.（1）21)0(=f ；（2）0)0(=f .5.证：由)()0()0(22x f f x f +=+，得0)0(=f ，于是，再由0)0()(lim )]()()([lim )]()([lim 0==∆=-∆+=-∆+→∆→∆→∆f x f x f x f x f x f x x f x x x ，∴ )(x f 在x 点连续.§1.101.)(x f 在),(+∞-∞内连续，则0≥a ；又0)(lim =-∞→x f x ，则0<b ，故选D.2.) ,2()2 ,3()3 ,(∞+⋃-⋃--∞； 210)0()(lim ==→f x f x （0是连续点）， 5858213)2)(3()3()3(3322limlim)(lim -====----→-++-+-→-→x x x x x x x x x x x f （-3是可去间断点）， ∞==-++-+→→)2)(3()3()3(222lim )(lim x x x x x x x x f （2是无穷间断点）.3.（1）a1；（2）0；（3）2e （提示：原极限x e x xe x x x x x e e )ln(lim)ln(00lim ++→→==，而=+→110 )ln(lim 加分子减x e x x x 2)1(lim )]1(1ln[lim 00==-+-++→→拆分分子等价无穷小代换x e x x e x x x x x ）；（4）21-e（提示：原极限xxx e 2sin cos ln 0lim→=，而21cos 11cos 11cos 0cos 1)]1(cos 1ln[0sin cos ln 0lim lim lim lim222-====+-→--→--+→→x x xx x x x x xxx ）；注意：（3）和（4）都用到了等价无穷小代换：□0→时，ln (1+□)～□. （5）1；（6）不存在（左极限2-，右极限2）.4.（1）0=a ，e b =；（2）a 任意，1=b .§1.111.令)sin ()(b x a x x f +-=，则)(x f 在] ,0[b a +上连续，且0)0(<-=b f ，=+)(b a f 0)]sin(1[)sin(≥+-=-+-+b a a b b a a b a .若0)(=+b a f ，则b a +就是一个正根；若0)(>+b a f ，则由零点定理，)(x f 在) ,0(b a +内有一正根.总之，)(x f 在],0[b a +内有一正根.2.作辅助函数x x f x F -=)()(，则)(x F 在] ,[b a 上连续，且0)()(<-=a a f a F ，)(b F0)(>-=b b f ，由零点定理，) ,(b a ∈∃ξ，使得0)(=ξF ，即ξξ=)(f .3.由题设：)(x f 在] ,[1n x x 上连续，设m M 、分别为)(x f 在] ,[1n x x 上的最大值和最小值，则M x f x f x f c m n n≤+++=≤)]()()([211Λ，于是，由介值定理可知：) ,() ,(1b a x x n ⊂∈∃ξ，使得c f =)(ξ，即)]()()([)(211n nx f x f x f f +++=Λξ. 4.令)()()(a x f x f x F +-=，则)(x F 在] ,0[a 上连续.若)()0()0(a f a f f =+=，则取 00=x ，命题成立；设)()0(a f f ≠，则由)()0()0(a f f F -=，而)2()()(a f a f a F -= )]()0([)0()(a f f f a f --=-=，所以，)0(F 与)(a F 异号，于是，由零点定理可知：) ,0(a ∈∃ξ，使得0)(=ξF ，即)()(a f f +=ξξ，命题成立.第一章总复习题1.⎪⎩⎪⎨⎧>≤=+.0,1 ,0 ,)]([211x x x f x ϕ 2.22sin 2x. 3.) ,(∞+e .4.证：∵A x f x x =→)(lim 0，∴对于事先给定的无论多么小的正数ε，都存在正数δ，只要δ<-<00x x ，就必有ε<-A x f )(成立①（这就是函数极限的“δε-定义”）；又∵)( lim 00x x x x n n n ≠=∞→，∴对①中的正数δ（因这样的正数是任意的），必存在自然数N ，只要N n >，就必有δ<-0x x n 成立（这就是数列极限的“N -ε定义”）.但对任何n ，0x x n ≠，所以这时也就有δ<-<00x x n 成立②.把①②两步结合起来就是(从②推回到①)：对于事先给定的无论多么小的正数ε，（由①，0>∃δ，从而由②）必存在自然数N ，只要N n >，（①②同时成立）就必有 ε<-A x f n )( 成立. 故由极限的定义可知：A x f n n =∞→)(lim .附注：本题是函数极限与数列极限相结合的题目，抽象且有点难，但提供了一个重要的求极限的方法，即数列极限可作为函数极限的特殊情况来处理，比如下面：∵a xa x x e x a x a x x x x ln ln lim 1lim 1lim0ln 00==-=-→→→（用到了□→0时，e □-1～□）, ∴a xa naa n x x nn nn ln 1lim 11lim)1(lim 01=-=-=-+→∞→∞→. 5.（1）23-；（2）2011 ,20111；（3）5，531. 6.提示：因)(x f 在],[b a 上连续，而 )(m ax )(m in ],[2)()(2],[x f M m x f b a x d f c f kb a x ∈+∈=≤=≤=，对)(x f 在],[b a 上用介值定理.7.（1）21（提示：每个括号通分，分子因式分解，并与分母约分，再整理得n n 21+）；（2）a-11（提示：给极限式子乘)1(a -，打开括号得)1(4na -，并利用一个重要结果)1( 0lim <=∞→q q n n ）；（3）ab--11（提示：分子、分母都利用等比数列前n 项和公式：1减公比分之首项减去末项乘公比，再利用（2）中的重要结果）；（4）21（提示：有理化，分子、分母再同除以n 或利用重要结果：当0 ,000≠≠b a 时，⎪⎩⎪⎨⎧>>∞>=<<==++++++++∞→----∞→.0 ,,0 ,,0 ,0 lim lim 00002211022110m k m k m k n b na b n b n b n b a n a n a n a b a mkn m m m m n k k kn ΛΛ ）；（5）t （提示：利用重要极限）；（6）2-（提示：分母就是x 2sin -～2x -，再拆分）；（7）2b a +（提示：有理化，再利用（4）中重要结果）；（8）4（提示：分子减1加1并拆分，再利用等价无穷小代换：□→0时，cos 1-□～21□2）；（9）e （提示：原极限e e e x x x x x x ==→+→=22220tan )1ln(0lim lim 等价无穷小代换）；（10）2)1(+n n （提示：分子因式分解，先分出个因式)1(-x 并与分母约简，再分出个因式)1(-x 仍可与分母约简，聪明的人一下子就可分出因式2)1(-x ）；（11）π2（提示：令x t -=1，则原极限]2 cos sin [lim 20t t t t ππ→=，再利用重要极限）. 8.提示：把根号进行放缩得不等式：n n n n n n n n n A nA a a a A ⋅=<+++<Λ21，并注意：1lim=∞→nn n （会推证吗？），再用夹逼定理（或叫夹挤准则，俗称“两头夹”）.第二章 §2.61.（1）)cos(21sin )cos(2xy x x xy y --；（2）)1(2xy e e e e y xyy xxy +-+；（3）y x y x -+；（4）22ln ln xx xy y y xy --（两端取对数）；（5）]111[ln )1(x x x x x x ++++（两端取对数或利用一个重要公式：若)()]([x g x f y =，则])()(ln )([)]([)()()(x f x f x g x g x f x g x f y '⋅+'⋅='）；（6）])1)(1(2)2()1(2[111222x x x x x x x x x x x x x ++++-+--+++-（利用对数求导法）. 2.（1）3222)1(])1()1[(--+--y x x y y ；（2）])1()1(213[2322422+-++y y x y y x . 3.])(arctan )()(arctan )([2222x y x y f y x f y x x y '-+'++-（提示：令xyv v u == ,arctan 而，则原方程变为 y x u f =)(，两端对x 求导得 y x y u f x y x y v '+=⋅⋅'⋅-⋅'+22111)(，再解出y '）.4.提示：求出一、二、三阶导数，代入左端化简.5.切线方程：)1(152-=-x y ；法线方程：)1(125--=-x y . 6.（1）2t；（2）23-. 7.（1）21)1(cos ----t a ；（2）1)]([-'t f .8.)2)(1(1e e t t-+（提示：第二个方程两端对t 求导，得0d d =+t y e e y t ，解出y t e e t y -=d dee e e e e t t t t 22-=--=，并代入 t x t y x y d d d d d d = 之中再约简）.9.在时刻t ，甲船所走路程t t s 40)(1=，乙船所走路程t t s 30)(2=，两船间的距离为 t t t t d 50)30()40()(22=+=，两船间的距离增加的速度为50)(='t d .10.设y OP x ON == ,，则由木杆匀速前移知：c tx=d d （为常数），由题图知：OA MN y x y =-，即 x MN OA OA y -=，从而 txMN OA OA t y d d d d -=. 可见tyd d 为常量，即P 点前移的速度是匀速的.§2.71.（1）增量为-0.09，微分为-0.1；（2）增量为-0.0099，微分为-0.01.评注：①结果表明：x ∆愈小，则y y d 与∆愈接近，这就是微分的数量特征；②微分的几何特征是“以直代曲”.2.（1）C x x ++3；（2）C x +-2cos 21；（3）C e x +--；（4）C x +2arctan 21. 3.（1）x d 2；（2）x a d ；（3）x d 42；（4）x d .4.（1）x x x d 13)]13ln(2sin[3++；（2）t t t t e t t d )52(2)23(332)52ln(323+--⋅+-；（3）x x x x d )21(sec )21tan(8222++. 5.150110+. 第二章总复习题1.A 、E .2.)(x f 在0=x 处可导必连续.由连续有：)0()2sin (lim lim 0f x b e x ax x =+=+-→→，求极限得：1=b ；由可导有：⎪⎩⎪⎨⎧=='=--=''='--+→+→-+-+-,2lim )0(,01lim )0( , )0()0(01)2sin 1(00x x x ax x f a x e f f f 而所以，2=a . 3.由)0(f '存在，则)0()0(+-''f f 、存在且相等. 而x f x f x x f x f x f )0()(00)0()(0lim lim )0(-→--→+++=='， )0(lim lim lim )0()0()(0)0()(0)0()(0+-→----→--→-'-=-==='++-f f xf x f x x f x f x x f x f x ，要使)0()0(+-'='f f ，只有0)0()0()0(='='='+-f f f . 4.（1）222211))((x a x ax axa +++-+；（2）]ln [ln 12xx x x x x x x ++（提示：===xx x x xexy lnxexx e ln ln ⋅，再利用指数复合函数求导；或者利用取对数求导法）；（3）⎪⎩⎪⎨⎧≥<=--,1 ,,1 ,)(11x e x e x f x x 则 1<x 时，x e x f --='1)(； 1>x 时，1)(-='x e x f ；1=x 时，)1(lim 11lim )1(11111111+--→--→-'==≠-=='-+--f f x e x x e x x x ，则在1=x 处不可导.（4）4 ,1--；（5）tet t t t t t t t 22222)2sin cos 2()2cos 2(sin 4 , 2sin cos 22sin sin 2-+-+；（6）])6(1)5(1[!100101101+-+x x （提示：分母因式分解，并拆分，再求导）. 5.1)0(=g ，11)sin 1(lim 0)0()(lim)0(1200=-++=--='→→xx x x g x g g x x x ， 0≠x 时，x x x x x x x g 1112cos sin 21)sin 1()(-+='++='. 6.)0(lim 1lim )0( ,0)0(00)11(000)1ln(0+----+→--+→-'===='=+-f f f x x x x x x x ，所以，函数)(x f 在点0=x 处可导，且1)0(='f ，从而必在0=x 处连续.评注：2、3、4（3）、5、6都涉及函数在一点处的导数，特别是分段函数在分界点处的导数，导数的定义以及左右导数的概念起到关键的作用，务必要高度注意.7.（1）由xy y f x f y x f 2)()()(++=+，得0)0(=f .当0≠y 时，x y y f y x f y x f 2)()()(+=-+. 由已知并由导数定义，得 y y f y y f y f y f k )(0)0()(0lim lim )0(→-→=='=， k x x f y x f y x f y +=='-+→2lim )()()(0.故对一切) ,(∞+-∞∈x ，)(x f 皆可导，且 k x x f +='2)(.（2）由k x x f +='2)(，知C kx x x f ++=2)(，再由0)0(=f ，得kx x x f +=2)(.第三章 §3.31.)0( !2)(32之间与介于x x e x x x f ξξ++=. 2.) 1( )1()1(])1()()(1[)(1212之间与介于x x x x x x f n n n n-+-++++++++-=+++ξξΛ.3.2)1(2)1(76)(-+-+=x x x f .4.（1）61-（提示：分母的x sin ～x ，从而只需把分子的x sin 展开到3x 阶）；（2）121-（提示：把分子的x cos 和22xe-都展开到4x 阶）.§3.41.（1）) ,0(21∈x 单减，),(21+∞∈x 单增；（2）),(4 3a x -∞∈单增，),(4 3+∞∈a x 单减. 2.（1）证①：利用拉格朗日中值定理.令xe xf =)(，则x x e x f e e f x f x >⋅=-'=-=-ξξ)0)(()0()(0.证②：利用单调性.令1)(--=x e x f x ，则1)(-='xe xf .当0<x 时，0)(<'x f ，从而)(x f 单调减；而当0>x 时，0)(>'x f ，从而)(x f 单调增.故对一切0≠x ，0)0()(=>f x f ，即要证的不等式成立.评注：①虽抽象，但更简洁；②虽通俗，但稍显麻烦.（2）令)1sec 2(sin )( ,2sec cos )( ,2tan sin )(22-=''-+='-+=x x x f x x x f x x x x f .当20π<<x 时，)(0)(x f x f '⇒>''单调增0)0()(='>'⇒f x f )(x f ⇒单调增，故当20π<<x 时，0)0()(=>f x f ，即要证的不等式成立（好好体会推理过程）. 评注：本题与（1）和下面的（3）的不同之处在于：需两次利用单调性.（3）参考上题方法或用泰勒公式：①利用单调性方法：令331tan )(x x x x f --=，则 ))(tan (tan tan 1sec )(2222x x x x x x x x x f -+=-=--='，当20π<<x 时，0)(>'x f ，所以，)(x f 单调增，故当20π<<x 时，0)0()(=>f x f . ②利用泰勒公式：令x x f tan )(=，则x x f 2sec )(='，x x x x f tan sec sec 2)(=''， )1tan 4tan 3(2)sec sec tan 3(2)(24222++=+='''x x x x x x f ，x x x x x x x x f23223)4(sec )tan 2tan 3(8)sec tan 8sec tan 12(2)(+=+=（很麻烦），，之间与介于其中) 0 ( )( !4)(!3)0(!2)0()0()0()(tan 43314)4(32x x R x x x f x f x f x f f x f x ξξ++=+'''+''+'+== 当20π<<x 时，0)(4!4)(4)4(>=x x R f ξ，故 331tan x x x +> 成立. 评注：对本题而言，①似乎简单一些，但对②而言，得到泰勒公式（实际上是麦克劳林公式）后，其结果却更显而易见.擅长泰勒公式（或麦克劳林公式）的同学建议用②，其它几个题目也有类似的情况.总之，此类方法要好好掌握.（4）参考（1）题方法或用泰勒公式：4)1(14132432)1ln(x x x x x ξ+⋅-+-=+，而 0)(4)1(14134>⋅=+x x R ξ（ξ介于0与x 之间），故 3232)1ln(x x x x +-<+. 3.原不等式化为a a x a x a ln )ln(<++，设x xx f ln )(=，则2ln 1)(xx x f -='.所以，当e x >时， 0)(<'x f ，从而)(x f 单调减，故aax a x a ln )ln(<++，即原不等式成立. 评注：把要证的不等式先等价转化再利用单调性的方法会大大简化.4.不一定，例如，x x x f sin )(+=在) ,(∞+-∞内单增，但x x f cos 1)(+='在) ,(∞+-∞内不单调.5.) ,(512-∞∈x 单增，),(512+∞∈x 单减；10205205241m ax 512)(===f f ，无极小. 6.函数)(x f y =处处连续，322232a x x y -⋅='，有一个驻点0=x 和两个不可导点a x ±=；0)(=±a f 为极小值，也是最小值；34)0(a f = 为极大值，但无最大值.7.在]1 ,0[上函数单减，故4)0(π=f 最大，0)1(=f 最小. 8.令x bx x a x f ++=2ln )(，则应有 012)1(=++='b a f ，014)2(2=++='b f a ，求得 32-=a ，61-=b ；而)1(f 极小，)2(f 极大. 9.提示：因函数处处可导，而可导的极值点必为驻点. 但 c bx ax x f ++='23)(2 当0)3(434)2(22<-=⋅⋅-≡∆ac b c a b ，即 032<-ac b 时无零点.§3.51.)1 ,0(∈x 时，凸；) ,1(∞+∈x 时，凹；拐点)7 ,1(-.2.82±=k ，各有两个拐点) ,1(22±±. 3.3 ,0 ,1-===c b a .4.tt y 1143)1(2⋅-=''，0=''y 的点 1±=t ，y '' 不存在的点 0=t ；有三个拐点：)2 ,1(11-↔-=t ，)0 ,0(02↔=t ，)4 ,1(13↔=t .§3.61.其图形如下所示：2.点) ,(22ln 22-处曲率半径有最小值233. 4.（1）铅锤渐近线两条：2=x 和3 -=x ；水平渐近线一条：1=y ；（2）铅锤渐近线：ex 1-=；斜渐近线：x y =.第四章 §4.11.（1）x e x 2cos 233+--；（2）C x x x +--33222 ,22；（3）C x x ++441221；（4）1ln +=x y .2.（1）C x x x x ++++22123232；（2）C x x ++-4147474；（3）C x x x ++-arctan 331；（4）C x +7272ln 121；（5）C x x +-arcsin 2arctan 3；（6）C e xxe ++1)5ln(1)5(；（7）C x +-cot 21；（8）C x x +-sec tan ；（9）C x x ++cos sin ；（10）C x x +-cot tan . §4.21.（1）C x x ++++])1[ln(411441；（2）C b ax nn n a n++++1)(2)1(2；（3）C x +)arcsin(tan ；（4）C x x +-ln 1；（5）C x+-10ln 1arccos 22110；（6）C x +2)(arctan；（7）C x+2sin 2212arctan ；（8）C x xe e ++1ln . 2.（1）C x x ++21；（2）C x x+--32arccos 39；（3）C xx +-442；（4）C x x x +++-)21ln()2()2(32323433132；（5）C x x x x +---)1(4arcsin 2222122；（6）提示：令 sin t x =（只需 20π<<t 即可），则原式]d [d d cos sin )sin (cos d 21cos sin cos sin sin cos 21cos sin cos ⎰⎰⎰⎰++++-+++===t t t t tt tt t t tt tt t t （很巧妙）C x x x Ct t t t +-+++++==]1ln [arcsin ]cos sin ln [22121回代把.第五章 §5.11.提示：把区间n ]1 ,0[等份，每份长都是n1，每个小区间),,2,1( ],[1n i n in i Λ=-都取右端点，则a a a n a a an a a ax a nn n n n n n n ni ninn x ln 1)ln (]1[lim )1(])(1[limlimd 11111111-=--=--==∞→∞→=∞→∑⎰. 附注：其中①利用了分解式 )1)(1(112-++++-=-n n b b b b b Λ（上式中n ab 1=）；②利用了等价无穷小代换：□→0时，1-a □～-□ln a .2.（1）极限中的和式相当于：把区间n ]1 ,0[等份，每份长都是n1，每个小区间 ],[1n in i - ),,2,1( n i Λ=都取右端点，函数x x f +=1)(在所取点处的值再乘以小区间的长度并把它们加起来的结果（这种和有个名称，叫“积分和”），于是，按定义：原极限=⎰+1d 1x x ；（2）同理，极限中的和式是函数x x f πsin )(=在区间]1 ,0[上的积分和，于是，按定义：原极限=⎰1d sin x x π.另外，该极限式子又可变为 ∑=∞→ni n ni n11sinlimπππ，暂不管π1，而这极限中的和式是函数 x x f sin )(= 在区间] ,0[π上的积分和，所以，仍按定义：又有原极限⎰=ππ 01d sin x x .（同一式子导致两种不同的表示说明：“会看看门道”的道理）3.（1）不可积，无界；（2）可积，连续.4.（1）⎰πd sin x x ；（2）⎰-112d x x .§5.21.（1）2110 152d 2≤≤⎰+x xx （提示：在]1 ,0[上，211522≤≤+x x ，再利用定积分的估值不等式性质）；（2）412222d 2---≤≤-⎰e x e e xx（提示：在]2 ,0[上，2241e e e x x ≤≤--，再利用定积分的估值不等式性质，注意：下限大，而上限小）.2.（1）反证法：若存在一点] ,[0b a x ∈，使0)(0≠x f ，则由题设可知，必有0)(0>x f ，又因)(x f 连续，从而存在0x 的一个邻域) ,(00δδ+-x x ，在这邻域内0)(>x f .于是，就有0d )(00>⎰+-δδx x x x f ；但另一方面，又由题设可知0d )(d )( 00=≤⎰⎰+-bax x x x f x x f δδ，矛盾. 故对一切] ,[b a x ∈，都有0)(=x f ，即在] ,[b a 上，0)(≡x f .（2）证：由题设可知：存在一点] ,[0b a x ∈，使0)(0>x f ，从而存在0x 的一个邻域) ,(00δδ+-x x ，在这邻域内0)(>x f .于是，就有0d )(00 >⎰+-δδx x x x f ，故0d )(d )(00 >≥⎰⎰+-δδx x bax x f x x f .（3）这是（1）的直接推论. 3.提示：①先对定积分用“积分中值定理”再取极限.②也可以“两头夹”：01sin d sin 01sin sin 01−−→−≤≤⇒≤≤∞→⎰n n n nnx x x .§5.31.（1）0；（2）⎰-xt t e 0 d 2；（3）)0()(f x f -；（4）0 ,0 ,0 ,2x xe -；（5）x e ycos --.2.（1）81221213x x x x ++-；（2）x x x x cos )sin cos()sin ()cos cos(22⋅--⋅ππ.3.（1）2（连续用两次洛必达法则，还可先把分母等价无穷小代换后再用洛必达法则）；（2）提示：0→x 时，2sin x ～2x ，12-x e ～x 21，x arctan ～x ，所以，原极限=01)1ln(lim 22lim d lim2201)1ln(0221 01)1ln(022002=++⋅→++→++→==⎰x x xx x tx x x x x t t x 约简型洛；（3）原极限21lim 2]1d [lim 2d 2lim202222200 02 0=⋅⋅→→→=⎰=⎰=xx x x t x xx x t x e e xte xe et e 型洛约简型洛；注意：在极限的运算过程中，极限为1的变量式子21xe 直接“抹掉了”（想想合法吗？）.（4）原极限)(lim 1)(d )(1 0a f a x f x t t f ax xa=⎰⋅+⋅→=型洛.4.（1）原式4d sin 42 0==⎰πx x ；（2）原式1d )1(210 =-=⎰x x ；（3）原式⎰-++=+=0141121d )3(2πx x x ；（4）原式3821 2211 0d d )1(=++=⎰⎰x x x x . 5.当)1 ,0[∈x 时，231 02d )(x t t x x==Φ⎰；当]2 ,1[∈x 时，=+=Φ⎰⎰xt t t t x 11 02d d )(61221-x （这一步是关键）. 故 ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤=Φ,21,,10 , )(61221331x x x x x 显然，)(x Φ在]2 ,0[内连续（显然吗?）.6.当)0 ,(-∞∈x 时，0d 0 d )()(00 =-==Φ⎰⎰xx t t t f x ；当] ,0[π∈x 时，=Φ)(x )cos 1(d sin 2121x t t x-=⎰；当) ,(∞+∈πx 时，⎰⎰⎰+==Φxx t t t t t f x 0 210 d 0d sin d )()(ππ1=.故 ⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤-<=Φ. , 1 , 0 , )cos 1(,0 , 0 )(21ππx x x x x 7.先用一次洛必达法则得 xb xa x x cos lim120-=+→，因分子极限为0，所以分母极限也一定是0（想想为什么？），从而 1=b ；这时分母 x cos 1-～221x ，再一次取极限得 4=a . 8.提示：当) ,(b a x ∈时，2)(d )())(()(a x tt f a x x f xax F ---⎰='，只需证分子 0≤ 即可.于是，若令⎰--=x at t f x f a x x g d )()()()(，则)()()()()()()(x f a x x f x f a x x f x g '-=-'-+='，因在),(b a 内0)(≤'x f ，所以，在),(b a 内0)(≤'x g ，从而在),(b a 内0)()(=<a g x g .§5.71.（1）22ωω+p （连续两次分部积分，并注意会出现循环现象，再移项求解）；（2）2π. 2.1>k 收敛；1≤k 发散；当1>k 时，11)2(ln 1112)(ln 1112)(ln 1d --⋅=⋅=-∞+-∞+⎰k k kk x k x x x ，而函数 )0( )()2(ln 1>=x x f xx 当 2ln ln 1-=x 时取得它在) ,0(∞+内的最小值=m in f 12ln ln 1)2ln (ln +-，所以，当2ln ln 11-=-=k x ，即 2ln ln 11-=k 时广义积分的值最小.3.左c x cx c x e 22)1(lim =+=-∞→，右⎰⎰∞-∞-∞--==ct ctct t e te e t 221221 221d )(dc c c tc c e e e 241224122)(-=-=∞-，应有 1412=-c ，所以 25=c . 第五章总复习题1.（1）A ；（2）C ；（3）提示：0=M 是奇函数在对称区间上的积分；P 的第一部分积分为0，第二部分积分为负，所以，0<P ；而N 的第一部分积分为0，第二部分积分为正（很容易算出，等于几呢？），所以，0>N ，故选D ；（4）提示：⎰⎰-=x xt t f t t t f xx F 02 02d )(d )()(，则⎰='xt t f x x F 0d )(2)(，而极限10 0 00d )(2lim d )(2lim )(lim -→→→⎰⎰=='k xx k x x k x x t t f x t t f x x x F 2000)1()(2lim-→-=k x x k x f 型洛0)0()(lim0 3 ≠'=→==f x x f x k 时当才会存在，故选C ；（5）提示：如图所示，由题设可知：)(x f 的图形在x 轴的上方单调下降且是凹的，2S 是下边小矩形的面积，最小；3S 是梯形的面积，最大；而1S 是阴影的面积，介于其间，故选B ；（6）提示：利用周期函数的积分性质：若)()(t f T t f =+，则对任意的常数a ，积分⎰⎰=+TTa at t f t t f 0 d )(d )( 与a 无关，现在t e t f t sin )(sin = 的 π2=T ，可知：⎰⎰⎰⎰+===πππππ2 sin 0sin 2 0sin 2 0d sin d sin d sin d )()(t te t t et t et t f x F t tt，对第二个积分令 π+=u t 换元而化为 ⎰⎰-=--ππsin 0sin d sin d )sin (t etu u e t u ，故可知：0d sin ]1[)( 0sin sin >-=⎰πt t ee x F tt 为正常数，故选A ；（7）提示：先通过换元把被积函数符号)(22t x f -中的x “拿出来”，再求导.=⎰=⎰-=-⋅---换凑22)()(d )( d )( 21 02222 0 22t x u xxtx t x f t t xf t⎰⎰=-=2221021d )(d )(x x u u f u u f ，故选A. （评注：本题的关键是换元）2.（1）0；（2）a 2sec ；（3）0；（4）0；（5）0；（6）x x f 3sin )3(cos 3-；（7）2sin x ；（8）8π；（9）3ln ；（10）π1231+. 3.（1）证①：⎰⎰⎰⎰--=-11 0d )(d )()1(d )(d )(λλλλλλx x f x x f x x f x x f （积分中值定理）)10( 0)]()()[1()1)(()()1(≤≤≤≤≥--=--⋅-=ηλξηξλλληλλξλf f f f .证②：⎰⎰⎰⎰--=-11 0d )(d )()1(d )(d )(λλλλλλx x f x x f x x f x x f0)()1()()1(=---≥λλλλλλf f .评注：两种证法仅是考虑问题出发点不同：①的核心是积分中值定理与单调性的结合；②的核心是积分的不等式性质与单调性的结合.（2）提示：分部积分，得原式⎰⎰----+=⋅-=πππππππππ 0)( 0sin 0d sin )( d )(x x f x x x xf xx x x2)( d sin )( d d sin )( 00 sin 0=-+=-+=⎰⎰⎰-πππππππππππf x x f x x x f xx ；评注：本题的特点是含有“积不出”的积分 ⎰-xt tt 0 sin d π，但并不影响要求的定积分. （3）)32ln(23++-（提示：令xet 21--=，则原积分⎰-=231d 22t t t ，再拆分）；（4）)()](2)([42222t f t f t t f ''+'（特点是参数方程，但含有变限积分）；（5）令xt u =，则u t xd d 1=，xu t 010↔，⎰=x x u u f x 01d )()(ϕ，由A xx f x =→)(0lim及)(x f连续知：0)0(=f ，A f =')0(；由 ===→⎰→→=)0(limlim)(lim 1)(0d )(00 0f x x f x xt t f x x x型洛ϕ0)0(d )0(1==⎰ϕt f ，知)(x ϕ在点0=x 处连续；==='→--→xx x x x x )(00)0()(0lim lim )0(ϕϕϕϕ 22)(0d )(0lim lim 02 0 Ax x f x x tt f x x=→⎰→=型洛； 0≠x 时，20 d )()()(x tt f x f x x x ⎰-='ϕ，且因)0(][lim lim)(lim 22d )()(0d )()(02 0 2ϕϕ'==-=⎰-⎰='→-→→=A A x tt f x x f x x t t f x f x x x A x xx拆分，故可知)(x ϕ'在点0=x 处连续，从而处处连续.评注：本题是属于对变限积分所定义的函数的可导性的研究的题目.核心是导数的定义.（6）π2（提示：先放缩分母得不等式 ∑∑∑===+<+<ni n n i i n i ni n ni n n i 1111111sinsin sin πππ，而左端的极限（利用定积分）πππππ2111 0 111111d sin sin lim ]sin [lim sin lim ===⋅=∑∑⎰∑==∞→+∞→=+∞→n i n i n n n n n n ni n n x x n i n i n i ，右端的极限（利用定积分）πππ21 0 11d sin sin lim ==⎰∑=∞→x x n i ni nn ，再利用夹逼定理）；评注：本题是利用夹逼准则和定积分相结合的方法而求和式极限的题目，加大了难度. （7）首先，因分子极限为0，所以，分母极限也一定是0，于是得0=b ；由洛必达法则得 20)1ln(0cos limcos lim 3x x a xa c x x x x --=→+→=分母等价无穷小代换，可知 1=a ；进而知21=c ；（8）原式⎰⎰--+=23 1)1(1121 )1(1d d x x x x x x ，第一个积分令2x x t -=，则012121t x ↔， )411(221t x -+=，所以，221)2(110214121 21)1(1)d(2d d 22π===⎰⎰⎰----t t x t tx x ；而对第二个积分令x x t -=2，则2323tx ↔，)411(221t x ++=，所以， ⎰⎰+-=23412231)1(1d d 2t x t x x 2320223)2(11))2(12ln()d(2t t t t ++==⎰+)32ln(+=，故原式)32ln(2++=π.评注：本题中所作的两个换元虽有相似，但却本质不同，因此，相当于两个不同的积分. （9）提示：⎰∑⎰⎰∑--=-=-+-=-=nn n k n nnk n x x f n f x x f k f x x f k f a 1111111d )()(]d )()([d )()()](d )([ 11n f x x f a nn n --=⎰--，因)(x f 单调减，则)1(d )()( 1-≤≤⎰-n f x x f n f n n ，从而 0)](d )([1 ≥-⎰-n f x x f nn ，所以 1-≤n n a a ，即n a 单调减；另一方面，对一切n ，)(]d )()([d )()(11111n f x x f k f x x f k f a n k k knnk n +-=-=∑⎰⎰∑-=+=0)()()]()([11>=+-≥∑-=n f n f k f k f n k ，即n a 有下界. 综上：n a 单调递减有下界，故由单调有界准则（或原理）可知：A a n n =∞→lim 存在. 评注：上述分析推到过程中，积分的不等式性质起到关键作用. （10）] )( )([ )( )(22222222d 1d 21 12d 1d 2⎰⎰⎰=⎰+++=++=a auuu a auuu a a uuu a u x axxx a u f u f u f x f 令而上式右端第二个积分⎰=⎰-⋅++=1d )d ()( )(2222222a t a a t ta u a au u ua t t f u f ta 令⎰⎰+=+=au u u a a t t t a u f t f 1d 1 d )( )(22（恰与第一个积分相等）. ∴ ⎰+a x x x ax f 1 d 2 )(22⎰+=a u uu a u f 1 d )(2⎰+=a x x x a x f 1d )(2. 评注：通过两次不同的换元才最终达到目的是本题的特点.第六章 §6.51.由虎克定律：kx x F =)(（x 为弹簧伸长厘米数），由5=x 时，100=F ，即k 5100=，得 20=k ，于是，x x F 20)(=，故 2250d 20d )(150 15===⎰⎰x x x x F W （克厘米）.2.如图所示，沙堆母线AB 的方程为 1=+hyr x ，即)1(h yr x -=.沙的比重2000=ρ公斤/米3.对应于薄层]d ,[y y y +，则y yr y x y V y W h y d )1( d d d 222-===πρρπρ，故 22350022 d )1( h r y yr W hh y ππρ=-=⎰. 3.（1）660d )8(10 ,d )8(10d 6=+=+=⎰x x F x x F （吨）；（2）设应升h 米，则 )11(60d )8(10 2 ,d )8(10d 60 +=++=++=⎰h x h x F x h x F ，于是，应有 )11(606602+=⋅h ，故 11=h （米）.4.（1）AB 的线密度为l M，)(d )( 0 2a l a kmM x a x l kmM F l +=+=⎰（k 为引力常数）；（2）引力分解为两个分力，由对称性，x x a l kmMF F x d )(d ,022+==，x x a l kmMax x a l kmM F y d )(cos d )(d 232222+=⋅+=ϕ， 222 2 232242d )(la a kmMx x a l kmMa F l l y +=+=⎰-. §6.61.232211d 2 e x x xe y -==⎰-. 2.12d )23( 3231=+=⎰t t t v （m/s ）.3.mT T I t t i 21 021d )(I ==⎰. 第六章总复习题1.23+-=x y ； )3 ,( , )1 ,(2921-； 31613 22123d ])[(=--=⎰-y y y A . 2.) , 2(4πa ；⎰⎰+2 42214 0221d )cos 2( d )sin 2( πππθθθθa a ； 22)1(a -π. 3.4ln 141+-=x y （提示：曲线]6 ,2[ ln ∈=t x y 在处的切线方程为)(ln 1t x t y t -=-，即1ln 1-+=t x y t.题设中所指的面积为⎰--+=-=62 8d ln )2ln 2(2)(x x t S S t S t曲边梯形梯形6ln 62ln 2ln 416-++=t t. 令0)(4162=+-='ttt S ，求得唯一驻点为]6 ,2[4∈=t ，从而曲线上的点为)4ln ,4(）.4.)32ln(6++（提示：抛物线221x y =与圆322=+y x 的右交点为)1 ,2(A ，如图：由对称性，所求的弧长为⎰⎰⎰+='+==2220 2 d 12d 12d 2x x x y s l OA）.5.222342 , ab ab ππ（提示：椭圆绕直线b y =旋转所得的立体与把椭圆向上平移b 个单位再绕x 轴旋转所得的立体一样大小.如图所示：所求的体积为⎰--=aax y y V 2221d ])()[(π⎰-----+=aaa x a x xb b b b 22d ])1()1[(2222π⎰⎰-⋅⋅=-=-aabaa a x x x a xb 022 2d 42d 14222ππ 2 8 222412ab a a b πππ=⋅⋅=）. 6.0 , 2 , 35==-=c b a （提示：因抛物线过原点，∴0=c .如图：由题意，得图中阴影的面积为231 0294d )(ba x bx ax +=+=⎰ ①；此阴影绕x 轴旋转所得的立体的体积为)(d )(23121251122b ab a x bx ax V ++=+=⎰ππ.由①得)(2394a b -=，并代入V 的表达式而转化为求)(a V 的最小值问题，令0)(='a V ，可得唯一驻点35-=a ，从而2=b ）. 7.提示：与曲线221-+=x x y 关于点)2 ,(p p 对称的曲线方程，是从21211-+=x x y 以及p x x =+)(121 和p y y 2)( 121=+中消去1y 和1x 而得到的，即 224)14(222++-++-=p p x p x y .设1y 与2y 的交点横坐标为)( βαβα<、，则所围面积为33112)(d )()(αββα-=-=⎰x y y p S .令21y y 、右端相等，得022222=--+-p p px x ，解之得βα、，并令判别式大于0解得 21<<-p ，23231])12(9[)(--=p p S ，21=p 时，)(p S 取最大值9.8.如图所示，设球的比重1≡ρ，半径为r ，则对应于薄层]d ,[x x x +上的体积微元V d 上的功的微元为,d ])([1d d d 222x r x r gx x g x y x g V W --=⋅⋅⋅=⋅⋅=ππρ∴=-=⎰r x x rx x g W 2 02d )2(π)s /m 8.9( 2434=g g r π. 9.如图所示，水深x 处宽为x d 的面积微元x y A d 2d =上所受的压力微元为 x x gxA gx F d 2d d 22ρρ==，∴ ===⎰g x x x g F ρρ5162 0d 2N 31360；设压力加倍时闸门下降m h , 则⎰+=2d )(22x x h x g F ρh g F ρ38+=，即 51638=h ，∴ =h m 2.1.其中ρ为水的比重. 定积分应用总评住：对所有专业而言，面积、体积和弧长应是最基本的；力学、物理方面的应用因专业而异；限于篇幅，未涉及经济和其它方面的应用.第二册参考答案第一章 §1.31.（1）B ；（2）C ；（3）C ；（4）A .2.（1）证：∵a x n n =∞→lim ，∴对于事先给定的无论多么小的正数ε（简记为0>∀ε），都存在自然数N （记为N ∃），只要N n >，就必有不等式ε<-a x n 成立，从而对任一自然数k ，当N k n >+（即k N n ->）时，不等式ε<-+a x k n 仍成立，故由数列极限的定义可知：a x k n n =+∞→lim .（2）证：∵a a n n =∞→lim ，∴N n N >∃>∀ , , 0ε时，ε<-a a n ，这时也必有ε<-≤-a a a a n n ，故a a n n =∞→lim .反例：n n a )1(-=，则1)1(lim lim =-=∞→∞→n n n n a 存在，但nn n n a )1(lim lim -=∞→∞→不存在（即n n a )1(-=发散）.（3）证：∵0lim =∞→n n x ，∴N n N >∃>∀ , , 0ε时，ε<-0n x ε<-⇔0n x 成立，故0lim =∞→n n x .（4）证：∵)2( 112)12(232231232223222>=<==--+-+-+n nn n nn n n n nn ，∴][ , 01εε=∃>∀N （取整）只要N n > （从而ε1>n ），必有ε<><--+)2( 12312322n n n nn 成立，故2312322lim =-+∞→n n n n . 3.证：∵数列}{n x 有界，∴0>∃M ，使得对一切N ∈n ，都有M x n ≤成立①；又∵0lim =∞→n n y ，∴N n N >∃>∀ , ,0ε时，Mn n y y ε<=-0②. 于是，0>∀ε，对②中的N ，当N n >时，①②同时成立，所以这时εε=⋅<⋅<=-M n n n n n n M y x y x y x 0，故 0lim =∞→n n n y x .§1.41.（1）分析：因为22)2)(2(42-+=-+=-x x x x x ，而2→x ，所以可设31<<x ，于是，252242-<-+=-x x x x ，对于给定的0>ε，为了ε<-42x ，则只要δε=<-52x 即可，于是有如下的证明：证：对于事先给定的无论多么小的正数ε，取5εδ=，只要δ<-<20x ，就必有 ε<-42x 成立，所以，4lim 22=→x x .（2）分析：因为)4)(2(2)106(2--=-+-x x x x ，而2→x ，所以可设31<<x ，于是，234)2(2)106(2-<--=-+-x x x x x ，对0>∀ε，为了ε<-+-2)106(2x x ，只要δε=<-32x 即可，从而证明如下：证：0>∀ε，03>=∃εδ，只要δ<-<20x ，就必有ε<-+-2)106(2x x成立，故 2)106(lim 22=+-→x x x .评注：以上的证法就是函数极限的“δε-论证法”，虽然抽象，但很严密，望认真体会.2.（1）证：∵21211212222x xxx x ≤=-++-，∴0>∀ε，取2εδ=，只要δ<-<00x ，就必有ε<≤=-++-21211212222x xxx x 成立，故 1lim 22110=+-→x x x . （2）证：∵34312221++-=-x x x ，∴0>∀ε，取34-=εX （10<<ε），则当X x >时，必有ε<=-++-34312221x x x 成立，故 1lim 3122=+-∞→x x x . 当01.0=ε时，397=X .评注：（2）的证法就是函数∞→x x f )(当时极限的“X -ε论证法”，望认真体会.3.（1）1)00( ,1)00(=+-=-f f ，所以，)(lim 0x f x →不存在；（2）0)00( ,1)00(=+=-f f ，所以，)(lim 0x f x →不存在；而 1)(lim 1=→x f x .4.⎪⎩⎪⎨⎧>-><-=. 0 ,1, 0 ,1 ,0 ,1)(为无理数且为有理数且x x x x x x f。

大学高等数学各章节练习题

第一章极限与连续一、填空 1、设11()01x f x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩ ，则[]()___________.f f x = 2、假设数列{}n x 收敛，则数列{}n x 肯定。

3、假设0lim ()x x f x A →=，而0lim ()x x g x →不存在，则0lim(()())x x f x g x →+ 。

4、当0→x 时，1132-+ax 与1cos -x 为等价无穷小，则_______=a 5、设函数()f x 在点0x x =处连续，则()f x 在点0x x =处是否连续。

6、设21))((,sin )(x x f x x f -==ϕ，则)(x ϕ的定义域为_________7、如果⎪⎩⎪⎨⎧=≠-+=0,00,12sin )(2x x xe x xf ax 在),(+∞-∞内连续，则__=a8、曲线22x e x y -=的渐近方程为__________________二、选择9、如果)(),(x g x f 都在0x 点处间断，那么〔〕〔A 〕)()(x g x f +在0x 点处间断〔B 〕)()(x g x f -在0x 点处间断〔C 〕)()(x g x f +在0x 点处连续〔D 〕)()(x g x f +在0x 点处可能连续。

10、设数列n x 与n y 满足lim 0n n n x y →∞=，则以下断言正确的选项是〔〕〔A 〕假设n x 发散，则n y 必发散。

〔B 〕假设n x 无界，则n y 必有界〔C 〕假设n x 有界，则n y 必为无穷小〔D 〕假设1nx 为无穷小，则n y 必为无穷小。

11、已知0()lim0x f x x→=，且(0)1f =，那么〔〕〔A 〕()f x 在0x =处不连续。

〔B 〕()f x 在0x =处连续。

〔C 〕0lim ()x f x →不存在。

〔D 〕0lim ()1x f x →=12、设2()43x xf x x x+=- ，则0lim ()x f x →为〔〕〔A 〕12 (B)13 (C) 14 (D)不存在13、设2(1)sin ()(1)x xf x x x-=-，那么0x =是函数的〔〕〔A 〕无穷间断点。

高等数学练习册及答案

高等数学练习册及答案### 高等数学练习册及答案#### 第一章：极限与连续练习题1：计算下列极限：1. \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\)2. \(\lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x}\)3. \(\lim_{x \to 1} (x^2 - 1)\)答案：1. 根据洛必达法则，我们首先对分子分母同时求导，得到 \(\lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = 1\)。

2. 由于 \(\sin x\) 的周期为 \(2\pi\)，当 \(x\) 趋向无穷大时，\(\frac{\sin x}{x}\) 趋向于0。

3. 直接代入 \(x = 1\)，得到 \(\lim_{x \to 1} (x^2 - 1) = 0\)。

练习题2：判断函数 \(f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}\) 在 \(x =1\) 处是否连续。

答案：函数 \(f(x)\) 在 \(x = 1\) 处的极限为2，但 \(f(1)\) 未定义，因此 \(f(x)\) 在 \(x = 1\) 处不连续。

#### 第二章：导数与微分练习题1：求下列函数的导数：1. \(f(x) = x^3 - 2x\)2. \(g(x) = \sin x + e^x\)答案：1. \(f'(x) = 3x^2 - 2\)2. \(g'(x) = \cos x + e^x\)练习题2：利用导数求函数 \(h(x) = x^2\) 在 \(x = 2\) 处的切线方程。

答案：首先求 \(h'(x) = 2x\)，然后计算 \(h'(2) = 4\)，切点坐标为\((2, 4)\)。

切线方程为 \(y - 4 = 4(x - 2)\)，简化得 \(y = 4x - 4\)。

#### 第三章：积分学练习题1：计算下列不定积分：1. \(\int x^2 dx\)2. \(\int \frac{1}{x} dx\)答案：1. \(\int x^2 dx = \frac{x^3}{3} + C\)2. \(\int \frac{1}{x} dx = \ln |x| + C\)练习题2：计算定积分 \(\int_{0}^{1} x^2 dx\)。

高等数学第三章试题库

第三章试题库一、选择题。

1.若)(u f 可导,且)(x e f y =,则有=dy （）A.()x f e dx' B.()x xf e de ' C.()x x f e de '⎡⎤⎣⎦D.()x x f e e dx '⎡⎤⎣⎦2.当n →+∞，55,ln ,ln ,5n n n 趋于无穷大速度最快的是()A.5n B.5ln n C.ln D.5n3.当n →+∞，55,ln ,ln ,5n n n 趋于无穷大速度最慢的是()A.5ln n B.5ln n C.ln D.5n4.设()(1)(2)(), f x x x x n =--- 则()=0f x '在开区间(2,)n 有（）个零点A.1n - B.1n - C.2n - D.n5.设()(1)(2)(), x x x f x e e e n n Z +=---∈ 则(0)=f '（)A.1(1)(1)!n n --- B.(1)(1)!n n -- C.1(1)!n n -- D.(1)!n n -6.设()(1)(2)(), f x x x x n n Z +=---∈ 则(1)=f '（)A.1(1)(1)!n n --- B.(1)(1)!n n -- C.1(1)!n n -- D.(1)!n n -7.设()(1)(2)(10), f x x x x =--- 则(1)=f '（)A.9!- B.0C.9!D.10!8．设2()ln(1)f x x =+,则该函数在(0,)+∞内的图象为()A.递增的凹弧B.递减的凹弧C.递增的凸弧D.递减的凸弧9．设()ln(1)f x x x =+-,则该函数在(1,0)-内的图象为()A.递增的凹弧B.递减的凹弧C.递增的凸弧D.递减的凸弧10．设()x f x e x =-,则该函数在(1,0)-内的图象为()A.递增的凹弧B.递减的凹弧C.递增的凸弧D.递减的凸弧11.设函数()f x 在[,]a b 上连续，且在(,)a b 内()0f x ''>，则在(,)a b 内等式()()()f b f a f b aξ-'=-成立的ξ()A．存在B．不存在C．惟一D．不能断定存在12．曲线53(1)5y x =-+()A．有极值点1x =,但无拐点B．有拐点(1,5),但无极值点C．有极值点1x =,有拐点(1,5)D．既无极值点,又无拐点13.下列函数中，在区间[1,1]-上满足罗尔定理条件的是（）.A．2ln(1)y x =-B．21y x =-C．||x y e =D．sin y arc x =14.若函数)(x f y =在点0x 处取得极大值，则必有().A.0()0f x '= B.0()0f x '<C.0()0f x '=且0()0f x ''< D.0()0f x '=或0()f x '不存在15.若在区间),(b a 内有()0,f x '>()0,f x ''<则曲线弧)(x f y =为().A.递增的凸弧B.递增的凹弧C.递减的凸弧D.递减的凹弧16.下列函数中在区间]3,0[上不满足拉格朗日定理条件的是（）.A.221x x ++ B.cos(1)x + C.22(1)x x - D.ln(1)x +17．若)(x f 在a x =处取得极值，则（）。

高等数学(一)智慧树知到课后章节答案2023年下广东石油化工学院

高等数学（一）智慧树知到课后章节答案2023年下广东石油化工学院广东石油化工学院第一章测试1.下面哪个叙述与数列极限的定义等价：（）答案:，只有的有限项落在区间之外；2.在的某一去心邻域内有界是存在的（）.答案:必要条件；3.设，则是的（）答案:可去间断点；4.下列极限正确的是（）答案:；5.下列变量中，当时，与等价的无穷小量有（）答案:6.设函数，如果在处连续，则（）；答案:3；7.函数的连续区间是（）答案:；8. =（）答案:9. =（）答案:810. =（）答案:；11.方程在区间(0,1)上（）。

答案:有且仅有一个实根12.极限（）。

答案:2第二章测试1.设，则（）。

答案:2.函数，则在处（）。

答案:不连续，不可导3.曲线在点处切线斜率等于（）。

答案:24.下列式子正确的是（）。

答案:5.参数方程所确定的函数的导数（）。

答案:6.参数方程所确定的函数的二阶导数（）。

答案:7.设函数则（）。

答案:8.函数的微分（）。

答案:第三章测试1.函数在区间[0，2]上满足拉格朗日中值定理的条件的（）。

答案:2.极限（）。

答案:3.极限（）。

答案:4.对函数，则其n阶麦克劳林展开式中的拉格朗日余项为（）。

答案:5.已知 f (x) 在 [a,b] 上可导，则是f (x) 在 [a,b] 上单调递增的（）。

答案:充分条件6.下面关于函数y =f (x) 的凹凸性与拐点表述正确的是（）。

答案:若函数y =f (x) 在 (a,b) 区间内 f '' (x) <0，则函数y =f (x)的图形是凸的7.曲线拐点的横坐标为，则常数（）。

答案:8.函数y =f (x) 在点处连续且取得极小值，则在处必有（）。

答案:或不存在9.下面有关曲线的渐近线表述正确的是（）。

答案:水平渐近线为 , 铅直渐近线为 x =210.下面有关曲率的表述哪一个是不正确的（）。

答案:转角越大，曲线的弯曲程度就越大第四章测试1.下列各式中成立的是（）。

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高等数学（一）（第三章练习题）
一、单项选择题
1.设函数y=2x 2，已知其在点x 0处自变量增量3.0x =∆时，对应函数增量y ∆的线性主部为-0.6，则x 0=（） A.0
B.1
C.-0.5
D.-4
2.设某商品的需求函数为Q=a-bp ，其中p 表示商品价格，Q 为需求量，a 、b 为正常数，则
需求量对价格的弹性=EP
EQ
（）
A.bp a b --
B. bp a b
- C. bp a bp -- D. bp a bp -
3.设y=lnsinx,则dy=（） A.-cotx dx B.cotx dx C.-tanx dx D.tanx dx
4.设y=a x (a>0,a ≠1),则y (n)
=
=0x （）
A.0
B.1
C.lna
D.(lna)n
5.若函数f(x)在点x 0处自变量增量Δx=0.25，对应函数增量Δy 的线性主部为2，则函数在该点的导数值=')x (f 0（）
A.4
B.8
C.0.5
D.0.125
6.设某商品的供给函数为S=a+bp ，其中p 为商品价格，S 为供给量，a,b 为正常数，则该商品的供给价格弹性=EP
ES
（） A.bp
a bp
+
B.bp a b
+ C.bp
a bp +- D.
bp
a b
+- 7．设产品的利润函数为L （x ）,则生产x o 个单位时的边际利润为（） A ．
00x )x (L B ．dx
)
x (dL C ．
x x dx )x (dL =
D ．
)dx
)
x (L (dx d 8．设f(x)=x 15+3x 3-x+1,则f (16)（1）=（） A ．16! B ．15! C ．14!
D ．0
9设某商品的需求函数为D(P)=475-10P-P 2,则当P = 5时的需求价格弹性为（） A.0.25 B.-0.25 C.100
D.-100
10．已知某商品的成本函数为500302)(++=Q Q Q C ，则当产量Q =100时的边际成本（）
A ．5
B ．3
C ．3.5
D ．1.5
11．设某商品的需求量D 对价格p 的需求函数为D =50-5
p ，则需求价格弹性函数为( ) A.
250-p p B.p p -250 C.51
p
p -250
D.51
250
-p p
12.设生产x 个单位的总成本函数为C （x ）=7x 2012
x 2
++，则生产6个单位产品时的边际成
本是（）
A.6
B.20
C.21
D.22
13．设函数y =150-2x 2,则其弹性函数Ex
Ey
=（） A ．
221504
x - B ．
2
21504x x - C ．
150
242-x x D ．
150
2422-x x
二、填空题
1．设某商品的市场需求函数为D=1-7
P
，P 为商品价格，则需求价格弹性函数为 . 2．设y=2
x 2e x ，则y ''(0)= .
3. 已知某商品的产量为q 件时总成本为C （q ）=100q+160
q 2
(百元)，则q=500件时的边际成
本为___________.
4．设某商品的需求量Q 对价格P 的函数关系为Q=75-P 2，则P=4时的边际需求为_____。

5.设某商品市场需求量D 对价格p 的函数关系为D (p )=1600p
⎪⎭
⎫
⎝⎛41，则需求价格弹性是
___________。

6．已知函数y =3
e x ，则其弹性函数
Ex
Ey
=________. 7．设函数f (x )=sin x +e -x ，则f ＂(x )=________. 三、计算题（一）
1.设y=x 5x ，求dy.
2.设y=.y ,x
11
)5(求+ 四、计算题（二）
1．设x x y ln cos 2=，求y ″. 2.设y = x 2x ,求y '' 3．设1
1
2-=
x y ，求)2("y 4．求函数f (x )=21x x x ++的二阶导数. 五、证明题
1.证明函数⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧=≠-+=0x ,210x ,x 1
1x )x (f ，在点x=0连续且可导.。